Míra a měřitelné funkce. 1.1 Měřitelné množiny. 1.2 Míra a vnější míra
|
|
- Lukáš Zeman
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KAPITOLA 1: Míra a měřitelné funkce P(X) = {A A X} potenční možina množiny X 1.1 Měřitelné množiny dále předpokládáme X Systém S podmnožin množiny X se nazývá algebra, jestliže (A1) S, (A2) (A3) A S X\A S (uzavřenost na doplněk), A, B S A B S (uzavřenost na sjednocení). Systém S se nazývá σ-algebra, pokud splňuje podmínky (A1), (A2) a (A3σ) A 1, A 2,... S A j S. Je-li S σ-algebra na X, nazýváme dvojici (X, S) měřitelný prostor a množiny A S nazýváme S-měřitelné. Platí: Podmínky (A1), (A2) v definici (σ-)algebry lze nahradit podmínkami (A1 ) X S (A2 ) A, B S A \ B S Platí: a) Každá algebra je uzavřená na průnik. b) Každá algebra je uzavřená na konečná sjednocení a konečné průniky, tj. A 1, A 2,..., A n S A 1 A 2... A n S a A 1 A 2... A n S. c) Každá σ-algebra je uzavřená na spočetné průniky. Nechť F P(X). Nejmenší σ-algebru, která obsahuje všechny množiny z F ( obsahuje F ) značíme σ(f) a říkáme jí σ-algebra generovaná F. (Podobně lze definovat algebru generovanou F.) 1.2 Míra a vnější míra Je-li Y a G P(Y ), pak zobrazení τ : G R, kde R = R {, + }, říkáme množinová funkce. Jsou-li U, V P(Y ), U V, µ : U R, ν : V R, µ(a) = ν(a) pro všechna A U, pak ν je rozšíření µ z U na V a µ je zúžení ν z V na U. Nechť (X, S) je měřitelný prostor (tj. S P(X) je σ-algebra). Množinová funkce µ : S 0, se nazývá míra, jestliže splňuje: (M1) µ( ) = 0, (M2) Jsou-li A j S, j = 1, 2,..., po dvou disjunktní (tj. A i A j = pro i j), pak ( µ j N ) A j = µ(a j ). (σ-aditivita) j N Trojici (X, S, µ) nazýváme prostor s mírou. 1
2 Příklady: iracova míra: ( =) X libovolná množina, a X pevně zvolené, S = P(X) { 1, a A δ a (A) = 0, a A Aritmetická (též (po)čítací) míra: ( =) X libovolná množina, S = P(X) { počet prvků A pro A konečnou α(a) = pro A nekonečnou Lebesgueova míra: zobecňuje pojmy délka intervalu, obsah obdélníka, objem kvádru (více viz dále) Věta 1.1 (vlastnosti míry) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, (A j ) S. Pak (1) Je-li A 1 A 2, pak µ(a 1 ) µ(a 2 ). (monotonie míry) (2) µ ( ) A j µ(a j ). (3) Je-li A 1 A 2 A 3..., pak (4) Je-li A 1 A 2 A 3... a µ(a 1 ) <, pak µ ( µ ( A j ) = lim j µ(a j). A j ) = lim j µ(a j). Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Pak míru µ nazýváme konečná je-li µ(x) <, σ-konečná existují-li X 1, X 2,... X tak, že µ(x j ) < j a X j = X, pravděpodobnostní je-li µ(x) = 1, (X, S, µ) pak nazýváme pravděpodobnostní prostor, úplná je-li každá podmnožina množiny míry nula měřitelná Věta 1.2 (zúplnění míry) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Pak existuje nejužší rozšíření (S, µ) míry (S, µ) na úplnou míru. Míru (S, µ) nazýváme zúplnění míry (S, µ). Tvrzení 1.3 : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, S. Pak (, S, µ ), kde S = {A S A } (= {B B S}) a µ = µ S, je prostor s mírou. Pokud je míra µ úplná, je i míra µ úplná. Konstrukce míry z množinové funkce přes vnější míru Mějme G P(X) a množinovou funkci τ : G 0, splňující G, τ( ) = 0. efinujme množinovou funkci τ : P(X) 0, tak, že pro A X položíme { τ (A) = inf τ(b j ) B j G pro j N a A B j }. 2
3 Jsou-li B j G a A B j, nazýváme τ(b j) horní součet k τ (A). Poznámka : Může se stát, že τ (A) τ(a) pro nějaké A G. Množinová funkce γ : P(X) 0, se nazývá vnější míra na množině X, jestliže (VM1) γ( ) = 0 (VM2) A B γ(a) γ(b) (monotonie) (VM3) γ( A j ) γ(a j ) (σ-subaditivita) Věta 1.4 : Množinová funkce τ je vnější míra (na X). Nechť γ : P(X) 0, je vnější míra na X. Množina A X se nazývá γ-měřitelná (podle Carathéodoryho), jestliže pro každou množinu T X platí γ(t ) = γ(t A) + γ(t \A). Množinu všech γ-měřitelných množin značíme M(γ) a pro A M(γ) pokládáme γ (A) = γ(a). Tedy γ = γ M(γ) (zúžení γ na M(γ) ). Věta 1.5 (Carathéodoryova) : Nechť γ σ-algebra a γ je úplná míra. je vnější míra na X. Pak systém γ-měřitelných množin M(γ) je 1.3 Lebesgueova míra na R n a, b R = R {, + }, a b (a, b), a, b), (a, b, a, b (jednorozměrný) interval (a, b usměrněný interval (není to běžně používaný název, zjednoduší nám ale vyjadřování) I 1 = {I I - interval, a, b R} (systém všech omezených intervalů v R) Ĩ 1 = {(a, b < a b < } (systém všech omezených usměrněných intervalů v R) délka intervalu I s krajními body a, b, kde < a b < : l(i) ( = l 1 (I) ) = b a Platí: Pokud sjednocením, průnikem či rozdílem usměrněných intervalů je interval, pak je usměrněný. n-rozměrný interval: I = I 1 I 2... I n, kde I i jsou jednorozměrné intervaly usměrněný n-rozměrný interval: I n = {I R n I je omezený interval } I = I 1 I 2... I n, kde I i jsou usměrněné jednorozměrné intervaly Ĩ n = {I I n I je usměrněný } usměrněný poloprostor: množina typu {x R n x i c} nebo {x R n x i > c}, kde c R a i {1,..., n} je vhodná dvojice čísel 3
4 elementární objem n-rozměrného intervalu I = I 1 I 2... I n I n : l n (I) = l(i 1 ) l(i 2 )... l(i n ) Platí: Každý usměrněný interval v R n je průnik 2n usměrněných poloprostorů. Platí: Jsou-li I usměrněný interval a H usměrněný poloprostor v R n, pak I H a I\H jsou usměrněné intervaly. Vlastnosti funkce l n na Ĩn: l n je aditivní v tomto smyslu: pro každý usměrněný interval I n a usměrněný poloprostor H platí l n (I) = l n (I H) + l n (I\H) l n je nezáporná (zřejmé) l n je zprava spojitá v tom smyslu, že kdykoliv (Q j ) Ĩn, I Ĩn a Q j I (tj. Q j+1 Q j, I = Q j ) nebo Q j I (tj. Q j Q j+1, I = Q j ), pak l n (Q j ) l n (I) pro j. Příklady dalších aditivních nezáporných zprava spojitých funkcí intervalu: iracova funkce: x R n pevně zvoleno, I Ĩn d x (I) = { 1, x I 0, x I funkce m n : Ĩ n R definovaná pomocí neklesající zprava spojité funkce F : R R tak, že m n (I 1 I 2... I n ) = m 1 (I 1 ) m 1 (I 2 )... m 1 (I n ), kde pro I j = (a j, b j je m 1 (I j ) = F (b j ) F (a j ). Vnější míru ln na R n generovanou elementárním objemem l n na Ĩn, tj. ln(a) = inf{ l n (Q j ) Q j Ĩn pro j N, A Q j }, nazýváme Lebesgueova vnější míra. Vnější míru m, která je daná obecnou konečnou aditivní nezápornou zprava spojitou funkcí m na Ĩn nazýváme Lebesgue-Steiltjesova vnější míra generovaná m. Platí: Lebesgueova vnější míra je definovaná na celé P(R n ), je monotonní a σ-subaditivní. Věta 1.6 : Pro každé I Ĩn platí l n(i) = l n (I). ůsledek 1.7 : Nechť I I n. Pak l n(i) = l n (I). Tvrzení 1.8 : l n je translačně invariantní, tj. pro každé A R n, x R n je při označení A + x = {a + x a A} l n(a + x) = l n(a). Řekněme, že A R n je lebesgueovsky měřitelná (píšeme A M n ), jestliže pro každý usměrněný interval Q Ĩn platí ln(q) = ln(q A) + ln(q\a). Pro A M n položíme λ n (A) = l n(a). λ n nazýváme Lebesgueova míra. Podobně pro m nezápornou zprava spojitou aditivní funkci na intervalu dostaneme Lebesgue-Stieltjesovu míru generovanou m. 4
5 Tvrzení 1.9 : a) Je-li H usměrněný poloprostor v R n, pak H M n. b) Je-li H usměrněný poloprostor v R n a A M n, pak H A M n. c) Je-li I usměrněný interval v R n, pak I M n (tedy Ĩn M n ). Věta 1.10 : Množina A R n tj. je lebesgueovsky měřitelná právě tehdy, když je l n-měřitelná podle (Carathéodoryho), l n(t ) = l n(t A) + l n(t \ A) T R n. Tedy M n = M n (l n) a λ n = (l n). (M n je tak σ-algebra a λ n je úplná míra). ůsledek 1.11 : Každý interval je lebesgueovsky měřitelný. Věta 1.12 : Existuje množina B (0, 1) taková, že B M 1 (tj. B je neměřitelná). Tedy Lebesgueova vnější míra l1 není aditivní. 1.4 Borelovské množiny v R n x = (x 1, x 2,..., x n ) R n... x = x x2 n norma x r > 0, x R n... B r (x) = {y R n x y < r} otevřená koule se středem x a poloměrem r (okolí bodu x o poloměru r) (x k ) k=1 Rn, x R n, x k x 0 pro k... x k x pro k, Množina M R n je otevřená, jestliže pro každé x M existuje r > 0 tak, že B r (x) M. Množina M R n je uzavřená, jestliže je množina R n \ M otevřená. To nastává právě tehdy, když platí kdykoliv (x k ) k=1 M, x R N a x k x, pak x M. Platí: R n, jsou otevřené množiny. R n, jsou uzavřené množiny. Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina. Průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina. Průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená množina. Sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina. Tvrzení 1.13 : Každá otevřená množina G R n je sjednocením spočetně mnoha usměrněných intervalů. Označme G = {A R n A je otevřená }. Pak definujeme B(R n ) = σ(g), tedy B(R n ) je nejmenší σ-algebra podmnožin R n, která obsahuje všechny otevřené množiny. Množiny ze σ-algebry B(R n ) nazýváme borelovské. Platí: B(R n ) obsahuje také všechny uzavřené množiny. 5
6 Je-li A σ-algebra obsahující všechny usměrněné intervaly v R n, pak B(R n ) A. B(R n ) M n. Tedy každá borelovská množina je lebesgueovsky měřitelná. Věta 1.14 (charakterizace lebesueovsky měřitelných množin) : Buď E R n. Pak jsou ekvivalentní tvrzení (i) E M n (ii) Pro každé ε > 0 existují otevřená množina G R n a uzavřená množina F R n, takové že F E G a λ n (G\F ) < ε. (iii) Existují borelovské množiny P, Q R n (přesněji P typu F σ spočetné sjednocení uzavřených množin, Q typu G δ spočetný průnik otevřených množin) takové, že P E Q a λ n (Q\P ) = 0. (iv) Existují borelovské množiny M, N takové, že λ n (N) = 0 a (E\M) (M\E) N. 1.5 Měřitelné funkce Nechť (X, S) je měřitelný prostor, S. Pak f : R nazýváme S-měřitelná funkce na, jestliže pro každé α R platí {x f(x) > α} = f 1 ((α, ) S. Komplexní funkce na je S-měřitelná, jestliže jsou S-měřitelné její reálná i imaginární část. Zřejmě: Je-li f S-měřitelná na S, S,, pak je f S-měřitelná i na. Je-li f S-měřitelná na 1, 2 S, pak je f S-měřitelná i na 1 2. Platí: Následující tvrzení jsou ekvivalentní f je S-měřitelná na, tj. pro každé α R je {x f(x) > α} = f 1 ((α, ) S. Pro každé α R je {x f(x) α} = f 1 (, α ) S. Pro každé α R je {x f(x) < α} = f 1 (, α)) S. Pro každé α R je {x f(x) α} = f 1 ( α, ) S. Aritmetické operace v R = R {, + }: nedefinujeme: + ( ), definujeme (zde): 0 (± ) = 0 ± ±, a 0 (a R) Tvrzení 1.15 : Nechť f, g jsou S-měřitelné funkce na X, α R. Pak a) {x X f(x) < g(x)} S ( zkráceně zde {f < g} S a analogicky jinde ) b) {x X f(x) = + } = f 1 ({+ }) S {x X f(x) = } = f 1 ({ }) S c) {x X f(x) = α} = f 1 ({α}) S 6
7 Značení: Pro f : R označíme f + = max{f, 0} (kladná část f), f = max{ f, 0} (záporná část f). Tvrzení 1.16 : Nechť f je S-měřitelná funkce na S, φ spojitá funkce na otevřené nebo uzavřené množině G R. Pak množina = {x f(x) G} je měřitelná a funkce φ f je S-měřitelná na. Věta 1.17 : Nechť f, g, f 1, f 2,... jsou S-měřitelné funkce na S, λ R. Pak a) funkce λf, f, f +, f, f 2 jsou S-měřitelné na, funkce 1 f f g je S-měřitelná na {x f(x) 0}, b) funkce f + g, f g, f g, jsou S-měřitelné na podmnožině množiny, na které má daná operace smysl, ( ) c) funkce max {f 1,..., f n }, min {f 1,..., f n }, sup {f j }, inf {f EF. j}, lim sup f j = lim sup{f i }, j N j N j j i j ( ) lim inf f def. j = lim inf {f i} jsou S-měřitelné na, j j i j d) množina všech x, kde existuje lim j f j(x) je S-měřitelná a funkce lim f j je S-měřitelná na. j ůsledek 1.18 : Nechť f, g jsou S-měřitelné funkce na S. Pak {x f(x) = g(x)} S. Nechť A X. Funkci χ A : X {0, 1} takovou, že { 1, x A χ A (x) = 0, x / A nazýváme charakteristická funkce množiny A v X. Nebude-li hrozit nedorozumění, budeme zúžení funkce χ A na množinu S (tj. charakteristickou funkci množiny A v ) značit také χ A. Zřejmě: χ A je měřitelná, právě když je A měřitelná pro i j a Systém {A 1,..., A n } podmnožin množiny se nazývá rozkladem množiny, jestliže A i A j = n A i =. i=1 Funkce f se nazývá jednoduchá, pokud je lineární kombinací charakteristických funkcí měřitelných množin, tj. existují množiny A 1,..., A n S a čísla α 1,..., α n R taková, že f = n α i χ Ai. i=1 Věta 1.19 : Nechť (X, S) je měřitelný prostor a f je nezáporná měřitelná funkce na S. Pak existují jednoduché nezáporné funkce f k f (tj. f k+1 f k pro každé k a lim f k(x) = f(x) pro každé x). Navíc f lze k vyjádřit ve tvaru ( n ) f = 2 j χ Ej = lim 2 j χ Ej, kde E j S. j= n j= n ůsledek 1.20 : Nechť f je S-měřitelná na S. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí (f n ) n=1 taková, že f n f a f n f na. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. ále nechť f : R je S-měřitelná funkce na S,, µ(\ ) = 0. Pak funkci f nazveme µ-měřitelnou na. Poznámka : Pokud v budoucnu použijeme bez dalšího upřesnění jen stručné označení funkce měřitelná na, budeme mít na mysli funkci µ-měřitelnou na. 7
8 KAPITOLA 2: Abstraktní Lebesgueův integrál (X, S, µ) prostor s mírou, S s.v. = skoro všude, pro skoro všechna apod.... až na množinu míry nula 2.1 Zavedení a základní vlastnosti Konstrukce integrálu Při konstrukci integrálu postupujeme v několika krocích. definujeme ho nejdříve pro nejjednodušší funkce a od nich pak přecházíme k funkcím obecnějším. Nechť S (1) Je-li s nezáporná jednoduchá funkce, s = m α j χ Aj, kde A i A j = i j, pak definujeme s dµ = m α j µ(a j ). (2) Je-li f nezáporná S-měřitelná funkce na, pak definujeme { f dµ = sup s dµ } s je jednoduchá funkce, 0 s f na. (3) Je-li f S-měřitelná funkce na, pak definujeme f dµ = má-li tento rozdíl smysl (tj. není ). f + dµ f dµ, (4) Je-li f S-měřitelná na, µ(\ ) = 0 (tedy f je také µ-měřitelná na ), definujeme f dµ = f dµ, pokud je integrál vpravo definován. Je-li integrál f dµ definován, říkáme, že má smysl nebo že f má integrál. Pokud je integrál navíc konečný, říkáme, že f dµ konverguje nebo že f je integrovatelná na. Poznámky: 1) Je-li funkce f integrovatelná, je integrovatelná i f. Tedy každá integrovatelná funkce je absolutně integrovatelná (říkáme též, že Lebesgueův integrál je absolutně konvergentní). Zřejmě přitom platí f dµ f dµ. 2) efinice abstraktního integrálu z jednoduché funkce je korektní, tj. nezávisí na výběru vyjádření funkce s jako lineární kombinace charakteristických funkcí po dvou disjunktních množin. 3) Určení f dµ pro f 0 jednoduchou podle (1) a (2) dává stejné hodnoty. 4) Je-li S, µ() = 0, pak pro každou měřitelnou funkci f je f dµ = 0. 5) efinice integrálu µ-měřitelné funkce je korektní, tedy nezávisí na volbě množiny uvedených vlastností. 8
9 6) Je-li f definována na S a M, M S, pak zřejmě platí f dµ = fχ M dµ. M 7) Někdy (např. když integrál bude záviset na parametru) budeme psát f(x) dµ(x) místo f dµ. 8) Pro (X, S, µ) = (R n, M n, λ n ) používáme značení f dx := f dλ n, E E Index u M a λ označující dimenzi někdy vynecháváme. b a f dx := (a,b) f dλ 1. 9) Při výpočtu integrálů používáme tento vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem: Nechť f je riemannovsky integrovatelná funkce na a, b. Potom Lebesgueův integrál funkce f od a do b (tj. přes a, b ) konverguje a je roven integrálu Riemannovu. Tvrzení 2.1 : Nechť S a funkce f, g jsou měřitelné na. Pak platí a) Je-li f 0, 1, 2 S, 1 2, pak 1 f dµ 2 f dµ. b) Je-li f dµ <, pak f < skoro všude na. c) Je-li f dµ = 0, pak f = 0 skoro všude na. d) Jestliže f, g mají integrál přes a f g skoro všude na, pak f dµ g dµ. (monotonie integrálu) e) Je-li g dµ < a f g skoro všude na, pak f je integrovatelná. ůsledek 2.2 : a) Jestliže f dµ = 0 pro každou měřitelnou množinu E S, pak f = 0 s.v. na. E b) Nechť f a g jsou integrovatelné na S. Jestliže E f dµ g dµ pro každou měřitelnou množinu E, E pak f g s.v. na. Věta 2.3 (Leviho o monotonní konvergenci) : Nechť (f j ) je posloupnost měřitelných funkcí na S, 0 f 1 f 2... a f = lim f j. Potom j f dµ = lim f j dµ. j Poznámka: Předpoklad 0 f 1 ve Větě 2.3 lze nahradit předpokladem f 1 dµ >. ůsledek 2.4 (Spojitá závislost na integračním oboru) : a f je nezáporná měřitelná funkce na. Potom f dµ = lim f dµ. k E k Nechť, E k S, E 1 E 2..., k=1 E k = Věta 2.5 (Linearita integrálu) : a) Nechť funkce f a g jsou měřitelné na S. Potom (f + g) dµ = má-li pravá strana smysl. f dµ + g dµ, 9
10 b) Nechť f je měřitelná funkce na S, τ R. Pokud má f integrál, pak τf dµ = τ f dµ. Tvrzení 2.6 : Nechť 1, 2 S, 1 2 =, 1 2 =. Pak f dµ = f dµ + f dµ, 1 2 pokud má některá strana smysl. Značení: Z předchozího dostáváme: Tvrzení 2.7 (Vlastnosti L 1 (µ)) : L 1 (µ) = { f X } f dµ konverguje. a) Je-li f L 1 (µ), pak f L 1 (µ) a X f dµ f dµ. X b) Je-li f L 1 (µ), pak f < s.v. na X. c) Je-li f, g L 1 (µ), α, β R, pak αf + βg L 1 (µ) (tj. L 1 (µ) je lineární prostor) a platí (αf + βg) dµ = α f dµ + β g dµ. X X X d) Pro f, g L 1 (µ) je max{f, g}, min{f, g} L 1 (µ). e) Je-li f měřitelná, g L 1 (µ), f g s.v., pak f L 1 (µ). 2.2 Záměna limity a integrálu (Mezi tyto věty patří také Leviho věta o monotonní konvergenci viz Věta 2.3) Vsuvka: Limes superior a limes inferior posloupnosti (a j ) ( ) lim inf a j = lim inf {a i}, lim sup j j i j j jsou definovány vztahy ( ) a j = lim sup {a i }. j i j Tedy zřejmě vždy platí lim inf j a j lim sup j a rovnost nastává právě tehdy, když existuje limita posloupnosti (a j ). V tom případě jsou jí lim inf j a j lim sup j a j rovny, tedy a j a lim sup a j = lim inf a j = a právě tehdy, když existuje lim a j = a. j j j Lemma 2.8 (Fatouovo) : Nechť S a (f j ) je posloupnost nezáporných měřitelných funkcí na. Pak lim inf j dµ lim inf f j dµ. j j Věta 2.9 (Lebesgueova o majorizované konvergenci) : Nechť S a f, f j, j = 1, 2,..., jsou měřitelné funkce na. Nechť posloupnost (f j ) konverguje s.v. na k f a existuje integrovatelná (na ) funkce g (tzv. majoranta) tak, že f j (x) g(x) pro každé j N a s.v. x. 10
11 Potom f dµ = lim f j dµ. j Poznámka: Rovnost ( limj f j ) dµ = limj ( f j dµ) obecně neplatí. Věta 2.10 (Leviho pro řady) : Nechť S a g j 0, j = 1, 2,..., jsou funkce měřitelné na. Pak g j dµ = g j dµ. Věta 2.11 (Lebesgueova pro řady) : Nechť (h j ) je posloupnost měřitelných funkcí na S g je integrovatelná funkce na. Jestliže n h j (x) g(x) pro každé n N a řada h j konverguje s.v. na, pak h j dµ = h j dµ. 2.3 Střední hodnota náhodné veličiny Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor (tj. je to prostor s mírou, v kterém P (Ω) = 1). Pak A-měřitelnou funkci X : Ω R nazýváme náhodná veličina, integrál z náhodné veličiny X vzhledem k míře P (pokud existuje) nazýváme střední hodnota náhodné veličiny X a značíme jej EX, tj. ( ) EX = X dp = X(ω) dp (ω), distribuční funkci F X náhodné veličiny X definujeme vztahem ( F X (x) = P ({X x}) = P ({ω Ω X(ω) x}) Ω Ω ), x R. Střední hodnota diskrétní a absolutně spojité náhodné veličiny Řekneme, že náhodná veličina je diskrétní (má diskrétní rozdělení), pokud existují posloupnost reálných čísel (x n ) n N0 (N 0 N) a posloupnost kladných čísel (p n ) n N0 takové, že p n = 1 n N 0 a p n = P ( {X = x n } ) ( ) = P ({ω Ω X(ω) = x n }). Poznámka: Pro distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny X zřejmě máme F X (x) = P ({X x}) = n N0 xn x p n. Platí: Jestliže je X diskrétní náhodná veličina, pak EX = n N 0 x n p n. 11
12 Řekneme, že náhodná veličina je absolutně spojitá (má absolutně spojité rozdělení), pokud existuje nezáporná borelovsky měřitelná funkce f taková, že F X (x) = P ({X x}) = Funkci f pak nazýváme hustota náhodné veličiny X. x f(t) dt. Platí: Jestliže je X absolutně spojitá náhodná veličina, pak EX = tf(t) dt. 2.4 Fubiniova věta v R N Značení: Nechť n, k N a N = n + k. Pro x = (x 1,..., x n ) R n a y = (y 1,..., y k ) R k označíme (x, y) := (x 1,..., x n, y 1,..., y k ) R N. Je-li M R n+k měřitelná množina, f měřitelná funkce na M, pak používáme značení f(x, y) dx dy := f dλ n+k. M M Je-li M R n+k, pak pro x R n a y R k položíme M x, = {y R k (x, y) M}, M,y = {x R n (x, y) M}. Množinám M x, a M,y říkáme řezy. Tvrzení 2.16 : Nechť M R n+k je M n+k -měřitelná množina. Pak pro každá x R n a y R k je množina M x, M k -měřitelná a množina M,y M n -měřitelná, funkce x λ k (M x, ) a y λ n (M,y ) jsou měřitelné a λ n+k (M) = λ k (M x, ) dλ n = λ n (M,y ) dλ k. R n R k Věta 2.19 (Fubiniova v R N ) : Nechť M R n+k je měřitelná množina a f je funkce měřitelná na M, která má integrál M f dλ n+k. Potom pro skoro všechna x R n je definován integrál g(x) := f(x, y) dλ k (y) M }{{} x, píšeme: dy a platí neboli M M f(x, y) dx dy = f dλ n+k = R n R n g dλ n, ( ) f(x, y) dy dx. M x, Poznámka : Ve větě 2.19 není podstatné, že x 1,..., x n je právě prvních n složek bodu z R n+k. Stejným způsobem bychom za předpokladu existence integrálu M f dλ n+k (ten je ve Větě 2.19 podstatný) dostali také ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. M R k M,y Mohli bychom tedy zaměnit pořadí inegrace: ( ) f(x, y) dy dx = M x, R n R k ( ) f(x, y) dx dy. M,y 12
13 2.5 Věta o substituci Nechť G R n je otevřená množina a ψ = (ψ 1,..., ψ n ) : G R n má v bodě x G všechny (první) parciální derivace. Pak matici ( ) ψi ( x) x j i=1,...,n,...,n se nazýváme Jacobiho matice zobrazení ψ v bodě x. eterminant této matice nazýváme Jacobián zobrazení ψ v bodě x a značíme ho J ψ ( x). Existuje-li lineární zobrazení L : R n R n takové, že ψ( x + h) ψ( x) L(h) lim h 0 h = 0, řekneme, že ψ má v bodě x (Frechetovu) derivaci. V tomto případě je L reprezentováno Jacobiho maticí a značí se ψ ( x). Zobrazení ψ nazveme regulární na G, jestliže má na G spojitou derivaci (tj. všechny jeho parciální derivace jsou na G spojité) a J ψ (x) 0 pro každé x G. Věta 2.20 (O substituci) : Nechť G R n je otevřená množina a ψ : G R n je prosté regulární zobrazení. Nechť u je funkce na M ψ(g). Potom u(x) dx = u(ψ(t)) J ψ (t) dt, pokud má alespoň jedna strana smysl. M ψ 1 (M) 2.6 Integrály závislé na parametru Věta 2.21 (Spojitost integrálu závislého na parametru) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, S, a R a U je okolí bodu a. Nechť funkce F : U R má tyto vlastnosti (a) pro s.v. x je funkce F (., x) spojitá v a, (b) pro všechna t U je funkce F (t,. ) měřitelná, (c) existuje g L 1 () tak, že pro všechna t U je F (t,. ) g skoro všude na (tj. F (t, x) g(x) pro skoro všechna x ). Potom pro všechna t U je spojitá v a, neboli je F (t,. ) L 1 () a funkce G : t F (t,. ) dµ lim F (t, x) dµ(x) = lim G(t) = G(a) = t a t a F (a, x) dµ(x). Věta 2.22 (erivace integrálu podle parametru) : Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, S a I R je otevřený interval. Nechť funkce F : I R má tyto vlastnosti: (a) pro s.v. x je funkce F (., x) diferencovatelná na I, (b) pro všechna t I je funkce F (t,. ) měřitelná (c) existuje g L 1 (µ) tak, že pro všechna t I je t F (t,. ) g s.v. na, (d) existuje t 0 I tak, že F (t 0,. ) L 1 (µ). 13
14 Potom pro všechna t I je F (t,. ) L 1 (µ), funkce G : t je diferencovatelná na I a platí vzorec ( tj. d d t G (t) = F (t, x) dµ(x) = F (t,. ) dµ F (t,. ) dµ t F ) t (t, x) dµ(x). KAPITOLA 3: Prostory L p Nechť Y je lineární prostor. Pak zobrazení. : Y R nazveme norma, jestliže pro každé u, v Y a α R platí (1) αu = α u (2) u + v u + v (trojúhelníková nerovnost) (3) a) u 0 b) u = 0 u = 0 (nulový prvek v Y ) vojici (Y,. ) pak nazveme normovaný prostor. (Obvykle píšeme pouze Y.) Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, u je µ-měřitelná funkce na X. Pro p 1, ) definujeme ( 1/p u p = u dµ) p. ále definujeme u = ess sup u := inf{c R u C s.v. na X}. X Pro p 1, položíme L p (X) = {u u p <, u je µ-měřitelná}. Poznámka : Hodnotě ess sup f = inf {C R f C s.v. na X} se říká podstatné (esenciální) supremum funkce f na X. Je ho možné také vyjádřit ve tvaru ess sup f = inf E S µ(e)=0 { sup x X\E f(x) }. Lemma 3.1 (Youngova nerovnost) : Nechť a, b 0, p, q (1, ), 1 p + 1 q = 1. Pak Rovnost nastává právě tehdy, když a p = b q. ab ap p + bq q. Věta 3.2 (Hölderova nerovnost) : 1 Nechť u, v jsou µ-měřitelné funkce na X, p, q (1, ), p + 1 q = 1. Potom platí uv 1 u p v q. Pokud uv 1 <, rovnost nastává, právě když existují čísla c 1, c 2 R, z nichž je alespoň jedno 0, taková, že c 1 u p = c 2 v q s.v. na X. 1 ůsledek 3.3: Nechť p, q (1, ), p + 1 q = 1, u Lp (X), v L q (X). Pak uv L 1 (X). Navíc ( ) 1/p ( 1/q. uv dµ u p dµ v dµ) q X X X 14
15 ůsledek 3.4: Nechť µ(x) < a 1 p < q. Pak L q (X) L p (X) a existuje konstanta C taková, že f p C f q pro každé f L q (X). Věta 3.5 (Minkowského nerovnost) : Jsou-li u, v µ-měřitelné funkce na X, p (1, ), pak u + v p u p + v p. ůsledek 3.6: Jestliže u, v L p (X), p 1,, pak též u + v L p (X). ůkaz: Jde o bezprostřední důsledek Minkowského nerovnosti. Ekvivalence na L p (X), prostor L p (X) Na L p (X) uvažujme ekvivalenci u v, jestliže u = v s.v. na X (zřejmě u v u p = v p ). Pro u L p (X) označme jemu odpovídající třídu ekvivalence [u] = {v L p (X) u v} a položme Na L p (X) definujeme operace L p (X) = {[u] u L p (X)}. [u] + [v] = [u + v] α[u] = [αu] pro α R a normu [u] p = u p. Poznámka : Prvky prostorů L p (X) a L p (X) obvykle nerozlišují zápisem ani pojmenováním. Nechť Y je normovaný prostor. Řekněme, že posloupnost (y n ) n N prvků z Y je cauchyovská, jestliže ε > 0 n 0 N tak, že m, n N, m, n n 0 platí y m y n < ε. Řekněme, že posloupnost (y n ) n N konverguje v normě k prvku y Y, jestliže lim y n y = 0, n tj. ε > 0 n 0 N tak, že n N, n n 0 platí y n y < ε. Normovaný prostor se nazývá úplný, jestliže je v něm každá cauchyovská posloupnost konvergentní (tj. konverguje v normě k nějakému jeho prvku). Poznámka : Zřejmě každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Ne v každém normovaném prostoru však jsou všechny cauchyovské posloupnosti konvergentní. Věta 3.7 (Úplnost prostorů L p ) : Nechť (f j ) j N je posloupnost prvků z L p (X), která je cauchyovská v normě. p. Pak existuje f L p (X) tak, že lim j f j f = 0. Navíc existuje posloupnost (g k ) k N vybraná z (f j ) j N taková, že g k f skoro všude na X. 15
16 Poznámka (prostory l p ) : Je-li (a n ) n N posloupnost reálných (příp. komplexních) čísel, položme pro p 1, ) a Pro p 1, definujeme (a n ) l p = (a n ) l ( ) 1/p a n p n=1 = sup a n. n N l p = {(a n ) (a n ) l p < }. Pak (l p,. l p) je úplný normovaný prostor. KAPITOLA 4: Normované prostory X, Y vektorové prostory nad R nebo C. Norma na X je funkce. : X 0, ) splňující pro všechna x, y X (N1) x 0 (N2) x = 0 x = 0 (N3) αx = α x (N4) x + y x + y (trojúhelníková nerovnost) vojici (X,. ) nazýváme normovaný prostor. x velikost vektoru x d(x, y) = x y vzdálenost x a y Platí: x y x y. ( Značení: B X = {x X x 1} ) = {x X d(0, x) 1} jednotková (uzavřená) koule v X Nechť (x n ) n=1 je posloupnost v X. (i) Řekneme, že posloupnost (x n ) konverguje k x X, jestliže Značíme lim n x n = x. lim x n x = 0. n (ii) Řekneme, že posloupnost (x n ) je cauchyovská, jestliže ε > 0 n 0 n, m n 0 : x n x m ε. Pozorování : Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Z cauchyovskosti ale obecně konvergence nevyplývá. Normovaný prostor (X,. ) je úplný (Banachův) prostor, jestliže je v něm každá cauchyovská posloupnost konvergentní. Nechť X je normovaný prostor, x X, (x n ) n=1 X. Řekneme, že x je součtem řady n=1 x n, píšeme n=1 x n = x, jestliže x = lim N 16 N x n. n=1
17 Nechť X je normovaný prostor. Množina A X se nazývá omezená, jestliže existuje K 0 tak, že x K x A. Tvrzení : Každá cauchyovská posloupnost (x n ) n=1 X je omezená. Nechť X a Y jsou normované prostory (nad stejným tělesem). Pak zobrazení f : X Y definované na (f) X je spojité, jestliže pro každou posloupnost (x n ) n=1 (f) a x (f) takové, že lim n x n = x, platí lim n f(x n) = f(x), neboli x n x f(x n ) f(x). Tvrzení : Nechť X, Y jsou normované prostory, f : X Y a x X. Pak jsou ekvivalentní tvrzení: (i) Pro každou posloupnost (x n ) n=1 (f) takovou, že lim n x n = x, platí lim f(x n) = f( x). n (ii) Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, x x X < δ f(x) f( x) Y < ε. Příklad: Uveďme některé často používané normy na R n, C n. Pro x = (x 1,..., x n ) definujeme x = max x i, i=1,...,n n x 1 = x i. i=1 x 2 = x x x n 2. Příklad: M m n matice typu m n. Pro definujeme např. A = ( a ij ) i=1,...,m,...,n A = A r = (tedy A r je maximální řádkový součet matice A). M m n max a ij, i=1,...,m,...,n n max a ij i=1,...,m Mějme dvě normy. 1 a. 2 na prostoru X. Řekněme, že tyto normy jsou ekvivalentní, jestliže existují konstanty K 1, K 2 > 0 tak, že K 2 x 2 x 1 K 1 x 2 x X. Poznámka: Ekvivalentní normy mají stejnou konvergenci. Základní principy analýzy v konečné dimenzi: Bolzano-Weierstrassova věta: Každá omezená posloupnost v C (a tedy i v R) má konvergentní podposloupnost. 17
18 Princip maxima: Každá spojitá funkce na uzavřené omezené množině v C n maxima a minima. (a tedy i v R n ) je omezená a nabývá svého Věta : Každé dvě normy na prostoru X konečné dimenze jsou ekvivalentní. ůsledky : a) Každý konečně dimenzionální prostor je úplný. b) Všechny konvergence na konečně dimenzionálním prostoru jsou stejné a rovnají se konvergenci po souřadnicích vzhledem k dané bázi. Poznámka : Ekvivalence norem na prostoru nekonečné dimenze neplatí. Tvrzení : Nechť X je úplný prostor a Y jeho podprostor. Pak Y je úplný právě tehdy, když Y je uzavřený v X (tj. kdykoliv (y n ) n=1 Y, y n x X, pak x Y ). ůsledek : Každý konečně dimenzionální podprostor je uzavřený. Je to totiž kopie úplného prostoru R n nebo C n. Bod x normovaného (obecněji topologického) prostoru X je bodem uzávěru M množiny M X, jestliže pro každé okolí U(x) bodu x platí U(x) M. Poznámka : Uzávěr množiny M v prostoru X je průnik všech uzavřených podmnožin prostoru X, které obsahují M jako svou podmnožinu. Je to tedy nejmenší (ve smyslu inkluze) uzavřená množina v X, jejíž částí je množina M. KAPITOLA 5: Operátory Lineární zobrazení T : X Y mezi normovanými prostory (nad stejným tělesem) se nazývá operátor. T (x), T x hodnota operátoru T v x (T ) definiční obor operátoru T (podprostor prostoru X, neřekneme-li jinak, předpokládáme (T ) = X) Operátor T : X Y je omezený, jestliže existuje K 0 tak, že T x K x B X (neboli T (B X ) K B Y ). Prostor všech omezených operátorů z prostoru X do prostoru Y X = Y, používáme zkrácené označení B(X) := B(X, X). Pro T B(X, Y ) pokládáme značíme B(X, Y ). Je-li T = sup T x. x B X Platí : 1) Pro omezený operátor T : X Y je T x T = sup x 0 x = sup T x. x =1 2) Je-li T : X Y omezený operátor, pak T x T x x X. 3) Nechť T : X Y je omezený operátor, pak T je nejmenší konstanta c 0 taková, že T x c x x X. 18
19 4) (B(X, Y ),. ) je normovaný prostor (tj.. je norma na B(X, Y )). 5) Nechť T B(X, Y ), U B(Y, Z). Pak složené zobrazení UT : X Z je spojité a platí UT U T. Věta : Pro operátor T : X Y jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) T B(X, Y ). (ii) T je spojité zobrazení z X do Y. (iii) T je spojité v nějakém bodě x 0 X. Příklad : Nechť X, Y jsou normované prostory konečné dimenze, B = {x 1,..., x n } je báze prostoru X a U = {y 1,..., y m } je báze prostoru Y. Mějme lineární zobrazení T : X Y takové, že T (x j ) = m a ij y i pro j = 1,..., n. i=1 Nechť bod x X má vzhledem k bázi B souřadnice x B = (α 1,..., α n ) (tj. x = α 1 x α n x n ). Pak T x = α 1 T x α n T x n = n m α j i=1 a ij y i = m ( m ) a ij α j yi = ( n ) a 1j α j y ( n ) a mj α j ym i=1 j=n a T x má vzhledem k bázi U souřadnice T x U = A x B, kde A je matice typu m n s prvky a ij (tj. A = ( ) a ij i=1,...,m ).,...,n Tvrzení : Každý lineární operátor definovaný na prostoru konečné dimenze je omezený (a tedy i spojitý). Funkcionál na normovaném prostoru X je lineární zobrazení f : X C (R). (C resp. R je tu těleso skalárů prostoru X.) KAPITOLA 6: Hilbertovy prostory Prostor se skalárním součinem je dvojice (V,.,. ), kde V je lineární prostor a.,. : V V C (R) splňuje pro všechna x, y, z V a α C (R) následující podmínky (i) x, y = y, x (ii) x + y, z = x, z + y, z (iii) αx, y = α x, y, (iv) x, x 0 (v) x, x = 0 x = 0. Na základě bodu (i) je skalární součin v reálném prostoru symetrický. Poznámka : Jako jednoduché důsledky axiomů dostáváme x, αy = α x, y, x, y + z = x, y + x, z. 19
20 Značení : x = x, x (později ukážeme, že. je norma na V ) Prvky x, y V jsou kolmé (ortogonální) (značíme x y), jestliže x, y = 0. Věta (Pythagorova) : Pro x, y V platí x y x + y 2 = x 2 + y 2. Věta (Geometrický rozklad) : Pro x, y V, y 0 existují jediná z V a λ C tak, že z y a x = z + λ y. (Jde o rozklad x do dvou kolmých směrům, přičemž jeden z nich je zadán.) Věta (Schwarzova nerovnost) : Pro každé dva prvky x, y prostoru se skalárním součinem V platí x, y x y. Rovnost nastává právě tehdy, když x, y jsou lineárně závislé. ůsledek : Pro prostor V se skalárním součinem platí x + y x + y a. je norma na V. Tvrzení (Rovnoběžníkové pravidlo) : Pro x, y V máme x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2). Tvrzení : Skalární součin je spojitá funkce, tj. } x n x y n y x n, y n x, y. Úplný prostor se skalárním součinem se nazývá Hilbertův prostor. Nejlepší aproximace Nechť X je normovaný prostor, M X a x X. Potom vzdálenost bodu x od množiny M je dist(x, M) = δ(x, M) = inf{ x y y M} Bod x 0 M je nejbližším bodem k bodu x, jestliže x x 0 = dist(x, M). Nechť x, y L, kde L je lineární prostor. Úsečkou s krajními body x, y je množina Množina K L je konvexní, jestliže platí implikace [x, y] = {λx + (1 λ)y 0 λ 1}. x, y K [x, y] K. Věta (Nejlepší aproximace) : Nechť K je uzavřená konvexní množina v Hilbertově prostoru H. Ke každému x H existuje jediný nejbližší bod z množiny K. 20
21 Značení : Pro x H, M, N H pokládáme x M x, y = 0 y M, N M x, y = 0 x N, y M, M = { x H x M}. Pro jakoukoliv podmnožinu M H je množina M uzavřený podprostor prostoru H. Věta : Nechť M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a x H. Bod x 0 M je nejbližším bodem množiny M k bodu x právě tehdy, když x x 0 M. Podprostory V 1 a V 2 lineárního prostoru V tvoří algebraický rozklad prostoru V (prostor V je direktním součtem podprostorů V 1 a V 2 ), jestliže V = lineární obal V 1 V 2 a V 1 V 2 = {0}. Píšeme V = V 1 lin V 2. Ekvivalentně: Pro každé v V existují jediné dva prvky v 1 V 1 a v 2 V 2 tak, že v = v 1 + v 2. Prostor V se skalárním součinem je ortogonální součet podprostorů V 1 a V 2, jestliže V = lineární obal V 1 V 2 a V 1 V 2. Píšeme V = V 1 V 2. Ekvivalentně: Pro každé v V existují jediné dva prvky v 1 V 1 a v 2 V 2 tak, že v = v 1 + v 2 a v 1 v 2. Věta (Projekční) : Je-li M uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H, pak H = M M. Poznámka : Projekční věta nám vlastně říká toto: Pro každé x H je x = x M +x M, kde x M M a x M M. Aproximace x M a x M prvku x v M a M jsou určeny jednoznačně a jsou v odpovídajícím podprostoru nejlepší. Nechť M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H. Potom zobrazení P M : H M takové, že nazýváme ortogonální projekce. P M : x x M - nejlepší aproximace x v M, Platí : P M je omezený lineární operátor, pro který je P M = 1 a P 2 M = P M. ůsledky (projekční věty) : a) Pro každý vlastní uzavřený podprostor M v Hilbertově prostoru H existuje nenulový vektor x H tak, že x M. b) Je-li M uzavřený podprostor, pak pro M = (M ) platí M = M. c) Je-li A podmnožina H, pak [A] = A, kde [A] = lin A. 21
22 Poznámka : Předpokládejme, že H je Hilbertův prostor a M jeho podprostor takový, že M = lin (e 1,..., e n ), kde e j = 1 j = 1,..., n a e j, e i = 0 i j (tj. množina {e 1,..., e n } je ortonormální). Potom pro každé x H je P M (x) = n x, e j e j = x, e 1 e x, e n e n. Je-li M konečně dimenzionální podprostor s obecnou lineární bází {φ 1,..., φ n } a x H, pak P M (x) = a 1 φ a n φ n, kde z podmínek kolmosti (x P M x) φ i i {1,..., n} dostaneme koeficienty a 1,..., a n jako řešení soustavy rovnic n a j φ j, φ i = x, φ i i = 1,..., n. Matice této soustavy ( φj, φ i ) i,,...,n se nazývá Gramova matice vektorů φ 1,..., φ n (obecně ne nutně lineárně nezávislých). V našem případě, kdy φ 1,..., φ n tvoří bázi podprostoru M, je Gramova matice regulární. Metoda nejmenších čtverců Uvažujme H = R m (m velké). Mějme dánu tabulku naměřených hodnot funkce f x 1 x 2... x m - uzly měření x f 1 f 2... f m - naměřené hodnoty f Funkci f bychom chtěli aproximovat pomocí lineární kombinace funkcí φ 1,..., φ n, kde n m, pro které jsou vektory (φ 1 (x 1 ),..., φ 1 (x m )),..., (φ n (x 1 ),..., φ n (x m )) z R m lineárně nezávislé (pak jsou nutně i funkce φ 1,..., φ n lineárně nezávislé). Můžeme mít např. φ 1 = 1, φ 2 = x, φ 3 = x 2,..., φ n = x n 1. Hledaná aproximace φ = n a i φ i (x) funkce f by měla minimalizovat střední kvadratickou odchylku i=1 ( m f j φ(x j ) 2) 1/2 = (f1,..., f m ) (φ(x 1 ),..., φ(x m ) 2. Jedná se tu o úlohu ortogonální projekce na lineární obal vektorů (φ 1 (x 1 ),..., φ 1 (x m )),..., (φ n (x 1 ),..., φ n (x m )) v R m. Zobecnění: V R m uvažujeme skalární součin (x 1,..., x m ), (y 1,..., y m ) = m w i x i y i, i=1 kde w i > 0 jsou váhy určující důležitost daného měření. Ortonormální báze Množina A v prostoru se skalárním součinem V je ortogonální, jestliže x, y = 0, kdykoliv x, y A, x y. Množina A je ortonormální, jestliže je ortogonální a x = 1 pro všechna x A. Poznámka : Nechť V je prostor se skalárním součinem konečné dimenze a {e 1,..., e n } je jeho ortonormální báze. Potom pro každá x, y V platí 22
23 x = n x, e j e j (konečně dimenzionální Fourierův rozklad) x 2 = x, y = n x, e j 2, n x, e j y, e j. Konečně dimenzionální Hilbertovy prostory jsou tedy v podstatě l 2 n. Otázka: Jak je tomu v nekonečné dimenzi? Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Nechť x 1, x 2,... je lineárně nezávislá posloupnost. Nalezněme ortonormální posloupnost e 1, e 2,... tak, že pro všechna n 1. krok 2. krok lin(e 1,..., e n ) = lin(x 1,..., x n ) : e 1 = x 1 x 1 3. krok v 2 = x 2 P lin(e1)(x 2 ) = x 2 x 2, e 1 e 1 e 2 = v 2 v 2. v 3 = x 3 P lin(e1,e 2 )(x 3 ) = x 3 x 3, e 1 e 1 x 3, e 2 e 2 e 3 = v 3 v 3 n-tý krok n 1 v n = x n P lin(e1,e 2,...,e n 1)(x n ) = x n x n, e j e j e n = v n v n Množina A v normovaném prostoru X je hustá, jestliže jejím uzávěrem je celý prostor X, tj. pokud A = X. Normovaný prostor X je separabilní, pokud v X existuje spočetná množina {x n n N} taková, že {x n n N} = X (tj. existuje-li v X spočetná hustá podmnožina). Tvrzení : Normovaný prostor X je separabilní, jestliže existuje spočetná množina {y n n N} X tak, že lin {y n n N} = X. 23
24 Ortonormální báze (ONB) Hilbertova prostoru H je ortonormální množina A taková, že lin A = H ( A = {0}). Věta : (1) Každý Hilbertův prostor má ortonormální bázi. (2) Každá ortonormální množina v Hilbertově prostoru je částí ortonormální báze. (3) Každá ortonormální množina v separabilním Hilbertově prostoru je spočetná. Tvrzení : Ať (x n ) n=1 je ortonormální množina v Hilbertově prostoru H. (i) Řada n=1 α nx n, kde (α n ) n=1 C(R), konverguje právě tehdy, když n=1 α n 2 <. (ii) Pro x = n=1 α nx n je x 2 = n=1 α 2 ( nekonečná Pythagorova věta ). Věta : Ať H je separabilní Hilbertův prostor s ortonormální bází (e n ) n=1, pak pro každé x H platí x = x, e n e n n=1 (abstraktní Fourierův rozvoj) a x = x, e n 2 n=1 (Parsevalova rovnost). Věta : Ať (f n ) n=1 je ortonormální posloupnost v Hilbertově prostoru H. Ať P je ortogonální projekce na uzavřený podprostor lin {f n n = 1, 2,... }. Potom P x = x, f n f n n=1 a x 2 x, f n 2 n=1 (Besselova nerovnost). ůležité aproximační věty Věta (Weierstrassova) : Pro < a < b < tvoří polynomy hustou množinu v C a, b (s maximovou normou). Věta : Je-li 1 p, < a < b <, pak spojité funkce tvoří hustou množinu v L p a, b. Nosič funkce je uzávěr množiny všech bodů, v kterých je funkce nenulová. Věta : Nekonečně diferencovatelné funkce s omezeným nosičem jsou husté v prostoru L p a, b, kde 1 p, a < b. ůsledek : Pro < a < b < platí (i) Polynomy jsou husté v L 2 a, b. (ii) lin (1, x, x 2,...) = L 2 a, b. ůsledek : Ortogonalizací posloupnosti 1, x, x 2,... získáme ONB prostoru L 2 a, b, kde < a < b <. 24
25 Funkcionály a operátory na Hilbertových prostorech Věta (Rieszova) : y H tak, že Pro každý spojitý lineární funkcionál f na Hilbertově prostoru H existuje právě jeden vektor f(x) = x, y x H. Navíc platí f = y. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou a f L (X). Pak operátor T f : L 2 (X) L 2 (X) definovaný předpisem T f g = fg nazýváme multiplikativní operátor. Tvrzení : Nechť H, K jsou Hilbertovy prostory a T : H K je omezený lineární operátor (tj. T B(H, K)). Pak existuje jediný operátor T B(K, H) takový, že T x, y K = x, T y H x H, y K. Operátor T z předchozího tvrzení se nazývá adjungovaný operátor k operátoru T. Platí : Nechť T B(H, K). Pak T ( = (T ) ) = T a T = T. Platí : Pravidla pro adjunkci Pro T, R B(H) platí (a) (T + R) = T + R (b) (α T ) = α T, α C (c) (T R) = R T (d) T = T Značení : Nechť T B(H), potom označíme R(T ) = {T x x H} ( range, obor hodnot operátoru T ), N(T ) (= Ker(T ) ) = {x H T x = 0} (jádro, nulový prostor operátoru T ). Věta : Nechť T B(H). Potom N(T ) = R(T ). Poznámka : Máme rozklady H = N(T ) R(T ) a H = N(T ) R(T ), pro konečnou dimenzi H = N(T ) R(T ) a H = N(T ) R(T ). Tedy např. je-li operátor T na, pak je operátor T prostý, apod. Nechť V je komplexní lineární prostor. Potom b : V V C se nazývá seskvilineární forma, jestliže pro každá x, y, z V, α C platí (i) (ii) (iii) b(x + y, z) = b(x, z) + b(y, z), b(x, y + z) = b(x, y) + b(x, z), b(α x, y) = α b(x, y), b(x, α y) = α b(x, y). 25
26 Věta (Polarizační identita) : Nechť b je seskvilineární forma na V. Potom 4 b(x, y) = b(x + y, x + y) b(x y, x y) + i [ b(x + iy, x + iy) b(x iy, x iy) ]. ůsledek : Je-li b seskvilineární forma na V, pak b(x, x) = 0 x V b(x, y) = 0 x, y V. ůsledek : Nechť T, S B(H), kde H je komplexní Hilbertův prostor. Potom platí: (i) Jestliže T x, x = 0 pro každé x H, pak T = 0. (ii) Jestliže T x, x = Sx, x pro každé x H, pak T = S. Poznámka : Předchozí důsledek neplatí pro reálný prostor. Nechť T B(H). Pak (i) T se nazývá samoadjungovaný, jestliže T = T, (ii) T se nazývá pozitivní, jestliže T x, x 0 pro každé x H, (iii) T se nazývá unitární, je-li bijekce a přitom T 1 = T ( T T = T T = I). Tvrzení : Nechť H je komplexní Hilbertův prostor. Operátor T B(H) je samoadjungovaný právě tehdy, když T x, x R x H. ůsledek : Každý pozitivní operátor T B(H) na komplexním Hilbertově prostoru H je samoadjungovaný. Tvrzení : Nechť H je Hilbertův prostor a x 1,..., x n H. Potom matice ( x i, x j ) i,,...,n je pozitivně semidefinitní. Tvrzení : (i) T je unitární. Nechť H je komplexní Hilbertův prostor a T B(H). Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (ii) T je izometrie (tj. T x = x x H) a T je surjektivní. (iii) T zachovává skalární součin a T je surjektivní. (Surjektivní zobrazení je zobrazení na.) Tvrzení : Nechť T B(H) je unitární operátor. Pak k němu adjungovaný operátor T je také unitární. Matice A C n n se nazývá unitární, pokud je unitární operátor T B(C n ) definovaný předpisem α 1 T (α 1,..., α n ) = A., (α 1,..., α n ) C n. α n Tvrzení : Následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) A je unitární matice. (ii) Sloupcové vektory s 1,..., s n matice A tvoří ortonormální bázi v C n. (iii) Řádkové vektory r 1,..., r n matice A tvoří ortonormální bázi v C n. Zobrazení U : H K mezi Hilbertovými prostory H a K se nazývá unitární, jestliže je bijektivní a zachovává skalární součin. Existuje-li takové zobrazení mezi H a K, nazýváme prostory H a K izomorfní. Věta : Každý separabilní Hilbertův prostor je izomorfní s l 2. 26
27 KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic Nechť H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Tvrzení : Operátor T B(H) je normální právě tehdy, když T x = T x x H. Tvrzení : Každý samoadjungovaný, pozitivní nebo unitární operátor je normální. Spektrum, σ(t ), operátoru T B(H) je podmnožina C taková, že λ σ(t ) právě tehdy, když (T λi) nemá inverzi v B(H). Neboli Hodnotu λ σ(t ) právě tehdy, když existuje S B(H) tak, že S(T λi) = (T λi)s = I. r(t ) = sup{ λ λ σ(t ) } nazýváme spektrální poloměr operátoru T. Bodové spektrum operátoru T je množina σ p (T ) = {λ C T λi není prostý}. Prvek λ σ p (T ) se nazývá vlastní číslo operátoru T. Vektor v H \ {0}, pro který platí T v = λ v, se nazývá vlastní vektor příslučný vlastnímu číslu λ. Věta : Každý operátor T B(H) má neprázdné spektrum a spektrum je vždy omezená uzavřená množina v C. Poznámka : Obecně může pro λ C platit λ σ(t ) ze tří důvodů: 1) Operátor T λi není prostý. Pak je λ σ P (T ). 2) Operátor T λi je prostý, ale není na, tj. R(T ) H. V tomto případě sice existuje operátor (T λi) 1, není ale definovaný na celém H (tedy nemůže být v B(H)). 3) Operátor T λi je prostý i na (tedy inverzní operátor existuje a je definován na celém H), operátor (T λi) 1 ale není spojitý. Tvrzení : Nechť T B(H), dim H <. Pak σ(t ) = σ P (T ). Tvrzení : Nechť operátor T B(H) má v B(H) inverzi. Pak λ σ(t ) právě tehdy, když λ 1 σ(t 1 ). Tvrzení : Nechť T B(H) je normální. Pak (i) (ii) T x = λx pro nějaké λ C implikuje T x = λx. Jestliže λ 1 λ 2, potom Ker(T λ 1 I) Ker(T λ 2 I). 27
28 Tvrzení : Nechť T B(H) je normální operátor. Pak λ σ(t ) právě tehdy, když existuje c > 0 tak, že (T λi)x c x x H. ůsledek : Nechť T B(H) je normální. Pak λ σ(t ) právě tehdy, když existuje posloupnost jednotkových vektorů (x n ) n=1 tak, že lim n λx n = 0. n Tvrzení : Je-li T B(H) normální, pak σ(t ) { T x, x x = 1 }. Tvrzení : Nechť T B(H). Pak (i) T je samoadjungovaný σ(t ) R, (ii) T je pozitivní σ(t ) R + = 0, ), (iii) T je unitární σ(t ) {z C z = 1}. Věta : Nechť T B(H) je normální. Pak T = r(t ). Spektrální věty V této části se zaměříme na Hilbertovy prostory konečné dimenze. Připomeňme, že v tomto případě je spektrum operátoru T tvořeno právě jeho vlastními čísly, tj. σ(t ) = σ P (T ). Věta : Nechť H je Hilbertův prostor, dim H <, T B(H) je normální operátor. Pak existuje ortonormální báze prostoru H složená z vlastních vektorů operátoru T. ůsledek : Nechť H je Hilbertův prostor konečné dimenze a T B(H) je normální operátor. Pak T = r(t ). Poznámka : á se ukázat, že pro obecný operátor T B(H) na Hilbertově prostoru konečné dimenze platí T = r(t T ). Z tohoto důvodu se také normě operátoru indukované skalárním součinem říká spektrální norma. Protože není těžké dokázat, že T T = T 2, vidíme, že uvedená rovnost je zobecněním výsledku, který jsme dostali pro normální operátory. Věta (Spektrální rozklad) : Pak Nechť H je Hilbertův prostor konečné dimenze a T B(H) je normální operátor. T = λ 1 P λ k P k, kde λ i σ(t ) a P 1,..., P k jsou ortogonální projekce na navzájem kolmé podprostory. Operátor T B(H) nazýváme jednoduchý, jestliže je lineární kombinací ortogonálních projekcí s navzájem kolmými obory hodnot. 28
29 Poznámka : Na základě spektrální věty je každý normální operátor na prostoru konečné dimenze jednoduchý. Spektrální teorie pro obecný Hilbertův prostor říká, že jednoduché operátory jsou husté v množině normálních operátorů. Tedy každý normální operátor je limitou jednoduchých operátorů. Poznámka : Uvažujme operátor T B(H). Víme, že pokud je T samoadjungovaný, pak σ(t ) R, je-li pozitivní, pak σ(t ) 0, ), a konečně v případě unitárního operátoru máme σ(t ) {z C z = 1}. Pokud je operátor T normální, můžeme uvedené implikace obrátit. Poznámka : Explicitní tvar konečně dimenzionálního normálního operátoru. Nechť dim H < a T B(H) je normální operátor. Mějme ortonormální bázi v 1,..., v n složenou z vlastních vektorů, T v i = λ i v i. (Vlastní čísla λ i obecně nemusí být po dvou různá.) Pak pro x H platí T x = λ 1 x, v 1 v λ n x, v n v n. Věta (iagonalizace) : Nechť H je Hilbertův prostor konečné dimenze a (e i ) n i=1 jeho ortonormální báze. Nechť T B(H) je normální operátor a T = (t ij ) n i, jeho matice vzhledem k bázi (e i) n i=1, tj. t ij = T e j, e i. Pak existují diagonální matice a unitární matice U takové, že T = U 1 U. Alternativní pohled na kvadratickou formu Abychom zjednodušili formulace a zápis, nebudeme v této části rozlišovat mezi maticí z M m n (C) a jí odpovídajícím operátorem z B(C n, C m ). Pro hermitovsky sdruženou matici k matici A M n (C) a adjungovaný oprátor k operátoru A B(C n ) budeme používat společné označení A. Vektory z C n si podle situace představíme zapsané buď jako řádky (při aplikaci operátoru) nebo jako sloupce (při násobení maticí). Je-li matice A typu m n reálná, můžeme se na ni dívat jako na omezený operátor z R n do R m. Analogické úvahy a zjednodušení, jaká jsme provedli výše pro komplexní případ, můžeme provést i pro případ reálný. Platí : Je-li A je reálná symetrická matice typu n n, λ 1... λ n jsou její vlastní čísla a g(x) = Ax, x, pak max{g(x) x = 1} = λ 1 a kvadratická forma g této hodnoty nabývá pro všechny jednotkové vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu λ 1. Podobně min{g(x) x = 1} = λ n a této hodnoty se nabývá ve všech jednotkových vlastních vektorech příslušných k vlastnímu číslu λ n. V dalším se pro jednoduchost omezíme na reálný případ. Singulární hodnoty matice A M m n (R) jsou čísla σ 1 = λ 1,..., σ n = λ n, σ 1 σ 2... σ n 0, kde λ 1... λ n 0 jsou vlastní čísla matice A A. Platí : Je-li A M m n (R) a x R n, pak Ax 2 = A A x, x. Platí : Největší hodnota funkce h(x) = Ax na jednotkové sféře {x R n x = 1} je σ 1 a nabývá se jí právě ve všech vlastních vektorech příslušných k vlastnímu číslu λ 1 operátoru A A. Jinými slovy A = σ 1. 29
30 Tvrzení (SV rozklad) : Nechť A je reálná matice typu m n a σ 1... σ r > 0, σ r+1 =... = σ n = 0 jsou její singulární hodnoty. Nechť je dále {v 1,..., v n } ortonormální báze prostoru R n tvořená vlastními vektory operátoru A A, A Av i = σ 2 i v i, a {u 1,..., u n } je taková ortonormální báze prostoru R m, že u i = 1 σ i Av i pro i = 1,..., r. Potom kde U M m (R), V M n (R) jsou unitární matice U = u 1... u m A = UΣV,, V = v 1... v n a Σ M m n (R) je matice Σ = σ Or (n r) 0 σ r O (m r) r O (m r) (n r) (O k l je tu nulová matice typu k l). Tedy A = u 1... u m σ O r (n r) 0 σ r O (m r) r O (m r) (n r) v 1. v n. 30
Definice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceK oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceObsah. 1 Lineární prostory 2
Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceK oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny
FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceLebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3
Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny.
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceMatematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Více%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% KLÍČOVÉPOJMY %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% KLÍČOVÉPOJMY %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% norma normovaný lineární prostor metrika indukovaná normou
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceHome. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec
Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
Vícei=1 λ ix i,λ i T,x i M}.Množinuvektorů
Velké prostory Anička Doležalová Abstrakt. Budeme si hrát s vektorovými prostory, které mají nekonečnou dimenzi. Cílemjesijetrochuosahatazískatzákladníintuici.Ktomunámposloužíhlavně prostory posloupností.
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
Více