Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením

Transkript

1 Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením J. Machalová, P. Ženčák, R. Kučera Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky PřF UP Olomouc Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava Červen 2008 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

2 Obsah 1. IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

3 Obsah 1. IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními 2. IPM v úloze lineární elasticity s daným třením PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

4 Obsah 1. IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními 2. IPM v úloze lineární elasticity s daným třením 3. Numerické testy iterační metody PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

5 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Úloha Formulace optimalizační úlohy Nechť jsou m i N, i = 1, 2, 3 takové, že m 2 = m 3 a N i = {1, 2,..., m i } pro i {1, 2}. Hledáme řešení úlohy: minimalizovat 1 2 xt Ax x T b 3 i=1 m i = m. Označme (1a) 2 2 za podmínek x 2i + x 3i gi 2 pro i N 2 (1b) x 1i l i pro i N 1 (1c) kde vektor x R m je tvaru x = ( ) T x T 1, x T 2, x T 3 přičemž x i = (x i 1, x i 2,..., x i mi ) T pro i {1, 2, 3}. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

6 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Lagrangeova funkce Lagrangeova funkce Definujme funkci L (x, λ, µ) := 1 2 xt Ax x T b + µ T (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) + λ T (l x 1 ) (2) kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ m1 ) T a µ = (µ 1, µ 2,..., µ m2 ) T jsou nezáporné vektory Lagrangeových multiplikátorů a l = (l 1, l 2,..., l m1 ) T, g = (g 1, g 2,..., g m2 ) T. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

7 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Lagrangeova funkce Lagrangeova funkce Definujme funkci L (x, λ, µ) := 1 2 xt Ax x T b + µ T (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) + λ T (l x 1 ) (2) kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ m1 ) T a µ = (µ 1, µ 2,..., µ m2 ) T jsou nezáporné vektory Lagrangeových multiplikátorů a l = (l 1, l 2,..., l m1 ) T, g = (g 1, g 2,..., g m2 ) T. Symbol značí Hadamardův součin, tj. je-li u R m, v R m, pak w = u v, w R m a w i = u i v i pro i {1,..., m}. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

8 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Lagrangeova funkce Lagrangeova funkce Definujme funkci L (x, λ, µ) := 1 2 xt Ax x T b + µ T (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) + λ T (l x 1 ) (2) kde λ = (λ 1, λ 2,..., λ m1 ) T a µ = (µ 1, µ 2,..., µ m2 ) T jsou nezáporné vektory Lagrangeových multiplikátorů a l = (l 1, l 2,..., l m1 ) T, g = (g 1, g 2,..., g m2 ) T. Symbol značí Hadamardův součin, tj. je-li u R m, v R m, pak w = u v, w R m a w i = u i v i pro i {1,..., m}. Dále nechť A = A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 b = kde A i,j R m i m j a b i R m i pro i, j {1, 2, 3}. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34 b 1 b 2 b 3

9 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními KKT podmínky Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky Jelikož se jedná o úlohu konvexního programování, tak nutnými a postačujícími podmínkami jsou KKT podmínky, které lze zapsat ve tvaru A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 b 1 λ = 0 A 21 x 1 + A 22 x 2 + A 23 x 3 b 2 + 2µ x 2 = 0 A 31 x 1 + A 32 x 2 + A 33 x 3 b 3 + 2µ x 3 = 0 l x 1 0 λ (l x 1 ) = 0 x 2 x 2 + x 3 x 3 g g 0 µ (x 2 x 2 + x 3 x 3 g g) = 0 µ 0 λ 0 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

10 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Označení matic Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky K podmínkám přípustnosti primární úlohy přidáme do KKT podmínek doplňkové proměnné označené d = (d 1, d 2,..., d m2 ) T s = (s 1, s 2,..., s m1 ) T PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

11 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Označení matic Karush-Kuhn-Tuckerovy podmínky K podmínkám přípustnosti primární úlohy přidáme do KKT podmínek doplňkové proměnné označené Předtím ještě označme d = (d 1, d 2,..., d m2 ) T s = (s 1, s 2,..., s m1 ) T e i = (1, 1,..., 1) T R m i pro i = 1, 2 Λ = diag(λ 1, λ 2,..., λ m1 ) M = diag(µ 1, µ 2,..., µ m2 ) S = diag(s 1, s 2,..., s m1 ) D = diag(d 1, d 2,..., d m2 ) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

12 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jiný přepis KKT podmínek Jiný přepis KKT podmínek Upravená soustava KKT podmínek pak odpovídá řešení soustavy nelineárních rovnic F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 za podmínek λ 0, s 0, µ 0, d 0 (3) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

13 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jiný přepis KKT podmínek Jiný přepis KKT podmínek Upravená soustava KKT podmínek pak odpovídá řešení soustavy nelineárních rovnic F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 za podmínek λ 0, s 0, µ 0, d 0 (3) kde F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 λ b 1 A 21 x 1 + (A M)x 2 + A 23 x 3 b 2 A 31 x 1 + A 32 x 2 + (A M)x 3 b 3 x 1 + s + l ΛSe 1 x 2 x 2 + x 3 x 3 g g + d MDe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

14 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jiný přepis KKT podmínek Jiný přepis KKT podmínek Upravená soustava KKT podmínek pak odpovídá řešení soustavy nelineárních rovnic F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = 0 za podmínek λ 0, s 0, µ 0, d 0 (3) kde F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = A 11 x 1 + A 12 x 2 + A 13 x 3 λ b 1 A 21 x 1 + (A M)x 2 + A 23 x 3 b 2 A 31 x 1 + A 32 x 2 + (A M)x 3 b 3 x 1 + s + l ΛSe 1 x 2 x 2 + x 3 x 3 g g + d MDe 2 Základem metod vnitřních bodů je řešení soustavy (3) upravenou Newtonovou metodou zachovávající podmínky nezápornosti. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

15 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Jakobián funkce F Jiný přepis KKT podmínek Označme X i = diag(x T i ) pro i {1, 2, 3}, pak Jakobián funkce F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) má tvar J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = A 11 A 12 A 13 I A 21 A M A X 2 0 A 31 A 32 A M 0 0 2X 3 0 = I I S Λ X 2 2X I D M PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

16 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Řešení KKT Newtonovou metodou Jiný přepis KKT podmínek Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

17 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Řešení KKT Newtonovou metodou Jiný přepis KKT podmínek Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 Plný krok ve vypočítaném směru není obvykle možný, neboť délka kroku δ (0, 1] je určena tak, aby platily podmínky nezápornosti. Bohužel je často délka kroku v této metodě velmi malá a zlepšení směrem k optimálnímu řešení je tak velmi pomalé. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

18 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Centrální cesta Metoda sledování cesty Centrální cesta C je množina bodů (x τ 1, xτ 2, xτ 3, λτ, s τ, µ τ, d τ ) řešících pro každou hodnotu parametru τ = (τ l, τ k ) T, τ l > 0, τ k > 0 následující úlohu, která vznikne drobnou změnou KKT podmínek: PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

19 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Centrální cesta Metoda sledování cesty Centrální cesta C je množina bodů (x τ 1, xτ 2, xτ 3, λτ, s τ, µ τ, d τ ) řešících pro každou hodnotu parametru τ = (τ l, τ k ) T, τ l > 0, τ k > 0 následující úlohu, která vznikne drobnou změnou KKT podmínek: Najít řešení nelineární soustavy F (x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) = τ l e 1 0 τ k e 2 (4a) za podmínek λ > 0 s > 0 µ > 0 d > 0 (4b) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

20 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Míry duality a centrující parametry Metoda sledování cesty Dále zavedeme míru duality α v lineárních podmínkách a míru duality β v kvadratických podmínkách, které mají tvar: α = λt s m 1 β = µt d m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

21 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Míry duality a centrující parametry Metoda sledování cesty Dále zavedeme míru duality α v lineárních podmínkách a míru duality β v kvadratických podmínkách, které mají tvar: α = λt s m 1 β = µt d m 2 S jejich pomocí a s pomocí centrujícího parametru σ l pro lineární podmínky a centrujícího parametru σ k pro kvadratické podmínky, přičemž volíme σ l [0, 1] σ k [0, 1] PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

22 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Míry duality a centrující parametry Metoda sledování cesty Dále zavedeme míru duality α v lineárních podmínkách a míru duality β v kvadratických podmínkách, které mají tvar: α = λt s m 1 β = µt d m 2 S jejich pomocí a s pomocí centrujícího parametru σ l pro lineární podmínky a centrujícího parametru σ k pro kvadratické podmínky, přičemž volíme σ l [0, 1] σ k [0, 1] pak parametry centrující cesty píšeme jako τ l = σ l α τ k = σ k β PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

23 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Princip metody sledování cesty Metoda sledování cesty Při hledání pouze v Newtonově směru rychle dojdeme k hranici oblasti (daleko od řešení) a krok v dalších iteracích je velmi malý. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

24 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Princip metody sledování cesty Metoda sledování cesty Při hledání pouze v Newtonově směru rychle dojdeme k hranici oblasti (daleko od řešení) a krok v dalších iteracích je velmi malý. V klasické bariérové metodě s logaritmickou bariérou se hledají přímo body na centrální cestě. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

25 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Princip metody sledování cesty Metoda sledování cesty Při hledání pouze v Newtonově směru rychle dojdeme k hranici oblasti (daleko od řešení) a krok v dalších iteracích je velmi malý. V klasické bariérové metodě s logaritmickou bariérou se hledají přímo body na centrální cestě. V metodě sledování cesty hledáme body, jejichž trajektorie H je blízká centrální cestě, směr hledání je tedy kompromisem mezi Newtonovým směrem a tzv. centrujícím směrem. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

26 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Metoda sledování cesty Označme F 0 N = {(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) R 2m+m 1 λ > 0, s > 0, µ > 0, d > 0} PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

27 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Metoda sledování cesty Označme F 0 N = {(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) R 2m+m 1 λ > 0, s > 0, µ > 0, d > 0} Pak rovnici (4) řešíme modifikovanou Newtonovou metodou zachovávající omezení, tj. novou iteraci ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) počítáme podle vzorce ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) =(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d)+ + δ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

28 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Metoda sledování cesty Označme F 0 N = {(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) R 2m+m 1 λ > 0, s > 0, µ > 0, d > 0} Pak rovnici (4) řešíme modifikovanou Newtonovou metodou zachovávající omezení, tj. novou iteraci ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) počítáme podle vzorce ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) =(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d)+ + δ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) kde krok δ určíme tak, aby platilo ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) F 0 N. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

29 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Soustava v metodě sledování cesty Metoda sledování cesty Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je tedy řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 + σ l αe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 + σ k βe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

30 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Výpočet centrujících parametrů podle pravidla LOQO Volbu centrujících parametrů provádíme podle pravidla užitého v softwaru LOQO, které velikost centrujícího parametru počítá na základě odchylky individuálních podmínek komplementarity od jejich průměru (tj. míry duality). PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

31 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Metoda sledování cesty Výpočet centrujících parametrů podle pravidla LOQO Volbu centrujících parametrů provádíme podle pravidla užitého v softwaru LOQO, které velikost centrujícího parametru počítá na základě odchylky individuálních podmínek komplementarity od jejich průměru (tj. míry duality). Počítáme tedy ( { σ l = 0.1 min ξ }) 3 ( { l, 2 a σ k = 0.1 min ξ }) 3 k, 2 ξ l ξ k kde ξ l = min i N 1 α λ i s i a ξ k = min i N 2 µ i d i β PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

32 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

33 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Newtonův směr je lineární aproximace aktuální trajektorie PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

34 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Newtonův směr je lineární aproximace aktuální trajektorie chybu této lineární aproximace trajektorie použijeme ke korekci, která využije i kvadratickou informaci PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

35 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Motivace Mehrotrovy metody Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Newtonův směr je lineární aproximace aktuální trajektorie chybu této lineární aproximace trajektorie použijeme ke korekci, která využije i kvadratickou informaci v každé iteraci musíme vypočítat řešení dvou soustav lineárních rovnic PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

36 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Prediktor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor ( x aff lineárních rovnic 1, xaff 2, xaff J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) 3, λaff, s aff, µ aff, d aff ) je řešením soustavy x aff 1 x aff 2 x aff 3 λ aff s aff µ aff d aff = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

37 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Prediktor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor ( x aff lineárních rovnic 1, xaff 2, xaff J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) 3, λaff, s aff, µ aff, d aff ) je řešením soustavy x aff 1 x aff 2 x aff 3 λ aff s aff µ aff d aff a krok δ aff určíme tak, aby platilo = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 (x aff 1, x aff 2, x aff 3, λ aff, s aff, µ aff, d aff ) F 0 N PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

38 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Výpočet parametrů pro korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vypočítáme, jak by vypadala míra duality, pokud bychom provedli krok ve směru vypočítaném v prediktoru: α aff = ( λ + δ aff λ aff ) T (s + δ aff s aff ) m 1 β aff = ( µ + δ aff µ aff ) T (d + δ aff d aff ) m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

39 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Výpočet parametrů pro korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vypočítáme, jak by vypadala míra duality, pokud bychom provedli krok ve směru vypočítaném v prediktoru: α aff = β aff = ( λ + δ aff λ aff ) T (s + δ aff s aff ) m 1 ( µ + δ aff µ aff ) T (d + δ aff d aff ) Předpovězenou a současnou míru duality použijeme pro odhad centrujícího parametru: ( αaff ) ( ) 3 3 βaff σ l =, σk = α β m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

40 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 λ aff s aff + σ l αe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 µ aff d aff + σ k βe 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

41 IPM a kvadratické programování s kvadratickými omezeními Korektor Mehrotrova metoda typu prediktor-korektor Vektor přírůstků nové iterace ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) je řešením soustavy lineárních rovnic J(x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) x 1 x 2 x 3 λ s µ d = r 1 r 2 r 3 x 1 l s ΛSe 1 λ aff s aff + σ l αe 1 g g x 2 x 2 x 3 x 3 d MDe 2 µ aff d aff + σ k βe 2 a krok δ určíme tak, aby platilo ( x 1, x 2, x 3, λ, s, µ, d) F 0 N. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

42 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Úloha lineární elasticity s daným třením Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Je dálo elastické těleso: Ω R 3, δω = Γ u Γ p Γ c kde na Γ u je předepsáno nulové posunutí, na Γ p je dáno plošné zatížení, na Γ c je jednostranná podpora s počáteční vzdáleností d L (Γ c ) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

43 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Diskretizace úlohy Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Úlohou je najít u K takové, že kde a Symbol Tv vect je definován jako J (u) = min v K J (v) J (v) = 1 2 vt Kv v T f + g T Tv vect K = {v R n N v d} Tv vect := ( (Tv) 1 R 2, (Tv) 2 R 2,..., (Tv) m2 R 2) T R m 2 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

44 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Duální úloha Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Duální úloha vede na minimalizaci funkcionálu D(x) = 1 2 xt Ax x T b na množině {x = (x T 1, x T 2, x T 3 ) T R m x 1 0, (x 2i, x 3i ) 2 g i, i = 1,..., m 2 } kde N NK 1 d A = BK 1 B T, B = T 1, b = T 1 K 1 T 2 T 2 K 1 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

45 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Řešení duální úlohy Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Předchozí postup vychází z článků Haslinger J, Dostál Z., Kučera R.: An algorithm for the numerical realization of 3D contact problems with Coulomb frictions, Journal of Computational and Applied Mathematics, , 2004, pp Kučera R.: Convergence rate of an optimal algorithm for minimizing quadratic functions with separable convex constraints, 2007 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

46 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Řešení duální úlohy Formulace úlohy lineární elasticity s daným třením Předchozí postup vychází z článků Haslinger J, Dostál Z., Kučera R.: An algorithm for the numerical realization of 3D contact problems with Coulomb frictions, Journal of Computational and Applied Mathematics, , 2004, pp Kučera R.: Convergence rate of an optimal algorithm for minimizing quadratic functions with separable convex constraints, 2007 V článcích je také uveden algoritmus nazvaný QPC pro řešení problému, založený na metodě aktivní množniny projekci gradientu metodě konjugovaných gradientů PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

47 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

48 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: Najdeme řešení m soustav rovnic s dolní trojúhelníkovou matici LY = B T PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

49 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: Najdeme řešení m soustav rovnic s dolní trojúhelníkovou matici LY = B T Najdeme řešení m soustav rovnic s horní trojúhelníkovou matici L T Z = Y PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

50 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A IPM s přímým výpočtem matice A V IPM potřebujeme znát matici A, danou vzorcem A = BK 1 B T. Výpočet matice A = BK 1 B T můžeme provést užitím Choleského rozkladu matice K, tj. užitím A = B ( LL T) 1 B T podle schématu: Najdeme řešení m soustav rovnic s dolní trojúhelníkovou matici LY = B T Najdeme řešení m soustav rovnic s horní trojúhelníkovou matici L T Z = Y Nakonec vypočítáme A = BZ PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

51 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

52 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % Co plyne z tabulky PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

53 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % Co plyne z tabulky IPM jsou ve všech případech rychlejší než QPC, ale výpočet matice A v IPM vyžaduje řešit m soustav lineárních rovnic s maticí K, kdežto QPC jich pro větší úlohy vyžaduje mnohem méně PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

54 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM s přímým výpočtem matice A Použitelnost IPM s přímým výpočtem matice A n m QPC LOQO Mehrotra Čas Av Čas Čas A % Čas Čas A % Co plyne z tabulky IPM jsou ve všech případech rychlejší než QPC, ale výpočet matice A v IPM vyžaduje řešit m soustav lineárních rovnic s maticí K, kdežto QPC jich pro větší úlohy vyžaduje mnohem méně z podílu času potřebného pro výpočet A na celkovém času je zřejmé, že IPM nejsou tak dobře škálovatelné jako QPC PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

55 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM bez přímého výpočtu matice A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic V IPM řešíme soustavu s Jakobiho maticí J(x 1, x 2, x 3, x 4, λ, s, µ, d). Pokud vyeliminujeme s a d dostaneme soustavu s tzv. rozšířenou maticí R = A 11 A 12 A 13 I 0 A 21 A M A X 2 A 31 A 32 A M 0 2X 3 I 0 0 Λ 1 S 0 0 2X 2 2X 3 0 M 1 D PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

56 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM bez přímého výpočtu matice A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic V IPM řešíme soustavu s Jakobiho maticí J(x 1, x 2, x 3, x 4, λ, s, µ, d). Pokud vyeliminujeme s a d dostaneme soustavu s tzv. rozšířenou maticí R = A 11 A 12 A 13 I 0 A 21 A M A X 2 A 31 A 32 A M 0 2X 3 I 0 0 Λ 1 S 0 0 2X 2 2X 3 0 M 1 D Tuto matici blokově píšeme následovně ( AR B R = R B T R D R ) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

57 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením IPM bez přímého výpočtu matice A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic V IPM řešíme soustavu s Jakobiho maticí J(x 1, x 2, x 3, x 4, λ, s, µ, d). Pokud vyeliminujeme s a d dostaneme soustavu s tzv. rozšířenou maticí R = A 11 A 12 A 13 I 0 A 21 A M A X 2 A 31 A 32 A M 0 2X 3 I 0 0 Λ 1 S 0 0 2X 2 2X 3 0 M 1 D Tuto matici blokově píšeme následovně ( AR B R = R B T R D R ) Řešením soustavy pak vypočítáme x 1, x 2, x 3, λ, µ, zbylé přírůstky s a d pak dopočítáme z eliminovaných rovnic. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

58 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

59 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

60 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

61 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace 3 oba výsledky sečteme PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

62 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace 3 oba výsledky sečteme PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

63 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Při řešení soustavy s maticí R použitím iteračních metod, je třeba pouze vypočítat násobení matice R vektorem y. Toto násobení se realizuje po částech: 1 přímo vypočítáme součin matice R (vznikne z matice R odečtením matice A od bloku A R ) s vektorem y 2 součin matice A s příslušnou částí (ozn. y 1 ) vektoru y vypočítáme užitím vztahu Ay 1 = BK 1 B T y 1, kde se místo násobení maticí K 1 řeší soustava lineárních rovnic s maticí K pomocí její Choleského faktorizace 3 oba výsledky sečteme Iterační metody bez předpodmínění fungují pro matice produkované IPM velmi špatně a pomalu, proto je nutné použít dobré a zároveň výpočetně jednoduché a rychlé předpodmínění. V našem případě budeme k předpodmínění používat matici R R 1. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

64 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro R 1 Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pokud vyjdeme z blokového zápisu ( AR B R = R B T R D R ) tak můžeme matici R 1 užitím Schurova komplementu podmatice A R vyjádřit následovně ( R 1 1 AR A 1 = R B R F A 1 R B R H 1 ) F H 1 kde H = D R B T R A 1 R B R a F = H 1 B T R A 1 R. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

65 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro R 1 Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pokud vyjdeme z blokového zápisu ( AR B R = R B T R D R ) tak můžeme matici R 1 užitím Schurova komplementu podmatice A R vyjádřit následovně ( R 1 1 AR A 1 = R B R F A 1 R B R H 1 ) F H 1 kde H = D R B R T A R 1 B R a F = H 1 B R T A R 1. Při výpočtu IPM nemáme přímo k dispozici matici A a tím ani matici A R. Proto budeme počítat pouze s jejich aproximacemi (resp. s aproximacemi jejich inverzí). PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

66 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici à A 1 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

67 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici à A 1 2 V každé iteraci IPM (tj. ve vnější iteraci) vypočítáme aproximaci ÃR matice A 1 R řešením soustavy ( I + à (A R A)) ÃR = à (5) vzniklé užitím vztahu pro rozdíl dvou inverzních matic. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

68 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici à A 1 2 V každé iteraci IPM (tj. ve vnější iteraci) vypočítáme aproximaci ÃR matice A 1 R řešením soustavy ( I + à (A R A)) ÃR = à (5) vzniklé užitím vztahu pro rozdíl dvou inverzních matic. 3 V každé iteraci IPM vypočítáme také matici H = D R B R T à R B R PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

69 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Postup provádění předpodmínění Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic 1 Na počátku výpočtu vypočítáme matici à A 1 2 V každé iteraci IPM (tj. ve vnější iteraci) vypočítáme aproximaci ÃR matice A 1 R řešením soustavy ( I + à (A R A)) ÃR = à (5) vzniklé užitím vztahu pro rozdíl dvou inverzních matic. 3 V každé iteraci IPM vypočítáme také matici H = D R B R T à R B R 4 V každé iteraci iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic (tj. vnitřní iterace) provádíme předpodmínění maticí R danou předpisem kde F = H 1 B R T à R. (ÃR R = ÃRB R F F ) ÃRB R H 1 H 1 (6) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

70 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro matici A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pro matici B platí BP = (B 1, 0) kde matice B 1 je obecně čtvercová matice s plnou hodností (v našem případě dokonce diagonální) a P je permutační matice. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

71 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro matici A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pro matici B platí BP = (B 1, 0) kde matice B 1 je obecně čtvercová matice s plnou hodností (v našem případě dokonce diagonální) a P je permutační matice. Matici P T KP pak rozdělíme na bloky označené takto ( ) K11 K 12 K 21 K 22 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

72 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Co platí pro matici A Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Pro matici B platí BP = (B 1, 0) kde matice B 1 je obecně čtvercová matice s plnou hodností (v našem případě dokonce diagonální) a P je permutační matice. Matici P T KP pak rozdělíme na bloky označené takto ( ) K11 K 12 K 21 K 22 Užitím Schurova komplementu podmatice K 22 dostáváme ze vztahu A = BK 1 B T vyjádření A = B 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) 1 B T 1 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

73 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Výpočet à A 1 Z předchozího pro matici A 1 platí A 1 = B 1 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) B T 1 (7) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

74 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Výpočet à A 1 Z předchozího pro matici A 1 platí A 1 = B 1 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) B T 1 (7) Pro výpočet à A 1 pak použijeme jeden ze vzorců à = B 1 1 (K 11 K 12 (diag K 22 ) 1 K 21 ) B T 1 (8a) PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

75 IPM v úloze lineární elasticity s daným třením Použití iteračních metod pro soustavy lineárních rovnic Výpočet à A 1 Z předchozího pro matici A 1 platí A 1 = B 1 1 (K 11 K 12 K 1 22 K 21) B T 1 (7) Pro výpočet à A 1 pak použijeme jeden ze vzorců à = B 1 1 (K 11 K 12 (diag K 22 ) 1 K 21 ) B T 1 (8a) à = B 1 ( 1 (K 11 K 12 U11 Ū 12 V 1 ) 1 Ū 21 K 21 ) B T 1 (8b) kde platí V = V 11 V 12 (diag V 22 ) 1 V 21 a kde P 1 resp. P 2 je permutační matice taková ( ) že K 12 P 1 = ( K 12, 0) a P T U11 U 1 K 22 P 1 = 12 U 21 U 22 ( ) resp. U 12 P 2 = (Ū 12, 0) a P T V11 V 2 U 22 P 2 = 12 V 21 V 22 PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

76 Numerické testy iterační metody Nastavení v numerických testech Nastavení v numerických testech Pro numerické testy byly použity úlohy o rozměrech n m Tolerance pro vnější řešič je nastavena pro velikosti residuí KKT a pro podmínky komplementarity. Jako vnitřní řešič byla použita metoda předpodmíněných konjugovaných gradientů. Všechny testy byly provedeny na počítači s procesorem P4, 2.8 GHz a s 1GB paměti. PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

77 Numerické testy iterační metody Podíl částí výpočtů na celkovém čase Náročnost jednotlivých částí výpočtu PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34

78 Numerické testy iterační metody Srovnání IPM s iteračním řešičem a QPC Srovnání IPM s iteračním řešičem a QPC PANM 2008, Dolní Maxov Metody vnitřních bodů Červen / 34