Komentáře k domácímu kolu kategorie Z9

Transkript

1 5. ročník Mtemtické olympiády Komentáře k domácímu kolu ktegorie Z9. Čtyřúhelník, který nemá žádné dvě strny stejně dlouhé, nzveme nerovnostrnným. Prvidelný dvnáctiúhelník má obsh 8 cm. Nrýsujte všechny tkové tvrově různé nerovnostrnné čtyřúhelníky s vrcholy ve vrcholech tohoto dvnáctiúhelník zjistěte obsh kždého z nich. Řešení. Dostneme celkem šest čtyřúhelníků (obr., jejich strny oznčíme, spojují-li sousední vrcholy -úhelníku,, spojují-li vrcholy -úhelníku přes jeden vrchol td.) I II ΛIII ΞIV ΠV ±VI Obr. Čtyřúhelníky I, II, III mjí stejný obsh totéž pltí pro čtyřúhelníky IV, V, VI (to lze prokázt tk, že jejich vrcholy spojíme se středem -úhelníku v obou přípdech získáme potvrzení pltnosti tvrzení čtyřúhelníky jsou složeny z týchž trojúhelníků, jejichž obshy oznčíme pro I, II, III jko S, S, S, S 5,proIV,V,VIjkoS, S, S 3 (S 6 se změní v úsečku)). S = S ABS... 8 obshu -úhelníku, tj. = 7 =6,75 (cm ). S = S BCS... je rovnostrnný trojúhelník, S = r 3 (výšk r 3). Pltí (E je vrchol -úhelníku) S BCS = S BES + S ECS S BEC, r 7 3= + 7 r ( r r ) 3, r =7 r =3 3 =5,. (cm), S = r = 3= 3 =,7 (cm ).

2 V trojúhelníku CSD spustíme kolmici z bodu S n DC; ptu oznčíme F ;získáme shodné trojúhelníky, SCF SDF (mjí úhly 60,30,90 ;přeponur; DF = = FC ); lze z nich složit SCD (obr. ), který je shodný s BCS ( SCD = BCS). S = S SCD = S SCD = S BCS = r 7. 3= 3 =,7 (cm ). Obdobně v trojúhelníku ASD spustíme kolmici z S n AD; ptu výšky oznčme G; získáme shodné trojúhelníky, ASG = DSG (s úhly 75,5,90 ); jejich složením lze získt SDA (obr. ), který je shodný s SAB ( SDA = SAB). Proto První tři čtyřúhelníky tedy mjí obsh S 5 = S = 7 =6,75 (cm ). S + S + S + S 5 = = 7 (+ 3 ). =36,88 (cm ). Pro čtyřúhelníky IV, V, VI bude S = S + S + S 3 (+S 6 =0).JižznámeS = 7, S = 7 3, trojúhelník sobshems 3 je rovnormenný prvoúhlý pltí S 3 = r = 9 3=7. Druhé tři čtyřúhelníky mjí obsh S = = 7 (3+ 3 ). =3,9 (cm ). A G S A B D D Obr. F E C (Poznámk: Má-li řešitel znlosti o goniometrických funkcích, lze obshy počítt pomocí sinů kosinů bez náročnějšího uvžování.). Ve finále Zelení třikrát vyhráli umístili se n. místě s celkovým skóre 7:. Červení dosáhli skóre :3, Modří 3:3. Poslední Hnědí prohráli všechny tři zápsy jejich celkové skóre bylo :6. Vyplňte tbulku, víte-li ještě, že Zelení porzili Zelení Červení Modří Hnědí Zelení Červení Modří Hnědí skóre Červené 3:0 že Červení i Modří právě jednou vyhráli, jednou prohráli jednou remizovli.

3 Řešení. Pokud zneseme všechny známé informce do tbulky dostneme Zelení Červení Modří Hnědí skóre Zelení 3:0 7 : 3 výhry Červení 0:3 : 3 výhr, remíz, prohr Modří 3 : 3 výhr, remíz, prohr Hnědí :6 3prohry Uvžujme nyní Červené, kteří ještě mjí rozdt : 0 (by měli skóre : 3). Jednou mjí remizovt to je možné jen s Modrými výsledkem 0 : 0. Pk le musí nd Hnědými vyhrát : 0. Doplníme tbulku dostneme Zelení Červení Modří Hnědí skóre Zelení 3:0 7: Červení 0:3 0:0 :0 :3 Modří 0:0 3:3 Hnědí 0: :6 Uvžujme Modré, kteří mjí rozdt 3 : 3. Musí vyhrát nd Hnědými, le mohou od nich dostt mximálně gól. Musí prohrát se Zelenými přitom jim mohou dát mximálně gól. Odtud je zřejmé, že Hnědým musí dát spoň góly ( nebo 3). Máme tk následující možnosti: Modří : Hnědí Modří : Zelení závěr Hnědímjíztímskóre:5, 3: 0: se Zelenými by měli prohrát 0 : SPOR (Zelení by měli 6 : 0) Hnědímjíztímskóre0:5, 3:0 0:3 se Zelenými by měli hrát : SPOR (mjí třikrát prohrát) Hnědímjíztímskóre:, : : se Zelenými budou hrát 0 : VYHOVUJE ZADÁNÍ Hnědímjíztímskóre0:, :0 :3 se Zelenými by měli hrát : SPOR (Zelení by měli skóre 8 : ) 3

4 Hledná tbulk má tvr Zelení Červení Modří Hnědí skóre Zelení 3:0 : :0 7: Červení 0:3 0:0 :0 :3 Modří : 0:0 : 3:3 Hnědí 0: 0: : :6 3. Osově souměrný pětiúhelník s obshem 7 cm má právě tři vnitřní úhly prvé právě tři strny shodné. Zjistěte velikosti dlších dvou vnitřních úhlů pětiúhelník délku některé z trojice shodných strn. Řešení. Os musí procházet středem jedné strny protějším vrcholem: 3 strny shodné strn, jejímž středem prochází os, dvojice souměrně položených strn ( možnosti, obr. 3 ) 3 úhly prvé úhel, jehož vrcholem prochází os, dvojice souměrně položených úhlů ( možnosti, obr. 5 6) ΦObr. 3 ΩObr. 5 ΨObr. ffobr. 6 Zdá se, že by mohl být řešení. Situce z obr. 6 nemůže nstt, vyšrfovný trojúhelník by měl být rovnostrnný zároveň prvoúhlý.. možnost (obr. 7) ( ) S =. + =7 =,65. Tři shodné strny o velikosti,65 cm, dv úhly po 35, zbylé dvě strny měří 3,3 cm.. možnost (obr. 8) ( ) S = 3 =7 =7 =6. x =., x =,8.

5 x 5 35 x fiobr flobr. 8 ffiobr. 9 Tři shodné strny o velikosti 6 cm, dv úhly po 35, zbylé dvě strny měří,8 cm. 3. možnost (obr. 9) S = ( + ) ( ) =7 (5+ ) =7 =3,8.. Tři shodné strny o velikosti 3,8 cm, dv úhly po 35, zbylé dvě strny měří 5,5 cm. Odpověď :Úlohmátřiřešení: ) délk shodných strn je,65 cm; dlší vnitřní úhly měří 35, ) délk shodných strn je 6 cm; dlší vnitřní úhly měří 35, 3) délk shodných strn je 3,8 cm; dlší vnitřní úhly měří 35.. Moje mmink se nrodil Je to pěkné dtum, pltí totiž 6 3=8. Ve kterých letech 0. století bylo tkových pěkných dt nejvíce? Řešení. Žáci budou odpověď hledt experimentálně. Budou vyšetřovt přednostně t čísl, která mjí co nejvíce dělitelů. Správná odpověď je, že nejvíc 7 pěkných dt bylo v roce 9 (..,.., 8. 3., 6..,. 6., 3. 8.,..) K odpovědi mohou přidt i roky, kde bylo 6 pěkných dt: 9 (.., 6..,. 3., 3..,. 6.,..), 930 (30.., 5.., 0. 3., 6. 5., 5. 6., 3. 0.), 936 (8..,. 3., 9.., 6. 6.,. 9., 3..), 98 (.., 6. 3.,.., 8. 6., 6. 8.,..), 960 (0. 3., 5..,. 5., 0. 6., 6. 0., 5..), 97 (. 3., 8..,. 6., 9. 8., 8. 9., 6..). K odpovědi mohou žáci krom zkoumání (hrní si s čísly) dojít částečně i úvhmi: Njdou-li pokusným zkoumáním, že npř. rok 90 má 5 pěkných dt (0.., 0.., 5..,. 5.,. 0.), mohou své odpovědi pk doplnit o určitá tvrzení, npř.: (T ) Hledné roky nebudou mít jko poslední dvojčíslí prvočíslo p, neboť pk by měly nejvýše pěkná dt (. p., p..). 5

6 (T ) Hledné roky nebudou mít poslední dvojčíslí rovné součinu prvočísel pq, neboťby pk měly nejvýše pěkná dt (pq.., p. q., q. p.,.pq.). Díky T pk ze zkoumání vyloučí všechny roky, kde poslední dvojčíslí tvoří prvočíslo, tj. roky 90, 903, 905, 907, 9, 93, 97, 99, 93, 99, 93, 937, 9, 93, 97, 953, 959, 96, 967, 97, 973, 979, 983, 989, 997 (5 možností). T vyloučí součiny dvou prvočísel, které tvoří poslední dvojčíslí (menší než sto), tj. p... vyřdí roky 90, 906, 90, 9, 9, 96, 93, 938, 96, 958, 96, 97, 98, 986, 99 3 p... vyřdí roky 909, 95, 9, 933, 939, 95, 957, 969, 987, p... vyřdí roky 95, 935, 955, 965, 985, p... vyřdí roky 99, 977, 99 Vyřdíme i roky 90 (jen pěkné dtum) 000. Tk je vyřzeno úvhou 6 čísel zbývá jich k prozkoumání 39. Přípdně mohou žáci dojít i k tvrzení T 3 (výjimečně): (T 3 ) Rovná-li se poslední dvojčíslí roku součinu tří prvočísel b c ( b c) je-li =zároveňb c >5 nebo >zároveňb c >, může mít tkový rok mximálně 5 pěkných dt (nemůže mít dt. bc., bc..,. bc., lejenpřípdně bc.., b. c., c. b., c. b., b. c.) vyloučíme je ze zkoumání, tj.: pro = b c>5... vyřdí roky: 9, 95, 968, 976, 99 (tvr p) 9, 966, 978 (tvr 3 p) 950, 970 (tvr 5 p) 998 (tvr 7 p) pro > b c>... vyřdí roky: 95, 963, 999 (tvr 3 3 p) 975 (tvr 3 5 p) tedy celkem ještě 5 roků. K prozkoumání zbyde čísel. Tbulk počtu pěkných dt: (roky uvádíme posledním dvojčíslím zpisujeme i důvod vyřzení ze zkoumání: p jde o prvočíslo, s součindvouprvočísel, T podle tvrzení T 3 ). V rámečku jsou roky, které po využití tvrzení T, T, T 3 zbývjí ke zkoumání. Poznámk: Porovnej s. příkldem ktegorie Z6. počet pěkných dt p 0 0 p 0 s 06 s 8 p 3 p 03 p 09 s p 7 p 05 p s 0 s p 9 p 07 p 5 s p 3 p p s s 9 p 5 s s T 7 59 p 3 p 6 s p 3 s 33 s s 38 s 35 s T p 39 s 5 T 5 T 96 7 p 6 s 55 s 50 T 73 p 9 s s 5 s 75 T 66 T 79 p 57 s 77 s 70 T 8 s 65 s 78 T 8 83 p 68 T 99 T s 69 s 89 p 76 T 9 s 85 s 97 p 87 s 00 9 s 9 T 93 s 95 s 98 T 5. Ke kždé stěně krychle s hrnou délky jsme přilepili tkový prvidelný čtyřboký jehln, že vzniklo těleso s stěnmi. Kolik má toto těleso vrcholů? O kolik procent má slepené těleso větší objem než původní krychle? Řešení. Stěny přilepených jehlnů musí n sebe nvzovt proto stěn jehlnu musí svírt s podstvou úhel 5. 6

7 Je zřejmé, že výšk jehlnu je. V JEHLANU = 3 = 3 6. Nové těleso má objem V = = 3,původní krychle má objem V KRYCHLE = 3.Objemse zvětšil o 00 %. Nd kždou stěnou původní krychle přibyl jeden vrchol. Nové těleso má celkem vrcholů (8 původních, 6 nových). fflobr. 0 Odpověď : Vzniklé těleso má vrcholů o 00 % větší objem. Poznámk: Žáci mohou doplnit, že těleso má stěn tvru kosočtverce (o strně 3, úhlopříčky, ), povrch je 6 ; hrn je. 6. Ostrov obrů má stejně obyvtel jko Ostrov trpslíků. Ani n jednom z těchto ostrovů nežijí dvě stejně těžké bytosti kromě dvou obrů dvou trpslíků má kždý n svém ostrově dv kmrády, z nichž jeden je o kg těžší druhý o kg lehčí. Dv nejtěžší trpslíci váží dohromdy tolik jko nejlehčí obr, tři prostřední trpslíci váží dohromdy stejně jko prostřední obr čtyři nejlehčí trpslíci tolik co 8. nejtěžší obr. Zjistěte, kolik obyvtel má Ostrov trpslíků o kolik kilogrmů je nejtěžší obr těžší než nejlehčí trpslík. Řešení.. způsob zčneme odprostředního. Obyvtel musí být lichý počet tj. k +; k + je prostřední (před ním je jich k, z ním též). Nechť prostřední trpslík váží t (kg). Prostřední obr váží jko tři prostřední trpslíci, tedy (t ) + t +(t +)=3t, pk le nejlehčí obr váží 3t k. Nejtěžší trpslík váží t + k druhý nejtěžší trpslík váží t + k, ob dohromdy váží t +k, což je stejně jko váží nejlehčí obr (odtud první rovnice) t +k =3t k. Nejtěžší obr váží 3t +k. Pk 8. nejtěžší obr musí vážit 3t +k. Nejlehčí trpslík váží t k,čtyřinejlehčítrpslícivážídohromdy(t k)+(t k +)+(t k +)+ +(t k +6)=t 8k +, což je právě tolik jko 8. nejtěžší obr. Odtud dostáváme druhou rovnici t 8k +=3t +k. Máme tedy soustvu dvou rovnic: t +k =3t k, t 8k +=3t +k. Řešení soustvy je k = 6, t = 3. Nyní je už dokončení příkldu sndné. Obyvtel je 6 + = 3; nejtěžší obr váží 3t +k = 0 + =, nejlehčí trpslík váží t k =3 = kg. Odpověď : N ostrově trpslíků je 3 obyvtel nejtěžší obr je o = 9 kg těžší než nejlehčí trpslík. 7 x 5

8 Poznámk: Žáci si pro kontrolu mohou sestvit tbulku pořdí podle hmotnosti u trpslíků uobrů způsob obvyklejší, le zde si složitější. Všech obyvtel n kždém z ostrovů je n =k + ; prostřední bude (k +)-ní, tedy k = n n+, k + =. Předpokládejme, že nejlehčí trpslík váží t nejlehčí obr o.pk prostřední trpslík váží t +( n+ ) tři prostřední trpslíci váží dohromdy ( n + ) ( n + ) t + + t + + t + n + ; což je tolik, co váží prostřední obr, o +( n+ ). Tk dostáváme první rovnici 3t +n =o. Dv nejtěžší trpslíci váží jko nejlehčí obr (druhá rovnice) t +(n ) + t +(n ) = o, tj. t +n 6=o. Čtyři nejlehčí trpslíci váží tolik, co 8. nejtěžší obr (třetí rovnice) t +(t +)+(t +)+(t +6)=o +(n 8), tj. t n +8=o. (Vyřešením soustvy dostneme hledný výsledek.) 8