PROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D
|
|
- Danuše Pospíšilová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PROTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D Jaroslav Krieg, Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Abstrakt: Příspěvek ukazuje na příkladu řešení některých Apolloniových úloh postup, který je zajímavým příkladem přenesení řešení rovinných úloh do prostoru. Výsledek řešení těchto planimetrických úloh pak získáme jako kolmý průmět získaného stereometrického řešení do roviny, ve které je úloha zadána. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D, který usnadní řešení Apolloniových úloh bez užití kruhové inverze. Klíčová slova: Apolloniovy úlohy, CABRI 3D, cyklografie. TEREOMETRIC OLUTION APOLLONIU PROBLEM WITH CABRI 3D Abstract: The paper shows the example of solving some Apollonius s problems procedure, which is an interesting example transferring of solutions plane problems in the area. The result of solving these plane tasks then calculated as the orthogonal projection obtained stereometric solutions to the plane in which the problem is submitted. The solution can be constructed as a means of descriptive geometry, as well as using CABRI 3D software that facilitates the solution Apolloniových tasks without the use of circular inversion. Key words: Apollonius s problems, CABRI 3D, cyklography. Apolloniovy úlohy, nazvané podle řeckého geometra a matematika Apollonia z Pergy (žil kolem roku 200 př. n. l.), řeší nalezení kružnice, zadané třemi z následujících prvků: a) bod, kterým hledaná kružnice prochází (označíme B), b) přímka, které se hledaná kružnice dotýká (označíme p), c) kružnice, které se hledaná kružnice dotýká (označíme k). Počet těchto úloh je 5 C
2 Jedná se o následující úlohy: estrojit kružnici, která: 1. prochází třemi danými body, (BBB) 2. prochází dvěma danými body a dotýká se dané přímky, (BBp) 3. prochází dvěma danými body a dotýká se dané kružnice, (BBk) 4. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných přímek, (Bpp) 5. prochází daným bodem a dotýká se dvou daných kružnic, (Bkk) 6. prochází daným bodem a dotýká se dané přímky a dané kružnice, (Bpk) 7. dotýká se tří daných přímek, (ppp) 8. dotýká se dvou daných přímek a dané kružnice, (ppk) 9. dotýká se dané přímky a dvou daných kružnic, (pkk) 10. dotýká se tří daných kružnic. (kkk) Některé z uvedených úloh jsou triviální (osa úsečky, osa úhlu) a řeší je i žáci základních škol. Na středních školách pak studenti užívají ještě stejnolehlost. Zbývající úlohy jsou pak obvykle řešeny pomocí kruhové inverze. Méně známá je pak metoda řešení pomocí cyklografie, která uvedených 10 planimetrických úloh řeší stereometricky. K řešení uvedených úloh užijeme zjednodušení cyklografie bez zavedení orientace zadaných prvků, což pro naši potřebu bude dostačující. Prostorové úlohy provádíme v nezáporných z - ových souřadnicích. K pochopení následujícího je potřeba základních znalostí a pojmů deskriptivní geometrie. Mějme v rovině kružnici k ; r, kde x; y. Této kružnici přiřaďme v prostoru bod x ; y ; r, viz obr. 1. Obr. 1 Uvažujeme-li nyní množinu kružnic k1, k2, k3, se středy 1, 2, 3, v rovině, které procházejí daným bodem A, leží množina bodů 1, 2, 3, na kuželové ploše s vrcholem v bodě A, jejíž povrchové přímky svírají s úhel 45, viz obr. 2 a 3. Obr. 2 Obr
3 Uvažujeme-li množinu kružnic se středy v rovině, které se dotýkají přímky p, leží množina bodů 1, 2, 3, v polorovinách a, jejichž hraničními přímkami a zároveň stopami je přímka. Obě poloroviny a svírají s úhel 45, viz obr. 4 a 5. k, k, k, p,,, Obr. 4 Obr. 5 Uvažujeme-li množinu kružnic vnější dotyk s kružnicí k, k, k, ;, ; k r x y se středy,,,, pak množina bodů v rovině,,, ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi a vrcholem této plochy je bod Povrchové přímky popsaného kužele svírají s rovinou úhel 45 viz obr. 6 a 7. Obr. 6 Obr. 7, které mají leží na kuželové V x ; y ; r. Uvažujeme-li množinu kružnic k 1, k 2, k 3, se středy 1, 2, 3, v rovině, které mají vnitřní dotyk s kružnicí k ; r, x; y, pak množina bodů 1, 2, 3, leží na kuželové ploše s kladnými z - ovými souřadnicemi, vrcholem této plochy je bod V x; y; r. Povrchové přímky tohoto kužele svírají s rovinou úhel 45 viz obr. 8 a 9. Obr. 8 Obr. 9 Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dvou daných přímek v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 obou přímek a jedná se tedy o půdorys polopřímek případně přímek. 221
4 Rovnice kuželových ploch z obrázků 3, 7 a 9 mají tvar kde vrchol kuželové plochy je A x ; y ; z x x y y z z A A A. A A A Hledáme-li průnikovou křivku dvou obecných kuželových ploch s vrcholy A x ; y ; z B x ; y ; z B B B, řešíme soustavu rovnic Po úpravách obdržíme rovnici x x y y z z A A A x x y y z z B B B x x x 2y y y 2z z z x x y y z z 0 A B A B A B B A B A B A,,. a, A A A která je rovnicí roviny. Této rovnici vyhovují souřadnice společných bodů obou kuželových ploch, tedy přesně řečeno je průniková křivka uvedených kuželových ploch také rovinná křivka. Hledáme-li středy kružnic, které se dotýkají dané přímky a procházejí daným bodem v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 3. Vzhledem k tomu, že odchylka povrchových přímek kuželové plochy a odchylka uvedených rovin od roviny je 45, leží hledané středy kružnic na parabole. Řešíme-li nalezení středů kružnic, které se dotýkají dané přímky a kružnice v rovině, je výsledkem půdorys průsečnic polorovin dle obr. 5 s kuželovou plochou dle obr. 7 případně 9. Protože odchylka povrchových přímek kuželové plochy a uvedených rovin od je 45, leží hledané středy kružnic opět na parabole. Hledáme-li středy kružnic, které procházejí dvěma danými body, případně daným bodem a dotýkají se dané kružnice, případně dotýkají se dvou daných kružnic v rovině, je výsledným řešením půdorys průsečnic kuželových ploch dle obr. 3, 7, případně 9. Pokud neuvažujeme naše omezení na nezáporné z - ové souřadnice, pak se uvedené kuželové plochy obecně pronikají v obou svých částech a průniková křivka je tedy hyperbola. Řešíme-li tedy deset Apolloniových úloh z úvodu tohoto článku, stačí najít tyto průniky pro dvě dvojice prvků a pak najít jejich průsečíky. Řešení lze zkonstruovat jak prostředky deskriptivní geometrie, tak i např. pomocí software CABRI 3D. Program CABRI Geometrie je program tzv. typu Dynamical Geometry Environment (prostředí dynamické geometrie, zkratka DGE) a je vhodný pro všechny stupně škol, kde se učí geometrie (v rovině - CABRI Geometrie II Plus, v prostoru - CABRI 3D v2). Program CABRI 3D geometrie je kombinací interaktivní prostorové geometrie a matematického softwaru. Tradiční výuka trojrozměrné geometrie je poměrně obtížná a časově 222
5 náročná. Cabri 3D ulehčuje konstrukci i složitých objektů a tím zároveň odstraňuje zdlouhavé konstrukce a přitom navíc přináší i výhody interaktivní geometrie. Podívejme se nyní na tři základní úlohy, které je nutné v prostoru vyřešit a pomocí nichž lze pak vyřešit všech deset Apolloniových úloh. 1) Bk, BB, kk hledáme průsečnici dvou kuželů; 2) Bp, kp hledáme průsečnici kužele a roviny; 3) pp hledáme průsečnici rovin. Ad 1) Řešení ukážeme na úloze Bk. Obr. 10 Zadání Obr. 11 Dva pomocné kužele Obr. 12 Průsečnice kuželů (hyperbola) Obr. 13 Konstrukce hyperboly h 1 a její kolmý průmět do roviny 223
6 Obr. 14 Kružnice k, 2 k - vnitřní dotyk s k k - vnější dotyk, Obr.15 Pohled na uvedená řešení kružnice 1, k ; r v nákresně Obr. 16 Pohled na celkové prostorové řešení 224
7 Ad 2) Řešení ukážeme na úloze Bp. Obr. 17 Pomocný kužel a rovina s jejich průsečnicí (parabola), včetně jejího průmětu do nákresny. Zakresleno jedno z řešení. k ; r Ad 3) Řešení úlohy pp. Obr. 18 Průsečnice pomocných rovin a její průmět do nákresny 225
8 Příklad: Pro ilustraci daných postupů řešme jednu z Apolloniových úloh Bpk (bod B a kružnice k leží uvnitř téže poloroviny určené přímkou p, bod B leží vně kružnice k), která se obvykle řeší užitím kruhové inverze. Poznamenejme, že úloha má v tomto zadání 3 řešení. Obr. 19 Celkový pohled na řešení v prostoru Obr. 20 kryté povrchy kuželů Obr. 21 kryté další konstrukční prvky Obr. 22 Pohled na celkové řešení (kružnice l, l, l ) v rovině zadání (nákresně) 226
9 Tato řešení lze tedy provádět s pomocí Cabri 3D a není nutné zavádět nové pojmy a konstrukce (např. metodu kruhové inverze) a úlohu lze tak řešit díky software Cabri 3D i prostředky dostupnými na střední škole. Úlohy je také možno využít ke geometrické definici paraboly a hyperboly jako množiny bodů daných vlastností. Literatura: [1] eifert, L.: Cyklografie, Jednota českých mathematiků a fysiků Praha, [2] Jaroslav Krieg Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/ České Budějovice krieg@mail.vstecb.cz Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Okružní 517/ České Budějovice vacka@mail.vstecb.cz 227
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném
VíceJAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
Více5. Konstrukční planimetrické úlohy
5 Konstrukční planimetrické úlohy 5.1 Řešení konstrukčních úloh 5. Konstrukční planimetrické úlohy Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojení jistého geometrického útvaru (alespoň
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceNETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D
NETRADIČNÍ STEREOMETRICKÉ ÚLOHY V CABRI 3D Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky, Fakulta přírodovědněhumanitní a pedagogická, Technická univerzita v Liberci Abstrakt: V
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VícePočítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie
Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie Jiří Vaníček Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta 2009 Počítačové kognitivní technologie ve výuce geometrie Abstrakt Kniha se zabývá využíváním
VíceGRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VícePolibky kružnic: Intermezzo
Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VíceRovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou
VíceUniverzita Karlova v Praze. Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Yulianna Tolkunova. Geometrie stínu. Katedra didaktiky matematiky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Yulianna Tolkunova Geometrie stínu Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Studijní
VíceANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 2. Rotační plochy In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 8 31. Persistent
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceMotivace nadaných žáků a studentů k řešení úloh pomocí ICT
Motivace nadaných žáků a studentů k řešení úloh pomocí ICT Anotace Motivating gifted pupils and students to solve problems using ICT David Nocar, Eva Bártková Příspěvek prezentuje jeden ukázkový příklad
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceŠVP Gymnázium Ostrava-Zábřeh. 4.8.19. Úvod do deskriptivní geometrie
4.8.19. Úvod do deskriptivní geometrie Vyučovací předmět Úvod do deskriptivní geometrie je na naší škole nabízen v rámci volitelných předmětů v sextě, septimě nebo v oktávě jako jednoletý dvouhodinový
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceSeminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceAngličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová
Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceObrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
Více1 Úvod a možnosti programů dynamické geometrie. Jan Frank. Abstrakt
VYUŽITÍ POČÍTAČOVÉ SIMULACE V ŘEŠENÍ VYBRANÝCH APOLLONIOVÝCH A PAPPOVÝCH ÚLOH USING COMPUTER SIMULATION TO SOLVE SELECTED APOLLONIUS AND PAPPUS PROBLEMS Abstrakt Jan Frank Programy dynamické geometrie,
VíceBA03 Deskriptivní geometrie
BA03 Deskriptivní geometrie Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014 Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Kontakt: Ústav matematiky a deskriptivní
Více3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové
VícePODŘÍZNUTÍ PŘI BROUŠENÍ TVAROVÝCH DRÁŽEK
Transfer inovácií 5/009 009 PODŘÍZNUTÍ PŘI BROUŠENÍ TVAROVÝCH DRÁŽEK Prof. Ing. Karel Jandečka, CSc. Katedra technologie obrábění, FST, ZČU v Plzni, Univerzitní 8, 306 4, Plzeň, ČR e-mail: jandecka@kto.zcu.cz
VíceSemestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy
Semestrální práce z předmětu KMA/MM Voroneho diagramy Jméno a příjmení: Lenka Skalová Osobní číslo: A08N0185P Studijní obor: Finanční informatika a statistika Datum: 22. 1. 2010 Obsah Obsah... 2 1 Historie...
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceVYUŽITÍ SOFTWARU MATHEMATICA VE VÝUCE PŘEDMĚTU MATEMATIKA V EKONOMII 1
VYUŽITÍ SOFTWARU MATHEMATICA VE VÝUCE PŘEDMĚTU MATEMATIKA V EKONOMII 1 Orlando Arencibia, Petr Seďa VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Příspěvek je věnován diskusi o inovaci předmětu Matematika v ekonomii, který
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (III/2)
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiál ve škole, registrační číslo projektu CZ..07/.5.00/3.057 Střední zdravotnická škola a Všší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 37 60 České Budějovice Název
VíceCesta z roviny do prostoru od vlastností kružnic ke kulové inverzi
Cesta z roviny do prostoru od vlastností kružnic ke kulové inverzi RNDr. Šárka Gergelitsova, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních
VíceKulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
Více37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
VíceTeoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) 1. Všeobecné poznatky
Teoretické řešení střech (Josef Molnár, Jana Stránská, Diana Šteflová) (Zpracováno v rámci řešení projektu 08-CP--00--AT-COMENIUS-C). Všeobecné poznatky Nad budovou konstruujeme střechu. Většinou se skládá
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června
VíceGymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceMATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti
MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAIVD12C0T01 ILUSTRAČNÍ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VíceŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.
ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i
VíceVliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku
Vliv metody vyšetřování tvaru brusného kotouče na výslednou přesnost obrobku Aneta Milsimerová Fakulta strojní, Západočeská univerzita Plzeň, 306 14 Plzeň. Česká republika. E-mail: anetam@kto.zcu.cz Hlavním
VíceCo vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy?
Různé přístupy ke kuželosečkám Zdeněk Halas KDM MFF UK Parabola dle Apollónia Elipsa a hyperbola dle Apollónia Konstrukce elipsy proužková součtová Obsah elipsy Zdeněk Halas (KDM MFF UK) 1 / 35 Zdeněk
VíceÚvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, kladná a záporná, dělitelnost, osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní
VícePravoúhlá axonometrie. tělesa
Pravoúhlá axonometrie tělesa V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou vodorovnou a zelenou svislou čáru). Tyto osy v axonometrii vůbec nevyužijeme a zbytečně by se nám zde pletly. Stejně tak můžeme vypnout
VícePředmět: Konstrukční cvičení - modelování součástí ve 3D. Téma 5: Další možnosti náčrtů a modelování
Předmět: Konstrukční cvičení - modelování součástí ve 3D Téma 5: Další možnosti náčrtů a modelování Učební cíle Vytvářet obrysy tvarů v rovinách jiných, než základní rovině XY. Vytváření pracovních tvarů
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VícePřehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ
Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Kruhová inverze BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Hana Fuchsová Přírodovědná studia, obor Matematická studia Vedoucí práce:
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent
VíceStabilita v procesním průmyslu
Konference ANSYS 2009 Stabilita v procesním průmyslu Tomáš Létal VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV PROCESNÍHO A EKOLOGICKÉHO INŽENÝRSTVÍ, Adresa: Technická 2896/2, 616 69
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceI C T V M A T E M A T I C E
I C T V M A T E M A T I C E Dynamická geometrie v interaktivních metodách výuky Mgr. Horáčková Bronislava Ostrava 2009 Využití dynamické geometrie Geometrie, ať rovinná či prostorová patří k velmi obtížným
VíceČ část četnost. 部 分 频 率 relativní četnost 率, 相 对 频 数
A absolutní člen 常 量 成 员 absolutní hodnota čísla 绝 对 值 algebraický výraz 代 数 表 达 式 ar 公 亩 aritmetický průměr 算 术 均 数 aritmetika 算 术, 算 法 B boční hrana 侧 棱 boční hrany jehlanu 角 锥 的 侧 棱 boční stěny jehlanu
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceCyklografie. Užití cyklické projekce a Laguerrových transformací
Cyklografie Užití cyklické projekce a Laguerrových transformací In: Ladislav Seifert (author): Cyklografie. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků v Praze, 1949. pp. 95 101. Persistent
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VíceLenka Lomtatidze Katedra matematiky, Př F MU Brno
Některé netradiční úlohy o křivkách Lenka Lomtatidze Katedra matematiky, Př F MU Brno e-mail: mlc@math.muni.cz V historii geometrie se nachází široké spektrum zajímavých a dnes často opomíjených témat.
VíceDelphi podstata, koncepce a metody MDI aplikace
Delphi podstata, koncepce a metody MDI aplikace Bc. Tomáš Selucký, Ústav statistiky a operačního výzkumu, Provozně ekonomická fakulta, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, selucky@selucky.com
VíceVYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE
VYUŽITÍ PROGRAMU DERIVE PŘI VÝUCE NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE Miroslava Huclová Katedra výpočetní a didaktické techniky, Fakulta pedagogická, ZČU, Plzeň Abstrakt: Příspěvek demonstruje použití systému počítačové
Více4. Lineární nerovnice a jejich soustavy
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší
VíceKonstruktivní geometrie
Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceSTEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie
VíceVoronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,
VíceVýuka odborného předmětu z elektrotechniky na SPŠ Strojní a Elektrotechnické
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Oddělení celoživotního vzdělávání Závěrečná práce Výuka odborného předmětu z elektrotechniky na SPŠ Strojní a Elektrotechnické Vypracoval:
VíceCREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP
National Conference with International Participation ENGINEERING MECHANICS 2006 Svratka, Czech Republic, May 15 18, 2006 paper no. 122 CREATION OF THE STABLE ELASTIC LOOP P. Frantík 1 Summary: Paper deals
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMATEMATIKA+ MAMPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAMPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 3 úloh. Časový limit pro řešení didaktického
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:
VíceMATEMATIKA rozšířená úroveň
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MATEMATIKA rozšířená úroveň profilová část maturitní zkoušky Sešit obsahuje úloh. Na řešení úloh máte 60 minut. Odpovědi pište do záznamového archu.
VíceINTERAKTIVNÍ TABULE A MATEMATICKÝ SOFTWARE GEOGEBRA PŘI VÝUCE MATEMATIKY V ANGLICKÉM JAZYCE
INTERAKTIVNÍ TABULE A MATEMATICKÝ SOFTWARE GEOGEBRA PŘI VÝUCE MATEMATIKY V ANGLICKÉM JAZYCE Olga Komínková Základní škola Velká Bíteš kominkova.olga@zsbites.cz Abstrakt: Příspěvek se zabývá možnostmi využití
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VícePOUŽITÍ PROGRAMU GEOMETRICA Grafické možnosti programu Mathematica
5. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Iva Křivková POUŽITÍ PROGRAMU GEOMETRICA 0 Abstrakt Geometrica je rozšířením programu Mathematica a slouží k snadnější práci s geometrickými objekty (bod,
VícePROBLEMATIKA TAKTOVÝCH JÍZDNÍCH ŘÁDŮ THE PROBLEMS OF INTERVAL TIMETABLES
PROBLEMATIKA TAKTOVÝCH JÍZDNÍCH ŘÁDŮ THE PROBLEMS OF INTERVAL TIMETABLES Zdeněk Píšek 1 Anotace: Příspěvek poednává o základních aspektech a prvcích plánování taktových ízdních řádů a metod, kterých se
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
VíceSTUDIUM SKLOKERAMICKÝCH POVLAKŮ V BIOLOGICKÉM PROSTŘEDÍ
STUDIUM SKLOKERAMICKÝCH POVLAKŮ V BIOLOGICKÉM PROSTŘEDÍ Ing. Vratislav Bártek e-mail: vratislav.bartek.st@vsb.cz doc. Ing. Jitka Podjuklová, CSc. e-mail: jitka.podjuklova@vsb.cz Ing. Tomáš Laník e-mail:
Více