Řídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana

Transkript

1 kdemický rok 9/ Připrvil: Rdim Fr Řídicí techik Oh (L-trformce) předtvuje velmi účiý átroj při popiu, lýze ytéze pojitých lieárích ytémů řízeí. Účelem trformce je převét ložitý prolém z protoru origiálů do protoru orzů, kde e teto trformový prolém vyřeší velmi do pk e převede zpět do protoru origiálů. Pierre Simo de Lplce * Beumot-e-uge Příž

2 4 ORIGINÁL PROBLÉMU PŘÍMÁ TRNSFORMCE OBRZ PROBLÉMU NESNDNÉ ŘEŠENÍ SNDNÉ ŘEŠENÍ ORIGINÁL VÝSLEDKU ZPĚTNÁ TRNSFORMCE OBRZ VÝSLEDKU PROSTOR ORIGINÁLŮ PROSTOR OBRZŮ 5 je defiová vzthy t X L x t x t e c j t xt L X X e d πj c j kde je: = α + jω komplexí proměá (α = Re, ω = Im ), t reálá proměá (v tomto přípdě č), x(t) origiál reálá fukce defiová v olti pro t, ) X() orz komplexí fukce defiová v olti komplexí proměé, j imgiárí jedotk L operátor přímé Lplceovy trformce, L - operátor zpěté (iverzí) Lplceovy trformce, c reálá kott zvoleá tk, y v poloroviě Re > c fukce X() eměl žádé igulárí ody. 6 y čová fukce x(t) yl origiálem (předmětem), muí ýt: ) ulová pro záporý č, tj.: xt t, xt t, ) expoeciálího řádu, tj. muí vyhovovt erovoti αt xt M e, M >, α, ),,, t c) po čátech pojitá. Poledí dvě podmíky větši čových fukcí používých v techice plňuje. Druhé podmíce evyhovuje př. fukce xt e t

3 7 Prví podmíku lze plit vždy vyáoeím dé čové fukce Heviideovým jedotkovým kokem, pro T d = defiovým vzthem ηt t, t<. Protože v podttě kždá pojitá fukce x(t) před použitím Lplceovy trformce muí ýt vyáoe Heviideovým jedotkovým kokem, proto zápi x(t)(t) e většiou zjedodušuje ymol (t) e vyechává. 8 Origiál e zčí mlým pímeem jeho orz tejým velkým pímeem. Vzth mezi origiálem jeho orzem e zývá korepodece zpiuje e ve tvru xt ˆ X Korepodece mezi origiálem orzem v Lplceově trformci je jedozčá, jou-li povžováy z ekvivletí tkové čové fukce, jejichž fukčí hodoty e liší o koečou hodotu pouze v koečém počtu izolových odů. U Lplceovy trformce počátečí hodotu x() v přípdě, že fukce x(t) eí v odě t = pojitá, je tře chápt jko prvotrou limitu x x lim xt t 9 Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy trformce je tře určit orz čové fukce (t T d ) d t L t T t T e e Td t Td ˆ e d T d e t t T d Je zřejmé, že zpožděí origiálu o dou T d odpovídá áoeí orzu expoeciálí fukcí Td e Td e

4 Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy trformce je tře určit orz čové fukce t Lt t e t ˆ t t t t e e d t e t Při itegrováí yl použit metod itegrce per prte. uv uv uv, t kde u = t, v e Příkld c Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy trformce je tře určit orz čové fukce t e t t t e e L e e ˆ t t e t e Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy trformce je tře určit orz mtemtické operce x t x t t L x t x t xt xt e t t xt e xt e X X xt xt ˆ X X Odvozeá korepodece vyjdřuje lieritu Lplceovy trformce. 4

5 Příkld Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy trformce je tře určit orz mtemtické operce d xt d xt d xt L e xt e xt e X x t t t d xt ˆ X x Podoě y ylo možé určit i orz derivce -tého řádu d xt ˆ X x d x d x Budou-li počátečí podmíky ulové, pk pltí velmi jedoduchá, le důležitá korepodece d xt X ˆ Je vidět, že derivci -tého řádu origiálu v čové olti odpovídá v olti komplexí proměé áoeí orzu -tou mociou komplexí proměé. 4 Příkld c Pomocí defiičího vzorce přímé Lplceovy trformce je tře určit orz mtemtické operce t x d t t t t L x d x d e t t x d e x t e t xt e X t x d ˆ X t Byl použit metod itegrce per prte, kde u x d, v e t 5 Určováí origiálů z orzů Slovíku Lplceovy trformce je možo použít přímo, pokud e v ěm jdou origiály eo orzy v odpovídjícím tvru. Většiou e vytčí jedoduchými úprvmi. Potíže vzikjí při zpěté trformci, protože orzy jou ložité je uté je rozložit jedodušší výrzy, které již ve lovíku Lplceovy trformce lze jít. Nejčtěji e používá rozkld prciálí zlomky. V prktických přípdech má orz ejčtěji tvr ryzí rcioálí lomeé fukce m M m X, m. N Pokud tupeň jmeovtele eí větší ež tupeň čittele m, je tře provét úprvu orzu vyděleím čittele jmeovtelem. 5

6 6 Určováí origiálů z orzů Orz ve tvru rcioálí lomeé fukce lze zjedodušit rozložeím prciálí (čátečé) zlomky, pro které již ze lovíku Lplceovy trformce lze do jít odpovídjící korepodece. Pro mohočle ve jmeovteli pltí N kde,,..., jou kořey mohočleu N() oučě póly (igulárí ody) orzu X(). Póly i mohou ýt jedoduché eo áoé 7 Určováí origiálů z orzů Orz X() ryzí rcioálí lomeé fukce pro všechy typy pólů lze zpt ve tvru (z předpokldu, že = ) M M X, r N c d e f q odpovídá jedoduchému reálému pólu odpovídá r-áoému reálému pólu odpovídá jedoduché komplexě družeé dvojici pólů c c 4d odpovídá q-áoé komplexě družeé dvojici pólů e e 4 f 8 Určováí origiálů z orzů Orz X() může ýt zpá v rozložeém tvru B B Br X r C D E F E F Eq Fq, q c d e f e f e f kde kotty, B, B,..., B r, C, D, E, E,..., E q, F, F,..., F q e určí př. dozovcí metodou eo metodou eurčitých koeficietů. Někdy je vhodé tyto metody komiovt. Uvedeý potup e zývá rozkld prciálí zlomky. 6

7 7 Příkld 9 Je tře určit origiál x(t) k orzu X 9 Orz eí ryzí rcioálí lomeá fukce, proto muí ýt uprve vyděleím čittele jmeovtelem:. : 9 Příkld Orz lze yí zpt ve tvru, X X X kde X je již ryzí rcioálí lomeá fukce, proto pltí D, Dozovcí metod Rovice e vyáoí jmeovtelem levé try dote e Tto rovice muí pltit pro liovolou hodotu komplexí proměé. Zvolí e tedy růzé hodoty komplexí proměé dotou e rovice pro ezámé kotty,. Je zřejmé, že je vhodé volit póly orzu X(), tj.: 4. 4, 9,

8 Dozovcí metod Rozkld orzu má tvr 4 X S využitím lovíku Lplceovy trformce určíme origiál: t t t t xt t t e 4e t e 4e Nemíme zpomeout, že e jedá o origiál, tedy pltí pouze pro t Metod eurčitých koeficietů Vzth uprvíme podle moci komplexí proměé, tj. Protože koeficiety u tejých moci komplexí proměé muí ýt tejé, můžeme pát:,,. Z této outvy lieárích lgerických rovic do zíkáme ezámé kotty =, =, = 4. Dlší potup je hodý předchozím přípdem. 4 Řešeí lieárích difereciálích rovic Je uvžová lieárí difereciálí rovice kottími koeficiety m d yt d yt d u t dut y t m ut m polu přílušými počátečími podmíkmi d y d y y,,, m du d u u,,, m V přípdě epojitoti počátečích podmíek v odě t = je tře uvžovt jejich prvotré limity. 8

9 5 Řešeí lieárích difereciálích rovic Čová fukce u(t) e zývá vtupí fukce y(t) výtupí fukce eo řešeí. Větší z číel eo m e zývá řád difereciálí rovice. Neude-li uvžová prvá tr, dote e difereciálí rovice homogeí eo tké ez prvé try d yt d yt yt pro íž je tře uvžovt počátečí podmíky d y d y y,,, 6 Řešeí lieárích difereciálích rovic Po Lplceově trformci difereciálí rovice polu počátečími podmíkmi ude mít tvr lgerické rovice m Y L m U R kde je: L() mohočle ejvýše ( )-ho tupě určeý počátečími podmíkmi levé try difereciálí rovice, R() mohočle ejvýše (m )-ho tupě určeý počátečími podmíkmi prvé try difereciálí rovice. 7 Řešeí lieárích difereciálích rovic Z lgerické rovice lze yí do vyzčit orz řešeí M L R Y U N N m M m N Společý jmeovtel orzu řešeí, tj. mohočle N() zádím způoem ovlivňuje vltoti řešeí - y( t) L Y( ) proto e zývá chrkteritický mohočle přílušé difereciálí rovice. Když e položí rový ule, dote e chrkteritická rovice přílušé difereciálí rovice. 9

10 8 Řešeí lieárích difereciálích rovic Kořey,,..., chrkteritického mohočleu, rep. chrkteritické rovice rozhodují o tilitě řešeí difereciálí rovice. Řešeí lieárí difereciálí rovice je tilí, když omezeé vtupí fukci u(t) odpovídá omezeé řešeí y(t). Nutá potčující podmík (ymptotické) tility má tvr Re, i,, i, STBILNÍ OBLST Re < Im NESTBILNÍ OBLST Re > Re MEZ STBILITY Re = 9 Příkld 4 Pomocí Lplceovy trformce je tře řešit homogeí lieárí difereciálí rovici. řádu d yt yt, d y při počátečích podmíkách y, d t Příkld 4 N levou i prvou tru difereciálí rovice e použije Lplceov trformce dote e d yt L L L y t d y Y y Y Po dozeí počátečích podmíek úprvě e održí orz řešeí Y

11 Příkld 4 Origiál řešeí e určí z korepodece i t ˆ yt i t, t Z orzu řešeí vyplývá, že chrkteritický mohočle difereciálí rovice N má dv komplexě družeé ryze imgiárí kořey, j, y ω π ω t proto její řešeí je mezi tility Slovík Lplceovy trformce Pro dé lezeí vhodé korepodece yly vytvořey lovíky Lplceovy trformce, př. VÍTEČKOVÁ, Miluše. Slovíky L- Z-trformce řešeými příkldy. Otrv: VŠB - Techická uiverzit, 5. ISBN X.