ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ"

Transkript

1 ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8. listopadu 2002 Abstract POMĚNKOVÁ, J.: The Gasser-Müller estimator. Acta univ. agric. et silvic. Mendel. Brun., 2004, LII, No. 3, pp Kernel smoothing provides a simple way for finding structure in data. The idea of the kernel smoothing can be applied to a simple fixed design regression model and a random design regression model. This article is focused on kernel smoothing for fixed design regression model with using special type of estimator, the Gasser-Müller estimator, and on choice of the bandwidth. At the end of this article figures for ilustration described methods on two data sets are shown. The first data set contains simulated values of function sin(2πx), the second contains January average temperatures measured in Basel kernel smoothing, Gasser-Müller estimator, bandwidth. Základní definice a věty Nechť (x i, Y i ) n, n N je posloupnost pozorování i = dvojice (x, Y), kde x R a Y je reálná nebo simulovaná náhodná veličina. Jestliže hodnoty nezávislé proměnné x jsou pevně zvolené experimentátorem (tzn. nejsou náhodné veličiny), pak hovoříme o tzv. modelu s pevným plánem. Závislost hodnot Y na hodnotách x lze popsat tzv. regresní křivkou a příslušný funkční vztah mezi proměnnými (x, Y), nazývaný regresní model, zapisujeme ve tvaru Y i = m(x i ) + є i, i =,..., n, () + x i i ƒ(x)dx = ; ƒ(x)dx = ; i =,..., n. (2) n Označme Lip[a, b] třídu spojitých funkcí splňujících Lipschitzovu podmínku na [a, b]: g(x) g(y) L x y x, y [a, b], L > 0, L = konstanta. Konstrukci jádrového odhadu funkce mˆ (x) budeme i provádět v bodech plánu x i, i =, n, kde x i = n, 0 x i. Zaveďme si nyní definici jádra. kde m je neznámá funkce, kterou budeme odhadovat, x i je bod plánu, Y i je pozorování a platí E(є i ) = 0, i =,..., n D(є i ) = σ 2 > 0, i =,..., n, Hodnoty x i, i =, n můžeme zadat nezápornou integrovatelnou funkcí f 67 Definice..: Nechť ν, k jsou nezáporná celá čísla, 0 ν < k. Nechť K Lip [, ], nosič (K) = [, ]. Nechť K splňuje následující momentové podmínky 0 0 j < k, j ν x j K(x)dx = ( ) ν ν! j = ν, (3) β k j = k. Funkce s těmito vlastnostmi se nazývá jádro. Je-li

2 68 J. Poměnková β k 0 říkáme, že jádro K je řádu (ν, k) a píšeme K м ν,k. Definice.2.: Nechť μ N, k, ν + k je sudé číslo a nechť K je jádro splňující následující podmínky ) K C μ [, ], 2) K м ν,k, 3) K (j) () = K (j) ( ) = 0, j = 0,..., μ, μ, 0 ν k 2, ν + k sudé. Toto jádro nazýváme jádro hladkosti μ a označujeme K м μ ν,k. Věta.3.: ) Nechť K splňuje požadavky z výše uvedené definice, pak K (μ) м ν + μ, k + μ, μ 2) Pro libovolnou funkci ψ м ν + μ, k + μ existuje právě jedna funkce q C μ [, ] taková, že q (μ) = ψ, q (j) ( ) = 0, j = 0,..., μ, q м ν,k. Z obecného hlediska lze jádrový odhad zapsat jako mˆ (x) = n W(x, h) Y, kde W (x, h) označuje váhovou funkci. Označme K h i = i i i ( ) = K ( h h ), h = h n je kladná konstanta. Omezíme-li se na odhady v bodech plánu, pak můžeme jádrový odhad zapsat jako mˆ (x ) W(x, h) W (x n, h) Y mˆ= = SY =, mˆ (x n ) W n (x, h) W n (x n, h) Y n kde mˆ= (mˆ (x ),, mˆ (x n )) T je vektor odhadů funkce m, Y = (Y,, Y n ) T je vektor pozorování, x = (x,, x n ) T je vektor bodů plánu a S = (s ij ), i, j =,, n je vyhlazovací matice. Tato matice je dána tzv. váhovými funkcemi, které budeme v našem případě označovat S = (s ij ), s ij = W i (x j, h) a závisí na h, i, x a K; h je šířka vyhlazovacího okna a řídí hladkost odhadu. 2. Gasser-Müllerův odhad Mějme regresní model popsaný v. kapitole. Gasser-Müllerův odhad definujeme následovně x u mˆ (x) = n s i n Y i si K du = Yi W i (x, h). (4) i= h h i= Body plánu x i, i =, n jsou vzestupně uspořádané a pro body s i x, i =, n platí s 0 = 0, s i = i+ +x i 2, i =, n a s n =. Pro prvky vyhlazovací matice s ij = W i (x j, h), i, j =, n v bodě plánu x j s šířkou vyhlazovacího okna h platí vztah s i x j u W i (x j, h) = si K du. (5) h h V další části uvedeme vztah pro odhad derivace funkce m. : Konstrukce váhy

3 Gasser-Müllerův odhad 69 Graf ukazuje konstrukci váhy pro Gasser-Müllerův odhad na příkladě simulovaných dat funkce ƒ(x) = sin(2πx). Měření jsou označena symboly +, Y i je měření v bodě x i a parabola je Epanečnikovo jádro K(x) = ¾( x 2 ). Šedě vyznačená oblast je po přenásobení koeficientem /h n váha odpovídající bodu plánu, měření a Epanečnikovu jádru v konkrétním případě. Věta 2..: Nechť je dán regresní model s pevným plánem a nechť dále platí. m C k ([0, ]), k N 2. K м ν,k, 3. lim n h n = 0 a lim n nh n 2ν+ = Pak pro odhad ν-té derivace funkce m, a každé x (0, ) je mˆ (ν) (x) = n Y i W i (x) = h ν + i= x u = n s i Y i si K du (6) h ν + i= h konzistentním odhadem m (ν) (x). Pro rozptyl tohoto odhadu platí σ 2 var(mˆ (ν) (x)) = (C K + o()), (7) nh 2ν+ kde C K = K2 (x)dx, (8) a pro jeho vychýlení platí Emˆ (ν) (x) m (ν) (x) = h k ν m (k) (x) B K + O([nh] ) + + o(h k ν ), (9) kde β k BK = ( ) k, β k = x k K(x)dx. (0) k! 3. Volba optimální šířky vyhlazovacího okna Vhodným nástrojem pro posouzení kvality odhadu je střední kvadratická chyba. Vyjdeme proto z tvaru střední kvadratické chyby MSE(mˆ (ν) (x)), který je dán vztahem MSE(mˆ (ν) (x)) = E (mˆ (ν) (x) m (ν) (x)) 2, a který lze zapsat také ve tvaru MSE(mˆ (ν) (x)) = var(mˆ (ν) (x)) + E (mˆ (ν) (x) m (ν) (x)) 2 Nechť platí předpoklady věty 2.., potom střední kvadratickou chybu MSE(mˆ (ν) (x)) můžeme vyjádřit ve tvaru σ 2 C K MSE(mˆ (ν) (x)) + h 2(k ν) [m (k) (x) B K ] 2, () nh 2ν+ kde β k BK = ( ) k, β k = x k K(x)dx, C K = K2 (x)dx. k! Šířka vyhlazovacího okna v bodě x (h MSE (mˆ(ν) (x)) ), která minimalizuje MSE(mˆ (ν) (x)) je dána vztahem MSE(mˆ (ν) (x)) = 0 h a nazýváme ji optimální šířkou. Jde však o asymptotickou optimalitu mezi všemi možnými volbami hodnoty h, zvoleným typem a řádem jádra K. Obdržíme h MSE (mˆ (ν) (x)) 2ν + σ 2 C K (2) 2 2 (k ν) B K (m (k) (x)) 2 n Ze vzorců () a (2) můžeme vidět, že s rostoucím h klesá rozptyl odhadu a roste kvadrát jeho vychýlení a naopak. Ze vzorce (2) je také patrné, že tento vztah lze použít pro nalezení vhodné šířky vyhlazovacího okna, když známe odhadovanou funkci. Analogicky lze získat šířku vyhlazovacího okna pro celý interval vyhlazované funkce z průměrné střední kvadratické chyby AMSE. Jestliže odhadovanou funkci neznáme, nalezneme řešení vhodné šířky vyhlazovacího okna pomocí metody křížového ověřování. V případě této metody půjde o odhad optimální hodnoty. Vyjděme opět z věty 2.., z předpokladů a tvaru vychýlení a rozptylu pro odhad mˆ (ν) (x). Označme mˆ (ν) = (mˆ (ν) (x ),..., mˆ (ν) (x n )) T. Pak průměrnou střední kvadratickou chybu můžeme vyjádřit ve tvaru AMSE (mˆ (ν), h) = n E (mˆ (ν) (x j ) m (ν) (x j )) 2 n j= C K σ 2 n + h 2(k ν) 2 B K (m (k) (x j )) 2 n j= nh 2ν+ a C K, B K jsou definovány ve větě 2.. Optimalizací získáme vyjádření pro optimální šířku vyhlazovacího okna ve tvaru (2ν + )C K 2k+ν+ hopt, AMSE. (3) 2 2n (k ν) B K (m (k) ) 2 2k+

4 70 J. Poměnková 2: Závislost AMSE na h Metoda křížového ověřování Chceme-li tedy odhadnout šířku vyhlazovacího okna h, vypočteme hodnotu funkce křížového ověřování CV(h) = n (Y i mˆ i (x i )) 2, (4) n i= kde (x mˆ i i ) je označení odhadu v bodě x i, při kterém jsme vynechali bod x i a odpovídající hodnotu Y i, přičemž hledáme minimum této funkce na množině H n = [a k n, b k n 2k+ 2k+], pro nějaké 0 < a k < b k <, tj. ĥ optcv = arg min h H CV(h). (5) n Vztah (4) lze zjednodušit a zobecnit do vhodnějšího tvaru 2 Y i mˆ (x i ) GCV(h) = n, (6) n i= tr(w)/n kde tr(w) = trace(w) = n W i (x, h), kde W je definováno v (5). Upravená metoda, která využívá vztahu (6) se nazývá zobecněná metoda křížového ověřování. 3: Závislost GCV na h

5 Gasser-Müllerův odhad 7 Ukázka typů jader ν k μ jádro ( x 2 ) ( 2x 2 + x 4 ) (3 5x 2 8 ) (3 0x 2 + 7x 4 32 ) ( 5x 2 + 7x 4 3x 6 64 ) x 5 3 (x x 3 4 ) ( x + 2x 3 x 5 ) ( 5x + 7x 3 8 ) ( 5x + 4x 3 9x 5 ) ( 5x + 2x 3 27x 5 + x 7 ) Aplikace Gasser-Müllerova odhadu V této části je provedena aplikace poznatků jádrového vyhlazování s užitím Gasser-Müllerova estimátoru na konkrétní data. V první části jde o aplikaci na simulované hodnoty, ve druhé na reálná data. Pro simulaci byla vybrána známá funkce sin(2πx) o rozsahu n = 0, σ 2 = 0,3. Reálná data tvořil soubor průměrných lednových teplot naměřených v Basileji mezi lety Simulovaná data Pro ukázku jádrového vyhlazování byla simulována data funkce m=sin(2πx). 4: Odhad mˆ, K м 0,4, h = 0.4 5: Odhad mˆ (), K м,3, h = 0,5

6 72 J. Poměnková 6: Odhad mˆ (2), K м 2,4, h = Vliv výběru šířky vyhlazovacího okna na simulovaná data 7: Odhad funkce s optimální hodnotou šířky vyhlazovacího okna 8: Odhad funkce s malou hodnotou šířky vyhlazovacího okna

7 Gasser-Müllerův odhad 73 9: Odhad funkce s velkou hodnotou šířky vyhlazovacího okna 5.3. Výběr optimální hodnoty h Užitím AMSE a metody Cross-validation 0.: Závislost AMSE na h.: Závislost GCV na h 0.2: Odhad funkce m s h opt, AMSE.2: Odhad funkce m s ĥ optgcv

8 74 J. Poměnková 2: Odhad funkce sin(2 x) (čárkovaně) s h AMSE (tečkovaně) a ĥ opt,gcv (plnou čarou), n = 0 3: Odhad funkce sin(2 x) (čárkovaně) s h AMSE (tečkovaně) a ĥ opt,gcv (plnou čarou), n = Aplikace na reálná data Pro aplikace jádrového vyhlazování na reálných datech byly vybrány průměrné lednové teploty naměřené v Basileji mezi lety Tyto hodnoty byly rovněž otestovány Kendalovým τ testem náhodnosti a jsou nezávislé.

9 Gasser-Müllerův odhad 75 4: Odhad průměrných lednových teplot, K м 0,2, h optgcv = : Odhad první derivace funkce popisující průměrné lednové teploty, K м 0,2, h optgcv = Závěr Předkládaný článek se věnuje problematice popsání struktury dat, a to prostřednictvím jádrového vyhlazování s užitím Gasser-Müllerova odhadu. Dále se zaměřuje na problematiku volby šířky vyhlazovacího okna, která významnou měrou ovlivňuje kvalitu výsledného odhadu. V programovém prostředí MATLAB byl rovněž zpracován výpočtový program a s jeho pomocí byly následně popsány dvě struktury dat. První byla tvořena simulovanými hodnotami funkce sin(2πx), druhá průměrnými lednovými teplotami naměřenými v Basileji mezi lety Získané výsledky jsou graficky znázorněny. Graf číslo 5 ukazuje nalezenou křivku, která popisuje odhad vývoje průměrných lednových teplot naměřených v Basileji mezi lety Graf číslo 6 ukazuje nalezenou křivku, která popisuje odhad první derivace vývoje lednových teplot naměřených v Basileji mezi lety

10 76 J. Poměnková SOUHRN Jádrové vyhlazování nabízí jednoduchý způsob jak najít a popsat strukturu dat. Myšlenka jádrového vyhlazování může být aplikována na regresní model s pevným i náhodným plánem. Předložný článek se zaměřil na jádrové vyhlazování s užitím speciálního typu odhadu, a to Gasser-Müllerova odhadu, a na výber šířky vyhlazovacího okna. Na konci článku jsou připojeny ilustrativní grafy uvedených metod Pro grafické zpracování bylo využito jak simulovaných hodnot funkce sin(2πx), tak reálných hodnot, kterými byly průměrné lednové teploty naměřené v Basileji mezi lety jádrové vyhlazování, Gasser-Müllerův odhad, šířka vyhlazovacího okna LITERATURA GASSER, T., EGEL, J.: The choice of weights in kernel regression estimation. Biometrika 990. HOROVÁ, I.: Some Remarks on Kernels, journal of Computational Analysis, Vol.2., No HOROVÁ, I., ZELINKA, J.: Základy a aplikace jádrových odhadů. Analýza dat 2000/II.Moderní statistické metody, Lázně Bohdaneč , 4-66 str. HÄRDLE, W.: Applied Nonparametric Regression. Cambridge University Press, 990. HÄRDLE, W., SCHIMEK, M. G.: Statistical Theory and Computational Aspects of Smoothing 994. WAND, M. P., JONES, M. S.: Kernel Smoothing. Chapman \& Hall, London,995. Adresa Mgr. Jitka Poměnková, Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně, Zemědělská 5, Brno, Česká republika

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIII 5 Číslo 3, 2005 Možnosti využití nástrojů ekonomie blahobytu

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE VYHLAZOVÁNÍ A REGRESE

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE VYHLAZOVÁNÍ A REGRESE MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE VYHLAZOVÁNÍ A REGRESE BRNO 9 MARCELA HENZLOVÁ Anotace Diplomovápráce Vhlazováníaregrese sezabývározboremdvoupřístupů

Více

UPLATNĚNÍ ADITIVNÍHO INDEXOVÉHO ROZKLADU PŘI HODNOCENÍ FINANČNÍ VÝKONNOSTI ODVĚTVÍ ČESKÝCH STAVEBNÍCH SPOŘITELEN

UPLATNĚNÍ ADITIVNÍHO INDEXOVÉHO ROZKLADU PŘI HODNOCENÍ FINANČNÍ VÝKONNOSTI ODVĚTVÍ ČESKÝCH STAVEBNÍCH SPOŘITELEN ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LV 9 Číslo 6, 2007 UPLATNĚNÍ ADITIVNÍHO INDEXOVÉHO ROZKLADU PŘI HODNOCENÍ

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

POTENCIÁLNÍ OHROŽENOST PŮD JIŽNÍ MORAVY VĚTRNOU EROZÍ

POTENCIÁLNÍ OHROŽENOST PŮD JIŽNÍ MORAVY VĚTRNOU EROZÍ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 5 Číslo 2, 2004 POTENCIÁLNÍ OHROŽENOST PŮD JIŽNÍ MORAVY VĚTRNOU

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

LWS při heteroskedasticitě

LWS při heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených

Více

NEPARAMETRICKÁ DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA

NEPARAMETRICKÁ DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA ROBUST, 5 58 c JČMF NEPARAMETRICKÁ DISKRIMINAČNÍ ANALÝZA MARIE FORBELSKÁ Abstrakt. In the paper the attention is focused to the application of kernel density estimators to statistical discrimination. After

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL

APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL APROXIMACE KŘIVEK V MATLABU NEWTONŮV INTERPOLAČNÍ POLYNOM CURVE FITTING IN MATLAB NEWTON INTERPOLATION POLYNOMIAL Jiří Kulička 1 Anotace: Článek se zabývá odvozením, algoritmizací a popisem konstrukce

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

THE PREDICTION PHYSICAL AND MECHANICAL BEHAVIOR OF FLOWING LIQUID IN THE TECHNICAL ELEMENT

THE PREDICTION PHYSICAL AND MECHANICAL BEHAVIOR OF FLOWING LIQUID IN THE TECHNICAL ELEMENT THE PREDICTION PHYSICAL AND MECHANICAL BEHAVIOR OF FLOWING LIQUID IN THE TECHNICAL ELEMENT PREDIKCE FYZIKÁLNĚ-MECHANICKÝCH POMĚRŮ PROUDÍCÍ KAPALINY V TECHNICKÉM ELEMENTU Kumbár V., Bartoň S., Křivánek

Více

y n+1 = g(x n, y n ),

y n+1 = g(x n, y n ), Diskrétní dynamické systémy 1. Úvod V následujícím textu budeme studovat chování systému diferenčních rovnic ve tvaru x n+1 = f(x n, y n ), y n+1 = g(x n, y n ), kde f a g jsou dané funkce. Tyto rovnice

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta

u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické stanici Křešín u Pacova Metoda pro validaci koncentrace přízemního ozónu kontinuálně měřené na Atmosférické 1 / 23sta Obsah Měření Kvalita

Více

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.

http://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu. Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.

Více

P. Verner, V. Chrást

P. Verner, V. Chrást ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIII 13 Číslo 2, 2005 Chování konverzních vrstev v laboratorních

Více

ANALÝZA VÝVOJE INDEXŮ BCPP POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD

ANALÝZA VÝVOJE INDEXŮ BCPP POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES ANALÝZA VÝVOJE INDEXŮ BCPP POMOCÍ ČASOVÝCH ŘAD A

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

Odhady Parametrů Lineární Regrese

Odhady Parametrů Lineární Regrese Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Minkowského operace a jejich aplikace

Minkowského operace a jejich aplikace KMA FAV ZČU Plzeň 1. února 2012 Obsah Aplikace Minkowského suma Minkowského rozdíl Minkowského součin v E 2 Minkowského součin kvaternionů Akce 22. 6. 1864-12. 1. 1909 Úvod Použití Rozmist ování (packing,

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

MINIMÁLNÍ MZDA V ČESKÝCH PODNICÍCH

MINIMÁLNÍ MZDA V ČESKÝCH PODNICÍCH ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS Ročník LVIII 25 Číslo 6, 2010 MINIMÁLNÍ MZDA V ČESKÝCH PODNICÍCH E. Lajtkepová Došlo: 26. srpna 2010 Abstract LAJTKEPOVÁ, E.: The

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

VLIV SLOŽENÍ KRMNÝCH SMĚSÍ NA PRŮBĚH SNÁŠKOVÉ KŘIVKY SLEPIC

VLIV SLOŽENÍ KRMNÝCH SMĚSÍ NA PRŮBĚH SNÁŠKOVÉ KŘIVKY SLEPIC ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIII 8 Číslo 4, 2005 VLIV SLOŽENÍ KRMNÝCH SMĚSÍ NA PRŮBĚH SNÁŠKOVÉ

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

D. Klecker, L. Zeman

D. Klecker, L. Zeman ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 21 Číslo 1, 2004 Vliv hustoty osazení na chování kura domácího

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Návrhy experimentů v neparametrické regresi

Návrhy experimentů v neparametrické regresi Návrhy eperimentů v neparametrické regresi Zdeněk Hlávka Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky 2.5.2012 Zdeněk Hlávka (KPMS MFF UK)

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

K. Novotný, J. Filípek

K. Novotný, J. Filípek ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIII 9 Číslo 2, 2005 Dynamické vertikální Sauverovy diagramy metastabilní

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

I. Úvod. II. Popis základních metod technické analýzy !! "# ! "" $% &'() "* *+ "" "* (,-.,/ " " "" *!!+ 01+ " * " " 2! " "*"*!

I. Úvod. II. Popis základních metod technické analýzy !! # !  $% &'() * *+  * (,-.,/    *!!+ 01+  *   2!  **! I. Úvod!! "#! "" $% &'() "* *+ "" "* (,-.,/ " " "" *!!+ 01+ " * " " 2! " "*"*! 3 * 4 " (,-.,/ *" * # "!5!0 6 7289:+789:!; ;"! ; *$! "#!; 0 + ní získané, za! + 0 0"< = >

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

CHOVÁNÍ SPOTŘEBITELŮ NA TRHU VÍNA V ČR

CHOVÁNÍ SPOTŘEBITELŮ NA TRHU VÍNA V ČR ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 15 Číslo 6, 2004 CHOVÁNÍ SPOTŘEBITELŮ NA TRHU VÍNA V ČR H. Chládková

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIV 1 Číslo 3, 006 Předpoklady Petriho sítí k modelování logistických

Více

ZMĚNY ZÁKLADNÍHO SLOŽENÍ KRAVSKÉHO MLEZIVA V PRŮBĚHU PRVNÍCH 72 HODIN PO PORODU

ZMĚNY ZÁKLADNÍHO SLOŽENÍ KRAVSKÉHO MLEZIVA V PRŮBĚHU PRVNÍCH 72 HODIN PO PORODU ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 14 Číslo 2, 2004 ZMĚNY ZÁKLADNÍHO SLOŽENÍ KRAVSKÉHO MLEZIVA V

Více

Odhady polohy mzdového rozdělení pomocí vybraných robustních odhadových funkcí

Odhady polohy mzdového rozdělení pomocí vybraných robustních odhadových funkcí Odhady polohy mzdového rozdělení pomocí vybraných robustních odhadových funkcí 1. Úvod Odhady polohy rozdělení náhodné proměnné patří k základním statistickým otázkám. Aritmetický v mnoha případech není

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita Brno. workshopy Finanční matematika v praxi III Matematické modely a aplikace Podlesí

Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita Brno. workshopy Finanční matematika v praxi III Matematické modely a aplikace Podlesí Ústav matematiky a statistiky Masarykova univerzita Brno workshopy Finanční matematika v praxi III Matematické modely a aplikace Podlesí 3. 6. září 2013 Obsah 1 2 3 4 y Motivace y 10 0 10 20 30 40 0 5

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m)

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m) 48 Vícerozměrná kalibrace Podobně jako jednorozměrná kalibrace i vícerozměrná kalibrace se používá především v analytické chemii Bude vysvětlena na příkladu spektroskopie: cílem je popis závislosti mezi

Více

Balanční vlastnosti pevného bodu substituce

Balanční vlastnosti pevného bodu substituce Úvod Karel Břinda Edita Pelantová Theoretical Informatics Group FJFI ČVUT v Praze 14. prosince 2010 Schéma postupu Úvod Abelovská komplexita Balanční funkce Diskrepanční funkce Funkce S f u (N) Matice

Více

Dynamické metody pro predikci rizika

Dynamické metody pro predikci rizika Dynamické metody pro predikci rizika 1 Úvod do analýzy časových řad Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých časových intervalech okamžikové např

Více

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici 7. ODE a SIMULINK Jednou z často používaných aplikací v Matlabu je modelování a simulace dynamických systémů. V zásadě můžeme postupovat buď klasicky inženýrsky (popíšeme systém diferenciálními rovnicemi

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 21 Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 2 / 21 Řešíme následující úlohu: differencovatelnou funkci f : R R známe jen v konečném počtu bodů x 0,

Více

PREDIKCE DÉLKY KOLONY V KŘIŽOVATCE PREDICTION OF THE LENGTH OF THE COLUMN IN THE INTERSECTION

PREDIKCE DÉLKY KOLONY V KŘIŽOVATCE PREDICTION OF THE LENGTH OF THE COLUMN IN THE INTERSECTION PREDIKCE DÉLKY KOLONY V KŘIŽOVATCE PREDICTION OF THE LENGTH OF THE COLUMN IN THE INTERSECTION Lucie Váňová 1 Anotace: Článek pojednává o předpovídání délky kolony v křižovatce. Tato úloha je řešena v programu

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

FORMÁLNÍ SPECIFIKACE PRO REGISTRACI VÝVOJE PODNIKOVÉHO IS

FORMÁLNÍ SPECIFIKACE PRO REGISTRACI VÝVOJE PODNIKOVÉHO IS ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIV 14 Číslo 6, 2006 FORMÁLNÍ SPECIFIKACE PRO REGISTRACI VÝVOJE PODNIKOVÉHO

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. . Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více