Kvantová mechanika (UFY100)
|
|
- Vladimír Svoboda
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Cvičení k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Letní semestr 2004/2005, Úterý 12:25-13:55 v M4 Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Následující text obsahuje stručný přehled jednotlivých cvičení a zadání příkladů. Je průběžně upravovan vzhledem k tomu, co se na cvičení upravdu udělalo resp. je v plánu udělat. Jeho přečtení (včetně propočítání příkladů) ale jen těžko nahradí osobní účast na cvičeních! Jednotlivé příklady jsou vybírány z následujících materiálů: Pišút J., Černý V., Prešnajder P.: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky. ALFA Bratislava-SNTL Praha 1985 Skála L.:Úvod do kvantové mechaniky: Řešené příklady Bílek O., Kapsa V.: Kvantová mechanika pro učitele (předběžná verze) Budu vděčná za jakékoli připomínky směřující k vylepšení tohoto textu nebo přímo cvičení. Zdeňka Broklová (Zdenka.Broklova@matfyz.cz) 1
2 1. cvičení - 22/2 Spoléhat na úsudek se nemusí v mikrosvětě vyplatit: 1. Nejprve odhadněte: Kolik atomů obsahuje 1 g železa (cca špendlík)? Pokud bychom ho rozřezali na krychličky, ve které by byl vždy jeden atom, a tyto krychličky narovnali za sebe do řady, dosáhne tato řada kolem třídy, Prahy, ČR, světa, k Měsíci, ke Slunci, kolem celé Galaxie,...? 2. Proveďte výpočet (M R = 55 g mol 1, ρ = 7,8 g cm 3 ) Doplňte tabulku m v p T E λ těleso 1 kg 100 km/h elektron 1 ev proton 1 ev foton 500 nm Trocha teorie - operace s komplexními čísly, komplexní funkce, operátor, součin operátorů, asociativita a komutativita operátorů, komutátor, rovnost operátorů, lineární operátor Vynásobte: (Â B)(Â + B) Odvoďte vzorečky (z definice komutátoru): [Â, Â] = [ B, Â] = [Â + B, Ĉ] = [Â B, Ĉ] = [Â, BĈ] = Které z následujících operátorů jsou lineární: Âf = cf, kde c C; Bf = f 2 ; Ĉf = f (komplexní sdružení); Df = df ; dx Êf = d2 f ; dx F 2 f = 1 ; f Spočtěte komutátory: [x, d ] = dx [ x, p] = (tzv. kanonická komutační relace) DÚ: Spočtěte: [Â B, Ĉ D], [ x, p n ], [ x n, p], [ŷ, p x ] K = (x d dx )2, L = ( d dx x)2, platí K = L? 2
3 2. cvičení - 1/3 Vztahy pro Kroneckerův a Levi-Civitův symbol Definice: δ ij = 1 i = j, jinak δ ij = 0 Platí: δ ij = δ ji, δ ii = 3, δ ij δ jk = δ ik Definice: ɛ 123 = ɛ 231 = ɛ 312 = 1, ɛ 132 = ɛ 321 = ɛ 213 = 1, v ostatních případech ɛ ijk = 0 Platí: ɛ ijk = ɛ jik, ɛ iik = 0, ɛ ijk ɛ ijk = 6, ɛ ijk ɛ ijl = 2δ kl, ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl Kanonické komutační relace [ x, p x ] =, [ŷ, p x ] =, [ x i, p j ] =, [ x i, x j ] =, [ p i, p j ] = Komutační relace momentu hybnosti L = x p Li = ɛ ijk x j p k [ x i, L j ] = [ p i, L j ] = [ L 1, L 2 ] resp. [ L i, L j ] = [ L 1, L 2 ] resp. [ L i, L 2 ] = Vlnová funkce = popis stavu, vlastnosti, skalární součin fcí, normování, skalární součin Které z následujících funkcí mohou být vlnové funkce na intervalu (, + ) : ψ 1 = Ax, ψ 2 = Ax 2, ψ 3 = Ae x, ψ 4 = Ae x, ψ 5 = Ae x2, ψ 6 = A cos x, ψ 7 = A sin x, ψ 8 = A(a 2 x 2 ) pro x < a a jinak ψ 8 = 0 Pro vlnové funkce najděte normalizační konstantu A a hustotu pravděpodobnosti. DÚ: Vypočtěte komutátory: [ŷ p y, ŷ], [ x p, x + p], [ x, ], [ p x, ], [ x, T ], [ x, V ( x )], [ p, T ], [ p, V ( x )] [ x, L 1 ], [ŷ, L 2 ], [ p x, L 1 ], [ p y, L 1 ], [ L 1, L 2 ] 3
4 Příklady na procvičení (*) Odvoďte vztah: [ x, f( B)] = f x ( B). Vypočtěte [, f( B)]. Vypočtěte komutátory: [ŷ p y, ŷ], [ x p, x + p], [ x, ], [ p x, ], [ x, T ], [ x, V ( x )], [ p, T ], [ p, V ( x )] [ x, L 1 ], [ŷ, L 2 ], [ p x, L 1 ], [ p y, L 1 ], [ L 1, L 2 ] Najděte operátor hermitovsky sdružený k operátoru dn dx n, L a. Dokažte, že operátory násobení reálnou a komplexní funkcí f jsou nebo nejsou hermitovské. (*) Dokažte: exp( i a p x)f(x) = f(x a), kde exp(â) chápeme v rozvoji do řady jako: exp  = 1 n=0 n! (Â)n (*) Jaké vlastnosti musí splňovat vlnové funkce ϕ, ψ, aby operátor p = i d dx splňoval podmínku hermitovosti i na konečném intervalu (a, b)? 4
5 3. cvičení - 8/3 DÚ - řešení: [ŷ p y, ŷ] = i ŷ, [ x p, x+ p] = 2i, [ x, ] = 2 d dx, [ p x, ] = 0, [ x, T ] = i m p, [ x, V ( x )] = 0, [ p, T ] = 0, [ p, V ( x )] = i V ( x ) [ x, L 1 ] = 0, [ŷ, L 2 ] = 0, [ p x, L 1 ] = 0, [ p y, L 1 ] = i p 3, [ L 1, L 2 ] = i L 3 [ L 1, L 2 ] = 0, [ L i, L 2 ] = 0 Skalární součin - vlastnosti, možnosti zápisu Hermitovské sdružení a hermitovský operátor Najděte hermitovsky sdružené operátory k operátorům: x, Â = d dx, p x Dokažte: (Â B) = B Â Vlastní funkce a číslo Nalezněte vlastní funkce operátoru p a T. Dokažte, že vlastní hodnoty hermitovského operátoru jsou reálné. Vlastní funkce příslušející různým vlastním hodnotám téhož operátoru jsou ortogonální. Degenerované a degenerované stavy. Postup, jak najít ortonormální systém vlnových funkcí. Princip superpozice ϕ, ψ jsou normované vlnové funkce, jaké vlastnosti musí splňovat koeficienty c 1, c 2 C, aby c 1 ϕ + c 2 ψ byla normovaná vlnová funkce. Jaký je jejich význam? Vývoj stavu - základní rovnice, případ hamiltoniánu nezávislého na čase, stacionární stavy Střední hodnota operátoru Najděte střední hodnoty operátorů x, x 2, p, p 2 a ověřte relace neurčitosti ve stavech popsaných vlnovými funkcemi (A je normalizační konstanta, a, L jsou pevně daná reálná čísla): a) ψ = Ae x2 b) ψ = Ax(L x) pro 0 < x < L a jinak ψ = 0 5
6 Základní myšlenky QM - doplňte: Stav částice v okamžiku t je v kvantové mechanice... popsán... (s proměnnými...), která musí být... a mít všechny.... Z principu superpozice plyne, že prostor stavů je z matematického hlediska.... Vlnové funkce, které se liší pouze... konstantou popisují... stav(y) částice. Ortonormální funkce jsou... a na sebe navzájem.... Hermitovské operátory mají pouze... vlastní čísla. Dvě vlastní funkce, kterým přísluší... vlastní čísla, jsou navzájem ortogonální. Každé fyzikální veličině je přiřazen... a... operátor. Množina vlastních hodnot tohoto operátoru odpovídá množině... v experimentu. Skalární součin (ψ, F ψ) odpovídá... veličiny F ve... určenou z dostatečného množství opakování daného experimentu (za předpokladu, že ψ je... ). Množina všech vlastních funkcí ψ n tvoří... stavového prostoru. Pokud je systém popsán vlastní funkcí operátoru F, potom má v tomto stavu... hodnotu rovnou..., což znamená, že.... Ke komutujícím operátorům je možné nalézt jejich... systém vlastních funkcí. Pokud dva operátory nekomutují, potom... možné obě veličiny... změřit. Vývoj systému je popsán... Pokud hamiltonián systému nezávisí na čase jsou jediné možné hodnoty energie rovny... číslům... (tzv.... Schrödingerova rovnice). Ve stacionárních stavech jsou... nezávislé na čase. Nestacionární stavy získáme.... Rozhodněte o pravdivosti a případně opravte: Fyzikálně je vlnová funkce rovna hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v daném místě a čase. Stav částice, který je dán superpozicí dvou jiných stavů, získáme sečtením obou hustot pravděpodobností s příslušnými koeficienty. K jednomu vlastnímu číslu existuje vždy právě jedna vlastní funkce. Není možné současně naměřit všechny složky hybnosti částice. Řešení stacionární Schrödingerovi rovnice nezávisí na čase. 6
7 4. cvičení - 15/ cvičení - 22/3 Výsledky posledního příkladu z minulého cvičení: a) A = 4 1, < x >= 0, < x2 >= a2 πa 2 2, < p >= 0, < p2 >= 2 (2a 2 ) relace neurčitosti: (< x 2 > < x > 2 )(< p 2 > < p > 2 ) = 2 4 ( 2 )2 je splněna dokonce s rovností 30 b) A = L, < x >= L 5 2, < x2 >= 2L2 7, < p >= 0, < p2 >= 10 2 L 2 (< x 2 > < x > 2 )(< p 2 > < p > 2 ) = ( 2 )2 je splněna Nekonečná potenciálová jáma Máme potenciál, který je nulový v intervalu (0, L) a nekonečný (V ) mimo něj (uvažujeme jednorozněrnou úlohu). 1. Nakreslete si obrázek celé situace. Kde se částice může pohybovat? 2. Napište hamiltonián částice v jámě. Vyřešte stacionární Schrödingerovu rovnici pro tuto částici 3. Jak zní okrajové podmínky a jak se promítnou do možných hodnot energie této částice? Jaké hodnoty může nabývat kvantové číslo n? 3. Napište hodnotu energie a stacionární vlnovou funkci pro obecné n a pro hodnoty n = 1, 2, 3, 10. Pro uvedené hodnoty nakreslete amplituty a hustoty pravděpodobnosti. Nezapomeňte funkce normovat! Co na základě těchto obrázků lze říci o výskytu částice? 4. Vyjmenujte některé zajímavé vlastnosti energetických hladin a stacionárních vlnových funkcí. 5. Dokažte, že stacionární vlnové funkce jsou navzájem ortogonální. Na základě obrázků nejprve odhadněte a potom spočítejte střední hodnoty x, x 2, p, p 2 ve stacionárních stavech. 6. Pro klasické tělísko je n velmi velké. Jak odpovídají předchozí výsledky klasickému pohledu? 7. Které vlastnosti řešení stacionární Schrödingerovy rovnice, jimiž jsme se zabývali, platí obecně a které budou specifické pro tento problém? 8. Napište obecné řešení stacionární Schrödingerovy rovnice. Vysvětlete význam koeficientů a napište střední hodnotu energie v tomto obecném stavu. 9. Napište vlnovou funkci částice v této jámě, která je v takovém stavu, že pravděpodobnost naměření energie E 1 je rovna 50%, E 2 20% a E 3 30%. 10. Mějme obecný stav popsaný v čase t=0 vlnovou funkcí ψ = Ax(L x). Jaká je pravděpodobnost, že v tomto stavu naměříme energii E 1, E 2, E 3? 7
8 Rozložte tento obecný stav na součet stacionárních stavů. Jaká je střední hodnota energie v tomto stavu? 11. Diskutujte, jak by změnily předchozí výsledky pro případ nekonečně hluboké jámy symetrické kolem počátku (tj. V = 0 pro x < l/2, jinak V ). 12. Uvažujme částici v krabici - tj. trojrozměrné nekonečné jámě. Proveďte separaci proměnných v nestacionární Schrödingerově rovnici. Napište stacionární stavy a energie. Kdy mohou být energetické hladiny degenerované? 13. Napište obecné řešení nestacionární Schrödingerovy rovnice. 14. Napište stav, který je v t=0 superpozicí základního a prvního excitovaného stavu (oba jsou zastoupeny stejnou měrou). Jakou vlnovou funkcí bude systém popsán v čase t? Zůstává vlnová funkce normovaná? Jaká je pravděpodobnost naměření E 1 v časech t = 0 s, 1 s, 2 s,... Určete časový průběh střední hodnoty souřednice x v tomto stavu. Jak se výsledek liší od výsledku, který bychom získali ze stacionárního počátečního stavu. Své tvrzení podpořte výpočtem. 6. cvičení - 29/3 Dodatek k potenciálové jámě Co se děje při l? Diskutujte případ částice v krabici s periodickými okrajovými podmínkami. Mějme 2D potenciálovou jámu, ukažte, že při a = b/2 = L dojde k náhodné degeneraci energie stavů n 1 = 1, n 2 = 4 a n 1 = 2, n 2 = 2. pozn.: E = 2 8m ( n2 1 a + n2 2 2 b ). 2 Axiom o měření příklady 1, 2 a 3 str. 17 sbírka L. Skály 8
9 7. cvičení - 5/4 Potenciálový skok Mějme (jednorozměrný) potenciál ve V = 0 pro x < 0 a V = V 0 > 0 pro x > 0. Na tento potenciálový skok nalétávají ve směru kladné osy x částice s energii E a hmotností m. Jaká relativní část častic se od potenciálového schodu odrazí, a jaká projde? (spočítejte obecně pro E > V 0 a potom dosaďte E = 4/3V ) Odrazí se nějaké částice, pokud by na schod nalétávaly z opačné strany? Potenciálová bariéra, tunelový jev Určete koeficienty odrazu R a průchodu T částice pravoúhlou potenciálovou bariérou (V = V 0 > 0 pro 0 x a, jinak V = 0). Řešte pro E castice > V 0 i 0 < E castice < V 0. Nakreslete grafy závislosti R a T na energii částice resp. šířce bariéry. Spočítejte pravděpodobnost α rozpadu, pokud by částice α s energii E = 5 MeV musela pro opuštění jádra překonat potenciálovou bariéru o výšce 15 MeV a šířce 0,5 fm. Spočítejte pravděpodobnost, že míč o hmotnosti 1 kg a rychlosti 1 m/s projde centimetrovou (metrovou) zdí, na jejíž přeskočení by potřeboval (z klidu) energii 1 J. Potenciálová bariéra, tunelový jev - výsledky Pro E castice > V 0 : R = (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa 4k 2 κ 2 + (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa T = 4k 2 κ 2 4k 2 κ 2 + (k 2 κ 2 ) 2 sin 2 κa Pro 0 < E castice < V 0 : (k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 βa R = 4k 2 β 2 + (k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 βa T = 4k 2 β 2 4k 2 β 2 + (k 2 + β 2 ) 2 sinh 2 βa, při βa 1 T 16k2 β 2 k 2 + β 2 e 2βa 9
10 8. cvičení - 11/4 Dvojšterbinový experiment (Feynmann R. a kol. (2000), Přednášky z fyziky s řešenými příklady 1, Fragment, Havlíčkův Brod - kapitoly 37, 38) Relace neurčitosti Ukažte, že Brownův pohyb lze popisovat klasicky (tj. lze zanedbat důsledky relací neurčitosti). Parametry pohybující se částice m = kg, průměr d 1 µm, polohu lze určit s přesností asi x = d/100, v = 10 6 m/s. Ukažte, že pokud změříme polohu elektronu v základním stavu atomu vodíku, tak téměř jistě tím změníme jeho stav. Tj. je nemožné měřit trajektorii tohoto elektronu. Do popisu atomu vodíku je nutné zahrnout kvantové jevy. Koherentní stavy - referátek Lineární harmonický oscilátor (LHO) shrnutí - referátek Určete amplitudu nulových kmitů závažíčka na pružince (m = 1g, ω = 1 Hz, g. = 10 ms 2 ). Určete vzdálenost energetických hladin a stupeň excitace při výchylce 1 cm. Pro LHO v základním stavu - napište vlnovou funkci, nakreslete hustotu pravděpodobnosti, vypočtěte pravděpodobnost nalezení částice mimo klasickou oblast. Dvě částice na sebe navzájem působí pružnou silou a pohybují se volně podél osy x (uvažujeme jen jednorozměrný pohyb). Napište hamiltonián soustavy ve vhodné souřadné soustavě. Jak budou vypadat stacionární řešení a energie? Z relací neurčitosti určete spodní mez k energii LHO. (nápověda: Z ( a b) 2 0 plyne a + b 2 ab.) 10
11 Testík 1.) (3b) Vysvětlete, uveďte příklad, použití, vlastnosti,...: nedegenerovaný stav - vlastní číslo operátoru - princip superpozice - nekomutující operátory - střední hodnota fyzikální veličiny - hermitovský operátor 2a.) (1b) U dvou stejných systémů naměřením nezávisle různou energii. Znamená to, že systémy byli před měřením v různých stavech? Proč? 2b.) (1b) Mám dva zcela stejné systémy ve stejném stavu. V obou nezávisle změřím energii. Mohou se změřené hodnoty se lišit? Proč? 3.) (1+2+2b) ψ 0, ψ 1 a ψ 2 jsou stacionární stavy harmonického oscilátoru, kterým odpovídají energie E 0, E 1 a E 2. a) Napište vlnovou funkci stavu, ve kterém je 70% pravděpodobnost naměření hodnoty energie E 0 a 30% pravděpodobnost naměření E 2. b) Jaké hodnoty energie a s jakou pravděpodobností mohu naměřit ve stavu ψ = 0, 71ψ 1 + 0, 71ψ 2. Jaká je střední hodnota energie? c) Napište, jak bude tato funkce vypadat v čase t = 3 s. Jaká bude střední hodnota energie v tomto čase? 10. cvičení - 26/4 Pro jaké potenciály je moment hybnosti, resp. průmět momentu hybnosti do daného směru integrálem pohybu? Atom vodíku Stacionární stavy atomu vodíku jako společné vlastní funkce Ĥ, L 2 a L z. Jaké hodnoty mohou nabývat kvantová čísla l, m při pevně zvoleném n? Jaký je stupeň degenerace energetické hladiny. (Konkrétně rozepište pro n = 3). Jaká energie je třeba k utržení elektronu z atomu vodíku? Jaká je vlnová délka fotonu, který může excitovat vodík v základním stavu do prvního excitovaného stavu? Jakému přechodu odpovídá světlo vodíkové výbojky o vlnové délce 656 nm. Hustoty pravděpodobnosti nalezení částice v jednotlivých orbitalech Pro základní stav atomu vodíku spočítejte: < r >, < r 2 > a nejpravděpodobnější vzdálenost elektronu od jádra. Jaká je pravděpodobnost nalezení částice ve vzdálenosti větší než 3a? Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu v jádře (r jadro m)? (pozn. ψ 100 = Ne r/a ) 11
12 Maticová reprezentace momentu hybnosti Pracujme se systémem s konstantním celkovým momentem hybnosti l = 1. Jaké jsou vlastní čísla a vlastní stavy operátorů hybnosti? Jakými kvantovými čísly je označujeme? Značení pro stavy: m = 1 ψ 1 = ( π ) sin θ eiϕ 1 0 1, 1 > 0 m = 0 ψ 0 = ( π ) sin θ 0 1 1, 0 > 0 m = 1 ψ 1 = ( π ) sin θ e iϕ 0 0 1, 1 > 1 Značení pro operátory: L x = L y = 0 i 0 2 i 0 i i 0 L z = Ověřte funkčnost tohoto značení na následujících vztazích: L 2 x + L 2 y + L 2 z = L 2, [L x, L y ] = i L z, [L x, L 2 ] = 0atd., L z l, m >= m l, m >, L 2 l, m >= 2 l(l + 1) l, m > L 2 = Vytvořte podobný formalismus pro l = 1/2 a také ho ověřte na předchozích vztazích. pozn: složky ( ) ( ) ( i 1 0 L jsou úměrné tzv. Pauliho maticím 1 0 i ) Jak spočítám průmět momentu hybnosti do směru n = (nx, n y, n z ) = ( cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ) sin(θ), cos(θ) )? Napište operátor průmětu L do tohoto směru a spočítejte jeho vlastní čísla a stavy. 12
13 11. a 12. cvičení - 3/5 + 10/5 Spin Vlastnosti Pauliho matic - přímým výpočtem ukažte: [σ i, σ j ] = 2iɛ ijk σ k σ i σ j = δ ij + iɛ ijk σ k Pauliho rovnice (její matematická struktura), spin-orbitální interakce Částice v elektromagnetickém poli Dokažte, že pro homogenní elektrické a magnetické pole lze potenciály vyjádřit jako: φ = r E a A = 1/2 r B. Ukažte, že ve slabém homogenním poli lze hamiltonián bezspinové nabité částice psát jako H = 2m 1 p 2 2m q B L. Jaký je význam jednotlivých členů? Jak interakce s magnetickým polem přispívá k energii? (pozn.: potenciál nabité částice v elmag. poli: H = 1 ( p q A ) 2 qφ ) 2m Jak bude vypadat řešení volné částice ve sférických souřednicích. Jak se projeví zapnutí homogenního magnetického pole na energii? Stern-Gerlachův experiment - několik různě natočených SG za sebou (SG jako filtr) Zeemanův jev Napište hamiltonián elektronu v atomu vodíku, který je v homogenním magnetickém poli. Jak magnetické pole změnilo symetrii problému? V jakém případě bude člen odpovídající interakci spinu a vnějšího magnetického pole diagonální? Proč je důležité, aby byl tento člen diagonální? Jak velké budou příspěvky k energiím hladin atomu, který není v magnetickém poli? Jak se změní degenerace hladin? 13
Základy kvantové teorie (OFY042)
Příklady na cvičení k přednášce Základy kvantové teorie (OFY042) Zimní semestr 2007/2008, pondělí 2:20-3:50 v M3 Určeno pro 3. ročník Příklady jsou vybírány z různých učebnic a sbírek příkladů. Program
VíceÚlohy k přednášce Kvantová mechanika (UFY100)
Úlohy k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Poslední úpravy: 12. března 2014 Následující text obsahuje stručná zadání úloh k přednášce, z části řešená na
Více6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
Vícef x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),
Cvičení 1 Definice δ ij, ε ijk, Einsteinovo sumační pravidlo, δ ii, ε ijk ε lmk. Cvičení 2 Štoll, Tolar: D3.55, D3.63 Cvičení 3 Zopakujte si větu o derivovování složené funkce více proměnných (chain rule).
VíceOctober 1, Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro. I(n, a, b) :=
Kvantová fyzika cvičení s návody a výsledky October 1, 007 Návody zde uvedené jsou záměrně uváděny ve stručné formě, jako nápověda a vodítko, jak při řešení úloh postupovat; nepředstavují a nenahrazují
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
VíceOperátory a maticové elementy
Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VíceDiskutujte, jak široký bude pás spojený s fosforescencí versus fluorescencí. Udělejte odhad v cm -1.
S použitím modelu volného elektronu (=částice v krabici) spočtěte vlnovou délku a vlnočet nejdlouhovlnějšího elektronového přechodu u molekuly dekapentaenu a oktatetraenu. Diskutujte polohu absorpčního
VícePLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE
KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceAtom vodíku. Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně. Kulová symetrie. Potenciální energie mezi p + e. e =
Atom vodíku Nejjednodušší soustava: p + e Řešitelná exaktně Kulová symetrie Potenciální energie mezi p + e V 2 e = 4πε r 0 1 Polární souřadnice využití kulové symetrie atomu Ψ(x,y,z) Ψ(r,θ, φ) x =? y=?
Více6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207
6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.
VíceElementární částice. 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony. 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model
Elementární částice 1. Leptony 2. Baryony 3. Bosony 4. Kvarkový model 5. Slabé interakce 6. Partonový model I.S. Hughes: Elementary Particles M. Leon: Particle Physics W.S.C. Williams Nuclear and Particle
VíceKvantová mechanika ve 40 minutách
Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice
VíceÚvod do moderní fyziky. lekce 3 stavba a struktura atomu
Úvod do moderní fyziky lekce 3 stavba a struktura atomu Vývoj představ o stavbě atomu 1904 J. J. Thomson pudinkový model atomu 1909 H. Geiger, E. Marsden experiment s ozařováním zlaté fólie alfa částicemi
VíceVybrané podivnosti kvantové mechaniky
Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:
VíceTheory Česky (Czech Republic)
Q3-1 Velký hadronový urychlovač (10 bodů) Než se do toho pustíte, přečtěte si prosím obecné pokyny v oddělené obálce. V této úloze se budeme bavit o fyzice částicového urychlovače LHC (Large Hadron Collider
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/
Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0354 Předmět: LRR/CHPB1/Chemie pro biology 1 Elektronový obal Mgr. Karel Doležal Dr. Cíl přednášky: seznámit posluchače se stavbou
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceOperátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie
Investice do rozvoje vzdělávání Inovace studia molekulární a buněčné biologie Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Investice do rozvoje vzdělávání
VíceFyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze
Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 4: Cavendishův experiment Datum měření: 3. 1. 015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: V přípravě odvoďte vztah pro
VíceAb initio výpočty v chemii a biochemii
Ab initio výpočty v chemii a biochemii Doc. RNDr. Ing. Jaroslav Burda, CSc., jaroslav.burda@mff.cuni.cz Dr. Vladimír Sychrovský vladimir.sychrovsky@uochb.cas.cz Studijní literatura Szabo A., Ostlund N.S.
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceLehký úvod do kvantové teorie II
1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových
VícePřednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno
Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno 1 Přednášky z lékařské biofyziky Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity, Brno Struktura
VíceParadoxy kvantové mechaniky
Paradoxy kvantové mechaniky Karel molek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Bezinterakční měření Mějme bombu, která je aktivována velmi citlivým mechanismem v podobě zrcátka, které je propojeno
Více5 Potenciály s δ funkcemi I
5 Potenciály s δ funkcemi 5. Jednoduchá δ jáma nebo bariéra Mějme potenciál ve tvaru jednoduché δ funkce V cδ, kde c je konstanta, jejíž velikost udává sílu potenciálu. Pokud je c
VícePříklad 6: Bariéra a tunelový jev
1 Příklad 6: Bariéra a tunelový jev Předpokládejme, že částice o hmotnosti m a energii E dopadá zleva na potenciálovou bariéru (viz obrázek) o výšce V 0. Energie částice je menší než výška potenciálové
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceFyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole
Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu
VíceÚvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Látka jako soubor kvantových soustav Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze petr.koranda@gmail.com 18. září 2018 Světlo jako elektromagnetické
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více15 Experimentální základy kvantové hypotézy
5 Experimentální základy kvantové hypotézy Částicové vlastnosti světla a vlnové vlastnosti částic. Planckova kvantová hypotéza, foton, fotoelektrický jev. De Broglieova hypotéza, relace neurčitosti. 5.
VíceOrbitalová teorie. 1.KŠPA Beránek Pavel
Orbitalová teorie 1.KŠPA Beránek Pavel Atom Základní stavební částice hmoty je atom Víme, že má vnitřní strukturu: jádro (protony + neutrony) a obal (elektrony) Už víme, že v jádře drží protony pohromadě
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceJádro se skládá z kladně nabitých protonů a neutrálních neutronů -> nukleony
Otázka: Atom a molekula Předmět: Chemie Přidal(a): Dituse Atom = základní stavební částice všech látek Skládá se ze 2 částí: o Kladně nabité jádro o Záporně nabitý elektronový obal Jádro se skládá z kladně
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
Více4. V jednom krychlovém metru (1 m 3 ) plynu je 2, molekul. Ve dvou krychlových milimetrech (2 mm 3 ) plynu je molekul
Fyzika 20 Otázky za 2 body. Celsiova teplota t a termodynamická teplota T spolu souvisejí známým vztahem. Vyberte dvojici, která tento vztah vyjadřuje (zaokrouhleno na celá čísla) a) T = 253 K ; t = 20
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více2. Elektrotechnické materiály
. Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
Víceelektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016
F6122 Základy fyziky pevných látek seminář elektrony v pevné látce verze 1. prosince 2016 1 Drudeho model volných elektronů 1 1.1 Mathiessenovo pravidlo............................................... 1
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
VíceFyzika II, FMMI. 1. Elektrostatické pole
Fyzika II, FMMI 1. Elektrostatické pole 1.1 Jaká je velikost celkového náboje (kladného i záporného), který je obsažen v 5 kg železa? Předpokládejme, že by se tento náboj rovnoměrně rozmístil do dvou malých
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceDvojštěrbina to není jen dvakrát tolik štěrbin
Dvojštěrbina to není jen dvakrát tolik štěrbin Začneme s vodou 1.) Nejprve pozorujte vlnění na vodě (reálně nebo pomocí appletu dle vašeho výběru), které vytváří jeden zdroj. Popište toto vlnění slovy
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
VíceKvantová mechanika - model téměř volných elektronů. model těsné vazby
Kvantová mechanika - model téměř volných elektronů model těsné vazby Částice (elektron) v periodickém potenciálu- Blochův teorém Dále už nebudeme považovat elektron za zcela volný (Sommerfeld), ale připustíme
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceLehký úvod do kvantové teorie
1 Lehký úvod do kvantové teorie 1 Unitární prostory (prostory se skalárním součinem) Ve Fyzice 1 jsme rozšířili pojem vektoru na obecnější objekty,než jsou uspořádané trojice a zavedli lineární vektorový
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceFourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze
Více17 Vlastnosti molekul
17 Vlastnosti molekul Experimentálně molekuly charakterizujeme pomocí nejrůznějších vlastností: můžeme změřit třeba NMR posuny, elektrické či magnetické parametry či třeba jejich optickou otáčivost. Tyto
VíceSBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH
SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ATOM, ELEKTRONOVÝ OBAL 1) Sestavte tabulku: a) Do prvního sloupce
VíceKvantová mechanika cvičení s návody a výsledky. Wiki Skriptum FJFI
Kvantová mechanika cvičení s návody a výsledky Wiki Skriptum FJFI Ladislav Hlavatý, Libor Šnobl a Martin Štefaňák 8. září 7 Kapitola Klasická mechanika a statistická fyzika Cvičení Napište rozdělovací
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceOpakování: shrnutí základních poznatků o struktuře atomu
11. Polovodiče Polovodiče jsou krystalické nebo amorfní látky, jejichž elektrická vodivost leží mezi elektrickou vodivostí kovů a izolantů a závisí na teplotě nebo dopadajícím optickém záření. Elektrické
VíceATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE.
ATOMY + MOLEKULY ATOM VODÍKU MODEL : STOJÍCÍ BODOVÉ JÁDRO A ELEKTRON VZÁJEMNĚ ELEKTROSTATICKY INTERAGUJÍCÍ SCHRÖDINGEROVA ROVNICE H ˆψ = Eψ PRO PŘÍPAD POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vˆ = Ze 2 4πε o r ŘEŠENÍ HLEDÁME
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceStavební fakulta Katedra mechaniky. Jaroslav Kruis, Petr Štemberk
České vysoké učení technické v Praze Stavební fakulta Katedra mechaniky Fuzzy množiny, fuzzy čísla a jejich aplikace v inženýrství Jaroslav Kruis, Petr Štemberk Obsah Nejistoty Teorie pravděpodobnosti
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
Vícepřičemž předpokládáme A malé, U zahrnuje coulombické členy. Když roznásobíme závorku, p 2 reprezentuje kinetickou energii nabitých částic, člen
Výběrová pravidla Absorpce/stim. emise Kde se výběrová pravidla vezmou? Použijeme semiklasické přiblížení, tzn. s nabitými částicemi (s indexy 1...N) zacházíme kvantově, s vnějším elektromagnetickým polem
VíceLátkové množství. 6,022 10 23 atomů C. Přípravný kurz Chemie 07. n = N. Doporučená literatura. Látkové množství n. Avogadrova konstanta N A
Doporučená literatura Přípravný kurz Chemie 2006/07 07 RNDr. Josef Tomandl, Ph.D. Mailto: tomandl@med.muni.cz Předmět: Přípravný kurz chemie J. Vacík a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN, Praha 1990,
Více