se nazývá charakter grupy G. Dále budeme uvaºovat pouze kone né grupy G. Charaktery tvo í také grupu, s násobením denovaným
|
|
- Radka Žáková
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Charaktery a Diskrétní Fourierova transforace Nejd leºit j²í kvantový algorite je Diskrétní Fourierova transforace (DFT) D vody jsou dva: DFT je pro kvantové po íta e exponenciáln rychlej²í neº pro po íta e klasické; DFT uoº uje (io jiné) faktorizaci p irozených ísel Diskrétní Fourierova transforace se týká zobrazení z kone né koutativní grupy G do C Kaºdé takové zobrazení f lze chápat jako vektor (f(g ), f(g ),, f(g n )), kde n = G a g i jsou prvky G Mnoºina v²ech zobrazení tak tvo í vektorový prostor C n, p i eº bazí, ke které se uvedený zápis vztahuje, je báze charakteristických funkcí jednotlivých prvk, tedy funkcí b, b,, b n denovaných vztahe b i (g j ) = δ ij DFT je p echod od chronologického zápisu funkce v této bázi, k zápisu v bázi tzv charakter grupy G, které vyjad ují frekven ní rozklad funkce Pro porozu ní DFT je proto t eba nejprve pojednat o charakterech kone ných grup Nech (G, ) je koutativní grupa Kaºdý grupový hooorsus χ : (G, ) (C, ) se nazývá charakter grupy G Dále budee uvaºovat pouze kone né grupy G Charaktery tvo í také grupu, s násobení denovaný (χ χ )(g) = χ (g) χ (g) Jednotkový prvke této grupy charakter je identická jedni ka, kterou zna íe ε a nazýváe triviální charaktere V ta Nech je X grupa charakter kone né koutativní grupy G Pak X = G D kaz Protoºe je G kone ná, usejí se v²echny její prvky zobrazovat na jednotkovou kruºnici P esn ji, prvek g se usí zobrazovat na r-tou odocninu z, kde r je ád prvku g Máe tedy χ(g) = exp(πi k r ), pro n jaké k Z r Nech {h,, h } je n jaká iniální noºina generátor grupy G, kde prvek h j á ád r j Pak G = Z r Z r Z r a charakter χ je jednozna n ur en volbou (k,, k ) Z r Z r Z r tak, ºe ( χ(h j ) = exp πi k ) j r j Je snadné ov it, ºe zobrazení χ (k,, k ) dává poºadovaný isoorsus Vzhlede k tou, ºe se pohybujee na jednotkové kruºnici, platí χ (g) = χ(g) = χ(g)
2 Dále je uºite né si v²inout, ºe pro g, h Z r Z r Z r χ h (g) = χ g (h) Ob strany rovnosti se totiº rovnají ( ) kj l j ( ) exp πi, j= kde g = (k, k,, k ) a h = (l, l,, l ) Pro po ítání s charaktery je klí ové následující tvrzení r j platí Lea Pro libovolný netriviální charakter χ grupy G platí χ(g) = 0 D kaz Nech je χ netriviální, a zvole h G tak, ºe χ(h) Protoºe g hg je perutace grupy G, dostáváe χ(g), a tedy χ(g) = χ(hg) = χ(h) χ(g) = 0 Následující tvrzení ukazuje, ºe charaktery jsou ortogonální noºinou vzhlede ke standardníu skalárníu sou inu (pracujee tedy v Hilbertov prostoru H n, nikoli pouze v C n ) Lea Nech χ a χ jsou dva r zné charaktery grupy G Pak platí χ (g) χ (g) = 0 D kaz Protoºe χ χ, je χ χ = χ χ netriviální charakter, a tvrzení plyne z p edchozího leatu Nora kaºdého charakteru χ je χ(g) χ(g) = n Vidíe proto, ºe noºina ( n χ, n χ,, ) χ n n je ortonorální báze H n, které íkáe báze charakter Jak uº bylo e eno na za átku, Diskrétní Fourierova transforace je p evod zobrazení f : G C ze zápisu v bázi charakteristických funkcí do zápisu v bázi charakter Protoºe jsou ob báze ortonorální, jedná se o unitární zobrazení Matice DFT je tedy inverzní atice k atici p echodu od kanonické bázi k bázi charakter Protoºe inverzní atice unitární atice je atice adjungovaná, áe DFT] k,l = χ gk (g l ),
3 3 kde g, g,, g n je n jaké o íslování prvk grupy G Díky vý²e dokázané zá nnosti index jsou DFT a DFT koplexn sdruºené a pro zjednodu²ení zápisu se obvykle uvaºuje inverzní transforace IFT (u²et íe tí znaénka inus v exponentu) Kvantový rozklad Diskrétní Fourierovy transforace Kvantová ralizace Diskrétní Fourierovy transforace spo ívá v konstrukci obvodu, který po ítá operátor DFT, tedy v rozkladu DFT na alé operátory Vý²e jse denovali DFT pro obecnou grupu G Nejd leºit j²í a nejobvyklej²í je DFT pro cyklickou grupu (Z N, +) a není-li e eno výslovn jinak, rozuí se ozna ení DFT práv tento p ípad Pro ilustraci a procvi ení ov²e provedee nejprve DFT na grup (Z, +) Máe M = a k-tý bázový prvek H M budee jako obvykle zapisovat k = k k k, kde k k k je binární zápis k Budee také p irozen p edpokládat, ºe o íslování grupy Z touto zápisu odpovídá, ºe tedy k-tý prvek je práv (k, k,, k ) Podle ( ) pak áe k j l j DFT] k,l = exp πi j= = ( ) kjlj = ( ) k l j= To je ov²e atice, kterou znáe jiº z Deutschova-Jozsova algoritu; nad Z dostáváe snadný rozklad DFT = H Obra e se nyní k p ípadu (Z M, +) Vyuºijee poznáku na konci p edchozího oddílu a budee rozkládat IFT, kde IFT] k,l = exp πi kl ] M M Obvod je vºdy denován na bázových prvcích Chcee tedy sestrojit obvod, který vstup k = k k k zobrazí takto: k M exp πi kl ] l, M M coº po rozkladu dává k M l = l j, j= k M j= l j=0 l =0 l =0 l=0 l =0 j= l M = l j j j= exp πi k ] j l j l j Díky distributivit tensorového sou inu dostáváe rozklad exp πi k ] j l j l j = j= ( 0 + exp πi k ] ) j
4 4 Faktor u rozepí²ee: exp πi k ] ] ] t= j = exp πi t k t = exp πi ( t j) k t a z periodicity exponenciely dostáváe exp πi k ] j = exp πi j t= j+ t= ( t j) k t Pro názornost zápisu bude uºite né roz²í it binární zápis i za desetinnou, resp spí²e polovinnou árku a psát 0, a a = a j j j Pak lze IFT vyjád it takto: k 0 + exp πi(0, k )] 0 + exp πi(0, k k )] 0 + exp πi(0, k k k )] 0 + exp πi(0, k k k )] Zkonstruovat obvod, který IFT po ítá uº není t ºké V²in e si nejprve, ºe 0 + exp πi(0, a)] = H a, kde H je Hadaard v operátor Dále budee pot ebovat atice relativního fázového posunu ( ) 0 R t = 0 exp t, ] které budee aplikovat kontrolované bite na t-té pozici za desetinnou árkou Konstrukce j-tého kubitu výstupu vypadá nyní takto: k j+ k j+ k j+3 k k 0 H R j+ R j+3 R R Sta í tedy pouºít poocných kubit, na po átku ve stavu 0, jako výstupní registr transforace Je ov²e také oºné poocné kubity u²et it, pokud si v²inee, ºe první kubit vstupu je pot eba pouze pro výpo et n-tého kubitu výstupu, druhý kubit vstupu pouze pro výpo et posledních dvou kubit výstupu atd Díky tou ºee za ít
5 5 konstrukcí posledního kubitu výstupu v první kubitu vstupu, a takto postupn odzadu konstruovat v j-té vstupní kubitu j-tý výstupní po ítáno odzadu Dostanee tedy Fourierovu tranforaci vzh ru nohaa, coº jist není váºný problé Pokud bycho cht li i tuto nep esnost odstranit, sta í na za átku obrátit po adí vstupních kubit poocí transpozic Transpozice bázových kubit je saoz ej unitární (jako kaºdá perutace), zna í se a není t ºké ov it, ºe platí = Celková podoba obvodu IFT pro Z 4 je znázorn na na následující obrázku k H k H R k 3 H R R k 4 H R R R 3 Je z ejé, ºe sloºitost algoritu (po et hradel) je O( ) = O(log M) Nejrychlej²í klasický algoritus, tzv rychlá Fourierova transforace, á p ito sloºitost O(M log M) V toto p ípad p iná²ejí tedy kvantové po íta e exponenciální zrychlení
P íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
Vícee²ení testu 1 P íklad 1 v 1 u 1 u 2 v 2 Mechanika a kontinuum NAFY listopadu 2016
e²ení testu Mechania a ontinuu NAFY00 8. listopadu 06 P ílad Zadání: Eletron o ineticé energii E se srazí s valen ní eletrone argonu a ionizuje jej. P i ionizaci se ást energie nalétávajícího eletronu
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Vícepokud A Rat(M), pak také A Rat(M).
Kone né automaty Pojem automat je historicky spojen s n jakou konstruktivní, algoritmickou procedurou rozhodující n jaký problém, i abstraktn ji e eno, rozhodující o tom, zda n jaký prvek pat í do dané
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceT i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
VíceTeorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
Vícee²ení 4. série Binární operace
e²ení 4. série Binární operace Úloha 4.1. V Hloup tínské jaderné elektrárn do²lo jednoho dne k úniku radioaktivního zá ení. Obyvatelé byli pro tento p ípad kvalitn vy²koleni v obran proti záke ným ásticím,
VíceAplikovaná matematika 1
Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn
VíceLineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
VíceDistan ní barvení graf
Západo eská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných v d Katedra matematiky Bakalá ská práce Distan ní barvení graf Plze, 2018 Tereza Supíková Prohlá²ení Prohla²uji, ºe jsem bakalá skou práci na téma distan
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
VíceZáludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
Více3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny
3 D leºitá rozd lení náhodné veli iny Co to znamená, kdyº prohlásíme, ºe jsou n jaká d leºitá rozd lení? Rozd lení náhodné veli iny je její popis. A náhodná veli ina p edstavuje ur itý náhodný pokus (kde
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VíceNormalizace rela ního schématu
Normalizace rela ního schématu Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
Víceízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
Více(a + b)(a b) 0 mod N.
Sho v faktoia ní algoitmus Sho v faktoia ní algoitmus je nejvýnamn j²í aplikací kvantové Fouieovy tansfomace a jeden hlavních d vod ájmu o kvantové po íta e, kteé by umoºnily pavd podobnostní polynomiální
VíceFyzikální praktikum 3
Ústav fyzikální elekotroniky P írodov decká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 7. Opera ní zesilova Úvod Opera ní zesilova je elektronický obvod hojn vyuºívaný tém ve v²ech
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
Více1 Úvod. 2 Pom cky. 3 Postup a výsledky. 3.1 Ov ení vlastností fotoodporu
Název a íslo úlohy #9 - Detekce optického zá ení Datum m ení 25. 2. 2015 M ení provedli Tereza Schönfeldová, David Roesel Vypracoval David Roesel Datum 27. 2. 1015 Hodnocení 1 Úvod Fotodetektory jsou p
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceMatematická logika cvi ení 47
Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky
VíceTeorie kategorií. Libor B hounek Verze ke dni 12. b ezna 2013.
Teorie kategorií Studijní materiál pro kurs ALGV00051 na FF UK v LS 2012/13 Dal²í informace: www.cs.cas.cz/behounek/teaching/cat12 Libor B hounek behounek@cs.cas.cz Verze ke dni 12. b ezna 2013. Organiza
Vícee²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a Úloha 4.1. Na zah átí si dáme snadn j²í p íklad. Ur it zná² hru Myslím si íslo a to má vlastnost, je to velice podobné. Tedy mám binární lineární kód délky 5, který
VíceTesty pro více veli in
Kapitola 8 Testy pro více veli in 8.1 Testy parametr s více výb ry s p edpokladem normality dat 8.1.1 Testy s dv ma výb ry. P edpoklady: Pro spojité rozd lení normalita nebo velký výb r. Pro diskrétní
VícePo etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
Více1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec
1 P ílohy 1.1 Dopln ní na tverec Pouºívá se pro minimalizaci kvadratického výrazu nebo pro integraci v konvoluci dvou normálních rozd lení (tady má význam rozkladu normální sdruºené hp na podmín nou a
VíceSeminá e. Ing. Michal Valenta PhD. Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem. 1-13
Seminá e Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem.
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceB, e²te následující rekurenci n kterou z metod z kapitoly o sumách: (a j b k a k b j ) 2
1. A, e²te rekurenci Q 0 = 2 Q n = 2Q n 1 + (n + 2) 2, pro n > 0. B, e²te následující rekurenci n kterou z metod z kapitoly o sumách: Q 0 = 1 Q n = nq n 1 + n!, pro n > 0. 2. A, e²te následující rekurenci
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceVzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
VíceOBSAH. 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách
OBSAH 1. Základní p edstava o k ivkách a plochách 1.díl: P edstava o plo²e.... 2 I trojrozm rné objekty lze znázornit v rovin. 2.díl: Reálná ísla a p ímka.... 3 Souvislost mezi ísly a geometrií. 3.díl:
VíceRole obálek D FFT spektra p i TSR invariantním rozpoznávání obrazu Kate ina Nováková, Jaromír Kukal VUT Praha, Fakulta jaderná a fyzikáln in en rská V CHT Praha, Ústav po íta ové a ídící techniky Abstrakt:
VíceAplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení
Aplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení 28.4.2016 Obsah 1 Kurzové sázení Tenis Kurz jako odhad pravd podobnosti Hodnocení kvality odhadu pravd podobnosti 2 Predikce pr b hu utkání Základní
VíceKonceptuální modelování
Konceptuální modelování Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
VíceST1 - Úkol 1. [Minimáln 74 K /láhev]
ST1 - Úkol 1 P íklad 1 Myslivecký spolek po ádá sv j tradi ní ples. Mimo jiné bylo nakoupeno lahvové víno podle rozpisu v Tabulce 1.1. P edpokládá se (podle historických zku²eností), ºe v²echny láhve budou
VíceSoft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace
Soft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace Franti²ek N mec (xnemec61) xnemec61@stud.t.vutbr.cz 1 Úvod Úkolem tohoto projektu bylo vytvo it aplikaci, která bude demonstrovat
VíceJméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
VíceKonstruk ní geometrie
Pomocný text Konstruk ní geometrie Drazí e²itelé, V tomto povídání se, jak název napovídá, podíváme na základní konstruk ní pojmy a zkusíme si vy e²it pár jednoduchých úloh. Eukleidovské konstrukce Kdyº
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - vy²²í úrove obtíºnosti MAGVD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
VíceTeorie grup a její aplikace ve fyzice
Týden 1: 4.10. Obsah přednášek NTMF061 Teorie grup a její aplikace ve fyzice ZS 2018/19 definice grupy, řád grupy, příklady grup, Abelova grupa, cyklická grupa, izomorfismus mezi grupami multiplikativní
VíceSemestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu
VíceST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE P íklad 1.1 Po et závad jistého typu elektrospot ebi e b hem záru ní doby má Poissonovo rozd lení s parametrem λ = 0,2. Jaká je pravd podobnost, ºe po prodeji 75 spot
VíceZápado eská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných v d. Katedra kybernetiky. Datová analýza ve ejn dostupných meteorologických dat.
Západo eská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných v d Katedra kybernetiky Diplomová práce Datová analýza ve ejn dostupných meteorologických dat Plze, 2015 Michal Kubát Prohlá²ení P edkládám tímto k posouzení
VíceZákladní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
Více4. V p íprav odvo te vzorce (14) a (17) ze zadání [1].
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM II FJFI ƒvut v Praze Úloha #4 Balmerova série Datum m ení: 28.4.2014 Skupina: 7 Jméno: David Roesel Krouºek: ZS 7 Spolupracovala: Tereza Schönfeldová Klasikace: 1 Pracovní úkoly 1.
Více1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
VíceÚVOD DO GEOGRAFICKÝCH INFORMA NÍCH SYSTÉM
Úvod do GIS p ednáškové texty ÚVOD DO GEOGRAFICKÝCH INFORMA NÍCH SYSTÉM P ednáškové texty Auto i: Ing. Martin B ehovský, Ing. Karel Jedli ka Redigoval: Ing. Ji í Šíma, CSc. 5. IMPLEMENTACE A VYUŽÍVÁNÍ
Vícena za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
VíceC) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR
Správní právo dálkové studium VIII. Územní samospráva A) Historický vývoj na území ČR - po roce 1918 při vzniku ČSR zpočátku převzala předchozí uspořádání rakousko uherské - samosprávu představovaly obce,
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceVektorová m ení ve vysokofrekven ní technice. Libor Sláma
Vektorová m ení ve vysokofrekven ní technice Libor Sláma 21. kv tna 2007 Obsah 0.1 Problematika vysokých kmito t.................. 2 0.2 S-parametry (rozptilové parametry)................ 2 0.3 P ístroje
VíceKelvin v kapkový generátor
Kelvin v kapkový generátor Kry²tof Kadlec 1, Luká² Kune² 2, Luká² N me ek 3 1 Gymnázium Franti²ka Palackého, Vala²ské Mezi í í, krystoof.2@seznam.cz 2 Gymnázium, Zlatá stezka 137, Prachatice, kunamars@seznam.cz
VíceŘešení: Odmocninu lze vždy vyjádřit jako mocninu se zlomkovým exponentem. A pro práci s mocninami = = = 2 0 = 1.
Varianta A Př.. Zloek 3 3 je roven číslu: a), b) 3, c), d), e) žádná z předchozích odpovědí není Řešení: Odocninu lze vždy vyjádřit jako ocninu se zlokový exponente. A pro práci s ocninai již áe jednoduchá
Více1 Úvod. 2 Pom cky. 3 Postup a výsledky. 3.1 Kalibrace goniometru. Datum m ení 23. 4. 2015. Datum 29. 4. 2015 Hodnocení
Název a íslo úlohy Datum m ení 23. 4. 2015 M ení provedli Vypracoval Datum 29. 4. 2015 Hodnocení 1 Úvod #5 - M ení indexu lomu n kterých látek Tereza Schönfeldová, David Roesel David Roesel V této úloze
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá²
e²ení. série Úvodní gulá² Úloha.. Gulá²gvhevmnjdfs!!, ozvalo se uº o n co hlasit ji hladové monstrum dychtící po Lib n in specialit. Henry! Ví² moc dob e, ºe ti nedám, dokud neuhodne², na co myslím! Malinko
VíceUºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0
1 Uºivatelská p íru ka k programu SlaFoR verze 1.0 Toto je manuál k programu SlaFoR 1.0 (Slab Forces & Reinforcement), který byl vytvo en v rámci bakalá ské práce na kated e betonových a zd ných konstrukcí
Vícebrmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika
brmiversity: Um lá inteligence a teoretická informatika P edná²ka. 6 Petr Baudi² pasky@ucw.cz brmlab 2011 Outline 1 Pravd podobnost 2 Um lá inteligence 3 Sloºitost 4 Datové struktury Pravd podobnost Pravd
VíceÚloha. 2 - Difrakce sv telného zá ení
Úloha. - Difrakce sv telného zá ení Difrakci sv tla lze charakterizovat jako chování vlnových polí, které není moºné popsat pomocí zákon geometrické optiky. Lze ji p iblíºit jako ohyb nebo odchylku sv
VíceInformace a návod k pouºití ablony pro BP student FZS v Plzni. Ing. Petr V elák 20. únor 2012
Informace a návod k pouºití ablony pro BP student FZS v Plzni Ing. Petr V elák 20. únor 2012 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 P edmluva 4 2 Formátování a úprava bakalá ské práce 5 2.1 Vzhled stran........................................
VícePráce s daty. 2. února Do tohoto adresá e stáhn te ze stránek soubory data.dat a Nacti_data.sci.
Práce s daty 2. února 2015 V tomto lánku si ukáºeme statistickou práci v praxi. Setkáme se s mnoha bodovými i intervalovými odhady i s r znými testy. Na kraji textu máte vyzna eno, jaké pojmy a znalosti
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
VíceZákladní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 6: Nelineární transmise saturovatelných absorbér Datum m ení: 18.3.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh: FE Spolupracovala:
Více