Jak prochází světlo soustavou částečně propustných zrcadel?

Transkript

1 Jak rochází světlo soustavou částečně roustných zrcadel? Když světlo rochází oloroustným zrcadlem, olovina světla rojde a olovina se odrazí. Co se však stane, když takových zrcadel máme víc za sebou a když nebudou rávě oloroustná? To už složitější. Pro jednoduchost se odívejme na říad, kdy jsou taková zrcadla za sebou jen dvě, rvní roouští světla A a druhé B. Čísla A a B jsou menší než jedna, zrcadla tedy odráží část světla A a B. Na rvní zrcadlo řichází světlo s intenzitou a rochází část A, druhým zrcadlem ak rojde A B. Na rvním zrcadle se odrazí část A, na druhém A B. Světlo odražené na druhém zrcadle doadá zět na rvní zrcadlo, kde rojde A-násobek, tedy A B A A B, část se odrazí, totiž A B A, a doadne oět na druhé zrcadlo, kde část A B A B rojde, část se odrazí zět a tak to jde ořád dál a dál. Při ohledu na obrázek je vidět, že zrcadlem rojde tato část světla: PA, B AB + AB A B + AB A B + AB Zde se objevuje geometrická řada a její součet je roven Část světla se odrazí: PA, B AB A B AB A + B AB OA, B A+A B+A A B + A+A B Součet je roven OA, B A+ A B A + B AB A+B AB A AB+A B+A A B A + B AB A n B n n0 A n B n n0 A+B AB A+B AB Snadno lze ukázat, že součet odraženého a rošlého světla dá jedničku, to je takove malá zkouška srávnosti: OA, B + PA, B A + B AB A + B AB + AB A + B AB A + B AB A + B AB Můžeme čerstvě odvozené vztahy vyzkoušet. Co se stane, když máme dvě oloroustná zrcadla? Potom je A B /, o dosazení zjistíme, že PA, B /3 a OA, B /3. Takže dvěma oloroustnými zrcadly rojde jen třetina světla, zatímco dvě třetiny se odrazí. A když budou zrcadla tři?

2 Pokud je zrcadel více, můžeme zkusit sočítat jejich roustnost vždy o dvojicích sousedních zrcadel. Když jsou zrcadla tři, tak rvní dvě zrcadla se chovají jako jedno třetinoroustné zrcadlo A /3, druhé je obyčejné oloroustné B /. Když zkusíme dosadit tyto hodnoty, vyjde PA, B /4 a O 3/4. Je to srávně? Zvolili jsme rvní zrcadlo jako třetinoroustné vzniklé ze dvou oloroustných a druhé ve skutečnosti třetí bylo ooroustné. Pokud to rovedeme obráceně, dostaneme stejný výsledek. PA, B AB A + B AB BA B + A BA PB, A, obdobně OA, B OB, A Tak jsme dokázali, že na ořadí zrcadel výsledek nezávisí, tj. jsou komutativní. Další otázka vyvstane, když budeme mít čtyři oloroustná zrcadla. Bude zřejmě jedno, jestli je řevedeme na trojici zrcadel jež vytvoří čtvrtroustné zrcadlo a jedno zrcadlo, nebo na jedno zrcadlo a trojici zrcadel, v obou říadech nám vyjde ětinoroustné zrcadlo, P /5, O 4/5. Když soustavu řevedeme na dvě dvojice oloroustných zrcadel, vyjde také P /5, O 4/5. Ukážeme, že to latí obecně. Mějme čtyři zrcadla s roustnostmi A, B, C, D. Hledáme celkovou roustnost P. Sdružme zrcadla o dvou a označme roustnosti těchto dvojic o řadě E PA, B a F PC, D. Pak P PE, F. Nyní zbývá jen dosadit do vzorců. P EF E + F + EF AB + A+B+AB A+B+ABC+D+CD CD + C+D+CD ABC + ABD + ACD + BCD + 3 A+B+ABC+D+CD Seskume nyní zrcadla tak, že oslední tři budou ohromadě s roustností G PB, F a rvní A bude zvlášť. Hledejme nyní roustnost P PA, G. G P BF B + F + BF BCD C+D+CD B + CD + C+D+CD BCD BC + BD + CD + BCD AG A + G + AG A + + A BCD B+C+CD BCD BC+BD+CD+BCD ABC + ABD + ACD + BCD + 3 Ukazuje se, že roustnost vyšla stejně, tedy P P. Stejným ostuem bychom mohli seskuit rvní tři zrcadla a k nim řidat čtvrté a oět bychom dostali nějaké P P. Dokázali jsme tak asociativitu, a to zcela obecnou, rotože A, B, C, D mohou zastuovat libovolné soustavy zrcadel. Nyní je na místě si oložit otázku: K čemu jsou tyto vztahy vlastně dobré? Můžeme omocí nich ukázat, že řada roustných zrdacel odráží tím více světla, čím více těchto zrcadel je. Mějmě třeba oloroustná zrcadla. Jsou-li dvě, již víme, že P víme, že P, 3. Kolik je P, 4 n? P n, n + n n n +, 3. Také Tento vztah je rekurentní a říká, že n oloroustných zrcadel roustí světla a zbytek n+ odrazí. Pokud tedy máme na sobě mnoho i třeba jen slabě odrážejících vrstev, nerojde jimi téměř žádné světlo a mnoho se ho odrazí. Nějaké se také ohltí, což zde nebylo zaočteno. Stejně tak nebyly zaočteny interference. Podobně lze vysvětlit to, že sníh odráží světlo a jeví se bílý.

3 Předchozí vztahy nezahrnují interferenci. Pokud by byl výočet roveden ro komlexní amlitudy a byla by zohledněna vlnová délka rocházejícího světla, rojevila by se. Zrcadlo nechť roouští z jedné strany amlitudu úměrnou a odráží uměrnou o, z druhé strany obdobně, o. Matice těchto součinitelů musí být unitární. o J o ; J J + Potom musí latit: o JJ + E J + o J o o Z tohoto součinu matic vyjde několik vztahů 0 0 o o o o + o ; + o ; + o ; + o Z těch otom lyne, že, o o, o, o. Lze to zajistit nař. volbou R, o i I, obdobně ro čárkované součinitele. Nyní zaišme, jak bude rocházet světlo řes jediné zrcadlo. Amlitudu řicházejícího záření označme a, odcházejícího b. A na druhé straně ať je b amlituda záření řicházejícího a a odcházejícího. Pro jednotlivé amliduty ak musí latit takovéto vztahy: a a + o b b oa + a a b o b o b a b oo + b a b o o oo a Pokud by nás nezajímala interference, bylo by možné takto oskládat libovolné množství N zrcadel. Amlitudy v tomto říadě slňují vztah s touto obecnou maticí Z: a z z an z z b N b Položíme-li otom b N 0, což latí tehdy, nezáří-li z druhé strany na zrcadla nic, vyjde toto: a z a N ; b z a N Srovnáním s maticí ro jedno zrcadlo či stejnou úvahou, která k oné jednozrcadlové matici vedla, vyjde a N a a zřejmě /z, což je součinitel roustnosti ro amlitudy ro celou soustavu zrcadel. Lze čekat, že odrazivost bude vystuovat ve vztahu b õa. Víme, že latí b z a N. Pokud z rvního vztahu dosadíme a N a /z, vyjde b z z a. Čekáme, že z z õ, mělo by tak latit, že z õ/, což stojí i v matici ro jedno zrcadlo. Tyto vztahy však latí ro amlitudy. Intenzita záření je úměrná druhé mocniny absolutní hodnoty amlutudy, stejný vztah latí i ro součinitele roustnosti a odrazivosti ro intenzity. Tedy P z ; O õ z Na interferenci se zatím oět nedostalo, to lze ale snadno naravit. Je-li zrcadel více, mění se mezi jednotlivými zrcadly fáze vlny. Vlnu můžeme vyjádřit třeba takto: z ψ + x, t Ae ikx ωt... ve směru rostoucího x ψ x, t Be ikx ωt... na druhou stranu Původní vztah ro růchod vlnění zrcadlem je dobré trochu řeznačit: a a o b o oo b b

4 Mezi a, b a a, b dojde k fázovému osuvu. a a ψ + x, t a ψ + x, t b ψ x, t b ψ x, t a ψ +x,t ψ + x,t ei[kx x ωt t ] b b ψ x,t ψ x,t e i[kx x ωt t ] Označíme-li změnu fáze e iϕ, ak ro t t latí ϕ kx x kl, kde l je vzdálenost zrcadel. Potom vyjde a e iϕ 0 a 0 e iϕ b Toto lze konečně sloučit s ředešlým vztahem, ro jeden růchod zrcadlem a rostorem mezi zrcadly nakonec latí a b Z b { }} { e iϕ iϕ o a e e iϕ o e iϕ oo b Tyto matice lze skládat odobně jako v ředchozím říkladě. Nyní můžeme zkusit rozkoumat interferenci. Pro jednoduchost ůjde o řadu stejných zrcadel ve stejných vzdálenostech. Výsledná matice ak bude slňovat toto Z Z N ; Z SZ D S Z SZ D S N SZ N D S Matice S, S jsou takové, že diagonalizují matici Z do tvaru Z D. Matici lze diagonalizovat třeba takto: 0 z z z z z z 0 z z z 0 0 z z z z } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } T Z S Z D Matice Z je však hermitovská r, r R; o, o I, takže z z z. Potom je T S. Matice Z je otom určena tímto vztahem: Z z N z z 0 0 z N z 0 0 z z z z z z Porovnáním dostaneme vztahy ro tuto úlohu: zn z z z z N z z z õ z z z N N z N z z z z z z z z N z z z z z z N z N z z z z N z z

5 Můžeme ostuovat také jinak a zjištovat odrazivost otenciálové stěny s výškou V, tj. vyřešit Schrödingerovu rovnici: i d ψx, t Ĥψx, t dt y V Ĥ ˆ m + V x i d ψx, t dt m d ψx, t + YxYa xv dx A B D F C E 0 a x Tuto lze vyšešit searací roměnných, tj. řesáním vlnové funkce do tvaru ψx, t XxT t, čímž se rozadne rovnice na dvě jednodušší: i T t T X xx m X + V x E Časová složka má řešení T t e iet/ e iωt, ω E/, olohová složka už závisí na otenciálu. Ten se však mění skokem, takže lze snadno řešení rozdělit na tři říady, kde k me/, k me V / : Xx Y xx x + YxYa xx x + Yx ax 3 x X x Ae ik x + Be ik x X x Ce ik x + De ik x X 3 x Ee ix + F e ix Pokud složíme z těchto dílčích funkcí celou vlnovou funkci, vyjde toto: ψx, t XxT t Y x ψa { }} { { }} { Ae ikx ωt + Be ik x+ωt + YxYa x { }} { Ce ikx ωt + + De ik x+ωt } {{ } + Yx a Ee i x ωt } {{ } + } F e ik3x+ωt {{ } ψ D ψ E ψ F Členy s A, C, E odovídají vlně letící dorava a s B, D, F doleva tak, jako na obrázku. Z těchto členů můžeme usoudit něco o roustnosti a odrazivosti otenciálové stěny. Zatím však nemáme mezi nimi žádné vztahy. Můžeme využít třeba sojitosti vlnové funkce. Časová složka je exonenciální a není na ní nic zvláštního, olohová složka je však rozdělena na tři části. A rávě na jejich styčných bodech budeme hledat odmínky sojitosti. Na levé straně stěny na souřadnici x 0 zřejmě musí latit toto: X 0 Y 0 A + B C + D X x 0 Y x 0 k A B k C D Využili jsme rovnost do rvní derivace včetně. Protože další derivace jsou jen násobky o dva stuně nižších derivací, není třeba je zohledňovat. Po úravách dostaneme tuto závislost součinitelů C, D na A, B: C A + k + B k k k D A k + B + k k k Na ravé straně stěny v x a vyjdou trochu složitější vztahy: X a X 3 a Ce ika + De ik a Ee ik3a + De ia X x a X 3x a k Ce ika De ika Ee ik3a F e ik3a ψ B ψc

6 Tyto rovnice určují vztahy mezi C, D a E, F. Označme K e ika, K 3 e ik3a. EK 3 CK + k + D/K k F/K 3 CK k + D/K + k Po dosazení[ do ředchozích vztahů vyjdou vztahy] ro [ A, B a E, F : ] EK 3 A + k 4 k + k K + k k k /K + B k 4 k + k K ++ k k k /K [ ] [ ] F/K 3 A + k 4 k k K + k k + k /K + B k 4 k k K ++ k k + k /K Vztahy můžeme trochu zjednodušit, rotože otenciál bude mít jen dvě úrovně, totiž 0 a V, tedy k [, jak již bylo uvedeno. Po označení ] K [ e ika vznikne: ] EK A + k 4 k + k k K + k k k k /K + B k 4 k + k k K ++ k k k k /K [ ] [ ] F/K A + k 4 k k k K + k k + k k /K + B k 4 k k k K ++ k k + k k /K Tyto vzorce jdou ještě trochu ouravit: EK 4k k {A [k + k K k k /K ] + B [k kk + k k/k ]} F/K 4k k {A [k kk + k k/k ] + B [ k k K + + k /K ]} Vlastní odrazivost a roustnost je dána oměry hustoty toku ravděodobnosti. Ta je určena vztahem j i m Pro jednotlivé složky vlnové funkce dostaneme ψ d dx ψ ψ d dx ψ ψ A... j A + k A ψ m C... j C + k C ψ m E... j E + k E m ψ B... j B k B ψ m D... j D k D ψ m F... j F k F m Pokud ůjde o stěnu, na kterou řistuuje částice vyjádřená vlnovou funkcí zleva, bude F 0 a j F 0. Proustnost bude P j E /j A a odrazivost O j B /j A. Nyní zkusme řidat ještě jednu otenciálovou stěnu stejně širokou, jako je ta ředchozí a, ale začínající v b. Je třeba dolnit čtvrtou souřadnicovou složku X 4 x Ge ikx ik + He x s těmito okrajovými odmínkami: A y V B C D E F G 0 a b H b+a x X 3 b Y 4 b Ee ikb + F e ik b Ge ikb + He ik b X 3x b Y 4x b k Ee ikb F e ikb k Ge ikb He ikb Vztahy mezi E, F a G, H jsou skoro stejné jako mezi C, D a E, F. Označme L e ikb, L e ikb. GL EL + k + F/L k k k H/L EL k + F/L + k k k

7 Předchozí říkad nedává říliš řehledné výsledky, roto by bylo dobré zkusit výočet s jiným otenciálem, který je všude nulový, jen v okolí bodů vzdálených od sebe o vzdálenost L je integrál z otenciálu odle souřadnice roven A. V x Aδx nl n Postu řešení je odobný, jako v ředchozím říkladě. Schrödingerova rovnice má shodnou odobu: i d ψx, t Ĥψx, t; dt Ĥ ˆ m + ˆV x Oět je třeba searovat roměnné a získat toto řešení: ψx, t XxT t Yx nly x nl L [ A n e iknx ωt + B n e iknx+ωt] n Amlituda vlnové funkce řicházející na otenciálovou šičku je A n, odcházející B n. K určení vztahů mezi jednotlivými hodnotami A n, B n jsou oět otřeba okrajové odmínky. Oět to bude sojitost Xx v x nl. Sojitost rvní derivace nelze kvůli otenciálu zaručit. nl+ε/ nl ε/ ψx, t dx ψnl + ε/, t ψnl ε/, t x x x Tento integrál umožňuje tento roblém obejít. Protože však víme, co je ψ, můžeme to dosadit ze stacionární Schrödingerovy rovnice: nl+ε/ nl ε/ ψx, t me V xψx, t x m E V xψx, t m ε 0 nl+ε/ nl ε/ m AψnL, t dx ψx, t E n Podmínka sojitosti Xx v x 0 aby se snáz očítalo dá tento vztah: Potom zřejmě latí: X I. x A e ikx + B e ikx X II. x A e ikx L + B e ikx L X I. 0 X II. 0 A +B A e ikl + B e ikl Aδx nl X II. 0+ X m I. 0 AX II. 0 ika e ikl B e ikl A e 0 + B e 0 ma A e ikl + B e ikl Z těchto rovnic lze získat jejich sečtením a odečtením římo matici roustnosti ro amlitudy: A e ikl + ma i ma e ikl k k B i ma e ikl e A ikl ma B k k } {{ } Z Otázka nyní zní, za jakých odmínek bude řada zrcadel záření volně roouštět. Není žádoucí, aby se záření někde ztrácelo, ani aby se odráželo. A n B n A n+ B n+ A n A n+ B n B n+

8 Lze to zajistit třeba tak, že A n, B n T bude vlastní vektor matice Z s vlastní hodnotou λ. Podstatná je ta vlastní hodnota rovná komlexní jednotce, jedině tak rojde vlna soustavou zrcadel bez odrazu. e ikl + ma k λ i mae ikl k i ma e ikl e ikl ma k k λ 0 Z rovnice ro determinant vyjde rovnice ro vlastní hodnoty: λ λ [e ikl + i ma + e ikl i ma ] + 0 k k Exonenciály lze řesat omocí goniometrických funkcí: [ λ λ cos kl + ma ] sin kl + 0 k Aby latilo λ, musí být diskriminant nulový ak může být λ dvojnásobný kořen, nebo záorný ak může být obecná komlexní jednotka. Tedy [ 4 cos kl + ma ] sin kl 4 0 k ma cos kl + sin kl k