Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
|
|
- Pavel Staněk
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Antonín Libický O trojúhelníku, jehož strany tvoří řadu arithmetickou. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 27 (1898), No. 3, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mathematicians and Physicists, 1898 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 220 1 = sin 2 ^ -f cos 2 g, takže bude i máme potom 1: A 2 = [(a b) sin 0] 2 -f [(a 6) cos 0 c] 2 _ (a 6 cf -f 4c (a &) sin 2 - (o\ Sm U í- (a-6) sin/? (9) an- _ -==---", y (a b - c)»-f4c (a 4) sin 2 -,«_. a /} (a b) cos B c (10) cos 1 í. y ( a _ b c) 2 -f4c (a 6) sin* -!L Vztahy takové, ač k výpočtu nejsou způsobilé, dlužno přece znáti, neboť mohou někdy komplikované výpočty zjednodušiti. V Praze, v srpnu i_< 0 trojúhelníku, jehož strany tvoří řadu arithmetickou. Podává Antonín Libioký, proíessor xxa Král. "Vixioliradeoh.. (Dokončení.) Důležitými příčkami každého trojúhelníka jsou těšnice; pro nás zvláštní trojúhelník zjednoduší se vzorce, kterými se vypočítávají tyto příčky ze stran trojúhelníka, takto: Budiž B 2 rozpolovací bod strany AC trojúhelníka ABC; těžnici BB 2 označme t 2 a <o jeden z obou úhlů vedlejších, jež tvoří u bodu B 3 tato těžnice se stranou AC a to úhel ležící proti nejmenší straně a. V A B 2 CB, jehož strany jsou 2w <2, m a ř 2, bude dle věty cosinové
3 22 \ (2m d)' 1 = m 2 -f t\ 2 mt 2 cos to; podobně v A AB 2 B, jehož strany jsou 2m -f d, m, t t dle téže věty: (2m -f- cř) 2 = w a -f t\ -f 2wč 2 cos co. Sečtenie-li jednou, odečteme-li po druhé tyto rovnice, obdržíme upravivše (21b) t\ = 3m 2 -f d 3, (22) cosci= Z poslední rovnice jde, že v trojúhelníku ABC vzdálenost rozpojovacího bodu B 2 prostřední strany od paty B x výšky, k té straně příslušné, čili průmět B-B 2 prostřední těžnice BB 2 na stranu AC rovná se dvojnásobnému rozdílu řady arithmetické, již tvoří strany trojúhelníka. Tím jsme znova ukázali, že jest A ABC pravoúhlým, je-li 2d = m, že jest ostroúhlým, je-li 2d <- wi, á že jest tupoúhlým, je-li 2d > m. Neboť pata B x výšky, na prostřední stranu spuštěné, jest v prvním případě jeden z obou krajních bodů této strany, ve druhém případě leží tato pata mezi body A a C a ve třetím vně úsečky AC. Použijme ještě tohoto výsledku, abychom ustanovili jednoduché výrazy pro cosiny vnitřních úhlů A ABC. Z pravoúhlého trojúhelníka AB^, v němž AB 3 = m -\- 2d, plyne totiž /rtř> N m-\-2d 0i4-2d - podobně z pravoúhlého trojúhelníka BjCB, v němž BjC = m 2d, vychází /oo \ m 2d (23c) CMr = = T. Poněvadž nejdelší strana trojúhelníka ABC můžeme psáti c = b cos a -f- a cos 0, n cos p = - C -**- & COS OL a
4 222 dosadíce tu za cos a a strany a, b, c hodnoty ^il, 2m d, c 2m, 2m -f d, obdržíme 2W 2 + d 2 (23b) coş ß : 4m 3 ď V pravoúhlém trojúhelníku ABÍB, kterého jsme právě použili, jest dále v; = (2m fá) 3 -(m + 2d) 2 čili (24) vl = 3(m* d% kterýžto vzorec ovšem souvisí s druhou rovnicí (19), Připojme konečně na tomto místě, že na základě rovnic (23) snadno ustanovíme délky stran a v 6 1? c 1 trojúhelníka orthického, příslušného k trojúhelníku ABC; poněvadž totiž platí pro tyto délky známé vzorce nalezneme a t = a cos a, b x = b cos /J, c x = c cos y, _ (2m ci) (m -f- 2ď), 2m (2m 2 -f ď 2 ) a -~ 2m + ež ' *~ 4m 2 ~ď 2 ~ ' c _ (2m -f d) (m 2d) i- 2m d Když jsme poukázali k některým výsledkům plynoucím ze vzorce (22), vraťme se k těžnicím trojúhelníka ABC. Způsobem podobným tomu, kterým jsme ustanovili těžnici prostřední (vzorec 21b), vypočítáme též obě ostatní těžnice; i dospějeme ke vzorcům (21a) t\ = 3m (m -f d) + ~ i (21c) t\ = Srn (m - d) -f ~. Z těchto rovnic vyvodíme některé vztahy, jichž užijeme řesíce úlohu:
5 223 Jest vypočítati trojúhelník, jehož strany tvoří řadu arithmetickou, dány-li jsou kterékoli dvě těžnice. Sečtouce obě strany rovnic (21a) a (2Lc) a znásobíce součet dvěma, obdržíme (a) 2(t\+t\) l2m 2 + d 2 \ odečtouce od této rovnice rovnici (21b), nalezneme (25) (t\+tl)-t\ = 9m\ 2 Jestliže však od čtyřnásobné rovnice (21b) odečteme rovnici (a), nabudeme (26) At\-2(t\ + t\) = U\ Kdybychom znali všechny tři těžnice, vypočítáme z rovnic (25) a (26) veličiny m a d, které nám postačí ku vyhledání všech prvků trojúhelníka ABC. Jest jen ještě třeba opatřiti si rovnici, pomocí které bychom mohli ustanoviti z kterýchkoli dvou těžnic daných těžnici třetí. Tuto rovnici vyšetříme takto: Odečteme-li rovnice (21a) a (21c), vznikne rovnice ť\ t\ = 6md; zdvojmocníme-li a násobíme-li třemi, obdržíme 3*4 _ Q t 2 t l _ _ 3-M _ 1 0 g m 2 ď 2 = 4 g m 2 m U 2 Kladouce tu za 9m a a 3d 2 výrazy z rovnic (25) a (26), nabudeme 3*í - 6t\ t\ + at\ = 4 [2 (t\ + i\) -1\] [4t\ - 2 (t\ +1\)]; roznásobíme-li pak na pravé straně a sloučínie-li, dospějeme ku hledané rovnici 19*1 + 16*; + 19*: 40*J t] 40ť 2 1\ + 2&\ t\ = 0. Rovnice ta jest vzhledem ku každé těžnici stupně čtvrtého, lze ji však řešiti na základě rovnice kvadratické; obdržíme tudíž pro neznámou jen dva kořeny, jichž absolutní hodnoty jsou různé. Poslední část našeho vyšetřování týká se příček půlících vnitřní úhly trojúhelníka, jehož strany tvoři řadu arihmetickou.
6 224 Příčku u 2 půlící prostřední úhel 0 určíme takto: Budiž B 3 bod, v němž tato příčka se stýká se stranou prostřední AC; poněvadž v každém trojúhelníku příčka, rozpolující jeden úhel, dělí protější stranu na části úměrné s přilehlými stranami, můžeme psáti úměru AB 3 : B 3 C = c : a. Z této úměry vyhledáme snadno AB 3, uvážíme-li, že (AB3 + B 3 C):(a + c) = AB 3 :c, kde AB 3 -f- B 3 C = AC = 2m, a + c = 4m, c = 2m -f- d. Dosadivše tyto hodnoty, obdržíme AB 3 = m + y V trojúhelníku AB 3 B jest pak dle věty cosinové u\ = (2m -f- df -f jm-r-y) 2 2(2m-f-d) U+y) cos a čili po úpravě u\ = (2m -j- ď) 2 l-j- cos aj. Přihlížejíce ku vzorci (23a), nalezneme konečně (27b) u\ A(4m 2 d 2 ). Můžeme tu snadno zavésti pomocný úhel <p, neboť d ( 2 \ 1 -j -rf tudíž = 4m a (1 cosfy) = 4m 2 sin 2 g>; u 2 = m ^3 sin <p. Tato příčka objevuje se též v trojúhelníku rovnoramenném ACM 1? který jsme výše obdrželi promítnutím rovnostranného trojúhelníka ACM ležícího v rovině S na rovinu R trojúhelníka ABC. Y ^ ACM označili jsme A' střed strany CM; jeho průmět na R
7 225 byl bod A', střed ramene CM r O délkách přímek promítajících MMj, A'A', platí patrně rovnice A'A', = -^ MMj. Je-li jako výše B 2 bod půlící stranu AC, jest v pravoúhlém trojúhelníku B 2 MM,, MM. C0B * = B3«' ježto úhel M X B 2 M jest odchylka R ip obou rovin R a S. Podobně jest v pravoúhlém trojúhelníku AA'A' X aneb též ^ A'A' cos AA'A' = - k ~ AA' A A / MM X C0SAAA 2B^Mneboť jest jednak, jak řečeno, A'A' X -»- MM a, jednak AA' := B 2 M, u jakožto výšky v trojúhelníku rovnostranném ACM. Srovnáním nabudeme /\ cos ty = 2 cos AA'A'.; uvážíme-li, že podmínečná rovnice o úhlech op a i/^ zní poznáváme, že cos ty 2 cos op, AA'A' X =3 op. tedy Z pravoúhlého trojúhelníka AA'A' f plyne pak AA' t z= AA' sin y ~ m^3 sin op, A A'. = u r Shrneme-li vše, co jsme pověděli o souvislosti mezi prvky průmětu ACMj s prvky A ABC v jedno, můžeme říci: Sestrojíme-li na základně AC trojúhelníka ABC, jehož strany tvoří řadu arithmetickou, trojúhelník rovnoramenný ACM 1 o téže výšce, jest v něm: 15
8 vzdálenost těžiště od základny rovna poloměru kružnice trojúhelníku ABC vnitř vepsané; 2. výška na základnu spuštěná rovna prostřednímu poloměru kružnice A ABC vně vepsané; 3. úhel, který tvoří těžnice AA'. k rameni příslušná se základnou AC, roven polovičnímu úhlu prostřednímu; 4. tato těžnice rovna příčce trojúhelníka ABC, půlící jeho úhel prostřední. Pozorujme ještě příčky, vycházející z bodu B trojúhelníka ABC, o kterých jsme jednali; jsout to: výška BBj = v 2, těžnice BB 2 = t 2 a příčka, úhel 0 půlící, BB 3 = u 2. Pro tyto příčky odvodili jsme vzorce: (24) v\ = : Зm 2 зæ, (21b) t\ = :3m 2 + ă\ (27b) u\ = : Зm 2 -т л Z nicb plynou tyto rovnice: t\- -v\: -м\ Q u\- -v\: - 4 a ' vyloučíme-li z těchto dvou rovnic d 2, obdržíme \6u\ = 9ť\ + 7v\. První rovnice nám praví, že B^ = 2<ž, jak jsme již jednou 3 ukázali. Z druhé rovnice jde, že B^ = -~d\ leží tedy bodb 3 ve čtvrtině úsečky BjB 2 blíže bodu B 2. Z rovnice třetí lze konečné jednu z délek u t, t 2, v 2 vypočítati, dány-li jsou obě ostatní. Postupem podobným tomu, kterým jsme vyhledali prostřední příčku w 2, ustanovíme také příčky u x a u s. Výsledky nebudou však tak jednoduché; znějíť 9-ttfw 2 < 27a ) < = ($ Sji <- 2m + *)(» + *). (27c) ul = <&rh)* (2m - *(» - <*)
9 227 Úloha. Řešiti trojúhelník, jehož strany tvoří řadu arithmetickou, dány-li jsou dvě příčky půlící vnitřní úhly, na př. u x a u 3. Vzorce (27a) a (27c) pišme ve tvaru, + 3cžm + ď 2 2m2 u >-^m I6m 2 + 8dm+d 2 ' a A 2^2 3dm + d 2 2 w 3 = 24m 2, -', -= ; i n Q 3 16m 2 8dw + ež 2 dělíce čitatele a jmenovatelé každého ze zlomků, na pravé straně těchto rovnic se vyskytujících, m 2 a položíce = cos ^, obdržíme - oj cos y; + cos 2 j> Ul ~ ^4m cos^ + cos 2^' u* - 24m ^ ^+? l!ls ^ # 16 8cos^-f cos 3^* Dělením těchto dvou rovnic vznikne rovnice u l (2 + 3 cos tfr + cos 2 f) (16 8 cos 1> + cos 2 j>) u\ ~~ (2^3 cosi/> + cos 2 ip) ( cos * + cos 2 <ř>)' a z té vychází pro cost^ rovnice čtvrtého stupně tato (ul u\) cos 4 ^ 5 (t*j + MÍ) cos 3 ^ 6 (t»j t*j) cos 2 ^ + 32 (ul + t*í) cos 1^ + 32 (ul u\) = 0. Vyhledavše odtud cos tř>, určíme z poslední rovnice pro u] neb pro ul veličinu m a pak z rovnice cost/> = rozdíl d. Obdobně budeme počítati, dány-li jsou jiné dvě příčky, na př. u x a u 2.
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Hübner Stanovení pláště rotačního kužele obsaženého mezi dvěma sečnými rovinami Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 33 (1904), No. 3, 321--331
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Langr O čtyřúhelníku, jemuž lze vepsati i opsati kružnici Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 28 (1899), No. 3, 244--250 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122234
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřinec Jelínek O některých úlohách z arithmografie. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 24 (1895), No. 2, 132--136 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120880
VíceNerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Antonín Libický O trojúhelníku, jehož strany tvoří řadu arithmetickou. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 27 (1898), No. 2, 141--155 Persistent
VíceO mnohoúhelnících a mnohostěnech
O mnohoúhelnících a mnohostěnech I. Úhly a mnohoúhelníky v rovině In: Bohuslav Hostinský (author): O mnohoúhelnících a mnohostěnech. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947.
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Kounovský O projektivnosti involutorní Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, 433--439 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109245
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 1, 140--144 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121666 Terms of use: Union of Czech Mathematicians
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Gabriel Blažek O differenciálních rovnicích ploch obalujících Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 2 (1873), No. 3, 167--172 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109126
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
VíceÚvod do neeukleidovské geometrie
Úvod do neeukleidovské geometrie Obsah In: Václav Hlavatý (author): Úvod do neeukleidovské geometrie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1926. pp. 209 [212]. Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vilém Jung Několik analytických studií o plochách mimosměrek (zborcených). [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 18 (1889), No. 6, 316--320 Persistent
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Bílek Pythagorova věta ve třetí třídě středních škol Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D265--D268 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123381
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 1. Doplnění naznačených výkonů In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 5 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/4329
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Langr O jisté úloze v trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol 34 (1905), No 1, 65--72 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/123335 Terms
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřinec Jelínek O některých úlohách z arithmografie. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 24 (1895), No. 1, 68--76 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123863
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kadeřávek Zcela elementární důkaz Pelzova rozšíření Daudelinovy věty Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 44--48 Persistent
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Václv Hübner Stnovení pláště rotčního kužele šikmo seříznutého Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 32 (1903), No. 5, 407--412 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121588
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Hromádko Ukázky z indické arithmetiky obecné Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 5 (1876), No. 4, 182--187 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121711
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Jan Sommer Pokus vysvětliti Machův klam optický Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 2, 101--105 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109224
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Hübner Plášť rotačního kužele seříznutého v parabole Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 33 (1904), No. 1, 93--101 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123656
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jindřich Procházka Pokusy o interferenci a odrazu zvuku Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D197--D200 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120811
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Otakar Ježek Příspěvek ku zkrácenému počítání. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 18 (1889), No. 1, 17--21 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122424
VíceFunkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Simandl Poznámka ke kombinacím daného součtu z čísel přirozené řady číselné Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 2-3, 155--159
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Astronomická zpráva na květen a červen 1909 Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 38 (1909), No. 4, 525--528 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121459
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Jaroslav Doležal Trojúhelník abc osvětliti tak, aby stín jeho na průmětně měl daný tvar Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol 36 (1907), No 2, 203--208
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Granát Vypočítávání obsahu šikmo seříznutého kužele. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 1, 71--74 Persistent URL:
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 14 (1885), No., 19--142 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/12116 Terms of use: Union of Czech Mathematicians
VícePřímky a křivky. Úvod. Úvodní úlohy. Terms of use:
Přímky a křivky Úvod. Úvodní úlohy In: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček (translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp.
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceFaktoriály a kombinační čísla
Faktoriály a kombinační čísla 5. kapitola. Několik otázek z matematické statistiky In: Jiří Sedláček (author): Faktoriály a kombinační čísla. (Czech). Praha: Mladá fronta, 964. pp. 50 59. Persistent URL:
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceÚlohy o maximech a minimech funkcí
Úlohy o maximech a minimech funkcí 3. kapitola. Extrémy goniometrických funkcí In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 46 58. Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Procházka Poznámka ku perspektivnému zobrazování Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 29 (1900), No. 1, 49--59 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109081
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Antonín Pleskot O jisté úloze, která řeší přibližnou rektifikaci oblouku kruhového Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, 305--313
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Fürst O racionalních poměrech obsahů některých těles soustavy krychlové Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 19 (1890), No. 1, 20--27 Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Láska Grafické řešení rovnic Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 40 (1911), No. 5, 553--561 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122273 Terms
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 26. Deformace a věty izomorfismu grup In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 192--197.
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Cornelius Plch Společný spůsob dokazování různých pouček a vzorců. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 10 (1881), No. 5, 252--260 Persistent
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Josef Štěpánek O rovnicích kulového zrcadla vypuklého a čoček rozptylných Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 57 (1928), No. 2, D17--D20 Persistent
VíceJak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část
Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část VIII. Dodatek In: Jiří Klapka (author): Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků,
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Počítání se zlomky In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Janoušek O nepravidelném rozkladu světla Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 1 (1872), No. 5, 256--261 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122691
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ferdinand Pietsch O pokroku v osvětlování elektřinou. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 39 (1910), No. 5, 529--533 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123804
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Eduard Weyr O stanovení orthogonálných trajektorií kružnic v rovině Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 10 (1881), No. 1, 20--24 Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceCyklografie. Užití cyklické projekce a Laguerrových transformací
Cyklografie Užití cyklické projekce a Laguerrových transformací In: Ladislav Seifert (author): Cyklografie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků v Praze, 1949. pp. 95 101. Persistent
VíceKongruence. 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence
Kongruence 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 43 54. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403656
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vincenc Jarolímek Několik konstrukcí kuželoseček. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 1--7 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124001
VíceSymetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Tomeš I. Konstrukce os ellipsy, znám-li její středobod Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 9 (1880), No. 5, 275--279 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120887
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vincenc Jarolímek Čtyři úlohy o parabole Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vol. 48 (1919) No. 1-2 97--101 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121127
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Jeřábek Příspěvek k novější geometrii trojúhelníka Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 38 (1909), No. 2, 209--215 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123771
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Václav Petržílka Demonstrační pokus měření rychlosti zvuku v plynech Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 61 (1932), No. 6, 254--258 Persistent URL:
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi Rejstřík In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp.
VíceRovinné grafy. In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Rovinné grafy VIII. kapitola. Konvexní mnohostěny In: Bohdan Zelinka (author): Rovinné grafy. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1977. pp. 99 112. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403912 Terms of use: Bohdan
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef B. Slavík; B. Klimeš Hluk jako methodická pomůcka při zjišťování příčin chvění v technické praxi Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 2 (957), No.
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
VíceMalý výlet do moderní matematiky
Malý výlet do moderní matematiky Úvod [též symboly] In: Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Malý výlet do moderní matematiky. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1972. pp. 3 6. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403755
VíceO nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Láska O nomografii Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 42 (1913), No. 2, 209,209a,210--217 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121570 Terms
VíceO podobnosti v geometrii
O podobnosti v geometrii Kapitola IV. Stejnolehlost v polohových úlohách In: Jaroslav Šedivý (author): O podobnosti v geometrii. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1963. pp. 48 60. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403487
VícePANM 16. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 16 List of participants In: Jan Chleboun and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Theodor Monin Řešení úlohy 12. v XI. ročníku tohoto časopisu Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 17 (1888), No. 5, 231,233 235 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108795
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Šafránek Některé fysikální pokusy s katodovou trubicí Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D285--D289 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123398
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky F. Císař Kinematografie při vyučování matematice. [II.] Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 60 (1931), No. 3, D39--D43 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123948
VíceZlatý řez nejen v matematice
Zlatý řez nejen v matematice Příloha A In: Vlasta Chmelíková (author): Zlatý řez nejen v matematice. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2009. pp. 157 166. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/400805
VíceAplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102630
Aplikace matematiky František Šubart Odvození nejvýhodnějších dělících tlaků k-stupňové komprese, při ssacích teplotách lišících se v jednotlivých stupních Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375
VícePřímky a křivky. Kapitola 4. Minimum a maximum. Terms of use:
Přímky a křivky Kapitola 4. Minimum a maximum In: N. B. Vasiljev (author); V. L. Gutenmacher (author); Leo Boček (translator); Alena Šarounová (illustrator): Přímky a křivky. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 4. Speciální rozklady In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 35--40. Persistent
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Vladimír Knichal Čísla Gaussova. [I.] Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933), No. 4-5, R73--R76 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123910 Terms
VíceStaroegyptská matematika. Hieratické matematické texty
Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřinec Jelínek Za jakých podmínek lze vést vrcholem trojúhelníka příčku, která by byla střední měřicky úměrnou úseků, jež stanoví na protější straně Časopis
VíceShodná zobrazení v konstruktivních úlohách
Shodná zobrazení v konstruktivních úlohách III. část. Středová souměrnost In: Jaroslav Šedivý (author): Shodná zobrazení v konstruktivních úlohách. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1962. pp. 25 37. Persistent
Více