Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace. Praskova 399/8, Opava. Mechanika I VÝUKOVÝ MANUÁL

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace. Praskova 399/8, Opava. Mechanika I VÝUKOVÝ MANUÁL"

Transkript

1 Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace Praskova 399/8, Opava Mechanika I VÝUKOVÝ MANUÁL

2 Ing. Vítězslav Doleží Opava /93

3 Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace Ing. Vítězslav Doleží Tato práce slouží pro výuku předmětu Mechanika I na Střední škole průmyslové a umělecké v Opavě, příspěvkové organizaci. Opava /93

4 Obsah 1 Úvod Plán učiva Pomůcky Rozdělení mechaniky Zakladatelé mechaniky Síla Grafické znázornění síly Určení bodu v rovině Určení síly v rovině Zákon akce a reakce Newtonův zákon akce a reakce Podmínky rovnováhy Soustava sil na jedné nositelce Nahrazení síly silou na téže nositelce Výslednice sil na jedné nositelce (přímce) Rovnováha sil na jedné nositelce Rovinná soustava sil působících v jednom bodě Grafické zjištění výslednice Rovnováha sil o stejném působišti Rozklad síly do dvou směrů Početní řešení Obecná rovinná soustava sil Moment síly k bodu (ose) Moment silové soustavy Početní řešení soustavy rovinných rovnoběžných sil Početní řešení soustavy obecných rovinných sil Silová dvojice Moment silové dvojice Rovnováha momentů Reakce nosníků Stupně volnosti Spojité zatížení Grafické řešení výslednice soustavy obecných rovinných sil /93

5 6 Těžiště Těžiště čar Těžiště částí kružnice Těžiště ploch Těžiště geometrických ploch Těžiště těles Stabilita Prutové soustavy Určení reakcí: Namáhání prutů Namáhání styčníků Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory Smykové tření Pohyb tělesa po vodorovné rovině Tření v klínové drážce Pohyb po nakloněné rovině Čepové tření Vláknové tření Odpor při valení Pružnost pevnost Síly Napětí Základní druhy namáhání Základní druhy deformace Tah, tlak Napětí vzniklé teplem Střih, smyk Stříhání materiálu /93

6 1 Úvod 1.1 Plán učiva Úvod, základní pojmy. Soustava sil na jedné nositelce. Obecná rovinná soustava sil. Rovinná soustava sil působících v jednom bodě. Prostorová soustava sil. Těžiště. Prutové soustavy. Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory. Pružnost pevnost (tah, tlak). Opakování učiva. Na konci roku před uzavřením známek kontrola všech sešitů, sešity musí být v absolutním pořádku, se všemi nakreslenými obrázky, se vším dopsaným učivem, s okraji tuší. 1.2 Pomůcky Kniha MECHANIKA I STATIKA pro SPŠ strojnické, S. Salaba, A. Matěna, SNTL, Praha /93

7 Kniha MECHANIKA PRUŽNOST A PEVNOST pro SPŠ strojnické, L. Mrňák, A. Drdla, SNTL, Praha Kniha Strojnické tabulky, Jan Lienveber a Pavel Vávra, ALBRA, Praha /93

8 Kniha MECHANIKA Sbírka úloh, TUREK, I., SKALA, O., HALUŠKA J., SNTL, Praha Nelinkovaný sešit A4 tlustý, okraje tuší 30 mm od vnější strany. Kalkulačka s goniometrickými funkcemi. Pero a pentelka 0,5 mm. Guma na gumování. Trojúhelníkové pravítko s ryskou. Jeden libovolný úhloměr. 1.3 Rozdělení mechaniky Mechanika se zabývá hmotou a jejími neoddělitelnými projevy silami a pohybem. Podle skupenství vyšetřovaných objektů mechaniku dělíme na: Mechanika tuhých těles (statika, kinematika, dynamika). Mechanika kapalin (hydromechanika). Mechanika plynů a par (termomechanika, nauka o proudění). Každá z těchto oblastí se dá rozdělit na tyto části: Statika pojednává o rovnováze, tj. působení sil za klidu nebo přímočarém rovnoměrném pohybu. Kinematika zkoumá pohyb v prostoru a čase bez příčin, které jej vyvolaly. 8/93

9 Dynamika zkoumá závislost mezi hmotou, pohybem a silami, tedy příčiny pohybu. Pružnost a pevnost zkoumá namáhaní a deformaci těles, tedy účinky sil na těleso samé. 1.4 Zakladatelé mechaniky Galileo Galilei zkoumal pohyb, např. volný pád. Kepler zkoumal kinematické zákony pohybu planet. Newton ( ) zakladatel teoretické fyziky zákony o pohybu, zákony gravitační, založil diferenciální počet, matematicky definoval zákony a jednotlivé svázal dohromady. Vše dostalo řád a matematickou zákonitost. Newtonovská mechanika nefunguje v mikrosvětě (atomy) a makrosvětě (astronomie planety), v termodynamice a elektrodynamice. To vedlo postupně k teorii relativity. Euler rozvinul Newtonovou fyziku. Bernoulli rozvinul Newtonovou fyziku. d Alambert rozvinul Newtonovou fyziku. Lagrange rozvinul Newtonovou fyziku. Laplace rozvinul Newtonovou fyziku. Maxwell termodynamika, elektrodynamika, světlo je vlnění (před Einsteinem). Einstein teorie relativity čas je relativní (hmota z energie) E = m c 2. Dirac a jiní kvantová teorie světla (vlnová teorie byla dřív). 2 Síla Síla je fyzikální veličina, která udává vzájemné působení mezi tělesy. Jednotka síly: 1 N (Newton) [kg m/s 2 ] = [kg m s 2 ] = [ kg m s 2 ]. Definice N: Síla 1 N vyvolá u tělesa o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m s 2. Síla je určena: působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Takovéto veličiny se nazývají vektory. Veličiny určené pouze velikostí (práce, výkon ) se nazývají skaláry. 9/93

10 2.1 Grafické znázornění síly Působiště je bod, kde síla působí na těleso. Sílu značíme obvykle F, tíhovou sílu písmenem G. G = m g m hmotnost g tíhové zrychlení, g = 9,81 m s Určení bodu v rovině a) kartézský souřadný systém b) polární souřadný systém P [x p, y p] P [r,ϕ]; r délka původiče. 10/93

11 2.3 Určení síly v rovině Potřebujeme znát působiště, směr, velikost a smysl. Zápis: F [x 1, y 1, α 1, N] x 1, y 1 poloha působiště; α 1 směrový úhel; N velikost. Úhel α měříme vždy od kladné poloosy x, pro zobrazení velikosti síly volíme vhodné měřítko, např. 1 mm = 10 N. Př.: F 1 [0, 0, 200, 500 N], F 2 [10, 20, 45, 300 N], 1 cm = 100 N. Důležitá zásada sílu můžeme po její nositelce libovolně posouvat, aniž se změní její účinek na tělese. Síly F a F mají stejný účinek, pokud jsou stejně velké. 11/93

12 2.4 Zákon akce a reakce Při působení těles na sebe se síly objevují vždy v páru: 1. Síla akční (působící). 2. Síla reakční (proti působící síle). Reakční síla (reakce) je obvykle účinek podpor na těleso. Reakce jsou tedy síly, kterými pevné okolí (rám, podpory ) působí na těleso a udržují je v rovnováze. Př.: G akční síla tíha. F R reakční síla odpor podlahy. F R = G 2 Podpory jsou to úchyty (spoje), nebo opření těles. Kloubová podpora přenáší sílu všemi směry. Posuvná podpora přenáší svislé síly. Obecná podpora něco jen leží na rovině. Pomocí těchto značek lze zjednodušeně nakreslit spojení několika součástí. 12/93

13 2.5 Newtonův zákon akce a reakce Každá akční síla dává vzniknout stejně velké, ale opačně orientované síle reakci. Tyto dvě síly jsou vždy v rovnováze, působí v jedné přímce, jsou stejně velké, ale opačného smyslu. 2.6 Podmínky rovnováhy Síly působící na jedné přímce (akční i reakční) jsou v rovnováze, jestliže jejich algebraický součet je roven nule. Říkáme, že výslednice sil je nulová. F i = 0, opačný smysl = opačné znaménko (F F r = 0). Poznámka: Pokud by soustava těles nebyla v rovnováze, začne se pohybovat, ale to už řeší dynamika. 3 Soustava sil na jedné nositelce 3.1 Nahrazení síly silou na téže nositelce Působiště síly lze na její nositelce libovolně posunout, aniž se její účinek změní. 13/93

14 3.2 Výslednice sil na jedné nositelce (přímce) Př.: Dva lidi tlačí vozík F 1 = F 2 = 500 N. Stejný efekt mají lidi vedle sebe i za sebou. = Výslednice sil působících na jedné nositelce je rovna jejich algebraickému součtu. Bereme ohled na znaménko, které odpovídá směru síly. n F v = F i i=1 F v = F 1 + F 2 + F F i + F i F n Př.: Loď pluje proti větru stálou rychlostí. Lodní šroub vyvolává sílu F 1 = N. Jaký odpor F 2 klade lodi vítr, jestliže odpor vody je F 3 = N? 14/93

15 Graficky: Početně: F 2 = F V = F i = F 1 F 3 = = N Vítr klade lodi odpor N. Př.: Jakou silou je namáhán pás korečkového dopravníku, je li naplněno 24 korečků a tíha jednoho plného korečku je G = 50 N. F v = G n = = 720 N Pás je namáhán silou 720 N. 3.3 Rovnováha sil na jedné nositelce Soustavu sil uvedeme do rovnováhy zavedením reakční síly F R v uložení. Tato reakční síla je stejně velká jako výslednice sil, ale má opačný smysl (znaménko). 15/93

16 Musí platit podmínka rovnováhy: n F i = 0 i=0 Soustava sil je v rovnováze, když algebraický součet akčních i reakčních sil je nulový. Př.: Na těleso působí vodorovné síly F 1 = 20 N a F 2 = 50 N, které jsou na společného nositele a působí ve stejném smyslu. Jakou sílu musíme připojit, aby tato soustava byla v rovnováze? n F V = F i = 0 i=1 F 1 + F 2 F 3 = 0 F 3 = F 1 + F 2 = = 70 N 4 Rovinná soustava sil působících v jednom bodě 4.1 Grafické zjištění výslednice Síly o společném působišti skládáme pomocí silového rovnoběžníku, nebo zjednodušeně pomocí silového trojúhelníku. Říkáme tomu také vektorový součet sil. Silový rovnoběžník. Silový trojúhelník. Silový trojúhelník. 16/93

17 Př.: Určete graficky výslednici sil F 1 [0, 0, 20, 35 N], F 2 [0, 0, 60, 36 N], 1 mm = 1 N. nebo F v= [0, 0, 37, 62 N] Výslednici několika sil o stejném působišti řešíme buď postupným skládáním dvou sil, nebo pomocí silového mnohoúhelníku. Výslednice sil F 1 a F 2 je F 1,2 Výslednice sil F 1,2 a F 3 je F V 17/93

18 Př.: Určete výslednici sil. F 1[0, 0, 0, 50 N] F 2[0, 0, 60, 40 N] F 3[0, 0, 120, 20 N] F 4[0, 0, 270, 30 N] 1 mm = 1 N F v[0, 0, 21, 64 N] 4.2 Rovnováha sil o stejném působišti Soustavu sil o stejném působišti uvedeme do rovnováhy, připojíme li sílu (reakci) o stejné velikosti, stejné nositelce, ale opačného smyslu, než je jejich výslednice. Podmínka rovnováhy (vektorový součet všech sil): n F i = 0 i=1 Př.: Uveďte do rovnováhy soustavu sil: F 1[0, 0, 0, 40 N] a F 2[0, 0, 90, 50 N]. F R[0, 0, 232, 64 N] 18/93

19 Př.: Uveďte do rovnováhy síly F 1[0, 0, 0, 40 N] a F 2[0, 0, 180, 30 N]. F R[0, 0, 180, 10 N] Př.: Uveďte do rovnováhy soustavu sil F 1[10, 5, 30, 30 N], F 2[10, 5, 110, 20 N], F 3[10, 5, 220, 40 N], F 4[10, 5, 280, 10 N]. F R[10, 5, 10, 7,5 N] 4.3 Rozklad síly do dvou směrů K rozložení síly použijeme silový trojúhelník nebo rovnoběžník. Rozkládaná síla je vlastně výslednice. Říkáme, že síla je rozložená do složek. Často rozkládáme sílu do dvou navzájem kolmých směrů. Př.: Rozložte sílu F do dvou směrů do směru a, b. Síla F je vlastně výslednice složek F a a F b. F a složka síly F do směru a, F b složka síly F do směru b. Šipky (smysly) sil musí být takové, aby síla F byla výslednice složek! 19/93

20 Př.: Rozložte sílu F[0, 0, 30, 50 N] do směrů x a y. Pravidlo: Co bude proti, bude záporné. F x [0, 0, 0, 43,5 N] F y [0, 0, 90, 25,5 N] Př.: Tíha břemene je G = N. Jak velká bude síla v řetězech jeřábu? a) α = 30 b) α = 90 c) α = 120 d) α = 140 e) α = 150 a) F R = N b) F R = N c) F R = N d) F R = N e) F R = N Složky reakce mohou být větší než síla, která je vyvolá! 20/93

21 Př.: Rozložte sílu F V[0, 0, 60, 100 N] do souřadných os x, y. 10 mm = 20 N 50 mm = 100 N F 1[0, 0, 0, 52 N] F 2[0, 0, 90, 86 N] 4.4 Početní řešení Výslednice dvou kolmých sil Pythagorova věta: F V 2 = F F 2 2 F V = F F 2 2 tg φ = F 2 F 1 Př.: Početně určete výslednici sil F 1[0, 0, 0, 200 N] a F 2[0, 0, 90, 400 N]. F V = F F 2 2 = = 447,2 N tg φ = F 2 F 1 = = 2 φ = 63,43 = /93

22 4.4.2 Početní rozklad síly do dvou kolmých směrů Síly rozkládáme do směrů x, y F 1x, F 1y složky síly Známe: F 1, Řešíme pravoúhlý trojúhelník: Př.: Rozložte sílu F[0, 0, 20, 50 N] do složek x, y. sin α = F 1y F 1 cos α = F 1x F 1 => F 1y = F 1 sin α => F 1x = F 1 cos α F y = F sin α = 150 sin 20 = 51,3 N F x = F cos α = 150 cos 20 = 141 N Výslednice sil Úlohu řešíme postupně: Všechny síly rozložíme do složek x, y. F 1x = F 1 cos 1 F 1y = F 1 sin 1 F 2x = F 2 sin 2 (vyjde záporně) F 2y = F 2 cos 2 22/93

23 Příslušné složky sečteme, případně odečteme (sily na společné nositelce). Domluva: kladná síla působí ve směru osy. Záporná proti. n n F Vx = F ix = F 1x + F 2x F Vy = F iy = F 1y + F 2y i=1 i=1 Z výsledných složek (jsou kolmé) určíme výslednici. F V = F 2 2 Vx + F Vy tg φ = F Vy F Vx Př.: Určete početně výslednici sil F 1[0, 0, 45, 100 N], F 2[0, 0, 0, 200 N], F 3[0, 0, 120, 150 N]. F 1x = F 1 cos 45 = 100 cos 45 = 71 N F 1y = F 1 sin 45 = 100 sin 45 = 71 N F 2x = F 2 = 200 N F 2y = 0 N F 3x = F 3 cos 120 = 150 cos 120 = 75 N F 3y = F 3 sin 120 = 150 sin 120 = 130 N F vx = F ix = F 1x + F 2x + F 3x = ( 75) = 196 N F vy = F iy = F 1y + F 2y + F 3y = = 201 N F v = F vx 2 + F vy 2 = = 281 N tgφ = F vy F vx = = 1,026 φ = 45,72 = /93

24 4.4.4 Početní řešení reakce Opakování: Reakce má vždy stejnou velikost, ale opačný smysl než výslednice. Je to proto, že musí platit podmínka rovnováhy. F i = 0 (vektorově). Tuto podmínku rovnováhy můžeme rozepsat do složek ve směru os x, y algebraicky. n F ix = 0 i=1 F RX + F VX = 0 F RX = F VX F Rx složka reakce F Vx složka výslednice n F iy = 0 i=1 F RY + F VY = 0 F RY = F VY Postup: Určíme výslednici. Reakce je stejně velká, její úhel je ale o 180 větší (od osy x). 24/93

25 Př.: Kruhovou tyč průměru d = 100 mm upínáme v prizmatické podložce silou F = 5 kn. Jakou silou působí tyč na boky prizmatické podložky? F cos 60 = 2 F 2 F F 2 = F 1 = 2 cos 60 = cos 60 = N Př.: Jakou silou F musíme táhnout vozík do kopce s úhlem = 15. Hmotnost vozíku i s nákladem je m = 60 kg. Odpory tření zanedbejte. G = m g = = 600 N G x = G sin α = 600 sin 15 = 155,3 N F G x 25/93

26 Př.: Dva pruty dle obrázku jsou spojeny v bodě A. V tomto bodě je zavěšeno břemeno o tíze G 1 = 120 N a pomocí kladky břemeno o tíze G 2 = 160 N. Určete graficky síly F 1, F 2 v jednotlivých prutech. Soustava je v rovnováze. Podmínka rovnováhy: F i = 0 Př.: Tyč uložená na kloubu má na svém volném konci na laně zavěšena dvě závaží. Jakou silou F musíme tyč držet, aby zůstávala ve vodorovné poloze? Jaká síla působí na čepy kladek? Řešte graficky. G 1 = N, G 2 =7.300 N, 1 mm = N. F = 73 mm = N 26/93

27 Kladka 1: 1 mm = 500 N G 1 = 19 mm F K1 = 38 mm F K1 = N Kladka 2: 1 mm = 500 N G 2 = 14,6 mm F k2 = 27 mm F k2 = N 5 Obecná rovinná soustava sil 5.1 Moment síly k bodu (ose) K bodu Moment síly F k bodu A je roven součinu velikosti síly a její kolmé vzdálenosti k bodu A. Této vzdálenosti říkáme rameno. M A = F r [N m] 27/93

28 Př: Určete M A: M A = F r r = 0 M A = F 0 = 0 Moment síly k bodu, ležícímu na její nositelce, je vždy nulový K ose: Př: určete moment síly F k bodu A. F = N; α = 60 ; a = 1 m sin α = r => r = a sin α a r = 1 sin 60 = 0,866 m M A = F r = ,866 = 866 Nm 5.2 Moment silové soustavy Působí-li na bod soustava několika sil, je jejich účinek roven účinku výslednice. Z toho vyplývá, že součin momentů jednotlivých sil je roven momentu výslednice. Momentová věta: n M v = M i i=1 28/93

29 Př.: Záleží na znaménku! Domluva: rotace ve směru hodinových ručiček + M A = F 1 a + F 2 b F 3 c 5.3 Početní řešení soustavy rovinných rovnoběžných sil Př.: Určete výslednici F 1 = 50 N; F 2 = 80 N; a = 0,5 m. 1. Velikost výslednice je dána součtem (rozdílem) působících sil. F v = F 1 + F 2 = = 130 N 2. Směr výslednice je rovnoběžný se silami, smysl záleží na velikosti a smyslu jednotlivých sil. 3. Umístění výslednice určíme z momentové věty M v = M i Momenty k počátku: F V b = F F 2 a => b = F 2 a 80 0,5 = F V 130 = 0,31 m Výsledek: F V[0, 0,31, 0, 130 N]. 29/93

30 Př.: Určete výslednici soustavy tří rovnoběžných sil. Řešte početně. F 1 = N F 2 = 2,5 kn F 3 = 10 kn F v = F i = F 1 + F 2 + F 3 = = N M v = M i F v a = F F F => a = = 888,9 mm Př.: F 1 = 500 N F 2 = 200 N F v = F 1 - F 2 = = 300 N M v = M i F v a = F 1 0 F => a = ,7 mm To znamená, že F V bude vlevo od F 1. Ve skutečnosti tedy takto: 5.4 Početní řešení soustavy obecných rovinných sil Síly rozložíme do směrů x a y, dostaneme vlastně dvě soustavy rovnoběžných sil. Řešíme složky výslednice F x, F y do směrů x, y a jejich polohu. V průsečíku složek výslednice je působiště výslednice. Velikost výslednice dostaneme složením jejích složek. 30/93

31 Př.: 1. Síly F 1 a F 2 rozložíme do složek x, y F 1x = F 1 cos 35 = 200 cos 35 = 163,8 N F 1y = F 1 sin 35 = 114,7 N F 2x = F 2 cos 80 = 150 cos 80 = 26 N F 2y = F 2 sin 80 = 147,7 N 31/93

32 2. Výslednice F vx, F vy, F V. F vx = F 1x + F 2x = 163, = 189,8 N F vy = F 1y + F 2y = 114, ,7 = 262,4 N F v = F 2 vx + F 2 vy = 189, ,4 2 = 323,8 N 3. Z momentové rovnováhy k počátku určíme a, b: F vx a = F 1x 90 + F 2x 40 => a = F vy b = F 1y 30 + F 2y 100 => b = 4. Vypočteme úhel ϕ 163, ,8 = 83,2 mm 114, , ,4 tg φ = F Vy = 262,4 = 1,383 => φ = 54,12 = " F Vx 189,8 Výsledek: F V [69,4; 83,2; 54 ; 324 N]. = 69,4 mm 5.5 Silová dvojice Otáčení kolem osy je vždy způsobeno dvojicí sil. Síla F se tuhostí kliky přenáší do osy otočného čepu a tento čep klade odpor proti této síle reakcí. M = F a Síla F a F + (F R) tvoří takzvanou dvojici sil s momentem M = F a Síla F způsobuje reakční sílu uložení. Otáčení se tady vždy děje momentem silové dvojice. 32/93

33 5.6 Moment silové dvojice Silovou dvojici tvoří vždy dvě stejně velké síly stejného směru, ale opačného smyslu, které jsou od sebe vzdáleny o nějakou vzdálenost. Důsledkem takovéto dvojice sil je rotace tělesa. M = F r r rameno silové dvojice Domluva: kladný smysl rotace je ve směru hodinových ručiček Velikost momentu silové dvojice závisí nejen na velikosti síly, ale i na jejich vzdálenosti (rameni). Např.: páka. Účinek silové dvojice se nezmění, když ji: 1. Přeložím (posunu). = M = F r 2. Natočím. M = F r 33/93

34 3. Nahradím jinou silovou dvojicí se stejným momentem. M = F 1 r 1 = F 2 r 2 Účinky několika silových dvojic se sčítají (nebo odčítají) podle jejich znamének. Př.: Určete výsledný účinek silových dvojic. F 1 = 500 N F 2 = 200 N M = F F = = = = Nmm = 40 Nm 5.7 Rovnováha momentů Opakování: Rovnováha sil v rovině: n F ix i=1 = 0 Po rozepsaní do složek: F ix = 0 F iy = 0 34/93

35 Rovnováha momentů: Těleso je v rovnováze proti otáčení, t.j. v momentové rovnováze, jestliže algebraický součet momentů všech sil a silových dvojic je roven 0. Podmínka momentové rovnováhy: n M i = 0 i=1 Je li těleso v momentové rovnováze, neotáčí se. Př.: Nosník uveďte silou F 2 do rovnováhy a určete reakci v uložení. F 1 = 200 N Podmínka momentové rovnováhy: n M i = 0 i=1 Moment k místu A: M A = F Rx 0 + F Ry 0 F F = 0 F 2 = F = = 533 N Podmínka silové rovnováhy: Směr x: F ix = 0 F Rx + 0 = 0 => F Rx = 0 Směr y: F iy = 0 F Ry F 2 + F 1 = 0 F Ry = F 1 + F 2 = = N F R = F Ry = N 35/93

36 Př.: Určete reakci v pevně zabetonované tyči F 1 = 100 N F 2 = 150 N V místě A je tyč pevně zabetonovaná do zdi, není zde tedy otočný bod. V tomto uložení, kterému říkáme vetknutí, bude reakce nejen síla, ale i reakční moment M R. Silová rovnováha: F ix = 0 (V ose x nemáme žádné složky). F iy = 0 F 1 F 2 + F R = 0=> F R = F 1 + F 2 = = 250 N Momentová rovnováha: n M i = 0 i=1 F F M R = 0 M R = = Nmm = 105 Nm Př.: Určete reakce, F 1 = 100 N. F iy = 0 F RAy = F 1 = 100 N n M i = 0 i=1 F F RBx 400 = 0 => F RBx=125 N F ix = 0 F RAx F RBx = 0 F RAX = F RBX = 125 N 36/93

37 5.8 Reakce nosníků Dlouhou tenkou součást, zatíženou šikmo nebo kolmo na osu, nazýváme nosníkem. Základní typy nosníků: Vetknutý. Reakce ve vetknutí: 2 síly F Rx, F Ry a moment M R (celkem 3 reakce). Na dvou podporách. Jedna podpora musí být pevná (přenáší šikmou sílu) a druhá posuvná (přenáší jen svislou sílu). Reakce nosníku: strana A: F RAx, F RAy strana B: F RBy (celkem 3 síly). Poznámka: V rovině máme 3 podmínky statické rovnováhy ( F ix = 0; F iy = 0; M i = 0), tedy 3 rovnice. Z těchto rovnic mohu vypočítat 3 neznámé reakce. Pokud by uspořádání nosníku vyžadovalo větší počet reakcí, nelze takový nosník staticky řešit. Říkáme, že nosníky jsou staticky neurčité. Příklady statických neurčitých nosníků: 37/93

38 5.9 Stupně volnosti Těleso v rovině má 3 stupně volnosti, tj. tři možnosti pohybu: posuv v ose x; posuv v ose y; rotace. Těmto 3 stupňům volnosti odpovídají 3 rovnice statické rovnováhy (2 silové, 1 momentová) a 3 neznámé reakce. Použitím podpor odebíráme stupně volnosti podle druhu podpory. Když je výsledný počet stupňů volnosti: > 0 těleso se pohybuje; = 0 je ve statické rovnováze (je staticky určité); < 0 je staticky neurčité což neumím řešit. Podpory: 1) Vetknutí: odebíráme 3 stupně volnosti, zjišťujeme 3 reakce F RX, F RY, M R. 2) Pevná podpora: odebíráme 2 stupně volnosti, zjišťujeme 2 reakce F RX, F RY. 3) Posuvná podpora: odebíráme 1 stupeň volnosti, zjišťujeme 1 reakci F RY. 38/93

39 1. Př: A 1 volnosti B 2 volnosti = 0 => je staticky určitý, je v rovnováze. 2. A 2 volnosti 3 2 = 1 > 0 => pohybuje se (mechanismus). A 3 volnosti 3. B 2 volnosti = 2 < 0 => staticky neurčitý. 4. A 3 volnosti 3 3 = 0 => je staticky určitý. Př: Řešte početně reakce nosníků. Ve směru osy x: F ix = 0 F RBx = 0 Ve směru y: F iy = 0 F RAy + F RBy F = 0 Momentová rovnováha: M A: M ia = 0 F RAy 0 + F 100 F RBy F RBx 0 = 0 F RBy = F = M B: M ib = 0 F RAy 200 F 100 = 0 F RAy = F = 20 2 = 10 N Kontrola: F RAy + F RBy F = 0 = 10 N F RAy = F F RB = = 10 N Poznámka: silovou podmínku lze nahradit vhodnou momentovou podmínkou. 39/93

40 Př.: F x = F cos 30 = 866 N, F y = F sin 30 = 500 N F ix = 0 F iy = 0 M ia = 0 F RBx + F x = 0 F RBx = F x = 866 N => Působí opačným směrem, než jsme uvažovali. F RAy + F RBy + F y = 0 => F RBy = F RAy F y = = 700N F RAy 500 F y 200 = 0 F RAy = Fy = = 200 N Př.: M = Nmm l = mm F ix = 0 F iy = 0 F RBx = 0 N F RAy + F RBy = 0 => F RAy = F RBy = 1,5 N M ia = 0 M F RBy l = 0 => F RBy = M l = = 1,5 N 40/93

41 5.10 Spojité zatížení Je to zatížení např. od vlastní tíhy nosníků, tedy zatížení, které je rovnoměrně rozložené po určité délce. Velikost tohoto tzv. spojitého zatížení značíme q a jednotkou je N/m. Tento nosník počítáme jako nosník zatížený silou Q umístěnou do těžiště spojitého zařízení. Q = q l F ix = 0 F RAx = 0 N F iy = 0 F RAy Q + F RBy = 0 F RBy = Q F RAy = Q Q 2 = Q 2 M ib = 0 F RAy l Q l 2 = 0 = F RAy = Q l 2 l = Q 2 Př.: q= 100 N/m, l = 2 m Q = q l Q = q l = = 200 N F RAx = 0 N F RAy = Q 2 = = 100 N F RBy = Q 2 = 100 N 41/93

42 Př.: q = 10 N, l= 200 mm. mm Q = q l = = N F ix = 0 F RBx = 0 F iy = 0 F RAy Q F + F RBy = 0 F RBy = Q + F F RAy = = = 875 N M ib = 0 F RAy 400 Q 300 F 100 = 0 F RAy = Q F = = N Př.: F = 240 N F ix = 0 F RAx + F = 0 F RAx = F = 240 N F iy = 0 F RAy + F RBy = 0 F RAy = F RBy F RBy = 120 N M ib = 0 F 50 + F RAy 100 = 0 F RAy = F = 120 N = = 42/93

43 Př.: Na opakování rovnováhy momentů. M i = 0 m 2 g D 2 m 1 g d 2 = 0 m 2 = m 1 d D 43/93

44 5.11 Grafické řešení výslednice soustavy obecných rovinných sil Metoda posunutí působiště Řešíme postupným skládáním sil. Využíváme toho, že sílu můžeme na její nositelce libovolně posouvat, aniž se změní její účinek. Síly si posuneme tak, aby vždy dvě působily v jednom bodě. Postup: Posuneme síly F 1, F 2 na svých nositelkách tak, aby měly společné působiště. Vyřešíme silovým rovnoběžníkem částečnou výslednicí F V1,2. Posuneme síly F V1,2 a F 3 tak, aby měly společné působiště. Vyřešíme výslednici F V(F V1,2,3). Poznámka: Tento postup nelze použít u rovnoběžných sil, protože jejich průsečík je v nekonečnu. 44/93

45 Metoda postupného rozkládání Sílu musíme rozložit do dvou směrů, které si libovolně zvolíme. Hledáme výslednici sil F 1, F 2. Sestrojením silového trojúhelníku určíme výslednici, ale neznáme její polohu. Sestrojíme další dva silové trojúhelníky, které znamenají rozklad síly do dvou směrů. Sílu: F 1 do 1, 2 F 2 do 2, 3 Síla F v je potom automaticky rozložena do směrů 1, 3. Bod, ve kterém se směry protínají, se nazývá pól. Obrazci říkáme vláknový obrazec. Tento rozklad sil přeneseme zpět do zadání a to takto: Libovolným bodem síly F 1 vedeme vlákno 1, tam, kde vlákno 1 protne sílu F 1, vedeme vlákno 2. Tam, kde protne vlákno 2 sílu F 2, vedeme vlákno 3. Směry vláken jsou rovnoběžné se směry ve vláknovém obrazci. Výslednice pak musí procházet průsečíkem vláken 1 a 3. Její směr a velikost už známe z vláknového obrazce (silový trojúhelník). Tomuto řešení říkáme také řešení pomocí vláknového obrazce. V praktickém použití síly v jednotlivých vláknech nezakreslujeme, důležité jsou pouze směry vláken. Lze použit najednou pro více sil (silový mnohoúhelník). 45/93

46 Postup řešení: 1) Nakreslit zadání. 2) Sestrojit silový trojúhelník nebo mnohoúhelník. 3) Zvolit pól P a sestrojit vlákna. 4) Vlákna rovnoběžně postupně převést do zadání tak, aby se příslušná vlákna protínala na příslušné síle. Tím se zjistí poloha výslednice. 46/93

47 Př.: Určete výslednici vláknovým obrazcem, F 1[0, 0, 240, 500 N], F 2[0, 0, 300, 200 N]. Př.: Určete výslednici vláknovým obrazcem, F 1[20, 20, 240, 500 N], F 2[40, 30, 300, 200 N]. 47/93

48 Grafické řešení výslednice rovinné soustavy dvou sil Lze řešit pouze postupným rozkládáním, tedy vláknovým obrazcem. Silový trojúhelník, nebo mnohoúhelník degeneruje do úsečky. Určení výslednice: Př.: Vyřešte graficky výslednici: F 1 [30, 30, 270, 50 N], F 2 [60, 0, 90, 20 N], F 3 [80, 0, 270, 50 N]. 48/93

49 Grafické řešení reakcí nosníků Nejprve určíme výslednici všech akčních sil F V. Působí-li na těleso 3 síly a jsou v rovnováze, musí působit v jednom bodě. Známe směr výslednice F V a směr reakce v posuvné podpoře F RB. V průsečíku těchto směrů musí procházet reakce pevné podpory F RA. Potom sestrojíme silový trojúhelník a z něj určíme velikost reakcí. Př.: Určete graficky reakce, F V = 100 N, /93

50 Př.: Určete graficky reakce, F 1 = 30 N, F 2 = 50 N. U rovnoběžných sil musíme použít vláknový obrazec pro rozklad výsledné síly. Tam, kde protne vlákno 1 směr A, máme 1. bod pro vlákno 4, které nám určí velikost reakcí. Vlákno 3 a směr B dají 2. bod. Směr tohoto vlákna nám ve vláknovém obrazci rozloží výslednou sílu patřičné reakce. Vlákno č. 3 protíná směr B, tedy od vlákna 3 jde F RB. Obdobně vlákno 1 a směr A Prostorová soustava sil Výslednici sil majících společné působiště řešíme početně obdobně jako v rovině, síly rozkládáme do směrů x, y, z. Z těchto složek určíme výslednici. Grafické řešení je velmi obtížné z důvodu prostorového zobrazení na rovinu papíru. Reakce sil, majících společné působiště, řešíme z podmínek rovnováhy do směrů x, y, z. F ix = 0 F iy = 0 F iz = 0 Řešení prostorové soustavy sil, nemajících společné působiště, je ještě obtížnější, musíme používat i tří momentových podmínek. 50/93

51 6 Těžiště Definice: Těžištěm tělesa nazýváme bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech hmotných bodů tělesa, ať těleso natáčíme jakkoliv. Má li těleso rovinu nebo osu symetrie, leží na ní i těžiště. Určujeme těžiště čar, ploch a těles. 6.1 Těžiště čar Využíváme poznatku, že těžiště úsečky je uprostřed. Uvažujeme stále stejný průřez čáry (tyče), pak nám postačí uvažovat pouze její délku. Postup: Čáru rozdělíme na úsečky, případně kruhové oblouky. Do těžiště jednotlivých částí zavedeme sílu úměrnou tíze, tedy i jejich délce. Určíme výslednici těchto sil. Body 2 až 3 opakujeme pro kolmý směr. V průsečíku výslednic leží těžiště. 51/93

52 Př.: Určete těžiště tyče a jeho vzdálenost od bodu A. Výslednice: F V = F 1 + F 2 = = 240 N Polohu F V určíme z momentové rovnováhy k bodu A. F V x = F F => x = Totéž pro směr y: = 108,3 mm 52/93

53 b = 70 sin 45 = 50 mm F V = 240 N Moment k bodu A: F V y = F F 2 b => y = F 2 b F v Výsledek: = = 29,2 mm 6.2 Těžiště částí kružnice Půlkružnice. Kruhový oblouk (pouze čára, ne plocha). 53/93

54 Př.: l 1 = 100 mm, l 2 = 100 mm, r = 100 mm. F 1 = 100 N F 2 = 100 N F 3 = π r 314 N F V = F 1 + F 2 + F 3 = = 514 N Směr x: F v x = F 1y 50 + F 2y 0 + F 3y x = = 50,5 mm Směr y: F v y = F 1x 0 + F 2x 50 + F 3x 200 y = = 131,9 mm 6.3 Těžiště ploch Využíváme poznatku, že obdélník má těžiště v průsečíku úhlopříček. Součást tedy rozdělíme na obdélníky nebo na plochy, kde těžiště umíme určit. Uvažujeme stálou tloušťku materiálu (plochy), proto mohu pracovat pouze s obsahem plochy. Plochu rozdělíme na části, kde těžiště umíme určit. Do těžiště jednotlivých částí zavedeme sílu úměrnou jejich obsahu. Určíme výslednici těchto sil. Body 2 a 3 opakujeme pro druhý směr. 54/93

55 Př.: Určete těžiště: F 1 = = N F 2 = = 400 N F v = F 1 + F 2 = = N M A: x = F Vy x = F 1y 40 + F 2y = 43,8 mm y = F Vx y = F 1x 30 + F 2x = 28,5 m 6.4 Těžiště geometrických ploch Půlkruh: Kruhová výseč: 55/93

56 Trojúhelník: 6.5 Těžiště těles Postup je stále stejný, jen těžiště musíme určit ve 3 směrech (x, y, z) a jako sílu uvažujeme objem. 7 Stabilita Představa: Na těleso působí jeho tíha a těleso je v rovnováze. Na toto těleso budeme dále působit silou, která těleso vychýlí z rovnovážné polohy a pak touto silou přestaneme působit. Mohou nastat 3 stavy: Těleso se vrátí do původní polohy rovnováha stálá (stabilní). Těžiště je nejvýše v původním stavu. Kulička v důlku. Ležící krychle. 56/93

57 Těleso se pohybuje dál rovnováha vratká (labilní). Těžiště je stále ve stejné výšce. Kulička na kopečku. Krychle na hraně. Těleso zůstane v nové poloze rovnováha volná (indiferentní). Těžiště je stále ve stejné výšce. Kulička na rovině. Př.: Jakou silou musím působit, aby se krychle převrátila a kdy se převrátí? G tíha krychle. Aby se krychle začala pohybovat, klopný moment F a musí překonat moment stability G a 2 M A: F a = G a 2 F = G a 2a = G 2 a 2 > a, b 2 < a 2 => rameno síly F se zvětšuje, rameno tíhy G zmenšuje, budeme tedy potřebovat neustále menší sílu F. Krychle se převrátí, když rameno tíhy G bude nulové, tedy když tíha G bude směřovat do otočného bodu (krychle bude na hraně), pak bude rovnováha labilní. 57/93

58 8 Prutové soustavy Prutová soustava se skládá z jednotlivých prutů (tyčí), které jsou spolu spojeny ve styčnících svařením nebo nýtováním. Prutové soustavy jsou používané např. na nosné části mostů, lávek, stožárů Styčníky ve výpočtu nahrazujeme kloubem. Pro výpočet musí být splněny následující podmínky: Síla (i reakce) může být zavedena pouze ve styčníku. Pruty musí být podstatně delší než styčník, pak můžeme styčník uvažovat jako kloub. Prutová soustava musí být dokonale tuhá, nesmí tvořit mechanismus, obrazce musí být staticky určité, tomu vyhovují trojúhelníky. Celá soustava musí být v rovnováze, pak umíme určit reakce. 8.1 Určení reakcí: Prutovou soustavu uvažujeme jako celek. Prutová soustava je v rovnováze, tedy umíme vypočítat reakce z podmínek rovnováhy. 58/93

59 8.2 Namáhání prutů Pruty jsou v rovnováze. Mohou být namáhány pouze tlakem nebo tahem. 8.3 Namáhání styčníků Ve styčnících musí být splněny podmínky rovnováhy F i = 0. Například styčník A: F RA rozložíme do směrů 1, 2. Šipky znázorňují směr síly působící z prutu na styčník. Tedy prut 2 namáhá styčník A tahem, prut 1 tlakem (ale namáhání prutu je opačné). 59/93

60 Styčník C řešíme pruty 3,7 Styčník B řešíme pruty 6 Styčník E řešíme pruty 4, 5 Styčník D (kontrola nemusíme provádět) Poznámka: V každém styčníku umíme určit pouze 2 neznámé síly. Musíme tedy řešit nejprve takové styčníky, kde máme jen 2 neznámé síly. Proto nelze začít styčníky C, D, E Grafické řešení Metoda styčníková. Vychází z podmínek rovnováhy v jednotlivých styčnících (síly o společném působišti). Řešení rovnováhy styčníků v předchozím případě bylo vlastně řešení metodou styčníkovou. Všechny styčníky lze graficky řešit v jediném obrazci, kterému říkáme Cremonův obrazec. Postup řešení: Stanovíme reakce. Stanovíme smysl obcházení ve styčníku. Začneme styčníkem, kde máme jen 2 neznámé síly. Pokračujeme dalším styčníkem, kde jsou další 2 neznámé síly. Atd 60/93

61 Síly v prutech, pruty, které tlačí do styčníku jsou záporné ( ) tlak, pro tah jsou pak kladné (+) N N N N N Početní řešení Metoda styčníková Podmínky rovnováhy v jednotlivých styčnících řešíme místo graficky početně. Jsou to síly působící v jednom bodě, máme tedy k dispozici dvě podmínky rovnováhy ( F ix = 0, F iy = 0). U neznámých sil v prutech předpokládáme, že jsou tahové, když vyjdou záporně, budou tlakové. 61/93

62 Př.: Určete početně síly v prutech 4 a 5. Styčník D F ix = 0 F 4 F 5 cos60 = 0 F iy = 0 F + F 5 sin60 = 0 F 5 = F sin60 = 577N F 4 = F 5 cos60 = 577 cos60 = 288 N Tato metoda je velmi zdlouhavá a náchylná k chybám Metoda průsečná Prutovou soustavu přerušíme myšleným řezem nejvýše ve 3 prutech, z nichž pouze 2 pruty s neznámými silami smí vycházet z jednoho styčníku. Pak při řešení můžeme použít všech 3 podmínek 62/93

63 F ix = 0, F iy = 0, M i = 0. Řešíme pak rovnováhu jedné části řezu, druhou část nahradíme silami v prutech. Prutovou soustavou rozdělíme na 2 části. Aby 1. část byla v rovnováze, musíme zavést vazební síly v přerušených prutech. Dále musí platit 3 podmínky rovnováhy. F 7x = F 7 cosα F 7y =F 7 sinα ΣF ix = 0 F 8 + F 7 cosα + F 6 = 0 => F 8 ΣF iy = 0 F RA F 1 F 7y = 0 => F 7 ΣM id = 0 F RA a F 6 b = 0 => F 6 63/93

64 Př.: C: F 1 = 500 N F 3 = 700 N ΣM i1 = 0 F RBx 80 + F 80 = 0 => F RBx = F = 500 N B: F 2 = 500 N 64/93

65 A: ΣF ix = 0 F RBx + F Rax = 0 F Rax = F RBx = ( 500) = 500 N ΣF iy = 0 F Ray = F = 0 F Ray = F = 500 N F RA = F 2 RAx + F 2 RAy = = 707 N Styčníková metoda: C: ΣF ix = 0 F 1 + F 3x = 0 F 1 = F 3x = 500 N ΣF iy = 0 F F 3y = 0 => F 3y = F = 500 N F 3 = F 3y cos 45 = 500 cos 45 = 707 N F 3x = F 3 cos 45 = 707 * cos 45 = 500 N B: F RB + F 3x = 0 F RB = F 3x = 500 N F 2 F 3y = 0 N F 2 = F 3y = 500 N 65/93

66 Průsečná metoda: ΣF ix = 0 F RB F RAx F 3x F 1 = 0 ΣF iy = 0 F RAy F 3y = 0 ΣM i = 0 M i = F RB 80 + F 3x 80 = 0 F 3x = F RB = ( 500) = 500 N F 1 = F RB F RAx F 3x = ( 500) = 500 N F 3y = F RAy = 500 N 9 Statika jednoduchých mechanismů s pasivními odpory K rovnoměrnému pohybu musíme ve skutečnosti vynaložit více síly, protože překonáváme tzv. pasivní odpory. Pasivní odpory jsou obvykle způsobeny povrchovými nerovnostmi pohybujícího se tělesa i podložky. Tyto nerovnosti brání tělesu v pohybu (drhnou o sebe). Takovému odporu říkáme tření. Pasivní odpory: Smykové tření. Čepové tření. Vláknové tření. Odpor při valení. 66/93

67 9.1 Smykové tření Při smykovém tření vzniká ve stykové ploše tzv. třecí síla F t. Třecí síla působí vždy proti pohybu. Pokusy se dá dokázat, že třecí síla závisí na normálné síle F N, kterou jsou plochy přitlačovány k sobě (reakce na tíhu G) a na tzv. součiniteli smykového tření f. F t F n = tg φ = f ϕ třecí úhel Třecí sílu pak vypočteme z rovnice: Ft = Fn f podmínka smykového tření Součinitel smykového tření f závisí na materiálu třecích ploch, kvalitě jejich obrobení a na jejich mazání. Mazání nám tření velmi snižuje (vzniká olejový film), tedy součinitel smykového tření f klesá. Hodnoty součinitele smykového tření f najdeme ve strojnických tabulkách (někdy označeno µ). Poznámka: Součinitel smykového tření f bývá za klidu poněkud větší, než za pohybu. 67/93

68 9.2 Pohyb tělesa po vodorovné rovině Jakou potřebuji hnací sílu F? Bez tření: S třením: Podmínky rovnováhy: ΣF ix = 0 => F = F t Podmínky rovnováhy: ΣF ix = 0 => F = 0 ΣF iy = 0 => F N = G 2 rovnice, 2 neznámé F, F N Závěr: F < F t těleso se nebude pohybovat. F = F t těleso se bude pohybovat rovnoměrně. F > F t těleso se bude pohybovat zrychleně. ΣF iy = 0 => F N = G 2 rovnice, 3 neznámé F, F t, F N. Jako další rovnici použijeme podmínku smykového tření. F t = F N f Po dosazení: F = F t = F N f = G f Př: Ocelový hranol o tíze 340 N leží na litinové podložce. Vypočtěte sílu F, kterou musíme hranol tlačit, aby se začal pohybovat. Podložka je znečištěna olejem. f = 0,13 0,27; bereme 0,2. ΣF ix = 0 => F = F t = F N f = G f = 340 0,2 = 68 N ΣF iy = 0 => F N = G 68/93

69 Výsledná reakce působící na těleso: cosφ = F N F R tgφ = f = 0,2 => φ = 11,31 F R = F N cosϕ = 340 cos 11,31 = 333,4 N Př: Posunu nebo převrátím krychli? Rozměry m, m = 300 kg, f = 0,4. G = m g = 300 9,81 = N F t = F N f = ,4 = 1.177,2 N Abychom bednu posunuli, musí platit: F F t bereme F = F t Bednu převrátíme, pokud bude moment od síly F větší, než od tíhy G. M A: F 1000 > G > neplatí, tedy bednu nepřevrhneme. 9.3 Tření v klínové drážce Určujeme hnací sílu F. 69/93

70 sin α = F N = G 2 F N G 2 sinα = G 2 sinα F Ny = F N sin α Rovnováha k ose x: Rovnováha k ose y: F ix = 0 F iy = 0 F F t F t = 0 F = 2 F t G F N sinα F N sinα = 0 F N = Jako třetí rovnici použijeme podmínku smykového tření. F t = F N f G F = 2 F t = 2 F N f = 2 2 sinα f = G f sinα f F = G sinα Pro drážku α = 90 je sin α = 1. Pro rovinu α = 180 je sin α = 0, F je pak hodně velká. G 2 sinα 70/93

71 9.4 Pohyb po nakloněné rovině Zvedání Podmínky rovnováhy píšu do směrů nakloněné roviny a do směru na něj kolmého. F ix = 0 F iy = 0 F F t G x = 0 F N G y = 0 F = F t + G sin α F N = G cosα Podmínka tření: F t = F N f Hnací síla: F = F N f + G sinα = G cosα f + G sinα = G (f cosα + sinα) Spouštění 71/93

72 F ix = 0 F iy = 0 F t G x F = 0 F N G y = 0 F = F t G sinα F N = G cosα Podmínka tření: F t = F N f Hnací síla: F = F N f G sinα = G cosα f G sinα = G (f cosα sinα) Pokud vyjde: F > 0 (pro malé α a velké f) těleso musíme táhnout i dolů. F < 0 (velké α a malé f) těleso samostatně sjíždí dolů, musíme ho brzdit, síla je opačného smyslu, a proto je záporná. F = 0 přechodový stav Za jakých podmínek sjede těleso samovolně F ix = 0 F t G x = 0 F t = G sinα F iy = 0 F N G y = 0 F N = G cosα F t = F N f Těleso se snaží uvést do pohybu síla G x, pohybu brání síla F t. Aby se těleso nepohybovalo, musí být: F t > G sinα F N f > G sinα G cosα f > G sinα f > sinα cosα f > tgα tgφ > tgα φ > α Tedy třecí úhel ϕ musí být větší, než úhel nakloněné roviny. Poznámka: Pokud se soustava s třením neuvede sama do pohybu, říkáme, že je samosvorná. Například klíny. 72/93

73 Př.: Zjistěte sílu F potřebnou k rovnoměrnému pohybu tělesa po nakloněné rovině. F cosα = F N f + G sinα = f (G cosα + F sinα) + G sinα F cosα = f G cosα + f F sinα + G sinα F cosα f F sinα = f G cosα + G sinα F (cosα f sinα) = G (f cosα + sinα) f cosα + sinα 0,2 cos15 + sin15 F = G = cosα f sinα cos15 0,2 sin 15 = 495 N f = 0,2; α = 15 ; G = N F ix = 0 F x G x F t = 0 F cosα = F t + G sinα F iy = 0 F N G y F y = 0 F N = G cosα + F sinα F t = F N f 9.5 Čepové tření Kloubové (otočné) spojení se provádí pomocí čepů. Čepy jsou radiální síla je kolmá na osu čepu. Čepy jsou axiální síla v ose Radiální čep V klidu. Za otáčení čep povyjede nahoru. Dvojice sil F, F R způsobí tzv. moment čepového tření, t.j. odpor proti otáčení čepu. M č =F ρ = R sin φ M č = F R sin φ f č = sin φ 73/93

74 M č = F R f č f č = součinitel čepového tření (najdeme jej ve strojnických tabulkách) Axiální čep Třecí síla F t je rovnoměrně rozdělena po celé ploše čepu. Uvažujeme, že výslednice působí na rameni 2/3 R pro nezaběhnutý čep a 1/2 R pro zaběhaný čep. Moment čepového tření: M č = F f ⅔ R 9.6 Vláknové tření Vzniká při smýkání lan a pásů po nehybné válcové ploše. Větší síla bude vždy tam, kde lano opouští válcovou plochu, tedy F 1 > F 2 Podmínka momentové rovnováhy: F 1 R F t R F 2 R = 0 F 1 = F 2 + F t Pro tento případ byla odvozena tzv. podmínka vláknového tření: F 1 = F 2 e α f α úhel opásání [rad]; f koeficient vláknového tření; e = 2,718 > základ přirozených logaritmů. Zvedání břemene: F > G F = G e αf 74/93

75 Spouštění břemene: F < G G = F e αf Př.: Jak velkou silou musíme působit na pásovou brzdu, abychom ubrzdili kroutící moment M K. Uvolníme buben a páku. Uvolnění bubnu: F 1 > F 2 F 1 = F 2 e αf Momentová rovnice: M K + F 2 R F 1 R = 0 M K + F 2 R F 2 R e α f = 0 M F 2 = R (e α f 1) 75/93

76 Uvolnění páky: Momentová rovnováha: F a F 2 b = 0 F = F 2 b a F = b a M R 1 e α f 1 Poznámka: Pro opačný smysl otáčení bychom potřebovali větší sílu F, protože na páku by namísto síly F 2 působila větší síla F 1. Tato brzda se tedy hodí pro jeden smysl otáčení. Součtová pásová brzda: Brzdí oba smysly otáčení stejně, má větší sílu F. Diferenciální pásová brzda: Momenty obou sil se odčítají, síla F 1 nám tedy pomáhá brzdit. Ovládací síla F je malá. 76/93

77 Př.: Vypočtěte ovládací sílu F pásové brzdy pro ubrzdění momentu 2 Nm, R = 30 cm, a = 1 m, materiál s koeficientem vláknového tření f = 0,5. M k F = b a R (e αf 1) α = π F = 0, ,3 (2,718 π 0,5 1) = 1,05 N Př.: Řemenový převod: F 1 > F 2 M K + F 2 R F 1 R = 0 F 1 = F 2 e αf => F 1, F 2 F 1 maximální síla v řemenu. F 2 předpětí řemenu. Př.: Jednošpalíková brzda. Jak velkou sílu F potřebujeme k ubrzdění M K? Uvolníme oba členy soustavy. Páka: Podmínka momentové rovnováhy: M i = 0 F t 0 + F b F N a = 0 F = F N a b 77/93

78 Buben: Podmínka momentové rovnováhy: M K F t R + F N 0 = 0 F t = M k R Podmínka tření: F t = F N f F N f = M K R F N = M K R f F = M K R f a b 9.7 Odpor při valení Při valení nedochází k prokluzu, tedy ke smýkání. Kolo i podložka nejsou absolutně tuhé, proto dochází k zaboření kola, reakce pak nepůsobí pod osou kola. Tím vzniká tzv. valivý odpor. a nemusí být v ose válce. Rovnováha do osy y: G F N = 0 => G = F N Momentová podmínka rovnováhy k bodu A. F a F N ξ = 0 ξ rameno valivého odporu (v mm ve Strojnických tabulkách). G = F N Tedy F a G ξ = 0 Potom hnací síla: F = G ξ a 78/93

79 Př.: Budeme válec posunovat nebo valit? a) Posouvání: x: F = F t y: F N = G F t = F N f F = G f b) Valení: F a G ξ = 0 F = G ξ a Platí ten způsob pohybu, kde bude menší síla. Př.: Jakou silou F musíme působit na rukojeti kleští, abychom uzvedli součást o hmotnosti m = 25 kg, f = 0,2. a = 600 mm b = 350 mm c = 100 mm G = m g = = 250 N Uvolněná součást: Rovnováha: x: F N = F N y: G = 2 F t => F t = G 2 F T = F N f = G 2 79/93

80 Moment k bodu A: F N b F t c 2 F a = 0 F a = F N b F t c 2 = F = G (b f c 2 ) 2 a G 2 f b G 2 c ( , ) = = 354 N Př.: Jakou silou F musíme působit při zvedání tělesa o hmotnosti m = 100 kg. Vše je ocelové, mazané. a) Přes kladku: Průměr kladky D K = 200 mm Průměr čepu D č = 50 mm f č = 0,05 G = m g = = N M A : G D K 2 + M č F D K 2 = 0 M č = F V R f č M č = (G + F) f č D č 2 Potom: G D K 2 + G f č D č 2 + F f č D č 2 F D K 2 = 0 G ( D K 2 + f č D č 2 ) + F (f č D č 2 D K 2 ) = 0 F = G (D K 2 + D č 2 f č) D K 2 D = č 2 f č ( ,05) ,05 = 1.025,3 N b) Přes kulatinu (zablokovaná kladka): f = 0,05 G = m g = N F > G F = G e αf F = e π 0,05 F = N Při zvedání přes kladku potřebujeme menší sílu. 80/93

81 Př.: Jakou silou táhnu auto do kopce? Hmotnost auta m = 800 kg, α = 10, poloměr kol R = 400 mm, tažné lano ve výšce 500 mm. Síla F musí překonat: tíhovou složku G sinα; odpor valení 4 kol; tření v čepech (zanedbáme). ξ = 3 mm (pneumatika asfalt). G = m g = = N 1. kolo: M A : F' G 4 cos α ξ = 0 F' = G. cos α ξ = cos = 11,8 N F = 4 F' + G sin α = 4 11, sin10 = = N Př.: Jakou sílu F potřebujeme k ubrzdění břemene? R = 400 mm a = 600 mm b = mm f = 0,5 m = 100 kg M = G R G = m g = = N M is = 0 M F t R = 0 F t = M R = G R R = G = N F t = F N f F n = F t f M ib = 0 F (a + b) F N a = 0 F = F N a a + b = F t f a a + b = , = 750 N 81/93

82 10 Pružnost pevnost Základy pružnosti a pevnosti položil Euler. Působením síly na součást se stane následující: V součásti vznikne napětí. Součást se deformuje Síly Na těleso (součást) působí vnější síly a to: Působící z vnějšku na těleso síly, momenty, reakce, tlak větru Síly vázané na hmotnost tělesa gravitační síla (tíha), setrvačná síla, odstředivá síla Účinkem vnějších sil vznikají vnitřní síly, kterými se součást brání deformaci. Jejich velikost se určí z podmínek rovnováhy metodou řezu součást se myšleně rozřízne, v místě řezu se zavedou vnitřní síly (jejich velikost určíme z podmínek rovnováhy). Z vnitřních sil pak můžeme vypočítat napětí: 10.2 Napětí Napětí zavádíme jako intenzitu vnitřcích sil σ = F i S Směr napětí je shodný se směrem síly F i (je to vektor). Jednotka: N m 2 = Pa, ve strojírenství se používá N mm 2 = MPa. 82/93

83 Máme dva druhy napětí a) Normálná napětí síla je kolmá k rovině řezu. Toto napětí se snaží částice materiálu odtrhnou nebo stlačit. značíme s [sigma] b) Tečná napětí síla leží v rovině řezu. Toto napětí se snaží částice materiálu po sobě posunout. značíme t [tau] 10.3 Základní druhy namáhání Máme 5 základních druhů namáhání Tah Součást se protahuje. t = F S = zatěžující síla plocha průřezu (kolmého na působící sílu) S = b h Napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně. 83/93

84 Tlak Obdoba tahu. Součást se zkracuje. d = F S = zatěžující síla plocha průřezu (kolmého na působící sílu) S = b h Napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně Smyk (střih) Součást se smýká (nastřihává). τs = F S Napětí je po průřezu rozděleno rovnoměrně. 84/93

85 Ohyb Součást se ohýbá vlivem ohybového momentu. W O = b h2 6 Napětí je rozloženo nerovnoměrně, v horní polovině je tah, v dolní tlak. Neutrální osa má nulové napětí. O = M O W O = Krut ohybový moment modul průřezu v ohybu Součást se natáčí do šroubovice. τ K = M K kroutící moment = W K modul průřezu v krutu Napětí je rozloženo nerovnoměrně, v ose tyče je nulové. Obecný závěr: zatížení Napětí = charakteristická hodnota průřezu Uvedená namáhání je možné i kombinovat. 85/93

86 10.4 Základní druhy deformace Prodloužení Δl Tedy změna délky (záporná = zkrácení). Je způsobeno normálným napětím σ. (Znak delta její velký a malý znak vypadá takto: Δ / δ) Počítáme relativní prodloužení ε = Δl l [%] Zkos Je to změna úhlu. Odpovídá tečným napětím τ Pro malé úhly lze psát: tg = = BC AB 86/93

87 Př.: Vypočítejte napětí v tažení tyči podle obrázku. Počítáme v nejužším místě! S = = 400 mm 2 σ = F S = = 50 MPa 10.5 Tah, tlak Diagram tahové zkoušky Tahová zkouška se provádí na normalizované zkušební tyčince, která se přetrhne tzv. trhacím strojem. V průběhu zkoušky stroj zapisuje závislost síly na prodloužení tyčinky, nebo častěji napětí na deformaci ε. ε = Δl l 0 První úsek diagramu je přímkový, lze ho proto popsat rovnicí přímky. 87/93

88 σ = tg σ = E Tento vztah se nazývá Hookeův zákon a udává nám vztah mezi napětím a relativní deformací. Hodnota E modul pružnosti v tahu. E oceli = 2, MPa E litiny = 0, MPa Je to materiálová konstanta. R e mez kluzu je to napětí, při kterém se začínají výrazně rozvíjet plastické, tedy trvalé deformace. R m mez pevnosti je to napětí, při kterém součást praskne. Při napětí nižším než R e se součást po odlehčení vrátí do původního tvaru. Při napětí větším než R e zůstane součást trvale deformovaná. Hodnoty R e a R m najdeme v materiálových listech nebo ve Strojnických tabulkách. Př.: Vypočítejte o kolik se prodlouží tyč o průměru d = 10 mm a délky 1 m, materiál ocel E = 2, MPa, F = 10 kn. σ = F S = F π d 2 4 = π 10 2 = 127,32 MPa ε = σ E = 127 = 0,000.6 (= 0,06%) 2,1 105 ε = l l l = ε l = 0, = 0,6 mm Dovolené napětí, bezpečnost U strojních součástí obvykle nemůžeme připustit trvalé deformace, proto napětí musí být menší než mez kluzu materiálu R e. V praxi musí být napětí podstatně menší než R e, protože při výpočtu napětí působí spousta nepředvídaných vlivů (výrobní nepřesnosti, neznalost přesných sil, tolerance materiálu, zjednodušení výpočtů ). Máme dvě možnosti řešení: Dovolené napětí σ t = F S σ Dovt Aby součást vyhověla, musí být napětí menší nebo rovné dovolenému napětí. 88/93

89 Určení dovoleného napětí: σ Dovt = R e k k bezpečnost Velikost bezpečnosti ve volí podle nebezpečnosti stroje a podle neznalosti vedlejších vlivů ve výpočtu. Běžná hodnota bezpečnosti je 1,5 5. Bezpečnost k = R e σ k min Bezpečnost se zavádí jako podíl meze kluzu R e a vypočteného napětí. Tato bezpečnost musí být větší než minimální bezpečnost. Doporučuje se spíše používat druhý způsob (bezpečnost), protože dává lepší přehled o zatížení součásti Typy úloh Kontrolní výpočet počítáme napětí, případně bezpečnost. k = R e σ t Př: Určete, zda tyč průřezu 8 10 mm vyhovuje bezpečnosti k min = 2 při zatížení silou F = N. Ocel => R e = 335 MPa. σ t = F S = = = 62,5 MPa 800 k = R e = 335 σ t 62,5 = 5,36 Součást vyhovuje, jen je trochu předimenzovaná. Návrhový výpočet Počítáme průřezové rozměry součásti. Př: Navrhněte průměr kruhové tyče tak, aby při síle F = N měla bezpečnost k = 2. Mat. tyče R e = 335 MPa. k = R e => σ σ t = F = 335 = 167,5 MPa maximální napětí, které může součást mít, aby k = 2 t k 2 σ t = F S => S = F σ t = ,5 = 30 mm2 89/93

90 S = π d2 4 => d = 4 S π = 4 30 π = 6,16 mm V praxi použijeme nejbližší vyšší normalizovaný průměr tyče. Výpočet maximálního zatížení Př: Vypočtěte maximální sílu, kterou můžeme natahovat čtvercovou tyč o hraně a = 20 mm z mat => R e = 230 MPa, k = 3. k = R e σ t => σ t = R e = 230 K 3 = 76,7 MPa σ t = F S => F = σ t S = σ t a 2 = 76, = N 10.6 Napětí vzniklé teplem V praxi se často vyskytují případy, kdy je namáhaná součást vystavena ještě tepelným účinkům. Pokud zabráníme dilataci, napětí mohou být značná. Proto jsou např. mostní konstrukce uloženy na jednom konci na válečcích, dálková topná vedení mají dilatační kolena, kolejnice mezery. Někdy nelze připustit dilataci součásti, neboť by pak neplnila svou funkci (utažený šroub na víku parní turbíny, nebo na hlavě válce spalovacího motoru). V těchto případech roztažení nebo smrštění vlivem tepelné změny vyvolá v součásti takové napětí, které by vzniklo prodloužením nebo zkrácením při tahu nebo tlaku. Z fyziky délková roztažnost: l t = α l o t l 0 původní délka součásti α součinitel délkové roztažnosti, ocel = K 1 t rozdíl teplot Podle Hookova zákona: σ = ε E = l l o E 0 = 273,15 K K Po dosazení: σ = l 0 t E = t E l 0 90/93

VY_32_INOVACE_G 19 01

VY_32_INOVACE_G 19 01 Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5

Více

Dovolené napětí, bezpečnost Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012 Jméno zhotovitele: Ing. Iva Procházková

Dovolené napětí, bezpečnost Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012 Jméno zhotovitele: Ing. Iva Procházková Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5

Více

Čepové tření Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012 Jméno zhotovitele: Ing. Iva Procházková

Čepové tření Zhotoveno ve školním roce: 2011/2012 Jméno zhotovitele: Ing. Iva Procházková Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5

Více

VY_32_INOVACE_G 19 09

VY_32_INOVACE_G 19 09 Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory 1.5

Více

TŘENÍ A PASIVNÍ ODPORY

TŘENÍ A PASIVNÍ ODPORY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 3. BŘEZNA 2013 Název zpracovaného celku: TŘENÍ A PASIVNÍ ODPORY A) TŘENÍ SMYKOVÉ PO NAKLONĚNÉ ROVINĚ Pohyb po nakloněné rovině bez

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Mechanika tuhého tělesa

Mechanika tuhého tělesa Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se působením libovolně velkých sil nemění Síla působící na tuhé těleso má pouze pohybové účinky Pohyby tuhého tělesa Posuvný

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí

Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí Síla Základní pojmy Střední škola automobilní Ústí nad Orlicí vzájemné působení těles, které mění jejich pohybový stav nebo tvar zobrazuje se graficky jako úsečka se šipkou ve zvoleném měřítku m f je vektor,

Více

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky Průmyslová střední škola Letohrad Ing. Soňa Chládková Sbírka příkladů ze stavební mechaniky 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více

Obr. 9.1 Kontakt pohyblivé části s povrchem. Tomuto meznímu stavu za klidu odpovídá maximální síla, která se nezývá adhezní síla,. , = (9.

Obr. 9.1 Kontakt pohyblivé části s povrchem. Tomuto meznímu stavu za klidu odpovídá maximální síla, která se nezývá adhezní síla,. , = (9. 9. Tření a stabilita 9.1 Tření smykové v obecné kinematické dvojici Doposud jsme předpokládali dokonale hladké povrchy stýkajících se těles, kdy se silové působení přenášelo podle principu akce a reakce

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu Mechanika - síla Zápisy do sešitu Síla a její znázornění 1/3 Síla popisuje vzájemné působení těles (i prostřednictvím silových polí). Účinky síly: 1.Mění rychlost a směr pohybu 2.Deformační účinky Síla

Více

Druhy a charakteristika základních pasivních odporů Určeno pro první ročník strojírenství 23-41-M/01 Vytvořeno listopad 2012

Druhy a charakteristika základních pasivních odporů Určeno pro první ročník strojírenství 23-41-M/01 Vytvořeno listopad 2012 Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Mechanika, statika Pasivní odpory Ing.Jaroslav Svoboda

Více

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83 Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice

Více

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17. Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma

Více

6. Statika rovnováha vázaného tělesa

6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6. Statika rovnováha vázaného tělesa 6.1 Rovnováha vázaného tělesa Těleso je vystaveno působení vnějších sil akčních, kterými mohou být osamělé síly, spojité zatížení a momenty silových dvojic. Akční síly

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil 3 3.1 Skládání dvou různoběžných sil................. 3 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil......... 3 3.3 Dvojice sil.............................

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Rovnováha sil je stav, kdy na těleso působí více sil, ale jejich výslednice

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015 Použitá

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

Ing. Oldřich Šámal. Technická mechanika. kinematika

Ing. Oldřich Šámal. Technická mechanika. kinematika Ing. Oldřich Šámal Technická mechanika kinematika Praha 018 Obsah 5 OBSAH Přehled veličin A JEJICH JEDNOTEK... 6 1 ÚVOD DO KINEMATIKY... 8 Kontrolní otázky... 8 Kinematika bodu... 9.1 Hmotný bod, základní

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Skládání a rozklad sil Skládání a rozklad sil v rovině

Více

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECH Zpracoval: Ing. Jan Vimmr, Ph.D. Prutové soustavy Prutové soustavy představují speciální soustavy těles, které se uplatňují při navrhování velkorozměrových

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

5. Prutové soustavy /příhradové nosníky/

5. Prutové soustavy /příhradové nosníky/ PŠ a VOŠ KLDNO MECHNIK I. - TTIK. Prutové soustavy /příhradové nosníky/ - nosné konstrukce mostů, jeřábů, stožárů, střech, letadel apod. - skládají se z prutů spojených nýty, šrouby nebo svary v kloubech

Více

5. Mechanika tuhého tělesa

5. Mechanika tuhého tělesa 5. Mechanika tuhého tělesa Rozměry a tvar tělesa jsou často při řešení mechanických problémů rozhodující a podstatně ovlivňují pohybové účinky sil, které na ně působí. Taková tělesa samozřejmě nelze nahradit

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky Základní pojmy Pojem hmota, základní formy existence (atributy) hmoty Čím se liší pojmy hmota a hmotnost Axiomy statiky Mechanický

Více

ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ

ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 10. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ PŮSOBIŠTĚ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL NEMAJÍCÍ SPOLEČNÉ

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: SKLÁDÁNÍ SIL -

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: SKLÁDÁNÍ SIL - Obsah 11_Síla... 2 12_Znázornění síly... 5 13_Gravitační síla... 5 14_Gravitační síla - příklady... 6 15_Skládání sil... 7 16_PL: SKLÁDÁNÍ SIL - řešení... 8 17_Skládání různoběžných sil působících v jednom

Více

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 4. ŘÍJNA 202 Název zpracovaného celku: PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Příhradové konstrukce jsou sestaveny

Více

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL:

Obsah 11_Síla _Znázornění síly _Gravitační síla _Gravitační síla - příklady _Skládání sil _PL: Obsah 11_Síla... 2 12_Znázornění síly... 5 13_Gravitační síla... 5 14_Gravitační síla - příklady... 6 15_Skládání sil... 7 16_PL: SKLÁDÁNÍ SIL... 8 17_Skládání různoběžných sil působících v jednom bodě...

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Moment síly výpočet

Moment síly výpočet Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.2.3.2 Moment síly výpočet Moment síly je definován jako součin síly a kolmé vzdálenosti osy síly od daného

Více

SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda

SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda SÍLY A JEJICH VLASTNOSTI Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Sekunda Vzájemné působení těles Silové působení je vždy vzájemné! 1.Působení při dotyku 2.Působení na dálku prostřednictvím polí gravitační pole

Více

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191

Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Název šablony Střední průmyslová škola strojírenská a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá.

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá. TRIN_STT_P11.doc STTIK - SOUOR PŘNÁŠK 11. Prutové soustavy, základní pojmy, metody řešení. Teoreticky je PRUTOVÁ SOUSTV definována jako soustava složená z tuhých prutů, které jsou navzájem spojeny ideálními

Více

Podmínky k získání zápočtu

Podmínky k získání zápočtu Podmínky k získání zápočtu 18 až 35 bodů 7 % aktivní účast, omluvená neúčast Odevzdání programů Testy: 8 nepovinných testů (-2 body nebo -3 body) 3 povinné testy s ohodnocením 5 bodů (povoleny 2 opravné

Více

STATIKA Fakulta strojní, prezenční forma, středisko Šumperk

STATIKA Fakulta strojní, prezenční forma, středisko Šumperk STATIKA 2013 Fakulta strojní, prezenční forma, středisko Šumperk Př. 1. Určete výslednici silové soustavy se společným působištěm (její velikost a směr). Př. 2. Určete výslednici silové soustavy se společným

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

6. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

6. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 6. MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 6.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI A POJMY Tuhé těleso: Tuhé těleso je fyzikální model tělesa u kterého uvažujeme s jeho.. a. Zanedbáváme.. Pohyb tuhého tělesa: 1). Při posuvném pohybu

Více

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky 3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm 7. Gravitační pole a pohyb těles v něm Gravitační pole - existuje v okolí každého hmotného tělesa - představuje formu hmoty - zprostředkovává vzájemné silové působení mezi tělesy Newtonův gravitační zákon:

Více

Petr Kopelec. Elektronická cvičebnice. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic

Petr Kopelec. Elektronická cvičebnice. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic Elektronická cvičebnice Petr Kopelec Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Základní úlohy statiky... 3 2 Určení síly v rovině...

Více

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ..07/.5.00/4.080 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

BIOMECHANIKA. 7, Disipativní síly I. (Statické veličiny, smyková třecí síla, nakloněná rovina, odporová síla)

BIOMECHANIKA. 7, Disipativní síly I. (Statické veličiny, smyková třecí síla, nakloněná rovina, odporová síla) BIOMECHANIKA 7, Disipativní síly I. (Statické veličiny, smyková třecí síla, nakloněná rovina, odporová síla) Studijní program, obor: Tělesná výchovy a sport Vyučující: PhDr. Martin Škopek, Ph.D. SÍLY BRZDÍCÍ

Více

III/2-1 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2-1 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Střední průmyslová škola strojírenská a azyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky CZ.1.07/1.5.00/34.1003

Více

1. Měření hodnoty Youngova modulu pružnosti ocelového drátu v tahu a kovové tyče v ohybu

1. Měření hodnoty Youngova modulu pružnosti ocelového drátu v tahu a kovové tyče v ohybu Měření modulu pružnosti Úkol : 1. Měření hodnoty Youngova modulu pružnosti ocelového drátu v tahu a kovové tyče v ohybu Pomůcky : - Měřící zařízení s indikátorovými hodinkami - Mikrometr - Svinovací metr

Více

graficky - užití Cremonova obrazce Zpracovala: Ing. Miroslava Tringelová

graficky - užití Cremonova obrazce Zpracovala: Ing. Miroslava Tringelová Statické řešení zadané rovinné prutové soustavy graficky - užití Cremonova obrazce Zpracovala: Ing. Miroslava Tringelová Určení sil v prutech prutové soustavy - graficky U příkladu viz obr. (1) graficky

Více

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 6 6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy

Více

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy - při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o rovnoměrném rotačním pohybu)

Více

NAMÁHÁNÍ NA KRUT NAMÁHÁNÍ NA KRUT

NAMÁHÁNÍ NA KRUT NAMÁHÁNÍ NA KRUT Φd Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 8. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA KRUT NAMÁHÁNÍ NA KRUT KRUT KRUHOVÝCH PRŮŘEZŮ Součást je namáhána na krut

Více

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59 Autoři:. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: U prutu čtvercového průřezu o straně h vyrobeného zedvoumateriálů,kterýjezatížensilou azměnou teploty T (viz obr. 1) vyšetřete a

Více

Úvod do soustav sil. 1. Axiom o rovnováze sil F 1 F 2. tuhém tělese na stejném paprsku jsou v rovnováze. Axiomy statiky. Statika 1. M. Vokáč.

Úvod do soustav sil. 1. Axiom o rovnováze sil F 1 F 2. tuhém tělese na stejném paprsku jsou v rovnováze. Axiomy statiky. Statika 1. M. Vokáč. 1. cvičení Svazek sil & tlak Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 14. února 2018 do soustav sil Síla je vektor y tuhé těleso F & tlak působiště paprsek [0,0] α A[x A,y

Více

Napětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených spojitým zatížením.

Napětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených spojitým zatížením. Číslo projektu CZ.1.07/ 1.1.36/ 02.0066 Autor Pavel Florík Předmět Mechanika Téma Namáhání součástí na ohyb Metodický pokyn výkladový text s ukázkami Napětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených

Více

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr Motivace štíhlé pruty namáhané tlakem mohou vybočit ze svého původně přímého tvaru a může dojít ke ztrátě stability a zhroucení konstrukce dříve, než je dosaženo

Více

Namáhání na tah, tlak

Namáhání na tah, tlak Namáhání na tah, tlak Pro namáhání na tah i tlak platí stejné vztahy a rovnice. Velikost normálového napětí v tahu, resp. tlaku vypočítáme ze vztahu: resp. kde je napětí v tahu, je napětí v tlaku (dále

Více

2.4 Výslednice rovinné soustavy sil

2.4 Výslednice rovinné soustavy sil Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.4 Výslednice rovinné soustavy sil Při skládání sil v rovinné soustavě zpravidla definované rovinou X-0-Y

Více

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5.

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5. Kapitola 5 Vnitřní síly přímého šikmého nosníku Pojem šikmý nosník je používán dle publikace [1] pro nosník ležící v souřadnicové rovině xz, který je vůči vodorovné ose x pootočen o úhel α. Pro šikmou

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

F - Jednoduché stroje

F - Jednoduché stroje F - Jednoduché stroje Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

Testovací příklady MEC2

Testovací příklady MEC2 Testovací příklady MEC2 1. Určete, jak velká práce se vykoná při stlačení pružiny nárazníku železničního vagónu o w = 5 mm, když na její stlačení o w =15 mm 1 je zapotřebí síla F = 3 kn. 2. Jaké musí být

Více

Steinerova věta a průřezové moduly. Znění a použití Steinerovy věty. Určeno pro druhý ročník strojírenství M/01. Vytvořeno červen 2013

Steinerova věta a průřezové moduly. Znění a použití Steinerovy věty. Určeno pro druhý ročník strojírenství M/01. Vytvořeno červen 2013 Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Steinerova

Více

Teorie prostého smyku se v technické praxi používá k výpočtu styků, jako jsou nýty, šrouby, svorníky, hřeby, svary apod.

Teorie prostého smyku se v technické praxi používá k výpočtu styků, jako jsou nýty, šrouby, svorníky, hřeby, svary apod. Výpočet spojovacích prostředků a spojů (Prostý smyk) Průřez je namáhán na prostý smyk: působí-li na něj vnější síly, jejichž účinek lze ekvivalentně nahradit jedinou posouvající silou T v rovině průřezu

Více

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Vzpěr,

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Konzola Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A M A y y q = kn/m M = - 5kNm A α B c a b d F = 10 kn 1 1 3,5,5 L = 10 x α = 10 A

Více

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky.

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. 7. Prutové soustavy Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. s styčník (ruší 2 stupně volnosti) každý

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_6_Mechanika tuhého tělesa Ing. Jakub Ulmann 6 Mechanika tuhého tělesa 6.1 Pohyb tuhého tělesa 6.2 Moment

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 14. ČERVENCE 2013 Název zpracovaného celku: NMÁHÁNÍ N OHYB D) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZTÍŽENÉ SOUSTVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL ÚLOH 1 Určete maximální

Více

Maturitní témata ze stavby a provozu strojů školní rok 2015/2016 obor 23-41-M/01 Strojírenství

Maturitní témata ze stavby a provozu strojů školní rok 2015/2016 obor 23-41-M/01 Strojírenství Maturitní témata ze stavby a provozu strojů Spoje se silovým stykem - šroubové spoje Spoje se silovým stykem - svěrné, tlakové, klínové, pružné spoje Spoje s tvarovým stykem Spoje s materiálovým stykem

Více