Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 1. Jméno: Bodů:...

Transkript

1 Inf-M-1 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 1. Uvažujte funkci f(x) =ln(x + p x 2 +1): Najděte její definiční obor, vypočtěte jednostranné limity v krajních bodech definičních intervalů (případně v ±1), vypočtěte 1. derivaci, určete intervaly monotonie a lokální extrémy. Dále vypočtěte 2. derivaci, najděte intervaly, kde je f konvexní a konkávní, najděte inflexní body, vyšetřšte asymptoty v ±1 a načrtněte graf funkce. 1

2 Inf-M-2 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 2. Najděte bázi průniku a součtu podprostorů U a V v R 4. Podprostor U je generován vektory (1; 2; 0; 1); (1; 1; 1; 1); (2; 0; 1; 2) a podprostor V je generován vektory (1; 0; 1; 1); (0; 2; 1; 1); (3; 0; 2; 1): Svůj postup zdůvodněte.

3 Inf-M-3 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 3. Za slovo budeme považovat jakoukoliv posloupnost písmen a, b, c, d, e, f. Délkaslovaje počet písmen ve slově, přitom písmena se mohou ve slově opakovat. (Např. eefef je slovo délky 5 obsahující dvě písmena e a f. Vypočtěte (samotný výsledek nestačí): (1) Kolik existuje slov délky 5, která obsahují právě dvě písmena? (2) Kolik existuje slov délky 4, která mají písmeno c právě na dvou místech? (3) Kolik existuje slov délky 4, která obsahují písmeno c? (4) Kolik existuje slov délky 4, která mají nějaké písmeno aspoň na dvou místech? (5) Kolik existuje slov délky 4, která obsahují písmeno c nebo d?

4 AplInf-M-1 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 1. Uvažujte funkci (x +1)3 f(x) = (x 1) 2 : Najděte její definiční obor, vypočtěte jednostranné limity v krajních bodech definičních intervalů, vypočtěte 1. derivaci, určete intervaly monotonie, lokální extrémy a hodnoty v nich. Dále najděte asymptoty v ±1 a načrtněte graf funkce s naznačenými asymptotami. 1

5 AplInf-M-2 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 2. Zjistěte, pro které dvojice parametrů a, b 2 R je množina řešení soustavy rovnic 3x1 +3x2 +2x3 3x4 = 2b 6x1 +8x2 +4x3 8x4 = 3x1 4x2 2x3 +4x4 = 3b 9x1 +9x2 +6x3 9x4 = a a o neznámých x1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 2 R neprázdná. Pro tyto dvojice soustavu vyřešte.

6 AplInf-M-3 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Základy matematiky Otázka: 3. Sázející vybírá 5 různých čísel z množiny f1; 2; 3; :::;14; 15g. Na pořadí vybraných čísel přitom nezáleží. Vypočtěte (samotný výsledek nestačí): (1) Kolik je výběrů, ve kterých jsou obsažena současně čísla 1 a 2? (2) Kolik je výběrů, ve kterých je obsaženo číslo 1 nebo 2? (3) Kolik je výběrů, ve kterých jsou obsažena právě tři čísla z množiny f1; 2; 3; 4; 5g? (4) Kolik je výběrů, ve kterých jsou obsažena aspoň tři čísla z množiny f1; 2; 3; 4; 5g?

7 Inf-I-1 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Teoretické základy informatiky Otázka: 1. ffl Definujte pojmy ekvivalence a uspořádání na množině M. ffl Uvažme binární relaci R na přirozených číslech N = f1; 2; 3;:::g definovanou takto: (a; b) 2 R právě když ja bj»68. Rozhodněte, zda jde o ekvivalenci a svou odpověď dokažte. ffl Nechť M = fa; b; c; dg. Uveďte příklad binární relace na M, která je současně uspořádáním i ekvivalencí.

8 Inf-I-2 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Teoretické základy informatiky Otázka: 2. ffl Definujte pojem regulárního výrazu a pojem jazyka popsaného (určeného) regulárním výrazem. ffl Definujte pojem regulárního přechodového grafu. ffl Popište algoritmus, který pro libovolný regulární výraz sestrojí jazykově ekvivalentní nedeterministický konečný automat s "-kroky.

9 Inf-I-3 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Teoretické základy informatiky Otázka: 3. ffl Definujte pojem NP-úplného a NP-těžkého problému. ffl Popište metodu důkazu NP-těžkosti problému. ffl Uveďte alespoň tři příklady NP-úplných problémů. ffl Objasněte význam pojmu NP-úplnosti.

10 Inf-I-4 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Teoretické základy informatiky Otázka: 4. ffl Uveďte název alespoň jednoho algoritmu, který používá datovou strukturu zásobník. ffl Základní operace nad zásobníkem jsou emptystack : S(T ), isempty : S(T )! Bool, push : T S(T )! S(T ), top : S(T )! T, pop : S(T )! S(T ). Symbol S(T ) označuje typ zásobníků nad bázovým typem T. V jakém vztahu jsou operace push a pop? V jakém vztahu jsou operace push a top? Vyjádřete oba vztahy jako rovnosti, které jsou splněny pro každý prvek x : T a každý zásobník s : S(T ). ffl Pomocí uvedených základních operací napište program, který počítá funkci longer : Int S(T )! Bool tak, aby longer(k; s) bylo splněno, právě když zásobník s obsahuje aspoň k prvků.

11 AplInf-I-1 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Teoretické základy informatiky Otázka: 1. ffl Popište rezoluční pravidlo pro výrokovou logiku. ffl Metodou lineární vstupní rezoluce dokažte nesplnitelnost množiny klauzulí ffp (x; x)g; f:p (x; y); :P (y; z);p(z; x)g; fp (a; b)g; f:p (b; a)gg ffl Stručně popište některou další metodu zjemnění rezoluce.

12 AplInf-I-2 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Teoretické základy informatiky Otázka: 2. ffl Zformulujte tvrzení o uzávěrových vlastnostech třídy regulárních jazyků vzhledem k operacím sjednocení, průniku, doplňku, zřetězení a iteraci ffl Dvě (libovolná) z výše uvedených tvrzení zdůvodněte (stačí uvést konstrukci, její správnost dokazovat nemusíte). ffl Uveďte příklad použití uzávěrových vlastností.

13 Inf-P-1 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Programové, informační a výpočetní systémy Otázka: 1. Jméno: Bodů: a) Převeďte desítková celá čísla 23 a 85 do dvojkové soustavy. b) Popište způsob provádění aritmetiky (změna znaménka, součet) ve dvojkovém doplňkovém kódu a v inverzním kódu. c) Zobrazte desítková čísla -23 a -85 ve dvojkové soustavě v doplňkovém kódu a v inverzím kódu. Obojí na 8 bitech. d) Čísla z podotázky C binárně sečtěte ve dvojkovém doplňkovém kódu a v inverzním kódu na 8 bitech. Výsledky převeďte do desítkové soustavy a ověřte správnost. e) Jaký je rozsah zobrazení celého čísla ve dvojkovém doplňkovém kódu uloženého na 8 bitech?

14 Inf-P-2 Obor: Informatika Červen 2005 Okruh: Programové, informační a výpočetní systémy Otázka: 2. Jméno: Bodů: a) Co je relace a přirozené spojení? b) Předpokládejme, že máme dvě relace se schématy zákazník=(id-zák,jméno,adresa) a účet=(číslo-účtu, zůstatek, id-zák) a operace znační přirozené spojení. Pro následující dva výrazy v relační algebře: Π jméno (σ zůstatek>2500 (účet zákazník)) σ zůstatek>2500 (účet) Π jméno,id-zák (zákazník) rozhodněte a stručně zdůvodněte, jestli jsou ekvivalentní. c) Jaké bude schéma výsledku operace (účet zákazník)? d) Uveďte princip a účel hešování. Jaké jsou vlastnosti ideální hešovací funkce?

15 AplInf-P-1 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Programové, informační a výpočetní systémy Otázka: 1. Jméno: Bodů: a) Napište v jazyce Java, C/C++ nebo Pascal kód metody (procedury) selectsort, která uspořádá vzestupně posloupnost předanou jí jako parametr pole celých čísel a indexované od 0 a mající n prvků. Metoda (procedura) bude řadit opakovaným výběrem minimálního prvku z dosud neuspořádané části posloupnosti, přičemž: V metodě (proceduře) selectsort použijte volání metody (funkce) int selectmin(int a[], int from), která vrátí index nejmenšího z prvků pole a na indexech from a vyšších. Pozn.: v Pascalu bude hlavička této funkce function selectmin(var a:pole; from:integer; n:integer): integer; kde n bude udávat počet prvků v poli a a dále type POLE = array[0..max] of integer. Pro výměnu dvou prvků nacházejících se v poli a na indexech i a j použijte v řešení metodu (proceduru) void swap(int a[], int i, int j). Pozn.: v Pascalu bude hlavička této procedury procedure swap(var a:pole; i:integer; j:integer); b) Napište sami kód výše popsané metody (funkce) selectmin. c) Napište sami kód výše popsané metody (procedury) swap.

16 AplInf-P-2 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Programové, informační a výpočetní systémy Otázka: 2. Jméno: Bodů: a) Zdůvodněte, proč je v lokální síti typu Ethernet s přístupovou metodou CSMA/CD stanovena největší možná vzdálenost libovolných dvou stanic (uzlů). b) Jak je definována kvalita služeb zabezpečovaných protokoly transportní vrstvy v sítích typu TCP/IP? c) Vysvětlete princip dvou adresovacích mechanismů v sítích typu TCP/IP (IP adresy a symbolická doménová jména) a zdůvodněte roli jmenné služby DNS (Domain Name Service)

17 AplInf-P-3 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Programové, informační a výpočetní systémy Otázka: 3. Jméno: Bodů: a) Definujte stav uváznutí procesů a vyjádřete nutné a postačující podmínky vzniku uváznutí. b) Vyjádřete roli tabulky stránek při překladu logické (virtuální) adresy na fyzickou (reálnou) adresu. c) Vysvětlete princip cyklického plánování procesů a uveďte alespoň dvě jeho positivní vlastnosti.

18 AplInf-P-4 Obor: Aplikovaná informatika Červen 2005 Okruh: Programové, informační a výpočetní systémy Otázka: 4. Jméno: Bodů: a) Jaké třídy je IP adresa ? b) Napište IP adresu označující local host (loopback). c) Jakou IP adresu bude mít všesměrové vysílání pro síť s adresou ? d) Napište masku podsítě, která v rámci sítě definuje podsíť, pro níž jsou vymezeny 4 bity. e) Vysvětlete pojem rezervovaná IP adresa.