Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu

Transkript

1 Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu Mgr. Jan Šustek Opakování Věta o celkové pravděpodobnosti Věta Pro jevy B, B Ω, které se navzájem vylučují, přičemž jeden z nich nutně nastává, tj. B B = a B B = Ω, a pro libovolný jev A platí P(A) = P(B ) P(A B ) + P(B ) P(A B ). Příklad V populaci je 30 % dětí a 70 % dospělých. Určitou nemoc má 0 % dětí a 3 % dospělých. Náhodně vybraný člověk tuto nemoc má s pravděpodobností Funkce P(nemocný) = P(dítě) P(nemocný dítě) + P(dospělý) P(nemocný dospělý) = = 5. %. Definice Funkce f (jedné proměnné) na množině A R je předpis, který každému číslu x A přiřazuje právě jedno číslo f(x) R. Definice Funkce f (dvou proměnných) na množině A R R je předpis, který každé dvojici čísel (x, y) A přiřazuje právě jedno číslo f(x, y) R. Příklady objem válce: V (r, v) = πr v povrch válce: S(r, v) = πr(r + v) U funkcí více proměnných záleží na pořadí proměnných. Obecně neplatí f(x, y) = f(y, x).

2 Model setu Popis modelu Vstupy Pravděpodobnosti, že týmy při svém podání získají bod (breakpoints) Výstupy Pravděpodobnosti výhry týmů v zápasu Zjednodušení Pro jednoduchost do modelu nezahrneme následující skutečnosti rotace hráčů únava, psychika a další časově závislé věci umístění fanoušků a vliv strany hřiště Příklad V zápasu VK DHL Ostrava SKV Ústí nad Labem jsou úspěšnosti podání následující: Ostrava při 35 % svých podání získá bod Ústí nad Labem při 3 % svých podání získá bod (Tyto údaje byly zjištěny empiricky z posledních domácích zápasů Ostrava Ústí.) Který tým má větší pravděpodobnost výhry v zápasu? Model setu Značení na začátku setu podává tým m:n i stav setu je m:n a podává tým i p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým q = p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým q = p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým

3 Model setu Vývoj setu Vývoj skóre na začátku setu lze znázornit následujícím grafem. p 0:0 q p :0 0: q q p p :0 : q : 0: q p q p q p 3:0 : : : : 0:3 Celý graf se skládá z následujících částí m+:0 V 4: m:0 m:n m:n q p q q 0:n q p p p m: V m+:n 4:n+ m:n+ :n 0:n+ 4:0 4:n 4:n q p q q m:4 q q m:4 0:4 q p p p p p m+:4 Protože vítěz setu musí vyhrát o dva body, jsou pro vítězství v setu ekvivalentní následující stavy: 3:3, 4:4, 5:5, 6:6,... 4:3, 5:4, 6:5, 7:6,... 3:4, 4:5, 5:6, 6:7,... Spodní část grafu bude vypadat takto. V :4 V 4: 4: 3:3 q q q p p q 3:3 p p :4 q q :4 p p p p V p p q 4:3 q 4:3 3:4 q q 3:4 V 3

4 Model setu Výpočet pravděpodobností Hledáme pravděpodobnost F 5 (p, p ) výhry týmu v setu. Označme a i m:n pravděpodobnost výhry týmu v setu za stavu m:n při podání týmu i. K nalezení F 5 (p, p ) = a 0:0 potřebujeme najít všechny a i m:n. Dostáváme celkem 99 neznámých. Výpočet a 7:0: Z grafu 7:0 p q plyne 8:0 7: a 7:0 = P ( výhra při 7:0 () ) Výpočet a 4:5: Z grafu = P ( bod ) P ( výhra při 7:0 () bod ) + P ( bod ) P ( výhra při 7:0 () bod ) = p P ( výhra při 8:0 () ) + q P ( výhra při 7: () ) = p a 8:0 + q a 7: 4:5 q p plyne V 4:6 a 4:5 = P ( výhra při 4:5 () ) = P ( bod ) P ( výhra při 4:5 () bod ) + P ( bod ) P ( výhra při 4:5 () bod ) = q + p P ( výhra při 4:6 () ) = q + p a 4:6 Výpočet a 8:4: a 8:4 = q a 9:4 Rovnice pro pravděpodobnosti a m:n = p a m+:n + q a m:n+ m {,..., 3}, n {0,..., 3}; m = n = 0 a m:n = p a m:n+ + q a m+:n m {0,..., 3}, n {,..., 3} a 4:n = p + q a 4:n+ n {0,..., } a 4:n = q + p a 4:n+ n {,..., } a m:4 = p a m+:4 m {,..., } a m:4 = q a m+:4 m {0,..., } a 4:3 = p + q a 3:3 a 4:3 = p a 3:3 + q a 3:4 = p a 3:3 a 3:4 = q a 3:3 Toto je soustava 99 rovnic pro uvedených 99 neznámých a i m:n. 4

5 Model setu Řešení soustavy F 5 (p, p ) = a p 0:0 = ` p p p 3 p +p p p p p p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p 5 76 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p4 754 p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p4 5

6 Model setu p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p p 4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p p p p p 4 p p p p p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p8 p p3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p p 8 p p7 p p6 p p5 p 4 p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p 8 p p4 p p3 p p p p p p0 p p p7 p p6 p p5 p p4 p p p p p p 6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p3 p p3 p p0 p p9 p p8 p p7 p p p p p p0 p 4046 p9 p p8 p p7 p p4 p 4575 p3 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p 394 p3 p + 0 p p 434 p p 3 p 4 p + 55 p 3 p 634 p p p p 4374 p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p 0894 p 4 p p 3 p 434 p p + 76 p p + 6

7 Model tie-breaku Příklad V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti p OV = 0.35 a p UL = 0.3. Při podání Ostravy na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r OV = F 5 (p OV, p UL ) = F 5 (0.35, 0.3) = 0.60 Ústí nad Labem r OV = 0.40 Při podání Ústí nad Labem na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r UL = 0.64 Ústí nad Labem r UL = F 5 (p UL, p OV ) = F 5 (0.3, 0.35) = 0.36 Model tie-breaku Řešením analogické soustavy 49 rovnic o 49 neznámých najdeme pravděpodobnost F 5 (p, p ) výhry týmu v tie-breaku. F 5 (p, p ) = p p p p +p p p p p ` p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p 5 9 p p4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p 0494 p p p p 4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p 645 p p4 p p3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p8 46 p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p8 p p7 p3 00 p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p 530 p3 p + 97 p p p p p0 p p9 p p8 p p7 p p 6 p p5 p p4 p 7759 p3 p + 0 p p 89 p p 3 p4 p + 8 p 3 p 69 p p p p 649 p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p 0 p 4 p p 3 p 89 p p + 9 p p + 7

8 Model zápasu Příklad V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti p OV = 0.35 a p UL = 0.3. Při podání Ostravy na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p OV, p UL ) = 0.57 Ústí nad Labem F 5 (p OV, p UL ) = 0.43 Při podání Ústí nad Labem na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p UL, p OV ) = 0.6 Ústí nad Labem F 5 (p UL, p OV ) = 0.38 Model zápasu Značení na začátku zápasu podává tým A m:n i stav zápasu je m:n na sety a na začátku (m + n + )-ho setu podává tým i r A = F 5 (p A, p B ) pravděpodobnost, že při podání týmu A na začátku setu vyhraje set tým A s A = r A pravděpodobnost, že při podání týmu A na začátku setu vyhraje set tým B r B = F 5 (p B, p A ) pravděpodobnost, že při podání týmu B na začátku setu vyhraje set tým B s B = r B pravděpodobnost, že při podání týmu B na začátku setu vyhraje set tým A Vývoj zápasu r A A 0:0 :0 B 0: B s B r B s B r B A A A :0 : 0: r A s A r A s A r A s A VA : B : B s B r B T s B s A r B VB 8

9 Model zápasu Výpočet pravděpodobností Hledáme pravděpodobnosti G A (r A, r B ), že tým A vyhraje zápas 3:0 nebo 3: G B (r A, r B ), že tým B vyhraje zápas 0:3 nebo :3 G T (r A, r B ), že zápas bude mít pět setů Platí G A (r A, r B ) + G B (r A, r B ) + G T (r A, r B ) =. Označme b i m:n pravděpodobnost výhry týmu i nejpozději ve čtvrtém setu, pokud je stav zápasu m:n na sety. K nalezení G A (r A, r B ) = b A 0:0 potřebujeme najít všechny b A m:n. K nalezení G B (r A, r B ) = b B 0:0 potřebujeme najít všechny b B m:n. Rovnice pro pravděpodobnosti b A 0:0 = r A b A :0 + s A b A 0: b A :0 = r B b A : + s B b A :0 b A : = r A b A : + s A b A : b A 0: = r B b A 0: + s B b A : b A :0 = r A + s A b A : b A : = s B b A : = 0 b A 0: = 0 b B 0:0 = r A b B :0 + s A b B 0: b B :0 = r B b B : + s B b B :0 b B : = r A b B : + s A b B : b B 0: = r B b B 0: + s B b B : b A :0 = 0 b A : = 0 b A : = r B b A 0: = r A b B : + s A Řešení soustavy Příklad G A (r A, r B ) = r A ( r B ) (3 r A r B r A r B + ) G B (r A, r B ) = r B ( r A ) (3 r A r B r A r B + ) G T (r A, r B ) = G A (r A, r B ) G B (r A, r B ) V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti r OV = 0.60 a r UL = Pokud na začátku zápasu podává Ostrava, pak Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G A (r OV, r UL ) = 0.5 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G B (r OV, r UL ) = = 0.5 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r OV, r UL ) =

10 Výsledky Pokud na začátku zápasu podává Ústí nad Labem, pak Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G B (r UL, r OV ) = 0.5 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G A (r UL, r OV ) = = 0.5 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r UL, r OV ) = 0.33 Z uvedených výsledků je vidět, že vítězství v zápasu nezávisí na losu v prvním setu. Výsledky Pravděpodobnost, že zápas vyhraje Ostrava, je 0.70, nebo 0.7 Ústí nad Labem, je 0.8, nebo 0.30 v závislosti na prvním podání na začátku tie-breaku, ale nezávisle na prvním podání v prvním setu. Přesný výsledek V následující tabulce jsou uvedeny pravděpodobnosti, že zápas skončí uvedeným přesným výsledkem, v závislosti na prvním podání na začátku prvního setu a na začátku tie-breaku.. podání v. setu OV OV UL UL. podání v 5. setu OV UL OV UL výhra Ostravy 3:0 3 % 3 % 5 % 5 % výhra Ostravy 3: 8 % 8 % 7 % 7 % výhra Ostravy 3: 9 % % 9 % % výhra Ústí :3 4 % % 4 % % výhra Ústí :3 0 % 0 % 0 % 0 % výhra Ústí 0:3 6 % 6 % 5 % 5 % Přesné výsledky v setex Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 0

11 Skutečná data Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 7:5 :0 0: 5:7 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 7:5 :0 0: 5:7 0:5 5:5 0:5 Skutečná data Zápas DHL Ostrava Ústí nad Labem se odehrál Skutečné hodnoty breakpoints byly následující: Ostrava při 39 % svých podání získala bod Ústí nad Labem při 6 % svých podání získalo bod Pokud tyto hodnoty vezmeme jako vstupní pravděpodobnosti modelu, dostaneme následující výstupy.

12 Skutečná data Pravděpodobnosti výhry v setu a v tie-breaku jsou: Při podání Ostravy na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r OV = F 5 (p OV, p UL ) = F 5 (0.39, 0.6) = 0.97 Ústí nad Labem r OV = 0.03 Při podání Ústí nad Labem na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r UL = 0.98 Ústí nad Labem r UL = F 5 (p UL, p OV ) = F 5 (0.6, 0.39) = 0.0 Při podání Ostravy na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p OV, p UL ) = 0.93 Ústí nad Labem F 5 (p OV, p UL ) = 0.07 Při podání Ústí nad Labem na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p UL, p OV ) = 0.95 Ústí nad Labem F 5 (p UL, p OV ) = 0.05 Pravděpodobnosti výhry v zápasu jsou tyto: Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G A (r OV, r UL ) = Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G B (r OV, r UL ) = = zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r OV, r UL ) = Z předchozího dostáváme, že pravděpodobnost, že celý zápas vyhraje Ostrava, je , nebo Ústí nad Labem, je , nebo v závislosti na prvním podání na začátku tie-breaku, ale nezávisle na prvním podání v prvním setu. Pravděpodobnosti jednotlivých přesných výsledků jsou v tabulce.. podání v. setu OV OV UL UL. podání v 5. setu OV UL OV UL výhra Ostravy 3:0 9 % 9 % 93 % 93 % výhra Ostravy 3: 8 % 8 % 7 % 7 % výhra Ostravy 3: 0,4 % 0,4 % 0,4 % 0,4 % výhra Ústí :3 0,03 % 0,0 % 0,03 % 0,0 % výhra Ústí :3 0,004 % 0,004 % 0,005 % 0,005 % výhra Ústí 0:3 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %

13 Skutečná data Ve skutečnosti zápas skončil výhrou Ostravy 3:0, tedy nejpravděpodobnějším výsledkem. Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Skutečné výsledky v setex byly 5:6, 5:0 a 5:3. Tyto výsledky jsou na výše uvedených grafech zvýrazněny. Poděkování Bc. Juraj Zaťko (kapitán VK DHL Ostrava, reprezentační tým SR) konzultace Tomáš Krempaský (statistik VK DHL Ostrava) zpracování vstupních dat 3