Vizualizace povrchu proteinu pomocí metody redukovaných povrchů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vizualizace povrchu proteinu pomocí metody redukovaných povrchů"

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Vizualizace povrchu proteinu pomocí metody redukovaných povrchů DIPLOMOVÁ PRÁCE Zdeněk Matěj Brno, jaro 2008

2 Prohlášení Prohlašuji, že tato diplomová práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj. Vedoucí práce: Mgr. Barbora Kozlíková 11

3 Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval všem lidem, kteří mi pomáhali odbornou radou nebo s realizací této práce. Děkuji mimo jiné Mgr. Barboře Kozlíkové za cenné rady a připomínky při vzniku této práce. m

4 Shrnutí Tato diplomová práce se věnuje problematice výpočtu povrchu molekul proteinu. První část diplomové práce se zabývá problematikou redukovaných povrchů. Naleznete zde vysvětlení všech problémových částí tohoto algoritmu. Druhá část je věnována popisu algoritmu a-shape a dalších algoritmů, které jsou potřebné k výpočtu a-shape. Další úsek práce je zaměřen na implementaci algoritmu reduced surface a vysvětlení použitých postupů při implementaci. Poslední část práce je věnována srovnání metod a-shape a redukovaných povrchů. IV

5 Klíčová slova redukovaný povrch (reduced surface), a-tvar (a-shape), SAS, SES

6 Obsah 1 Úvod Cíle diplomové práce Struktura diplomové práce 1 2 Základní pojmy Redukovaný povrch SAS SES Alpha shapes PDB Struktura ATOM 4 3 Algoritmus redukovaných povrchu Definice pojmů První algoritmus - Výpočet redukovaného povrchu 3.3 Druhý algoritmus - Analytický výpočet SES Třetí algoritmus - Zpracování jedinečností První část Druhá část Třetí část Cťvrtý algoritmus - Vyplnění povrchu trojúhelníky 12 4 a-tvar Základní pojmy Simplex Triangulace Delaunayova triangulace a-tvar Hodnota parametru a Algoritmus konstrukce a-tvaru pro pevnou hodnotu a Edelsbrunnerův algoritmus 18 5 Implementace algoritmu redukovaných povrchů Implementace Vstup Výstup Algoritmus Zpracování hran Pevná pozice Kolize Další zpracování Datové typy Atom RS_vertex 23 vi

7 5.4.3 RS_edge RS_face Používání programu 24 6 Srovnání a-povrchů a redukovaných povrchů 26 7 Závěr 29 Literatura 30 A Ukázky spočítaného povrchu molekul 31 B Seznam funkcí použitých v programu 35 C Obsah přiloženého CD 37 Vil

8 Kapitola 1 Úvod Modelování povrchu molekul je dnes velice důležité pro prozkoumání jejich vlastností a reakcí s jinými látkami. Například pro vývoj nových léků. Proto je nutné počítat a zobrazovat povrch molekul dostatečně rychle aby, simulace mohly probíhat i s velkými počty molekul či molekulami, které se skládají z mnoha atomů. 1.1 Cíle diplomové práce Jako cíle této práce jsou: seznámit se s problematikou určování povrchů molekul proteinů pomocí metody redukovaných povrchů seznámit se s metodou a-povrchů (a-shapes) provést implementaci algoritmu pro výpočet redukovaných povrchů porovnat metody a-povrchů (a-shapes) a redukovaných povrchů 1.2 Struktura diplomové práce Diplomová práce je rozdělena na několik částí. Nejdříve vysvětlím základní pojmy a uvedu čtenáře do problematiky povrchu proteinu. Poté popíšu podrobně metodu pro výpočet redukovaných povrchů a metod a-povrchů. V implementační části se proto budu zabývat algoritmem pro rychlý výpočet povrchu molekul proteinů metodou redukovaných povrchů. Rozepíši postupně použitý algoritmus a vysvětlím mé řešení. Budu počítat analytickou reprezentaci povrchu nazvanou solventexcluded surface. Mnou zpracovanou metodu porovnám s metodou a-shape. Na konci mojí práce naleznete zhodnocení výsledků a příklady spočítaných povrchů metodou redukovaných povrchů. Implementovaný algoritmus v jazyce C++. V příloze naleznete několik vypočtených povrchů molekul a zobrazených jako trojúhelníky mezi středy vrcholů atomů. Na přiloženém CD naleznete několik příkladů a obrázků. Toto CD obsahuje také tuto práci v elektronické podobě a zdrojové kódy mé implementace výpočtu redukovaného povrchu. 1

9 Kapitola 2 Základní pojmy V následující kapitole budou vysvětleny základní pojmy používané v této práci. 2.1 Redukovaný povrch Jde o povrch, který se počítá jen na relevantních místech. Do výpočtu nezahrnujeme ty atomy, které se vyskytují uvnitř molekuly a tedy nemohou být součástí jejího povrchu ani jej nijak ovlivnit. Vypočtený povrch obsahuje informace k vytvoření SAS i SES povrchu (vysvětleno dále). Obrázek 2.1: Ukázka redukovaného povrchu. (PyMOL viewer) 2

10 2.2. ALPHA SHAPES SAS SAS je zkratka anglických slov solvent-accesible surface. Jde o povrch, který byl definovaný pány Lee a Richardsem [1]. Při výpočtu tohoto povrchu se používá koule (sonda) s poloměrem r. Povrch tvoří střed sondy (probe), která se valí po povrchu molekuly. Na obrázku 3.1 je vidět povrch SAS SES SES je zkratka anglických slov solvent-extrude surface. Tento povrch definovali Geer a Bush [7]. Connolly [ ] pak navrhl rovnice k výpočtu tohoto povrchu. Tento povrch je tvořen místy, kde se sonda s poloměrem r valila po molekule. Rozdíl mezi povrchy SAS a SES je patrný na obrázku Alpha shapes Jde o metodu, kterou popsal P. Mücke [ 1 )] v roce 1994 pro dvourozměrný a později ji rozšířil na trojrozměrný prostor. V textu budeme používat český překlad a-tvar. Pomocí tohoto a-tvaru lze zjistit i a-obal, který, jak již název napovídá, tvoří obal a-tvaru. Tyto obaly se používají v mnoha oblastech, například v chemii, biologii atd. Na obrázku 2.2 uvidíte vypočítaný dvourozměrný redukovaný povrch v programu Matlab. 2.3 PDB Tato zkratka je odvozena z Protein Data Bank. Je to standard pro reprezentaci makromolekulami struktury. První verze byla vytvořena v roce Od té doby vzniklo mnoho doplňků a úprav tohoto standardu. Struktura souboru je jednoduchá. Na začátku každého řádku je klíčové slovo, které určuje, co daný řádek znamená. Například: AUTHOR, REMARK, CO- NECT, ATOM. Ve svém programu zpracovávám standard PDB verze 3.1 z roku Zajímá mne jen část označená klíčovým slovem ATOM. Tato část se týká rozmístění atomů, jejich typu a vlastností. Ukázka PDB formátu: HEADER PLANT SEED PROTEIN 30-APR-81 ÍCRN COMPND CRAMBIN SOURCE ABYSSINIAN CABBAGE (CRAMBE ABYSSINICA) SEED AUTHOR W.A.HENDRICKSON,M.M.TEETER ATOM 1 N THR ATOM 2 CA THR ATOM 3 C THR

11 2.3. PDB Obrázek 2.2: Ukázka spočítaného 2D a-tvaru. (Matlab) Struktura ATOM Vybírám pouze ty sloupce, které jsou pro moji práci důležité. Jelikož jako vstup algoritmu stačí poloměry a souřadnice středů všech atomů v molekule, načítám pouze tyto atributy. Podrobný popis všech atributů najdete na <www. pdb. org>. V proteinech se nacházejí pouze atomy následujících typů: C, N, O, H, S a I. Proto stačí načítat první znak z položky NAME. Ostatní znaky následované za typem atomu popisují jeho přesné umístění v polypeptidickém řetězci proteinu a pro účely výpočtu povrchu nejsou podstatné. Souřadnice středu jsou načítány po znaku. 4

12 Sloupce Datový typ Pole Definice atom name jméno real(8.3) X souřadnice x v angströmech real(8.3) y souřadnice y v angströmech real(8.3) z souřadnice z v angströmech Tabulka 2.1: Struktura řádku ATOM Značka Poloměr C 1,7 N 1,55 O 1,4 H 1,2 S 1,85 I 1,98 Tabulka 2.2: Poloměry atomů (v angströmech)

13 Kapitola 3 Algoritmus redukovaných povrchů Jde o algoritmus pro výpočet povrchu molekul, který simuluje valení koule po povrchu molekuly, čímž vznikají povrchy dané poloměrem valené koule. Tuto kouli nazýváme sonda. V místech, kde se sonda valila, zanechá stopu. Tuto stopu si můžeme představit jako jakýsi otlak v modelářské hlíně po valení koule. Sonda má poloměr r, který se musí nastavit před výpočtem povrchu. Podle velikosti poloměru bude výsledný povrch zaoblený. Obrázek 3.1: Ukázka rozdílu SAS a SES povrchu. (Obrázek převzat z [8]) Algoritmus na výpočet redukovaného povrchu se skládá ze čtyř částí. Tyto algoritmy postupně spočítají redukovaný povrch, analytickou reprezentaci solvent-excluded surface (SES), odstraní části, které protínají samy sebe a tím vytvářejí nespojitosti na povrchu. Poté vytvoří síť trojúhelníků pro vykreslení. 3.1 Definice pojmů Při procházení povrchu molekuly se dostává sonda do stavu, kdy se dotýká současně alespoň tří atomů. Tento stav je velice důležitý pro následný výpočet. Nazýváme ho fixed position (stabilní pozice). Název získala tato pozice ze situace, kdy se sonda nemůže pohnout z dané polohy, aniž by ztratila kontakt alespoň s jedním atomem. Polygon, který je získán 6

14 3.2. PRVNÍ ALGORITMUS - VÝPOČET REDUKOVANÉHO POVRCHU spojením středů atomů, kterých se sonda dotýká současně v této pozici, nazveme RS-face (face of the reduced surface). Středy těchto atomů nazýváme RS-vertices a úsečky spojující jednotlivé vrcholy RS-edges. Obrázek 3.2: V této pozici jsou definovány RS-vertices ci, C2 a C3 a RS-edges (c\, ci), (c2, C3) a (ci, C3). Vznikne i RS-face (ci, C2, C3). (Obrázek převzat z [8]) V molekule se mohou vyskytovat vrcholy, u kterých při valení sondy nenarazíme na žádný další atom. Tyto vrcholy nazýváme free RS-vertex. Hranu, kolem které se při valení nedostane sonda do kontaktu se třetím atomem, nazýváme free RS-edge. Redukovaný povrch se může skládat z několika povrchů spojených navzájem pomocí free RS-vertex nebo free RS-edge. 3.2 První algoritmus - Výpočet redukovaného povrchu Jako vstup algoritmu vezmeme množinu všech atomů molekuly. Označme ji jako množinu M obsahující n prvků. Dalším vstupem algoritmu je poloměr sondy označený r p. Jako výstup z první části algoritmu bude nalezený redukovaný povrch S a vazby jednotlivých ploch 7

15 3.2. PRVNÍ ALGORITMUS - VÝPOČET REDUKOVANÉHO POVRCHU na sebe. V průběhu inicializačního kroku nalezneme první stěnu F (a, 02,03) z redukovaného povrchu. Tuto stěnu může definovat uživatel nebo bude nalezena automaticky. Při jeho hledání budeme hledat atom, který má polohu středu na ose x mínus poloměr nejmenší ze všech atomů. Poté nalezneme atom, který námi nalezený atom protíná, a na základě těchto dvou atomů dohledáme, pokud existuje, třetí atom určující výchozí stěnu, tedy první stabilní pozici. Z této pozice může rotovat sonda okolo každého páru atomů. Pokud takovéto nalezení inicializační pozice selže, pak budeme hledání opakovat s použitím jiné osy. Obrázek 3.3: Ukazuje povrch (p2,pá,p5,p3), který náleží k hraně (c2, C3). Tento povrch má konkávni hrany (p2,p3) a (^4,^5) a konvexní hrany (p2,pá) a (^5,^3). (Obrázek převzat z [8]) Jestliže sonda narazí při rotaci kolem první dvojice atomů na další atom, pak právě objevila další stabilní pozici. Poté označí hranu za zpracovanou a postoupí k další. Takto bude postupně zpracovávat všechny hrany rekurzivně, dokud nebudou všechny zpracovány. Střed sondy opíše kolem zpracovávané hrany prostorový úhel mezi oběma stabilními pozicemi. Pokud jich při obíhání objeví více než jednu, pak se bude dále počítat stěna s nejmenším úhlem. Když se algoritmus zastaví, bude nalezen povrch S. Pro každý atom a z S se bude testovat, zda existuje další atom, který může být nalezen při rotaci sondy okolo tohoto atomu. Pokud je nalezen a není ještě připojen k vrcholu s\ pomocí RS-edge, program se pokusí naleznout třetí atom. Pokud existuje, restartuje se program na této stěně a tyto 8

16 3.2. PRVNÍ ALGORITMUS - VÝPOČET REDUKOVANÉHO POVRCHU části budou přidány k povrchu. Jestliže není nalezen třetí atom, pak se jedná o free RS-edge, protože sonda může volně rotovat kolem hrany, aniž by se dotkla dalšího atomu. Obrázek 3.4: Příklad redukovaného povrchu složeného z několika komponent povrchu. (Obrázek převzat z [8]) Pokud se k povrchu přidá jen free RS-edge, pak je nový vrchol opět testován na nalezení dalších částí povrchu. Toto je opakováno, dokud nebude přidán žádný nový vrchol. Ještě musíme přidat vrcholy tvořící samostatné povrchy. Jedná se o free RS-vertices. Tyto atomy jsou vzdáleny od ostatních atomů dále, než je průměr sondy. 9

17 3.3. DRUHÝ ALGORITMUS - ANALYTICKÝ VÝPOČET SES 3.3 Druhý algoritmus - Analytický výpočet SES Poté, co je spočítán redukovaný povrch, spočítáme analytickou reprezentaci SES. Ta pro každý RS-face vytvoří povrch (viz obr. 3.2). Body pi,p2,p3 jsou hraniční body povrchu, který náleží k dané RS-face. Tyto body leží v místě dotyku sondy a atomů náležících té RS-face, kterou zpracováváme (ci, C2, C3). Hrany mezi těmito body jsou prostorové oblouky opisující povrch sondy mezi danými body. Například pro body pi,p2 je oblouk na rovině určené body c, c\,c2- Pro každý RS-edge tento algoritmus spočítá povrch nazvaný toric reentrant face. Obrázek 3.5: Příklad, kde při počítaném povrchu vznikne poloměrová jedinečnost. Spheric reentrant face f i, f2 generované pomocí RS-face fr\, fľ2 sdílí jedinečnou hranu (pi,p2)- (Obrázek převzat z [8]) Poloměrové jedinečnosti vzniknou, pokud je poloměr rotace sondy menší než její poloměr. Tyto jedinečnosti jsou detekovány předchozím algoritmem. Při zpracovávání takovýchto hran spočítáme body pi,p2 a uložíme je do struktury popisující RS-edge. Povrch u těchto hran je vytvořen ze dvou trojúhelníkových povrchů spojených přes vrchol nebo hranu. Dokud nejsou všechny povrchy vytvořeny, procházíme konvexní hrany náležící toric reentrant faces. 10

18 3.4. TŘETÍ ALGORITMUS - ZPRACOVÁNÍ JEDINEČNOSTÍ 3.4 Třetí algoritmus - Zpracování jedinečností Sanner [ i J ] ukázal, že jenom singulární body, které neleží na hranách spheric reentrant face, generuje singular free RS-edge. To jsou sondy, které protínají RS-edge a rotují kolem nich o 360. Bylo také ukázáno, že průnik mezi sondou v pevné pozici a přiřazeným RS-face, je nezbytnou podmínkou pro vznik jedinečností. Takovéto sondy jsou detekovány a označeny v průběhu generování redukovaného povrchu. Algoritmus 2 zpracovává poloměrové jedinečnosti. Nepoloměrové jedinečnosti nastávají, když část povrchu generovaná algoritmem 2 je uvnitř sondy ve fixní pozici. V tomto případě říkáme, že sonda pohltí část povrchu SES. Nepoloměrové jedinečností dělíme do tří odlišných kategorií, které jsou zpracovávány samostatně První část Zpracováváme shodné RS-faces generující jedinečnosti. RS-face FaP jsou shodné právě tehdy, když pro každý vrchol z F je zde vrchol F l, který má stejné souřadnice. Tyto plochy generují jedinečnosti, když definované sondy protínají rovinu povrchu RS-face. Obrázek 3.6: (a) Ukazuje spheric reentrant face generovaný sondou q a částečně pohlcený sondou q'. (b) Ukazuje kruh průniku ořezávající dvě hrany z povrchu. Oba reentrant faces jsou rozděleny na dva povrchy. (Obrázek převzat z [8]) Kružnice, která protíná rovinu, může uříznout 0,1, 2 nebo 3 hrany ze spheric reentrant face. Jestliže není žádná hrana oříznuta, pak je vytvořena kružnice. Vidíme to na obrázku 3.6a. Případ, kdy je oříznuta jedna hrana, je ignorován, protože tato jedinečnost spadá do další kategorie. Jestliže kruh průniku ořezává dvě hrany (viz obr 3.6b), pak jsou obě spheric reentrant faces rozděleny na trojúhelníkový a čtyřúhelníkový povrch. Nakonec případ, kdy jsou oříznuty tři hrany. V tomto případě se smažou obě RS-faces. Oba spheric reentrant faces 11

19 3.5. ČTVRTÝ ALGORITMUS - VYPLNĚNÍ POVRCHU TROJÚHELNÍKY totiž mohou být rozříznuty na tři malé spheric reentrant faces trojúhelníky. Tyto trojúhelníky jsou pro nás nedůležité Druhá část Při zpracovávání druhé kategorie procházíme přes seznam jedinečných hran vytvořený druhým algoritmem a pro každý z nich kontrolujeme, jestli část této hrany je uvnitř nějaké sondy. Jestliže není, pak tato hrana nemá průnik a je ponechána v nezměněném stavu. Pokud je celá nebo část z této hrany uvnitř některé sondy, pak říkáme, že je úplně nebo částečně pohlcena. Pro tento případ spočítáme body průniku sondy, která pohlcuje největší část hrany. Na obrázku 3.7 je ukázán nejčastější případ, kdy jedinečná hrana a(s\, S2) je částečně pohlcena dvěma sondami 03 a 04. Hrana a náleží ke dvěma povrchům f\ a f\, k nimž patří současně sondy 02 a 03. Nejdříve jsou vytvořeny dva jedinečné vrcholy ns\ a ns\, pokud na těchto pozicích neleží jiný vrchol. Pak je hrana a(s\, S2) rozdělena na dvě hrany a(s\, sni) a na(sri2, S2), které náleží k povrchům f\ a J2- Protože 03 a 04 pohlcují největší část hrany a, nové hrany a a an, nemůže být uvnitř žádná další sonda, a proto je nemusíme dále testovat. Protože 03 je sonda, která pohlcuje největší část původní hrany a na straně s\, my vytvoříme nové otevřené-uzavřené hrany a\ a 02 začínající v ns\ a ležící na kruhu q\ U qs a <?2 U qs. Stejným způsobem vytvoříme dvě nové otevřené-uzavřené hrany 03 a 04 začínající ve vrcholu ns2 a ležící na kruhu (jiu^a^u^. Každá z těchto hran je vytvořena, jestliže všechny spheric reentrant faces, které by se měly spojit, nesdílí žádnou hranu. Jestliže vytvořené hrany a\ a as mají průnik, pak vytvoříme jedinečný vrchol nss, který bude ukončovat obě tyto hrany v průsečíku. Pokud nemají průnik, pak a\ ukončí jako jeho průnik se sondou q^ a hranou as a jako průnik se sondou qs- Stejný algoritmus je aplikován na nalezení koncových bodů pro Ü2 a 04. Jestliže počáteční hrana a byla pohlcena úplně, pak ns\ je shodné s s\ a ns2 s S2 a zároveň obě hrany a i na jsou smazány. Hrany a\,a2,as a 04 jsou přidány do seznamu jedinečných hran k dalšímu testování Třetí část Jakmile jsou všechny hrany otestovány v druhé kategorii, pak zbývající jedinečnosti jsou ty, kde spheric reentrant faces F a F' patří současně sondám q a q' a mají kruh průniku C = q U q 1. Tento kruh nemá průnik s žádnou hranou z F nebo F 1 a sondy neleží na stejné trojici atomů. 3.5 Čtvrtý algoritmus - Vyplnění povrchu trojúhelníky Analyticky popsaný SES vytvořený předešlými algoritmy může být vyplněn trojúhelníky. Uživatel může určit hustotu vrcholů v trojúhelníkové síti. Nejdříve zpracujeme toric reentrant face. Jedinečné hrany rozdělíme na několik částí. Spheric reentrant face jsou vyplněny pomocí šablony s předpočítaným povrchem koule tvořeným trojúhelníky. Tyto koule jsou předpočí- 12

20 ö. : 3.5. ČTVRTÝ ALGORITMUS - VYPLNĚNÍ POVRCHU TROJÚHELNÍKY s 2 \. / \.y ',- c* ü üi a, e; 0, 0 2 "* Jí, e 4 1 X m/ a 2 \ ^ / / > /,i;\ /S\ / > - <j, c 2 Oi v 2 Obrázek 3.7: Dělení hran při zpracování jedinečných hran. (Obrázek převzat z [8]) tány pro každý poloměr atomů vyskytujících se v molekule a pro poloměr sondy. Předpočítaná šablona je položena na kouli náležící povrchu. Vrcholy a trojúhelníky šablony jsou poté vybrány. Obrázek 3.8: Redukovaný povrch molekuly proteinu. (Python Molecule Viewer) Vytvoříme dvě orientované kontury. První obsahuje seznam segmentů reprezentujících povrch hran. Druhá je obvod vybraných trojúhelníků koule šablony. Tyto dvě kontury jsou poté spojeny s použitím trojúhelníků náležících ke konvexnímu obalu vrcholů dané hrany. 13

21 3.5. ČTVRTÝ ALGORITMUS - VYPLNĚNÍ POVRCHU TROJÚHELNÍKY Obrázek 3.9: Ukázka části povrchu, kde je vygenerována trojúhelníková síť. (obrázek převzat z [8]) 14

22 Kapitola 4 a-tvar 4.1 Základní pojmy Simplex Nechť je bodová množina S* a T je podmnožina S. Simplex St je konvexní obal množiny T obsahující n + 1 nezávislých bodů v prostoru dimenze n nebo vyšší. [12] Pro hodnoty n: 0-simplex je bod 1-simplex je úsečka 2-simplex je trojúhelník 3-simplex je čtyřstěn Obrázek 4.1: Příklad 3-simplexu. (obrázek převzat z [12]) Triangulace V počítačové grafice se triangulace uplatňuje velice často. Například při vykreslování v třírozměrné grafice se používají nejčastěji trojúhelníkové objekty. 15

23 4.1. ZÁKLADNÍ POJMY Triangulace T v množině bodů S, která vznikne rozkladem konvexního obalu S, je množina simplexu [12], kde platí zároveň: množina vrcholů simplexu je totožná s množinou S dva simplexy se neprotínají vůbec nebo v podsimplexu Delaunayova triangulace Jde o speciální triangulaci. Popsal ji již v roce 1934 Boris Delaunay [13]. Triangulace T v bodové množině S, která je v obecné pozici, se nazývá Delaunayova, jestliže pro každý simplex St z triangulace platí, že uvnitř n-dimenzionální kružnice opsané simplexu St neleží jiný bod množiny S. Obrázek 4.2: Příklad Delaunayovy triangulace bodové množiny v dvourozměrném prostoru. Při výpočtu Delaunayovy triangulace bereme jako vstup bodovou množinu S v obecné pozici. To nám zaručuje jednoznačnost Delaunayovy triangulace. Na jedné n-dimenzionální kružnici neleží více než n + 1 bodů. Delaunayova triangulace ve dvourozměrném prostoru hledá trojúhelníky s maximálním nejmenším úhlem. Díky tomu vypadávají příliž úzké trojúhelníky. Díky svým vlastnostem se používá v počítačové grafice například pro modelování povrchů. 16

24 Existuje mnoho algoritmů, které počítají Delaunayovu triangulaci, například: inkrementální algoritmus algoritmus rozděl a panuj pročesávací algoritmus algoritmus z Voroného diagramu 4.2. a-tvar Jako základní se používá inkrementální algoritmus. Je to algoritmus, který v konečném počtu kroků splní podmínky nutné pro Delaunayovu triangulaci. 4.2 a-tvar Jedná se o dekompoziční metodu pro rekonstrukci povrchů, která je založena na Delaunayově triangulaci. Tuto metodu navrhli H. Edelsbrunner a P. Mücke v roce 1994 [ ] pro 2D a později ji rozšířili do 3D. [2] V [ ] je uveden popis, jak si můžeme představit a-tvar. Je připodobněn ke zmrzlině, která vyplňuje prostor R n a obsahuje body S jako pevné kousky čokolády. S použitím lžíce na zmrzlinu odstraníme všechny části zmrzliny tak, že se nesmíme dotknout žádného kousku čokolády. Odstraníme i zmrzlinu zevnitř. Reálně se ani nemusíme na danou část z vnější strany dostat. Pokud je již odstraněno všechno, co lze odstranit, tak jsme skončili. Výsledný objekt bude ohraničen kulovými výsečemi, oblouky a body. Při následné triangulaci uvedených ploch dostáváme takzvaný a-tvar množiny S. Uvažujeme-li u zmíněného a-tvaru pouze obal, pak jej nazýváme a-obal. Právě a-obaly se uplatňují při rekonstrukci povrchů v chemii či biologii, a-obal použijeme i pro vykreslení povrchu molekuly proteinu Hodnota parametru a Parametr a určuje, do jaké míry bude výsledný povrch detailní. Jde o nezáporné reálné číslo. Při menší hodnotě bude vidět více detailů. Pokud hodnotu zmenšíme pod určitou mez množiny bodů S, pak se povrch stává nesouvislým. Pro hodnotu a = 0 jsou již zobrazeny pouze body. Zapisujeme lim-^o S a = S. Pro velké hodnoty parametru a detaily mizí a povrch se zaobluje. 4.3 Algoritmus konstrukce a-tvaru pro pevnou hodnotu a Existuje mnoho algoritmů pro výpočet a-tvaru. Jak již víme, a-obal tvoří hranici a-tvaru. Proto můžeme využít tyto algoritmy i pro konstrukci a-obalu. Popíšu zde algoritmus uvedený v [6], který počítá a-tvar pro pevnou hodnotu parametru a. 17

25 4.4. EDELSBRUNNERŮV ALGORITMUS Obrázek 4.3: Příklad a-tvaru Vstupem je množina bodů S. Jako výstup množina obsahující simplexy, které dohromady představují a-tvar množiny S. Algoritmus spočítá Delaunayovu triangulaci pro danou množinu bodů. K tomuto výpočtu zvolíme jeden z možných algoritmů. Pro jednoduchost použijeme inkrementální algoritmus. U každého simplexu triangulace testujeme, zda poloměr kružnice opsané je menší než zadaná hodnota parametru a. Pokud ano, pak tento simplex přidáme do výsledného a- tvaru. 4.4 Edelsbrunnerův algoritmus Existují algoritmy, které spočítají a-tvar pro všechny hodnoty parametru a. Jedním z nich je právě Edelsbrunnerův algoritmus [2]. Algoritmus přidá ke každému simplexu Delaunayovy triangulace prahové hodnoty. Tyto prahové hodnoty při změně parametru a určí, zda je daný simplex prvkem výsledného a- tvaru. Uvedený algoritmus je podrobně popsán v [ ]. Ve výsledku totiž oba algoritmy, s pevně zadaným parametrem a i Edelsbrunnerův, dají stejnépro naše účely plně postačuje první algoritmus pro výpočet a-tvaru s pevně zadaným parametrem a. Ve výsledku totiž oba algoritmy, s pevně zadaným parametrem a i Edelsbrunnerův, dají stejné povrchy. 18

26 4.4. EDELSBRUNNERUV ALGORITMUS Obrázek 4.4: Příklad a-tvaru pro různé hodnoty parametru a. Vlevo nahoře pro nízké hodnoty a, vpravo dole pro vysoké, (obrázek převzat z [3]) 19

27 Kapitola 5 Implementace algoritmu redukovaných povrchů 5.1 Implementace V implementační části se budu zabývat programem pro výpočet redukovaného povrchu. Použil jsem programovací jazyk C++ nad platformou Microsoft Visual Studio Program jsem vyvíjel na notebooku s 2GB paměti RAM s procesorem Intel Core Duo 1,8 GHz a integrované grafické kartě Intel Mobile Vstup Jako vstup je používán soubor s daty PDB (vysvětleno v části 2.3). Tyto datové soubory jsou volně ke stažení v RCSB Protein Data Bank [5] Výstup Výstupem je vypočítaný redukovaný povrch uložený v datových strukturách popsaných v kapitole Algoritmus Algoritmus na počátku projde vstupní soubor a zjistí počet atomů v dané molekule. Poté vytvoří statické pole atomů o odpovídajícím počtu atomů zvýšeném o jedna. Při druhém průchodu je toto pole plněno daty o atomech. Poslední pozici v poli atomů ponechávám volnou pro dočasně uložené výsledky průchodu sondou. Z části začínající klíčovým slovem ATOM jsem se zaměřil jen na souřadnice středu atomu a jeho typ. Z typu atomu lze určit jeho poloměr dle tabulky 2.2. Naleznu úvodní stěnu. Nejdříve hledám tuto stěnu na ose x,ya nakonec na ose z u atomů s nejmenší hodnotou na těchto osách. Pokud není nalezena, pak hledám stěnu u atomů s největší hodnotou na těchto osách. Atomy, na kterých vytvořím úvodní stěnu, mají indexy i,j, k. Postupně budu zpracovávat hrany (i,j), (j, k) a (i, k). Až tyto hrany zpracuji, tak přidám tuto stěnu do seznamu RS_face. 20

28 5.2. ALGORITMUS Obrázek 5.1: Tři nalezené atomy molekuly (zelená barva) tvoříc úvodní pevnou pozici pro sondu Zpracování hran Nejprve zkontroluji, jestli není hrana (a, b) již zpracována. Pokud není, pokračuji dále hledáním atomu c, jehož střed je ve vzdálenosti maximálně poloměr(a) + poloměr(c) + 2*poloměr_sondy Pevná pozice U každého takovéhoto atomu spočítám polohu sondy, která leží v pevné pozici na těchto atomech. Danou pozici sondy zjistím v obou možných stavech, spočítám pro ně středy, podle nichž se sonda otáčí kolem hran. Známe pozice atomů a, b, c. Potřebujeme spočítat pozici středu sondy v této poloze. Pokud spojíme středy atomů a sondy, pak nám vznikne čtyřstěn, u něhož si můžeme velice jednoduše spočítat všechny stěny, protože sonda leží přesně na atomech a,bac. Vzdálenost středu sondy od středu atomu je rovna součtu jejich poloměrů. Tedy r a + r p = d. Blízkost atomů není pro náš výpočet důležitá. Známe totiž délky tří stran a souřadnice na jednom z jejich konců. Souřadnice na druhém konci se budou rovnat u všech tří úseček. Vyjádříme si tento problém pomocí tří rovnic o třech neznámých. Označíme si x,y, z souřadnice pozice středu sondy ax\,yi,z\ jako pozice středu prvního atomu. Další dva atomy označíme stejným způsobem. Tedy středy X2,y2, Z2 a xs,ys, zs a poloměry atomů jsou r\, r2, r% a r. Rovnice vztahu středů atomů a středu sondy v pevné pozici: 21

29 5.3. DALŠÍ ZPRACOVÁNÍ I P, P a \ c Obrázek 5.2: Na obrázku vidíte atomy a,b,c a sondu v pozici p a p'. Sonda rotuje kolem hrany (a, b). Je vidět, že vzdálenost mezi a a c může být maximálně r a + r c + 2 * r p. Pokud bude větší, pak se sonda nemůže dotknout atomu c a zároveň se stále dotýkat atomu a. (x-xi) 2 + {y --yi) 2 + (z--z x f--= (r + ri) 2 (x - x 2 ) 2 + (y -- y2? + {z -- Z2? -= (r + r 2 ) 2 (x - X3) 2 + (y -- ys) 2 + (z --zs) 2 -- = (r + r 3 ) Kolize Testuji, zda takto nalezená a spočítaná sonda nemá kolizi s žádným jiným atomem náležícím k molekule. Kolizi s ostatními atomy počítám tak, že vzdálenost středu nejbližšího atomu musí být větší než součet jejich poloměrů. Pokud naleznu více těchto atomů, pak zvolím ten, na kterém je atom v pevné pozici s menším prostorovým úhlem. 5.3 Další zpracování Pokud tímto postupem naleznu nějakou pevnou pozici pro sondu, přidám tuto stěnu do seznamu RS_face. Hranu (a, b) označím za zpracovanou a uložím k ní do RS_edge i spočítaný střed rotace a prostorový úhel rotace. Do seznamu RS_vertex přidám i vrcholy zpracovávané při ošetření hran. Takto projdu všechny hrany rekurzivně, dokud nebude každá v seznamu RS_edge a tedy jako zpracované. Poté podle popsaného postupu v části 3.2 hledám další atomy, které budou náležet k povrchu. Pokud nějaký naleznu, přidám ho k povrchu a testuji znovu tyto hrany. Takto procházím celý seznam atomů, dokud nebude přidán již žádný další. Poté mám nalezený redukovaný povrch uložený v datových typech Atom, RS_vertex, RS_face 22

30 5.4. DATOVÉ TYPY c a Obrázek 5.3: Sonda p v pevné pozici atomů a, b, c. a RS_edge. Takto předem vypočítaný povrch je připraven pro další zpracování. 5.4 Datové typy Atom float x,y,z - souřadnice středu float r - poloměr int c - příznak atomu (např. barva) int i - index atomu RS_vertex int i - index atomu struct VERTEX *nxt - následující prvek v seznamu RS_edge int vl,v2 - indexy vrcholů, které náleží k této hraně float x,y,z - střed otáčení sondy 23

31 5.5. POUŽÍVÁNÍ PROGRAMU Obrázek 5.4: Průběh zpracovávání molekuly. Modře je zobrazena sonda prozkoumávající povrch. Zeleně jsou znázorněny atomy inicializační pozice sondy. Žluté jsou již zpracované části. float r - poloměr otáčení sondy float angle - prostorový úhel, po kterém se sonda otáčí z pevných pozic struct EDGE *nxt - následující hrana RS_face int vl,v2,v3 - indexy vrcholů, které náleží k této ploše float x,y,z - střed sondy v pevné pozici na této ploše float n_x, n_y, n_z - normála této plochy struct FACE *nxt - následující plocha 5.5 Používání programu Pro zprovoznění mého programu stačí nahrát knihovnu surface.c a použít příkaz pro načtení molekuly ze souboru LoadMolecule("l.pdb"), a poté spustit provedení prvního algoritmu algl (). 24

32 5.5. POUŽÍVÁNÍ PROGRAMU Obrázek 5.5: Identifikovaný povrch. Žluté atomy jsou atomy tvořící povrch molekuly. Červené jsou atomy, které nebudou potřeba k výpočtu povrchu. Ukázkové programy jsou založeny na výukových příkladech Pavla Tišnovského uváděných v seriálu o OpenGL na serveru rootcz. Posun molekuly je realizován pomocí pohybu myši a současně stlačeného levého tlačítka. Pohybem myši se současně stlačeným pravým tlačítkem se přibližujete a vzdalujete molekule. Pomocí tlačítka a zmenšíte poloměr všech atomů. Pomocí s skryjete atomy, které netvoří výsledný povrch, a pomocí tlačítka z zobrazíte spočítaný povrch. 25

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

Excel - pokračování. Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu

Excel - pokračování. Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu Excel - pokračování Př. Porovnání cestovních kanceláří ohraničení tabulky, úprava šířky sloupců, sestrojení grafu Př. Analýza prodeje CD základní jednoduché vzorce karta Domů Př. Skoky do dálky - funkce

Více

PEPS. CAD/CAM systém. Cvičebnice DEMO. Modul: Drátové řezání

PEPS. CAD/CAM systém. Cvičebnice DEMO. Modul: Drátové řezání PEPS CAD/CAM systém Cvičebnice DEMO Modul: Drátové řezání Cvičebnice drátového řezání pro PEPS verze 4.2.9 DEMO obsahuje pouze příklad VII Kopie 07/2001 Blaha Technologie Transfer GmbH Strana: 1/16 Příklad

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Excel tabulkový procesor

Excel tabulkový procesor Pozice aktivní buňky Excel tabulkový procesor Označená aktivní buňka Řádek vzorců zobrazuje úplný a skutečný obsah buňky Typ buňky řetězec, číslo, vzorec, datum Oprava obsahu buňky F2 nebo v řádku vzorců,

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP

POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP POČÍTAČOVÁ GRAFIKA 3D MODELOVÁNÍ ZÁKLADY PROGRAMU SKETCHUP SKETCHUP SketchUp je program pro tvorbu trojrozměrných modelů. Je to jednoduchý, intuitivní a silný nástroj pro modelování. Není žádný problém

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Popis základního prostředí programu AutoCAD

Popis základního prostředí programu AutoCAD Popis základního prostředí programu AutoCAD Popis základního prostředí programu AutoCAD CÍL KAPITOLY: CO POTŘEBUJETE ZNÁT, NEŽ ZAČNETE PRACOVAT Vysvětlení základních pojmů: Okno programu AutoCAD Roletová

Více

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1

24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) HODINOVÁ DOTACE: 1 24-2-2 PROMĚNNÉ, KONSTANTY A DATOVÉ TYPY TEORIE AUTOR DOKUMENTU: MGR. MARTINA SUKOVÁ DATUM VYTVOŘENÍ: 23.7.2013 KLÍČOVÁ AKTIVITA: 02 UČIVO: STUDIJNÍ OBOR: PROGRAMOVÁNÍ 2. ROČNÍK (PRG2) INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Registrační číslo projektu: Škola adresa: Šablona: Ověření ve výuce Pořadové číslo hodiny: Třída: Předmět: Název: MS Excel I Anotace:

Registrační číslo projektu: Škola adresa: Šablona: Ověření ve výuce Pořadové číslo hodiny: Třída: Předmět: Název: MS Excel I Anotace: Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3712 Škola adresa: Základní škola T. G. Masaryka Ivančice, Na Brněnce 1, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Na Brněnce 1, Ivančice, okres Brno-venkov

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách Dimenzování těles Dialogové okno Dimenzování těles lze otevřít z programu TZ (tepelné ztráty), z programu DIMOS_W a také z programu DIMTEL. Při spuštění z programu TZ jsou nadimenzovaná tělesa uložena

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení

Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení Aplikace pro srovna ní cen povinne ho ruc ení Ukázkový přiklad mikroaplikace systému Formcrates 2010 Naucrates s.r.o. Veškerá práva vyhrazena. Vyskočilova 741/3, 140 00 Praha 4 Czech Republic tel.: +420

Více

Reporting. Ukazatele je možno definovat nad libovolnou tabulkou Helios Orange, která je zapsána v nadstavbě firmy SAPERTA v souboru tabulek:

Reporting. Ukazatele je možno definovat nad libovolnou tabulkou Helios Orange, která je zapsána v nadstavbě firmy SAPERTA v souboru tabulek: Finanční analýza Pojem finanční analýza Finanční analýza umožňuje načítat data podle dimenzí a tyto součty dlouhodobě vyhodnocovat. Pojem finanční analýza není nejpřesnější, protože ukazatele mohou být

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky MS Excel 2007 Kontingenční tabulky Obsah kapitoly V této kapitole se seznámíme s nástrojem, který se používá k analýze dat rozsáhlých seznamů. Studijní cíle Studenti budou umět pro analýzu dat rozsáhlých

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Prozkoumání příkazů na pásu karet Každá karta na pásu karet obsahuje skupiny a každá skupina obsahuje sadu souvisejících příkazů.

Prozkoumání příkazů na pásu karet Každá karta na pásu karet obsahuje skupiny a každá skupina obsahuje sadu souvisejících příkazů. Úvodní příručka Microsoft Project 2013 vypadá jinak než ve starších verzích, proto jsme vytvořili tuto příručku, která vám pomůže se s ním rychle seznámit. Panel nástrojů Rychlý přístup Tuto oblast můžete

Více

Obsah. Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje

Obsah. Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje Grafy v MS Excel Obsah Funkce grafu Zdrojová data pro graf Typ grafu Formátování prvků grafu Doporučení pro tvorbu grafů Zdroje Funkce grafu Je nejčastěji vizualizací při zpracování dat z různých statistik

Více

Technologické postupy práce s aktovkou IS MPP

Technologické postupy práce s aktovkou IS MPP Technologické postupy práce s aktovkou IS MPP Modul plánování a přezkoumávání, verze 1.20 vypracovala společnost ASD Software, s.r.o. dokument ze dne 27. 3. 2013, verze 1.01 Technologické postupy práce

Více

Úvod. Program ZK EANPRINT. Základní vlastnosti programu. Co program vyžaduje. Určení programu. Jak program spustit. Uživatelská dokumentace programu

Úvod. Program ZK EANPRINT. Základní vlastnosti programu. Co program vyžaduje. Určení programu. Jak program spustit. Uživatelská dokumentace programu sq Program ZK EANPRINT verze 1.20 Uživatelská dokumentace programu Úvod Základní vlastnosti programu Jednoduchost ovládání - umožňuje obsluhu i málo zkušeným uživatelům bez nutnosti většího zaškolování.

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu / Druh CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT

Více

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení

1. Průběh funkce. 1. Nejjednodušší řešení 1. Průběh funkce K zobrazení průběhu analytické funkce jedné proměnné potřebujeme sloupec dat nezávisle proměnné x (argumentu) a sloupec dat s funkcí argumentu y = f(x) vytvořený obvykle pomocí vzorce.

Více

Tiskové sestavy. Zdroj záznamu pro tiskovou sestavu. Průvodce sestavou. Použití databází

Tiskové sestavy. Zdroj záznamu pro tiskovou sestavu. Průvodce sestavou. Použití databází Tiskové sestavy Tiskové sestavy se v aplikaci Access používají na finální tisk informací z databáze. Tisknout se dají všechny objekty, které jsme si vytvořili, ale tiskové sestavy slouží k tisku záznamů

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=6 Měření smykového tření na nakloněné rovině pomocí zvukové karty řešil např. Sedláček [76]. Jeho konstrukce

Více

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Uzávěrka druhého kola FKŠ je 28. 2. 2010 Kde udělal Aristotelés chybu? Aristotelés, jeden z největších učenců starověku, z jehož knih vycházela

Více

43 HTML šablony. Záložka Šablony v systému

43 HTML šablony. Záložka Šablony v systému 43 HTML šablony Modul HTML šablony slouží ke správě šablon pro výstupy z informačního systému modularis ve formátu HTML. Modul umožňuje k šablonám doplňovat patičku, dokumentaci a vázat šablony na konkrétní

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

MS EXCEL. MS Excel 2007 1

MS EXCEL. MS Excel 2007 1 MS Excel 2007 1 MS EXCEL Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z informatiky pro gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

45 Plánovací kalendář

45 Plánovací kalendář 45 Plánovací kalendář Modul Správa majetku slouží ke tvorbě obecných ročních plánů činností organizace. V rámci plánu je třeba definovat oblasti činností, tj. oblasti, ve kterých je možné plánovat. Každá

Více

Přehledy pro Tabulky Hlavním smyslem této nové agendy je jednoduché řazení, filtrování a seskupování dle libovolných sloupců.

Přehledy pro Tabulky Hlavním smyslem této nové agendy je jednoduché řazení, filtrování a seskupování dle libovolných sloupců. Přehledy pro Tabulky V programu CONTACT Professional 5 naleznete u firem, osob a obchodních případů záložku Tabulka. Tuto záložku lze rozmnožit, přejmenovat a sloupce je možné definovat dle vlastních požadavků

Více

Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení

Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení Autodesk Inventor 8 - výkresová dokumentace, nastavení Obrázek 1: Náčrt čepu Doporučuji založit si vlastní kótovací styl pomocí tlačítka Nový. Nový styl vznikne na základě předchozího aktivního stylu.

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

ID-Ware II Editace docházky

ID-Ware II Editace docházky ID-Ware II Editace docházky Obsah 1.Vložení průchodu...3 1.1.1.1.Příchod do práce nebo odchod z práce...3 1.2.1.2.Začátek přerušení...3 1.3.1.3.Ukončení přerušení...5 1.3.1Ukončení přerušení na něž bezprostředně

Více

Programování v jazyku LOGO - úvod

Programování v jazyku LOGO - úvod Programování v jazyku LOGO - úvod Programovací jazyk LOGO je určen pro výuku algoritmizace především pro děti školou povinné. Programovací jazyk pracuje v grafickém prostředí, přičemž jednou z jeho podstatných

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Zobrazování bannerů podporují pouze nově vytvořené šablony motivů vzhledu.

Zobrazování bannerů podporují pouze nově vytvořené šablony motivů vzhledu. Bannerový systém ProEshop od verze 1.13 umožňuje zobrazování bannerů na popředí e-shopu. Bannerový systém je přístupný v administraci e-shopu v nabídce Vzhled, texty Bannerový systém v případě, že aktivní

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Microsoft Office. Word hromadná korespondence

Microsoft Office. Word hromadná korespondence Microsoft Office Word hromadná korespondence Karel Dvořák 2011 Hromadná korespondence Hromadná korespondence je způsob, jak určitý jeden dokument propojit s tabulkou obsahující více záznamů. Tímto propojením

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Vytváření grafů v aplikaci Helios Red

Vytváření grafů v aplikaci Helios Red Vytváření grafů v aplikaci Helios Red Grafy jsou v Helios Red součástí generátoru sestav a jsou tedy dostupné ve všech modulech a výstupech, kde je k dispozici generátor sestav. Největší použití mají v

Více

Manuál pro mobilní aplikaci Patron-Pro. verze pro operační systém Symbian

Manuál pro mobilní aplikaci Patron-Pro. verze pro operační systém Symbian Manuál pro mobilní aplikaci Patron-Pro verze pro operační systém Symbian 1 1. Popis Aplikace je určena pro mobilní telefony NOKIA s operačním Symbian a vybavené technologií NFC. Slouží pro správu identifikačních

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 15 VĚTRACÍ OTVOR]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 15 VĚTRACÍ OTVOR] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 15 VĚTRACÍ OTVOR] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole se budem zabývat jedním ze speciálních prvků, kterýmž je Větrací otvor. Jak název

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz

Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Aplikace Pattern Constructor je navržena pro tvorbu osové souměrnosti tak, aby odpovídala úrovni dovedností dětí. Tím, že mohou jednoduše

Více

ZSF web a intranet manuál

ZSF web a intranet manuál ZSF web a intranet manuál Verze pro školení 11.7.2013. Návody - Jak udělat...? WYSIWYG editor TinyMCE Takto vypadá prostředí WYSIWYG editoru TinyMCE Jak formátovat strukturu stránky? Nadpis, podnadpis,

Více

Kapitola 11: Formuláře 151

Kapitola 11: Formuláře 151 Kapitola 11: Formuláře 151 Formulář DEM-11-01 11. Formuláře Formuláře jsou speciálním typem dokumentu Wordu, který umožňuje zadávat ve Wordu data, která lze snadno načíst například do databázového systému

Více

Novinky v Solid Edge ST7

Novinky v Solid Edge ST7 Novinky v Solid Edge ST7 Primitiva Nově lze vytvořit základní geometrii pomocí jednoho příkazu Funkce primitiv je dostupná pouze v synchronním prostředí Těleso vytvoříme ve dvou navazujících krocích, kde

Více

GeoGebra Prostředí programu

GeoGebra Prostředí programu GeoGebra Prostředí programu Po instalaci a spuštění programu uvidí uživatel jediné škálovatelné okno hlavní okno programu. Podle toho, zda otevíráte okno ve standardní konfiguraci (obr. 1) nebo v konfiguraci

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Počítačová geometrie I

Počítačová geometrie I 0 I RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Osnova předmětu Pojem výpočetní geometrie, oblasti

Více

Měřící sonda Uživatelská příručka

Měřící sonda Uživatelská příručka Měřící sonda Uživatelská příručka 1995-2012 SolidCAM All Rights Reserved. Obsah Obsah 1. Úvod... 7 1.1. Přidání operace Měřící sonda... 11 1.2. Dialogové okno Operace měřící sondy... 12 2. Počáteční definice...

Více

Inspekce tvaru součásti

Inspekce tvaru součásti Inspekce tvaru součásti. Cílem cvičení je inspekce tvaru součásti spočívající načtení referenčního CAD modelu, v ustavení naskenovaného tvaru vzhledem k tomuto referenčnímu modelu, kontrole průměru spodního

Více

FUNKCE PRO ANALYTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT

FUNKCE PRO ANALYTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT FUNKCE PRO ANALYTICKÉ ZPRACOVÁNÍ DAT V PRODUKTECH YAMACO SOFTWARE PŘÍRUČKA A NÁVODY PRO ÚČELY: - RUTINNÍ PRÁCE S DATY YAMACO SOFTWARE 2008 1. ÚVODEM Vybrané produkty společnosti YAMACO Software obsahují

Více

Modul zásoby - Tvorba cen a cenových akcí v *8747 Materiál pro samostudium +1420

Modul zásoby - Tvorba cen a cenových akcí v *8747 Materiál pro samostudium +1420 Modul zásoby - Tvorba cen a cenových akcí v *8747 Materiál pro samostudium +1420 11.11.2013 Major Bohuslav, Ing. Datum tisku 19.11.2013 2 Modul zásoby - Tvorba cen a cenových akcí v *8747 Modul zásoby

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

2 PŘÍKLAD IMPORTU ZATÍŽENÍ Z XML

2 PŘÍKLAD IMPORTU ZATÍŽENÍ Z XML ROZHRANÍ ESA XML Ing. Richard Vondráček SCIA CZ, s. r. o., Thákurova 3, 160 00 Praha 6 www.scia.cz 1 OTEVŘENÝ FORMÁT Jednou z mnoha užitečných vlastností programu ESA PT je podpora otevřeného rozhraní

Více

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií VY_32_INOVACE_33_05 Škola Střední průmyslová škola Zlín Název projektu, reg. č. Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávací oblast Vzdělávání v informačních a komunikačních

Více

OBTÉKÁNÍ AUTA S PŘÍTLAČNÝM KŘÍDLEM VE 2D

OBTÉKÁNÍ AUTA S PŘÍTLAČNÝM KŘÍDLEM VE 2D INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 OBTÉKÁNÍ AUTA S PŘÍTLAČNÝM KŘÍDLEM

Více

Kód. Proměnné. #include using namespace std; int main(void) { cout << "Hello world!" << endl; cin.get(); return 0; }

Kód. Proměnné. #include <iostream> using namespace std; int main(void) { cout << Hello world! << endl; cin.get(); return 0; } Jazyk C++ Jazyk C++ je nástupcem jazyka C. C++ obsahuje skoro celý jazyk C, ale navíc přidává vysokoúrovňové vlastnosti vyšších jazyků. Z toho plyne, že (skoro) každý platný program v C je také platným

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE název předmětu TOPOGRAFICKÁ A TEMATICKÁ KARTOGRAFIE číslo úlohy název úlohy 2 Tvorba tematických

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Prozkoumání příkazů na pásu karet Každá karta na pásu karet obsahuje skupiny a každá skupina obsahuje sadu souvisejících příkazů.

Prozkoumání příkazů na pásu karet Každá karta na pásu karet obsahuje skupiny a každá skupina obsahuje sadu souvisejících příkazů. Úvodní příručka Microsoft Excel 2013 vypadá jinak než ve starších verzích, proto jsme vytvořili tuto příručku, která vám pomůže se s ním rychle seznámit. Přidání příkazů na panel nástrojů Rychlý přístup

Více

KAPITOLA 12 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 12 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 12 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KONTINGENČNÍ TABULKA FILTROVÁNÍ DAT Kontingenční tabulka nám dává jednoduchý filtr jako čtvrté pole v podokně Pole kontingenční tabulky. Do pole Filtry

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 20 KŘIVKY]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 20 KŘIVKY] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jiří Haňáček [ÚLOHA 20 KŘIVKY] 1 CÍL KAPITOLY Cílem tohoto dokumentu je přiblížit uživateli přehledovým způsobem oblast použití křivek v rámci dnes

Více

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Zaměříme se na úpravy, které určují finální grafickou úpravu tabulky (tzv. formátování.). Měnit můžeme celou řadu vlastností a ty nejdůležitější jsou popsány v dalším

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Registrační číslo projektu: Škola adresa: Šablona: Ověření ve výuce Pořadové číslo hodiny: Třída: Předmět: Název: Mozilla Firefox nastavení Anotace:

Registrační číslo projektu: Škola adresa: Šablona: Ověření ve výuce Pořadové číslo hodiny: Třída: Předmět: Název: Mozilla Firefox nastavení Anotace: Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3712 Škola adresa: Základní škola T. G. Masaryka Ivančice, Na Brněnce 1, okres Brno-venkov, příspěvková organizace Na Brněnce 1, Ivančice, okres Brno-venkov

Více

AutoCAD výstup výkresu

AutoCAD výstup výkresu Kreslení 2D technické dokumentace AutoCAD výstup výkresu Ing. Richard Strnka, 2012 1. Výstup z AutoCADu Výklad: Výstup z programu AutoCAD je možný několika různými způsoby. Základní rozdělení je na výstup

Více

Excel 2007 praktická práce

Excel 2007 praktická práce Excel 2007 praktická práce 1 Excel OP LZZ Tento kurz je financován prostřednictvím výzvy č. 40 Operačního programu Lidské zdroje a zaměstnanost z prostředků Evropského sociálního fondu. 2 Excel Cíl kurzu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Webové stránky. 4. Tvorba základní HTML webové stránky. Datum vytvoření: 25. 9. 2012. str ánk y. Vytvořil: Petr Lerch. www.isspolygr.

Webové stránky. 4. Tvorba základní HTML webové stránky. Datum vytvoření: 25. 9. 2012. str ánk y. Vytvořil: Petr Lerch. www.isspolygr. Webové stránky 4. Tvorba základní HTML Vytvořil: Petr Lerch www.isspolygr.cz Datum vytvoření: 25. 9. 2012 Webové Strana: 1/9 Škola Ročník Název projektu Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tématická

Více

Hodnocení soutěžních úloh

Hodnocení soutěžních úloh Hodnocení soutěžních úloh Superciferný součet Koeficient 1 Kategorie mládež Soutěž v programování 24. ročník Krajské kolo 2009/2010 15. až 17. dubna 2010 Vaší úlohou je vytvořit program, který spočítá

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS

RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS RELAČNÍ DATABÁZE ACCESS 1. Úvod... 2 2. Základní pojmy... 3 3. Vytvoření databáze... 5 4. Základní objekty databáze... 6 5. Návrhové zobrazení tabulky... 7 6. Vytváření tabulek... 7 6.1. Vytvoření tabulky

Více

Edu-learning pro školy

Edu-learning pro školy Edu-learning pro školy ONLINE VARIANTA Příručka pro instalaci a správu EDU 2000 s.r.o. Počítačové vzdělávání a testování Oldřichova 49 128 00 Praha 2 www.edu2000.cz info@edu2000.cz www.edu-learning.cz

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více