Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Transkript

1 Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad Celkem Body Ke každému příkladu uved te podrobný, přiměřeně okomentovaný postup Řešení podtrhněte Odevzdávejte také pomocné výpočty příklad částečně spočítaný je lepší než nespočítaný Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Zadání Předpisem f(x) = x je dána reálná funkce reálné proměnné x Určete maximální definiční obor funkce f, obor hodnot a derivaci funkce Určete tečny funkce v bodech x, = ± 3 Načrtněte graf 4 funkce a obě tečny Vypočtěte integrál ln( + x) dx 3 Rozhodněte, pro jaké hodnoty parametru φ [, π) je matice cos(φ) sin(φ) M(φ) = sin(φ) cos(φ) φ regulární V těchto případech nalezněte její inverzi 4 Množina zbytkových tříd Z 7 = {,,, 3, 4, 5, 6} spolu s operacemi sčítání a násobení modulo sedm tvoří algebraické těleso (tedy strukturu analogickou např racionálním, reálným, nebo komplexním číslům) Nalezněte inverzní prvek k prvku 5, tj hodnotu prvku 5 v tomto tělese 5 Přímka p je dána rovnicí 7x y + 5 = Určete obecnou rovnici i parametrické rovnice přímky, která je kolmá k přímce p a prochází bodem B = [6, 7] TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Studentská 4/ 46 7 Liberec tel: kmdfptulcz wwwfptulcz IČ: DIČ: CZ

2 Řešení Příklad ( bodů celkem) Funkce f(x) = x je definována když x, tedy x [, ] = D(f) Funkce je na intervalech [, ] a [, ] monotónní, tedy H(f) = [, ] ( Derivace neexistuje v krajních bodech a uprostřed D(f) Je dána jen na intervalech (, ) a (, ) V prvním z nich je f(x) = x = ( x) a tedy f (x) = ( ( x) ) = na druhém je f(x) = + x = ( + x) f (x) = ( ( + x) ) = ( x) ( ) = x a tedy ( + x) = + x,( ( Tečny hledáme ve směrnicovém tvaru y = k j x + q j, j =, Směrnice tečny je rovna derivaci v bodech x, = ± 3, tedy k 4 = f ( 3) =, k 4 = f ( 3) = Tečna t 4 j, k funkci f(x) v bodě x j nabývá v tomto bodě stejnou hodnotu jako funkce, tedy y, = f(x, ) = f(± 3) = Dosazením do rovnice tečny dostaneme v jednotlivých případech: 4 t : = y = k x + q = ( ) ( 3 4 ) + q, tedy q = 5 4, t : = y = k x + q = () ( 3 4 ) + q, tedy q = 5 4 Rovnice tečen tedy (po drobné úpravě) jsou Graf funkce na obrázku (4 4x + 4y 5 = a 4x 4y + 5 = Příklad ( bodů celkem) Integrujeme např pomocí metody per-partes ln( + x) dx = ln( + x) dx, (4 označme u = a v = ln( + x), tj u =, u = x, v = ln( + x), v = /( + x), (4 pak ln( + x) dx = x ln( + x) x dx (4 + x TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Studentská 4/ 46 7 Liberec tel: kmdfptulcz wwwfptulcz IČ: DIČ: CZ

3 5 f(x)=(- x ) / 4x+4y-5= 4x-4y+5= Obrázek : Graf funkce f (4 a její tečny (3 v bodech x = ± 3 4 z příkladu Protože x + x dx = dx = x ln( + x) + Const,(4 + x dostáváme ln( + x) dx = x ln( + x) x + ln( + x) + Const (4 = ( + x) ln( + x) x + Const Příklad 3 ( bodů celkem) Pro φ = je matice zjevně singulární (4 TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Studentská 4/ 46 7 Liberec tel: kmdfptulcz wwwfptulcz IČ: DIČ: CZ

4 Varianta Dále můžeme postupovat např Gaußovou eliminací V intervalu (, π) je sin(φ) = jen pro φ = π, pak ( ) M(π) = a zřejmě M(π) = (4 π π Pro φ π dostaneme (označme c = cos(φ) a s = sin(φ); pozn že s + c = ) [M(φ) I] = c c s s c s c c s c s φ φ φ c c φ c s s s c φ matice M je tedy určitě regulární i pro všechna φ (, π) (π, π) (6 bodů) c c c s s c = s c φ φ Tedy ( ) M(φ) = cos(φ) sin(φ) sin(φ) cos(φ) φ (6 bodů) Varianta Protože matice je blokově diagonální, její inverzi dostaneme po blocích (8 bodů), tedy [ ] ( ) cos(φ) sin(φ) M(φ) = sin(φ) cos(φ) φ Matice [ ] cos(φ) sin(φ) G(φ) = sin(φ) cos(φ) je maticí rotace / ortogonální maticí, takže její inverzi dostanu jako rotaci o opačný úhel / její transpozici (8 bodů), tedy ( ) [ ] [ ] cos( φ) sin( φ) cos(φ) sin(φ) ( T G(φ) = G( φ) = = = G(φ)) sin( φ) cos( φ) sin(φ) cos(φ) 4 TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Studentská 4/ 46 7 Liberec tel: kmdfptulcz wwwfptulcz IČ: DIČ: CZ

5 ( bodů celkem) Příklad 4 Existuje několik možných přístupů: ) vyzkoušet všechny dostupné prvky, ) vypsat si tabulku násobení modulo sedm a příslušný prvek nalézt v tabulce (což je defacto stejný postup jako v bodě ), jen nepatrně náročnější), 3) prvek dopočítat: Označme neznámou hodnotu hledaného prvku x = 5 Řešíme rovnici 5 7 x =, kde 7 značí násobení modulo sedm, tedy tedy 5 x (mod7), (3 (3 (3 5 x + 7 k = Protože 7 a 5 jsou v takovém případě vždy nesoudělná čísla, řešení existuje a nalezneme ho Euclidovým algoritmem: 7 5 (4 k 5 x 3 7 Tedy platí ( ) =, 5 ( 7) =, = 5(3 7l) + 7(5l ) =, (4 tedy tedy x {3 7l, kde l Z} Z 7 (3 x = 3 Příklad 5 ( bodů celkem) Přímka p : 7x y + 5 = má normálový vektor n p = (7, ) Hledaná přímka q na ní má být kolmá, musí tedy mít normálový vektor n q = (, 7) kolmý na n p Přímku q tedy hledáme ve tvaru x + 7y + c = TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Studentská 4/ 46 7 Liberec tel: kmdfptulcz wwwfptulcz IČ: DIČ: CZ

6 Pímka q musí procházet bodem B = [6, 7], tedy musí platit tj obecná rovnice hledané přímky je Varianta c =, tedy c = 7, q : x + 7y + 7 = Parametrický popis obecně dostaneme řešením této rovnice Jednu proměnnou zvoĺıme jako parametr y = τ, τ R a druhou dopočítáme Dostáváme tak parametrický popis neboli x + 7τ + 7 = x = 7τ 7 x = 7 τ 7 x = 7 τ 7, y = τ, [x, y] = K τ + Q, kde K = [ 7/, ], Q = [ 7/, ], τ R Při použití vhodné substituce, např τ = σ +, x = 7 7 (σ + ) y = σ +, = 7σ, neboli se zbavíme zlomků Varianta [x, y] = K σ + Q, kde K = [ 7, ], Q = [, ], σ R, Protože víme, že kolmá přímka q prochází bodem B a její směrový vektor je s q = n p = (7, ), můžeme také rovnou psát [x, y] = s q ω + B = [7ω + 6, ω 7], ω R 6 TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Studentská 4/ 46 7 Liberec tel: kmdfptulcz wwwfptulcz IČ: DIČ: CZ