Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Transkript

1 Číslicová filtrace

2 Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé pro ízké kmitočty - epřesé - závislé a parametrech okolí (apř. teplota) + přesost + uiverzálost + vhodé i pro ízké frekvece + stabilita

3 Popis filtru: impulsí odezva ( odezva filtru a jedotkový impuls ) skoková odezva ( odezva filtru a jedotkový skok) frekvečí odezva Stačí zát jedu odezvu, ostatí lze bez problémů vyčíslit

4 Rozděleí číslicových filtrů podle účelu Frekvečě selektiví filtry - účelem je propustit ebo potlačit složky sigálu v určitém frekvečím pásmu. Realizují se jako FIR popř. IIR filtry Základí typy: Dolí propust (Low-pass filter) Horí propust (High-pass filter) Pásmová propust (Bad-pass filter) Pásmová zádrž (Bad-stop (reject) filter) Propusté pásmo epropusté pásmo

5 Frekvečí charakteristika

6 Grafická iterpretace frekvečí odezvy

7 Filtr : délka vektoru čitatele je jedotková, délka vektoru jmeovatele roste s rostoucí frekvecí dolí propust Filtr 2: délka vektoru čitatele je jedotková, délka vektoru jmeovatele klesá s rostoucí frekvecí horí propust Filtr 3: Pro 0 je délka vektoru čitatele ulová, s rostoucí frekvecí roste poměr délky vektoru čitatele ku délce vektoru jmeovateli horí propust Filtr 4: V bodě A je délka vektoru čitatele ulová, v ostatích frekvecích je poměr délek vektorů čitatele ku jmeovateli přibližě kostatí pásmová zádrž.

8 Rozděleí číslicových filtrů: FIR (fiite impuls respose) filtry s koečou impulsí odezvou, impulsí charakteristika má koečý počet hodot (N, pro filtr řádu N). filtry jsou vždy stabilí lze je avrhout s lieárí fází (áběžá a doběžá hraa impulsí odezvy je shodá. filtr zpožďuje vstupí sigál o M=(N-)/2 (tzv. skupiové zpožděí filtru) vzorků IIR (ifiite impuls respose) filtry s ekoečou impulsí odezvou impulsí charakteristika emá koečý počet hodot jsou výrazě ižšího řádu ež Fir filtry se stejými vlastostmi a z toho vyplývá že mají: ižší výpočetí složitost v porováí s Fir filtrem kratší zpožděí mezi vstupem a výstupem eí u ich zaručea stabilita fáze eí lieárí, a doladěí fázové charakteristiky je obtížé obecý ávrh je relativě složitý v porováí s FIR jsou citlivé a umerickou přesost výpočtů

9 Charakteristika FIR filtrů s lieárí fází:. Impulzí odezva h[] je symetrická okolo středového bodu. 2. H(F)=A(F)e j2 F (symetrie h[]), H(F)=jA(F)e j2 F (atisymetrie h[]). 3. Všechy póly jsou umístěy v bodě z=0 4. Nuly se obecě vyskytují v komplexě sdružeých recipročích čtveřicích. Nuly, které jsou a jedotkové kružici, jsou pouze v komplexě sdružeých dvojicích. Nuly a reálé ose jsou pouze v recipročích dvojicích. Nuly v bodě z= a z=- mohou být samostaté. 5. Pro atisymetrickou h[] se v z= vyskytuje lichý počet ul, pro symetrickou h[] je počet ul v z= sudý. 6. Pokud h[]= h[-] je H(z)= H(/z).

10 Příklad : Popisuje ásledující přeosová fukce filtr s lieárí fází? Příklad: Nakreslete diagram ul a pólů pro ásledující impulzí charakteristiku Příklad: Nakreslete diagram ul a pólů pro ásledující přeosovou fukci a určete, zda se jedá o filtr s lieárí fází.

11 Existují 4 typy filtrů s lieárí fází: Typ sudá symetrie, lichý počet vzorků, střed symetrie v hodotě M=(N-)/2 Lieárí fáze -2 MF kostatí skupiové zpožděí M amplitudové spektrum A(F ) je sudě symetrické okolo F=0 a F=0.5 H (0) a H (0.5) mohou být eulové Použití : vhodý pro všechy, typy filtrů, jedié koeficiety vhodé pro pásmovou zádrž

12 Typ 2 sudá symetrie, sudý počet vzorků N, střed symetrie v hodotě M=(N-)/2 (mezi dvěma vzorky) Lieárí fáze -2 MF kostatí skupiové zpožděí M amplitudové spektrum A(F ) má sudou symetrické okolo F=0, lichou symetrie okolo F=0.5 H 2 (0.5) je vždy ulový Použití : dolí propust, pásmová propust, difereciátor, Hilbertův trasformátor

13 Typ 3 lichá symetrie, lichý počet vzorků N, střed symetrie v hodotě M=(N-)/2 Lieárí fáze /2-2 MF kostatí skupiové zpožděí M amplitudové spektrum A(F ) má lichou symetrii okolo F=0 a F=0.5 H 3 (0) a H 3 (0.5) je vždy ulový Použití : pásmová propust, difereciátor, Hilbertův trasformátor

14 Typ 4 lichá symetrie, sudý počet vzorků N, střed symetrie v hodotě M=(N-)/2 (mezi dvěma vzorky) Lieárí fáze /2-2 MF kostatí skupiové zpožděí M amplitudové spektrum A(F ) má lichou symetrii okolo F=0 a sudou okolof=0.5 H 4 (0) je vždy ulový Použití : horí propust, pásmová propust, difereciátor, Hilbertův trasformátor

15 Symetrie typu a 2 se používají u základích frekvečě selektivích filtrů (dolí a horí propust, pásmová propust i pásmová zádrž), symetrie typu 3 se využívá u derivátoru, typ 4 se využívá u Hilbertova trasformátoru Typ : - sudý počet ul v z= - a sudý v z = (pokud se tam vyskytují) Typ 2:: - lichý počet ul v z= - a sudý v z = (pokud se tam vyskytují) Typ 3: - lichý počet ul v z= a lichý v z = - Typ 4: - lichý počet ul v z= a sudý v z = -

16 Př: Určete pozici všech ul u filtru typu (předpokládáme ejižší řád) pokud víme, že uly jsou v pozici z=0.5e j /3 a v z= Př: Určete pozici všech ul u filtru typu 2 (předpokládáme ejižší řád) pokud víme, že uly jsou v pozici z=0.5e j /3 a v z= Př. Určete přeosovou fukci a impulzí odezvu filtru s lieárí fází typu 3 (ejkratší délky) pokud víme, že jeda ula je v pozici z=j a dvě uly jsou v pozici z=.

17 Další typy filtrů Diskrétí itegrátor - počítá itegrál pomocí ěkterého ze zámých algoritmů umerické matematiky ( -obdélíkové pravidlo, 2- lichoběžíkové pravidlo, 3 Simpsoovo pravidlo, 4-Ticksovo pravidlo ) y( ) y( ) y( ) y( ) y( y( y( y( ) ) 2) 2) x( ) [ x( ) x( )] 2 4 x( ) x( ) x( 2) x( ).2832 x( ) x( 2) () (2) (3) (4) Simpsoův itegrál vhodý pro frekvece f <0, f vz /4> Obdélíkový a lichoběžíkový pro frekvece okolo f vz/2 Ticksovo pravidlo -pro širší pásmo itegrace s malou chybou

18 Frekvečí charakteristika ideálího diskrétího itegrátoru: H id ( e j ) j e j 2

19 Diskrétí derivátor - je důležitý apř. pro staoveí hra v obraze, určováí zrychleí z rychlosti u časových průběhů apod. y( ) y( ) y( ) x( ) [ x( 2 [ x( 2 x( ) 2) ) x( 8x( )] ) 8x( ) x( Frekvečí charakteristika ideálího diskrétího derivátoru: 2)] () (2) (3) H Did j ( e ) j,

20 Hilbertův trasformátor používá se k získáí imagiárí složky ze složky reálé - jedá se o fázový posouvač posouvající fázi v základím itervalu o π/2 pro >0 a o +π/2 pro <0 Ideálí frekvečí charakteristika: H HT ( e j ) j j,, 0 0 Fázové posouvače mají jedotkovou amplitudovou frekvečí charakteristiku, ale měí průběh fázové charakteristiky a požadovaý. Nejčastěji se používají v kombiaci s jiými filtry (apř. IIR) aby bylo dosažeo požadovaého průběhu výsledé fázové charakteristiky (liearita)

21 Filtr klouzavý průměr realizuje klouzavý průměr z daého vzorku a M vzorků předchozích. Používá se pro potlačeí periodického rušeí superpoovaého a kostatí sigál, potlačeí krátkodobých výkyvů časové řady (vyhlazováí tredu v ekoomice). Nevážeý klouzavý průměr všechy koeficiety shodé y( ) N i x( i) ( N ) N [ x( ( N )) x( N )... x( ) x( )]

22 Frekvečí charakteristika filtru: H ( f ) N si( si( fn ) f ) MA ( e j ) ( N ) 2

23

24 Klouzavý průměr lze použít opakovaě odstraňuje lépe šum, ale rozmazává ostré přechody

25 Klouzavý průměr s expoeciálím zapomíáím (expoeciálě vážeý klouzavý průměr) počítá průměr z posledích hodot, jejichž váhy V expoeciálě klesají se vzdáleostí od posledího vzorku (ejstarší vzorek má ejmeší váhu) j j V e V e H ) ( N i i N i i N i i i x V V y N i x V V y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, ), ( ) (

26 Ideálí filtry Frekvečí charakteristika ideálího filtru typu dolí propust Impulzí odezva:

27 Filtry se obvykle avrhují jako dolí propusti (DP), přechod a odpovídající typ filtru (HP,PP,PZ) se provádí frekvečí trasformací. Horí propust: - 2 způsoby. Posu spektra dolí Frekvečí trasformace 2. Odečteím frekvečí charakteristiky DP od frekvečí charakteristiky allpass filtru

28 Pásmová propust: Pásmová zádrž:

29 Příklad: Použijte frekvečí trasformaci pro alezeí frekvečí charakteristiky a impulzí odezvy ásledujících ideálích filtrů: a) Dolí propust F c =0.25 b) Horí propust F c =0.3 c) Pásmová propust s F =0. a F 2 =0.3 d) Pásmová zádrž s F =0.2 a F 2 =0.4

30 Ideálí filtry jsou v praxi erealizovatelé protože: jsou ekauzálí (fce sic je symetrická okolo počátku =0) jsou estabilí (fce sic eí absolutě kovergetí) Aby bylo možé je realizovat je uté omezit impulzí odezvu okem (sic pro koečou délkou koverguje) a posuout o N vzorků ( impulzí odezva se stává kauzálí) a je zachovaá symetrie okolo středového bodu (podmíka pro zachováí lieárí fáze). Použité oko vždy deformuje tvar frekvečí charakteristiky!!! Pravoúhlé oko:

31 Trojúhelíkové oko: