[ ] Parametrické systémy lineárních funkcí I. Předpoklady: 2110

Transkript

1 ..6 Parametrické sstém lineárních funkcí I Předpoklad: 0 Pedagogická poznámka: Tato hodina vznikla až v Třeboni kvůli problémům, které studenti měli s následující hodinou. Ukázalo se, že problém, kterých jsem si všiml už ve Strakonicích, mají asi trochu hlubší důvod než jsem si zprvu mslel. Jde o první seznámení s parametr, stejně jako u později u rovnic se snažím o to, ab studenti pochopili, že jde o metodu, jak popsat více věcí najednou. Pedagogická poznámka: Nutnou podmínkou pro kreslení parametrických sstémů lineárních funkcí je schopnost rchle kreslit graf konkrétních lineárních funkcí. Proto začátek hodin obsahuje opakování a diskusi o nejrchlejších metodách. Př. : Nakresli co nejrchleji graf funkce = +. = + koeficient b = funkce prochází bodem [ 0; ] koeficient a =, funkce je klesající, kdž se změní o, změní se o dalším bodem je například bod ; [ ] Dodatek: Graf můžeme samozřejmě nakreslit také pomocí dvou bodů získaných dosazením: = 0 0 0; = + = + = bod [ ] = + = + = bod [ ; 3] = 3 Př. : Nakresli co nejrchlejším postupem graf funkce =. 3

2 = 3 koeficient koeficient b = funkce prochází bodem [ 0; ] a =, funkce je rostoucí, kdž se změní o 3 3, změní se o dalším bodem je například bod [ 3; ] Dodatek: Graf můžeme samozřejmě nakreslit také pomocí dvou bodů získaných dosazením: = 0 = = 0 = bod [ 0; ] 3 3 = 3 = = 3 = bod [ 3; ] 3 3 Pedagogická poznámka: Studenti se často ptají, jestli je něco špatného na tom, že kreslí graf pomocí dvou bodů. Říkám jim, že špatně to určitě není, ale je to ve většině případů pomalejší. Uvedený postup kreslení funkcí však nemá cenu nikde speciálně zformulovávat, měl b být důsledkem toho, že studenti při kreslení funkcí neustále přemýšlejí o tom, jak je nakreslit rchleji a úsporněji, o tom, jak hodnot konstant v předpisu souvisejí s výsledným tvarem a vužívají to. Předchozí odstavec platí ještě více v následujících příkladech, kde kreslení ze zkušenosti může ušetři opravdu hodně času. Je potřeba ale zdůrazňovat, že kreslení ze dvou bodů je rozhodně správné a mělo b plnit roli jistot, kterou studenti použijí, kdž nebudou vidět jiný postup. Vrátíme se do historie (nedávné). Při zjišťování významu konstant a, b v předpisu lineární funkce = a + b jsme do jednoho obrázku kreslili více funkcí, které se lišil například v hodnotě konstant b: Například graf funkcí: f : =, f : = +, f : = + 3, f : 3 = ve společném obrázku vpadají takto:

3 Předpis i graf všech čtř funkcí jsou si hodně podobné zkusíme ušetřit místo a zapíšeme = + b; b ; 0;;3 je všechn najednou: { } místo čtř funkcí jsme napsali jedinou. Na místě, kde se funkce navzájem lišil, je napsán ;0;;3. parametr b ( něco jako žolík ), za něž můžeme dosazovat konkrétní hodnot { } Dosazením hodnot parametru získáme konkrétní lineární funkce (jak jsme je znali dosud). Parametrický zápis můžeme chápat jako vzorový předpis, ze kterého získáme dosazením hodnot za parametr hotové konkrétní funkce. = +. Př. 3: Nakresli parametrický sstém funkcí b; b { ; ;3} Postupně dosazujeme hodnot parametru a kreslíme konkrétní funkce: b = = + Kreslíme graf funkce = + : 0; b = funkce prochází bodem [ ] a = musíme změnit o dvě, ab se ;0 zmenšilo o [ ] 3

4 b = = + Funkce má stejnou hodnotu a jako předchozí grafem bude rovnoběžná přímka, 0; b = funkce prochází bodem [ ] b = 3 = + 3 Funkce má stejnou hodnotu a jako předchozí grafem bude rovnoběžná přímka, 0; b = funkce prochází bodem [ ] Mohli jsme si ušetřit práci, z významu konstant b blo jasné, že všechn tři graf budou rovnoběžné přímk s různým posunutím ve svislém směru. Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu je třeba ohlídat, ab studenti dobře rozuměli tomu, že nejdříve si volí (ze tří možností) hodnotu parametru (například b = ). Touto volbou získají konkrétní funkci = 0,5 +. Při kreslení jejího grafu pak mohou volit hodnot, ab získali dva bod na sestrojení grafu. Tato druhá volba není většinou nutná a jde o jinou úroveň řešení příkladu, než ve které volíme hodnotu parametru b. Studentům, kteří s tím mají problém, je třeba zdůrazňovat, že řešení příkladu probíhá na dvou úrovních. Ve všší úrovni volíme hodnot parametru (a získáváme konkrétní funkce), v nižší úrovni kreslíme graf těchto funkcí. Při kreslení grafu konkrétní funkce nás pak vůbec nezajímá, jakým způsobem jsme ji získali. Považuji tento příklad za jeden ze způsobů, jak student učit spouštění podprogramů. Postřeh: Parametr nám při kreslení sstému funkcí pomáhá. Konstanta v předpisu funkce = + b nám říká, že všechn kreslené funkce mají stejný sklon a jsou navzájem rovnoběžné, parametr b pak říká, že kreslené funkce se budou lišit v posunutí ve svislém směru. Při řešení dalších příkladů budeme společné rs jednotlivých funkcí v sstému vužívat.

5 Př. : Nakresli parametrický sstém funkcí a ; a { ;0;; } Postřeh: Funkce jsou dán předpisem a a = 0 = 0 + = - konstantní funkce a = = + = +, a =, kdž zvětšíme o, se zvětší o [ ; ] a = = + = +, a =, kdž zvětšíme o, se zvětší o [ ;3 ] a = = ( ) + = +, a =, kdž zvětšíme o, se zmenší o [ ;0 ] = +. = + všechn graf prochází bodem [ 0; ] Př. 5: Nakresli parametrický sstém funkcí b; b ( ; ) =. Postřeh: Všechn funkce = b = 0 + b mají konstantu a = 0 všechn jsou konstantní kreslíme nekonečně mnoho vodorovných přímek, které se liší posunutím ve svislém směru Hranou intervalu je b = hledáme všechn funkce, jejichž graf jsou výše než graf funkce = graf funkce = nakreslíme čárkovaně a tečkovaně naznačíme některé z hledaných grafů Př. 6: Nakresli parametrický sstém funkcí = 3 + b; b ;. Postřeh: Všechn funkce = 3 + b mají konstantu a = 3 graf všech hledaných funkcí jsou navzájem rovnoběžné přímk, které se liší v posunutí ve svislém směru Dolní hranou intervalu je b = kreslíme funkci = 3 5

6 prochází bodem [ 0; ], a = 3 kdž se zvětší o, zvětší se o 3 další bod [ ; ] Horní hranou intervalu je b = kreslíme funkci = 3 + její graf je rovnoběžný s grafem funkce = 3, prochází bodem [ 0; ] Ostatní hledané funkce leží v pásu mezi graf předchozích funkcí Př. 7: Nakresli parametrický sstém funkcí = a ; a ;3). Postřeh: Všechn funkce = a mají konstantu b = graf všech hledaných funkcí prochází bodem [ 0; ] Dolní hranou intervalu je a = kreslíme funkci = prochází bodem [ 0; ], a = kdž se zvětší o, zmenší se o další bod [ ; 3] Horní hranou intervalu je 3 a = kreslíme funkci = 3 prochází bodem [ 0; ], a = 3 kdž se zvětší o, zvětší se o 3 další bod [ ; ] Ostatní hledané funkce leží v pásu mezi graf předchozích funkcí Pedagogická poznámka: Třídu snchronizuji u předchozího příkladu tak, ab se o následující dva příklad mohli pokusit všichni. 6

7 Př. 8: Na následujících obrázcích jsou naznačen graf parametrických sstémů lineárních funkcí. Zapiš oba tto sstém. Předpokládej, že v obrázcích jsou zachcen etrémní možné případ (všechn hledané nenakreslené lineárních funkce ted musí ležet mezi nakreslenými funkcemi). V obou případech volíme parametr z oboustranně uzavřeného intervalu a) všechn funkce na levém obrázku mají stejný sklon liší se v absolutním členu. Zajímají nás etrémní příklad zelená a modrá přímka modrá přímka: při zvětšení o se zmenší o, prochází bodem [ 0;5 ] jde o přímku = + 5 zelená přímka: prochází bodem [ 0; 3] jde o přímku = 3 hledané lineární funkce můžeme zapsat = + b; b 3;5 b) všechn funkce na pravém obrázku prochází stejným bodem a liší se ve sklonu liší se v lineárním členu. Zajímají nás etrémní příklad červená a modrá přímka červená přímka: při zvětšení o se zvětší o, prochází bodem [ 0; ] jde o přímku = + modrá přímka: při zvětšení o se zmenší o, prochází bodem [ 0; ] jde o přímku = + hledané lineární funkce můžeme zapsat = a + ; a ; Př. 9: Nakresli graf libovolné funkce: a) = a + ; a > 0 b) = + b; b < 0 c) = a + b; a < 0; b > 0 a) = a + ; a > 0 libovolná rostoucí lineární funkce procházející bodem [ 0; ] b) = + b; b < 0 libovolná lineární funkce rovnoběžná s funkcí =, která se s osou protíná nad osou 7

8 c) = a + b; a < 0; b > 0 libovolná klesající lineární funkce, která se s osou protíná nad osou Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je pro část studentů opět těžký v tom, že mají obrovskou volnost, která je paradoně strašně svazuje. Shrnutí: Parametr nám umožňuje najednou popsat více funkcí. 8