Dynamická pevnost a životnost Lokální přístupy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dynamická pevnost a životnost Lokální přístupy"

Transkript

1 DPŽ Hrubý Dymická pevost životost Lokálí přístupy Mil Růžičk, Jose Jurek, Zbyěk Hrubý mechik.s.cvut.cz

2 DPŽ Hrubý Metody predikce úvového život

3 DPŽ Hrubý 3 Metody predikce životosti Přístup pomocí omiálích pětí (NSA - Nomil Stress Approch) Přístup pomocí lokálích elstických pětí (LESA - Locl Elstic Stress Approch) Přístup pomocí lokálích elsto-plstických pětí deormcí (LPSA - Locl Plstic Stress d Stri Approch) Přístup využívjící lomové mechiky (FMA - Frcture Mechics Approch) 0 Nii (iicilizce mkrotrhliy) N (lom) LESA LPSA NSA FMA bez r p FMA s r p

4 DPŽ Hrubý 4 Nomil Stress Method (NSA) Lodig history t Iluece o shpe d techology S-N curve o the mteril N Decompositio, m Me stress iluece,eq S-N curve o the compoet 0 m N Ftigue tests t Reltiv Plmgre- -Mier hypothesis D D,pred = D D,exp Dm. hypothesis Plmgre-Mier: D=

5 DPŽ Hrubý 5 NSA Nomil Stress Approch historicky ejstrší vrhováí trvlou i omezeou životost špičky pětí ve vrubech vzthováy k hodotám omiálího pětí rozsáhlá dtbáze tbelových podkldů o účicích vrubu, úprvy povrchu, velikosti pod. podkldy mohou být eektivě rozšířey umerickou lýzou pjtosti (MKP, ) vliv prvděpodobosti porušeí výsledkem je životost do lomu (poruchy)

6 středí hodot DPŽ Hrubý 6 NSA čsový průběh pětí (deormcí) v kritickém místě zprcový dekompozicí sigálu (způsob dekompozice ovlivňuje výsledky) př. RAIN FLOW mplitud t t 8= = = Stress 5,8,5 7,3 3, 8,8 34,6 40,4 46, 5,9 57,7 63,4 69, 75,0 80,7 86,5 9,3 98,0 9, , , , , , , , , , , , , Ri Flow Mtrix , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Sum

7 DPŽ Hrubý 7 NSA úvová křivk pětí (Wöhlerov křivk, S-N křivk) odvozeá či získá experimetálě pro kritické místo součásti, spíše všk získá experimetálě pro vrubová či hldká zkušebí těles 000 [MP] structurl steel 00,E+04,E+05,E+06,E+07 N [] w N C mociý tvr w N A C C N b b Bsqui Weibull N B C N C Kohout-Věchet

8 DPŽ Hrubý 8 NSA Převod pěťových kmitů s růzou středí složkou, smluví symetricky střídvé ebo míjivé kmity se stejým úvovým účikem. Přepočet podle Ldgr Morrow: SWT prmetr:, eq m, eq, eq, m pro E, m 0 pro m 0 prcoví obecý kmit ekvivletí míjivý kmit R=0 MIL HDBK: h, eq m R p oceli Al slitiy p 0,5 0,eq h,eq čs t Přepočet podle Odig: h, eq m, pro m 0 ekvivletí symetricky střídvý kmit R=- h, eq, pro m 0

9 DPŽ Hrubý 9 NSA uté podkldy pro výpočet korekčí ktory: součiitel tvru (kocetrce lokálích elstických pětí), součiitel vrubu (kocetrce pětí včetě elstoplstického přerozdeleí ve vrubu, áchylosti ke vziku extrusí itrusí pod.) Thum Peterso Neuber Heywood q A 0,5 0,3 A 0,3 40 pt

10 DPŽ Hrubý 0 NSA korekčí ktory: vliv velikosti, vliv jkosti obrobeí, vliv techologické úprvy povrchu součiitel velikosti [] oceli Rm=400 ž 580 Rm=700 ž 70 litá ocel Rm=80 ž 860 Rm=850 ž 90 Rm=890 ž 000 Rm=890 ž 000 proximce m=-0.03 m=-0.04 m=-0.05 m=-0.06 m= průměr hřídele D [mm] x c c, v ck S k K SF k T x c, c v cpv

11 DPŽ Hrubý NSA kumulce poškozeí: D 0 /N

12 DPŽ Hrubý NSA s uvžováím sttistiky prvděpodobosti porušeí lze přístup víc ještě obohtit o výpočet bezpečého život pro dou prvděpodobost lomu četost s log P s log N předpokld: log-ormálí rozděleí úvového život výpočet kvtilu prvděpodobosti porušeí: L log B log loglb logl50% L50% u L P P [%] s s s s s s logn log posuv bezpečost L logn log logn log N

13 DPŽ Hrubý 3 Př.: Hřídel: NSA D ρ d D 48 mm ocel 040: d 40 mm R m = 700 MP mm R p0, = 560 MP P 00 kw, M o 00000N.mm 500mi, Hřídel je máhá míjivým krouticím mometem symericky střídvým ohybem soustružeo: R=,6 Určit bezpečost z hledisk teoreticky ekoečé životosti

14 DPŽ Hrubý 4 Locl Elstic Stress Method (LESA) Lodig history Locl stress i the otch correctio,mkp,kor t MKP t t Decompositio, m Me stress iluece 0,eq m S-N curve = N Ftigue tests t Reltiv Plmgre- -Mier hypothesis D D,pred = D D,exp Dm. hypothesis Plmgre-Mier: D=

15 DPŽ Hrubý 5 LESA Locl Elstic Stress Approch vrhováí omezeou životost špičky pětí ve vrubech vzthováy k hodotám lokálího pětí (prcuje se přímo se špičkmi pětí) méě rozsáhlá dtbáze tbelových podkldů o mteriálech podkldy mohou být eektivě rozšířey umerickou lýzou pjtosti (MKP, ) vliv prvděpodobosti porušeí výsledkem je životost do vziku mkrodeektu (mkrotrhliy)

16 středí hodot DPŽ Hrubý 6 LESA čsový průběh pětí (deormcí) v kritickém místě zprcový dekompozicí sigálu (způsob dekompozice ovlivňuje výsledky) př. RAIN FLOW mplitud t t 8= = = Stress 5,8,5 7,3 3, 8,8 34,6 40,4 46, 5,9 57,7 63,4 69, 75,0 80,7 86,5 9,3 98,0 9, , , , , , , , , , , , , Ri Flow Mtrix , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Sum

17 DPŽ Hrubý 7 LESA úvová křivk pětí (Wöhlerov křivk, S-N křivk) odvozeá či získá experimetálě pro kritické místo součásti, spíše všk získá experimetálě pro vrubová či hldká zkušebí těles 000 [MP] structurl steel 00,E+04,E+05,E+06,E+07 N [] w N C mociý tvr w N A C C N b b Bsqui Weibull N B C N C Kohout-Věchet

18 DPŽ Hrubý 8 LESA Převod pěťových kmitů s růzou středí složkou, smluví symetricky střídvé ebo míjivé kmity se stejým úvovým účikem. Přepočet podle Ldgr Morrow: SWT prmetr:, eq m, eq, eq, m pro E, m 0 pro m 0 prcoví obecý kmit ekvivletí míjivý kmit R=0 MIL HDBK: h, eq m R p oceli Al slitiy p 0,5 0,eq h,eq čs t Přepočet podle Odig: h, eq m, pro m 0 ekvivletí symetricky střídvý kmit R=- h, eq, pro m 0

19 DPŽ Hrubý 9 LESA elstická MKP lýz, stoveí kritických míst iktivích elstických pětí ve vrubech v ; v hldký vzorek (iktiví) vzorek s vrubem,

20 DPŽ Hrubý 0 LESA Amplitud pětí [MP] MKP 400 kor 300 om 00 K t. x C C 00 x C= C /K 0 N.E+03.E+04.E+05.E+06.E+07.E+08 Počet kmitů N []

21 DPŽ Hrubý LESA Amplitud pětí [MP] MKP 400 MKP MKP K t om om K t K, N N kor kor kor 300 K t. x C om x C= C /K 0 N.E+03.E+04.E+05.E+06.E+07.E+08 Počet kmitů N [] C kor kor K, N K t N MKP MKP

22 DPŽ Hrubý LESA určeí grdietu (pomocí MKP, extrhováí pětí přes ěkolik prvků) d dx mx om mi

23 DPŽ Hrubý 3 LESA Amplitud pětí [MP] MKP 400 kor 300 om 00 K t. x C C K K K, N t N N K N N N N 0 R K E logn B logn e E K 00 x C= C /K E 4 K 3 0 N.E+03.E+04.E+05.E+06.E+07.E+08 Počet kmitů N [] B K 5 K 4 R m prmetry K i je možé ldit z exp. zkoušek pro růzé vrubovitosti

24 DPŽ Hrubý 4 LESA sytetické úvové křivky Amplitud pětí kmitu [MP] Odvozeí úvových křivek v oblsti vrubů mteriál ocel 300M, Rm=000 Mp R=- l= l=,0 l=3,0 l=5,0 l=,0..výpočet l=3,0..výpočet l=5,0..výpočet Amplitud pětí kmitu [MP] Rodi úvových křivek pro růzý grdiet pětí mteriál ocel 300M, Rm=04 MP, vliv oduhličeí R=- l gm Součiitel vrubu (N) [MP] Součiitelé vrubu (N) pro růzý grdiet pětí mteriál ocel 300M, Rm=000 MP R=- l gm E+04.0E+05.0E+06.0E+07.0E+08 Počet kmitů N [] 0.0E+04.0E+05.0E+06.0E+07.0E+08 Počet kmitů N [].5.0E+04.0E+05.0E+06.0E+07.0E+08 Počet kmitů N []

25 DPŽ Hrubý 5 LESA kumulce poškozeí: D 0 /N

26 DPŽ Hrubý 6 LESA s uvžováím sttistiky prvděpodobosti porušeí lze přístup víc ještě obohtit o výpočet bezpečého život pro dou prvděpodobost lomu četost s log P s log N předpokld: log-ormálí rozděleí úvového život výpočet kvtilu prvděpodobosti porušeí: L log B log loglb logl50% L50% u L P P [%] s s s s s s logn log posuv bezpečost L logn log logn log N

27 DPŽ Hrubý 7 Př.: Pístí čep: eí rozdíl NSA LESA Zkotrolovt bezpečost při máháí pístího čepu při esymetricky střídvém ztěžovcím cyklu. Ztížeí pístu: F h = N, F d = N, R = 0,. mteriál čepu: uhlíková ocel XXX: σ pt = 00 MP, σ kt = 600 MP, σ co = 0,43σ pt = 473 MP, leštěo.

28 DPŽ Hrubý 8 Př.: Pruži: eí rozdíl NSA LESA F h = 000 N F d = 500 N průměr D = 90 mm průměr drátu d = 4 mm stoupáí p = 8 mm 8 čiých závitů dob provozu 5 let rekvece Hz

29 DPŽ Hrubý 9 Př.: Hřídel: eí rozdíl NSA LESA Hldký hřídel o průměru,0 mm je máhá kombicí ohybu krutu (symetricky střídvými). Je dá tbulk četostí (histogrm) mplitud ohybového krouticího mometu, která odpovídá měsícům provozu. tříd M o [N.mm] M k [N.mm] i [kmitů] Je dá Wöhlerov křivk (50% prvděp. poruš.) reálého hřídele při máháí w v thu-tlku popsá vzthem N kost Mez úvy 50 MP pro bázi 0 6 cyklů. Expoet šikmé větve w = 3,5. Jsou dáy směrodté odchylky logritmů životů. Pro úvovou křivku s logn = 0,5. Pro ztížeí s log = 0,. Určit středí životost hřídele, který je máhá dým ztížeím. Určit bezpečou životost hřídele tk, by prvděpodobost lomu epřesáhl % podle Plmgreovy-Mierovy hypotézy kumulce poškozeí.

30 DPŽ Hrubý 30 Př.: Stoveí životosti prutové kostrukce: eí rozdíl NSA LESA h 3 / F D: průřez prutů 0x0 mm, rozměry =500 mm, h=400 mm, modul pružosti v thu E= 0 5, trám je dokole tuhý, šikmá větev Wöhlerovy křivky je zdá čsovou mezí úvy bázi 0 6 kmitů c (0 6 )=0 MP skloem w=5, soustv je ztíže kmitvou symetricky střídvou silou o mplitudě 5 kn U: životost podle NSA do ztráty ukčosti (s uvžováím Dmge Tolerce Plmgreovy- Mierovy hypotézy kumulce poškozeí)

31 DPŽ Hrubý 3 Př.: Ocelové oko: eí rozdíl NSA LESA [MP] čs

32 60 DPŽ Hrubý 3 Př.: Životost ocelového těles podle LESA F Ø40 9 F D: těleso ztěžové osovou silou, vyrobeé z oceli mezí pevosti 00 MP mezí kluzu 700 MP, s E=, 0 5 MP Poissoovým poměrem 0,3. Wöhlerov křivk mteriálu je zdá dvěm větvemi mocié závislosti, kde expoet w=5 pro N<0 6 w=7 pro N>0 6 čsovou mezí úvy pro N=0 6 cyklů 50 MP. Úvové kostty (jejichž určeí je v prxi velmi prcé) jsou zdáy: K =550 MP, K =,4, K 3 =0,, K 4 =-0,98, K 5 =6000 MP. Ztěžováí symetricky střídvou silou o mplitudě 7 kn. U: životost podle metodiky LESA

33 DPŽ Hrubý 33 Př.: Životosti ocelového těles podle LESA elstický MKP výpočet stoveí poměrého grdietu osového pětí (modelová pouze osmi vzorku, symetrické okrjové podmíky k příslušým souřdým osám) odečte poměrý grdiet v kořei vrubu 0,339 om A F om ,85 MP MKP 69,508 MP K t MKP om 69,508,5 5,85 uvžováo v oslbeém průřezu y z x d d y mx HMH

34 DPŽ Hrubý 34 Př.: Životosti ocelového těles podle LESA prmetry pro sytetickou úvovou křivku: E* 4 K 40,339 0, 3 3,7 B K 5 4 0,339 K R m 0, ,73 K K t 0 R K e K 0, ,4 550,003 vyeseí pro růzé počty cyklů N do gru N B E* N E logn * log K, N N N K N N N

35 DPŽ Hrubý 35 Př.: Životosti ocelového těles podle LESA prmetry pro sytetickou úvovou křivku:. (N) [-] E+0.0E+04.0E+06.0E+08 N [-] (N) [-] E+0.0E+04.0E+06.0E+08 N [-]

36 DPŽ Hrubý 36 Př.: Životosti ocelového těles podle LESA sytetické úvové křivky plté pro koře vrubu (pro kritické místo): mplitud pětí v cyklu [MP] této křivce odpovídjí mx. pětí z MKP (pltá vždy pro jedo krit. místo),0e+0,0e+03,0e+04,0e+05,0e+06,0e+07,0e+08 počet cyklů N [-] kor MKP kor K, N K t N MKP MKP 69,508 MP úvová křivk mteriálu úvová křivk pltá pro omiálí přístupy iktiví úvová křivk pětí v krit. místě (MKP) tto křivk odpovídá mteriálu N 975 7

37 DPŽ Hrubý 37 Lodig history t Cyclic stressstri Ftigue lie curve curve o the deormtio,,b,c N Decompositio ic t =>, m Plstic dpttio ic, m, eq Me stress iluece m Ftigue tests t Reltiv Plmgre- -Mier hypothesis D D,pred = D D,exp Dm. hypothesis Plmgre-Mier: D=

38 DPŽ Hrubý 38 lokálí přístup LPSA využití špiček elstoplstických pětí elstoplstických deormcí ve vrubech výpočet úvové odolosti eprobíhá v omiálím průřezu le přímo ve vrubu utá zlost cyklické deormčí křivky (CDK) ebo Msoovy-Coiovy křivky výhodé přepočty iktiví elstické pjtosti elstoplstickou (Neuber, Glik, ) vliv prvděpodobosti porušeí výsledkem je životost do vziku mkrodeektu (mkrotrhliy)

39 středí hodot DPŽ Hrubý 39 LPSA čsový průběh pětí (deormcí) v kritickém místě zprcový dekompozicí sigálu (způsob dekompozice ovlivňuje výsledky) př. RAIN FLOW mplitud t t 8= = = Stress 5,8,5 7,3 3, 8,8 34,6 40,4 46, 5,9 57,7 63,4 69, 75,0 80,7 86,5 9,3 98,0 9, , , , , , , , , , , , , Ri Flow Mtrix , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Sum

40 DPŽ Hrubý 40 LPSA Cyklická deormčí křivk: Cyklická deormčí křivk cyklická Sturové hysterezí smyčky sttická zpevěí změkčeí el E D K D pl E K D

41 DPŽ Hrubý 4 LPSA Mso-Coiov křivk: mplitud pom. deormce [] /E c b e p.e+00.e+0.e+0.e+03.e+04.e+05.e+06.e+07 počet půlkmitů N []

42 DPŽ Hrubý 4 LPSA přepočet m _eqv (elstoplstické ve vrubu): Obecě epltí vzthy pro přepočet ekvivletí mplitudy pětí uvedeé v předchozím textu použitelé spíše pro vysokocyklovou úvu. V oblsti plikce LPSA, tedy v ízkocyklové úvě je možo středí mplitudové pětí získt přímo z elstických MKP simulcí s vhodým modelem zpevěí či Neuberovým ebo Glikovým odhdem. Vždy ejprve ve ormách dolího horího pětí (deormcí), teprve pk přepočtem mplitudová středí pětí. Některé metodiky LPSA jsou přímo schopé prcovt se m. Přípdě je možé počítt reálá elstoplstická dolí horí pětí s použitím v MKP progrmu implemetových modelů cyklické plsticity opět z ich pk mplitudy středí hodoty přepočítt.

43 DPŽ Hrubý 43 LPSA elstická MKP lýz, stoveí kritických míst iktivích elstických pětí ve vrubech, jejich přepočet elstoplstické pomocí Neuber, Gliky elstoplstická MKP lýz (je u jedoduchých sekvecí) v ; v elstoplstické hldký vzorek (iktiví) vzorek s vrubem,

44 DPŽ Hrubý 44 Neuber LPSA Glik ic m= m=0,66 m=0,5 m=0, m=0 0

45 DPŽ Hrubý 45 m m el ic E b c E Newtoov metod teče: 0 ic m b c m E i i i i ic 0 LPSA reálé určeí elstoplstického pětí ve vrubu (Neuber) jk pro horí, tk dolí pětí

46 DPŽ Hrubý 46 LPSA Plsticit Drucker & Plge (98), Dlis (984), předpokldy správého elstoplstického kostitučího modelu: ) esymetrický cyklus pětí způsobuje cyklický creep (rtchettig) ve směru středího pětí ) esymetrický cyklus deormce způsobuje relxci středího pětí ulovou hodotu 3) hldký přechod ze stvu elstického do stvu elstoplstického 4) při symetrických pěťových i deormčích cyklech mteriál změkčuje či zpevňuje po stvu sturce již je díky kiemtickému zpevěí 5) zčé jedorázové přetížeí mže téměř všechu historii ztěžováí ižších hldiách

47 DPŽ Hrubý 47 t t t t t t t t t b c d e 0 A B C D D C B A 0 C E ) Cyklické zpevěí ) Cyklické změkčeí 3) Cyklická relxce 4) Cyklický creep (rtchettig) 5) Pměťový eekt LPSA Plsticit

48 DPŽ Hrubý 48 LPSA Plsticit Zpevěí mteriálu Isotropí Kiemtické Směrové Jelikož při stvu sturce hysterezích smyček již edochází k dlšímu rozvoji isotropí části zpevěí, užívá se v cyklické plsticitě spíše pouze kiemtické zpevěí v elieárí ormě. Nově tké zpevěí směrové, které je všk co se popisu vlstostí týče velice komplikové (vitří proměé jsou i tezory čtvrtých vyšších řádů)

49 DPŽ Hrubý 49 LPSA Plsticit isotropí zpevěí lieárí kiemtické zpevěí elieárí kiemtické zpevěí kombiové zpevěí

50 DPŽ Hrubý 50 Isotropí zpevěí (Hill, 950) vo Mises: F F J e k 0 3 k 0 k k0 r pl e Lieárí kiemtické zpevěí (Prger, 956) vo Mises: F S ij S 0 ij ij ij 3 k 0 d 3 ij C d ij pl

51 DPŽ Hrubý 5 Nelieárí kiemtické zpevěí (Armstrog Frederick, 966) vo Mises: F S ij S 0 ij ij ij 3 k 0 pl pl dij C d 3 ij ij de Kombiové isotrop. li. kiem. zpevěí F S ij S 0 ij ij ij 3 k pl d 3 d ij ij C d k k0 r ij pl e pl e

52 DPŽ Hrubý 5 Chboche (rozšířeý Armstrog-Frederick): elieárí kiemtické zpevěí čsto využívé při MKP modelováí cyklické plsticity vo Misesov ukce plsticity: F S ij S 0 ij ij ij 3 k 0 Bckstress vyjádře jko sum dílčích částívo Misesov ukce plsticity: k ij k ij d d k k ij ij k pl k k pl 3 ij ij e C d d... k k pl 3 ij C d... k Posledí bckstress se echává lieárí, by docházelo při MKP simulci ke szšímu uzvíráí hysterezích smyček.

53 stress [MP] DPŽ Hrubý 53 CDK: Chbocheův model zpevěí - umerická klibrce C pl C pl C pl C pl pl th 3 th 4 C k0 th 3 th Je použit cyklická deormčí křivk speciálí tvr ukce bckstressu pltý pro CDK. Posledí bckstress se echává ve tvru lieárího zpevěí, by docházelo při MKP simulci ke szšímu uzvíráí hysterezích smyček CDK - Chboche multisurce kiemtic hrdeig prmeters clibrtio plstic stri [-] pozdove optimli odhd ABAQUS test

54 DPŽ Hrubý 54 LPSA - metody SWT (Smith, Wtso, Topper) prmetr: m SWT E P c b N N E b N c b b c b b N E N N N E E N E Ldgr (ěkdy ozčová jko Morrow): c b m N N E N N

55 DPŽ Hrubý 55 LPSA přehled metod:

56 DPŽ Hrubý 56 LPSA (Morrow) Nkumulová hysterezí eergie během jedoho ztěžovcího cyklu v elstoplstické oblsti při proximci větve hysterezí smyčky podle Msig. pl pl pl pl pl pl d 4 d U pl pl pl pl pl pl pl pl pl pl pl pl

57 DPŽ Hrubý 57 LPSA (Felter) Nkumulová hysterezí eergie během jedoho ztěžovcího cyklu v elstoplstické oblsti při proximci větve hysterezí smyčky dým způsobem. pl pl pl pl E E E E U pl pl pl pl pl pl pl pl pl d 0 0

58 DPŽ Hrubý 58 LPSA kumulce poškozeí: D 0 /N

59 DPŽ Hrubý 59 LPSA s uvžováím sttistiky prvděpodobosti porušeí lze přístup víc ještě obohtit o výpočet bezpečého život pro dou prvděpodobost lomu četost s log P s log N předpokld: log-ormálí rozděleí úvového život výpočet kvtilu prvděpodobosti porušeí: L log B log loglb logl50% L50% u L P P [%] s s s s s s logn log posuv bezpečost L logn log logn log N

60 DPŽ Hrubý 60 Př.: Stoveí životosti ocelového vzorku podle LPSA D: zkušebí vzorek, ztěžový symetricky střídvou osovou silou o mplitudě 000 N, mteriál ocel s E=, 0 5 MP, Poissoovým poměrem =0,3. Msoov-Coiov křivk je zdá prmetry: U: životost podle LPSA (SWT, Lgr)

61 DPŽ Hrubý 6 Př.: Stoveí životosti ocelového vzorku podle LPSA elstické řešeí pro osovou mplitudu síly 000 N: mximálí elstické HMH pětí 439,3 MP, což je tedy i hodot ic_, to je uté přepočítt reálé pětí ve vrubu díky Neuberově hypotéze m=0,5. m m el ic E b c E 0 ic m b c m E i i i i 439,3 MP _ 0 ic MP 400,8 5 Neuber:

62 DPŽ Hrubý 6 Př.: Stoveí životosti ocelového vzorku podle LPSA ebo je možé využít přímo MKP elstoplstické řešeí (Chbocheův model kombice ěkolik kiemtických zpevěí podle Armstrog-Frederick) pro osovou mplitudu síly 000 N: mximálí elstoplstické HMH pětí 40,8 MP, (ABAQUS i klibrčí EXCEL přilože strákách) 40,8 MP Bude uvžováo dále

63 DPŽ Hrubý 63 Př.: Stoveí životosti ocelového vzorku LPSA z reálého pětí se určí reálá deormce; je třeb zdůrzit, že u pětí i deormce o se jedá o uixiálí eektiví (HMH) hodoty víceosé pjtosti v kořei vrubu 40,8 MP el E 40,8, 0 5 0,00 pl K 40, , 0,00058 el pl 0,00 0, ,006

64 DPŽ Hrubý 64 SWT (Smith, Wtso, Topper) prmetr: P Př.: Stoveí životosti ocelového vzorku podle LPSA SWT E 5 0,006, 0 40, , 33 m 479,33 P SWT 05 b N E N 0, 5 N, ,885N N 3339 bc 0,9333 E 05 0 b Ldgr: P m N N L 0,006, 0 5 0, N 0,885N N 556 c 0,8333

65 60 DPŽ Hrubý 65 F Př.: Životosti ocelového těles podle LPSA Ø40 9 F D: těleso ztěžové osovou silou, vyrobeé z oceli s E=, MP, K =8 MP, =0,06, =783,6 MP, b=-0,044. Vrub je deiová součiitelem kocetrce elstických pětí =,5. Jsou zdáy dv módy ztěžováí: ) symetricky střídvá síl o mplitudě 7 kn b) míjivá síl o mplitudě 7 kn U: životost podle LPSA (SWT, Lgr) pro ob dv módy ztěžováí K 783,6 8 0,06 0,47 c b 0,044 0,06 0,7

66 60 DPŽ Hrubý 66 Př.: Životosti ocelového těles podle LPSA ) omiálí hodoty: omiálí průřez F Ø40 9 F om om A F om E om , MP 5 0,00 b) omiálí hodoty: om mom A F A F om m om MP 5 MP om mom E om mom E 5, ,06 0 0,00 5 0,00

67 DPŽ Hrubý 67 Př.: Životosti ocelového těles podle LPSA ) iktiví elstické reálé hodoty: ic ic Neuber: om om,5 5,5 0,00 E ic K 630 MP 0, MP 535,, , MP 535, 8 0,06 0,0036 b) iktiví elstické reálé hodoty (Neuberem uprveo horí pětí): h E hic Neuber: h, MP 0 h K om hic 60 MP 65,4, h 65,4 8 65,4 MP 0,06 dic 0,06 MP m h m h 65,4 307,7 MP 0,06 0,0063

68 DPŽ Hrubý 68 Př.: Životosti ocelového těles podle LPSA ) životosti: SWT (Smith, Wtso, Topper) prmetr: P SWT 630 E 783,6 5 0,0036, , 0 m 0,088 5 N, ,6 0,47 N N (0,0440,7) Ldgr: 0,0036 E m P 0, ,6 0 b c 0,044 N N N 0,47 N L,06 0 N ,7

69 DPŽ Hrubý 69 Př.: Životosti ocelového těles podle LPSA b) životosti: SWT (Smith, Wtso, Topper) prmetr: P SWT 894 E 783,6 5 0,0063, ,7 307,7 m 0,088 5 N, ,6 0,47 N N (0,0440,7) Ldgr: 0,0063 E m P 0, ,6 307,7 b c 0,044 N N N 0,47 N L N 9, ,7

70 DPŽ Hrubý 70

Dynamická pevnost a životnost Kumulace poškození

Dynamická pevnost a životnost Kumulace poškození DPŽ Hrubý Dymcká pevost žvotost Kumulce poškozeí Ml Růžčk, Josef Jurek, Zbyěk Hrubý mechk.fs.cvut.cz zbyek.hruby@fs.cvut.cz DPŽ Hrubý Kumulce poškozeí (R-low, přepočet ekvvletí mpltudu, bezpečý žvot) DPŽ

Více

Dynamická pevnost a životnost Lokální přístupy

Dynamická pevnost a životnost Lokální přístupy DPŽ Hrubý Dynmická pevnost životnost Lokální přístupy Miln Růžičk, Jose Jurenk, Zbyněk Hrubý mechnik.s.cvut.cz zbynek.hruby@s.cvut.cz DPŽ Hrubý Metody predikce únvového život DPŽ Hrubý 3 Výpočtový odhd

Více

Dynamická pevnost a životnost Přednášky - základy

Dynamická pevnost a životnost Přednášky - základy DPŽ Hrubý Dymická pevost životost Předášky - zákldy Mil Růžičk, Jose Jurek, Zbyěk Hrubý mechik.s.cvut.cz zbyek.hruby@s.cvut.cz DPŽ Hrubý Podkldy mechik.s.cvut.cz/predmety/dpz předáškové podkldy podkldy

Více

PEVNOST a ŽIVOTNOST Hru II

PEVNOST a ŽIVOTNOST Hru II PEVNOST ŽIVOTNOST Hru II Ml RůžR ůžčk, Josef Jurek,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz Skutečá pětí deforce ve vrubech fc αs α S C C A A Součtel tvru (s. kocetrce elstckých pětí) α K fc fc t S

Více

Přednášky část 2 Únavové křivky a únavová bezpečnost

Přednášky část 2 Únavové křivky a únavová bezpečnost DPŽ 1 Přednášky čát 2 Únvové křivky únvová bezpečnot Miln Růžičk mechnik.f.cvut.cz miln.ruzick@f.cvut.cz DPŽ 2 Únvové křivky npětí (tre-life curve S-N curve) DPŽ 3 Hitorie únvy mteriálu 19. toletí rozvoj

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru II. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru II. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru II /6 ováí Hru II Ml RůžR ůžčk, Josef Jurek,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru II /6 Skutečá pětí deforce ve vrubech fc αs α S C C A A Součtel tvru (s. kocetrce elstckých

Více

Přednášky část 2 Únavové křivky a únavová bezpečnost

Přednášky část 2 Únavové křivky a únavová bezpečnost DPŽ 1 Přednášky čát 2 Únvové křivky únvová bezpečnot Miln Růžičk mechnik.f.cvut.cz miln.ruzick@f.cvut.cz DPŽ 2 Únvové křivky npětí (tre-life curve S-N curve) DPŽ 3 Hitorie únvy mteriálu 19. toletí rozvoj

Více

Dynamická pevnost a životnost Přednášky - základy

Dynamická pevnost a životnost Přednášky - základy DPŽ Hrubý Dynmická pevnost životnost Přednášky - zákldy Miln Růžičk, Jose Jurenk, Zbyněk Hrubý mechnik.s.cvut.cz zbynek.hruby@s.cvut.cz DPŽ Hrubý Podkldy mechnik.s.cvut.cz/predmety/dpz přednáškové podkldy

Více

Přednášky část 8 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození

Přednášky část 8 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození DPŽ Přednášky část 8 Anlýz provozních ztížení hypotézy kumulce poškození Mln Růžčk mechnk.fs.cvut.cz mln.ruzck@fs.cvut.cz DPŽ Anlýz dynmckých ztížení DPŽ 3 Hrmoncké ztížení x(t) přes soubor relzcí t t

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Přednášky část 2 Únavové křivky a faktory, které je ovlivňují

Přednášky část 2 Únavové křivky a faktory, které je ovlivňují Přednášky část 2 Únavové křivky a faktory, které je ovlivňují Milan Růžička mechanika.fs.cvut.cz milan.ruzicka@fs.cvut.cz 1 Únavové křivky napětí (stress-life curves S-N curves) 2 Historie únavy materiálu

Více

Dynamická pevnost a životnost Přednášky

Dynamická pevnost a životnost Přednášky DPŽ 1 Dynamická pevnost a životnost Přednášky Milan Růžička, Josef Jurenka, Martin Nesládek, Jan Papuga mechanika.fs.cvut.cz martin.nesladek@fs.cvut.cz DPŽ 2 Přednášky část 3 Koncentrace napětí a její

Více

Dynamická pevnost a životnost Přednášky

Dynamická pevnost a životnost Přednášky DPŽ Dyiká pevos živoos Předášky Mil Růžičk, Jose Jurek, Mri Nesládek, J Ppug ehik.s.vu.z ri.esldek@s.vu.z DPŽ Předášky čás 4 Nízkoyklová úv Koere pěí její vliv ízkoyklovou úvu Mri Nesládek ehik.s.vu.z

Více

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema

4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema 4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou

Více

Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady. Milan Růžička

Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady. Milan Růžička Přednášky část 4 Analýza provozních zatížení a hypotézy kumulace poškození, příklady Mlan Růžčka mechanka.fs.cvut.cz mlan.ruzcka@fs.cvut.cz Analýza dynamckých zatížení Harmoncké zatížení x(t) přes soubor

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

v kat. situaci pozemek je projektu vyznačeno uváděn ve

v kat. situaci pozemek je projektu vyznačeno uváděn ve Pomocá tbulk pro kotrolu formálí správosti úplosti projektu OPŽP pro příprvu věcého hodoceí verze pro směr podpory 6.4. Odvozeo dle podmíek 6. výzvy v r. 2008. Jedá se o ezávzou epoviou pomůcku pro práci

Více

Výroba certifikovaných flexibilních teflonových topných těles STFX s flexibilním přívodem

Výroba certifikovaných flexibilních teflonových topných těles STFX s flexibilním přívodem Chlzeí Topeí Výrob certifikových flexibilích tefloových topých těles STFX s flexibilím přívodem Model 500 15000W Všestrá topá těles! jsou odolá většiě kyseli lklických látek mx. teplot lázě pro stdrdí

Více

Dynamická pevnost a životnost Přednášky

Dynamická pevnost a životnost Přednášky DPŽ Dyiká pevos živoos Předášky Mil Růžičk, Jose Jurek, Mri Nesládek, J Ppug ehik.s.vu.z ri.esldek@s.vu.z DPŽ Předášky čás 4 Nízkoyklová úv Koere pěí její vliv ízkoyklovou úvu Mri Nesládek ehik.s.vu.z

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Únava (Fatigue) Úvod

Únava (Fatigue) Úvod Únava (Fatigue) Úvod Únavové křivky napětí - historie 9. století rozvoj technického poznání rozšíření možnosti využití oceli a kovových materiálů v běžné praxi. Rozvoj železniční dopravy parní lokomotiva

Více

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ Příkld 0: Nvrhěte pouďte protě uložeou oelobetoovou tropii rozpětí 6 m včetě poouzeí trpézového plehu jko ztreého beděí. - rozteč tropi m - tloušťk betoové dek elkem 00 mm - oel S 5 - beto C 0/5 - užité

Více

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II

Výpočet vnitřních sil přímého nosníku II Stveí sttik, 1.ročík kářského studi ýpočet vitřích si přímého osíku II ýpočet vitřích si osíků ztížeých spojitým ztížeím: příčé kosttí trojúheíkové spojité ztížeí, spojité ztížeí v osové úoze, mometové

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Dynamická pevnost a životnost Přednášky

Dynamická pevnost a životnost Přednášky DPŽ 1 Dynamická pevnost a životnost Přednášky Milan Růžička, Josef Jurenka, Martin Nesládek, Jan Papuga mechanika.fs.cvut.cz martin.nesladek@fs.cvut.cz DPŽ 2 Přednášky část 3 Koncentrace napětí a její

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Náhodý vektor PRAVĚPOOBNOS A SAISIKA Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor přpomeutí pomů z SP V prví část kurzu SP s rozšíříme pomy o áhodém vektoru z SP: Nechť e áhodý vektor eho složky:

Více

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.

8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b. KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q

Více

Přednášky část 3. Únavové křivky a faktory, které je ovlivňují pokračování. Únavové křivky deformace

Přednášky část 3. Únavové křivky a faktory, které je ovlivňují pokračování. Únavové křivky deformace Přednášky část 3 Únvové křivky ktory, které je ovlivňují pokrčování Únvové křivky deorce Miln Růžičk echnik.s.cvut.cz iln.ruzick@s.cvut.cz 1 Vliv středního npětí Hronické ztěžování plitud npětí: střední

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Pružnost a pevnost. 9. přednáška, 11. prosince 2018

Pružnost a pevnost. 9. přednáška, 11. prosince 2018 Pružost a pevost 9. předáška, 11. prosice 2018 1) Krouceí prutu s kruhovým průřezem 2) Volé krouceí prutu s průřezem a) masivím b) otevřeým tekostěým c) uzavřeým tekostěým 3) Ohybové (vázaé) krouceí Rovoměré

Více

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů

6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů 6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

Pevnost a životnost. Hru I. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Pevnost a životnost. Hru I. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Milan RůžR. zbynek.hruby. - Hru I /00 PEVNOST a ŽIVOTNOST Hru I Milan RůžR ůžička, Josef Jurenka,, Zbyněk k Hrubý zbynek.hruby hruby@fs.cvut.cz - Hru I /0 Literatura Růžička, M., Fidranský,, J. Pevnost a životnost letadel. ČVUT,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

Výpočtová i experimentální analýza vlivu vrubů na omezenou životnost součástí

Výpočtová i experimentální analýza vlivu vrubů na omezenou životnost součástí Výpočtová i experimentální analýza vlivu vrubů na omezenou životnost součástí Martin Laštovka. Úvod Predikce životnosti je otázka, kterou se zabývají inženýři již dlouho dobu. Klasické přístupy jsou zvládnuty,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

2. TVRDOMĚRNÉ ZKOUŠENÍ BETONU

2. TVRDOMĚRNÉ ZKOUŠENÍ BETONU 2. TVRDOMĚRNÉ ZKOUŠENÍ BETONU 2.1 Tvrdoměré zkoušky OBECNĚ podle ČSN 73 1373:2011 2.1.1 Předmět ormy Tto orm měl být zruše krátce po vydáí ČSN EN 12504-2 v roce 2002. Místo toho byl v roce 2011 vydá zovu.

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste

Více

Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Autor cvičení: Doc. Ing. Stanislav Věchet, CSc., Ing. Petr Liškutín, Ing. Martin Petrenec,

Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Autor cvičení: Doc. Ing. Stanislav Věchet, CSc., Ing. Petr Liškutín, Ing. Martin Petrenec, BUM - 7 Únava materiálu Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Autor cvičení: Doc. Ing. Stanislav Věchet, CSc., Ing. Petr Liškutín, Ing. Martin Petrenec, Úkoly k řešení 1. Vysvětlete stručně co je únava materiálu.

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí

Více

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

Nosné stavební konstrukce Výpočet reakcí Výpočet vnitřních sil přímého nosníku Stveí sttik.ročík klářského studi osá stveí kostruke osé stveí kostruke ýpočet rekí ýpočet vitříh sil přímého osíku osá stveí kostruke slouží k přeosu ztížeí ojektu do horiového msívu ěmž je ojekt zlože.

Více

SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ

SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ h Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 11. SRPNA 2013 Název zprcovného celku: SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ SLOŽENÁ NAMÁHÁNÍ Ke sloţenému nmáhání dojde tehdy, vyskytnou-li se součsně

Více

Cyklické namáhání, druhy cyklických namáhání, stanovení meze únavy vzorku Ing. Jaroslav Svoboda

Cyklické namáhání, druhy cyklických namáhání, stanovení meze únavy vzorku Ing. Jaroslav Svoboda Středí průmyslová škola a Vyšší odborá škola tecická Bro, Sokolská 1 Šabloa: Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Aotace: Mecaika, pružost pevost Cyklické amááí, druy

Více

Pruty namáhané. prostým tahem a tlakem. staticky neurčité úlohy

Pruty namáhané. prostým tahem a tlakem. staticky neurčité úlohy Pruty nmáhné prostým them tlkem stticky neurčité úlohy Stticky neurčité úlohy Předpokld: pružné chování mteriálu Stticky neurčité úlohy: počet neznámých > počet podmínek rovnováhy Řešení: počet neznámých

Více

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí

Téma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí Počítačová podpora statických výpočtů Téma: ) Dyamika stavebích kostrukcí Katedra stavebí mechaiky Fakulta stavebí, VŠB V Techická uiverzita Ostrava Rozděleí mechaiky Statika Zabývá se problematikou působeí

Více

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na HEMIKÁ KINETIK hemická kietik je část fyzikálí chemie zbývjící se způsobem rychlostí, kterými chemické rekce procházejí mezi počátečím koečým stvem. To jí odlišuje od chemické termodymiky, která studuje

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o

KKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.

Cílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic. Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Rovinná napjatost tenzometrická růžice Obsah:

Rovinná napjatost tenzometrická růžice Obsah: 5. leke Rovinná npjtost tenzometriká růžie Osh: 5. Úvod 5. Rovinná npjtost 5. Tenzometriká růžie 4 5.4 Posouzení přípustnosti nměřenýh hodnot deforme resp. vyhodnoenýh npět 7 strn z 8 5. Úvod Při měření

Více

2.4. Rovnováhy v mezifází

2.4. Rovnováhy v mezifází 2.4. Rovováhy v mezfází Mezfázím se rozumí teká vrstv (tloušťk řádově odpovídá molekulárím dmezím) rozhrí dvou fází, která se svým složeím lší od složeí stýkjících se fází. Je-l styčá ploch fází mlá, lze

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA

PRUŽNOST A PLASTICITA PRUŽOST A PLASTICITA Ing. Lenk Lusová LPH 407/1 Povinná litertur tel. 59 732 1326 lenk.lusov@vs.cz http://fst10.vs.cz/lusov http://mi21.vs.cz/modul/pruznost-plsticit Doporučená litertur Zákldní typy nmáhání

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut

Více

Pružnost a plasticita II

Pružnost a plasticita II Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná

Více

Únava materiálu. únavového zatěžování. 1) Úvod. 2) Základní charakteristiky. 3) Křivka únavového života. 4) Etapy únavového života

Únava materiálu. únavového zatěžování. 1) Úvod. 2) Základní charakteristiky. 3) Křivka únavového života. 4) Etapy únavového života Únava materiálu 1) Úvod 2) Základní charakteristiky únavového zatěžování 3) Křivka únavového života 4) Etapy únavového života 5) Klíčové vlivy na únavový život 1 Degradace vlastností materiálu za provozu

Více

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků: ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní. Pevnost a životnost Jur I. Pevnost a životnost. Jur I

České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní. Pevnost a životnost Jur I. Pevnost a životnost. Jur I 1/49 Pevnost životnost Jur I Miln Růžičk, Josef Jurenk, Zbyněk Hrubý Poděkování: Děkuji prof. Ing. Jiřímu Kunzovi, CSc z lskvé svolení s využitím některých obrázků z jeho knihy Aplikovná lomová mechnik,

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

Hru I. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Hru I. Milan RůžR. zbynek.hruby. - Hru I 1/75 Dynamická pevnost a životnost Hru I Milan RůžR ůžička, Josef Jurenka,, Zbyněk k Hrubý zbynek.hruby hruby@fs.cvut.cz - Hru I /75 Literatura Růžička, M., Fidranský,, J. Pevnost a životnost letadel.

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

HODNOCENÍ PEVNOSTI A ŽIVOTNOSTI ŠROUBŮ DLE NORMY ASME BPV CODE, SECTION VIII, DIVISION 2

HODNOCENÍ PEVNOSTI A ŽIVOTNOSTI ŠROUBŮ DLE NORMY ASME BPV CODE, SECTION VIII, DIVISION 2 HODNOCENÍ EVNOSTI ŽIVOTNOSTI ŠROUBŮ DLE NORMY SME BV CODE, SECTION VIII, DIVISION 2 STRENGTH ND FTIGUE EVLUTION OF BOLTS CCORDING TO SME BV CODE, SEC. VIII, DIV. 2 Miroslav VRNER 1, Viktor KNICKÝ 2 bstract:

Více

PREDIKCE POŠKOZOVÁNÍ ROTORŮ VYVOLANÉHO VIBRACEMI

PREDIKCE POŠKOZOVÁNÍ ROTORŮ VYVOLANÉHO VIBRACEMI PREDIKCE POŠKOZOVÁNÍ ROTORŮ VYVOLANÉHO VIBRACEMI Prof Ig Miroslav Balda, DrSc Ústav termomechaiky AVČR & Západočeská uiverzita Veleslavíova 11, 301 14 Plzeň, tel: 019-7236584, fax: 019-7220787, mbalda@ufyzcucz

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více

Řídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana

Řídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana kdemický rok 9/ Připrvil: Rdim Fr Řídicí techik Oh (L-trformce) předtvuje velmi účiý átroj při popiu, lýze ytéze pojitých lieárích ytémů řízeí. Účelem trformce je převét ložitý prolém z protoru origiálů

Více

Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, který je centricky zatížen silou

Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, který je centricky zatížen silou Příkld 1: SPŘAŽEÝ SLOUP (TRUBKA VYPLĚÁ BETOE) ZATÍŽEÝ OSOVOU SILOU Posuďte oboustrnně kloubově uložený sloup délk L 5 m, který je entrik ztížen silou 1400 kn. Sloup tvoří trubk Ø 45x7 z oeli S35 vplněná

Více