Geodézie 3 (154GD3) Téma č. 9: Hodnocení a rozbory přesnosti výškových měření.

Transkript

1 Geodéze 3 (54GD3) Téma č. 9:

2 Úvod o měřeí obecě. V geodéz měříme především déky, úhy, a dáe také apř. čas, vekost síy tíže apod. Výsedek měřeí je charakterzová čísem, závsým též a vobě jedotek. Ze zkušeost patí : opakuje- se měřeí téže večy, tak př sebevětší pečvost jsou získáy obecě růzé výsedky. Je to tím, že žádé měřeí eze zoovat od moha rušvých vvů, havě : - edokoaost ašch smysů, - edokoaost přístrojů, - vější vvy, - edostatečá zaost všech okoostí, které způsobují chyby měřeí atd. Omezováím chyb apř. využtím přesějšího přístroje ze sížt jejch vv, a tak zvýšt přesost měřeí. Proměvé, vem početé, a eje proto v podstatě epostžteé vvy určují číseě výsedek měřeí, který je v určtých mezích áhodou (bovoou a epředvídateou) večou. Rozdíost výsedků měřeí vypývá z fyzkáí podstaty prostředí. Př měřeí a jeho zpracováí je hedáa ejspoehvější hodota výsedku měřeí, odhadováa její přesost a meze její spoehvost. Měřeím č zpracováím měřeí NIKDY ezískáme skutečou hodotu večy, vždy se jedá o odhad. 2

3 Úvod o měřeí obecě. Výsedek každého měřeí je evyhuteě zatíže skutečou chybou ε, která je souhrem působeí jedotvých vvů. Skutečou chybu měřeí ε ze vyjádřt pomocí skutečé (správé) hodoty večy X a měřeé hodoty : ε = X Chyby měřeí. - hrubé chyby a omyy, - evyhuteé - áhodé, - systematcké. 3

4 Chyby měřeí. Omyy ejsou způsobey objektvím podmíkam měřeí, ae esprávým úkoy měřče (omy, epozorost, špatá mapuace s přístrojem apod.) Hrubé chyby mohou vzkat akupeím epřízvých vvů ebo jejch eobvykou vekostí jako apř. sý vítr ebo vbrace obrazu cíe v daekohedu. Měřeí s těmto chybam jsou v příkrém rozporu s kotroím měřeím - je uté dvojí měřeí ebo měřeí adbytečých hodot. Nejsou chybam evyhuteým a dáe ejsou v rozborech a hodoceích uvažováy. Systematcké chyby Vzkají z jedostraě působících příč, za stejých podmíek ovvňují měřeí ve stejém smysu, tj. chyba měřeí má stejé zaméko vekost. - kostatí (př každém měřeí stejé zaméko vekost, apř. chybá déka pásma), - proměvé (jejch vv se měí v závsost a podmíkách měřeí, apř. a tepotě atmosféry apod., jejch vv může mít růzá zaméka). Systematcké chyby je možo potačt seřízeím (rektfkací) přístrojů a pomůcek před měřeím a vhodou metodkou zpracováí měřeí. 4

5 Chyby měřeí. Náhodé chyby jsou takové chyby, které př stejé měřeé večě, metodě měřeí, podmíkách a pečvost, áhodě abývají růzé vekost zaméka. Jedotvě emají žádé zákotost a jsou vzájemě ezávsé, epředvídateé a ezdůvodteé. Ve větších souborech (vícekrát opakovaé měřeí) se však jž řídí jstým statstckým zákotostm. Náhodé chyby stejého druhu mají charakter áhodé večy s ormáím rozděeím pravděpodobost. Ceková áhodá chyba měřeí je dáa součtem vekého možství jedotvých a sobě ezávsých áhodých chyb způsobeých moha růzým vvy. Pode cetráí mtí věty (Věta Ljapuovova: rozděeí součtu vzájemě ezávsých več X koverguje k ormáímu rozděeí v případě, že večy X emají stejé rozděeí pravděpodobost.) je rozděeí pravděpodobost v takovémto případě ormáí. 5

6 Chyby měřeí. Vastost áhodých chyb měřeí: - pravděpodobost vzku kadé č záporé chyby určté vekost je stejá, - maé chyby jsou pravděpodobější (četější) ež veké, - chyby ad určtou mez se evyskytují (resp. považujeme je za hrubé). Normáí rozděeí. Hustota pravděpodobost ϕ(x) (také frekvečí fukce) ormáího rozděeí N(E(x),σ 2 ) je dáa střeí hodotou E(x) a směrodatou odchykou σ: { x E ( x )} ( x ) e σ 2 2 ϕ =, x (, ). σ 2π 2 6

7 Normáí rozděeí. Pravděpodobost P, že měřeí bude zatížeo chybou o vekost padoucí do tervau <A;B> je rova poše vyšrafovaé v grafu. Frekvečí křvka ormáího rozděeí ϕ(x) P B = ϕ ( x )dx A A B x E(x) - 2σ E(x) - σ E(x) E(x) + σ E(x) + 2σ 7

8 Normáí rozděeí. A B P E(x) - σ E(x) + σ 0,682 E(x) -2 σ E(x) + 2 σ 0,954 E(x) -2,5 σ E(x) +2,5 σ 0,988 E(x) 3 σ E(x) + 3 σ 0,997 E(x) E(x) +,000 Co to je směrodatá odchyka σ? Je to parametr popsující ormáí rozděeí. Ve vztahu k měřeí je to charakterstka přesost. Z hedska chyb měřeí je třeba vždy tuto charakterstku terpretovat s ohedem a předchozí tabuku, a tedy s uvědomt, že apř. v tervau <-2σ ; 2σ> od měřeé hodoty se vyskytuje hedaá hodota geometrckého parametru s pravděpodobostí 95 % (za předpokadu, že měřeí mají ormáí rozděeí a epůsobí systematcká chyba). Výsedkem vvu áhodých a systematckých chyb je skutečá chyba měřeí : ε = + c 8

9 9

10 Záko hromaděí skutečých chyb. V moha případech eze ebo eí výhodé přímo měřt určovaou hodotu, a tato se pak určuje zprostředkovaě č výpočtem z jých měřeých hodot. Příkadem může být pocha trojúheíka, jsou- měřey dvě stray a úhe. Potřebujeme eje vypočítat hedaou hodotu, ae také určt její směrodatou odchyku. Záme- fukčí vztah mez večam, dokážeme j vypočítat pomocí zákoa hromaděí směrodatých odchyek (ZHSO). Záko hromaděí skutečých chyb Fukčí vztah: y = f ( x, x 2, x 3, x 4, x 5,..., x k ) ( ) 2 3 y + ε = f x + ε, x + ε, x + ε,..., x + ε y x x2 x3 k x k Vzhedem k tomu, že skutečé chyby jsou oprot měřeým hodotám vem maé, ze rozvout pravou strau vztahu pode Tayorova rozvoje s omezeím pouze a čey prvího řádu. f f y f ( x,..., x )... x + ε = + ε + + ε x y k x x k k 0

11 Záko hromaděí skutečých chyb. f f f f ε = ε + ε + ε ε x x x x y x x2 x3 x k 2 3 k Skutečé chyby měřeých več zpravda ezáme, ae záme jejch směrodaté odchyky. Pak použjeme záko hromaděí směrodatých odchyek. Záko hromaděí směrodatých odchyek 2 2 f f f σ = σ + σ σ y x x 2 x x x2 xk 2 k

12 Záko hromaděí směrodatých odchyek 2 2 f f f σ = σ + σ σ y x x 2 x x x2 xk 2 k Podmíky patost.. Jedotvé měřeé večy, a tedy jejch skutečé chyby, musí být vzájemě ezávsé. 2. Skutečé chyby mají áhodý charakter, jejch zaméko a vekost se řídí ormáím rozděeím. 3. Chyby jsou oprot měřeým hodotám maé, parcáí dervace musí zůstat praktcky kostatí, změí- se měřeé hodoty o hodoty chyb. 4. Jedotvé čey musí mít stejý fyzkáí rozměr. 2

13 Příkad : Jsou zámy dvě déky a = 34,352 m, b = 28,3 m, které byy změřey se σ a =σ b = 0,002m. Dáe by změře úhe ω = 52,3452, σ ω = 0,0045. Určete směrodatou odchyku pochy trojúheíka. a ω b 3

14 Fukčí vztah : P = a b s( ω ) 2 Skutečé chyby : ε P = b s( ω ) ε a + a s( ω ) ε b π + a b cos( ω ) ε ω ρ = π 4

15 Směrodaté odchyky : b s( ) P a a s( ) b σ = ω σ + ω σ σ ω + a b cos( ω ) 2 Úprava pro σ a = σ b = σ d : ( ρ ) 2 ( 2 2 b a ) 2 2 σ = + s ( ω ) σ P d σ ( a b cos( )) 2 ω + ω 2 4 ( ρ ) 2 Po dosazeí : σ P = 0,043 m 2, P = 384,983 m 2. 5

16 Příkad 2 : Odvoďte vzorec pro směrodatou odchyku průměru z měřeí, záte- směrodatou odchyku jedoho měřeí σ. Fukčí vztah : [ ] = = 2 Záko hromaděí skutečých chyb : ε = ε + ε ε { } 2 Víme, že všecha měřeí mají stejou směrodatou odchyku. O skutečých chybách ae evíme c (je to áhodá veča) a proto NELZE závorku zjedodušt. Obecě patí : ε ε... ε 2 6

17 Záko hromaděí směrodatých odchyek : Ze zadáí víme, že všecha měřeí mají stejou směrodatou odchyku. Proto patí : σ = σ =... = σ = σ σ σ = σ + σ σ = σ = { } ( )

18 ε 2 [ ] εε = σ = = = = ε = X 8

19 [ ] = = = v = v 2 [ ] σ vv = = = = = σ = σ 9

20 Směrodatá odchyka je také áhodá veča pokud provedeme stejě apř. 2 x 0 měřeí a vypočteme dvakrát směrodatou odchyku, obecě ebude stejá. Je pro ustrac je zde uvede vzorec pro výpočet odhadu směrodaté odchyky směrodaté odchyky. σ σ = σ 2 kde je adbytečý počet měřeí, zde = (-) / (2 ) 0,7 0,50 0,35 0,24 0,6 0,0 0,07 0,03 20

21 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost. Pokud měřeí emají stejou přesost a tato přesost je záma, je uto zvot jý postup zpracováí. Hodota výsedku měřeí je pak získáa jako vážeý průměr [ p] [ p] = = = = p p Váhy se určují : p c = σ 2, kde c je voeá kostata. 2

22 Zpracováí přímých měřeí estejé přesost. Směrodatá odchyka hodoty určeé vážeým průměrem se vypočte [ pvv] [ p]( ) = = = σ = = = p p v 2 ( ), kde opravy se vypočtou v = 22

23 Příkad : Déka bya měřea opakovaě pětkrát za stejých podmíek a stejou metodou (= se stejou přesostí). Vypočtěte průměrou déku, přesost jedoho měřeí a přesost průměru. / m v / m vv / m 2 5,628-0,004,96E ,626 0,0006 3,60E ,627-0,0004,60E ,624 0,0026 6,76E ,628-0,004,96E-06 Σ 28,33 0,000,2E-05 σ = 5,6266 m, = 0,007 m, = 0,00075 m σ 23

24 Příkad 2 : Déka bya měřea opakovaě pětkrát růzým metodam (= s růzou přesostí). Vypočtěte průměrou déku a přesost průměru. / m σ / m p. p v / m 5,628 0,0030 0,69 3,908-0, ,626 0,0020,56 8,79 0, ,627 0,0025,00 5,627-0, ,624 0,0035 0,5 2,869 0, ,628 0,0025,00 5,628-0,003 Σ 4,77 26,823 σ Voba c = 0,0025 2, = 5,6267 m, = 0,00056 m 24

25 25

26 26

27 27

28 28

29 maý vv v pochém teréu h ζ sd P v c v p S 29

30 30

31 Koec 3