PROBLÉM ČTYŘ BAREV. Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu?

Transkript

1 ROBLÉM ČTYŘ BAREV Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu?

2 ROBLÉM ČTYŘ BAREV L KH

3 ROBLÉM ČTYŘ BAREV Vytvoříme graf Kraje = vrcholy L

4 ROBLÉM ČTYŘ BAREV Kraje = vrcholy Hranice = hrany L

5 ROBLÉM ČTYŘ BAREV L

6 ROBLÉM ČTYŘ BAREV BARVENÍ MA ŘEVEDENÍ ROBLÉMU DO TEORIE GRAFŮ OBECNÝ ROBLÉM: Jaký je nejmenší počet barev, které potřebujeme na obarvení vrcholů grafu tak, aby žádné dva vrcholy spojené hranou neměly stejnou barvu?

7 Daný graf chceme obarvit co nejmenším počtem barev A B C D E F

8 A Jednotlivé barvy budeme značit čísly,,... B C D E F

9 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A Jednotlivé barvy budeme značit čísly,,... Každý vrchol ohodnotíme dvojicí čísel: 0/4 0/4 B C D E F

10 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A 0/4 0/4 B C D Mezi doposud neobarvenými vrcholy vyhledáme vrchol, jehož již obarvení sousedé jsou obarveni největším počtem různých barev (první číslo největší). E F

11 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A 0/4 0/4 B C D Mezi doposud neobarvenými vrcholy vyhledáme vrchol, jehož již obarvení sousedé jsou obarveni největším počtem různých barev (první číslo největší). okud je takových víc, najdeme vrchol, který má největší počet doposud neobarvených sousedů (největší druhé číslo). E F

12 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A Najdeme nejnižší barvu takovou, že jí není obarven žádný z již obarvených sousedů a vrchol obarvíme 0/4 0/4 B C D E F

13 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A Změníme ohodnocení ostatních vrcholů B D C / E F

14 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A ostup opakujeme: vybereme vrchol s nejvetším prvním číslem, pokud je takových víc, pak ten, který má největší druhé číslo B D C / E F

15 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A ostup opakujeme: vybereme vrchol s nejvetším prvním číslem, pokud je takových víc, pak ten, který má největší druhé číslo B D C / E F

16 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A Obarvíme B D C / E F

17 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A /0 řepočítáme B D /0 C E F

18 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A /0 ostup opakujeme: vybereme vrchol B D /0 C E F

19 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A /0 Obarvíme B D /0 C E F

20 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A /0 řehodnotíme B D C E F

21 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A /0 Vybereme B D C E F

22 počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A /0 Obarvíme B D C E F

23 počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A řehodnocovat není co B D C E F počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu

24 počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A Vybereme vrchol B D C E F počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu

25 počet doposud neobarvených sousedů vrcholu A Obarvíme B D C E F počet barev, jimiž jsou obarveni sousedé vrcholu

26 A Obarvíme poslední vrchol B D C E F

27 A oužili jsme barvy B D C E F

28 Nyní tímto algoritmem obarvíme mapu z úvodu: L

29 0/4 0/ 0/ L 0/4 0/ 0/8 0/4 0/5 0/ 0/4 0/5

30 / /0 / / 4 5 L / / /4 0/ / 0/5

31 / /0 / / 4 5 L / / /4 0/ / 0/5

32 / /0 / / 4 5 L / / / / /4

33 0/ / /0 / / 4 5 L / / / / /4

34 0/ / /0 / / 4 5 L / / / /

35 / /0 / / 4 5 L / / / /

36 / /0 / / 4 5 L / / /

37 / /0 / / 4 5 L / / /

38 / /0 / / 4 5 L / /

39 / /0 / / 4 5 L / /

40 / /0 / / 4 5 L /

41 / /0 / / 4 5 L /

42 /0 /0 / / 4 5 L /

43 /0 /0 / / 4 5 L /

44 /0 /0 /0 4 5 L /

45 /0 /0 /0 4 5 L /

46 /0 /0 4 5 L /

47 /0 /0 4 5 L /

48 /0 /0 4 5 L

49 /0 4 5 L

50 /0 4 5 L

51 4 5 L K obarvení stačí 4 barvy

52 K obarvení stačí 4 barvy L

53 K obarvení stačí 4 barvy L

54 ROBLÉM ČTYŘ BAREV a ALGORITMUS OBARVENÍ GRAFU U daného libovolného grafu umíme najít nejmenšípočet barev, které stačí k jeho obarvení. Znamená to, že tím je vyřešen problém čtyř barev? NE Museli bychom vyzkoušet všechny možné planární grafy a určit pro ně nejmenší počet barev. Rovinný graf (též planární graf) je graf, pro který existuje takové rovinné nakreslení, že se žádné dvě hrany nekříží.

55 ROBLÉM ČTYŘ BAREV a ALGORITMUS OBARVENÍ GRAFU roblém čtyř barev byl vyřešen v roce 976. Bylo dokázáno, že pro planeární graf stačí 4 barvy. K. Appel a W. Haken z univerzity v Illinois provedli důkaz. Řešení si vyžádalo 00 hodin strojového času. lný důkaz má 56 stran textu a 4 stran obrázků (0 na každé straně).