Úvod Rozpo tové omezení Preference a uºitek Volba Projevené preference. Teorie spot ebitele. Rostislav Stan k. October 9, 2012.

Transkript

1 October 9, 2012

2 Dv ásti teorie spot ebitele: co si mohou dovolit rozpo tové omezení nejlep²í podle preferencí spot ebitele Co chceme s touto teorií d lat? Testovat ji. Zjistit, zda adekvátn popisuje spot ební chování. Zjistit, jak se m ní chování p i zm nách v ekonomickém prost edí. Pouºít pozorované chování k odhadu parametr, coº umoºní analýzu výnos a náklad nebo p edpovídat vliv ur itého politického opat ení.

3 Spot ební ko² Pokud uvaºujeme pouze dva statky (1 a 2) spot ební ko² (x 1, x 2 ) ukazuje, jak velké mnoºství obou statk spot ebováváme. Rozpo tové omezení m ºeme zapsat jako p 1 x 1 + p 2 x 2 m. Dosaºitelné spot ební ko²e jsou ko²e, které nestojí víc neº m. Mnoºina dosaºitelných spot ebních ko² je rozpo tová mnoºina. ƒasto chápeme statek 2 jako kompozitní statek = peníze, které spot ebitel utrácí za ostatní statky. Rozpo tové omezení s kompozitním statkem: p 1 x 1 + x 2 m.

4 Linie rozpo tu Linie rozpo tu je p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. M ºe být také zapsaná jako x 2 = m p 2 p 1 p 2 x 1. Sklon linie rozpo tu = náklady p íleºitosti statku 1.

5 Zm na p íjmu R st m posune linii rozpo tu rovnob ºn sm rem nahoru. Pr se ík se svisou osou se zvý²í a sklon se nem ní.

6 Zm na ceny Po zvý²ení p 1 bude linie rozpo tu strm j²í. Pr se ík se svislou osou se nezm ní a sklon se zvý²í.

7 Numeraire M ºeme libovolnou cenu nebo p íjem znormovat na hodnotu 1 a upravit ostatní prom nné tak, aby se nezm nila linie rozpo tu. Linie rozpo tu: p 1 x 1 + p 2 x 2 = m Stejná linie rozpo tu pro p 2 = 1: Stejná linie rozpo tu pro m = 1: p 1 p 2 x 1 + x 2 = m p 2. p 1 m x 1 + p 2 m x 2 = 1. Cena znormovaná na 1 se nazývá numeraire. Uºite né pro m ení relativních cen.

8 P íklad 2 Petr má rozpo tové omezení p 1 x 1 + p 2 x 2 = m 1 Napi²te, jak bude vypadat nové Petrovo rozpo tové omezení, pokud dostane dávku (pau²ální dotaci) s ve vý²i poloviny svého p íjmu m a zárove je uvalena na statek 2 da z p idané hodnoty t ve vý²i 50 %. 2 Polep²il si Petr t mito zm nami? M ºeme to z t chto informací v bec zjistit?

9 P íklad 4 Radovan má bratrance Arnieho. Arnie si za své kapesné kupuje plastové bazuky a ma ety v místním hra ká ství. Pokud utratí celý sv j rozpo et, m ºe získat 4 bazuky a 3 ma ety. Bazuky stojí dvakrát tolik co ma ety. Tento m síc rodi e Arniemu dali dvojnásobné kapesné. Pokud si bude chtít nadále kupovat 4 bazuky, kolik ma et si m ºe maximáln po ídit?

10 P íklad 5 alamoun kaºdý den udílí lidem rady. Za den m ºe ud lit maximáln 30 rad a za kaºdou dostane jeden ²ekel st íbra. Jeho ºivotním cílem je postavit chrám. Jedna cihla do chrámu stojí 3 ²ekele. 1 Napi²te rovnici alamounova denního rozpo tového omezení. Nakreslete alamounovu linii rozpo tu, u které bude na vodorovné po et rad R a na svislé ose po et cihel C. Vyzna te mnoºinu spot ebních moºností. 2 Jak se zm ní rozpo tové omezení a linie rozpo tu, pokud bude mít alamoun krom p íjmu z udílení rad je²t p íjem z daní, který obná²í 90 ²ekel za den? 3 Jak se zm ní rozpo tové omezení a linie rozpo tu z bodu (b), pokud bude ze svého p íjmu z udílení rad odvád t chrámovou da ve vý²i 20 %?

11 Preference Preference jsou vztahy mezi spot ebními ko²i. Preference porovnávají celé spot ební ko²e, nikoli individuální statky. P edpoklady zaji² ující konzistentnost spot ebitelských preferencí: Úplnost: m ºeme srovnat kaºdé dva spot ební ko²e: (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ), nebo (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ), nebo oboje. Reexivita: kaºdý spot ební ko² je alespo tak dobrý jako on sám: (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) Tranzitivita: pokud je ko² X alespo tak dobrý jako Y a Y alespo tak dobrý jako Z, potom X je alespo tak dobrý jako Z: pokud (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) a (y 1, y 2 ) (z 1, z 2 ), potom (x 1, x 2 ) (z 1, z 2 )

12 Indiferen ní k ivky Slab preferovaná mnoºina jsou v²echny spot ební ko²e, které jsou slab preferované p ed ko²em (x 1, x 2 ). Indiferen ní k ivku tvo í v²echny spot ební ko²e, pro které platí, ºe je spot ebitel indiferentní mezi t mito ko²i a ko²em (x 1, x 2 ).

13 Tvary indiferen ních k ivek Víte jak vypadají indiferen ní k ivky 1 Dokonalých substitut 2 Dokonalých komplement 3 Neºádoucího statku 4 V p ípad nasycení Obvykle p edpokládáme, ºe rozumn se chovající preference, které jsou Monotónnost indifere ní k ivky jsou klesající Konvexnost indifere ní k ivky jsou konvexní

14 Mezní míra substituce Mezní míra substituce (MRS) je sklon indiferen ní k ivky: MRS = x 2 / x 1 = dx 2 /dx 1. Problém se znaménkem p irozené znaménko je záporné, protoºe indiferen ní k ivky mají obvykle záporný sklon.

15 Mezní míra substituce (pokra ování) MRS m í, jak je spot ebitel ochotný nahrazovat statek 1 statkem 2 Pokud máme striktn konvexní preference, indiferen ní k ivky mají sniºující se mezní míru substituce Jiná interpretace: mezní ochota zaplatit kolik statku 2 jsem ochotný zaplatit za mezní jednotku statku 1. Obzvlá² p irozená interpretace pokud je statek 2 kompozitní statek m ený v korunách. Není to stejné jako kolik spot ebitel musí zaplatit.

16 P íklad 4 Udo spot ebovává pivo a bavorské klobásky. Preferuje vºdy více piva p ed mén pivem, ale z klobásek se mu asem za ne d lat ²patn. Dokud jich sní mén neº 20, chutnají mu tak, ºe by byl ochotný je sm ovat v konstantním pom ru 2 klobásky za 1 pivo. Pak se jich ale p ejí a kaºdou dal²í klobásu by byl ochotný sníst jen v p ípad, ºe by mu za ni n kdo zaplatil jedno pivo. Udo obvykle za ve er na Oktoberfestu vypije 10 piv a sní 10 klobás. Dnes Udo na sout ºi jedlík spo ádal 24 klobás. Kolik si bude muset dát piv, aby se cítit stejn dob e jako obvykle?

17 Uºitková funkce Uºitková funkce p i azuje kaºdému spot ebnímu ko²i ur ité íslo tak, ºe více preferované spot ební ko²e dostávají vy²²í ísla neº mén preferované ko²e. Jestliºe (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ), potom u(x 1, x 2 ) > u(y 1, y 2 ). Tabulka ukazuje r zná p i azení uºitku, která popisují stejné preference:

18 Monotónní transformace Pozitivní monotónní transformace f (u) je libovolná rostoucí funkce. P íklady: f (u) = 3u, f (u) = u + 3, f (u) = u 3. Jestliºe u(x 1, x 2 ) je uºitková funkce, která popisuje ur ité preference, potom f (u(x 1, x 2 )) popisuje stejné preference. Pro? Protoºe u(x 1, x 2 ) > u(y 1, y 2 ), jen kdyº f (u(x 1, x 2 )) > f (u(y 1, y 2 )). Uºitková funkce reprezentuje ur ité preference. Jak získáme preference z uºitkové funkce? Jak získáme uºitkovou funkci z preferencí?

19 P íklad 5 Kamila Pilná chce mít vºdy co nejvíc bod. Chodí na cvi ení k Ing. Slavíkovi, který má na cvi eních dv pr b ºné písemky. Do kone né známky v²ak po ítá pouze body z písemky, která dopadla lépe. 1 Napi²te její uºitkovou funkci, pokud b 1 jsou body z první a b 2 body z druhé písemky. Jaký tvar budou mít Kamiliny indiferen ní k ivky mezi kombinacemi bod z první a druhé písemky? 2 Jak bude vypadat její uºitková funkce, pokud bude chodit do cvi ení k Ing. Krkavcovi, který naopak zapo ítává pouze hor²í výsledek z obou písemek? Jaký tvar budou mít její indiferen ní k ivky?

20 P íklad 3 Udo chodí kaºdý rok na Oktoberfest s kolegou z práce Jürgenem. Udo má rád pivo a pije ho rychle. Je mu jedno, jestli ho pije z p llitru nebo z tupláku. Naproti tomu Jürgen nemá rád zv tralé pivo. Kdyº mu Udo p inese tuplák, vypije polovinu a polovinu vylije pod st l. 1 Pokud po et p llitr ozna íme p a po et tuplák t, jak by mohla vypadat Udova a Jürgenova uºitková funkce? 2 Jakou budou mít mezní míru substituce, pokud po et tuplák vyzna íme na vodorovné ose?

21 Mezní uºitek Mezní uºitek (MU) je zm na uºitku z nár stu spot eby jednoho statku, zatímco mnoºství ostatních statk je konstantní. Parciální derivace - derivace u(x 1, x 2 ) podle x 1, zatímco x 2 z stává stejné zacházíme s ním jako s konstantou. P íklady: Jestliºe u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2, pak MU 1 = u/ x 1 = 1. Jestliºe u(x 1, x 2 ) = x a 1 x 1 a 2, pak MU 1 = u/ x 1 = ax a 1 1 x 1 a 2. D leºité: Velikost mezního uºitku závisí na tom, jakou uºitkovou funkci (monotónní transformaci) si zvolíme. Kdyº vynásobíme uºitkovou funkci 2x, i mezní uºitek se zvý²í 2x hodnota mezního uºitku nemá ºádný význam. Ale MU je úzce svázaný s MRS a tento pojem je uºite ný.

22 Vztah mezi MU a MRS Chceme zm it MRS = sklon indiferen ní k ivky u(x 1, x 2 ) = k, kde k je konstanta. Zajímá nás taková zm na ( x 1, x 2 ), pro kterou bude uºitek konstantní. Tedy MU 1 x 1 + MU 2 x 2 = 0. u x 1 x 1 + u x 2 x 2 = 0. Tedy x 2 x 1 = MU 1 MU 2. MRS umíme spo ítat z uºitkové funkce.

23 P íklad 2 Alenka z í²e div spot ebovává pouze houby h a dortíky d. Alen iny indiferen ní k ivky mají rovnici d = konstanta 6 h, kde vy²²í konstanta odpovídá vy²²í indiferen ní k ivce. 1 Napi²te Alen inu uºitkovou funkci. Jak se jmenují tyto preference? 2 Spo ítejte mezní míru substituce v bodech (h, d) = (4, 9) a (9, 6). 3 Vykazuje tato Alen ina indiferen ní k ivka klesající mezní míru substituce?

24 P íklad 8 Toto jsou uºitkové funkce vybraných pohádkových postav: Rampa McQuack: U(x, y) = xy; Jerry: U(x, y) = xy(1 xy); Tom: U(x, y) = 1000xy ; Dulík: U(x, y) = 1/(10 + xy); Pat: U(x, y) = x/y; Mat: U(x, y) = xy. 1 Které postavy mají stejné indiferen ní k ivky jako Rampa McQuack? 2 Které postavy mají stejné preference jako Rampa McQuack?

25 Optimální volba V bod optimální spot eby nikdy linie rozpo tu neprotíná indiferen ní k ivku. Vnit ní e²ení: MRS = pom r cen = p 1 p 2

26 Optimální volba II Ale co kdyº? Rohové e²ení Zalomená k ivka Nasycené preference Nekonvexní preference Jak postupovat? V d t, jak vypadají preference v daném p ípad a zda mám ekat n co "zvlá²tního". Pom ºe znát "typické" uºitkové funkce a preference, které reprezentují. Vy e²it jako speciální p ípad nebo MRS = p 1 p 2

27 Spot ebitelská poptávka Optimální volba spot ebního ko²e = poptávaný spot ební ko². Kdyº budeme m nit ceny a p íjem, získáme poptávkovou funkci. Poptávková funkce bude záviset na cenách a p íjmu: x 1 (p 1, p 2, m) x 2 (p 1, p 2, m) R zné preference budou generovat r zné poptávkové funkce.

28 P íklad: Dokonalé substituty Pokud jsou statky 1 a 2 dokonalé substituty, které je spot ebitel ochotný sm ovat v pom ru 1:1, poptávka po statku 1 je m/p 1 kdyº p 1 < p 2 ; x 1 = jakékoliv íslo mezi 0 a m/p 1 kdyº p 1 = p 2 ; 0 kdyº p 1 > p 2.

29 P íklad: Dokonalé komplementy Pokud jsou statky 1 a 2 dokonalé komplementy a spot ebitel nakupuje mnoºství x obou statk (levá a pravá bota), m ºeme odvodit poptávkovou funkci z následujícího rozpo tového omezení: p 1 x + p 2 x = m x 1 = x 2 = x = m p 1 + p 2.

30 P íklad: Lhostejné a neºádoucí statky Spot ebitel utrácí v²echny peníze na ºádoucí statky a nekupuje ºádné lhostejné nebo neºádoucí statky. Pokud je statek 1 ºádoucí statek a statek 2 lhostejný nebo neºádoucí statek, poptávky jsou x 1 = m p 1 a x 2 = 0.

31 P íklad: Konkávní preference Te na nefunguje podobn jako u dokonalých substitut. Nap. olivy a zmrzlina.

32 P íklad: Cobb-Douglasovy preference Cobb-Douglasova uºitková funkce je u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2. Je vhodné pouºívat logaritmy Cobb-Douglasovy uºitkové funkce u(x 1, x 2 ) = ln(x c 1 x d 2 ) = c ln x 1 + d ln x 2. Problém, který chceme vy e²it je max c ln x 1 + d ln x 2. x 1,x 2 p i omezení p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Pokud pouºijeme vztah MRS = p 1 /p 2, získáme dv rovnice o dvou neznámých: cx 2 dx 1 = p 1 p 2, a p 1 x 1 + p 2 x 2 = m.

33 P íklad: Cobb-Douglasovy preference (pokra ování) e²ením t chto rovnic jsou Cobb-Douglasovy poptávkové funkce x 1 = c m, x 2 = c + d p 1 d c + d P íhodná vlastnost: Cobb-Douglas v spot ebitel utrácí na kaºdý statek pevný podíl svého p íjmu: p 1 x 1 m = p 1 c m = c m c + d p 1 c + d p 2 x 2 m = p 2 m d c + d m p 2 = m p 2 d c + d. Výhodné pouºívat Cobb-Douglasovu uºitkovou funkci ve tvaru u(x 1, x 2 ) = x a 1 x 1 a 2, kde parametr a udává podíl p íjmu ur ený na statek 1.

34 P íklad 1 Karlík Bucket má uºitkovou funkci U = x S x C, kde S jsou su²enky a C je okoláda. Cena jedné okolády je 20 K a cena jedné su²enky je 5 K. Karlík pochází z chudých pom r má kapesné jen 20 K za m síc. Kolik su²enek a okolád Karlík spot ebuje, pokud bude maximalizovat uºitek p i svém rozpo tovém omezení?

35 P íklad 2 Karlíkova kamarádka Veruka Saltini je rozmazlenámá kapesné 1200 K za m síc. Je ale také spo ivá. Nakupuje pouze okoládu za 20 K za kus a zbytek pen z si dává do prasátka. Její uºitkovou funkce je U(x P, x C ) = x P + 64x C xc 2, kde P jsou u²et ené peníze a C jsou okolády. Kolik bude optimální u²et ená ástka?

36 P íklad 3 August Gdoule má následující uºitkovou funkci: U(x H, x Z ) = x 2 H + 2x Z, kde H jsou hamburgery a Z je zmrzlina. August má kapesné 300 K za týden. Jeden hamburger ho stojí 50 K a jedna zmrzlina 25 K. Jaká bude Augustova optimální spot eba hamburger a zmrzliny.

37 P íklad 4 Miki Telekuk jí p i sledování televize pouze su²enky Telka a Tuc. Kaºdý balí ek su²enek Telka je ochotný vym nit za dva balí ky su²enek Tuc. Kaºdý den za su²enky utratí 80 korun. V era si koupil dvoje Telky a jedny su²enky Tuc. Jaké jsou ceny t chto su²enek?

38 P íklad 5 Fialka Garderóbová spot ebovává pouze zvýka ky Pedro P a Hubba Bubba H. Její uºitková funkce je min{p + 2H, 2P + H}. 1 V pond lí má Fialka k dispozici 100 K. Kolik si koupí ºvýka ek Pedro a Hubba Bubba, pokud je cena obou ºvýka ek 10 K. 2 V úterý se ceny zvýka ek Pedro zm nily. Pokud si koupila 2 ºvýka ky Pedro a 3 ºvýka ky Hubba Bubba, kolik korun Fialka v úterý utratila na ºvýka ky.

39 P íklad 6 Franta chodí kaºdý ve er do hospody. Má k dispozici 200 K, které utrácí pouze za pivo za 20 K a za utopence za 25 K. Franta má uºitkovou funkci U(P, U) = [(P 6) 2 + (U 2) 2 ], kde P je po et piv a U po et utopenc. 1 Kolik spot ebuje piva a utopenc za ve er? 2 Kolik jich spot ebuje, pokud se jeho p íjem zvý²í na 250 K?

40 Motivace projevených preferencí V p edchozím výkladu jsme z preferencí odvozovali chování spot ebitele. V realit ale nem ºeme preference p ímo pozorovat. Projevené preference pracují obrácen z chování odvozují preference. Pokud chceme odvodit preference z chování lidí, musíme p edpokládat, ºe se preference v dob, kdy pozorujeme toto chování, nem ní. V této ásti p edná²ky také p edpokládáme, ºe preference jsou striktn konvexní tím dostaneme jediný poptávaný spot ební ko².

41 My²lenka projevených preferencí Jestliºe vybereme (x 1, x 2 ), kdyº (y 1, y 2 ) je dosaºitelný, potom víme, ºe (x 1, x 2 ) je lep²í neº (y 1, y 2 ). Formáln ji: Jestliºe vybereme (x 1, x 2 ) p i cenách (p 1, p 2 ) a (y 1, y 2 ) je takový ko², ºe p 1 x 1 + p 2 x 2 p 1 y 1 + p 2 y 2, a jestliºe spot ebitel vybírá nejpreferovan j²í spot ební ko², který si m ºe dovolit, potom platí, ºe (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ).

42 Slabý axiom projevených preferencí (WARP) Slabý axiom projevených preferencí: Jestliºe (x 1, x 2 ) je p ímo projevený jako preferovaný p ed (y 1, y 2 ), potom (y 1, y 2 ) nem ºe být p ímo projevený jako preferovaný p ed (x 1, x 2 ). Formáln ji: pro kaºdý ko² (x 1, x 2 ) nakoupený p i cenách (p 1, p 2 ) a jiný ko² (y 1, y 2 ) nakoupený p i cenách (q 1, q 2 ) platí ºe, jestliºe pak nesmí platit, ºe p 1 x 1 + p 2 x 2 p 1 y 1 + p 2 y 2, q 1 y 1 + q 2 y 2 q 1 x 1 + q 2 x 2.

43 Volba nekonzistentní s modelem spot ebitelské volby Ko² (x 1, x 2 ) v grafu je p ímo projevený jako preferovaný p ed (y 1, y 2 ) a (y 1, y 2 ) je p ímo projevený jako preferovaný p ed ko²em (x 1, x 2 ). Formáln ji: pro ko² (x 1, x 2 ) nakoupený p i cenách (p 1, p 2 ) a jiný ko² (y 1, y 2 ) nakoupený p i cenách (q 1, q 2 ) platí, ºe p 1 x 1 + p 2 x 2 > p 1 y 1 + p 2 y 2 a q 1 y 1 + q 2 y 2 > q 1 x 1 + q 2 x 2.

44 My²lenka projevených preferencí (pokra ování) Pokud X je p ímo projevený jako preferovaný p ed Y a Y je p ímo projevený jako preferovaný p ed Z, pak vyplývá z tranzitivity, ºe X je nep ímo projevený jako preferovaný p ed Z.

45 Silný axiom projevených preferencí (SARP) WARP je pouze nutnou podmínkou, aby chování bylo konzistentní s maximalizací uºitku netestuje, ºe preference jsou tranzitivní. SARP: Jestliºe (x 1, x 2 ) je p ímo nebo nep ímo projevený jako preferovaný p ed (y 1, y 2 ), potom (y 1, y 2 ) nem ºe být p ímo nebo nep ímo projevený jako preferovaný p ed (x 1, x 2 ). Pokud je jeho pozorované chování konzistentní se SARP, m ºeme vºdy najít rozumné (well-behaved) preference (uºitkovou funkci), které budou vysv tlovat chování spot ebitele jako chování optimalizujícího spot ebitele. SARP je nutnou i posta ující podmínkou, aby bylo chování konzistentní s maximalizací uºitku.

46 P íklad 1 Ond ej spot ebovává víno V a ryby R. Pokud jsou ceny P V = 3 a P R = 4, volí si spot ební ko² (V, R) = (5, 4). Pokud jsou ceny P V = 1 a P R = 5, vybírá si ko² (V, R) = (3, 4). 1 Je ko² (5,4) p ímo projevený jako preferovaný p ed ko²em (3,4)? 2 * Je ko² (5,4) nep ímo projevený jako preferovaný p ed t etím ko²em (V, R) = (8, 2)?

47 P íklad 2 Ond ej v bratr Petr spot ebovává chleby Ch a ryby R. P i cenách P Ch = 2 a P R = 4 spot ebovává 5 chleb a 2 ryby. P i cenách P Ch = 4 a P R = 2 spot ebovává 6 chleb a 1 rybu. 1 Je Petrovo chování konzistentní se slabým axiomem projevených preferencí? 2 Bylo by konzistentní se slabým axiomem projevených preferencí, kdyby p i cenách P Ch = 4 a P R = 2 spot ebovával 7 chleb a 1 rybu?

48 P íklad 3 Matou² utrácí celý sv j p íjem za datle M a fíky F. P i cenách (P M, P F ) = (2, 2) Matou² spot ebovává 20 datlí a 20 fík. 1 Pohor²í si Matou², kdyº se ceny zm ní na (P M, P F ) = (3, 1)? 2 Polep²í si, kdyº budeme p edpokládat, ºe má striktn konvexní indiferen ní k ivku bez zlomu?

49 P íklad 6 Hanka má p íjem K za semestr a zajímá ji, kolik bude mít u ebnic ekonomie a kolik pen z jí zbyde na ostatní v ci. Jedna pr m rná u ebnice ekonomie stojí 1000 K a Hanka jich pot ebuje pr m rn 10 za semestr. P edpokládejte, ºe je zavedeno ²kolné ve vý²i za semestr a u ebnice jsou zadarmo. Polep²í si Hanka touto zm nou?

50 P íklad 4 Jakub a Jan mají stejné preference a oba spot ebovávají pouze ku ata K a víno V. Jakub má p íjem 120 za m síc a nakupuje ku ata a láhve vína za P K = 15 a P V = 5. Jan ºije v jiném stát, kde má p íjem 1400 (v jiné m n ) a nakupuje 6 ku at a 4 láhve vína za P M = 200 a P V = Kdo se má lépe, Jakub nebo Jan? 2 P edpokládejte, ºe Jakub utratí celý sv j p íjem za ku ata a víno. Uve te p íklad Jakubova spot ebního ko²e, který by poru²il p edpoklad, ºe Jakub a Jan mají stejné preference.

51 A na záv r V ISu najdete autokorek ní cvi ení - 10 otázek z testbanku, m li byste je zvládnout b hem 30 minut Pokud n emu nerozumíte, pak p ij te konzultovat (pond lí 17:00-18:30, po tutoriálu) vyuºívejte diskusní forum v ISu P ipravte se na p í²tí tutoriál