vsinα usinβ = 0 (1) vcosα + ucosβ = v 0 (2) v u = sinβ , poměr drah 2fg v = v 0 sin 2 = 0,058 5 = 5,85 %

Transkript

1 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (,, 3, 4, 5, 7), I. Čáp (6).a) Předpokládáme-li impuls třecích sil puků o led vzhledem k velmi krátké době srážky za zanedbatelný, lze použít zákon zachování hybnosti, podle kterého Z rovnice () u v sinα sinβ vsinα usinβ 0 () vcosα + ucosβ v 0 () v u sinβ sinα 5,4. b) Dráha puku do zastavení s v a v, poměr drah fg s s v fg u fg v u ( ) sinβ 9,3. sinα c) Dosazením z rovnice () do rovnice () vcosα + v sinα sinβ cosβ v 0 vsin (α + β) v 0 sinβ Umocněním rovnic () a () a jejich sečtením sinβ v v 0 sin (α + β) v sin α vusinαsinβ + u sin β 0, v cos α + vucosαcosβ + u cos β v 0, 3 body a u v 0 sinα sin (α + β). v + u + uv (cosαcosβ sinαsinβ) v0. Úbytek kinetické energie bude E k mv 0 m ( u + v ) mvucos (α + β). Na teplo se tedy přeměnilo E k mvucos (α + β) sinαsinβcos (α + β) E k mv0 sin 0, ,85 % (α + β) 5 bodů.a) V rovnováze je součet všech sil, které na soustavu působí roven nule. Označíme-li tíhové síly válečků F G a F G a vztlakové síly F vz a F vz, platí F G + F vz F G + F vz, ρ π d 4 h 0g + ρ v π d 4 (h 0 a ) g ρ π d 4 h 0g + ρ v π d 4 (h 0 a ) g,

2 h 0 ρ + a ρ v h 0 ρ + a ρ v, ρ ρ a h 0 + a 7,0. ρ v b) Pro x 0 ; 3 se bude horní podstava levého válečku nacházet pod hladinou vody a spodní podstava pravého válečku nad hladinou vody. Pro složku F x platí F x F G + F vz F G ρ π d 4 h 0g + ρ v π d 4 h 0g ρ π d 4 h 0g π d 4 h 0g (ρ + ρ v ρ ) 0,85 N. Pro x ( 3 ; 7 ) se síla působící na soustavu mění: F x π d 4 h 0 (ρ ρ ) g + π d 4 ρ vg (h h ) π d 4 h 0 (ρ ρ ) g + π d 4 ρ vg (h 0 a x h 0 + a x) π d 4 h 00, 4ρ v g + π d 4 ρ vg (a a x) π d 4 h 0 (ρ ρ ) g + π d 4 ρ vg (a a x) π d 4 h 00, 4ρ v g + π d 4 ρ vg (0, 4h 0 x) π d 4 ρ vgx. () kde h h 0 a x je výška ponořené části levého válečku a h h 0 a + x výška ponořené části pravého válečku. Když horní podstava levého válečku dosáhne hladiny, začne se velikost vztlakové síly na levý váleček zmenšovat a poroste velikost vztlakové síly na pravý váleček. Velikost síly otáčející soustavou se bude zmenšovat a v okamžiku, kdy se horní podstava levého válečku nachází ve výšce a (x 0 ) nad hladinou, bude tato síla rovna nule. Protože se velikost vztlakové síly na levý váleček bude zmenšovat a naopak velikost vztlakové síly na druhý váleček zvětšovat, bude výsledná síla pohyb soustavy brzdit a její absolutní hodnota se bude zvětšovat, dokud se levý váleček úplně nevynoří a pravý váleček úplně neponoří (x 7 ). Pro x 7 ; 0 pak bude pro výslednou sílu platit: F x F G F vz F G ρ π d 4 h 0g ρ v π d 4 h 0g ρ π d 4 h 0g π d 4 h 0g (ρ ρ v ρ ) 0,437 N a při dalším pohybu už se její velikost měnit nebude. 4 body Závislost velikosti síly otáčející soustavou ve směru hodinových ručiček zapíšeme do tabulky a sestrojíme graf (viz obr. R).

3 x h h F N x h h F N ,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,85 0,3 0, ,06-0,3-0,85-0,46-0,303-0,369-0,437-0,437-0,437-0,437 Obr. R Alternativní výpočet v části b): Pro x 0, tj. v rovnovážné poloze soustavy, je F x 0. Otáčíme-li z této polohy doprava, pak pro x 0 ; 0 se vztlaková síla na levý váleček, který je vytahován z vody, zmenší o π d 4 ρ vgx a o tutéž hodnotu se naopak zvětší vztlaková síla na pravý váleček, který je ponořován hlouběji. Složka F x výsledné síly působící na levý váleček se tedy změní z nulové hodnoty na hodnotu F x π d 4 ρ vx. Výsledná síla působící na levý váleček bude směřovat svisle dolů a bude mít snahu vrátit váleček do rovnovážné polohy. Snadno nahlédneme, že týž výsledek pro F x dostaneme i v případě, že soustavou otáčíme z rovnovážné polohy doleva v rozmezí x 3 ; 0. V tomto intervalu F x > 0, tedy se výsledná síla opět snaží

4 vrátit soustavu do rovnovážné polohy. Zjistili jsme tak, že F x π d 4 ρ vgx pro x 3 ; 7. Mez x 3 odpovídá krajní poloze soustavy, kdy při otáčení doleva z rovnovážné polohy se právě levý váleček zcela ponoří a pravý zcela vynoří z vody. Pro x 0 ; 3 se tak vztlakové síly na oba válečky již nemění a F x nabývá konstantní hodnoty dané vztahem () pro x a 3, tj. F x π d 4 ρ vga 0,85 N pro x 0 ; 3. Mez x 7 přitom odpovídá druhému krajnímu stavu, kdy při otáčení soustavy z rovnovážné polohy doprava se právě pravý váleček zcela ponoří a levý zcela vytáhne z vody. Při dalším zvětšování x se tedy vztlakové síly působící na válečky již nebudou měnit a F x bude rovno hodnotě dané vztahem () pro x a 7. Platí tedy F x π d 4 ρ vga 0437 N pro x 7 ; 0. c) Z grafu i vztahu () je zřejmé, že v rozmezí x 3 ; 3 je síla přímo úměrná výchylce, ale má opačný směr; pohyb soustavy je tedy harmonický. m Periodu harmonického oscilátoru určíme ze vztahu T π k. Protože složka síly, která vrací soustavu do rovnovážné polohy, závisí na vzdálenosti x podle vztahu (), můžeme napsat F x π d 4 ρ vgx kx, pak k π d 4 ρ vg, π d 4 h 0 (ρ + ρ ) h T π 0 (ρ + ρ ) π,0 s. π d 4 ρ ρ v g vg 3.a) Drátek se ohřívá Jouleovým teplem: hmotnost drátku je odpor drátku mc c u T RI t, () m ρ m V ρ m l 0 S, () R ρ e l 0 S. (3) Z rovnice () vyjádříme změnu teploty a po dosazení za m z rovnice () a za S z rovnice (3) dostaneme

5 l 0 x l 0 l 0 + l 0 T RI t mc cu RI t ρ m l 0 Sc cu Obr. R R I t ρ m l 0ρ e c cu 9 0,09 0, ,09, K 76,6 K 4 body b) Drátek se zahřátím prodlouží o l l 0 α T α R I t 3,66 0 ρ m l 0 ρ e c 4 m. cu pro vzdálenost x pak platí (viz obr. R) (l0 x + l ) ( ) l0 (l 0 + l) l 0 ( ) l 0 + α R I t l ρ m l 0 ρ e c 0 7,430 mm cu 4 body c) Protože l l 0, můžeme napsat x (l 0 + l) l 0 l0 l α R I t ρ m ρ e c cu RI α t 7,4004 mm. ρ m ρ e c cu Odchylka x 0,006 mm, relativní odchylka δx 0,030 %. 4.a) Nejprve odvodíme rychlost, jakou obíhá kulička kuželového kyvadla po kružnici. Pro poměr velikostí setrvačné odstředivé síly a síly tíhové platí: tg α mv r mg v gl sin α v lg sin α tg α.

6 Pro dobu oběhu kuželového kyvadla platí: Z poměru period T K πr v πl sin α lg sin α tg α π 5T K 50T M 5 cos α 50 ( s použitím přibližných vzorců 5 odtud pak α ( + 4 sin α ) α l cos α. g ), ( ) ( ) 5 α 50 + α, 4 6 0,5 rad 4. 6 bodů b) Velikost síly napínající nit u kuželového kyvadla je ( ) mv F K + (mg) (mg tg α) + (mg) mg tg l sin α α +, velikost síly napínající nit v rovnovážné poloze matematického kyvadla je F M mg + mv mg + mg ( cos α) mg (3 cos α). l Poměr velikostí těchto sil: F M 3 cos α cos α (3 cos α),03. F K tg 4 body α + eu 5.a) Urychlením v elektrickém poli získá elektron rychlost v x m. V elektrickém poli kondenzátoru na elektron ještě působí síla F y ma ee eu d a elektron tak ve směru osy y získá rychlost v y at F y m m l, dostáváme po dosazení eu v y leu m lu dm eu d Platí tg α v y v x y s y v y v x s lu s d eu m t. Protože t l v x e mu. () e mu lu s du 8,0.

7 Svítící bod na stínítku tedy bude mít souřadnice y 8,0, z 0. 5 bodů b) Po zapnutí magnetického pole bude na elektron působit magnetická síla až po jeho vychýlení v elektrickém poli kondenzátoru. Její směr bude kolmý k oběma složkám rychlosti. Průmětem trajektorie pohybu elektronu do roviny y z bude kružnice. Magnetická síla je silou dostředivou, proto platí: mv y r Bev y r mv y eb. () Že se stopa elektronu objeví počátku souřadnic znamená, že v rovině y z vykonal elektron právě jednu otáčku. Pak platí: T πr πm v y eb a také T s m s. v x eu Z rovnosti výrazů odvodíme e m 8π U s B, 75 0 C kg. (3) 3 body c) Dosazením vztahu () a (3) do vztahu () dostaneme pro poloměr šroubovice: r mv y eb B s v y 8π U B lu s 4πdU,30. 7.a) Graf je na obrázku R3. Z rovnice regrese vidíme, že platí RC 0,33 (ms) 0, s C Kapacita kondenzátoru je tedy C 5,0 µf. 0, F 5,0 0 6 F.

8 b) V sériovém obvodu RC platí: Z U I R + XC R + 4π f C, I R U + 4π U C f. Tabulku doplníme s využitím EXCELu o dva řádky: Sestrojíme graf: f Hz 0,0 5,0 0,0 30,0 50,0 I ma 8,5,54 3,7 6,33 8,4 f s 0,0 0, ,005 0,00 0,0004 I ma 0, , ,0053 0, ,0095 Z rovnice regrese odečteme: R U 0, A, 4π U C, V F. Odtud C π0 F 5,0 µf. 6, body c) Ze jmenovitých hodnot určíme efektivní hodnotu proudu, který by měl žárovkou procházet a odpor jejího vlákna: I P U 0, 83 A a R ž U 44 Ω. Při napětí U je celkový odpor R C obvodu s rezistorem R C Z U I UU P 76 Ω a do obvodu ještě musíme připojit odpor R R C Rž 3 Ω. Nahradíme-li odpor kondenzátorem, určíme kapacitu kondenzátoru ze vztahu P

9 Z ( ) U R I ž + XC R ž + 4π f C C πf (U Kdybychom kondenzátor nahradili ideální cívkou, pak ze vztahu Z Rž + XL Rž + 4π f L L (U ) Rž πf I I ) 3,5 µf. R ž 0, 749 H 3 body d) V obvodu je teď zapojena žárovka s odporem Rž 44 Ω, cívka o indukčnosti L 0,749 H a kondenzátor o kapacitě C 3,5 µf. Aby žárovka stejně svítila, musí být i impedance stejná jako v předešlých případech tedy Z 76 Ω. Protože (X L X C ) Z Rž, bude X L X C ± Z Rž, ωl ± Z ωc Rž. Po úpravě dostáváme dvě kvadratické rovnice s neznámou ω ω LC ± ωc Z R ž 0. Dosazením číselných hodnot dostáváme dvě rovnice:,0 0 5 { ω } ± 3,8 0 3 {ω} 0, odkud {ω } 509 f 8 Hz a {ω } 94 f 3 Hz. Žárovka tedy bude svítit stejně jako ve spotřebitelské síti při frekvencích 3 Hz nebo 8 Hz.