Statika 2. Kombinace namáhání: N + M Stabilita tlačených prutů: Eulerovo kritické břemeno a vzpěrná pevnost. Miroslav Vokáč

Transkript

1 1. přednáška : N + M : a vzpěrná pevnost Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 1. října 2018

2 Konzultační hodiny Ing. Miroslav Vokáč, Ph.D. Klonerův ústav, ČVUT v Praze Šolínova Praha 6 - Dejvice Konzultační hodiny: Pondělí hod. v místnosti TH9:508 Tel.: miroslav.vokac@cvut.cz URL:

3 Podmínky k udělení zápočtu ze Statiky II: 1. Docházka na cvičení min. 80 %. 2. Každý student navštěvuje cvičení, kde je zapsán v KOSu. Přesun není možný. 3. Odevzdané a správně vypracované domácí úkoly (celkem 7 úkolů). 4. Termín pro odevzdání domácího cvičení je 14 dní od jeho zadání (viz také harmonogram na Jinak cvičící může požadovat práci navíc. Cvičící může stanovit průběžný termín pro opravené úkoly, pokud nebudou odevzdány bez chyb. 5. Uzavření udělování zápočtů v zimním semestru 2018/2019 je

4 - Zkouška ze Statiky 2: Dle SZŘ ČVUT v Praze má každý studen 1 řádný a nejvýše 2 opravné termíny. Podmínkou přihlášení je udělený zápočet ze Statiky 2. Odhlášení ze zkoušky 3 dny před termínem zkoušky. Neomluvená nepřítomnost je klasifikována F. Ve zkouškovém období budou zkoušky s četností 2 dny v týdnu. V březnu budou 2 termíny, které budou v KOSu otevřené jen pro opravy. První termín je nutné vyčerpat ve zkouškovém období! V zimním semestru 2018/2019 je posledním termínem pro konání zkoušky dle rozhodnutí děkana den

5 - Zkouška ze Statiky 2: Písemná část obsahuje 4 části: 1. Test teoretické otázky ze Statiky 1 a Statiky Vnitřní síly na staticky určité soustavě. 3. Příklad na prosté případy pružnosti a jeho aplikace (příhradová soustava, ohýbaný nosník). 4. Příklad na ostatní úlohy z pružnosti a pevnosti. Pomůcky ke zkouškové písemce: Kalkulačka, čisté listy papíru, psací potřeby. Výpis důležitých vzorců libovolného zpracování (psaný text, tiskárna PC, Xerox,...). Omezen je formát papíru na 1 list A4. Tato pomůcka není povolena při Testu.

6 Doporučená literatura Vondrová, R.: Statika II. Příklady. Praha : ČVUT, ISBN Vondrová, R.: Statika II. Příklady. Praha : ČVUT, ISBN Dvořák, J.: Stavební mechanika. Praha : SOBOTÁLES, ISBN Hořejší, J.; Šafka, J. a kol.: Statické tabulky. Technický průvodce, svazek 51. Praha : SNTL, Kolendowicz, T.: Stavební mechanika pro architekty. Přeložil doc. Ing. Jiří Muk, CSc. Praha : SNTL, s. Allen E., Zalewski W.: Form and Forces (Designing efficient, expressive Structures). New York: Wiley Heyman, J.: The Science of Structural Engineering. London: Imperial College Press 1999 Hibbeler, R. C.: Structural analysis. Boston : Prentice hall, ISBN X. Shaeffer R. E.: Reinforced concrete. Preliminary design for architects and builders. New York : McGRAW-HILL, INC., ISBN

7 Vnitřní síly Napětí y V y M y z t Vz M z N M x x y τ xy (y,z) τ xz (y,z) t [y,z] z σ x (y,z) Osy y a z jsou hlavní těžišt ové osy setrvačnosti průřezu. Pro momenty se řídíme pravidlem pravé ruky: Jsou-li prsty ve směru otáčení, potom palec ukazuje směr rotačního vektoru. Normálové napětí σ při působení N, M y, M z (a M x ). Tečné napětí τ při působení V y, V z, M x. x

8 Prosté případy pružnosti U prostých případů pružnosti je jen jedna vnitřní síla nenulová. + N M y Prosté případy pružnosti: Prostý tah & tlak viz Statika 1. Prostý ohyb viz Statika 1. Prostý smyk. Prosté kroucení.

9 Při kombinaci namáhání je počet nenulových vnitřních sil větší než 1. Napětí je možné pro každou vnitřní sílu vyjádřit zvlášt a výsledek superponovat, tj. sečíst. Zaměříme se hlavně na některé kombinace s vnitřními silami N, M y a M z, od kterých vzniká normálové napětí σ x.

10 Normálové napětí M y 0 M z = 0 N 0 M y σ x N.O. A N.O. σ x (A) t y t N x t x z z z Normálové napětí σ x se určí pro každý bod průřezu: σ x (z) = N A + M y I y z N.O. z podmínky σ x (z) = 0 je dána rovnicí přímky: z = N A Extrémní normálové napětí je v bodu nejvíce vzdáleném od N.O. Musí platit σ x,extr σ dov. I y M y.

11 Příklady F + N M y M z + N e x e F Vnitřní síly ve vetknutí: N = F M y = F e x z z Vnitřní síly na celé délce prutu: N = +F M y = F e

12 Normálové napětí y A t M y = 0 M z 0 N 0 y M z y N.O. N.O. z t N x σ x t σ x (A) x Normálové napětí σ x se určí pro každý bod průřezu: σ x (z) = N A M z I z y N.O. z podmínky σ x (z) = 0 je dána rovnicí přímky: y = + N A I z M z Extrémní normálové napětí je v bodu nejvíce vzdáleném od N.O. Musí platit σ x,extr σ dov.

13 M + N Příklady na GeoGebra Příklady na obecnou kombinaci N + M y + M z :

14 TAH F F U tlačených dochází před dosažením pevnosti materiálu ke ztrátě stability, k vybočení prutu a jeho porušení! Předpokládejme materiál s lineárním materiálovým modelem (Hookeův zákon). Únosnost prutu v tlaku je menší než únosnost v prostém tahu! TLAK F F F max = Aσ dov F max < Aσ dov

15 Ideální (perfektní) prut je tlaková centrická síla, při které dojde ke ztrátě stability ideálního (perfektního) prutu. Perfektní prut je: dokonale přímý, síly na obou koncích prutu jsou vneseny dokonale souose, osová síla působí dokonale centricky. e = 0 e = 0 e = 0

16 Lze odvodit a pro různá uložení prutu zobecnit vzorec pro : E... modul pružnosti F cr = EI min π 2 I min... menší z hlavních centrálních momentů setrvačnosti průřezu (za předpokladu stejného uložení prutu v rovině xy a xz) L 2 cr L cr... vzpěrná délka, závisí na způsobu uložení prutu

17 Vzpěrná délka Vzpěrná délka je vzdálenost inflexních bodů tvaru vybočení prutu. Tvar vybočení odpovídá vlastní funkci a je to sinusovka. l F cr L cr F cr L cr F cr L cr F cr L cr = l L cr = 0,7l L cr = 1 2 l Lcr = 2l

18 Příklad F cr =? ζ z η I y = I z = 28, mm 4 I η = 45, mm 4 I ζ = mm 4 M y + N l = 3m t y I min = 11, mm 4 L cr = l = 3 m E = 210 GPa L F cr = π2 EI min L 2 cr = π , = 271,7 kn

19 Příklad l = 3m F cr =? x y I200 z F cr,z x y F cr,y x z 1. Vybočení v rovině xy (k nehmotné ose) I z = 1, mm 4 L cr,z = 0,7l = 2,1 m F cr,z = π , ,1 2 F cr,z = 545,2 kn 2. Vybočení v rovině xz (k hmotné ose) I y = 21, mm 4 L cr,y = 2l = 6 m F cr,y = π , F cr,y = 1 232,1 kn F cr = min(f cr,y, F cr,z ) = 545,2 kn

20 Reálný (imperfektní) prut Skutečné pruty nejsou ideální, ale mají určité imperfekce: tolerance prohnutí, tolerance ve svislosti, náhodná excentricita zatížení. e e e Proto navrhujeme reálné osamělé sloupy (ocelové, dřevěné) pomocí součinitelů vzpěru na vzpěrný tlak.

21 Podmínka spolehlivosti Podmínka spolehlivosti podle teorie dovolených namáhání: σ = N A ϕσ dov ϕ... je součinitel vzpěru (vzpěrnostní součinitel), ϕ 1, v éře dovolených namáhání se používal součinitel c 1, c = 1 ϕ ϕ = ϕ(λ)... vztah je dán složitějším výpočtem, který je často tabelován (viz příslušná norma) λ... je štíhlost prutu λ = Lcr i i... je poloměr setrvačnosti i = I A

22 Vývoj v našich normách pro navrhování V éře dovolených namáhání se označoval součinitel vzpěru c 1. Po zavedení mezních stavů v systému norem ČSN se označoval součinitel vzpěru ϕ 1. Po zavedení Eurokódu se označuje součinitel vzpěru χ 1. Eurokód zavádí několik druhů štíhlostí: Základní štíhlost λy,z = L cr/i y,z, kde index y, z označuje, že se použije veličina vztažená k ose y nebo k ose z. Srovnávací štíhlost, která je např. pro ocelové konstrukce rovna λ 1 = 93,9 235/f y. Poměrnou štíhlost λ = λy,z/λ 1. V Eurokódu je součinitel vzpěru vyjadřován jako funkce poměrné štíhlosti χ = χ(λ). S různými metodami prokazování spolehlivosti stavebních konstrukcí se měnily i metodiky pro stanovení součinitelů vzpěru.

23 Únosnost tlačeného prutu v závislosti na štíhlosti F max Prostý tlak F = Aσ dov Eulerovo břemeno F cr = π2 EA λ 2 F = Aσ dov ϕ(λ) λ = Lcr i

24 Vzpěrné délky u příhradových vazníků L cr L cr U příhradových vazníků je L cr pro vybočení v rovině vazníku rovno délce prutu. Pro vybočení z roviny vazníku může být vzpěrná délka větší v závislosti na konstrukčním uspořádání zavětrování, vaznic, světlíků...

25 Vzpěrné délky u rámových konstrukcí F F EI M z + N l F F L cr L cr Nejedná se o osamělé sloupy! Závisí na ohybových tuhostech průřezů EI a na délkách l! Vzpěrné délky se určují složitějším postupem nebo zjednodušeným postupem podle dané normy.

26 Eiffelova věž v Paříži 1757 Leonhard Euler odvodil výraz pro kritické břemeno 1887 začala výstavba Eiffelovy věže první masivní nasazení výpočtu stability tlačených Přesto je dodnes hodně havárií konstrukcí, kde je stabilita tlačených prvků opomenuta. (Obrázek je volné dílo z

27 Kontrolní otázka Neutrální osa prutu je: a) Přímka s množinou bodů, kde je nulové normálové napětí. b) Přímka procházející těžištěm. c) Přímka dělící průřez na 2 poloviny.

28 Kontrolní otázka Prut příhradové konstrukce namáhaný normálovou silou N > 0 budu posuzovat na: a) Prostý tah b) Prostý tlak c)

29 Kontrolní otázka Prut příhradové konstrukce namáhaný normálovou silou N < 0 budu posuzovat na: a) Prostý tah b) Prostý tlak c)

30 Kontrolní otázka Vzpěrná (kritická) délka u tlačených je definována takto: a) Vzpěrná délka je dvojnásobek délky prutu. b) Vzpěrná délka je vzdálenost kloubových podpor. c) Vzpěrná délka tlačeného prutu je zdálenost inflexních bodů tvaru vybočení.

31 Kontrolní otázka Vzpěrná (kritická) délka tlačeného prutu, který má délku L a je typu vetknutí-vetknutí, se vypočte: a) L cr = 0,5L b) L cr = 0,7L c) L cr = L

32 Kontrolní otázka Vzpěrná (kritická) délka tlačeného prutu, který má délku L a je typu vetknutí-kloub, se vypočte: a) L cr = 0,5L b) L cr = 0,7L c) L cr = L

33 Konec přednášky Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem L A T E X. Obrázky vytvořeny v systému METAPOST.