I. PRVNÍ POHLED NA PROBLEMATIKU

Transkript

1 I. PRVNÍ POHLED NA PROBLEMATIKU Dříve než se pustíme do podrobnějšího výkladu speiální teorie relativity, bude vhodné připomenout některá fakta, popisy a prinipy, z nihž vyhází. Některé důsledky teorie lze pak z výhozíh prinipů přímo odvodit pomoí jednoduhýh myšlenkovýh pokusů, tak jak se to dělá ve středoškolské fyzie. I. 1. Obené vlastnosti prostoru a času Teorie relativity je teorií prostoru a času ve fyzie. Vyvraí či mění některé zdánlivě samozřejmé představy, založené na zkušenosteh z běžného života, resp. klasiké fyziky. Z řady známýh vlastností prostoru a času však vyhází a nehává je nedotčeny nebo na ně poskytuje nový pohled. Které jsou tyto obené vlastnosti prostoru a času? Všimněme si jih spíše názorně, bez snahy o zela přesný rozbor: Dimenzionalita (počet rozměrů). Počet rozměrů prostoru je dán počtem vzájemně kolmýh směrů, které lze z libovolného bodu vést. Matematik má pro stanovení počtu dimenzí prostoru i jiné, obenější prostředky; pro skutečný prostor a čas, v němž žijeme a v němž zkoumáme fyzikální proesy, však všehny dávají shodné výsledky. Prostor je trojrozměrný, čas jednorozměrný. Teoretiky byhom si dokázali představit i prostor o jiném počtu rozměrů. Fyzika by v něm však byla podstatně jiná. Tak třeba ve dvourozměrném prostoru by byly jiné dráhy planet, elektromagnetiký rozruh vyslaný vysílačem by přijímač přijal s nekonečně dlouhým dozníváním atd. Naví dvourozměrné bytosti, často využívané v populární literatuře při výkladu víerozměrnýh prostorů, by zřejmě měly potíže se zažíváním: pokud by jimi proházela trávií trubie, byly by nutně rozděleny na dvě oddělené části (viz obr. I.1.). Obr. I.1. Dvourozměrné bytosti se zažívaí trubií by se nutně skládaly ze dvou oddělenýh částí. Víerozměrný čas si lze jen těžko představit, i když i takovéto modely se někdy v teoretiké fyzie objevují. Opusťme však výše zmíněné hříčky a vraťme se zpět k teorii relativity. Ta se počtu rozměrů prostoru a času nijak nedotkla. Jak však uvidíme, umožňuje hápat prostor a čas dohromady jako jediný objekt, prostoročas, s dobře definovanými geometrikými vlastnostmi. Prostoročas má pak samozřejmě = 4 rozměry. Ovšem čtenář by se měl vyvarovat jakýhkoli metafyzikýh úvah o čtyřrozměrném prostoru atd. dokud se s geometrií prostoročasu blíže neseznámí. (To učiníme v kap. VII. a VIII.). Podobně by měl čtenář v budounu poněkud usměrňovat rozlet některýh svýh žáků, jejihž fantazie je fasinována pojmem čtvrtý rozměr a přiživována ať již si-fi či někdy nepřesnou popularizaí. 1

2 Orientovanost. Pravá a levá rukavie jsou zradlově obráené. Jednu nepřeměníme v druhou prostým otáčením. Stejně tak pravotočivá a levotočivá soustava souřadni. (Viz obr. I..). Obr. I.. Odzradlením se změní pravá rukavie v levou a pravotočivá soustava souřadni v levotočivou. Pravotočivý trojhran můžeme přemisťovat po libovolné dráze a libovolně otáčet a přesto se po návratu nebude lišit od jiného pravotočivého trojhranu, který zůstal na místě. Že by tomu tak teoretiky nemuselo být, ukazuje příklad známého Möbiova pásku viz obr. I.3. Obr. I.3. Möbiův pásek a) Vytvoření Möbiova pásku slepením proužku papíru (aby se šipky kryly). b) Přenosem podél Möbiova pásku vznikne z pravotočivé dvojie vektorů dvojie levotočivá Na něm není možné zvolit v jednom bodě dvojii vektorů, prohlásit ji za pravotočivou a přenosem konzistentně definovat pravotočivé dvojie na elém pásku. Ve skutečném prostoru to s pravotočivým trojhranem udělat jde skutečný prostor je orientovatelný. V čase lze také zvolit jednu orientai a prohlásit ji za orientai od minulosti k budounosti. Jinou otázkou je, zda fyzikální zákony děje rozlišují pravotočivé a levotočivé soustavy. Kdybyhom se odzradlili spolu s levou rukavií, budeme ji stále navlékat na tu ruku, která bude blíže k srdi. Poznali byhom vůbe, kdyby se přes no odzradlil elý vesmír? Ukazuje se, že většina dějů skutečné pravotočivé a levotočivé soustavy nerozlišuje. Některé reake elementárníh části (reake nezanehávajíí paritu, např. rozpad K-mezonu) však

3 neprobíhají stejně v obou vzájemně zradlovýh podobáh pravděpodobnost těhto reakí při různýh orientaíh je různá. Podobně příroda rozlišuje i mezi orientaí času do budounosti a do minulosti. Řada proesů, zejména na mikroskopiké úrovni, je sie reverzibilníh (např. v zákoneh mehaniky lze klidně zaměnit t za t, aniž by se okoli změnilo), ale makroskopiké proesy jsou většinou v zásadě ireverzibilní. Rozjetý automobil se působením tření zastaví, míček odrážejíí se od podložky skáče postupně níž a níž, entropie izolované soustavy roste. Ale i mezi reakemi elementárníh části jsou známy takové, které neprobíhají stejně v obou směreh, byť jde o vzánou výjimku (rozpad mezonu K 0 ). Souvislosti těhto proesů, určujííh shodně časovou šipku a sama podstata časové šipky (tj. orientae od minulosti do budounosti) nejsou ještě fyzikálně zela jasné. Pro teorii relativity samotnou není orientovatelnost prostoru příliš důležitá. Orientovanost času naopak musíme brát v úvahu vždy, když se jedná o vyslání a přijetí nějakého signálu nebo obeně o příčinu a následek. (Toto konstatování bývá označováno jako prinip kauzality.) Nebo jste snad již zažili situai, kdy by třeba nejprve hřebík sám zalezl do dřeva až po hlavičku a vy jste na něj až pak udeřili kladívkem? Jak uvidíme později (v kap. IV), má prinip kauzality v teorii relativity důležité a poněkud neočekávané důsledky. S prinipem kauzality souvisí ještě další skutečnost. Speiální teorie relativity sie svazuje čas s prostorem, ale orientae časové šipky zůstává v elém prostoru stejná, neexistují oblasti, kde by čas plynul nazpátek. Souvislost. Praktiky veškerá dnešní fyzika bere jako daný fakt, že prostor není složen ze vzájemně oddělenýh částí, ale že je souvislý. Stejně je tomu i s časem. Na globální úrovni to znamená, že prostor není tvořen několika oddělenými a navzájem nepropojenými vesmíry. To je velku rozumný předpoklad, protože různé vesmíry, které by spolu v prinipu vůbe nemohly interagovat, by sie mohly být vděčným objektem pro fantastikou literaturu, ale nebylo by je možné jakkoli fyzikálně zkoumat a tedy o nih z hlediska fyziky okoli říi ani vůbe ověřit jejih existeni. Kdyby nebyl prostor souvislý na lokální úrovni, znamenalo by to například, že na jednotkovou úsečku by nebylo možno zobrazit reálná číslo od 0 do 1 tak, jak to známe ze školy. Některé body by třeba byly v prostoru jakoby vynehány, prostor by mohl být tvořen mřížkou vzájemně oddělenýh bodů apod. Současné fyzikální modely prostoru předpokládají, že tomu tak není, že tedy prostor (a podobně i čas) tvoří kontinuum. Jde samozřejmě o předpoklad velmi výhodný, který umožňuje při formulai fyzikálníh zákonů i řešení problémů jednoduše užívat derivaí, integrálů a vůbe elého aparátu matematiké analýzy. Dosud žádný experimentální fakt není s tímto předpokladem ve sporu. Není ovšem jasné, zda prostor a čas nejsou ve skutečnosti nespojité (diskrétní) ve velmi malýh měřítkáh, nepřístupnýh dosud experimentálnímu zkoumání. Délková škála přístupná dnes fyzikálnímu zkoumání, je řádově až 10 6 m; tomu odpovídá časová škála 10-6 až s. Horní hranie odpovídají rozměrům a stáří pozorovaného vesmíru. Dolní hranie jsou dána energiemi, dostupnými na velkýh uryhlovačíh. K určení nějaké délky totiž potřebujeme částie (např. fotony) a odpovídajíí (nebo menší) vlnovou délku λ. Tyto částie mají podle de Broglieova vztahu energii h E = h v = λ 3

4 Po dosazení hodnot Plankovy konstanty h a ryhlosti světla dostaneme 1GeV 1TeV λ = = E E m 10 m V současnosti jsou na uryhlovačíh dostupné energie řádu několika TeV tomu odpovídá výše uvedená hranie λ m. Příslušné časy odpovídají = v Model časoprostorového kontinua snad platí i na podstatně kratšíh škáláh. Z úvah o možném kvantování gravitae však plyne, že efekty kvantování by měly být podstatné na délkáh řádu m a odpovídajííh časovýh intervaleh s. Na těhto škáláh by pak prostor a čas mohly mít vlastnosti velie odlišné od těh, které dnes známe. Mohly by mít diskrétní strukturu a možná, že na těhto škáláh prostoročasový popis vůbe ztráí smysl. Prostoročasové kontinuum by pak bylo vhodným modelem jen ve většíh měřítkáh. Bylo by samozřejmě modelem přibližným, ovšem i tak velmi dobře použitelným. (Podobně jako mluvíme třeba v termodynamie o teplotě či hustotě plynu, přestože velmi dobře víme, že tyto pojmy nejsou použitelné v oblasteh s rozměry srovnatelnými s rozměry molekul.) Teorie relativity je teorií klasikou, žádné kvantování prostoru a času neuvažuje a proto samozřejmě na prostoročas pohlíží jako na kontinuum. Homogenita. Tvrzením, že prostor je homogenní, konstatujeme, že jeho vlastnosti jsou ve všeh místeh stejné. Z fyzikálního hlediska to znamená, že ve všeh místeh mají fyzikální zákony stejný tvar, že na místě v prostoru nezávisí hodnoty fyzikálníh konstant apod. Ve starověké fyzie tomu tak nebylo. Země byla privilegovaným místem v prostoru a jiné fyzikální zákony měly platit v její blízkosti (v sublunární sféře) a jiné ve sféře supralunární. Prostor ve sluneční soustavě je dnes přístupný výzkumu pomoí kosmikýh sond a tak o nějaké supralunární sféře dnes bude sotva někdo uvažovat. Na první pohled by se však mohlo zdát obtížné ověřit platnost fyzikálníh zákonů ve vzdáleném vesmíru. Změny fyzikálníh zákonů či hodnot konstant by se ale musely projevit ve spektru hvězd a dalšíh objektů. Proměřováním spekter a jejih rozborem se přesvědčujeme, že tomu tak není. Změn fyzikálníh zákonů či konstant na poněkud kratšíh délkovýh škáláh byhom si ostatně mohli povšimnout i na Zemi. Ta se totiž spolu se slunem pohybuje ryhlostí zhruba 300 km s -1 kolem středu Galaxie. Změna fyzikálníh zákonů na různýh místeh, kudy Země prolétá, by se tedy projevila i ve všeh pozemskýh laboratoříh. Podobně je tomu i s homogenitou času. Jsou k dispozii přesná měření a rozbory řady efektů (od již zmíněnýh spekter vzdálenýh objektů přes radarová měření vzdáleností planet až po přírodní jaderný reaktor OKLO v Gabunu, v němž před téměř dvěma miliardami let samovolně započala a probíhala jaderná reake). A tyto rozbory s velkou přesností potvrzují, že fyzikální konstanty a zákony se s časem nemění. Z hlediska fyzikálníh zákonů a konstant proto také neexistuje žádný privilegovaný okamžik. Speiální teorie relativity bere homogenitu prostoru a času jako daný fakt a nijak jeho platnost nezpohybňuje. Situae je poněkud komplikovanější u obené teorie relativity, která pomoí geometrie prostoru a času vyjadřuje harakter gravitačního pole. V blízkosti např. neutronové hvězdy jsou proto geometriké vlastnosti prostoru jiné než ve vzdálenějšíh oblasteh. I podle OTR jsou však fyzikální zákony i konstanty ve všeh místeh prostoru stejné. 4

5 Izotropie. Izotropií prostoru rozumíme nezávislost jeho vlastností na směru. Případná anizotropie by se mohla fyzikálně projevit třeba tak, že stejně velké síly působíí v tomtéž bodě na danou částii by jí udělovaly v různýh směreh různá zryhlení, přičemž síla a zryhlení by obeně ani nemusely mít tentýž směr. Podle starověkýh představ prostor izotropní nebyl. Pojmy nahoru a dolů měly absolutní význam; v každém bodě tedy existoval privilegovaný směr směr k Zemi. Již newtonovská fyzika však dospěla k poznání, že žádný privilegovaný směr v prostoru neexistuje. Dnes je tento fakt experimentálně ověřen s vysokou přesností. Izotropie prostoru patří i k výhodiskům speiální teorie relativity. (U času vzhledem k jeho jednorozměrnosti nemá význam o izotropii mluvit; otázkou záměny t -t jsme se zabývali výše.) V obené teorii relativity je opět situae složitější a geometriké vlastnosti prostoru mohou obeně vykazovat anizotropii. Již z uvedeného zběžného přehledu vidíme, že v silnýh gravitačníh políh, které je nezbytné popisovat pomoí obené teorie relativity,se vlastnosti prostoru a času mohou zřejmě velmi značně lišit od těh, které běžně známe. Proto nejprve gravitai z naših úvah zela vyloučíme. V tom případě jsou vlastnosti prostoru a času vystiženy speiální teorií relativity. I ta přináší na prostor a čas řadu novýh pohledů a před jakoukoli diskusí o obené relativitě se s ní stejně musíme podrobněji seznámit. Naví byhom snad mohli již jen poznamenat, že obená teorie relativity speiální relativitu nevyvraí, ale zobeňuje a určuje meze její platnosti. 5

6 I.. Vztažné soustavy a soustavy souřadni Výše jsme uvedli některé základní vlastnosti prostoru a času, které ani speiální teorie relativity nepopírá, ale na nihž naopak staví. Všehny tyto vlastnosti vystihuje známý matematiký model: euklidovský prostor. Vystihuje i řadu dalšíh vlastností, běžně přijímanýh za samozřejmé a známýh třeba ze školské geometrie. Praktiky veškerá geometrie vyučovaná ve školáh je geometrií euklidovského prostoru. Vlastnosti euklidovského prostoru jsou zobeněním zkušeností s vlastnostmi prostoru v běžném životě, v běžnýh makroskopikýh měřítkáh. Je to zobenění tak úspěšné, že téměř až do kone devatenátého století se pokládalo za samozřejmé, že skutečný prostor je euklidovský a vládla představa, že jiná geometrie ani nemůže reálně existovat. (Výše zmiňovaná nehomogenita a anizotropie podle starověkýh představ byla připisována fyzikálním aspektům prostoru, nikoli geometrikým.) Z představy, že skutečný prostor je euklidovský, pak elkem oprávněně vyhází i elá klasiká fyzika. Podobně čas se v klasiké fyzie pokládá za jednorozměrný euklidovský prostor. Tak jsme se od obenýh vlastností dostali zpátky k běžné představě o prostoru a času. Fyzika ovšem neprauje jen s abstraktními matematikými pojmy a nestačí jí obené geometriké teorémy. Musí popisovat a měřit pohyby těles, tj. jejih polohu a její změny. Měřit je ale možné je vůči něčemu. Potřebujeme tedy nějaký systém těles, vůči němuž bude možno měření vztahovat. Takový systém těles nazýváme vztažná soustava. V rámi teoretikýh úvah nemusíme ovšem měření vztahovat jen k tělesům reálně se v prostoru vyskytujíím. Vztažnou soustavu je pak vhodné hápat tak, že může být tvořena i myšlenými tělesy. Je ale vhodné přijmout i určité omezení. Měření by se zřejmě obtížně interpretovala, kdyby byla prováděna třeba vzhledem ke skupině hobotni, plovouíh v oeánu. Vhodnější jistě bude zvolit tělesa, která jsou navzájem v klidu a jejihž jednotlivé body jsou rovněž navzájem v klidu to znamená, jejihž vzájemné vzdálenosti se nemění s časem. Lze tedy vztažnou soustavu definovat jako systém skutečnýh nebo myšlenýh těles, která jsou navzájem v klidu. Takovýmito vztažnými soustavami mohou být například podlaha a stěny laboratoře, železniční vagón, raketa, kolotoč, zeměkoule, či soustava stáli (hápanýh zde ovšem spíše jako myšlená tělesa; vzájemné pohyby skutečnýh stáli musíme odkorigovat). Polohu objektů vůči vztažné soustavě byhom v prinipu mohli určovat slovním popisem v levém předním dolním rohu laboratoře, u špičky rakety. Bylo by to však složité a nepříliš přesné. Proto při měření polohy nějakého tělesa vůči vztažné soustavě užíváme praktiky vždy soustavu souřadni. Poloha libovolného bodu je pak určena trojií souřadni. V euklidovském prostoru je nejpřirozenější soustavou kartézská soustava souřadni, užívajíí tří kolmýh os a kolmýh průmětů z měřeného bodu na osy pro určení jednotlivýh souřadni (viz obr. I.4a). Měřítka na všeh třeh osáh jsou stejná. Fyzikálně by bylo možno kartézskou soustavu realizovat kryhlovou mříží z tuhýh měřííh tyčí. (Viz obr. I.4b). 6

7 Obr.I.4. Kartézská soustava souřadni a) Určování souřadni daného bodu b) Fyzikální realizae kartézské soustavy Každý průsečík tyčí má pak přesně určené souřadnie. V prinipu by mohla být soustava tyčí tak hustá, že byhom s její pomoí mohli s předem zadanou přesností určit souřadnie libovolného bodu v prostoru. Takováto soustava samozřejmě ve skutečnosti neexistuje (a asi by také dost vadila fyzikálním proesům, které heme popisovat a zkoumat). Pro úvahy o měření délek a podobné myšlenkové pokusy je však velmi výhodné představit si, že souřadnie libovolného bodu v dané soustavě souřadni můžeme změřit pomoí měřííh tyčí. V zadané vztažné soustavě (a v ní zadané soustavě souřadni) můžeme již popisovat fyzikální děje. Před fyzikou zde ovšem stojí důležitá otázka:? Jakou zvolit vztažnou soustavu a v ní soustavu souřadni, aby v ní popis fyzikálníh dějů byl o nejjednodušší? Samotná volba (kartézské) soustavy souřadni v již zadané vztažné soustavě může být velku libovolná. Díky homogenitě prostoru je totiž jedno, kde zvolíme počátek soustavy souřadni a díky izotropii prostoru nezáleží na natočení soustavy os. Ovšem při volbě vztažné soustavy je zde naví další možnost: vztažné soustavy se mohou navzájem pohybovat! Jak tedy volit vztažnou soustavu? Jednou z možností by bylo spojit ji s nějakým význačným tělesem například se Zemí (jak to bylo obvyklé ve starověkýh představáh) nebo se Slune či soustavou stáli. Zajímá-li nás ale lokální fyzika, tj. třeba experimenty prováděné v laboratoři, nemusíme se odvolávat na Slune či stálii. Rozhodujíí pro nás budou výsledky laboratorníh experimentů. Ze zkušenosti víme, že v řadě vztažnýh soustav se projevují zvláštní efekty: v rozjíždějíí se tramvaji nás jakási síla přitlačuje k zadní stěně, na rotujíím kolotoči nás podobná síla odtahuje od osy otáčení, Fouaultovo kyvadlo na zeměkouli stáčí svou rovinu kyvu Vždy zde jde o působení sil, které nemají svůj původ v interaki s jinými tělesy. (Nepřitahuje nás zadní stěna tramvaje, ani nás neodpuzuje osa kolotoče.) Takovéto síly nazýváme setrvačné. (Dříve se též užívalo názvu zdánlivé.) Setrvačné síly nepohybně komplikují popis fyzikálníh dějů. 7

8 Zkušenost nás však rovněž učí, že existují vztažné soustavy (a s nimi spojené soustavy souřadni), v nihž žádné setrvačné síly nepůsobí. Tyto soustavy nazýváme ineriální soustavy souřadni, nebo kratčeji ineriální systémy. A právě ineriální systémy jsou soustavami, v nihž je popis fyzikálníh dějů nejjednodušší. Až doposud jsme poměrně podrobně diskutovali určování polohy a stranou jsme nehávali určování času (například času počátku či kone určitého děje nebo obeně času libovolnýh událostí). K měření času potřebujeme samozřejmě hodiny ať už mehaniký hronometr, hodiny s kmitajíím křemenným krystalem či velmi přesné atomové hodiny. Porovnány navzájem jdou všehny tyto hodiny až na drobné, fyzikálně vysvětlitelné odhylky, stejně. A právě to nás přesvědčuje, že lze definovat stejný čas pro všehny druhy fyzikálníh proesů. Volba časového počátku, t = 0, je ovšem věí libovůle (díky homogenitě času). Podrobněji se zatím problematie měření času věnovat nebudeme. Zmíníme se raději o dvou výhozíh prinipeh speiální teorie relativity a pomoí jednoduhýh myšlenkovýh pokusů vyvodíme některé důsledky. 8

9 I. 3. Základní prinipy speiální teorie relativity a některé jejih důsledky. Z řady pokusů vyplývá, že ineriální systém neexistuje pouze jeden. Každý systém, pohybujíí se rovnoměrně přímočaře vzhledem k danému ineriálnímu systému, je rovněž ineriální. Ineriálníh systémů tedy dokone existuje nekonečně mnoho. Přitom pomoí experimentů prováděnýh v rámi daného systému nelze rozlišit jeden ineriální systém od druhého. Aniž byhom vyhlédli z rakety, nezjistíme uvnitř ní pomoí žádného mehanikého, elektronikého či optikého zařízení, jak ryhle se pohybuje vzhledem ke stáliím či k Zemi. Jednoduše byhom samozřejmě mohli zjistit, zda se raketa pohybuje se zryhlením např. v důsledku působení vnějšího elektromagnetikého pole nebo práe motorů. (Jak?) Raketa s vypnutými motory izolovaná od vnějšíh vlivů je však přímo prototypem ineriálního systému a určit její ryhlost vzhledem k jinému ineriálnímu systému je bez vyhlédnutí ven nemožné. Toto zjištění je obsahem prvního prinipu, z něhož vyhází speiální teorie relativity, tzv. prinipu relativity. Stručně jej lze formulovat např. větou: Všehny ineriální systémy jsou rovnoprávné. nebo ekvivalentně: Žádný ineriální systém není privilegován. případně tvrzením: Libovolný stejně připravený pokus dá ve všeh ineriálníh systémeh stejný výsledek. které konkretizuje výše uvedené formulae. Druhým základním prinipem speiální teorie relativity, vyházejíí z experimentů, je prinip konstantní ryhlosti světla, který tvrdí: Světlo se ve vakuu šíří vůči libovolnému ineriálnímu systému ve všeh směreh stejnou ryhlostí (nezávislou na pohybu jeho zdroje). Oba výhozí prinipy budeme ještě podrobněji diskutovat dále a budeme se také seznamovat s tím, jak z nih lze speiální teorii relativity budovat. Již přímo z výhozíh prinipů, bez jakéhokoli zvláštního formalismu, lze však pomoí několika myšlenkovýh pokusů odvodit některé důležité výsledky.? Z prinipu konstantní ryhlosti světla je okamžitě vidět, že neplatí jedna z věí, které se v klasiké mehanie zdály naprosto samozřejmé: ryhlosti se nesčítají algebraiky. Z běžného života jsme zvyklí, že kráčí-li průvodčí ve vagóně ryhlostí 1 m/s směrem dopředu a vagón přitom jede ryhlostí 0 m/s, je ryhlost průvodčího vzhledem k trati 1 m/s. Ovšem vyšleme-li ve vagóně směrem dopředu světelný signál, je jeho ryhlost vzhledem k vagónu rovna, ale ryhlost vzhledem k trati není + 0 m/s, nýbrž opět pouze. Jinak by totiž byl porušen prinip konstantní ryhlosti světla. Ve výše uvedené formulai myšlenkového pokusu byhom mohli najít určité nepřesnosti. (Zkuste je najít dříve než si přečtete další větu!) Tyto nepřesnosti jsou dány stručností, s níž jsme myšlenkový pokus formulovali, a lze je samozřejmě odstranit. Předně byhom měli expliite konstatovat, že soustava souřadni spojená s tratí je ineriální, za druhé, že vlak jede rovnoměrně přímočaře a konečně má-li se 9

10 světelný signál šířit ryhlostí (ryhlostí světla ve vakuu), muselo by ve vagóně vakuum skutečně být, resp. pokus by se musel konat ve vakuové aparatuře. Tím není řečeno, že byhom o skládání ryhlostí nemohli mluvit i v jinýh případeh; je však vhodné, aby myšlenkový pokus byl o nejjednodušší. Abyhom nemuseli popisy myšlenkovýh pokusů komplikovat množstvím podrobností a přesto se příliš neprohřešovali proti přesnosti, zavedeme následujíí úmluvu: Pokud o libovolné vztažné soustavě či soustavě souřadni neprohlásíme ni jiného, bude se vždy jednat o soustavu ineriální. Pohyby všeh těles budou rovnoměrné přímočaré, tělesa se nebudou otáčet a nebude mezi nimi působit tření ani jiné dissipativní síly, pokud nebudeme expliite tvrdit něo jiného. Nebudeme-li speifikovat prostředí, v němž se bude šířit světlo či obeně elektromagnetiké vlnění, půjde vždy o šíření ve vakuu. Dalším důsledkem, který lze jednoduše odvodit, je dilatae času. Týká se hodu hodin, které se vzhledem k ineriální soustavě pohybují. Pro rozbor situae je samozřejmě nutno volit o nejjednodušší model hodin. Vhodným modelem jsou tzv. světelné hodiny, sestávajíí se ze dvou rovnoběžnýh zradel, jejihž vzájemná vzdálenost je l a mezi nimiž se odráží světelný signál (šíří se kolmo k ploše zradel; viz obr. I.5a). Každý odraz signálu na jednom ze zradel, třeba na zradle A, budeme považovat za tik hodin. V soustavě S spojené s hodinami, je doba mezi dvěma tiky, tj. perioda hodin, zřejmě rovna l τ = (I.1) neboť podle prinipu konstantní ryhlosti světla je ryhlost šíření signálu rovna. Obr.I.5. Světelné hodiny a) v soustavě, v níž stojí, b) v soustavě, v níž se pohybují ryhlostí v 10

11 Nehť se nyní hodiny spolu se soustavou S pohybují rovnoměrně přímočaře vzhledem k ineriální soustavě S ve směru její osy x ryhlostí v. (Viz obr. I.5b.) V soustavě S se již světelný signál nepohybuje kolmo k zradlům. Musí se pohybovat šikmo, aby dohnal zradlo B a urazí tedy dráhu delší než l. Označíme-li t periodu danýh hodin, naměřenou t v soustavě S, posune se za polovinu periody zradlo B doprava o v. Světelný signál (jehož ryhlost šíření je i v soustavě S rovna ) urazí za tutéž dobu vzdálenost zřejmé, že můžeme použít Pythagorovu větu t. Z obrázku je z níž lze jednoduše vyjádřit t jako a po dosazení (1) t t = v + l l 1 t = v 1 t = τ > τ v 1 (I.)?? Doba mezi dvěma tiky hodin, naměřená v soustavě S, je tedy delší než doba mezi tiky, naměřená v soustavě S spojené s hodinami. (Proto tedy dilatae, tj. prodloužení času.) Za jednotku času v soustavě S proto stihnou pohybujíí se hodiny méně tiků, než kdyby vůči této soustavě stály můžeme tedy říi, že pohybujíí se hodiny se zpožďují. Soustava S, v níž uvažované hodiny stojí, je ovšem ineriální systém jako každý jiný a dané hodiny v ní nemají žádné zvláštní postavení. Jejih hod v ní lze srovnávat s hodem křemennýh hodin, náramkovýh hodinek, ryhlostí tepů srde určitého člověka a obeně s ryhlostí libovolnýh fyzikálníh proesů (vše v soustavě S ). Tik křemennýh hodin může nastat třeba po 100 tisííh tiíh světelnýh hodin, určitá fáze tepu vždy po miliónu tiků apod. Z toho je ovšem zřejmé, že naměříme-li v systému S periodu světelnýh hodin prodlouženou, musíme naměřit příslušné prodloužení i periody křemennýh hodin, tepu srde atd. Tato úvaha platí pro všehny fyzikální proesy, ož se někdy vyjadřuje poněkud mlhavým tvrzením: V pohybujíí se soustavě plyne čas pomaleji. (Promyslete si, proč je toto tvrzení nepřesné!) Jednoduhost popsaného myšlenkového pokusu je přesvědčivá. Situae však začne vypadat zdánlivě paradoxně, uvědomíme-li si, že může nastat i situae obráená: světelné hodiny mohou stát v soustavě S a my budeme měřit ryhlost jejih hodu ze soustavy S. Ve vyhroené podobě, s níž na nás může přijít žák, pak problém může vypadat třeba takto: Mějme hodiny A a jiné hodiny B, které se vzdalují od A ryhlostí v (viz obr. I.6a). Protože pohybujíí se hodiny jdou pomaleji než hodiny, které stojí, hodiny B se vůči hodinám A zpožďují. To ale znamená, že A se musí vůči B předbíhat. (Zpožďují-li se mé náramkové hodinky vůči hodinám na věži, pak se samozřejmě věžní hodiny předbíhají vůči mým hodinkám.) Ovšem vzhledem k hodinám B jsou to hodiny A, které se pohybují ryhlostí v (viz obr. I.6b), takže by se měly vůči B zpožďovat. (Úvahu se světelnými hodinami lze přee opakovat v případě, že pohybujíími se světelnými hodinami jsou hodiny A.) Tak které hodiny se vlastně zpožďují? 11

12 Obr. I.6. K diskusi zpožďování hodin. Žákovi budeme muset odpustit podobnou poněkud nepřesnou formulai problému a třeba i to, že dodá: Ta relativita je nějaká divná. Bude na nás mu vysvětlit, proč uvedený příklad teorii relativity nevyvraí a proč je jen zdánlivým paradoxem. Problém jsme tedy nastínili, ale jeho další diskusi zatím odložíme. Čtenáři, kteří již alespoň částečně znají speiální teorii relativity, si zde řešení problému jistě sami připomenou nebo se o něj pokusí i bez zvláštního vybízení. Jinak je vhodné vyčkat, až budeme mít solidněji vybudované základy teorie. Budeme se teď věnovat dalšímu důsledku základníh prinipů, důsledku, který zlobí řadu laiků zřejmě nejví a jehož nepohopení nebo odmítání je často ať už zjevnou nebo skrytou příčinou různýh vyvráení či vylepšení speiální teorie relativity. S faktem, že pohybujíí se hodiny se zpožďují, se snad většina lidí ještě vyrovná. Intuitivní představa, že čas je nezávislý na prostoru, volbě vztažné soustavy apod. se však projevuje v přesvědčení, že řeknu-li teď, znamená to teď v elém vesmíru, že tedy přítomný okamžik je dán absolutně v elém prostoru. A že tedy třeba s kosmonauty, letíími k Proximě Centauri, byhom se mohli bez problémů shodnout na tom, zda novoroční přípitek u nás v Praze a u nih na raketě nastal současně nebo ne. Jednoduhý myšlenkový pokus nás přesvědčí, že situae není tak triviální. Uvažujme vagón, jedouí rovnoměrně přímočaře ryhlostí v. Uprostřed vagónu je umístěno zařízení, které vyšle světelný záblesk do všeh směrů. Nás budou zajímat časy, v nihž tento záblesk dopadne na přední a zadní stěnu vagónu. V ineriální soustavě S spjaté s vagónem je situae jednoduhá viz obr. I.7a. Záblesk se šíří všemi směry ryhlostí, přední a zadní stěna jsou od zdroje záblesku stejně vzdáleny, takže časy dopadu záblesku na přední stěnu (t A ) a na zadní stěnu (t B ) musí být nutně stejné: t = (I.3) A t B Z hlediska soustavy S spojené s tratí vypadá situae jinak (viz obr. I.7b). Záblesk se I vzhledem k S šíří všemi směry ryhlostí. Zadní stěna vagónu však jde záblesku vstří ryhlostí v. Položme v okamžiku záblesku t = 0 a označme čas (měřený v soustavě S), v němž paprsek dostihne zadní stěnu (bod B) symbolem t B. Pak do okamžiku setkání se zábleskem urazila zadní stěna dráhu v t B a záblesk samozřejmě dráhu t B. Je-li l polovina délky vagónu, je zřejmě z čehož l v t = B t B 1

13 l t B = (I.4) +v V tomto čase ovšem ještě přední čelo záblesku nemohlo dostihnout přední stěnu vagónu, která před ním ustupuje. Dostihne ji až v čase t A, který lze určit ze vztahu (viz obr. I.7) l +v t = jako A t A l t A = (I.5) v? Obr. I.7. Myšlenkový pokus k výkladu relativity současnosti a) Situae z hlediska soustavy spojené s vagónem b) Situae z hlediska S v čase t B ) Situae z hlediska S v čase t A Srovnání (4) a (5) potvrzuje to, o již je z předhozí diskuse zřejmé: t B < t A (I.6) Události, které jsou současné v jednom ineriálním systému, nejsou tedy obeně současné v jiném. (Pozn.: Událostí rozumíme to, o se stalo na určitém místě v určitém okamžiku např. ťuknutí do stolu, dopad světelného signálu na stěnu vagónu atd.) Současnost událostí není pojem absolutní; mluvíme proto o relativitě současnosti. Ať už se to komu líbí nebo nelíbí, novoroční přípitky (v Praze a na raketě letíí k Proximě Centauri) mohou být současné z hlediska rakety, ale z hlediska Země mohl jeden nastat dříve. (Který?) 13

14 Posledním důsledkem, který v této kapitole odvodíme, je známý efekt kontrake délek. Uvažujme znovu světelné hodiny v klidu v soustavě S, tentokrát orientované tak, že zradla jsou kolmá na osu x. Jejih vzdálenost v soustavě S označíme l. (Viz obr. I.8.)? Obr. I.8. K odvození kontrake délek Pozn.: Při odvozování dilatae času jsme vzdálenost zradel značili l, neboť byla stejná v S i S. Tento předpoklad že vzdálenosti kolmé na směr pohybu jsou v obou systémeh stejné jsme brali jako samozřejmost a ani jsme se o něm nezmínili. (Povšimli jste si toho na daném místě?) Jde o předpoklad, který i ve speiální teorii relativity skutečně platí. (Čtenáři již znalí teorie relativity by si měli připomenout nebo odvodit proč.) Vzdálenosti ve směru pohybu, o nihž se v klasiké mehanie stejně samozřejmě předpokládá, že se rovněž nemění, ovšem stejné být nemohou, jak ihned uvidíme. Perioda uvažovanýh světelnýh hodin v S je τ = l (I.7) V soustavě S, vůči níž se S pohybuje ryhlostí v ve směru osy x (rovnoběžné s x, viz obr. I.7b), ovšem zradlo B utíká světelnému signálu. Za čas t B urazí zradlo B dráhu v t B. Světelný signál tedy musí za t B urazit dráhu l +v t B, kde l je vzdálenost zradel měřená v soustavě S. Ryhlost světelného signálu je, je tedy t = l + v B t B Doba t B, za níž signál dorazí k zradlu B, je odtud l t B = (I.8) v Po odrazu jde zradlo A vstří signálu ryhlostí v. Označíme-li t A dobu, kterou signál letí zpět k zradlu A, je tedy a odtud t = l v A t A l t A = (I.9) +v 14

15 Perioda hodin v soustavě S je l l l l 1 t = t B + t A = + = = (I.10) v + v v v 1 Dilatae času ovšem nemůže záviset na orientai světelnýh hodin. Proto mezi periodou τ světelnýh hodin v soustavě S a jejih periodou naměřenou v S musí platit vztah (): t = τ v 1 l = 1 v 1 zde jsme již dosadili (7). Porovnáním s (10) pak již okamžitě dostáváme ; v l = l 1 (I.11) Délku světelnýh hodin a obeně libovolného pohybujíího se předmětu tedy musíme naměřit ve směru pohybu kratší než v soustavě, v níž předmět stojí. Stručně, ovšem opět poněkud nepřesně, to lze vyjádřit tvrzením pohybujíí se předměty se ve směru pohybu zkraují. S tím se lze kone konů smířit. Potíže s interpretaí ovšem nastávají, uvědomíme-li si, že efekt je symetriký: pohybuje-li se vůči mně raketa, naměřím její délku zkráenou (viz obr. I.9a). Vůči pozorovateli v raketě se ovšem pohybuji já i se svou měříí tyčí tuto tyč tedy naopak pozorovatel v raketě musí naměřit zkráenou (obr. I.9b). Mohl by tedy očekávat, že zkráenou měříí tyčí naměřím jeho raketu delší.? Obr. I.9. Zdánlivý paradox při pozorování délek měříí tyče a pohybujíí se rakety. (Naměří-li mou tyč zkráenou třeba na polovinu, může čekat, že se jih do délky rakety vejde dvakrát ví než kdyby se nezkraovaly.) Z jeho hlediska vzniká tedy zdánlivě záhada: Jak to, že já zkráenou tyčí nenaměřím raketu delší ale kratší? Vidíme, že z výhozíh prinipů lze sie pomoí myšlenkovýh pokusů mnohé efekty odvodit, ale při jejih diskusi se můžeme snadno dostat do potíží. Stačí trohu nepřesnosti v úvaháh či formulaíh. Ať si to přiznáme nebo ne, snažíme se totiž tyto efekty interpretovat v rámi názornýh zkušeností z běžného života. Alespoň zpočátku, než si jejih 15

16 rozbor pořádně promyslíme. Běžnou zkušenost jsme totiž zvyklí vydávat za zdravý rozum. Proto se nám stále vnuují otázky typu: Která měření jsou tedy vlastně správná? Které hodiny jdou ve skutečnosti pomaleji? apod. A snad nás i expliite napadne, zda by nebylo možno nějak zahránit klasikou mehaniku s jejím názorným pohledem na prostor a čas. Jsou výhozí prinipy speiální teorie relativity skutečně experimentálně tak podložené, že se bez nih nelze obejít? To je otázka, na níž je třeba odpovědět, ještě než se začneme s formalismem a detaily teorie relativity blíže seznamovat. času. Dalším úkolem, který nás pak zela zřejmě čeká, je zpřesnit úvahy o měření délek a 16