Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu"

Transkript

1 Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku Návod na práci s učebním textem Jelikož se v učebním textu nachází mnoho odkazů, podám zde drobné vysvětlení jejich značení. Na začátku je uveden obsah, z kterého je možno se dostat na různá místa v celém učebním textu. Odkaz v obsahu je označen černou tučnou kurzívou např. III. Newtonův zákon. Barevně značené odkazy: - červená kurzíva: odkaz na definici či vysvětlení pojmu (např. polohový vektor) - modře označené velkými písmeny napsaná slova: odkazy na příklady, obrázky, poznámky a výsledky příkladů (např. PŘ, OBR, POZN, VÝSLEDEK) Pro návraty zpět na původní místa slouží podtržené nadpisy u definic, pojmů, poznámek, příkladů, výsledků ale i v základních stranách učebního textu (např. 3.4 Skládání sil. Příklady sil, Kilogram). Kateřina Kárová, 2006

2 Obsah 1. Mechanika hmotného bodu 1.1 Definice 1.2 Rozdělení mechaniky hmotného bodu 2. Kinematika hmotného bodu 2.1 Hmotný bod 2.2 Určení polohy hmotného bodu Parametrický popis pohybu 2.3 Rychlost Průměrná rychlost Okamžitá rychlost 2.4 Zrychlení Tečné a normálové zrychlení 2.5 Obecné vzorce pro stanovení trajektorie, rychlosti a zrychlení Klasifikace pohybů Přímočaré pohyby Křivočaré pohyby 3. Dynamika hmotného bodu 3.1 I. Newtonův zákon 3.2 II. Newtonův zákon 3.3 Síla 3.4 Skládání sil. Příklady sil 3.5 Hmotnost 3.6 III. Newtonův zákon 4. Práce, energie a další mechanické veličiny 4.1 Práce síly 4.2 Konzervativní síly 4.3 Potenciální energie 4.4 Kinetická energie 4.5 Výkon síly 4.6 Zákon zachování mechanické energie 4.7 Intenzita a potenciál silového pole 4.8 Moment síly a moment hybnosti

3 1.1 Definice Mechanika hmotného bodu popisuje pohyb hmotných bodů.

4 1.2 Rozdělení mechaniky hmotného bodu Mechanika: - kinematika Zabývá se pouhým popisem pohybu, nikoli však příčinami, které pohyb způsobují. - dynamika Vyšetřuje závislosti mezi pohybem hmotných bodů a silami, které na ně působí a vyvolávají změny jejich pohybového stavu.

5 2. Kinematika hmotného bodu 2.1 Hmotný bod Hmotné těleso, jehož rozměry a vnitřní strukturu můžeme zanedbat.

6 2.2 Určení polohy hmotného bodu Polohu hmotného bodu určujeme vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Zadává se pomocí polohového vektoru, souřadnic.

7 2.2.1 Parametrický popis pohybu Nejprve si zvolíme soustavu souřadnic, která bude pevně spjatá s tělesy v okolí pohybujícího se hmotného bodu a sledujeme změnu souřadnic bodu s časem. Pro nejčastěji užívané kartézské souřadnice dostaneme parametrické rovnice pohybu hmotného bodu. PŘ

8 2.3 Rychlost Rychlost zavádíme pro podrobnější studium jednotlivých pohybů a tím získáme i jedno z kritérií pro jejich vzájemné rozlišení.

9 2.3.1 Průměrná rychlost Δr Průměrná rychlost je popsána vztahem v =, kde Δr je odpovídající vektor posunutí a Δ t Δt je délka časového intervalu. OBR

10 2.3.2 Okamžitá rychlost Okamžitá rychlost: v dr =, kde r je polohový vektor a t je čas. OBR dt

11 2.4 Zrychlení Další důležitou charakteristikou pohybu je změna rychlosti s časem, kterou nazýváme zrychlením. dv Zrychlení: a =, kde v je rychlost a t je čas. OBR dt Nenulové zrychlení signalizuje, že se mění velikost nebo směr rychlosti částice.

12 2.4.1 Tečné a normálové zrychlení Zrychlení a : - tečné zrychlení a t - složka zrychlení do směru rychlosti OBR - normálové zrychlení a n - složka zrychlení, která je kolmá na směr rychlosti Zrychlení a je součtem tečného a t a normálového zrychlení a n : a = a + a t n OBR

13 2.5 Obecné vzorce pro stanovení trajektorie, rychlosti a zrychlení Zde je uvedeno shrnutí vztahů, pomocí kterých lze úplně popsat pohyb hmotného bodu, tedy určit jeho trajektorii, rychlost a zrychlení. ( ) x= x() t y = yt (), r= rt () z = z() t POZN PŘ ( ) v v v x y z d x = () t dt dy dr = (), t v = () t dt dt d z = () t dt POZN a a a x y z 2 dv x d x = = 2 dt dt 2 2 dv y d y dv d r = =, a = = 2 2 dt dt dt dt 2 dv z d z = = 2 dt dt POZN

14 2.5.1 Klasifikace pohybů - klasifikace dle tvaru trajektorie: Pohybuje-li se hmotný bod po přímce, nazývá se tento pohyb přímočarý. Pohyb, který se neděje po přímce, je pohybem křivočarým. - klasifikace dle změny velikosti rychlosti: Je-li velikost rychlosti v = v s časem konstantní, nazývá se tento pohyb rovnoměrný. Naproti tomu, mění-li se velikost rychlosti s časem, je to pohyb nerovnoměrný.

15 2.5.2 Přímočaré pohyby Pro jednoduchost položíme jednu ze souřadnicových os do přímky, po níž se hmotný bod děje. Místo tří obecných parametrických rovnic ( ) můžeme nyní pohyb popisovat už jen rovnicí jednou, kterou označíme x = xt (). Nyní uvedeme několik příkladů pohybů: - Přímočarý rovnoměrný pohyb - Přímočaré nerovnoměrné pohyby - Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený - Harmonický pohyb

16 2.5.3 Křivočaré pohyby Tyto pohyby se nekonají po přímce. Obecně k vystižení pohybu potřebujeme všechny tři rovnice x = xt (), y = y() t, z = z() t. Rovinný křivočarý pohyb stačí popsat dvěma parametrickými rovnicemi x = xt () a y = y() t. Příklady pohybů: - Křivočaré rovnoměrné pohyby - Rovnoměrný kruhový pohyb - Křivočaré nerovnoměrné pohyby - Nerovnoměrný pohyb po kružnici Jestliže se hmotný bod pohybuje v trojrozměrném prostoru, může se například pohybovat po šroubovici, k popisu jeho pohybu potom musíme použít tří parametrických rovnic.

17 3. Dynamika hmotného bodu Souvislost mezi sílou působící na těleso určité hmotnosti a pohybovým stavem toho tělesa je pro dynamiku velmi podstatnou otázkou, kterou v dostačující míře zodpovídají tři Newtonovy pohybové zákony. Pro jejich základní význam se také nazývají principy. POZN

18 3.1 I. Newtonův zákon První Newtonův zákon Zákon setrvačnosti: Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, dokud není nuceno vnějšími silami tento svůj pohybový stav změnit. POZN

19 3.2 II. Newtonův zákon Druhý Newtonův zákon: F = m a POZN Druhý Newtonův zákon lze vyjádřit i jinak, a to pomocí hybnosti. Ekvivalentní zápis druhého Newtonova zákona: d p F = dt POZN

20 3.3 Síla Síla způsobuje zrychlení hmotného bodu. Jednotkou síly je Newton.

21 3.4 Skládání sil. Příklady sil Princip superpozice Na základě známého pohybu hmotného bodu lze stanovit sílu (síly), která tento pohyb způsobuje. Z pohybových rovnic lze tedy určit působící sílu. PŘ Příklady sil: - gravitační síla - Lorentzova síla

22 3.5 Hmotnost Hmotnost tělesa je charakteristika, která určuje poměr mezi silou působící na hmotný bod a jeho zrychlením. Hmotnost již nelze přesněji definovat. Standardní jednotkou hmotnosti v soustavě SI je kilogram. Stejná síla uděluje různým tělesům různá zrychlení. PŘ

23 3.6 III. Newtonův zákon Síly nikdy nepůsobí samy. Například když se opřeme o stůl, působíme na stůl určitou silou a současně stůl na nás působí stejnou silou opačného směru. Třetí Newtonův zákon Zákon akce a reakce: FAB = FBA OBR

24 4.1 Práce síly 4. Práce, energie a další mechanické veličiny Působí-li při pohybu po dané dráze s na hmotný bod konstantní síla F, pak tato síla vykonala práci definovanou vztahem A= Fscosα, kde α je úhel, který svírá síla F se směrem pohybu. OBR Když na hmotný bod při pohybu ve všech bodech nepůsobí stejná síla, je nutné definici práce rozšířit. Platí tento obecný vztah: A= F dr POZN OBR C

25 4.2 Konzervativní síly Síly, jež při přemísťování hmotného bodu konají práci závislou pouze na počáteční a koncové poloze hmotného bodu nikoli na trajektorii (křivce), po níž se hmotný bod přemisťuje, se nazývají konzervativní. Práce konzervativních sil po uzavřené křivce je nulová. Příkladem konzervativních sil mohou být síla gravitační, elektrostatická, síla pružiny. Příkladem nekonzervativní síly je síla třecí.

26 4.3 Potenciální energie Potenciální energie pro konzervativní síly: My konáme práci v silovém poli: V r ( ) r = V + F r 0 naše d r0 r naše = pole ( ) = 0 pole d r A naše F F V r V F 0. r POZN

27 4.4 Kinetická energie Kinetická energie je definovaná vztahem 1 2 T = mv. 2

28 4.5 Výkon síly Výkon síly: da P = POZN dt

29 4.6 Zákon zachování mechanické energie Pohybuje-li se hmotný bod v konzervativním silovém poli, je součet jeho potenciální a kinetické energie označený E konstantní. E = T + V = konst POZN

30 4.7 Intenzita a potenciál silového pole Tyto veličiny jsou charakteristikami silového pole. Nezávisí na hmotnosti bodu. F Intenzita silového pole - gravitačního: E = m F - elektrického: E = q Potenciál silového pole: - gravitačního: - elektrického: V ϕ = m ϕ = V q

31 4.8 Moment síly a moment hybnosti Moment síly je definován vztahem ( ) M = r r F. OBR B A Určujeme-li moment síly působící v místě o polohovém vektoru r vůči počátku soustavy souřadnic, zjednoduší se vztah pro moment síly na tvar: M = r F L = r r p Moment hybnosti je dán vztahem ( ) B A Obdobně jako u momentu síly se dá výraz pro moment hybnosti upravit. Nachází-li se hmotný bod o hybnosti p v místě s polohovým vektorem r a hledáme-li jeho moment hybnosti vůči počátku soustavy souřadnic, výraz má podobu L = r p Působí-li na hmotný bod síla F, lze moment M této síly a moment hybnosti L hmotného bodu určované vzhledem ke stejnému vztažnému bodu svázat vztahem dl = M (Časová derivace momentu hybnosti je rovna momentu síly). POZN dt

32 Příklady Parametrický popis pohybu 1) Pohyb daný parametrickými rovnicemi: x = 3t y = 4t je pohyb po přímce y = 4/3 x. Trajektorií je v tomto případě přímka. Obr : Trajektorie o rovnici y = 4/3 x Jde o pohyb rovnoměrný? Jaká je rychlost (složky rychlosti, velikost rychlosti)? 2) x = 2t y = t 2 Po jaké křivce se koná pohyb daný těmito parametrickými rovnicemi? Jaká je rovnice této křivky? VÝSLEDEK

33 (obecné vzorce),okamžitá rychlost, zrychlení 3) Určete rychlost a zrychlení hmotného bodu, jehož pohyb je dán rovnicí: 2 a) x = 2t + 4t+ 5 1 b) x = 4cos t 2 VÝSLEDEK

34 Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený 4) Řidič spatřil policejní vůz a začal brzdit. Na dráze 88 m zpomalil z rychlosti 75 km.h -1 na 45 km.h -1. a) Určete zrychlení auta za předpokladu, že bylo během brzdění konstantní. b) Jak dlouho řidič v této fázi pohybu brzdil? c) Řidič dále brzdil se zrychlením určeným v a). Za jak dlouho od začátku brzdění se auto zcela zastaví? d) Jakou dráhu urazí vůz od počátku brzdění do úplného zastavení? e) Při další jízdě řidič opět potřebuje zastavit. Zpomaluje se stejným zrychlením jako v a); počáteční rychlost je však taková, že vůz úplně zastaví na dráze 200 m. Jak dlouho trvá brzdění? VÝSLEDEK POZN

35 Skládání, příklady sil 5) Hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře v prostředí bez odporu. Jaká je síla, která tento pohyb způsobila? 6) Určete sílu způsobující popsané pohyby bodu o hmotnosti m. v, v, a, a, a, b, b, ω jsou konstanty a) x = v t+ b 1 1 y = v t+ b 2 2 b) x = at + bt y = a t + b t c) x = a sinωt 1 y = a cosωt 2 VÝSLEDEK

36 Hmotnost 7) Na podlahu položíme dva různé míče basketbalový a medicinbal. Do obou míčů prudce kopneme. Jaké bude zrychlení basketbalového míče vzhledem k medicinbalu? Čím je způsoben rozdíl zrychlení? VÝSLEDEK

37 Výsledky Parametrický popis pohybu 1) Jde o pohyb rovnoměrný. Hmotný bod se pohybuje s nulovým zrychlením a s konstantní rychlostí. Složky rychlosti: v x = 3 v y = 4 v = v + v = x y 2) Pohyb se koná po parabole o rovnici y = 1/4 x 2. Obr : Trajektorie o rovnici y = 1/4 x 2

38 Okamžitá rychlost, zrychlení (obecné vzorce) 3) a) Rychlost a zrychlení vypočtené derivacemi: dx d 2 v x = = ( 2 t + 4 t+ 5 ) = 4 t+ 4 dt dt dv x d ax = = ( 4 t+ 4 ) = 4 dt dt b) Rychlost a zrychlení vypočtené derivacemi: dx d 1 1 v x = = 4cos t 2sin t dt dt = 2 2 a x dv x d 1 1 = = 2sin t = cos dt dt 2 t 2

39 Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený 2 2 4) a) Vzorec pro stanovení zrychlení odvodíme z rovnice = + a ( x x ) v v 0 (který vznikl x 0x 2 x pomocí algebraických úprav prvních dvou rovnic tabulky v příslušné poznámce) vx v0x (45 km h ) (75 km h ) 4-2 a x = = = 2,05 10 km h 1,6 m s 2 x x 2 0,088 km ( ) 0-2 Zrychlení (zpomalení) automobilu je 1, 6 m s. b) Nyní je neznámou veličinou čas a zrychlení se naopak v zadání nevyskytuje. 2( x x0 ) 3 t = = = 1, 5 10 h 5, 3 s v0x + vx Řidič v této fázi pohybu brzdil 5, 4 s. c) Zde nepotřebujeme uvažovat o posunutí (x-x 0 ).V našem případě je konečná rychlost v x nulová. vx v0x t = = 13 s ax Automobil se zcela zastaví za 13 s od začátku brzdění. d) Hledaná dráha je přímo rovna posunutí. 1 2 x x0 = v 0xt+ axt = = 0,137 km 140 m 2 Vůz od počátku brzdění urazí dráhu 140 m. 1 2 e) Není zde dána počáteční rychlost. K výpočtu použijeme rovnici x x0 = v xt axt (vzorec opět 2 viz poznámka). Konečná rychlost v x je v tomto případě nulová. 2 t Brzdění trvá 16 s. ( x x ) 0 = = = a x 16 s -2

40 Skládání, příklady sil 5) Při pohybu přímočarém rovnoměrném je zrychlení nulové, čili pohyb se děje bez působení síly. 6) a) b) c) x= v1t+ b 0 1 x = v1 x = 0 Fx = mx = nepůsobí žádné síly y = v 0 2t+ b2 y = v2 y = 0 Fy = my = 2 x= at 1 + bt 1 x = 2at b1 x= 2a F 1 x = ma1 konstantní vektor síly 2 y = a y 2a 2 2t + b2t = 2t+ b2 y = 2a F 2 y = ma2 2 x= a1sinωt x = a1ωcosωt x= a1ω sinωt 2 y = a2cosωt y = a2ωsin ωt y = a2ω cosωt F m a sin t m x centrální síla F m a t m y 2 2 x = ω 1 ω = ω 2 2 y = ω 2 cosω = ω

41 Hmotnost 7) Lehčí basketbalový míč získá výrazně větší zrychlení než těžký medicinbal. Na oba jsme působili stejnou silou, přesto oba mají různá zrychlení. Je to způsobeno jejich rozdílnými hmotnostmi.

42 Definice, pojmy Parametrické rovnice V 3-D prostoru: x = xt () y = yt (), kde parametr t znamená čas. z = z() t Tyto rovnice popisují trajektorii pohybu bodu. Souřadnice x, y, z označují složky vektoru, který značíme r = r() t a nazýváme jej polohovým vektorem bodu.

43 Trajektorie Trajektorie je souhrn všech poloh, kterými při pohybu hmotný bod prochází. Trajektorie je vždy spojitou křivkou, protože u každého fyzikálně reálného pohybu se jeho poloha mění v závislosti na čase spojitě. Délka trajektorie hmotného bodu je dráha.

44 Polohový vektor hmotného bodu Znázorňujeme ho orientovanou úsečkou s počátkem v počátku souřadnicové soustavy a koncem v místě, kde se nachází hmotný bod. POZN Obr : Polohový vektor hmotného bodu (2-D)

45 Průměrná rychlost Průměrná rychlost hmotného bodu v časovém intervalu Δt měřeném od okamžiku, kdy byl hmotný bod v místě o polohovém vektoru r, do okamžiku, kdy byl v místě s polohovým vektorem r, je definována jako podíl odpovídajícího vektoru posunutí Δ r a délky časového intervalu Δ t. Obr : Průměrná rychlost hmotného bodu

46 Okamžitá rychlost Okamžitá rychlost v je limitou průměrné rychlosti v pro Δt 0, tj. derivací polohového vektoru r podle času. POZN Obr. č : Okamžitá rychlost hmotného bodu a její rozklad do složek

47 Zrychlení Zrychlení (též někdy nazývané okamžité zrychlení) je limitou průměrného zrychlení a, pro Δt 0. POZN Obr. č : Rozklad zrychlení do složek

48 Průměrné zrychlení v2 v1 Δv Podíl a = = se nazývá průměrným zrychlením v časovém intervalu Δt, Δt Δt v kterém se rychlost hmotného bodu změnila z v 1 na v 2.

49 Tečné zrychlení Tečné zrychlení charakterizuje změnu velikosti rychlosti s časem. Jeho velikost je d definována vztahem a = v t. Tečné zrychlení je rovno časové derivaci velikosti dt rychlosti. Jestliže se velikost rychlosti zvětšuje, je tečné zrychlení orientováno souhlasně se směrem rychlosti hmotného bodu, zmenšuje-li se velikost rychlosti, má tečné zrychlení opačný směr než je směr rychlosti bodu. Obr. č : Tečné a normálové zrychlení

50 Normálové zrychlení Velikost normálového zrychlení a n souvisí se zakřivením dráhy pohybu. Platí 2 rovnice a n = v, kde R je poloměr oskulační kružnice dráhy bodu a v velikost R rychlosti bodu ve zkoumaném místě. Obr. č : Tečné a normálové zrychlení

51 Oskulační kružnice Oskulační kružnice nahrazuje v studovaném místě trajektorii hmotného bodu (přibližné nahrazení křivky kružnicí).

52 Přímočaré nerovnoměrné pohyby To jsou takové pohyby, při kterých se hmotný bod pohybuje po přímce s nekonstantní rychlostí.

53 Přímočarý rovnoměrný pohyb Parametrická rovnice: x = v t+ x0, kde v i x 0 jsou konstanty, v je rychlost (ne velikost rychlosti) a x 0 je poloha hmotného bodu v čase t = 0.

54 Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený Děje se po přímce, má konstantní zrychlení. Parametrická rovnice: 1 2 v 2 x = at + 0t + x 0, kde x 0, v, a jsou konstanty. 0 Rychlost pohybu: vx = at + v 0. Zrychlení: a = konst. x V případě záporného zrychlení se jedná o rovnoměrně zpomalený pohyb. PŘ Obr :Rovnoměrně zrychlený pohyb hmotného bodu a) Časová závislost polohy x (t), b) Časová závislost rychlosti v x (t), c) Zrychlení hmotného bodu a x (t).

55 Harmonický pohyb Závislost polohy hmotného bodu na čase je dána harmonickou funkcí, tj. sinus, kosinus nebo jejich vzájemnou kombinací. Rovnice harmonického pohybu: x = Asin( ωt+ α) + x0, kde A ( A > 0) je amplituda kmitu, ( ωt + α) fáze kmitu, ω( ω > 0) se nazývá kruhová či úhlová frekvence a konstanta α je počáteční fáze. POZN Rychlost: v = Aω cos( ωt+ α) POZN x Zrychlení: a = Aω 2 sin( ωt+ α) POZN x 2π T =. doba kmitu. ω 1 f =. frekvence T ω = 2π f.. vztah mezi úhlovou frekvencí a frekvencí

56 Doba kmitu T Po této době se celý průběh pohybu opakuje.

57 Frekvence f Je to převrácená hodnota doby kmitu. Udává počet kmitů vykonaných za jednotku času.

58 Křivočaré rovnoměrné pohyby Jsou to pohyby, které se nekonají po přímce. Velikost vektoru rychlosti při nich zůstává stálá, ale vektor rychlosti mění svůj směr.

59 Křivočaré nerovnoměrné pohyby Je to nejobecnější druh pohybu. Vybereme-li za parametrické rovnice pohybu libovolné tři funkce ( ), ve většině případů se tedy bude jednat o pohyb křivočarý nerovnoměrný.

60 Rovnoměrný kruhový pohyb Parametrické rovnice: Rychlost: x = Rcos( ωt+ α) + x0, kde R, ω, α, x 0, y 0 jsou konstanty. POZN y = Rsin( ωt+ α) + y v v x y = Rω sin( ωt+ α) = Rω cos( ωt+ α) 0 POZN Zrychlení: 2 ax R t = ω cos( ω + α) 2 ay R t = ω sin( ω + α) POZN Úhlová rychlost: ω = 2π f, kde f je počet obrátek za sekundu Doba oběhu: T (frekvence kruhového pohybu). 1 2π = = POZN f ω Obr : Rychlost a zrychlení částice při rovnoměrném pohybu po kružnici

61 Rovnoměrný pohyb po šroubovici Parametrický popis pohybu po šroubovici: x = Rcosωt y = Rsinωt z = kt

62 Nerovnoměrný pohyb po kružnici Parametrické rovnice: x = Rcos ϕ( t), y = Rsin ϕ( t) kde R je konstanta a φ(t) je libovolná funkce času. POZN Rychlost: Zrychlení: v v x y d ϕ( t) = R sin ϕ ( t ) dt POZN d ϕ( t) = R cos ϕ ( t ) dt 2 2 d ϕ dϕ x = ϕ 2 a R sin ( t) R cos ϕ( t) dt dt složka tečného zrychlení 2 2 d ϕ dϕ y = ϕ 2 složka tečného zrychlení složka normálového zrychlení a R cos ( t) R sin ϕ( t) dt dt složka normálového zrychlení

63 Vztažná inerciální soustava, inerciální systém Inerciální systém je systém, vůči němuž je libovolný volný hmotný bod v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu.

64 Volný hmotný bod, volná částice Hmotný bod (částice), na který nepůsobí žádné síly.

65 Newton 1 Newton je síla udělující hmotnému bodu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1m s -2. Značí se N. Zapisujeme: 1N = (1kg) (1m s ) = 1kg m s -2-2

66 Síla Síla je fyzikální veličina charakterizující vzájemné působení hmotných bodů (těles). Hmotné body na sebe mohou silově působit buď bezprostředně vzájemným dotykem, nebo na dálku pomocí silového pole (např. gravitačního nebo elektrického pole). Velikost síly lze stanovit pomocí velikosti zrychlení, které síla způsobuje. Zrychlení je vektorovou fyzikální veličinou (má velikost i směr). Z toho plyne, že můžeme i síle přisoudit směr a že i síla je vektorová fyzikální veličina. Pro značení síly se používá známý symbol F.

67 Princip superpozice Síly se dají skládat. Pro síly platí pravidla pro počítání s vektory. Výsledná síla (výslednice) je n vektorovým součtem všech působících sil a značí se Fvýsledná = Fi. i= 1

68 Kilogram Někdy též nazývaný standardní kilogram. Značka pro tuto jednotku je kg. Původně byl definován jako hmotnost jednoho litru vody. Nyní je podle mezinárodní úmluvy stanoven hmotností válce vyrobeného ze slitiny platiny a iridia, který je uložen v Mezinárodním ústavu pro váhy a míry v Sèvres u Paříže.

69 Hybnost Hybnost částice je vektorová fyzikální veličina definovaná vztahem p = m v, kde m je hmotnost částice a v je její rychlost. Vyjádření změny hybnosti pomocí druhého Newtonova zákona: tb tb tb dp dp = F d t= Ft d pb pa = Ft dt dt d Změna hybnosti je rovna impulzu síly. t t t A A A

70 III. Newtonův zákon Síly, jimiž na sebe působí dva hmotné body, jsou stejně velké, navzájem opačného směru. Obr : Zákon akce a reakce

71 Gravitační síla - v homogenním poli: F = m g, kde g je tíhové zrychlení a m je hmotnost bodu. M mr - síla, kterou se přitahují dva hmotné body: F = κ, 2 r r kde κ je gravitační konstanta, m, M jsou hmotnosti dvou na sebe navzájem působících hmotných bodů. Tyto hmotnosti mohou být odlišné.

72 Lorenzova síla Je to síla F magnetického pole, která působí na náboj q. Závisí na směru a velikosti rychlosti v testovacího náboje q: F = q v B), kde B je magnetická indukce. (

73 Práce Práce se značí A (pochází to z německého slova arbeit). Jednotkou práce je joule (J). [ A ] = N m= J Obr : Působení síly na hmotný bod v pohybu

74 Potenciální energie Potenciální energie je skalární fyzikální veličina charakterizující vzájemné silové působení hmotných bodů. Závisí na jejich vzájemné poloze. Potenciální energie se značí V. Jednotkou potenciální energie je joule [ V ] = J.

75 Kinetická energie Kinetickou energii mají hmotné body pohybující se vzhledem k dané vztažné soustavě (na jejíž volbě závisí). Kinetická energie je skalár, který charakterizuje T = J. pohybový stav hmotných bodů. Jednotkou kinetické energie je opět joule - [ ]

76 Výkon síly Výkon je skalární veličina vyjadřující rychlost konání mechanické práce. Hlavní jednotkou -1 výkonu je watt. [ P ] = W = J s. Výkon 1W má síla, která vykoná práci 1J za dobu 1s.

77 Intenzita silového pole Intenzita E je vektorová fyzikální veličina charakterizující dané silové pole, například pole gravitační, pole elektrické atd.. κm Intenzita gravitačního pole E = r 3, r kde κ je gravitační konstanta. Její velikost je 6,67 10 N m kg. Jednotkou intenzity gravitačního pole je newton na kilogram. E = N kg = m s -1-2 Intenzita gravitačního pole je vlastně gravitační zrychlení, jak je vidět již z jednotky intenzity. 1 Q Intenzita elektrického pole (coulombovského) E = r 3, 4πε r. kde Q je bodový náboj, který způsobuje toto pole,ε je permitivita prostředí a r je vzdálenost, v které intenzitu studujeme. Jednotkou intenzity je newton na coulomb V praxi se používá jednotka volt na metr. E = NC = Vm.

78 Potenciál silového pole Potenciál ϕ je skalární fyzikální veličina. Je odvozen od potenciální energie. Nezávisí na hmotnosti (náboji) hmotného bodu (částice), který se v daném silovém poli pohybuje. Nejčastějším příkladem potenciálu je potenciál elektrický: Potenciální energie elektrického náboje q v poli náboje Q je definována vztahem V 1 Qq =. 4πε r 1 Q Z tohoto vztahu vyplývá vztah pro potenciál elektrického pole ϕ =. 4πε r ϕ = V. POZN Příkladem síly, která nemá potenciál, je síla třecí nebo síla Lorenzova ( F = qv B). Jednotkou elektrického potenciálu je volt. [ ]

79 Moment síly Jednotkou momentu síly je newtonmetr. M = N m. Moment síly M zavedený rovnicí M = ( rb ra) F je vektor kolmý na rovinu vektorů rb ra a F. Je-li soustava souřadnic, v níž vektorový součin stanovujeme, soustavou pravotočivou, tvoří vektory rb ra, F a M v uvedeném pořadí pravotočivý systém. Obr. č : Moment síly vůči bodu A

80 Moment hybnosti Moment hybnosti L je vektorová fyzikální veličina. 2-1 L = kg m s

81 Poznámky Polohový vektor hmotného bodu Polohový vektor rozepsaný pomocí svých složek: r = xe x + ye y + ze, z kde e, e, e jsou jednotkové vektory souřadnicových os. x y z

82 Okamžitá rychlost Dosazením r = xe x + ye y + ze z do rovnice d r v = dostaneme dt d dx dy dz v = ( xex + yey + zez) = ex + ey + ez. dt dt dt d t d d d Složky vektoru rychlosti tedy jsou = x y,, x dt = y dt = z v v v a v lze psát ve tvaru z dt v = v xe x + vye y + vze z. PŘ

83 Zrychlení Dosazením v = v xe x + vye y + vze z do rovnice dv a = dostaneme dt d d d x y d z a = ( xex yey zez) ex ey dt + + = v dt + v dt + v v v v e. dt z Označíme-li si d d x y d a = v x, ay, az dt = v dt = v dt z jako složky vektoru zrychlení a, můžeme předchozí rovnici přepsat na tvar a = a e + a e + a e. PŘ x x y y z z

84 Obecné vzorce pro stanovení trajektorie Tyto parametrické rovnice popisují trajektorii hmotného bodu s uvážením času t (parametr), kdy se v kterém místě dráhy bod nachází. Rovnice r = r() t popisuje pohyb bodu zapsáním časového vývoje jeho polohového vektoru r. Tvar trajektorie hmotného bodu získáme vyloučením parametru t z parametrických rovnic.

85 Obecné vzorce pro stanovení rychlosti Rychlost v bodu pohybujícího se po trajektorii ( ) stanovíme derivováním rovnic ( ) dle času t. Rychlost takto určená je opět funkcí času t.

86 Obecné vzorce pro stanovení zrychlení Zrychlení určíme opětným derivováním rovnic ( ), čili derivací rovnic ( ) podle času t. Zrychlení je zde také funkce času.

87 Harmonický pohyb rovnice harmonického pohybu Hmotný bod řídící se rovnicí harmonického pohybu se pohybuje jen po úsečce A x x A. Střed této úsečky leží v bodě x0, což je rovnovážná poloha. 0 Harmonický kmit je pohybem periodickým.

88 Harmonický pohyb rychlost Rychlost je harmonická funkce času. Velikost rychlosti má maximální hodnotu v rovnovážné poloze. Rychlost (její x-ovou složku) lze z rovnice x = Asin( ωt+ α) + x0 spočítat derivací: vx dx d = = + + = + dt dt ( Asin ( ωt α) x0 ) Aωcos( ωt α )

89 Harmonický pohyb zrychlení Zrychlení je harmonická funkce času, podobně jako rychlost. Velikost zrychlení je maximální v krajních polohách pohybu. Zrychlení se vypočte z rovnice pro rychlost v = Aω cos( ωt+ α) derivováním, nebo druhou derivací z rovnice x = Asin( ωt+ α) + x0. dv x d a ( cos( )) 2 x = = Aω ωt+ α = Aω sin ( ωt+ α) dt dt Porovnáním rovnice harmonického pohybu s rovnicí pro zrychlení nám vychází vztah 2 mezi zrychlením a výchylkou pohybujícího se hmotného bodu ax = ω ( x x0 ). Zrychlení harmonického pohybu je tedy úměrné výchylce (x x ) 0 a má opačný směr.

90 Rovnoměrný kruhový pohyb - dráha Dráhu hmotného bodu určíme vyloučením parametru t z parametrických rovnic Tím dostaneme rovnici pro kružnici ( x x ) + ( y y ) = R. Hmotný bod se 0 0 tedy pohybuje po kružnici o poloměru R se středem v bodě x 0, y 0..

91 Rovnoměrný kruhový pohyb rychlost Velikost rychlosti je konstantní, což ukazuje následující rovnice: v = v = v + v =. 2 2 x y R ω Znaménko ω udává, v jakém smyslu se pohybuje hmotný bod po kružnici ( ω < 0 ve směru nebo ω > 0 proti směru hodinových ručiček). Velikost vektoru rychlosti může být pouze kladná, proto je v této rovnici úhlová rychlost v absolutní hodnotě.

92 Rovnoměrný kruhový pohyb zrychlení Zavede-li se vektor r s počátkem ve středu kružnice ( ) x x0 + ( y y0) = R a konec v místě okamžité polohy hmotného bodu, který koná kruhový pohyb, můžeme vztah mezi r a a 2 psát jako a = ω r (plyne to z porovnání rovnic pro trajektorii tohoto pohybu s rovnicemi pro zrychlení). Vektor r směřuje od středu kružnice k místu, kde se hmotný bod nachází a zrychlení hmotného bodu má míří do středu kružnice. Proto se mu říká dostředivé zrychlení. Jeho 2 velikost určuje rovnice a = a= ω R= v. R

93 Rovnoměrný kruhový pohyb doba oběhu Doba oběhu (perioda) je doba, za kterou hmotný bod oběhne kružnici jednou dokola.

94 Nerovnoměrný pohyb po kružnici - trajektorie Po vyloučení parametru t z parametrických rovnic dostaneme rovnici pro trajektorii: x + y = R, ze které je vidět, že se hmotný bod pohybuje po kružnici o poloměru R. Z obrázku lze odvodit význam funkce φ(t). Udává úhel, který svírá polohový vektor r (průvodič) bodu s kladným směrem osy x. Jak rychle obíhá hmotný bod po kružnici nám udává derivace funkce φ(t).

95 Nerovnoměrný pohyb po kružnici - rychlost 2 2 dϕ Velikost rychlosti v = v= vx + v y = R je konstantní právě tehdy, když d ϕ udávající d t dt úhlovou rychlost ω je konstantní. Z toho po integraci a tím i vyjádření funkce ϕ = kt + ϕ0 plyne, že pohyb je rovnoměrný, jen když úhel φ je lineární funkcí času (viz rovnoměrný kruhový pohyb). Pro všechny ostatní závislosti úhlu φ na čase je tento pohyb pohybem nerovnoměrným. I pro tento případ výraz d ϕ udává změnu úhlu s časem a tedy i úhlovou dt rychlost ω, která je obecnou funkcí času ω = ω() t.

96 Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený - příklad Pomůcka pro počítání příkladů na rovnoměrně zrychlený pohyb: 1 Rovnice Chybějící veličina vx = v 0x +at x ( ) x x0 1 v x x x0 = v0xt+ axt ( ) v = v + 2a x x t ( ) 4 x 0x x 0 1 a x x x0 = ( v0x + v x) t 2 1 x x0 = v xt axt v 0x Odvozování rovnic (3), (4) a (5) probíhá za pomoci různých algebraických úprav rovnic (1) a (2). 1) Odvození vzorce (3): vx = v 0x+ 2 v0 xat x + ( at x) = v0 x+ 2ax v0 xt+ at x = v0 x+ 2ax( x x0) 2 xx 0 2) Odvození vzorce (4): 1 1 x x0 = v0x + axt t 2( x x0) = 2v0x + a xt t x x0 = ( v0x + vx) t 2 2 vx v0 x 3) Odvození vzorce (5): x x0 = v 0x t+ at x = vxt at x + at x = v xt at x v x at x 2

97 Dynamika hmotného bodu Vždy by se mělo uvádět vzhledem k jaké soustavě tzv. vztažné inerciální soustavě studujeme daný stav tělesa.

98 I. Newtonův zákon První Newtonův zákon lze interpretovat i tak, že zaručuje existenci preferovaných vztažných soustav, v nichž platí zákony newtonovské mechaniky (v těchto soustavách jsou volné částice v klidu nebo se pohybují stálou rychlostí). Z uvedeného hlediska lze první Newtonův zákon vyjádřit také takto: První Newtonův zákon: S každou volnou částicí lze spojit vztažnou soustavu, v níž jsou ostatní volné částice v klidu, nebo se vůči ní pohybují stálou rychlostí.

99 II. Newtonův zákon - síla Výslednice sil F je vektorový součet všech sil, které působí na hmotný bod. (Pokud je výslednice sil nulová F = 0, hmotný bod se pohybuje rovnoměrně přímočaře jako by byl volný. Působící síly se navzájem vyrušily.)

100 II. Newtonův zákon - hybnost Přepis druhého Newtonova zákona pomocí hybnosti: dv d ( mv ) dp p= m v, F = m a = m = = d t d t d t

101 III. Newtonův zákon Jedna z těchto sil se nazývá akce a ta druhá reakce. Tyto síly působí vždy na různá tělesa. Proto se nesčítají ve výslednici a nemohou se tedy vyrušit.

102 Práce K odvození obecného vztahu pro výpočet práce použijeme vzorec da = Fdscosα = F τ ds, kde τ je tečný vektor ve směru malého posunutí Celkovou práci získáme integrací předchozí rovnice. A = F τ ds C ( ) Pro posunutí platí Δ r =τ Δs, takže integrál lze přepsat na tvar A= F dr Zde je odvozen nejobecnější vzorec pro stanovení práce. C ds a α je úhel mezi vektory F a τ. Obr. č : Síly působící na pohybující se hmotný bod po obecné trajektorii Obr. č : Změna polohového vektoru

103 Potenciální energie Z potenciální energie lze vypočítat sílu pomocí vztahu: V V V F = grad V F =,, x y z

104 Výkon síly Odvození alternativního způsobu výpočtu výkonu síly: d A F d r d P F r = = = = F v dt dt dt v

105 Zákon zachování mechanické energie Pomocné odvození vztahu mezi výkonem a potenciální energií: dv ΔV V ( r2) V ( r1) F Δr = = F v = P dt Δt Δt Δt Výpočet výkonu síly pomocí derivace kinetické energie: dv dv dt m = F / v mv = F v = P = P dt dt dt d 1 2 mv dt 2 Z těchto odvození následovně plyne zákon zachování mechanické energie. dt dv dt dv = P = + = 0 dt dt dt dt d T V 0 E T V konst dt + = = + = E Obr. č : Odvození vztahu mezi potenciální energií a výkonem síly

106 Potenciál silového pole V elektrostatice mezi potenciálem a intenzitou elektrického pole platí vztah: E = gradϕ

107 Moment síly a moment hybnosti Důkaz vztahu mezi momentem síly a momentem hybnosti: dl d dr dp dl = ( r p) = p+ r = v m + r F = M dt dt dt dt v dt = 0, protože to jsou rovnoběžné vektory M

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO

Teoretické úlohy celostátního kola 53. ročníku FO rozevřete, až se prsty narovnají, a znovu rychle tyč uchopte. Tuto dobu změříte stopkami velmi obtížně. Poměrně přesně dokážete zjistit, kam se posunulo na tyči místo úchopu. Vzdálenost obou míst, v nichž

Více

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015 Řešení testu b Fyzika I (Mechanika a olekulová fyzika) NOFY0 9. listopadu 05 Příklad Zadání: Kulička byla vystřelena vodorovně rychlostí 0 /s do válcové roury o průěru a koná pohyb naznačený na obrázku.

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Část 3. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA HYDROMECHANIKA HYDROSTATIKA základní zákon hdrostatik Část 3 Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič, MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA Hdrostatika - obsah Základn

Více

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y

ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y ČÁST VI - K M I T Y A V L N Y 23. Harmonický oscilátor 24. Vlnění 25. Elektromagnetické vlnění 26. Geometrická optika 27. Fyzikální optika 28. Nelineární optika 261 Periodické pohyby částic a těles (jako

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_4_Mechanická práce a energie Ing. Jakub Ulmann 4 Mechanická práce a energie 4.1 Mechanická práce 4.2

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Fyzikální veličiny. Převádění jednotek

Fyzikální veličiny. Převádění jednotek Fyzikální veličiny Vlastnosti těles, které můžeme měřit nebo porovnávat nazýváme fyzikální veličiny. Značka fyzikální veličiny je písmeno, kterým se název fyzikální veličiny nahradí pro zjednodušení zápisu.

Více

GRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

GRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník GRAVITAČNÍ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Gravitace Vzájemné silové působení mezi každými dvěma hmotnými body. Liší se od jiných působení. Působí vždy přitažlivě. Působí

Více

na dálku prost ednictvím silových polí Statický ú inek síly Dynamický ú inek síly dynamika Síla F je vektorová veli ina ur ená velikostí, p sobišt

na dálku prost ednictvím silových polí Statický ú inek síly Dynamický ú inek síly dynamika Síla F je vektorová veli ina ur ená velikostí, p sobišt 1.3. Dynamika V kapitole 1.2 Kinematika jsme se zabývali popisem pohybu těles, aniž bychom se zajímali o to proč k pohybu dochází. O příčině pohybu pojednává část mechaniky zvaná dynamika. 1.3.1. Síly

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

2. Dynamika hmotného bodu

2. Dynamika hmotného bodu . Dynamika hmotného bodu Syllabus:. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

FYZIKA I KOMBINOVANÉ STUDIUM, FBI. Radim Uhlář

FYZIKA I KOMBINOVANÉ STUDIUM, FBI. Radim Uhlář FYZIKA I KOMBINOVANÉ STUDIUM, FBI Radim Uhlář 1 FYZIKA I ÚVOD Postavení fyziky ve vědě a její členění Slovo fyzika pochází z řeckého slova fysis = příroda. V antice byla fyzika chápána jako filozofie přírody

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

3 Elektromagnetické vlny ve vakuu

3 Elektromagnetické vlny ve vakuu 3 Elektromagnetické vlny ve vakuu Od mechanických vln s pružinkami a závažími se nyní přesuneme k vlnám elektromagnetickým. Setkáváme se s nimi na každém kroku radiové vlny, mikrovlny, světlo nebo třeba

Více

Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících se materiálu

Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících se materiálu ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická katedra řídicí techniky Technická 2, 166 27 Praha 6 13. listopadu 2009 Analýza dynamiky pádu sportovní branky, vč. souvisejících aspektů týkajících

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. x m. Ne čas!

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. x m. Ne čas! MECHANICKÉ VLNĚNÍ I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í uveďte rozdíly mezi mechanickým a elektromagnetickým vlněním zdroj mechanického vlnění musí. a to musí být přenášeno vhodným prostředím,

Více

Clemův motor vs. zákon zachování energie

Clemův motor vs. zákon zachování energie Clemův motor vs. zákon zachování energie (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2009 V učebnicích fyziky se traduje, že energii nelze ani získat z ničeho, ani ji zničit, pouze ji lze přeměnit na jiný druh. Z této

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

HMOTNÝ BOD, POHYB, POLOHA, TRAJEKTORIE, DRÁHA, RYCHLOST

HMOTNÝ BOD, POHYB, POLOHA, TRAJEKTORIE, DRÁHA, RYCHLOST Škola: Autor: Šablona: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Vladislav Válek VY_32_INOVACE_MGV_F_SS_1S1_D02_Z_MECH_Hmotny_bod_r ychlost_pl Člověk a příroda Fyzika Mechanika

Více

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole 161 Pole je druhá základní forma existence hmoty (vedle

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Řízení a regulace II. Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004

Řízení a regulace II. Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004 Řízení a regulace II Analýza a řízení nelineárních systémů Verze 1.34 8. listopadu 2004 Prof. Ing. František Šolc, CSc. Ing. Pavel Václavek, Ph.D. Prof. Ing. Petr Vavřín, DrSc. ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ

Více

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika PRÁCE, VÝKON, ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Mechanická práce Závisí na velikosti síly, kterou působíme na těleso, a na dráze, po které těleso posuneme Pokud má síla stejný

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

OVMT Měření základních technických veličin

OVMT Měření základních technických veličin Měření základních technických veličin Měření síly Měření kroutícího momentu Měření práce Měření výkonu Měření ploch Měření síly Hlavní jednotkou síly je 1 Newton (N). Newton je síla, která uděluje volnému

Více

Pohyb elektronu ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli a stanovení měrného náboje elektronu

Pohyb elektronu ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli a stanovení měrného náboje elektronu Úloha 1 Pohyb elektronu ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli a stanovení měrného náboje elektronu 1.1 Úkol měření 1.Změřtezávislostanodovéhoproudu I a naindukcimagnetickéhopoleprodvěhodnotyanodovéhonapětí

Více

Předmět: Technická fyzika III.- Jaderná fyzika. Název semestrální práce: OBECNÁ A SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY. Obor:MVT Ročník:II.

Předmět: Technická fyzika III.- Jaderná fyzika. Název semestrální práce: OBECNÁ A SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY. Obor:MVT Ročník:II. Předmět: Technická fyzika III.- Jaderná fyzika Název semestrální práce: OBECNÁ A SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY Jméno:Martin Fiala Obor:MVT Ročník:II. Datum:16.5.2003 OBECNÁ TEORIE RELATIVITY Ekvivalence

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Netlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavý pohyb patří k relativně jednoduchým pohybům, které lze analyzovat s použitím jednoduchých fyzikálních zákonů a matematických vztahů. Zároveň je tento

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška Derivace a tečny aneb matematika libovolně malých změn Nejen velké,

Více

= (1.21) a t. v v. což je výraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlení a H jednoduše jako rozdíl = (1.20)

= (1.21) a t. v v. což je výraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlení a H jednoduše jako rozdíl = (1.20) Tečné zrychlení získáme průmětem vektoru zrychlení a vynásobením jednotkovým vektorem ve směru rychlosti do směru rychlosti a a t v v a v v = (1.19) Podotýkáme, že vektor tečného zrychlení může být souhlasně

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

POHYBY V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ

POHYBY V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ Předmět: Ročník: Vytořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 9. 9. 01 Náze zpracoaného celku: POHYBY V GRAVITAČNÍM POLI ZEMĚ POHYBY TĚLES V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ Jde o pohyby těles blízkosti porchu

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2006 2007

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2006 2007 TEST Z FYZIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-F-2006-01 1. Převeďte 37 mm 3 na m 3. a) 37 10-9 m 3 b) 37 10-6 m 3 c) 37 10 9 m 3 d) 37 10 3 m 3 e) 37 10-3 m 3 2. Voda v řece proudí rychlostí 4 m/s. Kolmo

Více

F - Dynamika pro studijní obory

F - Dynamika pro studijní obory F - Dynamika pro studijní obory Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující a doplňkový text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

sf_2014.notebook March 31, 2015 http://cs.wikipedia.org/wiki/hudebn%c3%ad_n%c3%a1stroj

sf_2014.notebook March 31, 2015 http://cs.wikipedia.org/wiki/hudebn%c3%ad_n%c3%a1stroj http://cs.wikipedia.org/wiki/hudebn%c3%ad_n%c3%a1stroj 1 2 3 4 5 6 7 8 Jakou maximální rychlostí může projíždět automobil zatáčku (o poloměru 50 m) tak, aby se navylila voda z nádoby (hrnec válec o poloměru

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P04 MECHANICKÉ KMITÁNÍ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH 1 Úvod...5

Více

Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině

Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Tlumené kmitání tělesa zavěšeného na pružině Kmitavé pohyby jsou důležité pro celou fyziku a její aplikace, protože umožňují relativně jednoduše modelovat řadu fyzikálních dějů a jevů. V praxi ale na pohybující

Více

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky

Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Řešené úlohy ze statistické fyziky a termodynamiky Statistická fyzika. Uvažujme dvouhladinový systém, např. atom s celkovým momentem hybnosti h v magnetickém ) ) poli. Bázové stavy označme = a =, první

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A

MECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Vzájemné působení těles

Vzájemné působení těles Vzájemné působení těles Podívejme se pozorně kolem sebe. Na parapetu stojí květináč, na podlaze je aktovka, venku stojí auto Ve všech těchto případech se dotýkají dvě tělesa. Květináč působí na parapet,

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU

ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU Jaroslav Reichl, 011 ZRYCHLENÍ KMITAVÉHO POHYBU Pomůcky: tříosé čidlo zrychlení 3D-BTA (základní měření lze realizovat i s jednoosým čidlem zrychlení), optická závora VPG-BTD, větší lékovka (nebo nádobka

Více

hmotný bod je model tělesa, nemá tvar ani rozměr, ale má hmotnost tuhé těleso nepodléhá deformacím, pevné těleso ano

hmotný bod je model tělesa, nemá tvar ani rozměr, ale má hmotnost tuhé těleso nepodléhá deformacím, pevné těleso ano Tuhé těleso, hmotný bod, počet stupňů volnosti hmotný bod je model tělesa, nemá tvar ani rozměr, ale má hmotnost tuhé těleso nepodléhá deformacím, pevné těleso ano Stupně volnosti konstanta určující nejmenší

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

Dynamika hmotného bodu

Dynamika hmotného bodu Mechanika příklady pro samostudium Dynamika hmotného bodu Příklad 1: Určete konstantní sílu F, nutnou pro zrychlení automobilu o hmotnosti 1000 kg z klidu na rychlost 20 m/s během 10s. Dáno: m = 1000 kg,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Příklady: 7., 8. Práce a energie

Příklady: 7., 8. Práce a energie Příklady: 7., 8. Práce a energie 1. Dělník tlačí bednu o hmotnosti m = 25, 0 kg vzhůru po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu α = 25. Působí na ni při tom stálou silou F o velikosti F = 209

Více

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy

Více

24 VLNĚNÍ. 24.1 Základní druhy vlnění a vlnová rovnice

24 VLNĚNÍ. 24.1 Základní druhy vlnění a vlnová rovnice 278 24 VLNĚNÍ Základní druhy vlnění a vlnová rovnice Skládání vln, interference a polarizace Fázová a grupová rychlost, disperze Dopplerův jev, Čerenkovův jev Vlny v omezeném prostředí Energie a hybnost

Více

Základní radiometrické veličiny

Základní radiometrické veličiny Základní radiometrické veličiny Radiometrické veličiny se v textech, se kterými jsem se setkal, zavádějí velmi formálně, např. iradiance E= dφ da.pokusiljsemsepřesnějipopsat,cojednotlivéfunkceznamenají.formálnízápisyjsouzde

Více

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z FYZIKY

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z FYZIKY SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z FYZIKY 1 OBSAH MECHANIKA...4 Jednotky, převody a základní vztahy...4 Pohyb rovnoměrný a rovnoměrně zrychlený...7 Pády, vrhy... 1 Pohyb otáčivý... 16 Hybnost... 18 Energie, práce výkon...

Více

Příklady 2 - Kinematika - 27.9.2007

Příklady 2 - Kinematika - 27.9.2007 Příklady 2 - Kinematika - 27.9.2007 1. Počáteční poloha míčku je dána polohovým vektorem r 1 = ( 3, 2, 5), koncová poloha je určena vektorem r 2 = (9, 2, 8). Určete vektor posunutí míčku. Určete velikost

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní. Semestrální práce z Matematického Modelování

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní. Semestrální práce z Matematického Modelování Západočeská univerzita v Plzni Fakulta strojní Semestrální práce z Matematického Modelování Dynamika pohybu rakety v 1D Vypracoval: Pavel Roud Obor: Technologie obrábění e mail:stu85@seznam.cz 1 1.Úvod...

Více

Obr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t

Obr.94. Tečná reakce T r musí být menší nebo rovna třecí síle F t 7.3 Odpory při valení Valení je definováno tak, že dotykové body valícího se tělesa a podložky jsou v relativním klidu. Je zaručeno příkladně tak, že těleso omotáme dvěma vlákny, která jsou upevněna na

Více

Speciální teorie relativity IF

Speciální teorie relativity IF Speiální teorie relativity IF Speiální teorie relativity Newtonovy pohybové zákony umožňují popis hování těles pohybujííh se nízkými ryhlostmi. Při ryhlosteh, kterýh dosahují částie v uryhlovačíh, však

Více

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů

Více

Kinematika pohyb rovnoměrný

Kinematika pohyb rovnoměrný DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-03 Téma: Kinematika rovnoměrný Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý VÝKLAD Kinematika rovnoměrný Kinematika je jedna ze základních

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1

Vyšší odborná škola, Obchodní akademie a Střední odborná škola EKONOM, o. p. s. Litoměřice, Palackého 730/1 DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-07 Téma: Mechanika a kinematika Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TESTY Testy Část 1 1. Čím se zabývá kinematika? 2. Které těleso

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Rezonanční elektromotor

Rezonanční elektromotor - 1 - Rezonanční elektromotor Ing. Ladislav Kopecký, 2002 Použití elektromechanického oscilátoru pro převod energie cívky v rezonanci na mechanickou práci má dvě velké nevýhody: 1) Kmitavý pohyb má menší

Více

1.0 ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SOUSTAVY SI

1.0 ZÁKLADNÍ JEDNOTKY SOUSTAVY SI -1- ÚVOD Technická mechanika je předmět, s nímž se někteří žáci, pro které je učebnice určena, setkávají poprvé. Přívlastek "technická" vyjadřuje její vyčlenění z obecnější, tzv. "klasické mechaniky".

Více

Relativistická dynamika

Relativistická dynamika Relativistická dynamika 1. Jaké napětí urychlí elektron na rychlost světla podle klasické fyziky? Jakou rychlost získá při tomto napětí elektron ve skutečnosti? [256 kv, 2,236.10 8 m.s -1 ] 2. Vypočtěte

Více

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu

Více

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet

Více

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici 7. ODE a SIMULINK Jednou z často používaných aplikací v Matlabu je modelování a simulace dynamických systémů. V zásadě můžeme postupovat buď klasicky inženýrsky (popíšeme systém diferenciálními rovnicemi

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více