PROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D"

Transkript

1 PROTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D Jaroslav Krieg, Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Abstrakt: Příspěvek ukazuje na příkladu řešení některých Apolloniových úloh postup, který je zajímavým příkladem přenesení řešení rovinných úloh do prostoru. Výsledek řešení těchto planimetrických úloh pak získáme jako kolmý průmět získaného stereometrického řešení do roviny, ve které je úloha zadána. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D, který usnadní řešení Apolloniových úloh bez užití kruhové inverze. Klíčová slova: Apolloniovy úlohy, CABRI 3D, cyklografie. TEREOMETRIC OLUTION APOLLONIU PROBLEM WITH CABRI 3D Abstract: The paper shows the example of solving some Apollonius s problems procedure, which is an interesting example transferring of solutions plane problems in the area. The result of solving these plane tasks then calculated as the orthogonal projection obtained stereometric solutions to the plane in which the problem is submitted. The solution can be constructed as a means of descriptive geometry, as well as using CABRI 3D software that facilitates the solution Apolloniových tasks without the use of circular inversion. Key words: Apollonius s problems, CABRI 3D, cyklography. Apolloniovy úlohy, nazvané podle řeckého geometra a matematika Apollonia z Pergy (žil kolem roku 200 př. n. l.), řeší nalezení kružnice, zadané třemi z následujících prvků: a) bod, kterým hledaná kružnice prochází (označíme B), b) přímka, které se hledaná kružnice dotýká (označíme p), c) kružnice, které se hledaná kružnice dotýká (označíme k). Počet těchto úloh je 5 C

2 Jedná se o následující úlohy: estrojit kružnici, která: 1. prochází třemi danými body, (BBB) 2. prochází dvěma danými body a dotýká se dané přímky, (BBp) 3. prochází dvěma danými body a dotýká se dané kružnice, (BBk) 4. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných přímek, (Bpp) 5. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných kružnic, (Bkk) 6. prochází daným bodem a dotýká se dané přímky a dané kružnice, (Bpk) 7. dotýká se tří daných přímek, (ppp) 8. dotýká se dvou daných přímek a dané kružnice, (ppk) 9. dotýká se dané přímky a dvou daných kružnic, (pkk) 10. dotýká se tří daných kružnic. (kkk) Některé z uvedených úloh jsou triviální (osa úsečky, osa úhlu) a řeší je i žáci základních škol. Na středních školách pak studenti užívají ještě stejnolehlost. Zbývající úlohy jsou pak obvykle řešeny pomocí kruhové inverze. Méně známá je pak metoda řešení pomocí cyklografie, která uvedených 10 planimetrických úloh řeší stereometricky. K řešení uvedených úloh užijeme zjednodušení cyklografie bez zavedení orientace zadaných prvků, což pro naši potřebu bude dostačující. Prostorové úlohy provádíme v nezáporných z - ových souřadnicích. K pochopení následujícího je potřeba základních znalostí a pojmů deskriptivní geometrie. Mějme v rovině kružnici k ; r, kde x; y. Této kružnici přiřaďme v prostoru bod x ; y ; r, viz obr. 1. Obr. 1 Uvažujeme-li nyní množinu kružnic k1, k2, k3, se středy 1, 2, 3, v rovině, které procházejí daným bodem A, leží množina bodů 1, 2, 3, na kuželové ploše s vrcholem v bodě A, jejíž povrchové přímky svírají s úhel 45, viz obr. 2 a 3. Obr. 2 Obr

3 Uvažujeme-li množinu kružnic se středy v rovině, které se dotýkají přímky p, leží množina bodů 1, 2, 3, v polorovinách a, jejichž hraničními přímkami a zároveň stopami je přímka. Obě poloroviny a svírají s úhel 45, viz obr. 4 a 5. k, k, k, p,,, Obr. 4 Obr. 5 Uvažujeme-li množinu kružnic vnější dotyk s kružnicí k, k, k, ;, ; k r x y se středy,,,, pak množina bodů v rovině,,, ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi a vrcholem této plochy je bod Povrchové přímky popsaného kužele svírají s rovinou úhel 45 viz obr. 6 a 7. Obr. 6 Obr. 7, které mají leží na kuželové V x ; y ; r. Uvažujeme-li množinu kružnic k 1, k 2, k 3, se středy 1, 2, 3, v rovině, které mají vnitřní dotyk s kružnicí k ; r, x; y, pak množina bodů 1, 2, 3, leží na kuželové ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi, vrcholem této plochy je bod V x; y; r. Povrchové přímky tohoto kužele svírají s rovinou úhel 45 viz obr. 8 a 9. Obr. 8 Obr. 9 Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dvou daných přímek v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 obou přímek a jedná se tedy o půdorys polopřímek případně přímek. 221

4 Rovnice kuželových ploch z obrázků 3, 7 a 9 mají tvar kde vrchol kuželové plochy je A x ; y ; z x x y y z z A A A. A A A Hledáme-li průnikovou křivku dvou obecných kuželových ploch s vrcholy A x ; y ; z B x ; y ; z B B B, řešíme soustavu rovnic Po úpravách obdržíme rovnici x x y y z z A A A x x y y z z B B B x x x 2y y y 2z z z x x y y z z 0 A B A B A B B A B A B A,,. a, A A A která je rovnicí roviny. Této rovnici vyhovují souřadnice společných bodů obou kuželových ploch, tedy přesně řečeno je průniková křivka uvedených kuželových ploch také rovinná křivka. Hledáme-li středy kružnic, které se dotýkají dané přímky a procházejí daným bodem v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 3. Vzhledem k tomu, že odchylka povrchových přímek kuželové plochy a odchylka uvedených rovin od roviny je 45, leží hledané středy kružnic na parabole. Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dané přímky a kružnice v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 7 případně 9. Protože odchylka povrchových přímek kuželové plochy a uvedených rovin od je 45, leží hledané středy kružnic opět na parabole. Hledáme-li středy kružnic, které procházejí dvěma danými body, případně daným bodem a dotýkají se dané kružnice, případně dotýkají se dvou daných kružnic v rovině, je výsledným řešením půdorys průsečnic kuželových ploch dle obr. 3, 7, případně 9. Pokud neuvažujeme naše omezení na nezáporné z - ové souřadnice, pak se uvedené kuželové plochy obecně pronikají v obou svých částech a průniková křivka je tedy hyperbola. Řešíme-li tedy deset Apolloniových úloh z úvodu tohoto článku, stačí najít tyto průniky pro dvě dvojice prvků a pak najít jejich průsečíky. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D. Program CABRI Geometrie je program tzv. typu Dynamical Geometry Environment (prostředí dynamické geometrie, zkratka DGE) a je vhodný pro všechny stupně škol, kde se učí geometrie (v rovině - CABRI Geometrie II Plus, v prostoru - CABRI 3D v2). Program CABRI 3D geometrie je kombinací interaktivní prostorové geometrie a matematického softwaru. Tradiční výuka trojrozměrné geometrie je poměrně obtížná a časově 222

5 náročná. Cabri 3D ulehčuje konstrukci i složitých objektů a tím zároveň odstraňuje zdlouhavé konstrukce a přitom navíc přináší i výhody interaktivní geometrie. Podívejme se nyní na tři základní úlohy, které je nutné v prostoru vyřešit a pomocí nichž lze pak vyřešit všech deset Apolloniových úloh. 1) Bk, BB, kk hledáme průsečnici dvou kuželů; 2) Bp, kp hledáme průsečnici kužele a roviny; 3) pp hledáme průsečnici rovin. Ad 1) Řešení ukážeme na úloze Bk. Obr. 10 Zadání Obr. 11 Dva pomocné kužele Obr. 12 Průsečnice kuželů (hyperbola) Obr. 13 Konstrukce hyperboly h 1 a její kolmý průmět do roviny 223

6 Obr. 14 Kružnice k, 2 k - vnitřní dotyk s k k - vnější dotyk, Obr.15 Pohled na uvedená řešení kružnice 1, k ; r v nákresně Obr. 16 Pohled na celkové prostorové řešení 224

7 Ad 2) Řešení ukážeme na úloze Bp. Obr. 17 Pomocný kužel a rovina s jejich průsečnicí (parabola), včetně jejího průmětu do nákresny. Zakresleno jedno z řešení. k ; r Ad 3) Řešení úlohy pp. Obr. 18 Průsečnice pomocných rovin a její průmět do nákresny 225

8 Příklad: Pro ilustraci daných postupů řešme jednu z Apolloniových úloh Bpk (bod B a kružnice k leží uvnitř téže poloroviny určené přímkou p, bod B leží vně kružnice k), která se obvykle řeší užitím kruhové inverze. Poznamenejme, že úloha má v tomto zadání 3 řešení. Obr. 19 Celkový pohled na řešení v prostoru Obr. 20 kryté povrchy kuželů Obr. 21 kryté další konstrukční prvky Obr. 22 Pohled na celkové řešení (kružnice l, l, l ) v rovině zadání (nákresně) 226

9 Tato řešení lze tedy provádět s pomocí Cabri 3D a není nutné zavádět nové pojmy a konstrukce (např. metodu kruhové inverze) a úlohu lze tak řešit díky software Cabri 3D i prostředky dostupnými na střední škole. Úlohy je také možno využít ke geometrické definici paraboly a hyperboly jako množiny bodů daných vlastností. Literatura: [1] eifert, L.: Cyklografie, Jednota českých mathematiků a fysiků Praha, [2] Jaroslav Krieg Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/ České Budějovice Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/ České Budějovice 227

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

5. Konstrukční planimetrické úlohy

5. Konstrukční planimetrické úlohy 5 Konstrukční planimetrické úlohy 5.1 Řešení konstrukčních úloh 5. Konstrukční planimetrické úlohy Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojení jistého geometrického útvaru (alespoň

Více

NETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D

NETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D NETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Fakulta přírodovědněhumanitní a pedagogická, Technická univerzita v Liberci Abstrakt: V

Více

Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie

Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie Jiří Vaníček Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta 2009 Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie Abstrakt Kniha se zabývá využíváním

Více

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV

GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Yulianna Tolkunova. Geometrie stínu. Katedra didaktiky matematiky

Univerzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Yulianna Tolkunova. Geometrie stínu. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Yulianna Tolkunova Geometrie stínu Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Studijní

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová

Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace

Více

PODŘÍZNUTÍ PŘI BROUŠENÍ TVAROVÝCH DRÁŽEK

PODŘÍZNUTÍ PŘI BROUŠENÍ TVAROVÝCH DRÁŽEK Transfer inovácií 5/009 009 PODŘÍZNUTÍ PŘI BROUŠENÍ TVAROVÝCH DRÁŽEK Prof. Ing. Karel Jandečka, CSc. Katedra technologie obrábění, FST, ZČU v Plzni, Univerzitní 8, 306 4, Plzeň, ČR e-mail: jandecka@kto.zcu.cz

Více

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět

Seminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)

Více

BA03 Deskriptivní geometrie

BA03 Deskriptivní geometrie BA03 Deskriptivní geometrie Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014 Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Kontakt: Ústav matematiky a deskriptivní

Více

Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku

Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku Aneta Milsimerová Fakulta strojní, Západočeská univerzita Plzeň, 306 14 Plzeň. Česká republika. E-mail: anetam@kto.zcu.cz Hlavním

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Teoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) 1. Všeobecné poznatky

Teoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) 1. Všeobecné poznatky Teoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) (Zpracováno v rámci řešení projektu 08-CP--00--AT-COMENIUS-C). Všeobecné poznatky Nad budovou konstruujeme střechu. Většinou se skládá

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAIVD12C0T01 ILUSTRAČNÍ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje

Více

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, kladná a záporná, dělitelnost, osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Stabilita v procesním průmyslu

Stabilita v procesním průmyslu Konference ANSYS 2009 Stabilita v procesním průmyslu Tomáš Létal VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV PROCESNÍHO A EKOLOGICKÉHO INŽENÝRSTVÍ, Adresa: Technická 2896/2, 616 69

Více

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数

Č část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数 A absolutní člen 常 量 成 员 absolutní hodnota čísla 绝 对 值 algebraický výraz 代 数 表 达 式 ar 公 亩 aritmetický průměr 算 术 均 数 aritmetika 算 术, 算 法 B boční hrana 侧 棱 boční hrany jehlanu 角 锥 的 侧 棱 boční stěny jehlanu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Předmět: Konstrukční cvičení - modelování součástí ve 3D. Téma 5: Další možnosti náčrtů a modelování

Předmět: Konstrukční cvičení - modelování součástí ve 3D. Téma 5: Další možnosti náčrtů a modelování Předmět: Konstrukční cvičení - modelování součástí ve 3D Téma 5: Další možnosti náčrtů a modelování Učební cíle Vytvářet obrysy tvarů v rovinách jiných, než základní rovině XY. Vytváření pracovních tvarů

Více

I C T V M A T E M A T I C E

I C T V M A T E M A T I C E I C T V M A T E M A T I C E Dynamická geometrie v interaktivních metodách výuky Mgr. Horáčková Bronislava Ostrava 2009 Využití dynamické geometrie Geometrie, ať rovinná či prostorová patří k velmi obtížným

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Stereometrie

Více

Delphi podstata, koncepce a metody MDI aplikace

Delphi podstata, koncepce a metody MDI aplikace Delphi podstata, koncepce a metody MDI aplikace Bc. Tomáš Selucký, Ústav statistiky a operačního výzkumu, Provozně ekonomická fakulta, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, selucky@selucky.com

Více

STUDIUM SKLOKERAMICKÝCH POVLAKŮ V BIOLOGICKÉM PROSTŘEDÍ

STUDIUM SKLOKERAMICKÝCH POVLAKŮ V BIOLOGICKÉM PROSTŘEDÍ STUDIUM SKLOKERAMICKÝCH POVLAKŮ V BIOLOGICKÉM PROSTŘEDÍ Ing. Vratislav Bártek e-mail: vratislav.bartek.st@vsb.cz doc. Ing. Jitka Podjuklová, CSc. e-mail: jitka.podjuklova@vsb.cz Ing. Tomáš Laník e-mail:

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE

VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Miroslava Huclová Katedra výpočetní a didaktické techniky, Fakulta pedagogická, ZČU, Plzeň Abstrakt: Příspěvek demonstruje použití systému počítačové

Více

CREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP

CREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP National Conference with International Participation ENGINEERING MECHANICS 2006 Svratka, Czech Republic, May 15 18, 2006 paper no. 122 CREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP P. Frantík 1 Summary: Paper deals

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Zrcadlení v lineární perspektivě

Zrcadlení v lineární perspektivě Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Zrcadlení v lineární perspektivě Vypracoval: Lukáš Rehberger Třída: 8. M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji,

Více

Animované modely šroubových ploch

Animované modely šroubových ploch Animované modely šroubových ploch Jaroslav Bušek Abstrakt V příspěvku jsou prezentovány animované prostorové modely přímkových a cyklických šroubových ploch, které byly vytvořeny jako didaktické pomůcky

Více

Geonext Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 1

Geonext Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky - 1 Tak vznikl třídílný cyklus seminářů s názvem Open Source Software ve výuce matematiky a fyziky a tři stejnojmenné brožurky s jednoduchým popisem ovládání a možností využití jednotlivých programů: OSS ve

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA INTERNETU

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA INTERNETU DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE NA INTERNETU Vlasta Moravcová Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha Abstrakt: V příspěvku jsou přehledně shrnuty a stručně zhodnoceny různé typy materiálů (učební

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

INTERAKTIVNÍ TABULE A MATEMATICKÝ SOFTWARE GEOGEBRA PŘI VÝUCE MATEMATIKY V ANGLICKÉM JAZYCE

INTERAKTIVNÍ TABULE A MATEMATICKÝ SOFTWARE GEOGEBRA PŘI VÝUCE MATEMATIKY V ANGLICKÉM JAZYCE INTERAKTIVNÍ TABULE A MATEMATICKÝ SOFTWARE GEOGEBRA PŘI VÝUCE MATEMATIKY V ANGLICKÉM JAZYCE Olga Komínková Základní škola Velká Bíteš kominkova.olga@zsbites.cz Abstrakt: Příspěvek se zabývá možnostmi využití

Více

MATEMATIKA rozšířená úroveň

MATEMATIKA rozšířená úroveň Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MATEMATIKA rozšířená úroveň profilová část maturitní zkoušky Sešit obsahuje úloh. Na řešení úloh máte 60 minut. Odpovědi pište do záznamového archu.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Plochy stavebně-inženýrské praxe

Plochy stavebně-inženýrské praxe Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

PROBLEMATIKA TAKTOVÝCH JÍZDNÍCH ŘÁDŮ THE PROBLEMS OF INTERVAL TIMETABLES

PROBLEMATIKA TAKTOVÝCH JÍZDNÍCH ŘÁDŮ THE PROBLEMS OF INTERVAL TIMETABLES PROBLEMATIKA TAKTOVÝCH JÍZDNÍCH ŘÁDŮ THE PROBLEMS OF INTERVAL TIMETABLES Zdeněk Píšek 1 Anotace: Příspěvek poednává o základních aspektech a prvcích plánování taktových ízdních řádů a metod, kterých se

Více

Osvětlení sada - 1. bod A =[4,3,0]. b) Sestrojte vržený stín okna na π=(x,y), je-li A stínem bodu A=[0,11,6] na π.

Osvětlení sada - 1. bod A =[4,3,0]. b) Sestrojte vržený stín okna na π=(x,y), je-li A stínem bodu A=[0,11,6] na π. Osvětlení sada - 1 Osvětlení okna a vrat - zadání úloh 1-6 1. KP (ω=150 o, q=3/4) A4 na šířku O(14,9) a) V rovině y=11 sestrojte okno složené z 8 čtverců a půlkruhu (viz náčrtek na obr. 1) a bod A =[6,-8,0].

Více

Využití matematického zpracování údajů o množstvi plynnovzdušné směsi získaných z monitoringu odplyňovacích vrtů

Využití matematického zpracování údajů o množstvi plynnovzdušné směsi získaných z monitoringu odplyňovacích vrtů Využití matematického zpracování údajů o množstvi plynnovzdušné směsi získaných z monitoringu odplyňovacích vrtů Iveta Cholovová 1 a Josef Mazáč 2 Utilizationof processing mathematic data on gas air mixtures

Více

Cvičení podporující prostorovou představivost. Josef Molnár molnar@inf.upol.cz. Podpořit prostorovou představivost pomocí cvičení různé úrovně.

Cvičení podporující prostorovou představivost. Josef Molnár molnar@inf.upol.cz. Podpořit prostorovou představivost pomocí cvičení různé úrovně. ROMOTE MSc OIS TÉMATU MATEMATIKA 3 ázev Tematický celek Jméno a e-mailová adresa autora Cíle Obsah omůcky Cvičení podporující prostorovou představivost Geometrie Josef Molnár molnar@inf.upol.cz odpořit

Více

Vyplňování souvislé oblasti

Vyplňování souvislé oblasti Počítačová grafika Vyplňování souvislé oblasti Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU. Které z následujících tvrzení není pravdivé: a) Princip interpolace je určení

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Soubor map struktury porostů na TVP v oblasti Modravy v Národním parku Šumava

Soubor map struktury porostů na TVP v oblasti Modravy v Národním parku Šumava Soubor map struktury porostů na TVP v oblasti Modravy v Národním parku Šumava Vacek S., Remeš J., Bílek L., Vacek Z., Ulbrichová I. Soubor map: Mapa struktury porostu na TVP 1 v oblasti Modravy v Národním

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx

MAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx Název školy: SPŠ Ústí nad Labem, středisko Resslova Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.10.1036 Klíčová aktivita: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Digitální učební materiály Autor:

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku METODICKÝ LIST DA39 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná Astaloš Dušan Matematika šestý

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAIVD11C0T01 ILUSTRAČNÍ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje

Více

E-EDUCATION NEBOLI VYUŽITÍ ICT VE ŠKOLÁCH

E-EDUCATION NEBOLI VYUŽITÍ ICT VE ŠKOLÁCH E-EDUCATION NEBOLI VYUŽITÍ ICT VE ŠKOLÁCH ANDREA BAREŠOVÁ A KOL. Hewlett-Packard Abstrakt: e-education je název znamenající zapojení informačních technologií do výuky. S tímto pojmenováním přišla společnost

Více

TVORBA STUDIJNÍCH MATERIÁLŮ Z MATEMATIKY I S VYUŽITÍM INTERAKTIVNÍ TABULE

TVORBA STUDIJNÍCH MATERIÁLŮ Z MATEMATIKY I S VYUŽITÍM INTERAKTIVNÍ TABULE TVORBA STUDIJNÍCH MATERIÁLŮ Z MATEMATIKY I S VYUŽITÍM INTERAKTIVNÍ TABULE Radka Hamříková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB TU Ostrava Abstrakt: Jak vytvářet studijní materiály s využitím

Více

PRACOVNÍCH LISTŮ DO MATEMATIKY II

PRACOVNÍCH LISTŮ DO MATEMATIKY II ZKUŠENOSTI S PŘÍPRAVOU A VYUŽITÍM PRACOVNÍCH LISTŮ DO MATEMATIKY II Petra Schreiberová, Petr Volný VŠB - Technická univerzita Ostrava Abstrakt: V letošním roce na Katedře matematiky a deskriptivní geometrie

Více

MATEMATIKA+ MAMPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAMPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAMPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 3 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Činnost Ústavu geodézie VUT Brno v katastru nemovitostí

Činnost Ústavu geodézie VUT Brno v katastru nemovitostí Acta Montanistica Slovaca Ročník 12 (2007), mimoriadne číslo 3, 653-658 Činnost Ústavu geodézie VUT Brno v katastru nemovitostí Šváb Tomáš 1 a Kutálek Stanislav 2 Activities of the Institute of Geodesy

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146

Více

MNOŽINY BODŮ. Základní informace o materiálu

MNOŽINY BODŮ. Základní informace o materiálu MNOŽINY BODŮ S množinami bodů se žáci středních škol poprvé setkávají v tematickém celku Planimetrie. Pro potřeby konstrukční geometrie se zpravidla učí postup vlastní konstrukce dané množiny, aniž přesně

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík)

8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) 8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) Když s geometrickými problémy pořádně nezametete, ony vám to vrátí! Ale když užzametat,takurčitěnepodkoberecamístosmetákupoužijtepřímku.vtéto přednášce nás

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.3

Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.3 Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2009, ročník IX, řada stavební článek č.3 David SEKANINA 1, Radim ČAJKA 2 INTERAKCE PŘEDPJATÝCH PODLAH A PODLOŽÍ

Více

Autonomnost solárních systémů

Autonomnost solárních systémů Autonomnost solárních systémů Autonomous of Solar systems Bc. Pavel Šimoník Diplomová práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky, 2010 4 ABSTRAKT Tato diplomová práce je zaměřena na problematiku

Více

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Granát Vypočítávání obsahu šikmo seříznutého kužele. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 1, 71--74 Persistent URL:

Více

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162

Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Rozvoj vzdělávání žáků karvinských základních škol v oblasti cizích jazyků Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.07/02.0162 Určeno pro Sekce Předmět Téma / kapitola Zpracoval (tým 1) žáky 2. stupně ZŠ

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

TAKTILNÍ PLOŠNÉ SNÍMAČE A JEJICH KALIBRACE Tactile Surface Sensors and Their Calibration

TAKTILNÍ PLOŠNÉ SNÍMAČE A JEJICH KALIBRACE Tactile Surface Sensors and Their Calibration TAKTILNÍ PLOŠNÉ SNÍMAČE A JEJICH KALIBRACE Tactile Surface Sensors and Their Calibration René Neděla Abstract: In this article you can see some examples of Tactile Surface Sensors, their using, different

Více

MODELOVÁNÍ V EPIDEMIOLOGII

MODELOVÁNÍ V EPIDEMIOLOGII MODELOVÁÍ V EPIDEMIOLOGII Radmila Stoklasová Klíčová slova: Epidemiologie, modelování, klasický epidemiologický model, analýza časových řad, sezónní dekompozice, Boxův Jenkinsovův model časové řady Key

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Nauka o důlních škodách II. díl

Nauka o důlních škodách II. díl VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Hornicko geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví Ing. Václav Mikulenka, PhD. Nauka o důlních škodách II. díl Ostrava 2008 ISBN 978 80

Více

1 Zadání Zadání- Náboj 2010 Úloha1.Kvádrsdélkamihran1, a,2amápovrch54.najdětehodnotučísla a.

1 Zadání Zadání- Náboj 2010 Úloha1.Kvádrsdélkamihran1, a,2amápovrch54.najdětehodnotučísla a. Úloha1.Kvádrsdélkamihran1, a,2amápovrch54.najdětehodnotučísla a. Úloha2.Pomocíprávětříosmičekalibovolnýchzesymbolů+,,,/, vytvořtečíslo3.jedensymbol můžete použít i víckrát. Úloha3.Vejtekmělknihuzteoriemnožin,jejížlistybylyčíslovanépostupně0,1,2,3,...

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více