Diferencovatelné funkce

Transkript

1 Přednáška 5 Diferencovatelné funkce Jak jsme se zmínili v minulé přednášce, je lavní myšlenkou diferenciálnío počtu naradit danou funkci y = f) v okolí bodu a polynomem V této přednášce se budeme podrobně zabývat tím, jak nejlépe naradit funkci polynomem prvnío stupně, tj lineární funkcí nebo geometricky, jak naradit graf funkce v okolí bodu přímkou Nect je dána funkce y = f) a bod a, který je vnitřním bodem definičnío oboru Uvažujme přímku y = A + q Jestliže cceme, aby přímka procázela bodem [ a; fa) ], musí mít rovnice této přímky tvar y = A a) + fa) Rozdíl mezi odnotou funkce y = f) a přímkou y = A a) + fa) v bodě je roven f) fa) A a) = Z) 1) Když zavedeme odcylku bodu od danéo bodu a, = a =, dostaneme z 1) fa + ) fa) A = Z) ) Funkce Z) je pro dané a funkce proměnné a závisí samozřejmě na tom, jak zvolíme směrnicí přímky, tj A Snaa je, aby byla odnota absolutní zbytku Z) pro malá co nejmenší To se vyjadřuje tím, že požadujeme, aby Z) 0 = 0 Z těcto úva dostaneme následující definici Definice Nect je dána funkce y = f) a bod a, který je vnitřním bodem D f Jestliže eistuje A R takové, že Z) 0 = 0, kde Z) = fa + ) fa) A, 3) nazývá se funkce y = f) diferencovatelná v bodě a a lineární funkce dfa; ) = A proměnné se nazývá diferenciál funkce f) v bodě a tj Je-li funkce y = f) diferencovatelná v bodě a plyne z 3) 0 = 0 Z) = 0 fa + ) fa) A Definice Jestliže eistuje konečná ita fa + ) fa) A = 0 fa + ) fa) = A, 0 f fa + ) fa) a) =, 4) 0 1

2 nazývá se derivace funkce f) v bodě a Je zřejmé, že platí Věta Funkce f) je diferencovatelná v bodě a právě tedy, když má v bodě a derivaci a její diferenciál v bodě a je dfa; ) = f a) 5) Je-li funkce f) diferencovatelná v bodě a, nazývá se přímka y fa) = f a) a) 6) tečna ke grafu funkce y = f) v bodě [ a; fa) ] Tedy derivace f a) funkce f) v bodě a je geometricky směrnice tečny ke grafu funkce y = f) v bodě [ a; fa) ] Protože směrnice přímky kolmé k tečně je 1, je přímka f a) y fa) = a f a), tj a + f a) y fa) ) = 0 7) normála ke grafu funkce y = f) v bodě [ a; fa) ] Rovnice tečny ke grafu funkce y = f) v bodě [ a, fa) ] je v rovině y dána vztaem 6) Jestliže přesuneme počátek souřadnic do bodu [ a, fa) ] a nové osy označíme a df, přejde rovnice tečny na rovnici 5) Diferenciál funkce y = f) v bodě a je tedy vlastně rovnice tečny v takto posunutýc souřadnicíc Při výpočtec se ukazuje výodné používat místo proměnné značku d a psát diferenciál funkce y = f) ve tvaru dfa) = f a) d 8) a derivaci jako f a) = df d a) Zatím jsme zavedli pouze derivace funkce y = f) v bodě a, který je vnitřní bod definičnío oboru D f Na množině všec bodů, ve kterýc eistuje derivace lze definovat funkci f, která přiřazuje každému bodu této množiny derivaci funkce f v tomto bodě, tj f ) Taková funkce se nazývá derivace funkce f) Definice Funkce y = f) se nazývá diferencovatelná na množině M, je-li diferencovatelná v každém bodě množiny M Je-li funkce f) diferencovatelná na množině M, nazývá se funkce f : M R definovaná předpisem f ) derivace funkce na množině M Poznámka: Pro zobrazení f : X Y množiny X R do množiny Y R k, tj f) = f1 ), f ),, f k ) ), je derivace f ) = f 1), f ),, f k) ), tj derivuje se každá složka zobrazení f) zvlášt, a diferenciál df, ) = f ) = f 1), f ),, f k) ) = df 1, ), df, ),, df k, ) )

3 se počítá jako diferenciály jednotlivýc složek Definici a geometrický význam diferenciálu a derivace zobrazení f) uvedeme později, až uvedeme geometrickou, resp fyzikální, interpretaci zobrazení R do R k Věta Je-li funkce f) diferencovatelná na množině M, je na množině M spojitá Důkaz: Je-li a M je funkce f) diferencovatelná v bodě a Proto je a D f romadný bod D f Musíme tedy dokázat, že fa + ) = fa) To ale dostaneme itou 0 0 ve vztau 3) Derivace funkcí se počítají tak, že známe derivace některýc základníc funkcí nazpamět a pro derivace složitějšíc funkcí používáme vztay, které jsou obsaem následujícíc vět Je věcí každéo, jaké derivace považuje za základní a jaké za složitější Rozodně byste měli znát všecny derivace funkcí uvedené ve skriptec a používat vztay uvedené v následujícíc dvou větác Věta Nect jsou funkce f) a g) diferencovatelné na množině M a α, β R Pak 1 je funkce αf) + βg) diferencovatelná na množině M a αf) + βg) ) = αf ) + βg ) ; 9) je funkce f) g) diferencovatelná na množině M a f) g) ) = f ) g) + f) g ) ; 10) 3 je-li g) 0, je funkce f) g) diferencovatelná na množině M a f) g) ) = f ) g) f) g ) 11) g ) Věta Nect je funkce f : X Y diferencovatelná na množině X a funkce g : Y Z diferencovatelná na množině Y Pak je na množině X diferencovatelná složená funkce = g f, tj ) = g f) ), a platí ) = g f) ) f ) 1) Vzta 1) se často píše ve tvaru, který se lépe pamatuje Označme z = zy) a y = y) Pak lze formálně napsat dz d = dz dy dy d, 13) kde ale musíme dosadit za y = y) Příklad Najděte derivaci funkce f) = sin 1 + e Řešení: Nejprve jde o to, jak budeme cápat funkce f) Například když cápeme funkci f) jako složenou z funkcí z = sin y a y = 1 + e, dostaneme z 13) dz d = dz dy dy d = cos y dy d = cos 1 + e dy d 3

4 Funkci y můžeme cápat jako složenou funkci z funkcí y = u a u = 1 + e Pak je dy d = dy du du d = 1 u du d = 1 du 1 + e d I funkci u lze cápat jako složenou z funkcí u = 1 + e v a v = Proto je Když to všecno složíme, dostaneme du d = du dv dv d = ev = e f ) = cos 1 + e e 1 + e Příklad: Najděte definiční obor a derivaci funkce f) = sin ) Řešení: Funkce f) je definována vztaem f) = sin ) = e lnsin ) Proto je její definiční obor množina D f = { R ; sin > 0 } = k Z kπ, k + 1)π ) a její derivace f ) = e lnsin ) lnsin ) + cos ) = sin ) lnsin ) + cotg ) sin Nect je funkce f) vzájemně jednoznačná a g) je její inverzní funkce Pak pro každé D f podle definice platí g f) ) = Označme y = f) Podle věty o derivaci složené funkce plyne z tooto vztau dg dy df d = 1 Z definice inverzní funkce plyne, že = gy) Tedy je-li f ) 0, je Obecně platí následující věta o derivaci inverzní funkce: g y) = 1 f ) = 1 f gy) ) 14) Věta: Nect je f : X Y vzájemně jednoznačná funkce Nect je f ) 0 pro každé X a inverzní funkce g : Y X je spojitá na množině Y Pak je funkce g diferencovatelná na množině Y a platí 14) 4

5 Příklad: Najděte derivaci funkce y = arcsin Řešení: Funkce gy) = arcsin y je inverzní k funkci f) = sin zúžené na interval 1 π, 1 π Protože f ) = cos je na intervalu 1 π, 1 π) nenulová a funkce arcsin y je spojitá na intervalu 1, 1), je funkce arcsin y diferencovatelná na intervalu 1, 1) Její derivaci lze získat derivací vztau arcsinsin ) =, který platí pro 1 π, 1 π Jestliže označíme y = sin, dostaneme darcsin y) dy Pro cos 0, tj 1 π, 1 π) je dsin ) d = darcsin y) dy darcsin y) dy = 1 cos cos = 1 Do tooto vztau musíme ještě dosadit za proměnnou Ale protože pro 1 π, 1 π) je cos = 1 sin = 1 y, dostaneme pro y 1, 1) arcsin y ) = 1 1 y Derivaci jsme definovali pro vnitřní body definičnío oboru funkce f) oboustrannou itou 4) Jestliže v definici budeme uvažovat pouze jednostranné ity, dostaneme jednostranné derivace funkce Takovým způsobem se definují derivace v krajníc bodec D f patří-li krajní bod do D f ) Definice Jestliže eistuje ita f +a) fa + ) fa) =, resp f fa + ) fa) 0 + a) =, 0 nazýváme ji derivací zprava, resp derivací zleva funkce f) v bodě a Podobně jako pro ity platí následující věta Věta Derivace funkce f) v bodě a eistuje právě tedy, když eistují obě jednostranné derivace a jsou si rovny Příklad: Najděte derivaci funkce f) = e +1 Řešení: Funkce f) je definována jako { e +1 pro 1, f) = e 1 pro 1 Tedy pro > 1 je f ) = e +1 a pro < 1 je f ) = e 1 Protože podle definice je f + 1) = 0 + f 1 + ) f 1) f 1) = 0 f 1 + ) f 1) = 0 + e 1 = 0 e 1 5 = 0 + e 1 = 0 e 1 = 1, = 1,

6 derivace funkce f) v bodě = 1 neeistuje Poznámka Obecně nelze najít derivaci funkce f) v bodě a tak, že spočítáte derivaci funkce f) a pak dosadíte = 0 Například pro funkci f) = { sin 1 pro 0, 0 pro = 0, je pro 0 f ) = sin 1 cos 1, do které bod = 0 dosadit nelze Molo by se zdát, že derivaci f 0) neeistuje Ale podle definice je f 0) = 0 sin 1 = 0, a tedy f 0) = 0 Problém je v tom, že derivace funkce nemusí být spojitá, což většinou mlčky předpokládáte Věty o střední odnotě diferenciálnío počtu Následující tři věty, zejména Lagrangeova věta, rají v diferenciálním počtu velmi důležitou roli, protože z nic plyne velmi mnoo vlastností diferencovatelnýc funkcí Proto je uvedeme i s jejic důkazem Sournně se tyto věty nazývají věty o střední odnotě diferenciálnío počtu Věta Rolleova věta o střední odnotě) Nect je funkce f) spojitá na uzavřeném intervalu a, b, má derivaci v každém bodě otevřenéo intervalu a, b) a platí fa) = fb) Pak eistuje bod c a, b) takový, že f c) = 0 Důkaz: Protože je funkce f) spojitá na uzavřeném omezeném intervalu a, b, eistují podle Weierstrassovy věty body m, M a, b takové, že pro každé a, b platí f m ) f) f M ) Jsou-li oba tyto body krajní body intervalu, plyne z podmínky fa) = fb), že je funkce f) na intervalu a, b konstantní, a proto je její derivace rovna nule v každém bodě c a, b) Nect je alespoň jeden z bodů m nebo M vnitřní bod intervalu a, b Nect je to například bod M Protože je M a, b), eistuje v něm podle předpokladů derivace f M ) Nect je f M ) > 0 Podle definice ity eistuje k ε = 1 f M ) > 0 číslo δ > 0 takové, že pro každé a, b), pro které je 0 < M < δ, platí nerovnost 0 < 1 f M ) < f) f M) M Ale pro > M plyne z této nerovnosti, že f) f M ) > 0, tj f) > f M ), což je ve sporu s výběrem bodu M Podobně se ukáže, že předpoklad f M ) < 0 vede k tomu, že pro < M je f) > f M ), což není možné Protože f M ) eistuje a není ani kladné ani záporná, musí být f M ) = 0 6

7 Další dvě věty o střední odnotě jsou v podstatě důsledky Rolleovy věty Věta Lagrangeova věta o střední odnotě) Nect je funkce f) spojitá na uzavřeném intervalu a, b a má derivaci v otevřeném intervalu a, b) Pak eistuje c a, b) takové, že fb) fa) = f c) b a) 15) Důkaz: Sestrojíme funkci F ) = b a) f) fa) ) a) fb) fa) ) Z předpokladů o funkci f) plyne, že je funkce F ) spojitá na uzavřeném intervalu a, b, má derivaci v každém bodě otevřenéo intervalu a, b) a platí F a) = F b) = 0 Proto splňuje funkce F ) předpoklady Rolleovy věty, a tedy eistuje c a, b) takové, že což je rovnost 15) F c) = b a) f c) fb) fa) ) = 0, Uvedeme některé důsledky Lagrangeovy věty Víme, že derivace funkce f) = c = konst je rovna nule Z Lagrangeovy věty plyne, že konstantní funkce jsou na intervalu jediné funkce, jejíž derivace je rovna nule Nect je I = a, b) interval, f ) = 0 pro každé I a 0 I Pro každé I je funkce f) na intervalu 0, spojitá a má derivaci v každém bodě intervalu 0, ) Podle Lagrangeovy věty eistuje c 0, ) takové, že f) f 0 ) = f c) 0 ) = 0, protože f c) = 0 Tedy pro každé I je f) = f 0 ), tj f) je konstantní Příklad: Najděte intervaly, na kterýc je funkce f) = arctg + arctg ) konstantní a určete její odnotu na těcto intervalec Řešení: Definiční obor funkce f) je D f =, 1) 1, + ) Protože funkce f) je na intervalu I konstantní právě tedy, když je její derivace f ) = 0 pro každé I, budeme ledat intervaly, na kterýc je f ) = 0 Derivací vztau 16) dostaneme f ) = ) 1) = ) 1) + + 1) ) 1) = 0 1 Protože f ) = 0 pro každé, 1) = I a 1, + ) = I +, je funkce na těcto intervalec konstantní Její odnotu dostaneme tak, že dosadíme jednu, libovolnou, odnotu I a + I + Protože = 0 I a f0) = arctg 0 + arctg 1) = 1π, je f) = 1 π pro < Hodnotu funkce na intervalu I + lze najít například tak, že dosadíme + = + Pak dostaneme f) = arctg + arctg = 1π + arctg 1 = 3π 4 7

8 Další použití Lagrangeovy věty je při důkazu některýc nerovností Příklad: Ukažte, že když je f ) > 0 pro každé I, kde I je interval, je funkce f) na intervalu I rostoucí Řešení: Nect jsou 1 < dva libovolné body z intervalu I Protože je funkce f) splňuje na intervalu 1, předpoklady Lagrangeovy věty, eistuje c 1, ) takové, že f ) f 1 ) = f c) 1 ) > 0, protože f c) > 0 a 1 < Podobně se ukáže, že když má funkce f) na intervalu I derivaci f ) < 0, je na intervalu I klesající Poznámka: Diferenciál funkce f) v bodě a, který je vnitřní bod definičnío oboru funkce f), je v podstatě rovnice tečny ke grafu funkce a derivace směrnice tečny Směrnice přímky rozoduje o tom, zda je lineární funkce rostoucí nebo klesající Proto rozoduje znaménko derivace o monotonii funkce f) V předcozím případě jsme vlastně dokázali následující větu Věta Jestliže má funkce f) na intervalu I kladnou zápornou) derivaci, je na intervalu I rostoucí klesající) Definice Vnitřní body definičnío oboru funkce f), ve kterýc je f ) = 0, se nazývají stacionární body funkce f) Je zřejmé, že ve stacionárníc bodec je tečna ke grafu funkce y = f) rovnoběžná s osou Tvrzení následující věty, která se používá při ledání lokálníc etrémů funkce f), je snad zřejmá Věta Nect je 0 stacionární bod funkce f) Jestliže eistuje δ > 0 takové, že 1 pro každé 0 δ, 0 ) je f ) > 0 a pro každé 0, 0 +δ) je f ) > 0, nemá funkce f) v bodě 0 lokální etrémů a funkce f) je na intervalu 0 δ, 0 + δ) rostoucí; pro každé 0 δ, 0 ) je f ) > 0 a pro každé 0, 0 + δ) je f ) < 0, má funkce f) v bodě 0 lokální maimum; 3 pro každé 0 δ, 0 ) je f ) < 0 a pro každé 0, 0 + δ) je f ) > 0, má funkce f) v bodě 0 lokální minimum; 4 pro každé 0 δ, 0 ) je f ) < 0 a pro každé 0, 0 +δ) je f ) < 0, nemá funkce f) v bodě 0 lokální etrémů a funkce f) je na intervalu 0 δ, 0 + δ) klesající Trocu jinak postupujeme při ledání globálníc etrémů, tj největší a nejmenší odnoty, spojité funkce na kompaktní množině M, například na uzavřeném omezeném intervalu a, b Základem je následující jednoducá věta Věta Je-li 0 vnitřní bod množiny M a f 0 ) 0, nemá funkce f) v bodě 0 na množině M globální etrém 8

9 Důkaz: Je-li f 0 ) > 0, eistuje k ε = 1 f 0 ) > 0 podle definice derivace δ > 0 takové, že pro každé M, pro které je 0 < 0, platí 0 < f 0 ) < f) f 0) 0 Protože je 0 vnitřní bod množiny M eistují 1 < 0 a > 0 taková, že 0 < f 1) f 0 ) 1 0 a 0 < f ) f 0 ) 0 Tedy platí f 1 ) < f 0 ) < f ) a funkce f) nemá v bodě 0 globální etrém Je-li f 0 ) < 0, vybereme ε = 1 f 0) > 0 a dostaneme nerovnost f) f 0 ) < f 0 ) 0 < 0, ze které plyne, že eistují 1, M, 1 < 0 <, pro které platí f 1 ) > f 0 ) > f ) Proto nemá ani v tomto případě funkce f) v bodě 0 globální etrém Máme-li najít etrémy spojité funkce f) na kompaktní množině, víme z Weierstrassovy věty, že eistují body m, M M, ve kterýc funkce dosauje maima a minima, a z předcozí věty víme, že je-li bod m nebo M vnitřním bodem M, není v něm derivace funkce f) různá od nuly Proto nás při ledání největší a nejmenší odnoty spojité funkce na kompaktní množině uzavřeném a omezeném intervalu a, b ) budou zajímat tyto body: 1 raniční body množiny M; speciálně v případě intervalu a, b body a a b; vnitřní body množiny M, pro které je f ) = 0; 3 vnitřní body množiny M, pro které derivace neeistuje Do této skupiny lze zařadit i body, v nicž derivaci z nějakéo důvodu nepočítáme Takto dostaneme jistou podmnožinu M 0 M, v jejicž bodec může nabývat spojitá funkce f) na kompaktní množině M největší a nejmenší odnotu Je-li množina M 0 konečná, lze největší a nejmenší odnotu funkce na množině M najít jako nejmenší a největší odnotu z konečné množiny fm 0 ) Příklad: Najděte nejmenší a největší odnotu funkce f) = sin na intervalu 1 π, 1 π Řešení: Protože je funkce f) spojitá na kompaktním intervalu 1π, 1 π, eistují v tomto intervalu body, ve kterýc nabývá funkce f) nejmenší a největší odnotu Do první skupiny patří krajní body intervalu, tj 1 = 1 π a = 1 π Pro > 0 je f) = sin a pro < 0 dostaneme f) = sin Protože pro > 0 je f ) = 1 cos, je f ) = 0 na intervalu 0, 1 π pouze v bodě 3 = 1π 3 Na intervalu 1π, 0) nemá rovnice f ) = 1 cos = 0 řešení Proto do drué skupiny patří pouze bod 3 9

10 Protože jsme v bodě = 0 nepočítali derivaci, ostatně tam ani neeistuje, zařadíme jej do třetí skupiny, tj 4 = 0 Funkce f) může nabývat nejmenší a největší pouze v jednom z bodů 1,, 3 nebo 4 Protože f 1 ) = 1 π +, f ) = 1 π, f 3) = 1 3 π 3, f 4 ) = 0, nabývá funkce f) = sin na intervalu 1 π, 1 π největší odnotu 1 π + v bodě = 1 π a nejmenší odnotu 1 3 π 3 v bodě = 1 3 π Často budete při výpočtec it používat jeden důsledek tzv Caucyovy věty o střední odnotě Věta Caucyova věta o střední odnotě) Nect jsou funkce f) a g) spojité na uzavřeném intervalu a, b a mají derivaci v každém bodě a, b) Jestliže g ) 0 pro každé a, b), eistuje c a, b) takové, že fb) fa) gb) ga) = f c) g c) 17) Důkaz: Uvažujme funkci F ) = f) fa) ) gb) ga) ) fb) fa) ) g) ga) ) Z předpokladů plyne, že je funkce F ) spojitá na uzavřeném intervalu a, b a má derivaci v každém bodě otevřenéo intervalu a, b) A protože F a) = F b) = 0 splňuje funkce F ) předpoklady Rolleovy věty Tedy eistuje c a, b) takové, že f c) gb) ga) ) g c) fb) fa) ) = 0 Abycom dokázali vzta 17), musíme tuto rovnost vydělit g c) gb) ga) ) Podle předpokladů je g c) 0 a stačí dokázat, že gb) ga) Nect platí gb) = ga) Pak ale funkce g) splňuje na intervalu a, b předpoklady Rolleovy věty, a tedy eistuje c a, b), pro který je g c) = 0 To je ale spor, a tedy gb) ga) Jedním z důsledků Caucyovy věty o střední odnotě je tzv l Hospitalovo pravidlo Věta l Hospitalovo pravidlo) Nect je f) = g) = 0 nebo g) = + a a a Nect jsou funkce f) a g) diferencovatelné v nějakém prstencovém okolí P a) bodu a a pro všecna P a) je g f ) ) 0 Pokud eistuje, eistuje také ita a g ) f) a g) a platí f) a g) = f ) a g ) 18) V případě f) = g) = 0 se l Hospitalovo pravidlo dokazuje použití Caucyovy věty o střední odnotě na a a výraz f) g) f) fa) = g) ga) = f c), kde c a, ), g c) 10

11 a proto jsou podmínky f) = g) = 0 podstatné V případě g) = + a a a není důkaz l Hospitalova pravidla tak jednoducý Příklad: Najděte itu sin 19) 0 3 Řešení: Jedná se o itu typu 0 0 Protože funkce f) = sin a g) = 3 splňují předpoklady uvedené věty, je sin 0 3 = 0 cos 1 3, pokud eistuje ita vpravo Protože se opět jedná o itu typu 0, použijeme ještě 0 jednou l Hospitalovo pravidlo a dostaneme sin 0 3 = 0 cos 1 3 = 0 sin 6 = 1 6 Molo by se zdát, že není třeba umět počítat ity bez použití l Hospitalova pravidla Ale znalost některýc it nám často velmi usnadní výpočet Například když máme počítat itu 0 sin ln1 + ) e 1) arcsin, je přímé použití l Hospitalova pravidla pracné, protože jmenovatel je poměrně složitá funkce Při výpočtu této ity je jednodušší psát 0 sin ln1 + ) e 1) arcsin = sin 0 3 sin = ln1 + ) 0 e 1 0 ln1 + ) e 1 arcsin = arcsin = = 1 6 sin Navíc, například ity jako 0 definice derivace v bodě nula, 0 e 1 arcsin, 0 a podobně jsou vlastně Jsou i jiné případy, kdy pomocí l Hospitalova pravidla nedostaneme itu Například podle l Hospitalova pravidla je = = + + 1, což je sice pravda, ale nevede to k nalezení ity Přímo škodlivé je používat l Hospitalovo pravidlo automaticky bez ověření předpokladů Například nelze psát = , 11

12 protože se nejedná o itu typu 0 0 nebo protože ita vpravo neeistuje cos + + sin = 1 + sin cos Abycom moli použít l Hospitalovo pravidlo na itu typu 0, musíme jej nejprve převést na podíl Obvykle se používá obratu 0 = 1 nebo = 1 0 Postup budeme ilustrovat na jednom příkladu ) Příklad: Najděte itu + π arccos 1 Řešení: Protože arccos 0 = 1 π, jedná se o itu typu 0 Abycom moli použít l Hospitalovo pravidlo, převedeme výraz na zlomek Too lze dosánout tak, že pro 0 napíšeme = 1 Pak dostaneme 1 π arccos 1 ) π arccos 1 =, což je ita typu 0, na kterou již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo 0 Abycom se vynuli složitějšímu derivovaní, je při výpočtu této ity výodné položit y = 1 Protože 1 0 lze použít větu o itě složené funkce a psát π arccos = y 0 + π arccos y y = = y y Také ity typu lze často převést na podíl a následně k jejic výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo 1 Příklad: Najděte itu 0 sin cotg ) Řešení: Jedná se zřejmě o itu typu Abycom moli použít l Hospitalovo pravidlo budeme snažit přepsat výraz v itě jako podíl To lze udělat například takto: 1 sin cotg = 1 sin cos sin To je pro 0 výraz typu 0 Proto je sin cotg ) sin cos = 0 sin Protože druá ita je rovna 1, dostaneme 1 0 sin cotg ) = 3 0 sin cos = 0 sin 3 = 3 = sin cos sin sin cos = sin 1 cos + sin = = 0 3 ) sin = 3 0 1