ROVINNÁ GEOMETRIE. Klasická úloha na obvodové a středové úhly v kružnici. ŘEŠENÍ:

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "ROVINNÁ GEOMETRIE. Klasická úloha na obvodové a středové úhly v kružnici. ŘEŠENÍ:"

Jindřiška Fišerová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 ROVIÁ GEOETRIE.. Vypočítej veliosti všech vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníu a veliosti úhlů sevřených jeho úhlopříčami. Vrcholy čtyřúhelníu leží v bodech, teré na obvodu ciferníu hodin znázorňují údaje,,,. 0 Klasicá úloha na obvodové a středové úhly v ružnici. Tětivový čtyřúhelní je tvořen čtyřmi tětivami jedné ružnice. Tzn. že všechny jeho vrcholy leží na této ružnici. 0 ejprve určíme veliosti úhlů u vrcholů. Úhel u vrcholu je obvodový úhel a jeho veliost je proto polovinou veliosti středového úhlu. tředový úhel je 0 ( 0 ) a němu obvodový. Podobně určíme veliost ostatních úhlů Úhel u vrcholu je obvodový úhel e středovému úhlu. To je úhel přímý a proto obvodový je pravý. V tomto případě se jedná o úhel nad přeponou (Thaletova ružnice). 0 bychom mohli určit veliost úhlů, teré svírají úhlopříčy, musíme nejprve určit veliost úhlů a. to jsou opět obvodové úhly a jejich veliost je polovina veliosti středových úhlů resp.. Zbyte již snadno dopočítáme z obrázu.

Tětivový čtyřúhelní je tvořen čtyřmi tětivami jedné ružnice. Tzn. že všechny jeho vrcholy leží na této ružnici. 0 ejprve určíme veliosti úhlů u vrcholů.

2 trana.. estroj trojúhelní, pro terý platí: = cm, v c = cm, γ = 0. l ad jaouoli úsečou umíme sestrojit oblou ružnice ta, že všechny body X ležící na tomto oblouu vytváří úhel X zadané hodnoty, v našem příladu 0. Postup onstruce této množiny bodů s danou vlastností (nazvěme ji třeba G) popisují roy. až. o. X estrojovaná ružnice se nazývá evigonála. p. ; = cm. X ; X = 0. ; X,. o; osa úsečy. ; o. l; l( ; r = ). p; p, p, = cm. ; p l. Úloha má dvě řešení pro pořadí vrcholů v ladném geometricém směru ()... Jsou dány ružnice ( ; cm) a ( ; cm), vzdálenost středů a je cm. estroj všechny ružnice s poloměrem cm, teré se dotýají i. áme-li sestrojit ružnici, potřebujeme znát její střed a poloměr. Poloměr je zadán, zbývá najít její střed. o o něm víme? Od ružnice i od ružnice je vzdálen cm. Od středů těchto ružnic je vzdálen cm a cm. Při onstručním řešení použijeme soustředné ružnice s a. Označíme je a. Průni ružnic a je hledaný střed.. ( ; cm). ( ; cm). ;. ( ; cm) Závěr: Úloha má řešení.

Postup onstruce této množiny bodů s danou vlastností (nazvěme ji třeba G) popisují roy. až. o. X estrojovaná ružnice se nazývá evigonála. p. ; = cm. X ; X = 0. ; X,. o; osa úsečy. ; o. l; l( ; r = ).

3 trana.. arýsuj čtverec KL, jehož strana má délu, cm. estroj množinu všech bodů roviny, ze terých je vidět pod úhlem 0. K L Výslede: K L bychom viděli čtverec pod úhlem 0, musíme vidět pod úhlem 0 jeho stranu nebo úhlopříču. ody hledané množiny musí být vrcholy úhlů, jejichž ramena míří do vrcholů čtverce a jejichž veliost je 0. usíme tedy sestrojit množinu G (stejný postup jao v příladu ), a to nad aždou stranou čtverce i nad aždou úhlopříčou. Z obrázu vidíme, že nad rohem čtverce tvoří hledanou množinu body, z nichž je přímo vidět vrcholy tvořící úhlopříču. Jedná se opět o vztah mezi středovým a obvodovým úhlem ružnice. Jestliže obvodový úhel je 0, musí být středový úhel 0. Tohoto můžeme při postupu využít a rýsovat nad aždou stranou a úhlopříčou rovnostranný trojúhelní, jehož třetí (sestrojený) vrchol tvoří střed hledaného oblouu ružnice.. KL. l ; l ( ; r = ). l. ;. ; ( ; r =. l ; l. l.. ; l ; l ; ; ( ; r = ( ; r = ( L; r = l l ( ; r = ) l l ) L ) L ) )

ody hledané množiny musí být vrcholy úhlů, jejichž ramena míří do vrcholů čtverce a jejichž veliost je 0.

4 trana.. o čtverce se stranou cm, vepiš čtverec KL se stranou cm. arýsujeme nejprve čtverec a potom čtverec K L, ta aby čtverce měly stejný střed a rovnoběžné strany. bychom dostali vepsaný čtverec, musíme ten vnitřní otočit ta, aby se vrchol dostal na hranu. tačí sestrojit ružnici ve společném středu čtverců s poloměrem. K K L L.. ;, =. KL ; K, K =, KL = cm. ; ( ; r = ). ;. KL Závěr: Úloha má řešení... estroj trojúhelní, je-li dáno: t a = cm, t b = cm t c =, cm. T. ; = cm ( t ). ;, =. TT, ; T= ta = T. ; ( T; r = tc). ; ( T ; r = tb). ;. ; ( T; r = tb). ; ( T ; r = tc). ; 0. a T Použijeme metodu doplnění trojúhelníu na rovnoběžní. Rovnoběžní tvoří hledaný trojúhelní a přilepený trojúhelní. Oba trojúhelníy jsou shodné. Konstruci zahájíme úsečou (déla je rovna dvojnásobu těžnice t a ). a najdeme polohu T a T (těžiště obou trojúhelníů). U trojúhelníů TT a TT známe dély všech tří stran (vycházíme z dělení těžnice těžištěm v poměru : ). Závěr: Úloha má řešení.

; ( ; r = ). ;. KL Závěr: Úloha má řešení... estroj trojúhelní, je-li dáno: t a = cm, t b = cm t c =, cm. T. ; = cm ( t ). ;, =. TT, ; T= ta = T. ; ( T; r = tc). ; ( T ; r = tb). ;. ; ( T; r = tb).

5 trana Otázy, teré mohou padnout při maturitní zoušce: ) efinuj rovinné obrazce: trojúhelní, čtverec, obdélní, osočtverec, rovnoběžní, lichoběžní, ruh. ) Vysvětli pojmy obvodový a středový úhel ružnice. ) Z jaých částí se sládá řešení onstruční úlohy v rovinné geometrii? ) Jaý je rozdíl mezi pojmy planimetrie a stereometrie?

) Vysvětli pojmy obvodový a středový úhel ružnice.

Podobné dokumenty

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm) 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (