Geometrie. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Transkript

1 Geometie RND. Yvetta Batáková Gymnázium, OŠ a VOŠ Ledeč nad ázavou

2 Objemy a povchy těles otační válec a kužel VY_3_INOVACE_05_3_17_M Gymnázium, OŠ a VOŠ Ledeč nad ázavou

3 1 Objemy a povchy těles A) Rotační válec - je těleso, kteé vznikne otáčením obdélníku kolem přímky, kteá obsahuje jednu jeho stanu nebo osu Objem: v V v V p Povch: v v pl p

4 B) Rotační kužel - je těleso, kteé vznikne otáčením pavoúhlého tojúhelníku kolem přímky, kteá obsahuje jednu jeho odvěsnu nebo otáčením ovnoamenného tojúhelníku kolem jeho osy Objem: v V v V p Povch: s s pl p

5 Příklad 1 Učete ozměy válcové nádoby o objemu 5 litů, jestliže výška nádoby se ovná polovině půměu podstavy. v = ; V = 5 litů = 5 dm 3 V p v v v 5 3 Válcová nádoba má ozměy: v 5 3 dm. 3

6 Příklad Vypočtěte objem a povch pavidelného otačního kužele o výšce 10 cm, jehož stana má od oviny podstavy odchylku 30 o s 0 cm; 10 3cm V 3 1 p 1 1 v v v sin ; tg s v v v s ; sin tg s ; sin 30 tg30 4

7 p pl s Pavidelný otační kužel má objem V cm a povch cm. 5

8 Příklady 1. Nálevka má tva ovnostanného kužele. Vypočítejte obsah plochy smáčené vodou v případě, že do nálevky nalijete 3 lity vody.. Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 0 cm. Výška válce je dvakát větší než půmě podstavy. Vypočtěte objem válce v litech. 3. Vypočtěte polomě podstavy a objem otačního kužele, jestliže ozvinutý plášť je kuhová výseč s poloměem 3 cm a středovým úhlem 10 o. 4. Učete ozměy ovnostanného válce o objemu 1 lit. 5. Kužel s poloměem podstavy 4 cm a výškou 6 cm je ozdělen ovinou ovnoběžnou s podstavou na dvě části téhož objemu. Vypočtěte: a) polomě kužnice, kteá je řezem; b) pomě, ve kteém ovina řezu dělí výšku. 6. Osovým řezem válce je čtveec o obsahu 5 cm. Vypočtěte povch válce. 6

9 Úlohy na pocvičování: 1. Nádoba z umělé hmoty tvau válce má půmě dna dm. Jak vysoká musí být nádoba, aby se do ní vešlo 5 litů vody?. Kolik litů vody se vejde do válcové nádoby s půměem dna dm, je-li vysoká 1,5 m. Nádoba je naplněna po okaj. 3. Na list papíu o ozměech 16 cm a 18 cm máme nakeslit síť válce s poloměem =,5 cm a výškou v = 7,7 cm a vystřihnout. Vypočtěte pocento odpadu. 4. Jaký objem má válcová nádoba na dětskou přesnídávku, kteá má vnitřní půmě 0,68 dm a výšku 45 mm? Výsledek vyjádřete v desetinách decilitu. 5. ilo tvau válce o ozměech d = 3,8 m a v = 9 dm je naplněno na 7%. Kolik kychlových metů siláže je v něm uskladněno? 6. Jaká je výška válce o půměu 1 metu, jestliže po naplnění vodou ze 65% je v něm 1531 litů vody? 7

10 7. Vypočítej půmě dna válcové nádoby s objemem 1,5 litů, kteá je vysoká 35 cm? 8. Klempíř měl zhotovit tubku s půměem 9,8 cm. Mohl ji zhotovit z plechového obdélníku s ozměy 30 cm a 7 cm. 9. Kolik pozinkovaného plechu je třeba na zhotovení okapových ou na pět domků vysokých 8 m, jestliže půmě ouy je 1 cm a na spoje a zahnutí je třeba přidat 5 %? ud na hl je naplněn ze 5 vodou. Vypočítej půmě dna sudu, jestliže voda sahá do výšky 80 cm. Kolik m plechu je třeba na výobu takového sudu, musí-li se přidat 8 % na spoje a zahnutí? 11. Kolem kuhového zahadního bazénu o půměu 7,5 m se má vybetonovat 1 m šioký chodník o tloušťce 15 cm. Kolik m 3 betonu bude třeba namíchat? Kolik cementu se spotřebuje, jestliže se na 1 m 3 betonu spotřebuje 00 kg cementu? 8

11 1. Rotační kužel má polomě podstavy = 4,5 cm a výšku v = 7, cm. Vypočítejte povch. 13. Objem otačního kužele je 307,7 cm 3 a půmě podstavy je 14 cm. Vypočítejte výšku kužele a jeho povch. 14. Z kusu plechu tvau polokuhu s poloměem s = 8 cm byla sletována nálevka ve tvau pláště otačního kužele. Vypočítejte polomě jeho podstavy a jeho výšku. 15. Plášť otačního kužele má obsah 48 cm. Polomě podstavy daného kužele je = 8 cm. Vypočtěte objem kužele. 16. Vypočtěte povch a objem otačního kužele, jehož obvod podstavy je 15,6 cm a stana má délku 5 cm. 17. Povch kužele je 35,5 cm. Osovým řezem kužele je ovnostanný tojúhelník. Vypočtěte objem kužele. 9

12 18. tana otačního kužele má délku 3,5 cm, polomě podstavy kužele je,1 cm. Vypočítejte objem kužele a velikost úhlu, kteý svíá stana kužele a jeho výška. 19. Vypočítejte povch a objem otačního kužele, jehož osový řez má při vcholu úhel velikosti 8 a délka stany kužele je 4,7 cm. 0. Je dán otační kužel s vcholem V, je střed jeho podstavy, X V 9, cm, XV 64 libovolný bod podstavné kužnice. Platí:. Vypočítejte povch kužele. 1. Těleso je složeno z otačního válce a otačního kužele se shodnými podstavami. Válec má polomě = 15 cm a výšku v = 80 cm. tana kužele svíá s výškou úhel 30. Vypočtěte povch a objem tohoto složeného tělesa.. Rotační kužel má půmě 0 cm a jeho stana svíá s ovinou podstavy úhel 5. Jaký je objem otačního kužele? 10

13 3. Objem otačního kužele je 9,4 cm 3, přičemž výška je ovna 10 cm. Jaký úhel svíá stana kužele s ovinou podstavy? 4. Homada písku má tva otačního kužele o půměu m. Jak velká je stana této homady, jestliže svíá s výškou úhel Špice střechy kostela má tva kužele o výšce 3 m, výška se stanou kužele svíá úhel Jaké množství bavy bude potřeba na její natření, jestliže na natření 100 cm střechy je potřeba 6 ml bavy? 6. tana otačního kužele, kteý má výšku 1,6 cm, svíá s podstavou úhel 3. Vypočtěte povch tělesa. 7. V jaké výšce musíme ozřezat vodoovným řezem kužel na dvě části o stejném objemu, jestliže polomě podstavy = 5 cm a úhel, kteý svíá stana kužele s podstavou 45? 8. Jak vysoký je válec, jehož plášť má obsah ovný obsahu jeho podstavy. Vypočtěte jeho objem. 9. Vypočtěte objem kužele, jehož plášť je čtvtkuh s poloměem 0 cm. 11

14 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtveec se stanou dlouhou 0 cm. 31. Obvod podstavy otačního válce je tak velký, jako jeho výška. Jaký je půmě a výška válce o objemu 1 lit? 3. Vnější obvod mosazné tubky 30 cm dlouhé měří 3, cm. Její hmotnost je 47,5 g a hustota mosazi je 8500 kg/m 3. Jaká je tloušťka stěny tubky? 33. Kolik nafty je ve vodoovné nádži ve tvau otačního válce o výšce 10 m, když šířka hladiny je 1 m a hladina je 0 cm pod honí stanou válce? 34. Objem kužele je 1000 mm 3, obsah osového řezu je 100 mm. Vypočtěte povch kužele. 35. Z kuhového plechu o půměu délky 1 m je třeba vystřihnout část o středovém úhlu o velikosti 150, svinout a sletovat do tvau kužele. a) Vypočtěte velikost pláště kužele. b) Jak bude kužel vysoký? 1

15 Výsledky: 1. 1,6 dm;. 47,1 litů; 3. 44,367 %; 4. 1,6 dl; 5.75 m 3 ; 6. 3 m; 7. d = 7,39 cm; 8. Ne; 9. 15,834 m ; 10. d = 5,046 dm;,145 m ; 11. 4,006 m 3 ; 801,106 kg; ,65 cm ; 13. v = 6 cm; 356,69 cm ; 14. = 4 cm; v = 6,93 cm; , cm 3 ; ,35 cm ; 68,43 cm 3 ; 17. 6,5 cm 3 ; 18. 1,93 cm 3 ; ; ,398 cm ; 35,3 cm 3 ; 0. 07,54 cm ; ,39 cm ; 6670,4 cm 3 ;. 488,3 cm 3 ; ; 4.,69 m; 5. 6 l; ,58 cm v, V ; 7. 5 cm; 8. ; ,97 cm 3 ; ,6 cm 3 ; 31. d = 0,74 dm; v =,35 dm; 3. 0,6 mm; ,138 m 3 ; ,645 mm ; 35. 0,37 m ; v = 0,4545 m 13

16 Pocvičování: 1. Matuitní minimum sbíka úloh po Š, Pometheus, st.83, př.7.1, 7.. bíka úloh z M po OA a OŠ, J.Klodne, st , př. 1-15; st , př