2 f(v x) = exp. b) Přechodem k trojrozměrnému získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení. m(v 2 ) F (v) = 4π

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2 f(v x) = exp. b) Přechodem k trojrozměrnému získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení. m(v 2 ) F (v) = 4π"

Transkript

1 Několik poznatků ze statistické fyziky Úvodem V třetí kapitole jsme se zaobírali pravděpodobnostním počtem, jenž má ve fyzice nepo stradatelné uplatnění a kterému se nyní oddáme Jako rozcvičku matematicky odvodíme Ma xwellovo-boltzmannovo rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu ze symetrie a předpokladu vzájemné nezávislosti složek rychlostí molekul Odvodíme si opět Boltzmannův vzorec vyu žitím skutečnosti, že energie jednotlivých systémů, se sčítá, kdežto počty mikrostavů těchto systémů se mezi sebou násobí Z něj opět vyplývá Maxwell-Boltzmannovo rozdělení Povíme si něco o entropii, kterou jsme ve třetím díle nechali bojovat proti energii, a získali jsme tak Bol tzmannův vzorec jako výsledek energicko-entropického zápasu Sdělíme si ještě některá tvrzení statistické fyziky, pomocí nichž sestavíme rovnice popisující velice zajímavé jevy a objekty, a tím si zformulujeme úlohy pro numerická řešení tohoto dílu seriálu Maxwell s Boltzmannem Věta Budiž v (v x, v y, v z) vektor rychlosti náhodně vybrané molekuly ideálního plynu Nechť složky v x, v y, v z jsou náhodné veličiny vzájemně nezávislé A nechť pravděpodobnost, že náhodně vybraná molekula má velikost rychlosti v p (v x + v y + v z) v nějakém intervalu, nezávisí na směru rychlosti a) Potom je jednorozměrné rozdělení rychlostí molekul dané Gaussovým rozdělením r «m mv f(v x) πk x BT b) Přechodem k trojrozměrnému získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení «3/ «m m(v ) F (v) 4π v πk BT Důkaz f(v x) je tedy definována jako hustota pravděpodobnosti složky v x rychlosti v Stejně tak f(v y) a f(v z) Budiž F (v x, v y, v z) hustota pravděpodobnosti vektoru v, neboli F (v x, v y, v z) dv x dv y dv z je pravděpodobnost, že náhodně zvolená molekula bude mít rych lost v v intervalu [(v x, v x + dv x), (v y, v y + dv y), (v z, v z + dv z)] Jelikož F (v x, v y, v z) nezávisí na směru rychlosti, ale pouze na velikosti rychlosti v, musí ji jít přepsat jako F (v x, v y, v z) F (v) Z předpokladu vzájemné nezávislosti pravděpodobností složek rychlosti navíc platí, že Zlogaritmujeme-li tuto rovnici, získáme výraz F (v) f(v x)f(v y)f(v z) ln F (v) ln f(v x) + ln f(v y) + ln f(v z) Rovnici zderivujme parciálně podle v x Napřed budeme postupně derivovat levý člen a nakonec zapíšeme derivaci členu pravého První rovnítko je rozepsání jako derivace složené funkce To druhé platí, neboť v/ v x v x/v Máme ln F (v) v x d ln F (v) dv v vx v x v d ln F (v) dv d ln F (vx) dv x 1

2 a rovnici převedeme na tvar d ln F (v) v dv Úplně stejnou rovnici získáme i pro zbylé dvě složky d ln F (v) v dv d ln F (vx) v x dv x d ln F (vx) v x dv x d ln F (vy) v y dv y d ln F (vz) v z dv z Jelikož molekula, která má rychlost o velikosti v, může mít nejrůznější složky rychlosti v x, v y a v z, lze rovnici obecně splnit tehdy a jen tehdy, jestliže se d ln F (v x) v x dv x Označíme-li tuto konstantu c, získáme výraz jehož integrací dostaneme const d ln F (v x) cv x dv x, ln F (v x) cv x + ln k, kde ln k je integrační konstanta Odlogaritmováním získáváme F (v x) ke cv x Konstantu k můžeme určit z normovací podmínky F (v x) dv x 1 k e cv x dvx Nyní je třeba vypočítat integrál e cx dx Je to známý integrál, jenž se rovná p π/c Existuje moc pěkný trik, kterým na něj lze vyzrát Jak jsme si řekli, určitý integrál je číslo, toto číslo si označíme I e cx dx e cy dy, kde jsme ve třetím členu pouze přeznačili x za y, čímž se však hodnota integrálu I nijak nemění I e cx dx e cy dy Proměnné x a y jsou nyní pro nás dva nezávislé parametry, takže můžeme integrály roznáso bit I e cx e cy dx dy e c(x +y ) dx dy

3 y r dϕ dr y r cos ϕ r ϕ x r cos ϕ Obr 1 Přechod k polárním souřadnicím Nyní přejdeme k polárním souřadnicím V nich odpovídá x + y r a infinitezimálnímu intervalu, čtverečku dx dy r dϕ dr, čímž integrál přechází na tvar 1 I Z π 0 0 e cr r dr dϕ Integrand na ϕ vůbec nezávisí, takže přes něj jednoduše přeintegrujeme I π 0 e cr r dr a zbylý integrál už každý vyřeší substitucí r z Výsledek je I π c Pokračujme dále v důkazu Konstanta k se tedy musí rovnat k p c/π, aby byla splněna podmínka normování Parametr c bude mít pravděpodobně fyzikální význam Víme, že teplota je úměrná střední kinetické energii E k stř molekul Konstanta úměrnosti k B byla nazvána po Boltzmannovi Aby to ale nebylo tak jednoduché, neplatí přímo T k BE stř, ale E k stř 1 NkBT, kde N je počet stupňů volnosti Pro jednorozměrný pohyb máme jediný stupeň volnosti N 1, proto Estř k ` 1 mv x 1 kbt, stř kde m je molekulová hmotnost Ve třetím díle jsme si ukázali, jak počítat střední hodnoty funkcí, například kvadratické odchylky Střední hodnotu jsme si definovali jako sumu či integrál součinu pravděpodobnost (či hustota pravděpodobnosti) krát hodnota Takže můžeme postupovat dál a napsat si integrál «Z 1 r 1 c mv x mv x π e cv x dvx 1 kbt stř 1) Pro matematicky rigorózní jedince poznamenejme, že nás k přechodu k polárním souřadnicím opravňuje Fubiniho věta a r je hodnota Jacobiho determinantu x 3

4 Odsud vyplývá, že r Z k BT π m c vxe cv x dvx Tento krásný integrál vypočteme ještě hezčím trikem v xe cv x dvx d dc e cvx dvx d dc e cvx dvx d dc r π c 1 π1/ c 3/, odkud dostaneme c m Pro matematické pedanty poznamenejme, že derivaci a integrál jsme mohli prohodit, neb se jednalo o spojitou funkci na měřitelném intervalu, pro kterou existuje integrovatelná majo ranta sice lokálně, leč pro každé v x Zapišme si tedy náš kýžený výsledek a porovnejme jej s Gaussovou funkcí, jak jsme o ní hovořili ve třetím díle r f(v x) Tím je důkaz prvního tvrzení proveden z m πk BT «mv x r dϑ dr r sin ϑ dϕ ϑ r r cos ϑ ϕ x y r sin ϑ Obr dx dy dz r sin ϑ dϕ dϑ dr Podívejme se, jak to bude vypadat ve třech rozměrech Jak jsme si řekli úplně na začátku, tak funkce 4 «3/ m m(v x + vy + v «z) F (v x, v y, v z) f(v x)f(v y)f(v z) πk BT

5 musí jít napsat jako funkce pouze od velikosti rychlosti, tedy F (v ) F (v) Neodolatelně se nabízí využít sférické symetrie úlohy «3/ m m(v x + vy + v «z) dv x dv y dv z πk BT je pravděpodobnost, že vektor rychlosti v (v x, v y, v z) se bude nacházet v intervalu [(v x, v x + dx), (v y, v y + dy), (v z, v z + dz)] My však chceme, aby velikost rychlosti v náležela do intervalu (v, v + dv) Když si to nakreslíme, tak si všimneme, že vektor v se může nacházet v celém mezikoulí soustředných sfér umístěných do počátku s poloměrem v a v + dv S využitím vztahů v v x + v y + v z a dv x dv y dv z v sin ϑ dϕ dϑ dr přepíšeme výraz do tvaru m πk BT «3/ mv «v sin ϑ dϕ dϑ dv, kde v sin ϑ dϕ dϑ dv přeintegruje-li se přes ϕ a ϑ, čili integrál π 0 π 0 v sin ϑ dv dϕ dϑ 4πv dv, získáme právě ono mezikoulí, což je míra vektorů ležících právě v intervalu (v, v + dv) Všimněme si, že 4πv je povrch koule o poloměru v, což přesně takhle vyjít musí Výsledek tedy zní F (v) dv Z π Z π 0 4π 0 m πk BT Takže hustota pravděpodobnosti Tím je důkaz proveden «3/ m mv πk BT «3/ mv «v dv «3/ «m m(v ) F (v) 4π v πk BT «v sin ϑ dv dϕ dϑ Poznámky Takto Maxwell odvodil rozdělení v letech , kdy působil jako profesor na Kings College v Londýně a kdy zároveň publikoval svou práci o teorii elektromagnetismu Předpokládal nezávislost složek rychlosti stejně jako my Tento předpoklad lze odvodit z kvan tové mechaniky Schrödingerovu rovnici pro vlnovou funkci částice v potenciálové jámě lze totiž separovat užitím substituce ψ(x, y, z) X(x)Y (y)z(z) Odsud lze vyvodit závěr, že pravděpodobnosti pro jednotlivé složky rychlosti jsou opravdu vzájemně nezávislé Tento argument však Maxwell ani Boltzmann, který dokázal odvozený rozdělovací zákon klasicky roku 1896, neměli 5

6 v z v + dv v v x v y Obr 3 Rychlost na sférách Už jen Boltzmann bez Maxwella Boltzmann se snažil odvodit nějaký obecný rozdělovací zákon statistické fyziky, což se mu také podařilo Uvažujme dva libovolné temodynamické systémy A a B ve vzájemné termo dynamické rovnováze Každý z nich se může nacházet v různých takzvaných mikrostavech úplná mikroskopická konfigurace systému Mikrostavem je například poloha a hybnost všech částic ideálního plynu Můžete si však také například představit krystal s kmity krystalové mřížky Půjde nám tedy o odvození velice abstraktního tvrzení pro obecné termodynamické systémy Ty mohou nabývat buď diskrétních hodnot energie a diskrétního počtu mikrostavů, nebo mohou nabývat kontinua mikrostavů a energie Jelikož se nám bude lépe hovořit a dis kutovat o diskrétním případě, budeme používat sumace a mít počty mikrostavů Diskuse však platí i pro spojité případy, jen je potřeba sumaci nahradit integrací a počty mikrostavů mírou mikrostavů Abychom měli z čeho vyjít, tak si něco rozumného postulujme Základním postulátem sta tistické fyziky je předpoklad, že všechny možné mikrostavy systému, ve kterých se může systém nacházet (jsou přípustné například z hlediska zákona zachování energie), jsou stejně pravdě podobné Čili nebudeme žádný přípustný mikrostav a priori upřednostňovat před kterýmkoli jiným Uvažujeme obecný termodynamický systém, který rozdělíme na dvě stejné části A a B Nechť W (E) je počet mikrostavů systému, jenž je pouze funkcí E Energie je aditivní veliči nou, neboli celková energie E je součtem energií obou částí systému A a B Má-li každá část energii E A a E B (přičemž samozřejmě E A E B ± pro stejné termodynamické systémy v rovnováze), pak E E A + E B 6

7 Počet mikrostavů, ve kterých se může nacházet část A, má-li energii E A, je W (E A), stejně tak pro B Ovšem počet mikrostavů obou částí dohromady, tedy celého systému, je násobkem počtu mikrostavů části první a druhé, neboť se může realizovat každý s každým W (E A + E B) W (E A)W (E B) Budeme se tvářit, že nevíme, že jediná funkce, která převádí součet na součin (g(a + b) g(a)g(b)), je onenciální funkce, a rovnici zlogaritmujeme ln(w (E A + E B)) ln W (E A) + ln W (E B) Z této rovnice vyplývá, že ln(w (E)) je přímo úměrný E, neboť přímá úměra znamená, že g(a + b) g(a) + g(b) pro jakékoli a a b, neboli pro jakékoli λ Čili g(λa) λg(a) ln(w (E)) βe, kde β je konstantou úměrnosti Odlogaritmováním získáváme W (E) e βe Počet mikrostavů W (E) je samozřejmě úměrný pravděpodobnosti p(e), že se daný sys tém bude nacházet v mikrostavu s energií E Normujeme-li tuto pravděpodobnost, získáváme Boltzmannův rozdělovací zákon p(e) 1 Z e βe, kde Z P i e βei se nazývá partiční suma Takto jsme elegantně matematicky odvodili Boltzmannův vzorec Zbývá určit fyzikální význam parametru β Mějme opět dva termodynamické systémy A a B Pravděpodobnost, že bude první ve stavu s energií E A a zároveň druhý ve stavu s energií E B, je rovna součinu pravděpodobností p(e A)p(E B) e βaea e βbeb Z AZ B Jsou-li však oba systémy v termodynamické rovnováze, je zároveň až na normovací konstantu p(e A)p(E B) p(e A + E B), neboli e βaea e βbeb e βab(ea+eb) Tato rovnice může být obecně splněna tehdy a jen tehdy, pokud β AB β A β B 7

8 Termodynamickým parametrem systémů, který je pro systémy ve vzájemné termodyna mické rovnováze stejný, je termodynamická teplota T Nevíme ještě, jestli je β přímo ona, například z rozměrových důvodů nám musí vyskočit ještě nějaká konstanta, pravděpodobně Boltzmannova Usuzujeme však, že β je funkcí termodynamické teploty T β β(t ) Termodynamická teplota se vlastně může Boltzmannovým vztahem definovat jako β 1 k BT, jak postupoval Matouš Ringel v seriálu o statistické fyzice dva roky zpět My už však defino vanou termodynamickou teplotu máme, řekli jsme si, že termodynamická teplota je úměrná střední kinetické energii Estř k a nepřímo úměrná počtu stupňů volnosti N částic systému, konstantu úměrnosti jsme nazvali k B/ Takže je potřeba ukázat, že takto definovaná termo dynamická teplota je právě onou veličinou vystupující v Boltzmannově vzorci jako p(e) 1 Z E «k BT Vypočítejme tedy střední hodnotu energie Boltzmannova rozdělení E stř X i «1 E i Z Ei k BT Tuto hodnotu nyní porovnejme s nějakou střední hodnotou energie, kterou již známe, kterou jsme podle původní definice teploty vypočetli Jako nejvhodnější se nabízí vzít námi spočítanou kinetickou energii ideálního plynu Teď vezmeme pro větší pohodlí ideální plyn s částicemi o jednom stupni volnosti Úplně analogicky můžeme postupovat pro trojrozměrný případ, který jsme vypočítali taktéž Pro jednorozměrný ideální plyn musí tedy podle Boltzmannova vzorce platit «1 mv x 1 stř kbt 1 kde partiční suma Z 1 mv x Z «mv x dv x «mv x dv x, Vidíme, že jsme sestavili typově přesně ty samé integrály, které jsme počítali v předešlé podkapitole, takže se nám to dvojnásobně vyplatilo, neb si díky nim napočítáme, že uvedená rovnost opravdu platí Nejen, že jsme odvodili, ale také jsme si ozřejmili význam veličin v Bol tzmannově vzorci p(e) 1 Z E «k BT Také vidíme, že dosadíme-li za E mv x/, získáme Gaussovo rozdělení, které když roze hrajeme ve třech směrech, tak získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí Je třeba podotknout, že toto předvedené odvození má své výhody, ale asi také i mezery a na Wikipedii je to udělané jinak, pořádněji 8

9 Podívejme se na jiné, elegantnější odvození tohoto vzorce Je krásné, počítá se v něm s mnohorozměrnými koulemi a magické Eulerovo číslo ve faktoru e E/T nám tentokráte vyplave jako limita 1 + a N N e a pro N, kterou se pokusíme ještě osvětlit Než začneme, povězme si, že takto postupoval i Feynman ve svých přednáškách ze statistické fyziky Co je to číslo e? Eulerovo číslo e definujeme jako limitu e def lim «N N N Vy však znáte éčko spíše jako základ přirozeného logaritmu a jeho inverzní funkce e x Ukažme si tedy, že to spolu souvisí Rozepišme si podle binomické věty výraz N «N NX k0 NX k0 NX k0 «N 1 k N X N k k0 Taylorův rozvoj funkce e x pro x 1 přitom je N! (N k)! k! 1 N k 1 N(N 1)(N ) (N k + 1) k! N k «1 «1 k + 1 «(1) k! N N N e 1 e X k0 1 k! () Řekněme si dva různé důvody ekvivalence obou těchto vyjádření Eulerova čísla První mate matický, druhý fyzikální Co je to? Nekonečno se matematicky definuje mimo jiné tak, že pokud jím dělíme libovolně velké číslo, výsledek je vždy nula, tj a 0 a R Vidíme, že pro libovolné reálné číslo je podíl po dělení nekonečnem vždy nula Potom (1) skutečně přejde v () Nyní se zeptejme jinak co je pro fyzika? Odpověď zní, že je to strašně moc, například počet molekul hrnečku čaje, řádově 10, je pro fyzika nekonečno opravdu luxusní Je-li N v horním výrazu takto veliké, tak potom vidíme, že pro prvních k N členů přechází první výraz opět v druhý Jakmile se začne k alespoň trochu přibližovat k N, tak sice začne vznikat problém, avšak ten můžeme v klidu zanedbat, neboť k! je v tomto případě již tak veliké, že tento efekt nemá žádný vliv Zbývá ještě nějak odsvětit, proč by mělo platit právě e a 1 + a N N pro N? 9

10 Uvědomíme si, že pro N platí z definice N «N e Umocněme obě strany rovnice na a-tou Pravá strana je triviálně e a Pro upravení druhé strany vezměme výraz (1 + 1/N) N a umocněme jej také na a-tou «an 1 + a an N an Zasubstitujeme-li si y an, přejde výraz do tvaru 1 + a y «y Pro nenulové a jde Na, jestliže N, a tedy 1 + a y «y e a pro y Nyní se můžeme dát do posledního odvození Boltzmannova vztahu v tomto díle seriálu Boltzmann se Zahradníkem Vyjdeme z našeho postulátu, že vše co je možné, je stejně pravděpodobné Vezměme si velikou lázeň ideálního plynu a do tohoto vesmíru N molekul ideálního plynu umístíme ně jaký malý termodynamický systém Nechť N je kruciálně velké číslo Celková energie je E Má-li malý systém nulovou energii 3, mohou molekuly ideálního plynu nabývat všechny možné rychlosti tak, aby platilo NX vi E, i1 kde v i jsou rychlosti molekul ideálního plynu a P N i1 v i je jejich kinetická energie, protože jsme se vykašlali na veškeré fyzikální i jiné konstanty, abychom se zaobírali již jen autenticky ma tematickou krásou následujících myšlenek Tato rovnice představuje rovnici koule o poloměru v N-dimenzionálním prostoru Nejde o nic nepřirozeného, koule v dvojrozměrném pro storu je kolečko a v jednorozměrném prostoru je to úsečka a ve více rozměrném prostoru je to zase něco, co se sice špatně kreslí, ale máme to pevně uchopeno rovnicí Koule v N-rozměrném prostoru je zkrátka množina všech bodů v N-rozměrném prostoru, jejichž souřadnice splňují výše uvedenou nerovnost Umíme odvodit, kolik je povrch takové koule, objem atd Nemusíme to vědět přesně, je však přirozené, že například objem N-dimenzionální koule o poloměru r se bude rovnat V kr N, E 1/ kde k je parametr závislý na dimenzi N Na Wikipedii můžeme najít, kolik to přesně je, to nyní nepotřebujeme Je však je dobré z jedno, dvoj a trojdimenzionálního případu odkoukat, ) Postup autorovi předvedl doc Zahradník 3) Energie je veličina jednoznačně určená až na libovolnou konstantu, neboť fyzikálně nikdy nemůžeme měřit celkovou energii, ale vždy jen změny energie 10

11 že k se se zvyšující se dimenzí zvětšuje Což má za následek to, že pokud je dimenze prostoru obrovská, tak i malinký přírůstek poloměru koule způsobí, že se její objem obrovsky zvětší Jak se říká, že nejvíce vitamínů je v jablku pod slupkou, tak to platí tím spíše, čím více je jablko dimenzionální, protože se potom pod šlupkou nachází skoro úplně celé Předpokládejme, že je malý systém s vesmírem kolem něj v rovnováze a může si s ním vyměňovat energii, která fluktuuje v malém intervalu ± Má-li malý systém energii E, tak velký systém má energii E E a prostor všech konfigurací rychlostí je koule o poloměru (E E) 1/ NX vi E E i1 Nyní se můžeme zeptat, kolikrát je větší konfigurační prostor s energií E než s energií E E Odpověď zní, že je to poměr objemů jednotlivých koulí V E E V E E E E Střední energii molekul položíme přímo «N/ 1 E «N/ E E N 1 T, a dosadíme-li do předešlého výrazu, získáme 1 E «N/ e E/T NT Uvažujeme-li takzvanou termodynamickou limitu, totiž N Příroda versus matematické a fyzikální modely Jako fyzici či matematici provádíme nejrůznější myšlenkové konstrukce a matematické triky a snažíme se tak studovat svět kolem nás Při studiu nejrůznějších teorií žasneme, či nemů žeme spát, jelikož netušíme, proč by se svět měl chovat podle toho či onoho matematického vzorce Nestudujeme přírodu přímo, ale pomocí modelů Do svého modelu si zaneseme ty jevy, které v něm chceme vystihnout a naopak zanedbáme vlivy, jež nás nezajímají Takto přírodu uchopíme do matematického modelu, jež studujeme za pomoci nejrůznějších matematických triků, kreativních myšlenek a fyzikální intuice a odvahy Výsledky a závěry, ke kterým jsme dospěli, se potom snažíme zpátky interpretovat jako chování světa kolem nás Největším poži tek pro mne jako studenta vědy je potom ten, když krásu matematických triků a nádherných matematických myšlenek dokážu uvidět i intuitivně, zkušenostně podle toho, jak znám svět a přírodu kolem sebe Takové pocity ve mne vyvolává slůvko Entropie Představme si balíček 3 karet Máme jej přesně seřazený podle barev a hodnot Nahoře je srdcová sedma a dole křížové eso Existuje tedy jediné takovéto uspořádání karet Dejme tomu, že vezmeme jednu jedinou kartu (nezáleží kterou) a umístíme ji někam v balíčku (nezáleží kam) Najednou však získáme 3 možností, jak takto balíček uspořádat Fyzikálně bychom mohli říct, že existuje 3 rozlišitelných mikrostavů balíčku, v nichž může být jedna karta jinde, než by měla být Všimněme si, že každý z těchto stavů je taktéž přesně definován a určen 11

12 Vzdáme-li se informace o tom, která karta byla kam přesunuta, zvýšíme tím pravděpodobnost, že balíček po zamíchání nalezneme ve stavu s daným (ne)uspořádáním, neboť pravděpodobnost nacházení se v dané množině mikrostavů je úměrná počtu těchto mikrostavů Pokud karty dobře zamícháme, ztratíme úplnou informaci o jejich původním uspořádání, může nastat jakýkoliv z 3! možných mikrostavů Jsme sice schopni si opět zjistit úplnou informaci o tom, jak je balíček seřazen, avšak nemůžeme čekat, že by se v dohledné době dalším mícháním vrátil do stavu původního Entropie systému je matematicky definována jako minimální množství informace (v urči tých jednotkách) nutná k popisu systému Jako taková je aditivní, stejně jako energie systému Máme-li systémy A a B, tak celkovou minimální informaci S AB nutnou pro popis celého sys tému AB složeného z A a B nesoucích informaci S A a S B požadujeme, aby byla S AB S A + S B, tedy aby celková informace obou systémů byla součtem množství informace o jeho dílčích částí Je zřejmé, že existuje nějaký kvalitativní vztah mezi entropií systému, čili množstvím infor mace, které k jeho popisu potřebujeme, neboli množstvím informace, které systém nese, a mezi počtem mikrostavů W, v jakých se může systém s danou entropií nacházet My bychom chtěli tuto závislost S S(W ) nalézt Řekli jsme si, že pokud informaci o systému ztrácíme, roste tím počet možných mikrostavů W Mohli bychom proto předpokládat, že S(W ) je klesající, a tedy prostá funkce ve W, takže existuje funkce inverzní S 1 (W ) W (S) K odvození nám pomůže opět vlastnost počtu mikrostavů pro systém složený ze dvou podsystémů A a B Dejme tomu, že jedna část systému A má entropii S A a odpovídající počet mikrostavů W (S A), to samé druhá část B Počet mikrostavů celého systému však bude roven násobku počtu mikrostavů jedné krát počet mikrostavů druhé části W (S A + S B) W (S A)W (S B), neb se mohou realizovat každý s každým Už jsme si ukázali, že jedinou možnou funkcí splňující tuto rovnici je W e cs Zlogaritmováním a přeznačením konstanty dostáváme vztah S k ln W, který má nebohý Boltzmann vytesán na náhrobku Volbou konstanty k je zřejmě určena jednotka informace Informace bývá často výhodné přenášet pomocí binárního kódu jedniček a nul Například váš walkman je buď on, nebo off Jestliže zpráva obsahuje n takovýchto symbolů kódu, tak potom existuje celkem N n mož ností, jak může kód vypadat Pro tyto účely je vhodnější používat místo přirozeného dvojkový logaritmus Podle vzorce pro entropii platí S k log N k log n kn log Zvolíme-li si k tak, aby platilo k log 1, 1

13 definujeme tím jednotku informace bit Představme si, že bychom z našeho balíčku karet chtěli jednu jednoznačně určit V tomto případě je S log 3 5 Potřebujeme tedy k jednoznačnému určení karty minimální informaci pět bitů, pět jedniček či nul Způsob, jak to zrealizovat, je představit si, že jsme balíček rozdělili na dvě půlky a první bit nám říká, zda se karta nachází v první, nebo druhé půlce Rozdělíme-li onu kopku šestnácti karet zase na dvě poloviny po osmi, potom po čtyřech a po dvou, určí nám pak ten poslední bit jednoznačně kartu z hromádky třiceti dvou karet Jako cvičení si zkuste úvahu zobecnit i pro více než jednu kartu Entropie je zároveň spodní hranicí například komprimace dat ve vašem počítači K určení fyzikálního významu konstanty k je třeba podrobit nějakou stavovou změnu z ter modynamiky, pro kterou termodynamickou entropii známe, analýze z hlediska pravděpodob nosti Vezměme například anzi ideálního plynu z nádoby o objemu V 1, v níž je jeho tlak p 1, do evakuované nádoby o objemu V Konečný tlak bude p a konečný objem V 1 + V Pro tuto stavovou změnu platí S S S 1 nr ln V1 + V V 1 «N V1 + V k B ln V 1 Za situace, kdy jsou obě nádoby spolu spojeny, je pravděpodobnost, že určitou zvolenou molekulu zastihneme v první nádobě, dána poměrem objemu V 1 k celkovému objemu V 1 + V Jelikož pravděpodobnost nezávislých jevů je rovna součinu pravděpodobností těchto jevů, bude pravděpodobnost p 1, že všech N molekul je v první nádobě, tedy pravděpodobnost původního stavu soustavy «N V1 p 1 V 1 + V Dále pravděpodobnost p konečného stavu, že každá molekula je s jistotou v jedné, nebo druhé nádobě, je samozřejmě p 1 Protože poměr pravděpodobností je roven poměru počtu mikrostavů, můžeme psát, že «N p W V1 p 1 W 1 V 1 + V Podle námi odvozeného vzorce pro entropii S k ln W však platí «N S S S 1 k ln W V1 k W 1 V 1 + V Porovnáním vztahu pro změnu entropie anze ideálního plynu vidíme, že konstanta k má nečekaně fyzikální význam Boltzmannovy konstanty Fyzikální korespondenční seminář je organizován studenty UK MFF Je zastřešen Oddělením pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a podporován Ústavem teoretické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků 13

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Zápočtová písemka Řešení

Zápočtová písemka Řešení Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník

PLYNNÉ LÁTKY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník PLYNNÉ LÁTKY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Termika - 2. ročník Ideální plyn Po molekulách ideálního plynu požadujeme: 1.Rozměry molekul ideálního plynu jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Matematika pro ekonomy

Matematika pro ekonomy Matematika pro ekonomy Karel Hrach Matematika pro ekonomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2007 Matematika pro ekonomy Karel hrach Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2007. Vydání první.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Zadání I. série. Obr. 1

Zadání I. série. Obr. 1 Zadání I. série Termín odeslání: 21. listopadu 2002 Milí přátelé! Vítáme vás v XVI. ročníku Fyzikálního korespondenčního semináře Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. S první sérií nám prosím

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více