Vizualizace povrchu proteinu pomocí metody redukovaných povrchů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vizualizace povrchu proteinu pomocí metody redukovaných povrchů"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Vizualizace povrchu proteinu pomocí metody redukovaných povrchů DIPLOMOVÁ PRÁCE Zdeněk Matěj Brno, jaro 2008

2 Prohlášení Prohlašuji, že tato diplomová práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj. Vedoucí práce: Mgr. Barbora Kozlíková 11

3 Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval všem lidem, kteří mi pomáhali odbornou radou nebo s realizací této práce. Děkuji mimo jiné Mgr. Barboře Kozlíkové za cenné rady a připomínky při vzniku této práce. m

4 Shrnutí Tato diplomová práce se věnuje problematice výpočtu povrchu molekul proteinu. První část diplomové práce se zabývá problematikou redukovaných povrchů. Naleznete zde vysvětlení všech problémových částí tohoto algoritmu. Druhá část je věnována popisu algoritmu a-shape a dalších algoritmů, které jsou potřebné k výpočtu a-shape. Další úsek práce je zaměřen na implementaci algoritmu reduced surface a vysvětlení použitých postupů při implementaci. Poslední část práce je věnována srovnání metod a-shape a redukovaných povrchů. IV

5 Klíčová slova redukovaný povrch (reduced surface), a-tvar (a-shape), SAS, SES

6 Obsah 1 Úvod Cíle diplomové práce Struktura diplomové práce 1 2 Základní pojmy Redukovaný povrch SAS SES Alpha shapes PDB Struktura ATOM 4 3 Algoritmus redukovaných povrchu Definice pojmů První algoritmus - Výpočet redukovaného povrchu 3.3 Druhý algoritmus - Analytický výpočet SES Třetí algoritmus - Zpracování jedinečností První část Druhá část Třetí část Cťvrtý algoritmus - Vyplnění povrchu trojúhelníky 12 4 a-tvar Základní pojmy Simplex Triangulace Delaunayova triangulace a-tvar Hodnota parametru a Algoritmus konstrukce a-tvaru pro pevnou hodnotu a Edelsbrunnerův algoritmus 18 5 Implementace algoritmu redukovaných povrchů Implementace Vstup Výstup Algoritmus Zpracování hran Pevná pozice Kolize Další zpracování Datové typy Atom RS_vertex 23 vi

7 5.4.3 RS_edge RS_face Používání programu 24 6 Srovnání a-povrchů a redukovaných povrchů 26 7 Závěr 29 Literatura 30 A Ukázky spočítaného povrchu molekul 31 B Seznam funkcí použitých v programu 35 C Obsah přiloženého CD 37 Vil

8 Kapitola 1 Úvod Modelování povrchu molekul je dnes velice důležité pro prozkoumání jejich vlastností a reakcí s jinými látkami. Například pro vývoj nových léků. Proto je nutné počítat a zobrazovat povrch molekul dostatečně rychle aby, simulace mohly probíhat i s velkými počty molekul či molekulami, které se skládají z mnoha atomů. 1.1 Cíle diplomové práce Jako cíle této práce jsou: seznámit se s problematikou určování povrchů molekul proteinů pomocí metody redukovaných povrchů seznámit se s metodou a-povrchů (a-shapes) provést implementaci algoritmu pro výpočet redukovaných povrchů porovnat metody a-povrchů (a-shapes) a redukovaných povrchů 1.2 Struktura diplomové práce Diplomová práce je rozdělena na několik částí. Nejdříve vysvětlím základní pojmy a uvedu čtenáře do problematiky povrchu proteinu. Poté popíšu podrobně metodu pro výpočet redukovaných povrchů a metod a-povrchů. V implementační části se proto budu zabývat algoritmem pro rychlý výpočet povrchu molekul proteinů metodou redukovaných povrchů. Rozepíši postupně použitý algoritmus a vysvětlím mé řešení. Budu počítat analytickou reprezentaci povrchu nazvanou solventexcluded surface. Mnou zpracovanou metodu porovnám s metodou a-shape. Na konci mojí práce naleznete zhodnocení výsledků a příklady spočítaných povrchů metodou redukovaných povrchů. Implementovaný algoritmus v jazyce C++. V příloze naleznete několik vypočtených povrchů molekul a zobrazených jako trojúhelníky mezi středy vrcholů atomů. Na přiloženém CD naleznete několik příkladů a obrázků. Toto CD obsahuje také tuto práci v elektronické podobě a zdrojové kódy mé implementace výpočtu redukovaného povrchu. 1

9 Kapitola 2 Základní pojmy V následující kapitole budou vysvětleny základní pojmy používané v této práci. 2.1 Redukovaný povrch Jde o povrch, který se počítá jen na relevantních místech. Do výpočtu nezahrnujeme ty atomy, které se vyskytují uvnitř molekuly a tedy nemohou být součástí jejího povrchu ani jej nijak ovlivnit. Vypočtený povrch obsahuje informace k vytvoření SAS i SES povrchu (vysvětleno dále). Obrázek 2.1: Ukázka redukovaného povrchu. (PyMOL viewer) 2

10 2.2. ALPHA SHAPES SAS SAS je zkratka anglických slov solvent-accesible surface. Jde o povrch, který byl definovaný pány Lee a Richardsem [1]. Při výpočtu tohoto povrchu se používá koule (sonda) s poloměrem r. Povrch tvoří střed sondy (probe), která se valí po povrchu molekuly. Na obrázku 3.1 je vidět povrch SAS SES SES je zkratka anglických slov solvent-extrude surface. Tento povrch definovali Geer a Bush [7]. Connolly [ ] pak navrhl rovnice k výpočtu tohoto povrchu. Tento povrch je tvořen místy, kde se sonda s poloměrem r valila po molekule. Rozdíl mezi povrchy SAS a SES je patrný na obrázku Alpha shapes Jde o metodu, kterou popsal P. Mücke [ 1 )] v roce 1994 pro dvourozměrný a později ji rozšířil na trojrozměrný prostor. V textu budeme používat český překlad a-tvar. Pomocí tohoto a-tvaru lze zjistit i a-obal, který, jak již název napovídá, tvoří obal a-tvaru. Tyto obaly se používají v mnoha oblastech, například v chemii, biologii atd. Na obrázku 2.2 uvidíte vypočítaný dvourozměrný redukovaný povrch v programu Matlab. 2.3 PDB Tato zkratka je odvozena z Protein Data Bank. Je to standard pro reprezentaci makromolekulami struktury. První verze byla vytvořena v roce Od té doby vzniklo mnoho doplňků a úprav tohoto standardu. Struktura souboru je jednoduchá. Na začátku každého řádku je klíčové slovo, které určuje, co daný řádek znamená. Například: AUTHOR, REMARK, CO- NECT, ATOM. Ve svém programu zpracovávám standard PDB verze 3.1 z roku Zajímá mne jen část označená klíčovým slovem ATOM. Tato část se týká rozmístění atomů, jejich typu a vlastností. Ukázka PDB formátu: HEADER PLANT SEED PROTEIN 30-APR-81 ÍCRN COMPND CRAMBIN SOURCE ABYSSINIAN CABBAGE (CRAMBE ABYSSINICA) SEED AUTHOR W.A.HENDRICKSON,M.M.TEETER ATOM 1 N THR ATOM 2 CA THR ATOM 3 C THR

11 2.3. PDB Obrázek 2.2: Ukázka spočítaného 2D a-tvaru. (Matlab) Struktura ATOM Vybírám pouze ty sloupce, které jsou pro moji práci důležité. Jelikož jako vstup algoritmu stačí poloměry a souřadnice středů všech atomů v molekule, načítám pouze tyto atributy. Podrobný popis všech atributů najdete na <www. pdb. org>. V proteinech se nacházejí pouze atomy následujících typů: C, N, O, H, S a I. Proto stačí načítat první znak z položky NAME. Ostatní znaky následované za typem atomu popisují jeho přesné umístění v polypeptidickém řetězci proteinu a pro účely výpočtu povrchu nejsou podstatné. Souřadnice středu jsou načítány po znaku. 4

12 Sloupce Datový typ Pole Definice atom name jméno real(8.3) X souřadnice x v angströmech real(8.3) y souřadnice y v angströmech real(8.3) z souřadnice z v angströmech Tabulka 2.1: Struktura řádku ATOM Značka Poloměr C 1,7 N 1,55 O 1,4 H 1,2 S 1,85 I 1,98 Tabulka 2.2: Poloměry atomů (v angströmech)

13 Kapitola 3 Algoritmus redukovaných povrchů Jde o algoritmus pro výpočet povrchu molekul, který simuluje valení koule po povrchu molekuly, čímž vznikají povrchy dané poloměrem valené koule. Tuto kouli nazýváme sonda. V místech, kde se sonda valila, zanechá stopu. Tuto stopu si můžeme představit jako jakýsi otlak v modelářské hlíně po valení koule. Sonda má poloměr r, který se musí nastavit před výpočtem povrchu. Podle velikosti poloměru bude výsledný povrch zaoblený. Obrázek 3.1: Ukázka rozdílu SAS a SES povrchu. (Obrázek převzat z [8]) Algoritmus na výpočet redukovaného povrchu se skládá ze čtyř částí. Tyto algoritmy postupně spočítají redukovaný povrch, analytickou reprezentaci solvent-excluded surface (SES), odstraní části, které protínají samy sebe a tím vytvářejí nespojitosti na povrchu. Poté vytvoří síť trojúhelníků pro vykreslení. 3.1 Definice pojmů Při procházení povrchu molekuly se dostává sonda do stavu, kdy se dotýká současně alespoň tří atomů. Tento stav je velice důležitý pro následný výpočet. Nazýváme ho fixed position (stabilní pozice). Název získala tato pozice ze situace, kdy se sonda nemůže pohnout z dané polohy, aniž by ztratila kontakt alespoň s jedním atomem. Polygon, který je získán 6

14 3.2. PRVNÍ ALGORITMUS - VÝPOČET REDUKOVANÉHO POVRCHU spojením středů atomů, kterých se sonda dotýká současně v této pozici, nazveme RS-face (face of the reduced surface). Středy těchto atomů nazýváme RS-vertices a úsečky spojující jednotlivé vrcholy RS-edges. Obrázek 3.2: V této pozici jsou definovány RS-vertices ci, C2 a C3 a RS-edges (c\, ci), (c2, C3) a (ci, C3). Vznikne i RS-face (ci, C2, C3). (Obrázek převzat z [8]) V molekule se mohou vyskytovat vrcholy, u kterých při valení sondy nenarazíme na žádný další atom. Tyto vrcholy nazýváme free RS-vertex. Hranu, kolem které se při valení nedostane sonda do kontaktu se třetím atomem, nazýváme free RS-edge. Redukovaný povrch se může skládat z několika povrchů spojených navzájem pomocí free RS-vertex nebo free RS-edge. 3.2 První algoritmus - Výpočet redukovaného povrchu Jako vstup algoritmu vezmeme množinu všech atomů molekuly. Označme ji jako množinu M obsahující n prvků. Dalším vstupem algoritmu je poloměr sondy označený r p. Jako výstup z první části algoritmu bude nalezený redukovaný povrch S a vazby jednotlivých ploch 7

15 3.2. PRVNÍ ALGORITMUS - VÝPOČET REDUKOVANÉHO POVRCHU na sebe. V průběhu inicializačního kroku nalezneme první stěnu F (a, 02,03) z redukovaného povrchu. Tuto stěnu může definovat uživatel nebo bude nalezena automaticky. Při jeho hledání budeme hledat atom, který má polohu středu na ose x mínus poloměr nejmenší ze všech atomů. Poté nalezneme atom, který námi nalezený atom protíná, a na základě těchto dvou atomů dohledáme, pokud existuje, třetí atom určující výchozí stěnu, tedy první stabilní pozici. Z této pozice může rotovat sonda okolo každého páru atomů. Pokud takovéto nalezení inicializační pozice selže, pak budeme hledání opakovat s použitím jiné osy. Obrázek 3.3: Ukazuje povrch (p2,pá,p5,p3), který náleží k hraně (c2, C3). Tento povrch má konkávni hrany (p2,p3) a (^4,^5) a konvexní hrany (p2,pá) a (^5,^3). (Obrázek převzat z [8]) Jestliže sonda narazí při rotaci kolem první dvojice atomů na další atom, pak právě objevila další stabilní pozici. Poté označí hranu za zpracovanou a postoupí k další. Takto bude postupně zpracovávat všechny hrany rekurzivně, dokud nebudou všechny zpracovány. Střed sondy opíše kolem zpracovávané hrany prostorový úhel mezi oběma stabilními pozicemi. Pokud jich při obíhání objeví více než jednu, pak se bude dále počítat stěna s nejmenším úhlem. Když se algoritmus zastaví, bude nalezen povrch S. Pro každý atom a z S se bude testovat, zda existuje další atom, který může být nalezen při rotaci sondy okolo tohoto atomu. Pokud je nalezen a není ještě připojen k vrcholu s\ pomocí RS-edge, program se pokusí naleznout třetí atom. Pokud existuje, restartuje se program na této stěně a tyto 8

16 3.2. PRVNÍ ALGORITMUS - VÝPOČET REDUKOVANÉHO POVRCHU části budou přidány k povrchu. Jestliže není nalezen třetí atom, pak se jedná o free RS-edge, protože sonda může volně rotovat kolem hrany, aniž by se dotkla dalšího atomu. Obrázek 3.4: Příklad redukovaného povrchu složeného z několika komponent povrchu. (Obrázek převzat z [8]) Pokud se k povrchu přidá jen free RS-edge, pak je nový vrchol opět testován na nalezení dalších částí povrchu. Toto je opakováno, dokud nebude přidán žádný nový vrchol. Ještě musíme přidat vrcholy tvořící samostatné povrchy. Jedná se o free RS-vertices. Tyto atomy jsou vzdáleny od ostatních atomů dále, než je průměr sondy. 9

17 3.3. DRUHÝ ALGORITMUS - ANALYTICKÝ VÝPOČET SES 3.3 Druhý algoritmus - Analytický výpočet SES Poté, co je spočítán redukovaný povrch, spočítáme analytickou reprezentaci SES. Ta pro každý RS-face vytvoří povrch (viz obr. 3.2). Body pi,p2,p3 jsou hraniční body povrchu, který náleží k dané RS-face. Tyto body leží v místě dotyku sondy a atomů náležících té RS-face, kterou zpracováváme (ci, C2, C3). Hrany mezi těmito body jsou prostorové oblouky opisující povrch sondy mezi danými body. Například pro body pi,p2 je oblouk na rovině určené body c, c\,c2- Pro každý RS-edge tento algoritmus spočítá povrch nazvaný toric reentrant face. Obrázek 3.5: Příklad, kde při počítaném povrchu vznikne poloměrová jedinečnost. Spheric reentrant face f i, f2 generované pomocí RS-face fr\, fľ2 sdílí jedinečnou hranu (pi,p2)- (Obrázek převzat z [8]) Poloměrové jedinečnosti vzniknou, pokud je poloměr rotace sondy menší než její poloměr. Tyto jedinečnosti jsou detekovány předchozím algoritmem. Při zpracovávání takovýchto hran spočítáme body pi,p2 a uložíme je do struktury popisující RS-edge. Povrch u těchto hran je vytvořen ze dvou trojúhelníkových povrchů spojených přes vrchol nebo hranu. Dokud nejsou všechny povrchy vytvořeny, procházíme konvexní hrany náležící toric reentrant faces. 10

18 3.4. TŘETÍ ALGORITMUS - ZPRACOVÁNÍ JEDINEČNOSTÍ 3.4 Třetí algoritmus - Zpracování jedinečností Sanner [ i J ] ukázal, že jenom singulární body, které neleží na hranách spheric reentrant face, generuje singular free RS-edge. To jsou sondy, které protínají RS-edge a rotují kolem nich o 360. Bylo také ukázáno, že průnik mezi sondou v pevné pozici a přiřazeným RS-face, je nezbytnou podmínkou pro vznik jedinečností. Takovéto sondy jsou detekovány a označeny v průběhu generování redukovaného povrchu. Algoritmus 2 zpracovává poloměrové jedinečnosti. Nepoloměrové jedinečnosti nastávají, když část povrchu generovaná algoritmem 2 je uvnitř sondy ve fixní pozici. V tomto případě říkáme, že sonda pohltí část povrchu SES. Nepoloměrové jedinečností dělíme do tří odlišných kategorií, které jsou zpracovávány samostatně První část Zpracováváme shodné RS-faces generující jedinečnosti. RS-face FaP jsou shodné právě tehdy, když pro každý vrchol z F je zde vrchol F l, který má stejné souřadnice. Tyto plochy generují jedinečnosti, když definované sondy protínají rovinu povrchu RS-face. Obrázek 3.6: (a) Ukazuje spheric reentrant face generovaný sondou q a částečně pohlcený sondou q'. (b) Ukazuje kruh průniku ořezávající dvě hrany z povrchu. Oba reentrant faces jsou rozděleny na dva povrchy. (Obrázek převzat z [8]) Kružnice, která protíná rovinu, může uříznout 0,1, 2 nebo 3 hrany ze spheric reentrant face. Jestliže není žádná hrana oříznuta, pak je vytvořena kružnice. Vidíme to na obrázku 3.6a. Případ, kdy je oříznuta jedna hrana, je ignorován, protože tato jedinečnost spadá do další kategorie. Jestliže kruh průniku ořezává dvě hrany (viz obr 3.6b), pak jsou obě spheric reentrant faces rozděleny na trojúhelníkový a čtyřúhelníkový povrch. Nakonec případ, kdy jsou oříznuty tři hrany. V tomto případě se smažou obě RS-faces. Oba spheric reentrant faces 11

19 3.5. ČTVRTÝ ALGORITMUS - VYPLNĚNÍ POVRCHU TROJÚHELNÍKY totiž mohou být rozříznuty na tři malé spheric reentrant faces trojúhelníky. Tyto trojúhelníky jsou pro nás nedůležité Druhá část Při zpracovávání druhé kategorie procházíme přes seznam jedinečných hran vytvořený druhým algoritmem a pro každý z nich kontrolujeme, jestli část této hrany je uvnitř nějaké sondy. Jestliže není, pak tato hrana nemá průnik a je ponechána v nezměněném stavu. Pokud je celá nebo část z této hrany uvnitř některé sondy, pak říkáme, že je úplně nebo částečně pohlcena. Pro tento případ spočítáme body průniku sondy, která pohlcuje největší část hrany. Na obrázku 3.7 je ukázán nejčastější případ, kdy jedinečná hrana a(s\, S2) je částečně pohlcena dvěma sondami 03 a 04. Hrana a náleží ke dvěma povrchům f\ a f\, k nimž patří současně sondy 02 a 03. Nejdříve jsou vytvořeny dva jedinečné vrcholy ns\ a ns\, pokud na těchto pozicích neleží jiný vrchol. Pak je hrana a(s\, S2) rozdělena na dvě hrany a(s\, sni) a na(sri2, S2), které náleží k povrchům f\ a J2- Protože 03 a 04 pohlcují největší část hrany a, nové hrany a a an, nemůže být uvnitř žádná další sonda, a proto je nemusíme dále testovat. Protože 03 je sonda, která pohlcuje největší část původní hrany a na straně s\, my vytvoříme nové otevřené-uzavřené hrany a\ a 02 začínající v ns\ a ležící na kruhu q\ U qs a <?2 U qs. Stejným způsobem vytvoříme dvě nové otevřené-uzavřené hrany 03 a 04 začínající ve vrcholu ns2 a ležící na kruhu (jiu^a^u^. Každá z těchto hran je vytvořena, jestliže všechny spheric reentrant faces, které by se měly spojit, nesdílí žádnou hranu. Jestliže vytvořené hrany a\ a as mají průnik, pak vytvoříme jedinečný vrchol nss, který bude ukončovat obě tyto hrany v průsečíku. Pokud nemají průnik, pak a\ ukončí jako jeho průnik se sondou q^ a hranou as a jako průnik se sondou qs- Stejný algoritmus je aplikován na nalezení koncových bodů pro Ü2 a 04. Jestliže počáteční hrana a byla pohlcena úplně, pak ns\ je shodné s s\ a ns2 s S2 a zároveň obě hrany a i na jsou smazány. Hrany a\,a2,as a 04 jsou přidány do seznamu jedinečných hran k dalšímu testování Třetí část Jakmile jsou všechny hrany otestovány v druhé kategorii, pak zbývající jedinečnosti jsou ty, kde spheric reentrant faces F a F' patří současně sondám q a q' a mají kruh průniku C = q U q 1. Tento kruh nemá průnik s žádnou hranou z F nebo F 1 a sondy neleží na stejné trojici atomů. 3.5 Čtvrtý algoritmus - Vyplnění povrchu trojúhelníky Analyticky popsaný SES vytvořený předešlými algoritmy může být vyplněn trojúhelníky. Uživatel může určit hustotu vrcholů v trojúhelníkové síti. Nejdříve zpracujeme toric reentrant face. Jedinečné hrany rozdělíme na několik částí. Spheric reentrant face jsou vyplněny pomocí šablony s předpočítaným povrchem koule tvořeným trojúhelníky. Tyto koule jsou předpočí- 12

20 ö. : 3.5. ČTVRTÝ ALGORITMUS - VYPLNĚNÍ POVRCHU TROJÚHELNÍKY s 2 \. / \.y ',- c* ü üi a, e; 0, 0 2 "* Jí, e 4 1 X m/ a 2 \ ^ / / > /,i;\ /S\ / > - <j, c 2 Oi v 2 Obrázek 3.7: Dělení hran při zpracování jedinečných hran. (Obrázek převzat z [8]) tány pro každý poloměr atomů vyskytujících se v molekule a pro poloměr sondy. Předpočítaná šablona je položena na kouli náležící povrchu. Vrcholy a trojúhelníky šablony jsou poté vybrány. Obrázek 3.8: Redukovaný povrch molekuly proteinu. (Python Molecule Viewer) Vytvoříme dvě orientované kontury. První obsahuje seznam segmentů reprezentujících povrch hran. Druhá je obvod vybraných trojúhelníků koule šablony. Tyto dvě kontury jsou poté spojeny s použitím trojúhelníků náležících ke konvexnímu obalu vrcholů dané hrany. 13

21 3.5. ČTVRTÝ ALGORITMUS - VYPLNĚNÍ POVRCHU TROJÚHELNÍKY Obrázek 3.9: Ukázka části povrchu, kde je vygenerována trojúhelníková síť. (obrázek převzat z [8]) 14

22 Kapitola 4 a-tvar 4.1 Základní pojmy Simplex Nechť je bodová množina S* a T je podmnožina S. Simplex St je konvexní obal množiny T obsahující n + 1 nezávislých bodů v prostoru dimenze n nebo vyšší. [12] Pro hodnoty n: 0-simplex je bod 1-simplex je úsečka 2-simplex je trojúhelník 3-simplex je čtyřstěn Obrázek 4.1: Příklad 3-simplexu. (obrázek převzat z [12]) Triangulace V počítačové grafice se triangulace uplatňuje velice často. Například při vykreslování v třírozměrné grafice se používají nejčastěji trojúhelníkové objekty. 15

23 4.1. ZÁKLADNÍ POJMY Triangulace T v množině bodů S, která vznikne rozkladem konvexního obalu S, je množina simplexu [12], kde platí zároveň: množina vrcholů simplexu je totožná s množinou S dva simplexy se neprotínají vůbec nebo v podsimplexu Delaunayova triangulace Jde o speciální triangulaci. Popsal ji již v roce 1934 Boris Delaunay [13]. Triangulace T v bodové množině S, která je v obecné pozici, se nazývá Delaunayova, jestliže pro každý simplex St z triangulace platí, že uvnitř n-dimenzionální kružnice opsané simplexu St neleží jiný bod množiny S. Obrázek 4.2: Příklad Delaunayovy triangulace bodové množiny v dvourozměrném prostoru. Při výpočtu Delaunayovy triangulace bereme jako vstup bodovou množinu S v obecné pozici. To nám zaručuje jednoznačnost Delaunayovy triangulace. Na jedné n-dimenzionální kružnici neleží více než n + 1 bodů. Delaunayova triangulace ve dvourozměrném prostoru hledá trojúhelníky s maximálním nejmenším úhlem. Díky tomu vypadávají příliž úzké trojúhelníky. Díky svým vlastnostem se používá v počítačové grafice například pro modelování povrchů. 16

24 Existuje mnoho algoritmů, které počítají Delaunayovu triangulaci, například: inkrementální algoritmus algoritmus rozděl a panuj pročesávací algoritmus algoritmus z Voroného diagramu 4.2. a-tvar Jako základní se používá inkrementální algoritmus. Je to algoritmus, který v konečném počtu kroků splní podmínky nutné pro Delaunayovu triangulaci. 4.2 a-tvar Jedná se o dekompoziční metodu pro rekonstrukci povrchů, která je založena na Delaunayově triangulaci. Tuto metodu navrhli H. Edelsbrunner a P. Mücke v roce 1994 [ ] pro 2D a později ji rozšířili do 3D. [2] V [ ] je uveden popis, jak si můžeme představit a-tvar. Je připodobněn ke zmrzlině, která vyplňuje prostor R n a obsahuje body S jako pevné kousky čokolády. S použitím lžíce na zmrzlinu odstraníme všechny části zmrzliny tak, že se nesmíme dotknout žádného kousku čokolády. Odstraníme i zmrzlinu zevnitř. Reálně se ani nemusíme na danou část z vnější strany dostat. Pokud je již odstraněno všechno, co lze odstranit, tak jsme skončili. Výsledný objekt bude ohraničen kulovými výsečemi, oblouky a body. Při následné triangulaci uvedených ploch dostáváme takzvaný a-tvar množiny S. Uvažujeme-li u zmíněného a-tvaru pouze obal, pak jej nazýváme a-obal. Právě a-obaly se uplatňují při rekonstrukci povrchů v chemii či biologii, a-obal použijeme i pro vykreslení povrchu molekuly proteinu Hodnota parametru a Parametr a určuje, do jaké míry bude výsledný povrch detailní. Jde o nezáporné reálné číslo. Při menší hodnotě bude vidět více detailů. Pokud hodnotu zmenšíme pod určitou mez množiny bodů S, pak se povrch stává nesouvislým. Pro hodnotu a = 0 jsou již zobrazeny pouze body. Zapisujeme lim-^o S a = S. Pro velké hodnoty parametru a detaily mizí a povrch se zaobluje. 4.3 Algoritmus konstrukce a-tvaru pro pevnou hodnotu a Existuje mnoho algoritmů pro výpočet a-tvaru. Jak již víme, a-obal tvoří hranici a-tvaru. Proto můžeme využít tyto algoritmy i pro konstrukci a-obalu. Popíšu zde algoritmus uvedený v [6], který počítá a-tvar pro pevnou hodnotu parametru a. 17

25 4.4. EDELSBRUNNERŮV ALGORITMUS Obrázek 4.3: Příklad a-tvaru Vstupem je množina bodů S. Jako výstup množina obsahující simplexy, které dohromady představují a-tvar množiny S. Algoritmus spočítá Delaunayovu triangulaci pro danou množinu bodů. K tomuto výpočtu zvolíme jeden z možných algoritmů. Pro jednoduchost použijeme inkrementální algoritmus. U každého simplexu triangulace testujeme, zda poloměr kružnice opsané je menší než zadaná hodnota parametru a. Pokud ano, pak tento simplex přidáme do výsledného a- tvaru. 4.4 Edelsbrunnerův algoritmus Existují algoritmy, které spočítají a-tvar pro všechny hodnoty parametru a. Jedním z nich je právě Edelsbrunnerův algoritmus [2]. Algoritmus přidá ke každému simplexu Delaunayovy triangulace prahové hodnoty. Tyto prahové hodnoty při změně parametru a určí, zda je daný simplex prvkem výsledného a- tvaru. Uvedený algoritmus je podrobně popsán v [ ]. Ve výsledku totiž oba algoritmy, s pevně zadaným parametrem a i Edelsbrunnerův, dají stejnépro naše účely plně postačuje první algoritmus pro výpočet a-tvaru s pevně zadaným parametrem a. Ve výsledku totiž oba algoritmy, s pevně zadaným parametrem a i Edelsbrunnerův, dají stejné povrchy. 18

26 4.4. EDELSBRUNNERUV ALGORITMUS Obrázek 4.4: Příklad a-tvaru pro různé hodnoty parametru a. Vlevo nahoře pro nízké hodnoty a, vpravo dole pro vysoké, (obrázek převzat z [3]) 19

27 Kapitola 5 Implementace algoritmu redukovaných povrchů 5.1 Implementace V implementační části se budu zabývat programem pro výpočet redukovaného povrchu. Použil jsem programovací jazyk C++ nad platformou Microsoft Visual Studio Program jsem vyvíjel na notebooku s 2GB paměti RAM s procesorem Intel Core Duo 1,8 GHz a integrované grafické kartě Intel Mobile Vstup Jako vstup je používán soubor s daty PDB (vysvětleno v části 2.3). Tyto datové soubory jsou volně ke stažení v RCSB Protein Data Bank [5] Výstup Výstupem je vypočítaný redukovaný povrch uložený v datových strukturách popsaných v kapitole Algoritmus Algoritmus na počátku projde vstupní soubor a zjistí počet atomů v dané molekule. Poté vytvoří statické pole atomů o odpovídajícím počtu atomů zvýšeném o jedna. Při druhém průchodu je toto pole plněno daty o atomech. Poslední pozici v poli atomů ponechávám volnou pro dočasně uložené výsledky průchodu sondou. Z části začínající klíčovým slovem ATOM jsem se zaměřil jen na souřadnice středu atomu a jeho typ. Z typu atomu lze určit jeho poloměr dle tabulky 2.2. Naleznu úvodní stěnu. Nejdříve hledám tuto stěnu na ose x,ya nakonec na ose z u atomů s nejmenší hodnotou na těchto osách. Pokud není nalezena, pak hledám stěnu u atomů s největší hodnotou na těchto osách. Atomy, na kterých vytvořím úvodní stěnu, mají indexy i,j, k. Postupně budu zpracovávat hrany (i,j), (j, k) a (i, k). Až tyto hrany zpracuji, tak přidám tuto stěnu do seznamu RS_face. 20

28 5.2. ALGORITMUS Obrázek 5.1: Tři nalezené atomy molekuly (zelená barva) tvoříc úvodní pevnou pozici pro sondu Zpracování hran Nejprve zkontroluji, jestli není hrana (a, b) již zpracována. Pokud není, pokračuji dále hledáním atomu c, jehož střed je ve vzdálenosti maximálně poloměr(a) + poloměr(c) + 2*poloměr_sondy Pevná pozice U každého takovéhoto atomu spočítám polohu sondy, která leží v pevné pozici na těchto atomech. Danou pozici sondy zjistím v obou možných stavech, spočítám pro ně středy, podle nichž se sonda otáčí kolem hran. Známe pozice atomů a, b, c. Potřebujeme spočítat pozici středu sondy v této poloze. Pokud spojíme středy atomů a sondy, pak nám vznikne čtyřstěn, u něhož si můžeme velice jednoduše spočítat všechny stěny, protože sonda leží přesně na atomech a,bac. Vzdálenost středu sondy od středu atomu je rovna součtu jejich poloměrů. Tedy r a + r p = d. Blízkost atomů není pro náš výpočet důležitá. Známe totiž délky tří stran a souřadnice na jednom z jejich konců. Souřadnice na druhém konci se budou rovnat u všech tří úseček. Vyjádříme si tento problém pomocí tří rovnic o třech neznámých. Označíme si x,y, z souřadnice pozice středu sondy ax\,yi,z\ jako pozice středu prvního atomu. Další dva atomy označíme stejným způsobem. Tedy středy X2,y2, Z2 a xs,ys, zs a poloměry atomů jsou r\, r2, r% a r. Rovnice vztahu středů atomů a středu sondy v pevné pozici: 21

29 5.3. DALŠÍ ZPRACOVÁNÍ I P, P a \ c Obrázek 5.2: Na obrázku vidíte atomy a,b,c a sondu v pozici p a p'. Sonda rotuje kolem hrany (a, b). Je vidět, že vzdálenost mezi a a c může být maximálně r a + r c + 2 * r p. Pokud bude větší, pak se sonda nemůže dotknout atomu c a zároveň se stále dotýkat atomu a. (x-xi) 2 + {y --yi) 2 + (z--z x f--= (r + ri) 2 (x - x 2 ) 2 + (y -- y2? + {z -- Z2? -= (r + r 2 ) 2 (x - X3) 2 + (y -- ys) 2 + (z --zs) 2 -- = (r + r 3 ) Kolize Testuji, zda takto nalezená a spočítaná sonda nemá kolizi s žádným jiným atomem náležícím k molekule. Kolizi s ostatními atomy počítám tak, že vzdálenost středu nejbližšího atomu musí být větší než součet jejich poloměrů. Pokud naleznu více těchto atomů, pak zvolím ten, na kterém je atom v pevné pozici s menším prostorovým úhlem. 5.3 Další zpracování Pokud tímto postupem naleznu nějakou pevnou pozici pro sondu, přidám tuto stěnu do seznamu RS_face. Hranu (a, b) označím za zpracovanou a uložím k ní do RS_edge i spočítaný střed rotace a prostorový úhel rotace. Do seznamu RS_vertex přidám i vrcholy zpracovávané při ošetření hran. Takto projdu všechny hrany rekurzivně, dokud nebude každá v seznamu RS_edge a tedy jako zpracované. Poté podle popsaného postupu v části 3.2 hledám další atomy, které budou náležet k povrchu. Pokud nějaký naleznu, přidám ho k povrchu a testuji znovu tyto hrany. Takto procházím celý seznam atomů, dokud nebude přidán již žádný další. Poté mám nalezený redukovaný povrch uložený v datových typech Atom, RS_vertex, RS_face 22

30 5.4. DATOVÉ TYPY c a Obrázek 5.3: Sonda p v pevné pozici atomů a, b, c. a RS_edge. Takto předem vypočítaný povrch je připraven pro další zpracování. 5.4 Datové typy Atom float x,y,z - souřadnice středu float r - poloměr int c - příznak atomu (např. barva) int i - index atomu RS_vertex int i - index atomu struct VERTEX *nxt - následující prvek v seznamu RS_edge int vl,v2 - indexy vrcholů, které náleží k této hraně float x,y,z - střed otáčení sondy 23

31 5.5. POUŽÍVÁNÍ PROGRAMU Obrázek 5.4: Průběh zpracovávání molekuly. Modře je zobrazena sonda prozkoumávající povrch. Zeleně jsou znázorněny atomy inicializační pozice sondy. Žluté jsou již zpracované části. float r - poloměr otáčení sondy float angle - prostorový úhel, po kterém se sonda otáčí z pevných pozic struct EDGE *nxt - následující hrana RS_face int vl,v2,v3 - indexy vrcholů, které náleží k této ploše float x,y,z - střed sondy v pevné pozici na této ploše float n_x, n_y, n_z - normála této plochy struct FACE *nxt - následující plocha 5.5 Používání programu Pro zprovoznění mého programu stačí nahrát knihovnu surface.c a použít příkaz pro načtení molekuly ze souboru LoadMolecule("l.pdb"), a poté spustit provedení prvního algoritmu algl (). 24

32 5.5. POUŽÍVÁNÍ PROGRAMU Obrázek 5.5: Identifikovaný povrch. Žluté atomy jsou atomy tvořící povrch molekuly. Červené jsou atomy, které nebudou potřeba k výpočtu povrchu. Ukázkové programy jsou založeny na výukových příkladech Pavla Tišnovského uváděných v seriálu o OpenGL na serveru rootcz. Posun molekuly je realizován pomocí pohybu myši a současně stlačeného levého tlačítka. Pohybem myši se současně stlačeným pravým tlačítkem se přibližujete a vzdalujete molekule. Pomocí tlačítka a zmenšíte poloměr všech atomů. Pomocí s skryjete atomy, které netvoří výsledný povrch, a pomocí tlačítka z zobrazíte spočítaný povrch. 25

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Programátorská dokumentace

Programátorská dokumentace Programátorská dokumentace Požadavky Cílem tohoto programu bylo představit barevné systémy, zejména převody mezi nejpoužívanějšími z nich. Zároveň bylo úkolem naprogramovat jejich demonstraci. Pro realizaci

Více

Obecný princip 3D numerického modelování výrubu

Obecný princip 3D numerického modelování výrubu Obecný princip 3D numerického modelování výrubu Modelovaná situace Svislé zatížení nadloží se přenáší horninovým masivem na bok tunelu Soustava lineárních rovnic Soustavou lineárních rovnic popíšeme určované

Více

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013

2. úkol MI-PAA. Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 2. úkol MI-PAA Jan Jůna (junajan) 3.11.2013 Specifikaci úlohy Problém batohu je jedním z nejjednodušších NP-těžkých problémů. V literatuře najdeme množství jeho variant, které mají obecně různé nároky

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Daniela Szturcová Prostorová data Geoobjekt entita definovaná v prostoru. Znalost jeho identifikace, lokalizace umístění v prostoru, vlastností vlastních

Více

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE

GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Pravidelná tělesa Cheb, 2006 Lukáš Louda,7.B 0 Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Pravidelná tělesa vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy

Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy Semestrální práce z předmětu KMA/MM Voroneho diagramy Jméno a příjmení: Lenka Skalová Osobní číslo: A08N0185P Studijní obor: Finanční informatika a statistika Datum: 22. 1. 2010 Obsah Obsah... 2 1 Historie...

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 22 KONTROLA A VLASTNOSTI TĚLES]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 22 KONTROLA A VLASTNOSTI TĚLES] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Aleš Najman TĚLES] [ÚLOHA 22 KONTROLA A VLASTNOSTI 1 ÚVOD V této kapitole je probírána tématika zabývající se kontrolou a vlastnostmi těles. Kontrolou

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

xrays optimalizační nástroj

xrays optimalizační nástroj xrays optimalizační nástroj Optimalizační nástroj xoptimizer je součástí webového spedičního systému a využívá mnoho z jeho stavebních bloků. xoptimizer lze nicméně provozovat i samostatně. Cílem tohoto

Více

11 Zobrazování objektů 3D grafiky

11 Zobrazování objektů 3D grafiky 11 Zobrazování objektů 3D grafiky Studijní cíl Tento blok je věnován základním algoritmům zobrazení 3D grafiky. Postupně budou probrány základní metody projekce kolmé promítání, rovnoběžné promítání a

Více

GIS Geografické informační systémy

GIS Geografické informační systémy GIS Geografické informační systémy Obsah přednášky Prostorové vektorové modely Špagetový model Topologický model Převody geometrií Vektorový model Reprezentuje reálný svět po jednotlivých složkách popisu

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Tato aplikace je koncipována jako hra, může být použita k demonstraci důkazu. Může žáky učit, jak manipulovat s dynamickými objekty,

Více

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1 24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE AUTOR DOKUMENTU: MGR. MARTINA SUKOVÁ DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 UČIVO: STUDIJNÍ OBOR: PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE

Více

BPC2E_C08 Parametrické 3D grafy v Matlabu

BPC2E_C08 Parametrické 3D grafy v Matlabu BPC2E_C08 Parametrické 3D grafy v Matlabu Cílem cvičení je procvičit si práci se soubory a parametrickými 3D grafy v Matlabu. Úloha A. Protože budete řešit transformaci z kartézských do sférických souřadnic,

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Uživatelský manuál. Aplikace GraphViewer. Vytvořil: Viktor Dlouhý

Uživatelský manuál. Aplikace GraphViewer. Vytvořil: Viktor Dlouhý Uživatelský manuál Aplikace GraphViewer Vytvořil: Viktor Dlouhý Obsah 1. Obecně... 3 2. Co aplikace umí... 3 3. Struktura aplikace... 4 4. Mobilní verze aplikace... 5 5. Vytvoření projektu... 6 6. Části

Více

Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení

Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení Ukázkový přiklad mikroaplikace systému Formcrates 2010 Naucrates s.r.o. Veškerá práva vyhrazena. Vyskočilova 741/3, 140 00 Praha 4 Czech Republic tel.: +420

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Reporting. Ukazatele je možno definovat nad libovolnou tabulkou Helios Orange, která je zapsána v nadstavbě firmy SAPERTA v souboru tabulek:

Reporting. Ukazatele je možno definovat nad libovolnou tabulkou Helios Orange, která je zapsána v nadstavbě firmy SAPERTA v souboru tabulek: Finanční analýza Pojem finanční analýza Finanční analýza umožňuje načítat data podle dimenzí a tyto součty dlouhodobě vyhodnocovat. Pojem finanční analýza není nejpřesnější, protože ukazatele mohou být

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Copyright 2013 Martin Kaňka; Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Hlavním cílem aplikace Cubix je výpočet a procvičení výpočtu objemu a povrchu těles složených z kostek. Existují tři obtížnosti úkolů

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

Excel - pokračování. Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu

Excel - pokračování. Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu Excel - pokračování Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu Př. Analýza prodeje CD základní jednoduché vzorce karta Domů Př. Skoky do dálky - funkce

Více

Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů

Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů Diplomová práce Prostředí pro programování pohybu manipulátorů Štěpán Ulman 1 Úvod Motivace: Potřeba plánovače prostorové trajektorie pro výukové účely - TeachRobot Vstup: Zadávání geometrických a kinematických

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Zdokonalování gramotnosti v oblasti ICT. Kurz MS Excel kurz 6. Inovace a modernizace studijních oborů FSpS (IMPACT) CZ.1.07/2.2.00/28.

Zdokonalování gramotnosti v oblasti ICT. Kurz MS Excel kurz 6. Inovace a modernizace studijních oborů FSpS (IMPACT) CZ.1.07/2.2.00/28. Zdokonalování gramotnosti v oblasti ICT Kurz MS Excel kurz 6 1 Obsah Kontingenční tabulky... 3 Zdroj dat... 3 Příprava dat... 3 Vytvoření kontingenční tabulky... 3 Možnosti v poli Hodnoty... 7 Aktualizace

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

PEPS. CAD/CAM systém. Cvičebnice DEMO. Modul: Drátové řezání

PEPS. CAD/CAM systém. Cvičebnice DEMO. Modul: Drátové řezání PEPS CAD/CAM systém Cvičebnice DEMO Modul: Drátové řezání Cvičebnice drátového řezání pro PEPS verze 4.2.9 DEMO obsahuje pouze příklad VII Kopie 07/2001 Blaha Technologie Transfer GmbH Strana: 1/16 Příklad

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2002 SEDLÁK MARIAN - 1 - OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA INFORMATIKY A POČÍTAČŮ Vizualizace principů výpočtu konečného

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa

Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU

Jana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU Počítačová grafika 1. Definice oblasti souvisí: a) s definováním množiny všech bodů, které náleží do hranice a zároveň do jejího vnitřku b) s popisem její hranice c) s definováním množiny všech bodů, které

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 07 VYŘÍZNUTÍ PO ŠROUBOVICI A KOLMO K PLOŠE.]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 07 VYŘÍZNUTÍ PO ŠROUBOVICI A KOLMO K PLOŠE.] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 07 VYŘÍZNUTÍ PO ŠROUBOVICI A KOLMO K PLOŠE.] 1 CÍL KAPITOLY Cílem této kapitoly je v první části dokumentu poskytnout uživateli

Více

Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky

Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky Projekt Poohří. Výstavba modelových sítí a automatizace v rámci tvorby modelových sítí. Zpráva o stavu řešení problematiky RNDr. Blanka Malá, Ph.D., NTI, TUL Ing. Jan Pacina, Ph.D., UJEP Obsah: 1. Problematika

Více

Singularity rotačních obalových ploch

Singularity rotačních obalových ploch Singularity rotačních obalových ploch Ivana Linkeová ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav technické matematiky Karlovo nám. 13, 121 35 Praha 2 Nové Město Ivana.Linkeova@fs.cvut.cz Abstrakt. V příspěvku

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY CVIČENÍ 2

GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY CVIČENÍ 2 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY CVIČENÍ 2 Praktické zvládnutí software Geomedia Pavel Vařacha a kol. Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 38 KONTROLA A POHONY]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 38 KONTROLA A POHONY] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Aleš Najman [ÚLOHA 38 KONTROLA A POHONY] 1 ÚVOD Úloha 38 popisuje jednu část oblasti sestava programu Solid Edge V20. Tato úloha je v první části zaměřena

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Text úlohy. Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? Vyberte jednu z nabízených možností: a. Černá b. Červená c. Modrá d.

Text úlohy. Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? Vyberte jednu z nabízených možností: a. Černá b. Červená c. Modrá d. Úloha 1 Která barva nepatří do základních barev prostoru RGB? a. Černá b. Červená c. Modrá d. Zelená Úloha 2 V rovině je dán NEKONVEXNÍ n-úhelník a bod A. Pokud paprsek (polopřímka) vedený z tohoto bodu

Více

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Deformační analýza stojanu na kuželky

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Deformační analýza stojanu na kuželky VŠB- Technická univerzita Ostrava akulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti Úvod do KP Autor: ichal Šofer Verze Ostrava Úvod do KP Zadání: Určete horizontální a vertikální posun volného konce stojanu

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Výpočetní geometrie Computational Geometry

Výpočetní geometrie Computational Geometry Datové struktury a algoritmy Část 11 Výpočetní geometrie Computational Geometry Petr Felkel 20.12.2005 Úvod Výpočetní geometrie (CG) Příklady úloh Algoritmické techniky paradigmata řazení - jako předzpracování

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115

Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410 Číslo šablony: 23 Název materiálu: Přehledy Ročník: 2. ročník Identifikace materiálu: WOH_52_23_přehledy

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).

Definice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g). 7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené

Více