Rovnice 1.řádu. (taková řešení nazýváme singulární řešení). řeší rovnici (*) na intervalu ( a, b)

Transkript

1 Rovce řáu Rovce se separovaým proměým Derecálí rovc tvaru g h * azýváme rovcí se separovaým proměým latí: Nechť g je spojtá uce a tervalu a b h je spojtá a eulová uce a tervalu c Ozačme postupě G a H prmtví uce ucím g a otom je-l uce řešeím rovce * a h tervalu I a b estuje ostata C R ta že pro všecha I platí H G C Je-l h potom zřejmě uce řeší rovc * a tervalu a b taová řešeí azýváme sgulárí řešeí Homogeí rovce stupě Nechť Fuce : D R R se azývá homogeí uce stupě jestlže pro ažé N D a t platí t t D a t t t Rovce g se azývá homogeí rovce stupě jsou-l obě uce g homogeí uce stejého stupě Řešeí taové rovce hleáme ve tvaru v Fuce v je potom řešeím rovce se separovaým proměým říslušá trasormace v R terou př řešeí prováíme eí regulárí v boech - a závěr je proto třeba zvlášť všetřt chováí řešeí v oolí boů ozáma: Na homogeí rovce přípaě a rovce se separovaým proměým lze převést rovce tpu a b c g a b c ř jejch řešeí hleáme taovou trasormac souřac ab v ové soustavě souřac bl zísaé rovce homogeí rotíají-l se přím a b c a a b c volíme jejch průsečí za počáte ové soustav souřac Jsou-l tto přím rovoběžé estuje taové K R že př vhoém očíslováí rovc platí a b K a b Volíme-l pa a b z ostáváme a b K z a te půvoí rovce má separovaé proměé β γ δ ozáma: V ěterých přípaech se ají rovce tpu a b c převést a t s homogeí rovce pomocí substtuce u v Eatí rovce Uvažujme erecálí rovc tvaru g ** F F Jestlže estuje uce F tří C taová že a g pa řešeí rovce ** splňují F c pro ějaou ostatu c R Taové rovce azýváme eatí latí: Nechť a g jsou vě uce tří C a otevřeém obélíu a b c otom a obélíu F F g a b c estuje uce F pro terou a g právě ž a a b c Neí-l rovce ** eatí lze j a eatí rovc převést vásobeím ějaou ucí tzvtegračím atorem V ěterých specálích přípaech můžeme tuto uc jeouše alézt:

2 g - ou ezávsí a pa pro rovc ** estuje tegračí ator terý je ucí g - ou ezávsí a pa pro rovc ** estuje tergačí ator terý g je ucí Beroullov rovce Rovce tvaru p R azýváme Beroullov ostup př řešeí je ásleující: { } q e p q jsou uce spojté a zaaém tervalu a Hleáme řešeí ve tvaru z e z je ová ezámá uce Tím ostaeme leárí rovc řáu Rovc vělíme a pa vásobíme tegračím atorem e e je prmtví uce p ozáma: Často se setáváme s rovcem erozřešeým vzhleem Taové rovce lze zapsat v obecém tvaru F a jejch řešeí lze použít ěterou z ásleujících meto: Vřešt příslušou rovc vzhleem a ále řešt zámým metoam všech zísaé rovce tpu Neumíme-l rovc vřešt vzhleem ale umíme-l j vřešt vzhleem můžeme hleat řešeí v parametrcém tvaru: Ozačíme jao parametr p rotože rovc umíme vřešt vzhleem estuje uce ta že rovce p je evvaletí půvoí rovc Záme te jao uc proměých p řepolááme že Φ p a hleáme uc Φ latí Φ Φ Φ p Φ p p ou p o vřešeí p p p p p p p této rovce vzhleem Φ ostaeme parametrcé řešeí Φ p Ψ p Φ p p

3 Rovce vššího řáu Derecálí rovc tvaru azýváme erecálí rovcí -tého řáu vřešeou vzhleem ejvšší ervac ozáma: Něteré rovce vššího řáu je možé vhoou substtucí převést a rovc řáu: Má-l rovce tvar tj "ezávsí a žších ervacích" položíme z čímž ostaeme pro uc z rovc řáu a uc alezeme postupou tegrací uce z Má-l rovce tvar F tj "ezávsí a ezávsle proměé hleáme p a rovc upravíme a rovc řáu pro ezámou uc p Leárí rovce -tého řáu Rovc a b *** e a b jsou spojté uce eovaé a tervalu I azýváme leárí rovce -tého řáu s pravou straou b Je-l b a I azýváme tuto rovc rovcí bez pravé stra ě též homogeí rovcí ozáma: Obecá metoa pro alezeí uametálího sstému pro rovce vššího ež prvího řáu s proměým oecet eestuje Záme-l vša jeo řešeí leárí rovce -tého řáu bez pravé stra můžeme sížt řá rovce: ro leárí rovc řáu tvaru a a platí Louvlle-Ostrograsého ormule a C e e jsou leárě ezávslá řešeí této rovce Hleáme-l řešeí ve tvaru z ostáváme pro uc z rovc terá závsí pouze a z z z a položíme-l te u z řešíme ále je rovc --řáu pro ucí u Tato metoa se á použít pro rovce s eulovou pravou straou ozáma: ro leárí erecálí rovce vššího řáu s ostatím oecet jž estuje algortmus pro alezeí uametálího sstému K alezeí řešeí rovce s eulovou pravou straou se ejčastěj používají tto vě meto: Varace ostat: Řešeí hleáme ve tvaru c e uce uametálí sstém řešeí rovce a c c jsou uce proměé řtom požaujem ab uce c c bl spojtě erecovatelé a jejch ervace splňoval sstém algebracých rovc: b tvoří

4 Metoa eurčtých oecetů: Tato metoa se ě azývá taé "metoa specálích tpů pravých stra" ostata této meto je ásleující: Má-l pravá straa řešeé rovce specálí tvar apř je to polom stupě apo hleáme jeo řešeí rovce s pravou straou ve tvaru "polomu" jehož stupeň závsí a a a ořeech charaterstcého polomu Dosazeím o půvoí rovce a porováím oecetů u jeotlvých moc určuje oecet u hleaého řešeí "polomu" řesý tvar ve terém se řešeí hleá uává ásleující tabula: ravá straa rovce Koře charpolomu Tvar řešeí e e R eí oře polom stupě m polom stupě m s R e R je oře ás s polom stupě m e [ cos β Q s β] Q polom stupě ejvýše m β R ± β eí oře ± β je oře ás s s e [ cos β Q s β] Q polom stupě m e cos β Q s β [ ] Q polom stupě m Eulerov rovce Rovce tvaru a a a e a a a R jsou ostat a je spojtá uce a zaaém tervalu β azýváme Eulerov Je-l uce ulová mluvíme o homogeí rovc ostup př řešeí je ásleující: Rovc řešíme zvlášť a tervalech β a β Naoec s rozmslíme lze řešeí slept v Je o leárí rovc taže je možé řešt ejprve homogeí rovc a potom hleat partulárí řešeí Moža všech řešeí homogeí rovce a tervalu ebo tvoří vetorový prostor meze 3 ř řešeí homogeí rovce tj pro hleáí jejího uametálího sstému můžeme postupovat věma způsob: t t a roveeme substtuc " e " tj zaveeme ovou ezámou uc z t e čl hleáme řešeí ve tvaru zlog Tím ostaeme leárí rovc pro ezámou uc z s ostatím oecet terou jž umíme vřešt b Hleáme řešeí ve tvaru Dosaíme-l to o aší rovce ostaeme rovc e je polom stupě Najeme jeho oře Fuametálí sstém aší rovce bue tvoře ucem log e jsou prv uametálího sstému pro leárí rovc s ostatím oecet terá opovíá charaterstcému polomu 4 ř řešeí homogeí rovce a tervalu vužjeme atu že uce je řešeím homogeí rovce a tervalu právě ž uce je řešeím homogeí rovce a tervalu 5 ř hleáí partulárího řešeí lze použít ěola meto: a Metou varace ostat stejě jao u leárích rovc s ostatím oecet b Aalog meto specálí pravé stra t c ř použtí substtuce " e " pole rou 3 a se emusíme omezovat je a homogeí rovc oužjeme-l j a celou rovc hleáme pa partulárí řešeí pro příslušou leárí rovc s ostatím oecet

5 Soustav leárích rovc s ostatím oecet e A je čtvercová matce stupě Uvažujme soustavu A bt b : β R je spojtá vetorová uce a je ezámá vetorová uce ř řešeí postupujeme apříla tato: Jeá se o leárí rovc taže můžeme zvlášť řešt homogeí rovc tj A a potom hleat partulárí řešeí Řešeí homogeí rovce jsou eováa a R a tvoří vetorový prostor meze Řešeí homogeí rovce: a Napíšeme s matc λ I A a pomocí řáových úprav j převeeme a horí trojúhelíovou matc Řáovým úpravam jsou: prohozeí vou řáů vásobeí řáu eulovou ostatou přčteí -ásobu jeoho řáu jému řáu e je polom v proměé λ b Vzlou matc přepíšeme zpět jao soustavu erecálích rovc ásleujícím způsobem: Má-l matce tvar L L M M O M L ová soustava bue mít tvar K K M e pro polom a λ a λ K a λ a mslíme smbolem uc a a K a a c Tuto ovou soustavu řešíme "ozau" te o -té rovce po prví řtom používáme metou řešeí leárích rovc s ostatím oecet - hleáí uametálího sstému a řešeí rovc se specálí pravou straou 3 ř hleáí partulárího řešeí postupujeme ěterou z těchto meto: a Varace ostat: Nechť Φ t je uametálí matce tj její sloupce jsou prv uametálího sstému řešeí homogeí rovce a partulárí řešeí ajeme ve tvaru p t Φ t c t pro vhoou vetorovou uc c b Je-l vetorová uce b ostatečě hlaá apř tří C lze pro ehomogeí rovc použít elmac: K matc λ I A přáme jsště sloupec pravých stra a upravujeme tato rozšířeou λ I A b t tpu Řáovým úpravam ojeme matc tvaru matc L L terou opět přepíšeme jao ovou soustavu M M O M M L erecálích rovc Její levé stra buou mít stejý tvar jao v přípaě homogeí soustav

6 uce λ j v posleím sloupc upraveé matce mají tvar j j g λ λ e uce j g jsou ějaé uce tří C Nová soustava pa bue mít tvar K K M e j j g