Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění"

Transkript

1 Matematické modelování elmg. polí 3. kap.: Elmg. vlnění Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/ ), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

2 Matematické modelování elmg. polí Elmg. vlnění Osnova Maxwellovy rovnice Elektromagetické vlnění Modelová úloha Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

3 Maxwellovy rovnice Stacionární Maxwellovy rovnice v nevodivém prostředí jsou dva nezávislé systémy: } div(d(x)) = ρ(x) rot(e(x)) = 0 } rot(h(x)) = j(x) div(b(x)) = 0 elektrostatika magnetostatika spolu s materiálovými vztahy D(x) = ε 0 ε r (x)e(x), B(x) = µ 0 µ r (x)h(x), s okrajovými podmínkami a podmínkami v. Zavedeme-li potenciály E(x) = u(x), B(x) = rot(a(x)), dostáváme: div (ε 0 ε r (x) u(x)) = ρ(x) ( ) rot µ 0 µ r (x) rot(a(x)) = j(x)

4 Ohmův zákon Maxwellovy rovnice Vodivé materiály se vyznačují velkým počtem volných elektronů a po vložení do elektrostatického pole dochází k jejich pohybu, tedy teče proud. Vodivé materiály jsou modelovány lineárním Ohmovým zákonem: kde σ je elektrická vodivost. j Ohm (x) = σ(x)e(x), Stacionární Maxwellovy rovnice ve vodivém prostředí Elektrostatické pole přispívá k tvorbě magnetického pole: div(d(x)) = ρ(x) rot(e(x)) = 0 rot(h(x)) = j(x) + σ(x)e(x) div(b(x)) = 0

5 Maxwellovy rovnice Faradayův zákon elektromagnetické indukce Σ PSfrag B replacements v Časové změny magnetického pole indukují elektrické pole, které působí proti těmto změnám: E(x, t) dl(x) = B(x, t) n(x) ds(x). Σ(t) t Σ(t) Stokesova věta dává: B(x, t) rot(e(x, t)) = t pro x R 3.

6 Maxwellovy rovnice Motory a generátory, telefon zvuk S J S železná membrána železo PSfrag replacements S J cívka železo J PSfrag replacements S magnet J

7 Vířivé proudy Maxwellovy rovnice Při změně magnetického pole se ve vodivém prostředí indukují tzv. vířivé proudy: ( ) rot σ(x) j B(x, t) Ohm(x, t) =. t Elektrická pec, elektrická brzda J PSfrag replacements U PSfrag replacements ω vodivá deska S J U F S vodivá deska J B S

8 Maxwellovy rovnice Maxwellovy rovnice před Maxwellem (nízko frekvenční aproximace) B(x, t) () rot(e(x, t)) = t (2) rot(h(x, t)) = j(x, t) + σ(x)e(x, t) pro x R 3, t [0, ), (3) div(d(x, t)) = ρ(x, t) (4) div(b(x, t)) = 0 kde D(x, t) = ε 0 ε r (x)e(x, t), B(x, t) = µ 0 µ r (x)h(x, t). Maxwellův posuvný proud V nevodivých materiálech, σ(x) = 0, by ale neplatil zákon zachování náboje (5): ( ) 0 = div(rot(h(x, t))) = (2) div(j(x, t)) = (5) ρ(x, t) D(x, t) = (3) div 0, t t D(x, t) (2) rot(h(x, t)) = j(x, t) + + σ(x)e(x, t) pro x R 3, t [0, ). t

9 Maxwellovy rovnice Příklad posuvného proudu: nabíjení kondenzátoru Σ Γ j Σ PSfrag replacements D j Γ H(x) dl(x) = = Σ j(x) n(x) ds(x) D(x, t) Σ t n(x) ds(x)

10 B(x, t) rot(e(x, t)) = t rot(h(x, t)) = j(x, t) + div(d(x, t)) = ρ(x, t) div(b(x, t)) = 0 Maxwellovy rovnice D(x, t) t + σ(x)e(x, t) pro x R 3, t [0, ), kde D(x, t) = ε 0 ε r (x)e(x, t), B(x, t) = µ 0 µ r (x)h(x, t). Podmínky na rozhraní Necht na Σ je ε r (x) nebo µ r (x) v normálovém směru n Σ (x) nespojité, pak: (E (x, t) E 2 (x, t)) n Σ (x) = 0 (H (x, t) H 2 (x, t)) n Σ (x) = j Σ (x, t) pro x Σ, t [0, ). (D (x, t) D 2 (x, t)) n Σ (x) = ρ Σ (x, t) (B (x, t) B 2 (x, t)) n Σ (x) = 0

11 Matematické modelování elmg. polí Elmg. vlnění Osnova Maxwellovy rovnice Elektromagetické vlnění Modelová úloha Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

12 Elektromagnetické vlnění Vlnové rovnice v prostředí bez volných nábojů Necht ε 0 ε r (x) = ε, µ 0 µ r (x) = µ a σ(x) = σ pro x Ω R 3, pak: εµ 2 E(x, t) E(x, t) + σ t 2 t εµ 2 H(x, t) t 2 + σµ H(x, t) t j(x, t) + rot(rot(e(x, t))) = µ t + rot(rot(h(x, t))) = rot(j(x, t)) přičemž c = / ε 0 µ m s je rychlost světla ve vakuu. Okrajové podmínky pro x Ω, dokonalý vodič: E(x, t) n(x) = 0 pro x Ω, nedokonalý vodič: H(x, t) n(x) (E(x, t) n(x)) n(x) = 0 σ(x) pro x Ω + počáteční podmínky na E(x, 0), E(x,0) t, H(x, 0) a H(x,0) t pro x Ω.

13 Elektromagnetické vlnění Rovnice Helmholtzova typu Předpokládejme harmonické budící proudy i výsledná pole s kmitočtem ω > 0: j(x, t) = Re {ĵ(x)e iωt}, E(x, t) = Re {Ê(x)e iωt}, pak ( ) t iω( ) a rot je aplikována na ĵ a Ê: ( )) rot rot (Ê(x) k 2 Ê(x) = iωµĵ(x) pro x Ω kde k 2 = ω 2 εµ + iωσ ω 2 /c 2 je vlnové číslo. Rovinné vlny Pro ĵ(x) = 0 v R3 je řešením Helmholtzovy elektrické rovnice např.: Ê(x) = E 0 e ik x, pro x R 3 kde E 0 R 3 je amplituda, k R 3 je směr šíření, k E 0 a k 2 je vlnové číslo.

14 Elektromagnetické vlnění Silver Müllerova radiační podmínka Vnější radiační úloha vyžaduje splnění podmínky, že se vlny v nekonečnu neodrážejí: ( ) x lim x rot(ê(x)) + ikê(x) = 0. x x

15 Matematické modelování elmg. polí Elmg. vlnění Osnova Maxwellovy rovnice Elektromagetické vlnění Modelová úloha Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

16 Modelová úloha 3d geometrie û i û s Ω Ω + PSfrag replacements û i + û s

17 Matematický model Modelová úloha Uvažujme rovinou vlnu ve vakuu, předpokládejme, že vlnová délka λ := 2π κ = 2π c ω je srovnatelná se šířkou štěrbiny. Hledejme aproximaci û := Êt : R 3 C splňující okrajovou podmínku û = 0. Předpokládáme rovinnou incidenční vlnu û i (x) := û i 0 e ık x. Hledáme rozptýlenou vlnu û s tak, že celkové záření û(x) := û i (x) + û s (x) splňuje û s (x) κ 2 û s (x) = û i (x) + κ 2 û i (x) = 0, x R 3 \ Ω, ( û s (x) ) = û i (x), x Ω, x û s (x) x x ıκûs (x) 0, x, kde Ω := Ω Ω + R 3 je oblast vodivých kvádrů a kde jsme Silver Müllerovu radiační podmínku nahradili tzv. Sommerfeldovou radiační podmínkou.

18 Matematické modelování elmg. polí Elmg. vlnění Osnova Maxwellovy rovnice Elektromagetické vlnění Modelová úloha Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

19 Metoda potenciálů Hraniční integrální formulace Hledáme řešení pomocí poteciálů jednoduché vrstvy û s (x) := w (y) g(x, y) ds(y) + w + (y) g(x, y) ds(y), x R 3 \ Ω, Γ Γ + kde x y eıκ g(x, y) := 4π x y je fundamentální řešení Helmholtzovy rovnice, Γ := Ω, Γ + := Ω + a w : Γ C, w + : Γ + C jsou neznámé hustoty potenciálů. Vlastnosti potenciálu jednoduché vrstvy Pro po částech spojité w splňuje Γ w(y) g(x, y) dl(y) Helmholtzovu rovnici v R3 \ Ω a Sommerfeldovu radiační podmínku. Pro x Γ bod spojitosti w, v jehož okolí je Γ hladká, je potenciál jednoduché vrstvy spojitý.

20 Formulace Hraniční integrální formulace Pro x R 2, resp. x Γ r (až na rohy), zaved me operátory [V w](x) := w(y) g(x, y) ds(y), [V + w](x) := w(y) g(x, y) ds(y). Γ Γ + Zbývá splnit podmínku odrazu na Γ. Ta dává následující hraničně integrální formulaci { [V w ] (x) + [V + w + ] (x) = û i (x), x Γ, [V w ] (x) + [V + w + ] (x) = û i (x), x Γ +.

21 Matematické modelování elmg. polí Elmg. vlnění Osnova Maxwellovy rovnice Elektromagetické vlnění Modelová úloha Hraniční integrální formulace Metoda hraničních prvků

22 Metoda hraničních prvků Diskretizace hranic x x x PSfrag replacements

23 Diskretizace hranic Metoda hraničních prvků Diskretizujme Γ do disjunktních trojúhelníků m k= T k = Γ a m + k= T k + = Γ + a uvažujme po trojúhelnících konstantní bázové funkce f k a f k + tak, že f i (x) T j = δ ij pro i =,..., m, resp. f i +(x) T j + = δ ij pro i =,..., m +. Hledáme souřadnice neznámých hustot w R m a w + R m + w (x) := m k= w k f k (x), w + (x) := m + k= w + k f k +(x), přičemž hledané souřadnicové vektory označíme w := (w,..., w m ) a w + := (w +,..., w + m + ).

24 Kolokační metoda Metoda hraničních prvků Rovnice splníme pouze v těžištích trojúhelníkůx k T, k x k + T+. k To vede na soustavu m + m + lineárních rovnic o stejném počtu neznámých ( ) ( ) (ûi ) V-,- V -,+ w = V +,- V +,+ w + û i, + kde (V p,q ) i,j := T j q g(xi p, y) ds(y) a (û i p) i := û i (x i p) pro p, q {, +}.

25 Gaussova kvadratura na úsečce Metoda hraničních prvků V tabulce uvádíme Gaussovy kvadraturní body ξk N a příslušné váhy wn k N f(x) dx wk N f(ξk N ). 0 k= řád N ± ± 3 2 6/ body ξk N 2 ± ± 3+2 6/5 2 7 váhy w N k ± 5+2 0/7 6 2 ± 5+2 0/ pro aproximaci

26 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q regulární případ y 3 ŷ 2 η 2 x j q, T j q x j q,3 Sub. y 2 x 3 x 3 Sub. 2 x 0 x 2 0 x 2 x ŷ η x j q,2 y

27 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q regulární případ (pokrač.) Při sestavování matic (V p,q ) i,j, i j, použijeme ( ) Sub : ŷ := x j q,2 xj q,, xj q,3 xj q,2 y + x j q, }{{}, Sub 2: η := ŷ, η η 2 := ŷ 2 =:R j q a integrál se transformuje a aproximuje Gaussovou kvadraturou takto: e ıκ x i p y x ŷ (V p,q ) i,j = 4π x i p y Sub. e ıκ i p R j q ŷ x j q, ds(y) = 0 0 4π x i p R j q ŷ x j det R j Sub.2 q dŷ 2 dŷ = q, T j q Sub.2 = η 0 0 N α= β= e ıκ x i p η R j q (,η 2 ) x j q, 4π x i p η R j q (, η 2 ) x j det R j q dη 2 dη q, x e ıκ i p ξα N R j q (,ξβ N) xj q, N wα N wβ N ξα N 4π x i p ξα N R j q (, ξβ N) det R j q. xj q,

28 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q singulární případ Pro (V p,q ) i,j, i = j, je kolokační bod x i p těžištěm Tq j. Ten rozložíme na T j q,, T j q,2 a T j q,3 se singularitami v rohu x i p. x j q,3 PSfrag replacements T j q,3 x i p T j q,2 T j q, x j q,2 x j q,

29 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q singulární případ (pokrač.) Transformujeme singulární bod x i p na x := (0, 0) pomocí ( ) Sub 3: ŷ := x j q, xi p, x j q,2 xj q, y + x i p, Sub 4: ŷ := }{{} Sub 5: ŷ := =:R j q, ( ) x j q,3 xi p, x j q, xj q,3 y + x i p, }{{} =:R j q,3 ( ) x j q,2 xi p, x j q,3 xj q,2 y + x i p, }{{} =:R j q,2

30 Metoda hraničních prvků Výpočet prvků V p,q singulární případ (pokrač.) Následně singularity odstraníme substitucí 2 a aproximujeme Gaussovou kvadraturou e ıκ x i p y 3 (V p,q ) i,j = 4π x i p y ds(y) = e ıκ x i p y 4π x i p y Sub.3,4,5 ds(y) = T j q Sub.3,4,5 = Sub.2 = 3 k= 3 k= ŷ k= T j q,k x e ıκ i p R j q,k ŷ xi p 4π x i p R j q,k ŷ xi p k= 0 0 e ıκ η R j q,k (,η 2) N α= 4π R j q,k (, η 2) N wα N wβ N β= e ıκ ξn α R j q,k (,ξn β ) det R j q,k 4π R j q,k (, ξn β ) det R j q,k dη 2 dη det R j q,k Sub.2 dŷ 2 dŷ =, p = q a i = j.

31 Numerické řešení w +, w Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ := x x x PSfrag replacements 4 6 8

32 Numerické řešení Re û i Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ := x PSfrag replacements x

33 Numerické řešení Re û s Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ := x PSfrag replacements 0.8 x

34 Numerické řešení Re û Metoda hraničních prvků Volba Ω := ( 2.05, 0.05) (, ) ( 0., 0.) a Ω + := (0.05, 2.05) (, ) ( 0., 0.), h := 0.2 vede na m = m + := 282 trojúhelníků. Inc. vlna û i dopadá v rovině x 2 := 0 zleva pod úhlem 45 s λ := x PSfrag replacements x

Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika

Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl

Více

ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ

ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ELEKTROMAGNETICKÝCH POLÍ Dalibor Lukáš Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela

Více

pro Maxwellovy rovnice

pro Maxwellovy rovnice Rychlé výpočetní metody pro Maxwellovy rovnice VŠB TU Ostrava, 14. dubna 2005 D. Lukáš Katedra aplikované matematiky, Centrum pokročilých a inovačních technologií, VŠB Technická univerzita Ostrava email:

Více

Matematické modelování elektromagnetických

Matematické modelování elektromagnetických Matematické modelování elektromagnetických polí Dalibor Lukáš August 24, 2 Předmluva Budiž elektromagnetismus. A bylo světlo. (Richard P. Feynman) Cílem tohoto textu je uvést čtenáře do problematiky modelování

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Lineární algebra 9. přednáška: Ortogonalita Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23

Obsah PŘEDMLUVA 11 ÚVOD 13 1 Základní pojmy a zákony teorie elektromagnetického pole 23 Obsah PŘEDMLUVA... 11 ÚVOD... 13 0.1. Jak teoreticky řešíme elektrotechnické projekty...13 0.2. Dvojí význam pojmu pole...16 0.3. Elektromagnetické pole a technické projekty...20 1. Základní pojmy a zákony

Více

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy 2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice

Více

1 Vedení tepla stacionární úloha

1 Vedení tepla stacionární úloha 1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

24. Parciální diferenciální rovnice

24. Parciální diferenciální rovnice 24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)

Více

a diagnostika letadel

a diagnostika letadel Pythagorova věty, vyšší matematika a diagnostika letadel ŠKOMAM 28, 6. ledna Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB-TU Ostrava web: http://homel.vsb.cz/ luk76 email: dalibor.lukas@vsb.cz

Více

ELT1 - Přednáška č. 6

ELT1 - Přednáška č. 6 ELT1 - Přednáška č. 6 Elektrotechnická terminologie a odborné výrazy, měřicí jednotky a činitelé, které je ovlivňují. Rozdíl potenciálů, elektromotorická síla, napětí, el. napětí, proud, odpor, vodivost,

Více

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení 1 OHYB DESEK - MINDLINOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb desek - mindlinovské řešení Kinematika přemístění Posun w se po tloušťce desky mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x, y, z) = w(x, y) Normály ke střednicové

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Skalární a vektorový popis silového pole

Skalární a vektorový popis silového pole Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma

Více

TERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla;

TERMIKA II. Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla; TERMIKA II Šíření tepla vedením, prouděním a zářením; Stacionární vedení s dokonalou i nedokonalou izolací; Nestacionární vedení tepla; Obecná rovnice vedení tepla; Přestup a prostup tepla; 1 Šíření tepla

Více

Odhad stavu matematického modelu křižovatek

Odhad stavu matematického modelu křižovatek Odhad stavu matematického modelu křižovatek Miroslav Šimandl, Miroslav Flídr a Jindřich Duník Katedra kybernetiky & Výzkumné centrum Data-Algoritmy-Rozhodování Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita

Více

5.1 Modelování drátových antén v časové oblasti metodou momentů

5.1 Modelování drátových antén v časové oblasti metodou momentů 5.1 Modelování drátových antén v časové oblasti metodou momentů Základní teorie V kapitolách 4.1, 4.4 resp. 4.5 byly drátový dipól, mikropáskový dipól a flíčková anténa modelovány metodou momentů ve frekvenční

Více

LWS při heteroskedasticitě

LWS při heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy

Více

Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV. České vysoké učení technické v Praze ID Fakulta elektrotechnická

Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV. České vysoké učení technické v Praze ID Fakulta elektrotechnická Základní otázky ke zkoušce A2B17EPV Materiál z přednášky dne 10/5/2010 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2. Coulombův zákon, orientace vektorů

Více

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx

Více

KABELOVÉ VLASTNOSTI BIOLOGICKÝCH VODIČŮ. Helena Uhrová

KABELOVÉ VLASTNOSTI BIOLOGICKÝCH VODIČŮ. Helena Uhrová KABELOVÉ VLASTNOSTI BIOLOGICKÝCH VODIČŮ Helena Uhrová 19. století Lord Kelvin 1870 - Hermann namodelování elektrického napětí na nervovém vlákně 20. stol - Hermann a Cremer nezávisle na sobě rozpracovali

Více

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

V mnoha běžných případech v optickém oboru je zanedbáváno silové působení magnetické složky elektromagnetického pole na náboje v látce str. 3 6.

V mnoha běžných případech v optickém oboru je zanedbáváno silové působení magnetické složky elektromagnetického pole na náboje v látce str. 3 6. Nekvantový popis interakce světla s pasivní látkou Zcela nekvantová fyzika nemůže interakci elektromagnetického záření s látkou popsat, např. atom jako soustava kladných a záporných nábojů by vůbec nebyl

Více

Numerická stabilita algoritmů

Numerická stabilita algoritmů Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá

Více

elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016

elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Metoda sítí v 1D. Myšlenka náhrada derivací diferenčními podíly Přibližné řešení okrajových úloh Aproximace vlastních čísel Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys:

Více

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Vlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy

Vlny v plazmatu. Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Vlny v plazmatu Narušení rovnováhy, perturbace se šíří prostorem => vlny Vlna musí být řešením příslušných rovnic plazmatu => módy Jakákoli perturbace A( x,t může být reprezentována jako kombinace rovinných

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

TELMG Modul 03: Maxwellovy rovnice. I. a II. MR: aplikací plošného integrálu a Stokesovy věty integrálního počtu

TELMG Modul 03: Maxwellovy rovnice. I. a II. MR: aplikací plošného integrálu a Stokesovy věty integrálního počtu Difereniální a integrální tvar Maxwellovýh rovni kot James Clerk Maxwell (1831-1879) Integrální tvar Difereniální tvar d I Hdl = I + d dt D D rot H = j+ d II Edl = d dt B B rot E = III D d = Q div D =

Více

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je: Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat

Více

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.

Laserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky. Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program

Více

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky

Více

Úvod do laserové techniky

Úvod do laserové techniky Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření I. část Michal Němec Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze michal.nemec@fjfi.cvut.cz Kontakty Ing. Michal Němec,

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor

Více

Přehled veličin elektrických obvodů

Přehled veličin elektrických obvodů Přehled veličin elektrických obvodů Ing. Martin Černík, Ph.D Projekt ESF CZ.1.7/2.2./28.5 Modernizace didaktických metod a inovace. Elektrický náboj - základní vlastnost některých elementárních částic

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky 7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Úvod do laserové techniky

Úvod do laserové techniky Úvod do laserové techniky Světlo jako elektromagnetické záření I. část Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze jan.sulc@fjfi.cvut.cz 5. října 2016 Kontakty Ing. Jan

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Stochastické diferenciální rovnice

Stochastické diferenciální rovnice KDM MFF UK, Praha Aplikace matematiky pro učitele 15.11.2011 Kermack-McKendrickův model Kermack-McKendrickův model s vakcinací Model pro nemoc s rychlým šířením a krátkou dobou léčby. Příkladem takovéto

Více

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla

Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března

Více

Matematická analýza 4

Matematická analýza 4 Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme

Více

(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2)

(Následující odstavce jsou zde uvedeny jen pro zájemce.) , sin2π, (2) Studium difrakčních jevů TEORIE doplněk: Odvození výrazů pro difrakční maxima (popř. minima) na štěrbině, dvojštěrbině a mřížce jsou zpravidla uvedena na středoškolské úrovni, což je založeno na vhodném

Více