2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ"

Transkript

1 2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ Vytváření testových systémů pro jednotlivé potřeby tělovýchovné praxe patří mezi hlavní otázky teorie konstrukce testů. Protože však v testové baterii nebo profilu se ovlivňují nejen vlastnosti každého testu,' ale působí na sebe i jednotlivé testy, je konstrukce optimálních testových systémů složitou záležitostí. Uvádíme zde proto základní zásady či vztahy, které jsou důležité pro konstrukci testových systémů a mohou být přímo využity v testovací praxi. Testový profil. Původně znamenal grafické vyjádření výsledků většího počtu 86 Konstrukce a teorie motorických testů

2 testů. Později se obsah pojmu rozšířil. Při použití testového profilu je testovaná osoba podrobena řadě dílčích testů, jejichž výsledky jsou vynášeny do grafu. Z grafu pak můžeme určit nejen relativní polohu TO v souboru, ale získá se i celkový tvar profilu vyjadřující často úroveň pohybových schopností a dovedností TO. Zvláštností testového profilu ve srovnání s baterií je, že nízký výkon v jednom testu nemůže být kompenzován vysokým výkonem v jiném testu. Vykreslení a vyhodnocení profilu. Profil shrnuje testové výsledky jedné osoby, které zakreslujeme do sítě předem připravené (autorem profilu apod.). Nejvhodnějši je procentilová normální síť, která umožňuje použít procentily, z-body, T-body apod. Vlastní záznam grafu může být různý, dva vhodné způsoby uvádíme na obrázcích 12 a 13. Při vlastním vyhodnocení bereme v úvahu: vyrovnanost profilu, celkovou polohu profilu, celkový tvar profilu, výskyt testových trsů (testů, ve kterých TO dosahuje podobné úrovně) atd. Spolehlivost a validita testového profilu. Zvláště důležitá je spolehlivost, neboť nemůže-li být v praxi žádný samostatný test dokonale spolehlivý, pak rozdíly mezi výsledky dvou takových testů jsou spolehlivé ještě méně. Přitom právě Konstrukce a teorie motorických testů 87

3 rozdíly mezi výsledky testů udávají grafický tvar profilu. Proto je vždy určité nebezpečí, že při vyhodnocení budou přeceněny i ty rozdíly, které jsou jen produktem nespolehlivosti. Tomu lze čelit vynášením zmíněného pásma ±A max podle vzorce (2.4-6'), popř. kritického rozdílu podle vzorce (2.4-14'). Koeficient spolehlivosti profilu jako testového systému je dán vzorcem: (2.8-1') kde fjj: je průměr koeficientů spolehlivosti jednotlivých testů profilu a rj k je průměr vzájemné validity mezi všemi dvojicemi testů v profilu. Ze vzorce (2.8-1') je zřejmé, že profil je tím spolehlivější, čím spolehlivější jsou jednotlivé testy a čím nižší je jejich vzájemná validita. Obecně je tedy spolehlivost celého profilu nižší než průměrná spolehlivost jeho jednotlivých testů. Proto klademe na spolehlivost celého profilu nižší požadavky, než je uvedeno v tabulce 16 (někdy se spokojujeme s hodnotou r xx, > 0,5). Protože profil je víceméně volné seskupení jednotlivých testů, bývá obvykle každý test validován samostatně. Jinou možností je vytvoření určité klasifikační 88 Konstrukce a teorie motorických testů

4 soustavy pro hodnocení vhodnosti jednotlivých typů profilů daných celkovým tvarem atd. Tato soustava pak může mít validitu i vyšší, než je složená validita (mnohonásobná korelace) všech testů profilu k témuž kritériu. Výsledky testové baterie. Výsledek baterie ( ba,x) získáváme shrnutím, zpravidla součtem výsledků jednotlivých testů. Prostý celkový výsledek baterie (viz kapitoly 2.2, 2.6) můžeme nejsnáze vyjádřit v z-bodech jako součet osobního vektoru z^. (2.8-1) Pomocí matic: bo,x = Z1, místo vzorce U prostého bal x má každý test v celkovém součtu stejnou důležitost. Správnější je přiřadit jednotlivým testům koeficienty, které by vyjádřily jejich různou závažnost v rámci celé baterie. Takto získaný výsledek baterie testů se nazývá vážený celkový výsledek 15 )'. (2.8-2) kde b lt..., b v jsou koeficienty neboli váhy, jimiž násobíme testové výsledky do celkového součtu. Maticově: ba,x = Zb. Klasický model testové baterie a její spolehlivost Stanovení optimálních koeficientů pro dosažení maximální validity nebo maximální spolehlivosti baterie patří mezi otázky důležité pro praxi testování. (Podobně jako v kap. 2.4 používáme T tau" pro skutečné výsledky, Á delta" pro chyby a X pro pozorované výsledky.) Homogenní baterie (či složený test) {b<ux, batt} je složena z dílčích testů či částí {X ít TJ, {X 2, T 2 },..., {X v, T v }, které označíme {Xj, TJ}. Jednotlivá TJ- představují skutečnou výkonnost v dílčích testech baterie, celkové bttl T vyjadřuje skutečnou výkonnost v celém testu nebo baterii. Příkladem může být test sed leh 60 s rozdělený na šest desetisekundových částí (viz tabulka 17), součet počtu úspěšných hodů na koš u baterie testů střelby v košíkové apod. Složení testu z v částí anebo složení baterie z v dílčích testů vyjadřují vztahy: (2.8-3) Z těchto vztahů lze odvodit, že zvýšením počtu v testů baterie vzrůstá skutečný rozptyl bat Sr baterie velmi rychle (s druhou mocninou v). Naproti tomu rozptyl chyb j, a( Sj vzrůstá pomaleji (jen s první mocninou v). Ze vzorce (2.8-4) pak vyplývá, 15 ) Vážený součet se označuje přesněji jako tzv. lineární kombinace. V literatuře o testech se to někdy vyjadřuje tak, že testové výsledky jsou spolu kombinovány" v poměrech určených vahami. Konstrukce a teorie motorických testů 8

5

6 že zvyšováním počtu dílčích testů v baterii nebo prodlužováním testu o další části se zvyšuje spolehlivost složeného či prodlouženého testu (délka testu d má podobu počtu dílčích částí, tj. d = v): (tzv. Spearmanův Brownův vzorec, S B), což platí jen tehdy, jsou-li části či opakování testu paralelní (viz znaky v tabulce 18). Máme-li například test střelby na koš, kde se hodnotí počet úspěšných hodů, a jsou-li jednotlivé hody a jejich skupiny paralelními dílčími testy, pak můžeme vzorec,(2.3-4) použít. Je-li spolehlivost jednoho dílčího testu (např. složeného z pěti hodů) r }j, = 0,7, pak desetinásobně dlouhý test s délkou v = 10 (složený z padesáti hodů) bude mít podle vzorce (2.8-4) spolehlivost r xx, = 7/7,3 = 0,96. Nejsou-li dílčí testy v baterii paralelní, pak místo vzorce (2.8-4) použijeme následující výraz pro vyjádření spolehlivosti neváženého celkového výsledku baterie pomocí jejích dílčích testů: (2.8-5) Tento vzorec nevyžaduje žádnou formu ekvivalence dílčích testů, tj. z hlediska tabulky 18 nemusí jít ani o kongenerické subtesty, baterie může být složená i z nehomogenních testů různých schopností a dovedností. Maximální spolehlivost váženého výsledku baterie. Podstatného zvýšení spolehlivosti baterie se dosáhne takovou volbou vah, kdy váhy bj rovnice (2.8-2) se pro jednotlivé testy Zj určí jako: (2.8-6) Toto doporučení je jen přibližné. Přesného maxima spolehlivosti váženého výsledku kax se docílí následovně. Matice R je (korelační) matice vzájemné validity mezi dílčími testy baterie, přičemž R má na úhlopřu. ;c icdnotky. Označme R matici, která vznikne z R tak, že na úhlopříčku vyneseme spolehlivosti r /y jednotlivých testů. Vytvoříme matici [ŘR~'J, vypočteme její největší charakteristické (vlastni) číslo c 1(IA a k němu příslušný charakteristický (vlastní) vektor v. Tento vektor je vektorem optimálních vah, takže položíme-li v rovnici (2.8-2) bj = tij, bude spolehlivost r. váženého výsledku ba,x maximální. Vliv počtu paralelních testů na validitu baterie. Jsou-li části testu klasicky paralelní a paralelnost se neruší prodlužováním testu, pak platí následující vzorec, který udává vliv prodloužení na validitu k nějakému vnějšímu kritériu: (2.8-7) kde r yx je původní validita testu X ke kritériu Y, v je počet paralelních testů 90 Konstrukce a teorie motorických testů

7 nebo násobek prodloužení testu, r xx, je spolehlivost původního testu a r Y(ulc> je validita prodlouženého testu. V praxi je vhodné výsledek vzorce (2.8-7) srovnat se spolehlivostí prodlouženého testu podle vzorce (2.8-4) vždy musí být splněna nerovnost (2.4-17), tj. validita prodlouženého testu může být nejvýše rovna jeho indexu spolehlivosti. Vnitřní konzistence baterie a její spolehlivost. Tzv. koeficient vnitřní konzistence a je jednoduchou charakteristikou celkového složení baterie. Navíc z něj lze dobře, a u některého druhu testů i přesně, odhadovat spolehlivost baterie z jediné její aplikace, aniž by bylo třeba použít opakování testů a jiných metod spolehlivosti (viz kapitola 2.5). Koeficient vnitřní konzistence (Gulliksen 1950, Cronbach 1951): (2.8-8) \ / Čím více se a blíží od O k l, tím má baterie větší poměrnou homogenitu. Pro libovolně sestavenou, i heterogenní komplexní baterii testů (např. víceúčelovou) platí, že a je dolní mezí spolehlivosti baterie: (2.8-9) Například máme test obratnosti překážkovou dráhu (Hodaňův test, Kurašův test aj.). U testů tohoto druhu je obtížný odhad spolehlivosti metodou opakování testu, protože dochází k zapracování (viz obr. 8). Celkový výsledek testu ba,x čas v sekundách je dán součtem časů jednotlivých částí. Test rozdělíme, dejme tomu na 3 části (v = 3); 1. část: od startu až po ukončení běhu mezi kuželi, 2. část: od ukončení běhu mezi kuželi až po kotoul, 3. část: od kotoulu až do cíle (potřebujeme tedy troje stopky). Zjistíme rozptyly jednotlivých částí: sf = 0,8, s\ = 0,9, s = 1,0 a rozptyl celkových výsledků s x = 6,3. Dosazením do vzorce (2.8-8) dostáváme koeficient vnitřní konzistence a = 6/7 = 0,86. Na základě toho můžeme podle tabulky 16 hodnotit test jako přinejmenším vyhovující z hlediska spolehlivosti (viz vzorec 2.8-9), aniž jsme jej opakovali. Když ovšem zjistíme a nízké (např. a = = 0,3 apod.), může být vzhledem k vzorci (2.8-9) spolehlivost bal r x x' vysoká. U kvazi-tau-ekvivalentních testů (jejich znaky jsou uvedeny v tabulce 18) je koeficient vnitřní konzistence a roven koeficientu spolehlivosti baterie. Ve vzorci (2.8-9) platí dokonce rovnost: (2.8-10) Protože kvazi-tau-ekvivalentní testy se vyskytují v praxi častěji než přísnější formy ekvivalence (jako např. paralelní testy), je použití koeficientu a velmi výhodné. Ze vzorce (2.8-8) lze odvodit, že při vzrůstajícím počtu testů v k nekonečnu (v = oo) 'se koeficient a blíží 1. Kdybychom tedy do baterie zahrnuli všechny testy z nekonečného univerza motorických testů dané oblasti motoriky, vnitřní konzistence takové nekonečné baterie" by byla dokonalá. Vzhledem ke vzorci (2.8-9) platí, že pak by i spolehlivost x r xx. nekonečného univerza byla l, tj. do- Konstrukce a teorie motorických testů 91

8 konala. Proto se koeficient a používá i jako jedna z měr zobecnitelnosti testů (o ní jsme hovořili v kapitole 2.3 o vlastnostech testů). Pokud jsou subtesty navzájem dokonce tau-ekvivalentní (viz tabulka 18), pak koeficient vnitřní konzistence a je nejen roven koeficientu spolehlivosti r xx,, ale navíc je v konkrétním případě jeho lepším odhadem, než obvykle používaný odhad metodou dělení, popsaný v tabulce 17. Vzájemná složená validita dvou baterií. V řadě sportů nelze výkon charakterizovat jediným kritériem. Tak např. ve sportovních hrách je dílčím kritériem výkonnosti hráče jeho pořadí v družstvu podle subjektivního posouzení trenéra. Současně však lze použít i jiná dílčí kritéria, jako např. počet nasazení do důležitých utkání, jakou má výkonnostní třídu atd. V takovém případě nás zajímá validita baterie motorických testů na jedné straně vzhledem k celé baterii kritérií na straně druhé. Příklad validity baterie testů k baterii kritérií z práce /. Havlíčka 1974 jsme vlastně už uvedli v kapitole 2.7 na str. 80. Složené kritérium zde bylo vytvořeno neváženým součtem dílčích kritérií, ale v řadě jiných případů můžeme dílčím kritériím přiřadit různé váhy, podobně jako testům v baterii. Složenou validitu (vlastně dvojitě složenou") pak označíme: Je to vlastně vzájemná validita váženého součtu baterie testů vzhledem k váženému součtu baterie kritérií: kde o,, a k jsou váhy dílčích testů, jejichž počet v testové baterii je v x, zatímco b- }, b k jsou váhy dílčích kritérií, jejichž počet v baterii kritérií je v r Dílčí testy Z XJ, Z Xk i dílčí kritéria Z y., Z yk jsou normovány v z-bodech. Pak vzájemná validita dvou baterií K dána vzorcem: (2.8-11) Příklady praktického použití. Máme dvě baterie o třech testech (t^ = 3) a dvou kritériích (v y = 2). Známe matici R vzájemné validity všech dvojic a váhy byly stanoveny posudkem odborníků (viz schéma na str. 93). Každý koeficient validity r jk v matici R vynásobíme dvojicí vah, v jejichž průsečíku koeficient leží. Obdržíme tak matici, na niž ukazuje šipka. Ta je hranicí mezi testy a kritérii rozdělena na čtyři části označené písmeny A, B, B', C. Mimodiagonální část se vyskytuje ve dvou tvarech B a B', protože matice R je souměrná. (To může sloužit pro kontrolu, anebo můžeme vypočítat jen horní pravou část matice R a zbytek opsat.) Zjistíme součty čísel v jednotlivých částech B, A, C. B = 8,4, EA = 21,6, EC = 8,2. Dosazením do vzorce (2.8-11) dostáváme: 92 Konstrukce a teorie motorických testů

9 Stanovení vah, které povedou k maximální možné vzájemné validitě mezi bm X a ba,y, se provádí tzv. kanonickou analýzou matice R. Toto maximální r( ba,x, ba,y) se pak nazývá koeficient kanonické korelace. Kanonická analýza se provádí pomocí charakteristických čísel a vektorů matice D, kterou určíme: Kanonická korelace, tj. maximální možná vzájemná validita obou baterií se pak určí r( bia X, ba,y) = = ^c max, kde c maj, je největší charakteristické číslo matice D. Pak se stanoví matice (D c ma j) a z algebraických doplňků jednotlivých prvků prvního řádku této matice se vytvoří vektor d (sloupcový). Následuje stanovení čísla /i = d T Cd (kde C je diagonální matice charakteristických čísel příslušných k D). Vektor a optimálních vah a {, a 2,, a vx pro první baterie testů se nalezne pomocí: Vektor b optimálních vah ft,, b 2,..., b vy pro druhou baterii testů se nalezne pomocí: Zásady pro konstrukci testových systémů baterií a profilů Počáteční výběr testů. Sestavení baterie či testového profilu je dáno především účelem testovaní. Na počátku výběru testů se tedy řídíme především jejich obsahovou validitou (viz kapitolu 2.6). Může jít o baterii obecné motorické výkonnosti, která postihuje základní pohybové schopnosti, nebo o speciální baterii pro výběr talentů k určitému druhu sportu apod. Z hlediska obecných vlastností však vybíráme především takové, které mají vysokou spolehlivost (vzhledem k větě V 16 v kapitole 2.4) a objektivitu (r, /bj ). Dále se řídíme těmito pravidly: Pravidlo o konstrukci systému podle jednoduché validity testů. Z hlediska jednoduché validity dílčích testů platí zásada: vybírejte testy, které mají vysokou validitu ke kritériu a nízkou nebo střední validitu vzájemnou. Toto pravidlo je výsledkem dvou protichůdných vlastností testů v baterii, které je nutno sladit, aby baterie byla optimální. První vlastnost je ortogonalita testů. Testy by v ideálním případě byly tzv. ortogonální, když by vzájemná validita Konstrukce a teorie motorických testů 93

10 byla nulová. Výhodou baterie ortogonálních testů je úspornost, neboť nedochází k překrývání testů. Navíc při daných koeficientech jednoduché validity testů ke kritériu jsou to právě ortogonální testy, které mají složenou validitu největší. Druhou vlastností je tzv. univokálnost testů. Test by byl v ideálním případě k danému kritériu univokální (tj. jednohlasý"), když by měřil jen dané a žádné jiné kritérium. Je samozřejmé, že chceme z baterie vyloučit testy, které do značné části postihují jiná kritéria, než ke kterému konstruujeme naši baterii. Protože však testy nemohou současně být ortogonální (tj. vlastně měřit různá kritéria) a přitom také univokální (tj. měřit jen jediné kritérium), je třeba, aby obě tyto vlastnosti byly v určité rovnováze. Pravidlo o supresorech. Teprve po splnění prvního pravidla (!) lze někdy ještě dále zvýšit validitu pomocí pravidla druhého o vzájemné jednoduché validitě: vybírejte testy, které mají nízkou validitu ke kritériu, ale vysokou validitu k testům do baterie již dříve zařazeným. Testy vybrané podle tohoto pravidla se nazývají supresory (tj. potlačující" testy). Mohla by vzniknout nesprávná domněnka, že takové testy nevypovídají nic o kritériu a že pro svou vysokou validitu k ostatním testům jsou snad nadbytečné. Problém je však složitější. Pro supresory je charakteristické, že: a) pokud mají nenulovou validitu ke kritériu, pak má jejich koeficient bj (váha) v predikční rovnici opačné znaménko než jejich korelace s kritériem, b) pokud mají nulovou validitu ke kritériu, pak jejich čistá validita ke kritériu není nulová [viz vzorec (2.6-11)], respektive je vyšší než jejich validita jednoduchá. Příklad. Test X } má ke kritériu Y validitu r Yl = 0,60. Přidáme k němu test X 2 (supresor), který ke kritériu má validitu jen r Y2 = 0,10 a s původním testem X : se značně překrývá" (porušuje požadavek ortogonality) vzájemná validita obou testů je r 12 = 0,80. Přesto však po dosazení do vzorce (2.6-10) zjistíme složenou validitu obou testů r Y 12 = 0,87. Validita se zvýšila z 0,60 na 0,87, tj. inkrementální validita (viz kap. 2.6) druhého testu je 0,27. Je to způsobeno tím, že čistá validita testu X 2 je podle vzorce (2.6-11) r Y2 t = 0,38, ačkoli původní jednoduchá validita byla r r2 = 0,10. Predikční rovnice kritéria pomocí uvedených dvou testů je [viz vzorce (2.6-7), (2.6-8)] vyjádřena v z-bodech (tj. s y = s t = s 2 = l, ý = x t = x 2 0): ž = l,44z, - I,06z 2 Koeficient b 2 = 1,06 druhého testu má opačné znaménko než jeho korelace ke kritériu (r r2 = 0,1). To lze vyložit tak, že odečtením váženého výsledku supresoru se potlačuje" nežádoucí část výsledku původního testu z,, která rušila předpovědítelnost kritéria z y. Jako možné supresory v oblasti motoriky přicházejí v úvahu především testy motorické učenlivosti (docility) viz kap Z psychologických testů jsou to především testy motivace, které by měly být součástí komplexního vyšetření souběžné s motorickými testy, popř. testy inteligence a osobnosti. 94 Konstrukce a teorie motorických testů

11 Pravidlo o vyměňování testů. Konečné sestavení baterie či profilu je obvykle složitý a dlouhodobý proces. Proto se doporučuje nevyloučit žádný test už na začátku konstrukce baterie. Nikdy totiž nevíme, zda se inkrementální validita takového testu přidáním jiných testů nezvýší. Proto zpočátku testy přidáváme a řídíme se přitom především jejich inkrementální validitou a čistou validitou. Současně se orientujeme i podle koeficientu vnitřní konzistence a dané baterie, jehož odmocnina (^/a) je vždy dolní mezí složené validity celé baterie k jakémukoli kritériu, viz vzorce (2.8-9) a (2.4-17). Teprve neni-li už dále únosné počet testů v baterii zvyšovat, přikročíme k výměně některých testů. Například daný test nahradíme testem k němu homogenním, který však má vyšší spolehlivost. Přitom využíváme různých forem ekvivalence testů. Pravidlo o prodlužování a zvyšování počtu homogenních testů. Někdy dílčí test nevyměníme, ale zvýšíme počet testů s ním homogenních (např. paralelních apod.) nebo test prodloužíme, čímž rovněž zvýšíme jeho spolehlivost viz vzorce (2.8-4), (2.8-5) a potenciálně i platnost. Přitom se řídíme vzorcem (2.4-16) z kapitoly 2.4, který nám ukáže, zda prodlužování může přinést účinek. Orientačně přitom užíváme vzorec (2.8-7) o vlivu počtu testů a jejich délky na validitu. Pravidlo o vzájemných proporcích délek nebo počtu testů. Validitu baterie lze zvýšit vhodnou proporcí délek nebo počtem jednotlivých testů ve skupinách homogenních testů různých pohybových schopností uvnitř baterie či profilu. Problém je (i matematicky) značně složitý, v praxi doporučujeme: a) Dilčí testy, které mají vysokou validitu i vysokou spolehlivost, volíme co nejdelší. Testy s nízkou validitou i nízkou spolehlivostí volíme kratší. b) Rozdíl v délce těchto dvou skupin testů v dané baterii by měl být tím větší, čím má být baterie jako celek kratší. (Např. u zkrácené verze dané baterie dáme testům s nízkou validitou a s nízkou spolehlivostí velmi malé délky, popř. je vůbec vyřadíme.) c) Testům s vyšší validitou a s nižší spolehlivostí dáváme ve zkrácené verzi baterie menší délku než testům s nižší validitou a vyšší spolehlivostí. d) U baterie, která jako celek může být značně dlouhá, dáváme naopak větši délku testům s vyšší validitou a s nižši spolehlivostí. Využití mediátorů. Někdy lze najít zvláštní druhy testů či jiných proměnných, které zvyšují validitu baterie jen u určité části podsouboru testovaných osob. Jde o tzv. mediátory. Tak např. jedním z nejznámějších mediátorů pro předpověď úspěšnosti studia pomocí baterie testů je proměnná pohlaví". Testový systém často mívá vyšší validitu u žen než u mužů. V tělesné výchově je však na vyhledávání vhodných mediátorů teprve nutné zaměřit pozornost, zvláště při výběru sportovních talentů. Redukce soustavy motorických testů. Jedním z problémů testovací praxe je vytvořit zkrácenou úpravu baterie vypuštěním podstatného počtu testů, z určitého hlediska nadbytečných. Při vypouštění testů musíme vždy dávat pozor, abychom Konstrukce a teorie motorických testů 95

12 nevyloučili takový test, který je nevalidní jen zdánlivé viz kapitola 2.7, vzorec (2.7-6). V baterii lze zhruba rozlišit dva případy redukce počtu testů: a) pro účely predikce nějakého výkonnostního kritéria, b) bez kritéria, obvykle pro účely úspěšného postižení určité oblasti pohybových schopností. V případě a) jde o otázku tzv. optimální redukce, která je v úzké souvislosti s dostatečností validity baterie po snížení počtu testů. Obvykle se provádí tehdy, když počet a výběr testů do baterie jsou už takové, že validita baterie je dostatečná. Pak stojíme před opačnou otázkou než při počáteční konstrukci baterie, tj. které testy z baterie vypustit, aby validita neklesla pod hranici dostatečnosti, tj. pod nejnižší přípustnou validitu. Optimální redukce baterie je tedy maximální redukce za neporušení podmínky dostatečné výšky validity. Přesně optimálni řešení bychom nalezli, když bychom určili validitu všech možných kombinací testů v baterii, tj. všech dvojic, trojic, čtveřic,... testů ke kritériu. Například kdybychom chtěli najít optimální redukci Fleishmanova testu, který má v = 10 dílčích testů, museli bychom vyšetřit složenou validitu 45 dvojic, 120 trojic, 210 čtveřic,..., celkem 1254 dvoutestových až devítitestových verzí původní baterie. Při větším počtu testů nelze validitu všech kombinací vyšetřit ani počítačem. Proto se užívá různých přibližných metod redukce. Především se vylučují testy s nejnižší čistou validitou, používají se faktorová analýza a její speciální modely určené k tomuto účelu. V případě b) je hlavní metodou redukce testů faktorová analýza (viz kapitola 3.2). Cílem je pokrýt celou strukturu dané oblasti pohybových schopností a dovedností reprezentativním výběrem testů tak, aby byly všechny společné faktory vhodně zastoupeny. Počet testů má být úměrný procentovému podílu rozptylu každého ze společných faktorů. Dostatečnost redukce se posuzuje podle součtu čtverců zátěží testů vybraných do redukované baterie vzhledem k původnímu součtu čtverců zátěží všech testů (je-li procento rozptylu popsané redukovanou baterií např. 90 %, považuje se redukce za přijatelnou apod.). Rovněž se lze orientovat podle koeficientu vnitřní konzistence a před a po redukci baterie, který by neměl příliš klesnout. Po zjištění faktorové struktury baterie se rozdělují její testy na komplexní a homogenní. Ve skupině homogenních testů pak vyhledáváme podskupiny testů s různým druhem ekvivalence. To umožňuje vhodnou redukci jednotlivých skupin testů. 96 Konstrukce a teorie motorických testů

13

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 7. POLOHOVÉ VYTYČOVACÍ SÍTĚ Vytyčení je součástí realizace

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m)

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m) 48 Vícerozměrná kalibrace Podobně jako jednorozměrná kalibrace i vícerozměrná kalibrace se používá především v analytické chemii Bude vysvětlena na příkladu spektroskopie: cílem je popis závislosti mezi

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11

Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11 Analýza výsledků testu čtenářské gramotnosti v PRO23 2010/11 Zpracoval: www.scio.cz, s.r.o. (15. 2. 2012) Datové podklady: výsledky a dotazníky z PRO23, test čtenářské gramotnosti, www.scio.cz, s.r.o.

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

PROTOKOL. č. C2858c. Masarykova univerzita PF Ústav chemie Chemie konzervování a restaurování 1 POPIS PRAKTICKÉHO CVIČENÍ. 1.

PROTOKOL. č. C2858c. Masarykova univerzita PF Ústav chemie Chemie konzervování a restaurování 1 POPIS PRAKTICKÉHO CVIČENÍ. 1. PROTOKOL č. C2858c Masarykova univerzita PF Ústav chemie Chemie konzervování a restaurování Předmět: Znehodnocování a povrchové úpravy materiálů - cvičení Datum: Téma: Kvantifikace koroze a stanovení tolerancí

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 71 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost směr Jak je znázornit, jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí?

Více

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich

y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Řádková norma (po řádcích sečteme absolutní hodnoty prvků matice a z nich Normy matic Příklad 1 Je dána matice A a vektor y: A = 2 0 3 4 3 2 y = Spočtěte všechny jejich normy (vektor je také matice, typu n 1). Ověřte, že platí Ay A y (1) Ay = (4, 14, 2) T 2 2 Frobeniova norma

Více

UPLATNĚNÍ ABSOLVENTŮ FAKULTY TĚLESNÉ VÝCHOVY A SPORTU UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE NA PRACOVNÍM TRHU

UPLATNĚNÍ ABSOLVENTŮ FAKULTY TĚLESNÉ VÝCHOVY A SPORTU UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE NA PRACOVNÍM TRHU Studie UPLATNĚNÍ ABSOLVENTŮ FAKULTY TĚLESNÉ VÝCHOVY A SPORTU UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE NA PRACOVNÍM TRHU Pavel Tilinger, Karel Kovář Úvod do problematiky Úspěšnost vysoké školy je v současnosti možné

Více

11. Geometrická optika

11. Geometrická optika Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.)

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Masarykova univerzita Brno Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) doc. RNDr. PhMr. Karel

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

SYSTÉM TECHNICKO-EKONOMICKÉ ANALÝZY VÝROBY TEKUTÉHO KOVU - CESTA KE SNIŽOVÁNÍ NÁKLADŮ

SYSTÉM TECHNICKO-EKONOMICKÉ ANALÝZY VÝROBY TEKUTÉHO KOVU - CESTA KE SNIŽOVÁNÍ NÁKLADŮ SYSTÉM TECHNICKO-EKONOMICKÉ ANALÝZY VÝROBY TEKUTÉHO KOVU - CESTA KE SNIŽOVÁNÍ NÁKLADŮ FIGALA V. a), KAFKA V. b) a) VŠB-TU Ostrava, FMMI, katedra slévárenství, 17. listopadu 15, 708 33 b) RACIO&RACIO, Vnitřní

Více

Vícekriteriální hodnocení variant metody

Vícekriteriální hodnocení variant metody Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV) Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky

Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky Úloha 6 02PRA2 Fyzikální praktikum II Ohniskové vzdálenosti čoček a zvětšení optických přístrojů Abstrakt: Úloha seznamuje studenty se základními pojmy geometrické optiky a principy optických přístrojů.

Více

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR KORELACE A REGRESE 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001)

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

Práce s čísly. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory

Práce s čísly. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory Práce s čísly Cílem kapitoly je seznámit žáky se základy práce s čísly v programu python. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Hraniční duby určení věku

Hraniční duby určení věku Hraniční duby určení věku Úvodem. Panem starostou ing. Petrem Hejlem jsem byl upozorněn na mohutné duby, rostoucí na hranici mezi Suchdolem a Roztoky. Mohlo by se jednat o hraniční duby, které by si pak

Více

37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra

37 MOLEKULY. Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra 445 37 MOLEKULY Molekuly s iontovou vazbou Molekuly s kovalentní vazbou Molekulová spektra Soustava stabilně vázaných atomů tvoří molekulu. Podle počtu atomů hovoříme o dvoj-, troj- a více atomových molekulách.

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Spolehlivost a provozní vlastnosti kondenzátorů

Spolehlivost a provozní vlastnosti kondenzátorů Spolehlivost a provozní vlastnosti kondenzátorů Tímto článkem bychom rádi poskytli, zejména konstruktérům elektronických zařízení, více informací o konstrukci, elektrických a mechanických parametrech elektronických

Více

1.2 Motorické testy - obecná charakteristika

1.2 Motorické testy - obecná charakteristika 1.2 Motorické testy - obecná charakteristika Test používáme ve významu zkouška. Jedná se o vědecky podloženou zkoušku, jejímž cílem je dosáhnout kvantitativního výsledku. Testování znamená: 1. Provedení

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Mgr. Karel Pazourek. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Mnohočleny z různých stran Mgr. Karel Pazourek Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Dynamické metody pro predikci rizika

Dynamické metody pro predikci rizika Dynamické metody pro predikci rizika 1 Úvod do analýzy časových řad Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých časových intervalech okamžikové např

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Fyzikální praktikum 1

Fyzikální praktikum 1 Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #9 Základní experimenty akustiky Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 3.11.014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) V domácí přípravě spočítejte,

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému

Reference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)

Více

Semestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2

Semestrální projekt. do předmětu Statistika. Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36. Oponenti: Patrik Novotný 2-36. Jakub Nováček 2-36. Click here to buy 2 Semestrální projekt do předmětu Statistika Vypracoval: Adam Mlejnek 2-36 Oponenti: Patrik Novotný 2-36 Jakub Nováček 2-36 Úvod Pro vypracování projektu do předmětu statistika jsem si zvolil průzkum kvality

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit: 3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh

6. Střídavý proud. 6. 1. Sinusových průběh 6. Střídavý proud - je takový proud, který mění v čase svoji velikost a smysl. Nejsnáze řešitelný střídavý proud matematicky i graficky je sinusový střídavý proud, který vyplývá z konstrukce sinusovky.

Více

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů.

Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Měřicí aparatura 1 / 34 Fyzikální veličiny Charakterizují kvantitativně vlastnosti předmětů a jevů. Můžeme je dělit: Podle rozměrů: Bezrozměrné (index lomu, poměry) S rozměrem fyzikální veličiny velikost

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Testování a spolehlivost. 6. Laboratoř Ostatní spolehlivostní modely

Testování a spolehlivost. 6. Laboratoř Ostatní spolehlivostní modely Testování a spolehlivost ZS 2011/2012 6. Laboratoř Ostatní spolehlivostní modely Martin Daňhel Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Příprava studijního programu Informatika

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta. Voňková Tvorba a využití didaktických testů 1

Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta. Voňková Tvorba a využití didaktických testů 1 Tvorba a využití didaktických testů Část materiálů k přednáškám Hana Voňková Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta Voňková Tvorba a využití didaktických testů 1 Didaktický test - stručný popis

Více

Experimentální analýza hluku

Experimentální analýza hluku Experimentální analýza hluku Mezi nejčastěji měřené akustické veličiny patří akustický tlak, akustický výkon a intenzita zvuku (resp. jejich hladiny). Vedle členění dle měřené veličiny lze měření v akustice

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 0520 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Geometrická optika - Ohniskové vzdálenosti

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více