Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Transkript

1 Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

2 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice. (Limita funkce) Řekneme,žefunkce f nproměnnýchmávbodě A E n limitu b,jestližeke každémuokolí V bodu bexistujeokolí Ubodu Atak,žeprovšechnybody X U, X A,je f(x) V. Píšeme pak lim f(x)=b. (funkce, která nemá limitu v počátku) Funkce f(x,y)= xy x 2 +y 2 definovanáve 2 \{O}nemávpočátku Olimitu. Věta 2.1. Funkce n proměnných má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

3 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Konstantnífunkcí nproměnnýchrozumímefunkci fdefinovanouna E n předpisem f(x)=a, kde a R. Je-li a=0,pakkonstantnífunkcí nproměnnýchnazvemenulovoufunkcí n proměnných. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

4 Limita a spojitost funkce n proměnných Věta 2.2. Je-li pak lim f(x)=b, lim g(x)=c, lim[f(x)+g(x)]=b+c, (1) lim[f(x) g(x)]=b c, (2) je-linavíc c 0,paktaké lim[f(x).g(x)]=b.c, (3) lim f(x) g(x) = b c. (4) Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

5 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Polynomem nproměnnýchserozumífunkce,kterálibovolnémuboduze n přiřazuje součet součinů nějakých čísel a celých nezáporných mocnin jeho souřadnic, tj. součet výrazů tvaru ax k 1 1 xk xk n n zvaných členy polynomu, přitom k 1,k 2,...,k n jsoucelánezápornáčíslaačíslo asenazývákoeficient příslušného členu. f(x 1,x 2,...,x n )=x 1 +2x 2 2+3x nx n n g(x 1,x 2,...,x n )= x 1x 2 2x 3...x n n definovanéna E n jsoupolynomy nproměnných. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

6 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Racionální funkcí n proměnných je funkce, která vzniká dělením dvou polynomů, přičemždělitelnenínulováfunkce.jejímdefiničnímoboremje E n svýjimkoukořenů dělitele. f(x,y)= xy x 2 +y 2. Je-li f polynom n proměnných, pak lim f(x)=f(a) prokaždýbod A E n. Je-li f racionální funkce n proměnných definovaná v bodě A, pak lim f(x)=f(a). Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

7 Limita a spojitost funkce n proměnných Vdefinicilimitymísto b Ružijemenevlastníbod nebo. Definice. (Nevlastní limita funkce) Řekneme,žefunkce f nproměnnýchmávbodě A E n nevlastnílimitu,resp.,jestližekekaždémuokolí V nevlastníhobodu,resp.,existujeokolí U bodu Atakové,žeprovšechnybody X U, X A,je f(x) V. Píšeme pak lim f(x)= resp. lim f(x)=. Nevlastní limity mají analogické vlastnosti jako limity. lim [x,y] [0,0] s-okolí, tj. V =(s, ) s >0 U 1 s (0). 1 x 2 +y 2=. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

8 Limita a spojitost funkce n proměnných Definice Nechť A D f,pakřekneme,žefunkce f nproměnnýchjespojitávbodě A,jestliže lim f(x)=f(a). Polynom nproměnnýchjespojitývkaždémbodě A E n. Racionálnífunkce nproměnnýchjespojitávkaždémbodě A E n,vněmžje definována. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

9 Limita a spojitost funkce n proměnných Věta 2.4. (o spojitosti součtu, rozdílu, součinu a podílu) Jsou-lifunkce fa g nproměnnýchspojitévbodě A,pakjsouvbodě Aspojitéi funkce f+g, f gaf.g,je-linavíc g(a) 0jevbodě Aspojitáifunkce f g. Věta 2.5. (o spojitosti složené funkce) Jsou-lifunkce g 1,g 2,...,g p nproměnnýchspojitévbodě Aaje-lifunkce h p proměnnýchspojitávbodě B=[g 1 (A),g 2 (A),...,g p (A)],paksloženáfunkce f= h(g 1,g 2,...,g p )jespojitávbodě A. Vyšetřetespojitostfunkce f(x,y)= x 2 +y 2 +1vbodě[0,0]. g(x)=x 2 +y 2 +1spojitávbodě[0,0] h(x)= xspojitávbodě1 tedydlevěty f= h(g)jespojitávbodě[0,0]. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

10 Derivace a diferenciály funkce n proměnných Definice. (Parciální derivace) fjefunkce nproměnnýchsdefiničnímoborem D(f), A=[a 1,...,a n ] D(f), jje některézčísel1,2,...,n. Definujemefunkcijednéproměnné g j sdefiničnímoborem a s funkčním předpisem D(g j )={x R;[a 1,a 2,...,a j 1,x,a j+1,...,a n ] D(f)} g j (x)=f(a 1,a 2,...,a j 1,x,a j+1,...,a n ). Má-lifunkce g j derivacivbodě a j,nazývámejiparciálníderivacífunkce fpodle proměnné x j vbodě Aaoznačíme f x j (A). Tedy f (A)=g x j(a j ). j Parciálníderivacífunkce fpodleproměnné x j rozumímefunkci nproměnných označenou f x j,kterákaždémubodu A D(f),vněmžexistujeparciálníderivace podleproměnné x j,přiřazujejejíhodnotu. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

11 Derivace a diferenciály funkce n proměnných Poznámka. Parciálníderivacípodleproměnné x j vypočítámetak,ževšechnyproměnnéažna j-tou považujeme zakonstantyastanovímederivacitaktovznikléfunkcejedné proměnné. Určete obě parciální derivace funkce dvou proměnných definovanéve 2. f(x,y)=x 2 +xy+2y 2 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

12 Derivace a diferenciály funkce n proměnných Věta 3.1. Má-li funkce f n proměnných v nějakém okolí bodu A omezené parciální derivace podlevšechproměnných,pakjevbodě Aspojitá. Poznámka. Samotná existence parciálních derivací podle všech proměnných v bodě A nezaručuje spojitost funkce v bodě A. Uvažujme funkci dvou proměnných f(x,y)= { 0 pro x 0asoučasně y 0, 1 pro x=0nebo y=0, definovanouna E 2. neníspojitávpočátku,ale f x =0a f y =0. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

13 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Definice. Řekneme, že funkce f n proměnných je diferencovatelná v bodě A, jestliže existují čísla c 1,c 2,...,c n taková,že lim f(x) f(a) c 1 (x 1 a 1 ) c 2 (x 2 a 2 ) c n (x n a n ) d(x, A) =0, přičemž d(x,a)jevzdálenostbodů A=[a 1,a 2,...,a n ], X=[x 1,x 2,...,x n ]. Věta 3.2. Je-lifunkce f nproměnnýchdiferencovatelnávbodě A,pakjevbodě Aspojitá,má v něm parciální derivace podle všech svých proměnných a platí c j = f x j (A) pro j=1,2,...,n. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

14 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Definice. Je-li funkce f n proměnných diferencovatelná v bodě A, definujeme diferenciál funkce fvbodě Ajakofunkci definovanouna E n. d fa (X)=c 1 (x 1 a 1 )+c 2 (x 2 a 2 )+ +c n (x n a n ) Věta 3.3. Má-li funkce f v bodě A spojité parciální derivace podle všech proměnných, pak je funkce f diferencovatelná v bodě A. Zjistěte, zda je funkce f(x,y)=x 2 +xy+2y 2 diferencovatelnávbodě A=[1,2],avkladnémpřípaděurčete d fa. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

15 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Nyní n=2, ffunkcedvouproměnnýchdiferencovatelnávbodě A=[a 1,a 2 ],pakjejí diferenciál v tomto bodě je tvaru d fa (X)= f x (A)(x a 1)+ f y (A)(y a 2) grafem je rovina z= f x (A)(x a 1)+ f y (A)(y a 2). rovina y=a 2 vnipřímka z= f x (A)(x a 1)rovnoběžnástečnou rovina x=a 1 vnipřímka z= f y (A)(y a 2)rovnoběžnástečnou Rovinaprocházejícíoběmatečnamiprůsečnicgrafufunkce fsrovinami x=a 1 a y= a 2 jetedyrovnoběžnásgrafemdiferenciálufunkce fvbodě A,márovnici z= f(a)+d fa (X)=f(A)+ f x (A)(x a 1)+ f y (A)(y a 2) anazývámejitečnourovinougrafufunkce fvbodě T=[a 1,a 2,f(A)]. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16

16 Funkce diferencovatelné v bodě a diferenciál Určete tečnou rovinu plochy vbodě T=[1,2,11]. z= x 2 +xy+2y 2 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS / 16