2 f(v x) = exp. b) Přechodem k trojrozměrnému získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení. m(v 2 ) F (v) = 4π

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2 f(v x) = exp. b) Přechodem k trojrozměrnému získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení. m(v 2 ) F (v) = 4π"

Transkript

1 Několik poznatků ze statistické fyziky Úvodem V třetí kapitole jsme se zaobírali pravděpodobnostním počtem, jenž má ve fyzice nepo stradatelné uplatnění a kterému se nyní oddáme Jako rozcvičku matematicky odvodíme Ma xwellovo-boltzmannovo rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu ze symetrie a předpokladu vzájemné nezávislosti složek rychlostí molekul Odvodíme si opět Boltzmannův vzorec vyu žitím skutečnosti, že energie jednotlivých systémů, se sčítá, kdežto počty mikrostavů těchto systémů se mezi sebou násobí Z něj opět vyplývá Maxwell-Boltzmannovo rozdělení Povíme si něco o entropii, kterou jsme ve třetím díle nechali bojovat proti energii, a získali jsme tak Bol tzmannův vzorec jako výsledek energicko-entropického zápasu Sdělíme si ještě některá tvrzení statistické fyziky, pomocí nichž sestavíme rovnice popisující velice zajímavé jevy a objekty, a tím si zformulujeme úlohy pro numerická řešení tohoto dílu seriálu Maxwell s Boltzmannem Věta Budiž v (v x, v y, v z) vektor rychlosti náhodně vybrané molekuly ideálního plynu Nechť složky v x, v y, v z jsou náhodné veličiny vzájemně nezávislé A nechť pravděpodobnost, že náhodně vybraná molekula má velikost rychlosti v p (v x + v y + v z) v nějakém intervalu, nezávisí na směru rychlosti a) Potom je jednorozměrné rozdělení rychlostí molekul dané Gaussovým rozdělením r «m mv f(v x) πk x BT b) Přechodem k trojrozměrnému získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení «3/ «m m(v ) F (v) 4π v πk BT Důkaz f(v x) je tedy definována jako hustota pravděpodobnosti složky v x rychlosti v Stejně tak f(v y) a f(v z) Budiž F (v x, v y, v z) hustota pravděpodobnosti vektoru v, neboli F (v x, v y, v z) dv x dv y dv z je pravděpodobnost, že náhodně zvolená molekula bude mít rych lost v v intervalu [(v x, v x + dv x), (v y, v y + dv y), (v z, v z + dv z)] Jelikož F (v x, v y, v z) nezávisí na směru rychlosti, ale pouze na velikosti rychlosti v, musí ji jít přepsat jako F (v x, v y, v z) F (v) Z předpokladu vzájemné nezávislosti pravděpodobností složek rychlosti navíc platí, že Zlogaritmujeme-li tuto rovnici, získáme výraz F (v) f(v x)f(v y)f(v z) ln F (v) ln f(v x) + ln f(v y) + ln f(v z) Rovnici zderivujme parciálně podle v x Napřed budeme postupně derivovat levý člen a nakonec zapíšeme derivaci členu pravého První rovnítko je rozepsání jako derivace složené funkce To druhé platí, neboť v/ v x v x/v Máme ln F (v) v x d ln F (v) dv v vx v x v d ln F (v) dv d ln F (vx) dv x 1

2 a rovnici převedeme na tvar d ln F (v) v dv Úplně stejnou rovnici získáme i pro zbylé dvě složky d ln F (v) v dv d ln F (vx) v x dv x d ln F (vx) v x dv x d ln F (vy) v y dv y d ln F (vz) v z dv z Jelikož molekula, která má rychlost o velikosti v, může mít nejrůznější složky rychlosti v x, v y a v z, lze rovnici obecně splnit tehdy a jen tehdy, jestliže se d ln F (v x) v x dv x Označíme-li tuto konstantu c, získáme výraz jehož integrací dostaneme const d ln F (v x) cv x dv x, ln F (v x) cv x + ln k, kde ln k je integrační konstanta Odlogaritmováním získáváme F (v x) ke cv x Konstantu k můžeme určit z normovací podmínky F (v x) dv x 1 k e cv x dvx Nyní je třeba vypočítat integrál e cx dx Je to známý integrál, jenž se rovná p π/c Existuje moc pěkný trik, kterým na něj lze vyzrát Jak jsme si řekli, určitý integrál je číslo, toto číslo si označíme I e cx dx e cy dy, kde jsme ve třetím členu pouze přeznačili x za y, čímž se však hodnota integrálu I nijak nemění I e cx dx e cy dy Proměnné x a y jsou nyní pro nás dva nezávislé parametry, takže můžeme integrály roznáso bit I e cx e cy dx dy e c(x +y ) dx dy

3 y r dϕ dr y r cos ϕ r ϕ x r cos ϕ Obr 1 Přechod k polárním souřadnicím Nyní přejdeme k polárním souřadnicím V nich odpovídá x + y r a infinitezimálnímu intervalu, čtverečku dx dy r dϕ dr, čímž integrál přechází na tvar 1 I Z π 0 0 e cr r dr dϕ Integrand na ϕ vůbec nezávisí, takže přes něj jednoduše přeintegrujeme I π 0 e cr r dr a zbylý integrál už každý vyřeší substitucí r z Výsledek je I π c Pokračujme dále v důkazu Konstanta k se tedy musí rovnat k p c/π, aby byla splněna podmínka normování Parametr c bude mít pravděpodobně fyzikální význam Víme, že teplota je úměrná střední kinetické energii E k stř molekul Konstanta úměrnosti k B byla nazvána po Boltzmannovi Aby to ale nebylo tak jednoduché, neplatí přímo T k BE stř, ale E k stř 1 NkBT, kde N je počet stupňů volnosti Pro jednorozměrný pohyb máme jediný stupeň volnosti N 1, proto Estř k ` 1 mv x 1 kbt, stř kde m je molekulová hmotnost Ve třetím díle jsme si ukázali, jak počítat střední hodnoty funkcí, například kvadratické odchylky Střední hodnotu jsme si definovali jako sumu či integrál součinu pravděpodobnost (či hustota pravděpodobnosti) krát hodnota Takže můžeme postupovat dál a napsat si integrál «Z 1 r 1 c mv x mv x π e cv x dvx 1 kbt stř 1) Pro matematicky rigorózní jedince poznamenejme, že nás k přechodu k polárním souřadnicím opravňuje Fubiniho věta a r je hodnota Jacobiho determinantu x 3

4 Odsud vyplývá, že r Z k BT π m c vxe cv x dvx Tento krásný integrál vypočteme ještě hezčím trikem v xe cv x dvx d dc e cvx dvx d dc e cvx dvx d dc r π c 1 π1/ c 3/, odkud dostaneme c m Pro matematické pedanty poznamenejme, že derivaci a integrál jsme mohli prohodit, neb se jednalo o spojitou funkci na měřitelném intervalu, pro kterou existuje integrovatelná majo ranta sice lokálně, leč pro každé v x Zapišme si tedy náš kýžený výsledek a porovnejme jej s Gaussovou funkcí, jak jsme o ní hovořili ve třetím díle r f(v x) Tím je důkaz prvního tvrzení proveden z m πk BT «mv x r dϑ dr r sin ϑ dϕ ϑ r r cos ϑ ϕ x y r sin ϑ Obr dx dy dz r sin ϑ dϕ dϑ dr Podívejme se, jak to bude vypadat ve třech rozměrech Jak jsme si řekli úplně na začátku, tak funkce 4 «3/ m m(v x + vy + v «z) F (v x, v y, v z) f(v x)f(v y)f(v z) πk BT

5 musí jít napsat jako funkce pouze od velikosti rychlosti, tedy F (v ) F (v) Neodolatelně se nabízí využít sférické symetrie úlohy «3/ m m(v x + vy + v «z) dv x dv y dv z πk BT je pravděpodobnost, že vektor rychlosti v (v x, v y, v z) se bude nacházet v intervalu [(v x, v x + dx), (v y, v y + dy), (v z, v z + dz)] My však chceme, aby velikost rychlosti v náležela do intervalu (v, v + dv) Když si to nakreslíme, tak si všimneme, že vektor v se může nacházet v celém mezikoulí soustředných sfér umístěných do počátku s poloměrem v a v + dv S využitím vztahů v v x + v y + v z a dv x dv y dv z v sin ϑ dϕ dϑ dr přepíšeme výraz do tvaru m πk BT «3/ mv «v sin ϑ dϕ dϑ dv, kde v sin ϑ dϕ dϑ dv přeintegruje-li se přes ϕ a ϑ, čili integrál π 0 π 0 v sin ϑ dv dϕ dϑ 4πv dv, získáme právě ono mezikoulí, což je míra vektorů ležících právě v intervalu (v, v + dv) Všimněme si, že 4πv je povrch koule o poloměru v, což přesně takhle vyjít musí Výsledek tedy zní F (v) dv Z π Z π 0 4π 0 m πk BT Takže hustota pravděpodobnosti Tím je důkaz proveden «3/ m mv πk BT «3/ mv «v dv «3/ «m m(v ) F (v) 4π v πk BT «v sin ϑ dv dϕ dϑ Poznámky Takto Maxwell odvodil rozdělení v letech , kdy působil jako profesor na Kings College v Londýně a kdy zároveň publikoval svou práci o teorii elektromagnetismu Předpokládal nezávislost složek rychlosti stejně jako my Tento předpoklad lze odvodit z kvan tové mechaniky Schrödingerovu rovnici pro vlnovou funkci částice v potenciálové jámě lze totiž separovat užitím substituce ψ(x, y, z) X(x)Y (y)z(z) Odsud lze vyvodit závěr, že pravděpodobnosti pro jednotlivé složky rychlosti jsou opravdu vzájemně nezávislé Tento argument však Maxwell ani Boltzmann, který dokázal odvozený rozdělovací zákon klasicky roku 1896, neměli 5

6 v z v + dv v v x v y Obr 3 Rychlost na sférách Už jen Boltzmann bez Maxwella Boltzmann se snažil odvodit nějaký obecný rozdělovací zákon statistické fyziky, což se mu také podařilo Uvažujme dva libovolné temodynamické systémy A a B ve vzájemné termo dynamické rovnováze Každý z nich se může nacházet v různých takzvaných mikrostavech úplná mikroskopická konfigurace systému Mikrostavem je například poloha a hybnost všech částic ideálního plynu Můžete si však také například představit krystal s kmity krystalové mřížky Půjde nám tedy o odvození velice abstraktního tvrzení pro obecné termodynamické systémy Ty mohou nabývat buď diskrétních hodnot energie a diskrétního počtu mikrostavů, nebo mohou nabývat kontinua mikrostavů a energie Jelikož se nám bude lépe hovořit a dis kutovat o diskrétním případě, budeme používat sumace a mít počty mikrostavů Diskuse však platí i pro spojité případy, jen je potřeba sumaci nahradit integrací a počty mikrostavů mírou mikrostavů Abychom měli z čeho vyjít, tak si něco rozumného postulujme Základním postulátem sta tistické fyziky je předpoklad, že všechny možné mikrostavy systému, ve kterých se může systém nacházet (jsou přípustné například z hlediska zákona zachování energie), jsou stejně pravdě podobné Čili nebudeme žádný přípustný mikrostav a priori upřednostňovat před kterýmkoli jiným Uvažujeme obecný termodynamický systém, který rozdělíme na dvě stejné části A a B Nechť W (E) je počet mikrostavů systému, jenž je pouze funkcí E Energie je aditivní veliči nou, neboli celková energie E je součtem energií obou částí systému A a B Má-li každá část energii E A a E B (přičemž samozřejmě E A E B ± pro stejné termodynamické systémy v rovnováze), pak E E A + E B 6

7 Počet mikrostavů, ve kterých se může nacházet část A, má-li energii E A, je W (E A), stejně tak pro B Ovšem počet mikrostavů obou částí dohromady, tedy celého systému, je násobkem počtu mikrostavů části první a druhé, neboť se může realizovat každý s každým W (E A + E B) W (E A)W (E B) Budeme se tvářit, že nevíme, že jediná funkce, která převádí součet na součin (g(a + b) g(a)g(b)), je onenciální funkce, a rovnici zlogaritmujeme ln(w (E A + E B)) ln W (E A) + ln W (E B) Z této rovnice vyplývá, že ln(w (E)) je přímo úměrný E, neboť přímá úměra znamená, že g(a + b) g(a) + g(b) pro jakékoli a a b, neboli pro jakékoli λ Čili g(λa) λg(a) ln(w (E)) βe, kde β je konstantou úměrnosti Odlogaritmováním získáváme W (E) e βe Počet mikrostavů W (E) je samozřejmě úměrný pravděpodobnosti p(e), že se daný sys tém bude nacházet v mikrostavu s energií E Normujeme-li tuto pravděpodobnost, získáváme Boltzmannův rozdělovací zákon p(e) 1 Z e βe, kde Z P i e βei se nazývá partiční suma Takto jsme elegantně matematicky odvodili Boltzmannův vzorec Zbývá určit fyzikální význam parametru β Mějme opět dva termodynamické systémy A a B Pravděpodobnost, že bude první ve stavu s energií E A a zároveň druhý ve stavu s energií E B, je rovna součinu pravděpodobností p(e A)p(E B) e βaea e βbeb Z AZ B Jsou-li však oba systémy v termodynamické rovnováze, je zároveň až na normovací konstantu p(e A)p(E B) p(e A + E B), neboli e βaea e βbeb e βab(ea+eb) Tato rovnice může být obecně splněna tehdy a jen tehdy, pokud β AB β A β B 7

8 Termodynamickým parametrem systémů, který je pro systémy ve vzájemné termodyna mické rovnováze stejný, je termodynamická teplota T Nevíme ještě, jestli je β přímo ona, například z rozměrových důvodů nám musí vyskočit ještě nějaká konstanta, pravděpodobně Boltzmannova Usuzujeme však, že β je funkcí termodynamické teploty T β β(t ) Termodynamická teplota se vlastně může Boltzmannovým vztahem definovat jako β 1 k BT, jak postupoval Matouš Ringel v seriálu o statistické fyzice dva roky zpět My už však defino vanou termodynamickou teplotu máme, řekli jsme si, že termodynamická teplota je úměrná střední kinetické energii Estř k a nepřímo úměrná počtu stupňů volnosti N částic systému, konstantu úměrnosti jsme nazvali k B/ Takže je potřeba ukázat, že takto definovaná termo dynamická teplota je právě onou veličinou vystupující v Boltzmannově vzorci jako p(e) 1 Z E «k BT Vypočítejme tedy střední hodnotu energie Boltzmannova rozdělení E stř X i «1 E i Z Ei k BT Tuto hodnotu nyní porovnejme s nějakou střední hodnotou energie, kterou již známe, kterou jsme podle původní definice teploty vypočetli Jako nejvhodnější se nabízí vzít námi spočítanou kinetickou energii ideálního plynu Teď vezmeme pro větší pohodlí ideální plyn s částicemi o jednom stupni volnosti Úplně analogicky můžeme postupovat pro trojrozměrný případ, který jsme vypočítali taktéž Pro jednorozměrný ideální plyn musí tedy podle Boltzmannova vzorce platit «1 mv x 1 stř kbt 1 kde partiční suma Z 1 mv x Z «mv x dv x «mv x dv x, Vidíme, že jsme sestavili typově přesně ty samé integrály, které jsme počítali v předešlé podkapitole, takže se nám to dvojnásobně vyplatilo, neb si díky nim napočítáme, že uvedená rovnost opravdu platí Nejen, že jsme odvodili, ale také jsme si ozřejmili význam veličin v Bol tzmannově vzorci p(e) 1 Z E «k BT Také vidíme, že dosadíme-li za E mv x/, získáme Gaussovo rozdělení, které když roze hrajeme ve třech směrech, tak získáme Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení rychlostí Je třeba podotknout, že toto předvedené odvození má své výhody, ale asi také i mezery a na Wikipedii je to udělané jinak, pořádněji 8

9 Podívejme se na jiné, elegantnější odvození tohoto vzorce Je krásné, počítá se v něm s mnohorozměrnými koulemi a magické Eulerovo číslo ve faktoru e E/T nám tentokráte vyplave jako limita 1 + a N N e a pro N, kterou se pokusíme ještě osvětlit Než začneme, povězme si, že takto postupoval i Feynman ve svých přednáškách ze statistické fyziky Co je to číslo e? Eulerovo číslo e definujeme jako limitu e def lim «N N N Vy však znáte éčko spíše jako základ přirozeného logaritmu a jeho inverzní funkce e x Ukažme si tedy, že to spolu souvisí Rozepišme si podle binomické věty výraz N «N NX k0 NX k0 NX k0 «N 1 k N X N k k0 Taylorův rozvoj funkce e x pro x 1 přitom je N! (N k)! k! 1 N k 1 N(N 1)(N ) (N k + 1) k! N k «1 «1 k + 1 «(1) k! N N N e 1 e X k0 1 k! () Řekněme si dva různé důvody ekvivalence obou těchto vyjádření Eulerova čísla První mate matický, druhý fyzikální Co je to? Nekonečno se matematicky definuje mimo jiné tak, že pokud jím dělíme libovolně velké číslo, výsledek je vždy nula, tj a 0 a R Vidíme, že pro libovolné reálné číslo je podíl po dělení nekonečnem vždy nula Potom (1) skutečně přejde v () Nyní se zeptejme jinak co je pro fyzika? Odpověď zní, že je to strašně moc, například počet molekul hrnečku čaje, řádově 10, je pro fyzika nekonečno opravdu luxusní Je-li N v horním výrazu takto veliké, tak potom vidíme, že pro prvních k N členů přechází první výraz opět v druhý Jakmile se začne k alespoň trochu přibližovat k N, tak sice začne vznikat problém, avšak ten můžeme v klidu zanedbat, neboť k! je v tomto případě již tak veliké, že tento efekt nemá žádný vliv Zbývá ještě nějak odsvětit, proč by mělo platit právě e a 1 + a N N pro N? 9

10 Uvědomíme si, že pro N platí z definice N «N e Umocněme obě strany rovnice na a-tou Pravá strana je triviálně e a Pro upravení druhé strany vezměme výraz (1 + 1/N) N a umocněme jej také na a-tou «an 1 + a an N an Zasubstitujeme-li si y an, přejde výraz do tvaru 1 + a y «y Pro nenulové a jde Na, jestliže N, a tedy 1 + a y «y e a pro y Nyní se můžeme dát do posledního odvození Boltzmannova vztahu v tomto díle seriálu Boltzmann se Zahradníkem Vyjdeme z našeho postulátu, že vše co je možné, je stejně pravděpodobné Vezměme si velikou lázeň ideálního plynu a do tohoto vesmíru N molekul ideálního plynu umístíme ně jaký malý termodynamický systém Nechť N je kruciálně velké číslo Celková energie je E Má-li malý systém nulovou energii 3, mohou molekuly ideálního plynu nabývat všechny možné rychlosti tak, aby platilo NX vi E, i1 kde v i jsou rychlosti molekul ideálního plynu a P N i1 v i je jejich kinetická energie, protože jsme se vykašlali na veškeré fyzikální i jiné konstanty, abychom se zaobírali již jen autenticky ma tematickou krásou následujících myšlenek Tato rovnice představuje rovnici koule o poloměru v N-dimenzionálním prostoru Nejde o nic nepřirozeného, koule v dvojrozměrném pro storu je kolečko a v jednorozměrném prostoru je to úsečka a ve více rozměrném prostoru je to zase něco, co se sice špatně kreslí, ale máme to pevně uchopeno rovnicí Koule v N-rozměrném prostoru je zkrátka množina všech bodů v N-rozměrném prostoru, jejichž souřadnice splňují výše uvedenou nerovnost Umíme odvodit, kolik je povrch takové koule, objem atd Nemusíme to vědět přesně, je však přirozené, že například objem N-dimenzionální koule o poloměru r se bude rovnat V kr N, E 1/ kde k je parametr závislý na dimenzi N Na Wikipedii můžeme najít, kolik to přesně je, to nyní nepotřebujeme Je však je dobré z jedno, dvoj a trojdimenzionálního případu odkoukat, ) Postup autorovi předvedl doc Zahradník 3) Energie je veličina jednoznačně určená až na libovolnou konstantu, neboť fyzikálně nikdy nemůžeme měřit celkovou energii, ale vždy jen změny energie 10

11 že k se se zvyšující se dimenzí zvětšuje Což má za následek to, že pokud je dimenze prostoru obrovská, tak i malinký přírůstek poloměru koule způsobí, že se její objem obrovsky zvětší Jak se říká, že nejvíce vitamínů je v jablku pod slupkou, tak to platí tím spíše, čím více je jablko dimenzionální, protože se potom pod šlupkou nachází skoro úplně celé Předpokládejme, že je malý systém s vesmírem kolem něj v rovnováze a může si s ním vyměňovat energii, která fluktuuje v malém intervalu ± Má-li malý systém energii E, tak velký systém má energii E E a prostor všech konfigurací rychlostí je koule o poloměru (E E) 1/ NX vi E E i1 Nyní se můžeme zeptat, kolikrát je větší konfigurační prostor s energií E než s energií E E Odpověď zní, že je to poměr objemů jednotlivých koulí V E E V E E E E Střední energii molekul položíme přímo «N/ 1 E «N/ E E N 1 T, a dosadíme-li do předešlého výrazu, získáme 1 E «N/ e E/T NT Uvažujeme-li takzvanou termodynamickou limitu, totiž N Příroda versus matematické a fyzikální modely Jako fyzici či matematici provádíme nejrůznější myšlenkové konstrukce a matematické triky a snažíme se tak studovat svět kolem nás Při studiu nejrůznějších teorií žasneme, či nemů žeme spát, jelikož netušíme, proč by se svět měl chovat podle toho či onoho matematického vzorce Nestudujeme přírodu přímo, ale pomocí modelů Do svého modelu si zaneseme ty jevy, které v něm chceme vystihnout a naopak zanedbáme vlivy, jež nás nezajímají Takto přírodu uchopíme do matematického modelu, jež studujeme za pomoci nejrůznějších matematických triků, kreativních myšlenek a fyzikální intuice a odvahy Výsledky a závěry, ke kterým jsme dospěli, se potom snažíme zpátky interpretovat jako chování světa kolem nás Největším poži tek pro mne jako studenta vědy je potom ten, když krásu matematických triků a nádherných matematických myšlenek dokážu uvidět i intuitivně, zkušenostně podle toho, jak znám svět a přírodu kolem sebe Takové pocity ve mne vyvolává slůvko Entropie Představme si balíček 3 karet Máme jej přesně seřazený podle barev a hodnot Nahoře je srdcová sedma a dole křížové eso Existuje tedy jediné takovéto uspořádání karet Dejme tomu, že vezmeme jednu jedinou kartu (nezáleží kterou) a umístíme ji někam v balíčku (nezáleží kam) Najednou však získáme 3 možností, jak takto balíček uspořádat Fyzikálně bychom mohli říct, že existuje 3 rozlišitelných mikrostavů balíčku, v nichž může být jedna karta jinde, než by měla být Všimněme si, že každý z těchto stavů je taktéž přesně definován a určen 11

12 Vzdáme-li se informace o tom, která karta byla kam přesunuta, zvýšíme tím pravděpodobnost, že balíček po zamíchání nalezneme ve stavu s daným (ne)uspořádáním, neboť pravděpodobnost nacházení se v dané množině mikrostavů je úměrná počtu těchto mikrostavů Pokud karty dobře zamícháme, ztratíme úplnou informaci o jejich původním uspořádání, může nastat jakýkoliv z 3! možných mikrostavů Jsme sice schopni si opět zjistit úplnou informaci o tom, jak je balíček seřazen, avšak nemůžeme čekat, že by se v dohledné době dalším mícháním vrátil do stavu původního Entropie systému je matematicky definována jako minimální množství informace (v urči tých jednotkách) nutná k popisu systému Jako taková je aditivní, stejně jako energie systému Máme-li systémy A a B, tak celkovou minimální informaci S AB nutnou pro popis celého sys tému AB složeného z A a B nesoucích informaci S A a S B požadujeme, aby byla S AB S A + S B, tedy aby celková informace obou systémů byla součtem množství informace o jeho dílčích částí Je zřejmé, že existuje nějaký kvalitativní vztah mezi entropií systému, čili množstvím infor mace, které k jeho popisu potřebujeme, neboli množstvím informace, které systém nese, a mezi počtem mikrostavů W, v jakých se může systém s danou entropií nacházet My bychom chtěli tuto závislost S S(W ) nalézt Řekli jsme si, že pokud informaci o systému ztrácíme, roste tím počet možných mikrostavů W Mohli bychom proto předpokládat, že S(W ) je klesající, a tedy prostá funkce ve W, takže existuje funkce inverzní S 1 (W ) W (S) K odvození nám pomůže opět vlastnost počtu mikrostavů pro systém složený ze dvou podsystémů A a B Dejme tomu, že jedna část systému A má entropii S A a odpovídající počet mikrostavů W (S A), to samé druhá část B Počet mikrostavů celého systému však bude roven násobku počtu mikrostavů jedné krát počet mikrostavů druhé části W (S A + S B) W (S A)W (S B), neb se mohou realizovat každý s každým Už jsme si ukázali, že jedinou možnou funkcí splňující tuto rovnici je W e cs Zlogaritmováním a přeznačením konstanty dostáváme vztah S k ln W, který má nebohý Boltzmann vytesán na náhrobku Volbou konstanty k je zřejmě určena jednotka informace Informace bývá často výhodné přenášet pomocí binárního kódu jedniček a nul Například váš walkman je buď on, nebo off Jestliže zpráva obsahuje n takovýchto symbolů kódu, tak potom existuje celkem N n mož ností, jak může kód vypadat Pro tyto účely je vhodnější používat místo přirozeného dvojkový logaritmus Podle vzorce pro entropii platí S k log N k log n kn log Zvolíme-li si k tak, aby platilo k log 1, 1

13 definujeme tím jednotku informace bit Představme si, že bychom z našeho balíčku karet chtěli jednu jednoznačně určit V tomto případě je S log 3 5 Potřebujeme tedy k jednoznačnému určení karty minimální informaci pět bitů, pět jedniček či nul Způsob, jak to zrealizovat, je představit si, že jsme balíček rozdělili na dvě půlky a první bit nám říká, zda se karta nachází v první, nebo druhé půlce Rozdělíme-li onu kopku šestnácti karet zase na dvě poloviny po osmi, potom po čtyřech a po dvou, určí nám pak ten poslední bit jednoznačně kartu z hromádky třiceti dvou karet Jako cvičení si zkuste úvahu zobecnit i pro více než jednu kartu Entropie je zároveň spodní hranicí například komprimace dat ve vašem počítači K určení fyzikálního významu konstanty k je třeba podrobit nějakou stavovou změnu z ter modynamiky, pro kterou termodynamickou entropii známe, analýze z hlediska pravděpodob nosti Vezměme například anzi ideálního plynu z nádoby o objemu V 1, v níž je jeho tlak p 1, do evakuované nádoby o objemu V Konečný tlak bude p a konečný objem V 1 + V Pro tuto stavovou změnu platí S S S 1 nr ln V1 + V V 1 «N V1 + V k B ln V 1 Za situace, kdy jsou obě nádoby spolu spojeny, je pravděpodobnost, že určitou zvolenou molekulu zastihneme v první nádobě, dána poměrem objemu V 1 k celkovému objemu V 1 + V Jelikož pravděpodobnost nezávislých jevů je rovna součinu pravděpodobností těchto jevů, bude pravděpodobnost p 1, že všech N molekul je v první nádobě, tedy pravděpodobnost původního stavu soustavy «N V1 p 1 V 1 + V Dále pravděpodobnost p konečného stavu, že každá molekula je s jistotou v jedné, nebo druhé nádobě, je samozřejmě p 1 Protože poměr pravděpodobností je roven poměru počtu mikrostavů, můžeme psát, že «N p W V1 p 1 W 1 V 1 + V Podle námi odvozeného vzorce pro entropii S k ln W však platí «N S S S 1 k ln W V1 k W 1 V 1 + V Porovnáním vztahu pro změnu entropie anze ideálního plynu vidíme, že konstanta k má nečekaně fyzikální význam Boltzmannovy konstanty Fyzikální korespondenční seminář je organizován studenty UK MFF Je zastřešen Oddělením pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a podporován Ústavem teoretické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků 13

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1 0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Jednoduchá exponenciální rovnice

Jednoduchá exponenciální rovnice Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.

6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti. 6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015

Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015 Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:

V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více