Téma 7, modely podloží

Transkript

1 Pružnost a plastcta II.,.ročník bakalářského stua, přenášky Janas, Téma 7, moely položí Úvo Wnklerův moel položí Pasternakův moel položí Pružný poloprostor Nosník na pružném Wnklerově položí, řešení ODM Žemočknova metoa Katera stavební mechanky Fakulta stavební, VŠB - Techncká unverzta Ostrava

2 Záklaové konstrukce Slouží k tomu a zajšťují, aby tíha vrchní stavby se přenesla o položí půního tělesa kontaktní napětí v záklaové spáře a v položí zůstaly v přípustných mezích seání celého objektu zůstalo v přípustných mezích

3 Záklaové konstrukce, pokračování Nejběžnější typy záklaových konstrukcí: záklaové patky, záklaové pásy, záklaové esky, záklaové rošty, ploty. Položí je těleso s velm složtým vlastnostm problematka mechanky zemn. Pro statcké výpočty se zpravla užívá zjenoušených moelů položí.

4 Záklaové konstrukce, pokračování V kontaktní spáře se často počítá pouze s normálovým napětím, smykové napětí se zanebává. Vazba mez záklaovou konstrukcí a položím je jenostranná, nemůže ze vznkat napětí tahové. Úlohy nterakce spolupůsobení záklaových konstrukcí s položím se nazývají také kontaktní úlohy.

5 Tuhý nosník patka na pružném poklaě Přepoklay: - nosník těleso je ostatečně tuhý - lneární průběh kontaktního napětí mez nosníkem a položím - kontaktní napětí je tlakové, přípaně se řeší s vyloučením tahu P M P 6M σ ± ±, A W bl bl bl A bl W 6 P 6M p σ b ±,, l l Uveené řešení je zjenoušené přblžné, neostatečně zohleňuje nterakc konstrukce s položím. 5

6 Interakce nosníku s položím Nosník není zpravla ostatečně tuhý a kontaktní napětí není lneární. Kromě rovnovážných pomínek se na kontaktu uplatňují také pomínky eformační. Pro řešení nterakce konstrukce s položím se uplatňují různé moely položí, které je vžy o určté míry ealzují. 6

7 Wnklerův moel položí Přepokláá, že reakce položí je přímo úměrná zatlačení nosníku esky, záklau, konstrukce o položí. Platí : p, y C, y p,y je reakce položí [knm - ] C je součntel stlačtelnost položí [knm - ],y je průhyb nosníku, konstrukce [m] 7

8 Wnklerův moel položí, analytcké řešení Wnklerův moel je jenoparametrcký moel. Lze jej znázornt jako soubor pružn samostatně působících na kontaktu záklau a položí. Tam, ke kontakt není, tj. mmo zákla, se pružny smulující položí neeformují, což neopovíá realtě. Wnklerův moel se pro svou jenouchost přes zjenoušení a neostatky v pra často používá. y, y, y p, 8

9 Honoty součntele stlačtelnost poklau C 9

10 Pasternakův moel Pasternakův moel ostraňuje některé neostatky Wnklerova moelu. Kromě normálových sl uvažuje v položí se smykovým slam. Nespojté zaboření objektu le Wnklera je u Pasternaka nahrazeno průhybovou kotlnou.

11 Pasternakův moel, pokračování Pasternakův moel je vojparametrcký. Opovíá lépe realtě. p, y C, y C y Rekce položí je ze funkcí: parametru C [knm - ]-součntel poajnost poklau parametru C [knm - ]-součntel přenášení smykových sl

12 Pružný poloprostor Je pružné těleso ohrančené rovnou povrchem poloprostoru. Je jenou z možných ealzací položí stavebních konstrukcí. Považuje se zpravla za homogenní a zotropní.

13 Pružný poloprostor, pokračování Zatížení poloprostoru slou působící kolmo k povrchu řešl J. Boussnes. Pro složky napětí ovol: P z σ z π R 5 P µ zr σr π R R z R 5 σ ϕ τrz P z µ π R P π z r R 5 R R z

14 Pružný poloprostor, pokračování Pro složky posuvů ve u směru r ovol: u P πe P µ πer zr µ R P µ µ πe R pro z povrch je u r µ R R Pro složky posuvů ve směru osy z ovol: z R P µ µ πer z

15 Pružný poloprostor, pokračování Průběh složek napětí σ r a σ z v řezu veeném paprskem síly pro µ,5: 5

16 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka Pro bo M ležící v lbovolné hloubce z po vrcholem obélníka na povrchu s rovnoměrným zatížením byly ntegrací ovozeny násleující vztahy pro výpočet složky napětí σ z a posunutí pro z: l l y z l l p y σ z arctan π L l z l y z zl p µ l y s l s l ln l ln y πe l l y ke s l l y L s z l l y z 6

17 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka, pokračování Vztahy pro výpočet složky napětí σ z a posunutí pro z lze využít pro boy ležící mmo vrchol skutečné zatěžovací obélníkové plochy. Je přtom nutno át příslušný bo o vrcholu vou přípaně čtyř zatěžovacích ploch. 7

18 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka, příkla Čtvercová zatěžovací plocha, průběh σz zl/ a zl poél osy zatížení pro µ,5. 8

19 Pružný poloprostor, rovnoměrné zatížení na ploše obélníka, příkla Čtvercová zatěžovací plocha, µ,5, průběh na povrchu poél osy a okraje zatížení. 9

20 Pružný poloprostor, centrcky zatížený okonale tuhý zákla Průběh napětí σ z a průhyb na povrchu pružného poloprostoru po tuhým záklaem

21 Pružný poloprostor, centrcky zatížený okonale tuhý zákla, pokračování Př zatížení slou P kruhového záklau o poloměru a lze průhyb án vztahem: µ P Ea Př zatížení slou P čtvercového záklau o straně la je pak průhyb án vztahem: µ P,88 El

22 Wnklerův moel položí, analytcké řešení nosníku na pružném položí Dferencální rovnce ohybové čáry prutu: : platí. Pro C je : C Pro je, protože M b C b C konst b b b p p M V V M V M c c c a b z. EJ konst l b p p, b je šířka nosníku C je součntel stlačtelnost poklau

23 Rovnce Wnklerův moel položí, analytcké řešení nosníku na pružném položí, pokračování Cb je lneární, nehomogenní ferencální rovnce. řáu. Její analytcké řešení je známo pro nosníky nekonečné, polonekonečné pro nosníky konečné élky. Tato řešení jsou použtelná pro relatvně malou skupnu úloh. Uveenou rovnc lze řešt fleblněj také metoou sítí.

24 Wnklerův moel položí, řešení nosníku na pružném položí metoou sítí k Cb 6 Rovnc převeeme na řešení lneárních rovnc př použtí vztahů: Složky vntřních sl lze př znalost vyjářt: M V M M

25 5 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí Dferencální rovnce ohybové čáry prutu: platí :. Pro je : Pro je, protože M C C b C C b konst C C b C C b b p p M V V M V M c c c a b z. EJ konst l b p p, b je šířka nosníku C, C jsou součntele poklau

26 6 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí, pokračování Rovnce C C b je lneární nehomogenní ferencální rovncí. řáu. Uveenou rovnc lze řešt metoou sítí.

27 7 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí metoou sítí k k C C b 6 Rovnc převeeme na řešení lneárních rovnc př použtí vztahů: Složky vntřních sl lze př znalost vyjářt: M V M M

28 8 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí metoou sítí k k C C b 6 6 k k Rovnc upravíme na tvar:

29 Pasternakův moel položí, řešení nosníku na pružném položí metoou sítí Na okrajích nosníků musí být splněny okrajové pomínky, stejně jako př řešení nosníku s Wnklerovým moelem položí. Jejch formulace vee k rozepsání čtyř rovnc. U Pasternakova moelu se ale eformuje položí mmo nosník Ze bue platt rovnce: Tu lze opět pro kažý bo ležící mmo nosník nahrat lneární rovncí: C p, y C, y C y C Řešením soustavy lneárních rovnc jsou neznámá posutí, která umožňují vypočíst složky vntřních sl nosníků reakce položí 9

30 Příkla, nosník na pružném poklaě, zaání F kn l 6 m Nosník élky 6 m s moulem pružnost v tahu a tlaku E GPa a obélníkovém průřezu h,5 m a b, m je zatěžován slou F kn v polovně rozpětí. Nosník je uložen na pružném poklaě s moulem stlačtelnost poklau C 6 MN/m.

31 Příkla,nosník na pružném poklaě, řešení metoou sítí, Wnklerův moel Nosník rozělíme např. na n6 ílků o élce m: Přípravný výpočet: kc.b,6. kn/m Okrajové pomínky: Na okrajích nosníku v boech a 6 platí: V M V M

32 Příkla,nosník na pružném poklaě, pokračování řešení Rovnc upravíme na tvar: k ,8 6,78 6,78,8,6 a,8,5, Protože 6 k k k

33 Příkla,nosník na pružném poklaě, pokračování řešení Rozepsání ferenčních rovnc pro boy až 6 nosníku:,78 a za Po osazení 6,78 Bo 6 5,78 za Po osazení 6,78 Bo 5 6,78 Bo,8 6,78 Bo 6,78 Bo 5,78 za Po osazení 6,78 Bo,78 a za Po osazení 6,78 Bo

34 Příkla,nosník na pružném poklaě, sestavení a řešení lneárních rovnc Bo 5 6 PS [m],78 -, ,78 -, ,78-5, ,78 -,8. - 7, ,78-5, ,78 -, ,78,79. -

35 5 Příkla,nosník na pružném poklaě, výpočet reakcí a složek vntřních sl Bo [m] p [kn/m] p [m] [m] Q [kn] V [kn] M [kn] V * [kn] M * [kn], ,6,5,5,7, , 8,55 9,,7 5,89. -,6,6 6,87 76,8 6,86 8,6 7, /-5 56,8 55,6 5,89. -,6,6-6,87 76,8-6,86 8,7 5, , 8,55-9,,7 6, ,6 5,75,5,7 l l l Q M l Q M F Q V F Q Q V V p Q k p Q Q n n -, pro / F, pro,6 V * a M * vypočteno le vztahů platných pro ferenční metou

36 Příkla,nosník na pružném poklaě, průběh posunutí a reakcí 6

37 Příkla,nosník na pružném poklaě, průběh složek vntřních sl 7

38 Wnklerův moel položí, jné metoy řešení Interakce nosníku a jných konstrukcí s Wnklerovým moelem položí nebo s jným moely položí je řeštelná také: slovou metoou obecnou eformační metoou smíšenou metoou - Žemočknova metoa metoou konečných prvků 8

39 Příkla, nosník na Wnklerově položí, výpočtový moel pro obecnou eformační metou z l 6m 6 voorovných prutů oboustranně monoltcky přpojené 7 svslých prutů pravostranně kloubově přpojené 9

40 Příkla, nosník na Wnklerově položí, prncp řešení ODM b A / v ODM okrajích na p p p l b A l E C l EA F N b C F b C F C p b p F b p F Síla F ve svslých prutech:

41 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Globální matce tuhost voorovných prutů l m A bh,5m I bh E GPa,m

42 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Globální matce tuhost svslých prutů l A b m příp. A b,5m JKnení pro výpočet potřeba zaáno I E C 6MPa m

43 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení obecnou eformační metoou Celková matce tuhost nosníku Zatěžovací vektor nosníku { } T F

44 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení ODM, průhyb nosníku, 5 6 7,,,,,,,8,8,5,6,59,59,7,7,8

45 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení ODM, honoty natočení nosníku,,,75,,8,,, , -, -, -,75 -, -,8 5

46 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení ODM, honoty reakcí [kn] síly ve svslých prutech, 5,,,69 5,5,69 5, 6, 6,, 5, 5,76 5,76,

47 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení ODM, honoty posouvajících sl 5 7,75 6,6 5, , , ,75-5 7

48 Příkla, nosník na Wnklerově položí, řešení ODM, honoty ohybových momentů [knm], 5 6 7, 5,76 5,76,,, 87,8 87,8,, 5, 6, 56,57 8

49 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa Nosník na pružném položí obecně zatížený Rozělení nosníku na ílky a nahrazení položí kyvným pruty 9

50 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Výpočtový moel, záklaní statcky a polohově určtá konstrukce Neznámé síly X nahrazují spojtou reakc položí p 5

51 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Poloha vetknutého okraje nosníku je ána neznámým poklesem a pootočení ϕ Úloha je smíšená řeší se slově a eformačně. Je n neznámých sl a vě neznámá přetvoření. Sestaví se n rovnc, a to n eformačních pomínek a pomínky slové rovnovážné. 5

52 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování δ X δ X Deformační pomínky: δ X δ X ϕ δ X δ n n X n n δ ϕ δ δ n X ke je δ n X δ nn X n ϕ δ n n δ δ n k, p k n p, obecně δ k je průhyb nosníku položí o síly X, je průhyb nosníku - tém zatěžovacím stavu o síly n k p k k X 5

53 Nosník na pružném položí, Žemočknova metoa, pokračování Slové rovnovážné pomínky: n k n X X m P m k k P k k Řešením n rovnc jsou síly X až X n a přetvoření a ϕ, které stav nosníku a poloprostoru jenoznačně efnují. 5

54 Moely položí, použtá lteratura Teplý B., Šmřák S., Pružnost a plastcta II, Naklaatelství VUT Brno 99 Dcký J., Mstrková Z., Sumec J., Pružnost a plastcta v stavebníctve, STU v Bratslavě 6 Sobota J., Statka stavebných konštrukcí, Vyavateľstvo ALFA, Bratslava 99 5