Logika. 1. cvičení. Matematika 1, NMMA701, Ondřej Bouchala

Transkript

1 Logika 1. cvičení Teorie: Konjunkce A B A B Disjunkce A B A B Implikace A B A B Ekvivalence A B A B Příklady: 1. Bylo vyloupeno skladiště, pachatel (pachatelé) odvezli lup autem. Policie zadržela tři podezřelé A, B a C, nikdo jiný do loupeže zapojen nebyl. Po výslechu se zjistily tyto dvě skutečnosti: a) C se nikdy nepouští do akce bez A. b) B neumí řídit auto. Je A vinen? 2. Totéž, zjistilo se: a) A pracuje vždycky aspoň s jedním společníkem. b) C je nevinen. Je B vinen? 3. Co vyplývá z těchto zjištěných faktů: a) Pokud je A vinen a B nevinen, pak je C vinen. b) C nikdy nepracuje sám. c) A nikdy nepracuje s C. d) Kromě A, B a C není do případu zapleten nikdo další, a aspoň jeden z těch tří je vinen. (Kteří z obviněných jsou určině nevini a kteří jsou určitě vini?) 4. Majitel klenotnictví nahlásil krádež, zjistilo se tohle: a) Každý z trojice A, B a C byl v den loupeže v obchodě, a nikdo další tam nebyl. b) Pokud je vinen A, měl právě jenoho společníka. c) Pokud je B nevinen, je nevinen i C. d) Pokud jsou vinni právě dva, pak jedním z nich je A. e) Pokud je C nevinen, je nevinen i B. Co lze z toho usoudit? 1

2 5. Tentokrát byli předvedeni k výslechu čtyři podezřelí, A, B, C a D. Opět šlo o loupež. Bylo známo, že alespoň jeden z nich je vinen, a že do loupeže není zapletený nikdo další. Dále vyšly najevo tyhle skutečnosti: a) Pokud je B vinen, pak měl právě jednoho společníka. b) Pokud je C vinen, pak měl právě dva společníky. c) A je nevinen. Zajímá nás, zdali je vinen D. 6. Zapište následující výroky pomocí symbolů, a vyplňte tabulku pravdivostních hodnot: a) Pokud je A vinen, pak B byl jeho společníkem. b) Pokud je A nevinen, pak je B vinen. c) Pokud jsou A i B oba vinni, pak C byl jejich společníkem. d) Pokud je A vinen, pak alespoň jeden z B a C byl jeho společníkem. e) Pokud je B vinen, pak buď C byl jeho společníkem, nebo je A nevinen. f) Pokud je B nevinen, pak A je vinen a C nevinen. 7. Naopak, najděte výroky, které odpovídají zadaným tabulkám A B? A B C? A B? A B C? A B? A B C? Nechť M značí množinu všech mužů a Ž značí množinu všech žen. Uvažujme následující výrokové formy: S(m, z) : Muž m je manželem ženy z. L 1 (m, z) : Muž m miluje ženu z. L 2 (m, z) : Žena z miluje muže m. Pomocí kvantifikátorů, logických spojek a forem S, L 1 a L 2 vyjádřete následující tvrzení: a) Eistuje vdaná žena. 2

3 b) Každý ženatý muž miluje svou manželku. c) Eistují nevěrné manželky. (To jest takové, které milují někoho jiného než svého manžela.) d) Každou ženu miluje nějaký muž. e) Eistuje žena, kterou milují všichni muži, kteří nejsou ženatí. f) Eistuje pár, ve kterém se navzájem milují, ale kde nejsou sezdaní. g) Každá žena ma nejvýše jednoho manžela. Dále následující výroky přeložte do češtiny: h) m M z Ž : S(m, z) i) z Ž m M : L 1 (m, z) L 2 (m, z) j) z Ž m M : L 2 (m, z) L 1 (m, z) 9. Rozhodněte o správnosti následujících výroků a napište jejich negace: a) N y N z N: (z > ) (y < z) b) y N N z N: (z > ) (y < z) c) N y N z N: (z > ) (y < z) d) N y N z N: (z < ) (y > z) 10. Na ostrově žijí dva druhy lidí (dva kmeny), padouši vždy lžou, a poctivci vždy mluví pravdu. Na cestě narazíte na dvě osoby, A a B. A prohlásí Aspoň jeden z nás je padouch.. Z jakých kmenů jsou A a B? 11. Opět potkáte A a B. Tentokráte A řekne Buď já jsem padouch, nebo B je poctivec. Co jsou A a B? 12. Tentokráte jsem potkal jednoho ostrovana, který řekl Buď jsem já padouch, nebo 2 a 2 je 5. Jak to bude? 13. Dostali jste se na onom ostrově do svízelné situace. Jste uvězněni, a máte na výběr ze dvou dveří. Jedny vedou na svobodu, druhé na popraviště. Hlídá vás smíšená stráž, to jest po jednom člověku z každého ze dvou kmenů, vy ale nevíte který je který. Jednoho z nich se můžete zeptat na jednu otázku. Jaká to má být otázka, aby jste se dozvěděli, kterými dveřmi se dostanete na svobodu? 14. A co kdyby jste byli ve stejné situaci, avšak strážný tam byl jenom jeden (z neznámo kterého kmenu)? Jakou otázku mu máte položit nyní? kcd 246, 3

4 Logika 1. cvičení Výsledky: 1. Ano. 2. Ano. 3. B je určitě vinen, u ostatních se to neví. 4. Nemohlo se to takhle stát majitel klenotnictví kecal. 5. Ano. 6. a) A B b) A B c) (A B) C d) A (B C) e) B (C A) f) B (A C) A B C a) b) c) d) e) f) B ( A) (A B) (A B) 8. a) z Ž m M : S(m, z) b) m M z Ž : S(m, z) L 1 (m, z) c) z Ž : ( m 1 M : S(m 1, z)) ( m 2 M : L 2 (m 2, z) S(m 2, z)) d) z Ž m M : L 1 (m, z) ( ) e) z 1 Ž m M : z 2 Ž : S(m, z 2 ) L 1 (m, z 1 ) f) z Ž m M : S(m, z) L 1 (m, z) L 2 (m, z) g) z Ž m 1 M m 2 M : (S(m 1, z) S(m 2, z)) (m 1 = m 2 ) h) Eistuje svobodný muž. i) Eistuje žena, která nemiluje žádného z mužů, kteří milují ji. j) Eistuje žena, která není milována žádným z mužů, které miluje ona. 4

5 9. a) Výrok je pravdivý, jeho negací je N y N z N: (z > ) (y z). b) Výrok je pravdivý, jeho negací je y N N z N: (z > ) (y z). c) Výrok není pravdivý, jeho negací je N y N z N: (z > ) (y z). d) Výrok je pravdivý, jeho negací je N y N z N: (z < ) (y z). 10. A je poctivec a B je padouch. 11. Oba dva jsou poctivci. 12. Já (jakožto zadavatel úlohy) jsem z kmene padouchů. 13. Kdybych se zeptal toho druhého, jestli ty levé dveře vedou na svobodu, co by mi odpověděl? 14. Kdybych se tě zeptal, jestli ty levé dveře vedou na svobodu, co by jsi mi odpověděl? 5

6 Rovnice, nerovnice 2. cvičení Teorie: Pro každou dvojici reálných čísel a y platí takzvaná trojúhelníková nerovnost: + y + y, popřípadě pro každou dvojici a, b platí a b a b. Příklady: 1. Řešte v R následující nerovnosti: a) b) +2 > c) > 0 d) log 2 ( ) > 0 e) log 1 3 ( ) 0 2. Najděte všechna reálná řešení rovnice log log 3 (9 3 ) = log V závislosti na parametru a R najděte všechna reálná čísla, která splňují: a) a(a 1) < b) 2 + a < 0 c) + a = 2a + 1 d) a 4 a = 1 2 a e) 2 2(a + 4) + a 2 + 6a = 0 f) Řešte nerovnici 1 a + 1 < 2 v závislosti na parametru a R. 5. Určete množinu { a R : R: ( 2 1) ( 2 a > 5) }. 6. V závislosti na parametru c najděte všechna reálná, která splňují, že ( log + c π 2, π ). 2 6

7 7. Načrtněte grafy funkcí: a) b) c) tan( π) d) sin(2 ) 1 e) log 1 8. Zjednodušte pro n N: 2 n+3 ( n ) ( 0 + n ) ( 1 + n 2 ) + + ( n n) 9. Pro n N je definován výraz V(n) = log 2 n log 2 n 1 + log 2 n ( 1) n 1 log 2. a) Vyjádřete jediným členem V(3). b) Vypočtěte podíl V(5) V(4). c) Vypočtěte rozdíl V(100) V(99). α. Najděte všechna reálná řešení rovnice β. Načrtněte grafy funkcí: a) b) c) d) π πφ+1, kde φ = 1+ 5 φ 2 log 2 7(y 2 + 2y + 1) + log 7 ( (y + 1) 48 ) = log 7 (49 26 ). =

8 Rovnice, nerovnice 2. cvičení Výsledky: 1. a) (4, 6] b) ( c) d) R ( 1 13 e) [1, 2] 2. {9, 27}, , ) ) ( 6, 3) ( 1+ ) 5, 2 3. a) a {0, 1}, R, nebo a (0, 1), > a(a 1), nebo a (, 0) (1, ), < a(a 1). b) a < 0, (0, a), nebo a > 0, ( a, 0). c) a 1 2, = 1 a 1 2a d) a = 2, R {0}, nebo a R { 2, 0}, = a + 2. e) = a + 4 ± 2 a + 8 f) a < 0, ( 1, 0] [ 2, 3 a a a), nebo a = 0, R, nebo a > 0, ( 3 a, 2 a] ( 0, 1 a). 5. (, 4) 6. ( e π 2 c, e π 2 c) ( e π 2 c, e π 2 c) 8

9 α. = 6 a =

10 β. 10

11 Důkazy, indukce, kvantifikátory 3. cvičení Příklady: 1. Dokažte, že, y R: y = y. 2. Dokažte, že pro n N platí vztah n(n + 1) = 3. Dokažte, že pro každé n N je číslo 5 n 1 dělitelné čtyřmi. n n Dokažte, že pro každé > 1 a pro každé přirozené n platí nerovnost (1 + ) n 1 + n. 5. Uvažujme posloupnost {a n }, kde a 1 = 3, a 2 = 7 a pro n > 2 platí a n = 3a n 1 2a n 2. Najděte vzorec pro n-tý člen této posloupnosti, a dokažte jeho správnost. 6. Mějme šachovnici s rozměry 2 n 2 n, na které chybí pravé horní políčko. Dokažte, že se dá tato šachovnice vydláždit s pomocí dílků tohoto tvaru (dílky se mohou otáčet): 7. Dokažte, že pro n 4 je počet uhlopříček konveního n-úhleníka 1 n(n 3) Vyjádřete následující výroky pomocí kvantifikátorů: a) Každý zná každého. b) Někdo zná každého. c) Každý zná někoho. d) Někoho nikdo nezná. 9. Vyjádřete co nejjednodušeji: a) ε > 0 y R: ( y 7 < 5) ( f(y) 15 < ε) b) R δ > 1 y R n N: ( y < δ) ( f() f(y) < 1 n ) 10. Nechť f : R R je funkce. O f řekneme, že je nerozhodná, pokud je na nějakém otevřeném intervalu rostoucí a na nějakém otevřeném intervalu klesající. Zapište tuto definici pomocí kvantifikátorů. 11. Znegujte následující výrok: Každý si někdy rád dá jedno pivo, ale ne vždy a ne v každé hospodě. 11

12 Výsledky: 5. a n = 2 n+1 1 Důkazy, indukce, kvantifikátory 3. cvičení 8. Označme výrok osoba a zná osobu b symbolem Z(a, b), dále označme množinu všech lidí jako L. Pak: a) a L b L : Z(a, b) b) a L b L : Z(a, b) c) a L b L : Z(a, b) d) b L a L : Z(a, b) 9. a) Pro y (2, 12) platí, že f(y) = 15. b) Funkce f je na R konstantní. 10. a, b, c, d R, a < b, c < d 1, 2 (a, b), 1 < 2 t 1, t 2 (c, d), t 1 < t 2 : (f( 1 ) < f( 2 )) & (f(t 1 ) > f(t 2 )) 11. Označme symbolem V(c, t, h) výrok Člověk c si dá rád jedno pivo v čase t a v hospodě h. Pak si zadaný výrok můžeme napsat jako (kvantifikujeme vždy přes všechny lidi (c), všechny časy (t) a všechny hospody (h)): c : [( t h : V(c, t, h)) ( t h : V(c, t, h)) ( h t : V(c, t, h))] Negace tohoto je pak (s využitím pravidel pro negaci kvantifikovaných výroků a pro negaci konjunkce): c : [( t h : V(c, t, h)) ( t h : V(c, t, h)) ( h t : V(c, t, h))] Takže, když to přepíšeme do češtiny, Eistuje osoba, která si nikdy nedá ráda jedno pivo, nebo která si ho dá ráda v libovolný čas, nebo která si ho dá ráda v libovolné hospodě. 12

13 Indukce, kvantifikátory, supremum 3b. cvičení Příklady: 1. Dokažte, že pro n N platí vztah n(n + 1) = n n Uvažujme posloupnost {a n }, kde a 1 = 3, a 2 = 7 a pro n > 2 platí a n = 3a n 1 2a n 2. Najděte vzorec pro n-tý člen této posloupnosti, a dokažte jeho správnost. 3. Mějme šachovnici s rozměry 2 n 2 n, na které chybí pravé horní políčko. Dokažte, že se dá tato šachovnice vydláždit s pomocí dílků tohoto tvaru (dílky se mohou otáčet): 4. Vyjádřete následující výroky pomocí kvantifikátorů: a) Každý zná každého. b) Někdo zná každého. c) Každý zná někoho. d) Někoho nikdo nezná. 5. Nechť f : R R je funkce. O f řekneme, že je nerozhodná, pokud je na nějakém otevřeném intervalu rostoucí a na nějakém otevřeném intervalu klesající. Zapište tuto definici pomocí kvantifikátorů. 6. Vyjádřete co nejjednodušeji: a) ε > 0 y R: ( y 7 < 5) ( f(y) 15 < ε) b) R δ > 1 y R n N: ( y < δ) ( f() f(y) < 1 n ) 7. Znegujte následující výrok: Každý si někdy rád dá jedno pivo, ale ne vždy a ne v každé hospodě. 8. Najděte suprema a infima následujících množin (pokud eistují). Eistují maima a minima? { } a) p : p N, q N f) {n 2 m 2 : n N, m N, n > m} p+q b) {sin : [0, 2π]} g) {n 2 m 2 : n N, m N, n m} c) {sin : (0, 2π)} h) {2 n + 3 n : n N} d) {sin : (0, π)} i) {2 n + 3 n : n Z} e) {n 2 m 2 : n N, m N} 13 j) {5 ( 1)m 3 n : m Z, n Z}

14 Indukce, kvantifikátory, supremum 3b. cvičení Výsledky: 2. a n = 2 n Označme výrok osoba a zná osobu b symbolem Z(a, b), dále označme množinu všech lidí jako L. Pak: a) a L b L : Z(a, b) b) a L b L : Z(a, b) c) a L b L : Z(a, b) d) b L a L : Z(a, b) 5. a, b, c, d R, a < b, c < d 1, 2 (a, b), 1 < 2 t 1, t 2 (c, d), t 1 < t 2 : 6. a) Pro y (2, 12) platí, že f(y) = 15. b) Funkce f je na R konstantní. (f( 1 ) < f( 2 )) & (f(t 1 ) > f(t 2 )) 7. Označme symbolem V(c, t, h) výrok Člověk c si dá rád jedno pivo v čase t a v hospodě h. Pak si zadaný výrok můžeme napsat jako (kvantifikujeme vždy přes všechny lidi (c), všechny časy (t) a všechny hospody (h)): c : [( t h : V(c, t, h)) ( t h : V(c, t, h)) ( h t : V(c, t, h))] Negace tohoto je pak (s využitím pravidel pro negaci kvantifikovaných výroků a pro negaci konjunkce): c : [( t h : V(c, t, h)) ( t h : V(c, t, h)) ( h t : V(c, t, h))] Takže, když to přepíšeme do češtiny, Eistuje osoba, která si nikdy nedá ráda jedno pivo, nebo která si ho dá ráda v libovolný čas, nebo která si ho dá ráda v libovolné hospodě. 8. a) Supremum je 1, maimum neeistuje. Infimum je 0, minimum neeistuje. b) Supremum je 1, maimum taky. Infimum je -1, minimum rovněž. c) Supremum je 1, maimum taky. Infimum je -1, minimum rovněž. d) Supremum je 1, maimum taky. Infimum je 0, minimum neeistuje. e) Supremum, infimum, maimum ani minimum neeistuje (množina je zhora i zdola neomezená). f) Supremum ani maimum neeistuje. Infimum je 3, minimum taky. g) Supremum je 0, maimum taky. Infimum ani minimum neeistuje. h) Supremum je 5, maimum taky. Infimum je 0, minimum neeistuje. 6 i) Supremum ani maimum neeistuje. Infimum je 0, minimum neeistuje. j) Supremum ani maimum neeistuje. Infimum je 0, minimum neeistuje. 14

15 Supremum, limity 3c. cvičení Příklady: 1. Nechť f : R R je funkce. O f řekneme, že je nerozhodná, pokud je na nějakém otevřeném intervalu rostoucí a na nějakém otevřeném intervalu klesající. Zapište tuto definici pomocí kvantifikátorů. 2. Najděte suprema a infima následujících množin (pokud eistují). Eistují maima a minima? { } a) p : p N, q N f) {n 2 m 2 : n N, m N, n > m} p+q b) {sin : [0, 2π]} g) {n 2 m 2 : n N, m N, n m} c) {sin : (0, 2π)} h) {2 n + 3 n : n N} d) {sin : (0, π)} i) {2 n + 3 n : n Z} e) {n 2 m 2 : n N, m N} 3. Spočtěte následující limity: j) {5 ( 1)m 3 n : m Z, n Z} a) lim ( 2) n b) lim ( 1) n + 1 n c) lim cos(nπ) d) lim sin(nπ) 15

16 Supremum, limity 3c. cvičení Výsledky: 1. a, b, c, d R, a < b, c < d 1, 2 (a, b), 1 < 2 t 1, t 2 (c, d), t 1 < t 2 : (f( 1 ) < f( 2 )) & (f(t 1 ) > f(t 2 )) 2. a) Supremum je 1, maimum neeistuje. Infimum je 0, minimum neeistuje. b) Supremum je 1, maimum taky. Infimum je -1, minimum rovněž. c) Supremum je 1, maimum taky. Infimum je -1, minimum rovněž. d) Supremum je 1, maimum taky. Infimum je 0, minimum neeistuje. e) Supremum, infimum, maimum ani minimum neeistuje (množina je zhora i zdola neomezená). f) Supremum ani maimum neeistuje. Infimum je 3, minimum taky. g) Supremum je 0, maimum taky. Infimum ani minimum neeistuje. h) Supremum je 5, maimum taky. Infimum je 0, minimum neeistuje. 6 i) Supremum ani maimum neeistuje. Infimum je 0, minimum neeistuje. j) Supremum ani maimum neeistuje. Infimum je 0, minimum neeistuje. 3. a) 0 b) Limita neeistuje c) Limita neeistuje d) 0 16

17 Limity posloupností 4. cvičení Teorie: Nechť {a n } n=1 je posloupnost, a R. Řekneme, že A je limitou posloupnosti {a n }, pokud platí, že ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < ε. Řekneme, že limitou posloupnosti {a n } je, pokud K R n 0 N n n 0 : a n > K. A konečně řekneme, že limitou posloupnosti {a n } je, pokud K R n 0 N n N, n n 0 : a n < K. Je-li A R := R {, } limitou posloupnosti {a n }, pak to značíme symbolem lim a n = A, případně lim a n = A. Má-li posloupnost konečnou (vlastní) limitu, řekneme, že je konvergentní. Není-li tomu tak, řekneme, že je divergentní. Nechť {a n } a {b n } jsou posloupnosti, lim platí: a n = A, lim b n = B, kde A, B R, pak lim (a n + b n ) = A + B, je-li výraz na pravé straně definován. lim (a n b n ) = A B, je-li výraz na pravé straně definován. Je-li pro každé n N číslo b n nenulové, pak lim straně definován. ( a n ) b n = A, je-li výraz na pravé B Příklady: 1. Spočtěte (z definice) následující limity posloupností (pokud eistují): a) lim ( 2) n b) lim ( 1) n + 1 n c) lim cos(nπ) d) lim sin(nπ) 2. Spočtěte následující limity posloupností (pokud eistují): ( ) a) lim (n 2 2n) f) lim 3 n n b) lim 2n 2 +n 3 n 3 1 c) lim 2n 3 +6n n 3 7n+7 d) lim 2n 5 +3n 2 n 5 3n 3 +1 e) lim ( n + 1 n ) g) lim h) lim cos(n) n arctan n+n n i) lim (2 2n 3 3 n ) j) lim n 2 +2n n k) lim l) lim 3 n 2 1 n 2 n n! m) lim 3 n +n 5 n 6 +n! n) lim ( n n+2 n 2 o) lim n n ) 17

18 Limity posloupností 4. cvičení Výsledky: 1. a) 0 b) Limita neeistuje 2. a) b) 0 c) 2 d) 2 e) 0 f) 0 g) 0 h) 1 i) j) 1 c) Limita neeistuje d) 0 k) 0 l) 0 m) 0 n) 1 2 o) 1 18

19 Limity posloupností 5. cvičení Teorie: VĚTA (Aritmetika limit) Nechť {a n } a {b n } jsou posloupnosti, A, B R. Nechť lim platí, že: a n = A, lim b n = B. Pak lim (a n + b n ) = A + B, je-li výraz na pravé straně definován. lim (a n b n ) = A B, je-li výraz na pravé straně definován. Je-li pro každé n N číslo b n nenulové, pak lim straně definován. ( a n ) b n = A, je-li výraz na pravé B POZNÁMKA Pro R nejsou mj. definovány výrazy + ( ), ( ) +, 0, 0, 0, 0. VĚTA ( Nulová krát omezená) Nechť lim {a n } = 0, a posloupnost {b n } je omezená. Pak lim (a n b n ) = 0. VĚTA (O dvou strážnících) Nechť lim a n = lim b n = A. Nechť n 0 n N, n n 0 : a n c n b n. Pak lim c n = A. POZNÁMKA (Známé limity) Platí, že lim n n = 1 Je-li q ( 1, 1), pak lim q n = 0. Je-li q > 1, pak lim q n =, a je-li q 1, pak lim qn neeistuje. VĚTA Pro A, B R platí, že Dále platí, že (A + B) n = A n + ( ) n A n 1 B + 1 ( ) n A n 2 B B n. 2 A n B n = (A B) ( A n 1 + A n 2 B + + A B n 2 + B n 1). Tedy speciálně A 2 B 2 = (A B)(A + B) a A 3 B 3 = (A B)(A 2 + AB + B 2 ). 19

20 Příklady: 1. Spočtěte následující limity posloupností (pokud eistují): a) lim b) lim cos(n) n arctan n+n n c) lim (2 2n 3 3 n ) d) lim e) lim n 2 +2n n 3 n 2 1 n f) lim 3 n +n 5 n 6 +n! g) lim ( n n+2 n 2 ) 2. Spočtěte následující limity posloupností (pokud eistují): a) lim b) lim c) lim n d) lim n 6n 6 +7n n 5 24n 2 n 2 7 n +n 3 5 n 3n 7 n +6 n n ) ( 1 + 1n 1 1 n ( n n3 + 1) e) lim 2n 2 +2n+n sin(2n) n cos(3n)+(2n+sin(4n)) 2 f) lim n a pro a > 0 g) lim n a n + b n + c n, kde a, b, c > 0 h) lim ( 1) n ( n ) n + 1 n 20

21 Limity posloupností 5. cvičení Výsledky: 1. a) 0 b) 1 c) d) 1 e) 0 f) 0 g) a) b) c) 1 d) 1 e) 1 2 f) 1 g) ma{a, b, c} h) Limita neeistuje ( 21

22 Teorie: Limity posloupností 6. cvičení POZNÁMKA Pro R nejsou mj. definovány výrazy + ( ), ( ) +, 0, 0, 0, 0,. POZNÁMKA (Růstová škála) Pro q > 1 platí, že n! q n n k. DEFINICE Nechť R. (Dolní) celou částí čísla nazveme největší celé číslo, které je menší nebo rovno, tedy [] = = ma{z Z: z }. POZNÁMKA Platí, že R: 1 <. Tedy například platí: 2.3 = = 5 Pozor: a = a a a 5.93 = = 4 n = n n = n 3 = 3 2 = 2 ± a = ± a Příklady: 1. Spočtěte následující limity posloupností (pokud eistují): n (1 ) a) lim + 2 n ( ) n n 3 n g) lim n 3 b) lim n n 2 + n 3 + n n + 3 n + 4 n 1 c) lim n n 2 k=1 k d) lim (n 2 + sin n) e) lim n+ 3 n 3 n n+9 f) lim 4 n4 + 4n 3 n ( n4 + 2 n 4 + 1) h) lim i) lim (n+1)! 3n 3 3 n! 3 n n 3 +1 n 1 n +2 n +...+n n (n+7) 50 (n 2 1) 25 n 200 +n 99 1 n n j) lim ( 1) n n 3n n n 3 + 2n n 2. Spočtěte následující limity posloupností (pokud eistují) - zkoušková složitost: 3 ( 2 a) lim n n 3 +n 2 n 3 8 n +1 n b) lim n2 + n + 1 n ) n n + 3 n+n n 2 n2 +1 n+2 3. Najděte konkrétní příklady a a, pro které neplatí rovnosti ze třetí poznámky v teorii. 22

23 Limity funkcí 7. cvičení Teorie: VĚTA (Limita složené funkce) Buť c, D, A R, a nechť jsou f a g funkce. Nechť platí, že lim Nechť platí alespoň jedna z podmínek: g() = D, lim f() = A. c D Pak platí lim c f ( g() ) = A. η > 0 P(c, η): g() D f je spojitá v D. (P) (S) POZNÁMKA (Známé limity) sin tan Platí, že: lim = lim 0 lim cos 2 = 1 2. = lim 0 e 1 = lim 1 log 1 = lim 0 arcsin = lim 0 arctan = 1, a Příklady: 1. Spočtěte následující limity, nebo dokažte, že neeistují: a) lim 0 b) lim 3 c) lim 0 d) lim 7 e) lim 0 f) lim 1 g) lim 0 (1+)(1+2)(1+3) (1+m) n (1+n) m 2, (m, n N) n n 1, (n N) n 1+ 1 h) lim 0 i) lim 1 m 1+a n 1+b, (m, n N, a, b R) m 1, (m, n N) n 1 j) lim 1 ([] ) k) lim 0 [ 1 ] l) lim π 6 m) lim 0 n) lim 0 2 sin 2 +sin 1 2 sin 2 3 sin +1 1 cos 2 tan 23

24 Limity funkcí 8. cvičení Teorie: VĚTA (Limita složené funkce) Buť c, D, A R, a nechť jsou f a g funkce. Nechť platí, že lim Nechť platí alespoň jedna z podmínek: g() = D, lim f() = A. c D Pak platí lim c f ( g() ) = A. η > 0 P(c, η): g() D f je spojitá v D. (P) (S) POZNÁMKA (Známé limity) sin tan Platí, že: lim = lim 0 lim cos 2 = 1 2. = lim 0 e 1 = lim 1 log 1 = lim 0 arcsin = lim 0 arctan = 1, a Příklady: 1. Spočtěte následující limity, nebo dokažte, že neeistují (V bodech d) a e) použijte ze sin známých limit pouze lim ): 0 a) lim 1 ([] ) b) lim 0 [ 1 ] c) lim π 6 d) lim 0 e) lim 0 2 sin 2 +sin 1 2 sin 2 3 sin +1 1 cos 2 tan f) lim π 3 g) lim 0 h) lim 0 i) lim 0 j) lim 0 sin( π 3 ) 1 2 cos sin 5 sin 3 sin sin α sin β 1+sin cos 1 sin cos log(cos α) log(cos β) 2. Spočtěte následující limity, nebo dokažte, že neeistují: a) lim 0 log cos 2 b) lim ( c) lim ) 2 ( ) ( d) lim ) tan 2 0 e) lim 0 ( 1+tan ) 1 sin 2 1+sin 24

25 Spojitost a derivace 9. cvičení Příklady: 1. Spočtěte limitu lim 0 + ( ) e cos Spočtěte derivace následujících funkcí, vyšetřete spojitost, případně rozhodněte, zdali je možné funkce spojitě dodefinovat na R: a) f() = 2 sign b) f() = 3 c) f() = { 3 sin( ), když 0 d) f() = 2 3, když < 0 e) f() = 3 f) f() = e 2 (zde nepočítejte derivaci) g) f() = 2 sin 1 (zde spočtěte derivaci, pokud eistuje, pouze v nule) 3. Spočtěte derivace následujících funkcí a vyšetřete spojitost (odvážní mohou zkusit funkce spojitě rozšířit na hranici): a) ( ) 3 b) sin cos c) sin 2 + cos 2 d) ) 1 e) ( 1 f) log( ) 4. Dvě chodby široké 2 m a 5 m se křižují v pravém úhlu. Zjistěte maimální délku žebříku, který je možno přenést ve vodorovné poloze z jedné chodby do druhé. 5. Spočtěte derivace následujících funkcí a vyšetřete spojitost: a) ( ) 87 b) ( + 15) 3 ( 17) 10 9 c) e 2 +1 cos (+1) 2 log( 2 +1) d) log( ) e) sin ( cos ( ( ) 18)) f) (sin ) cos g) arcsin(sin ) h) log arccos i) arcsin + arctan +1 j) arctan e log e 2 e 2 +1 k) arctan 2 1 log 2 1 l) (arctan ) arcsin m) f() = e 1 log 25

26 Teorie: DEFINICE Vyšetřit průběh funkce znamená: I. Určit definiční obor. Průběh funkce 10. cvičení II. Provést diskuzi spojitosti (případně až s použitím derivací). III. Nalézt průsečíky s osami (eistují-li), zjistit, zdali je funkce symetrická (lichá, sudá, periodická). IV. Dopočítat limity v krajních bodech definičního oboru. V. Spočítat první derivaci (i s jejím definičním oborem), určit intervaly monotonie. VI. Nalézt lokální (a globální) etrémy, určit obor hodnot. VII. Spočítat druhou derivaci (i s jejím definičním oborem), určit intervaly, kde je funkce konvení nebo konkávní. Určit inflení body. VIII. Rozhodnout, má-li funkce nějaké asymptoty, případně je spočítat. IX. Na základě zjištěných poznatků načrtnout graf funkce. VĚTA (O infleních bodech) Nechť a R. Pokud f (a) eistuje a je nenulová, pak a není inflením bodem funkce f. Nechť l, a, p R, l < a < p. Nechť má funkce f spojitou první derivaci na intervalu (l, p). Nechť platí, že [ (l, a): f () < 0] a [ (a, p): f () > 0], nebo [ (l, a): f () > 0] a [ (a, p): f () < 0]. Pak je a inflením bodem funkce f. VĚTA [ lim ± ( ) ] [ f() (a + b) = 0 lim ± f() ] = a R lim ( ) f() a = q R ± Příklady: 1. Vyšetřete průběh funkce log ( e 2 + e 2 ). 2. Vyšetřete průběhy funkcí: a) b) 1 2 c) sin + cos 2 d) arcsin(cos 2 ) e) e f) arccos ( )