Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Transkript

1 Obsah 1 Tuhé těleso 1 2 Moment síly 2 3 Skládání sil Skládání dvou různoběžných sil Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil Dvojice sil Rozklad sil 4 5 Těžiště tuhého tělesa 5 6 Rovnováha 5 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6 8 Jednoduché stroje 8 9 Valení na nakloněné rovině 8 1 Tuhé těleso Tuhé těleso Tuhé těleso je takové těleso, které se působením sil nedeformuje jeho tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění. V praxi považujeme těleso za tuhé, jestliže deformační účinky uvažovaných sil na těleso jsou zanedbatelné. Pohyb tuhého tělesa posuvný rotační (kolem nehybné osy) složený

2 Posuvný pohyb tuhého tělesa Všechny body tělesa opisují trajektorii stejného tvaru a během stejného časového úseku urazí stejné dráhy, pohybují se tedy stejnou rychlostí. Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy Všechny body tělesa opisují kružnicovou trajektorii kolem osy otáčení. Body na ose jsou pevné. Pohybují se různou rychlostí (ale se stejnou úhlovou rychlostí). Složený pohyb Například pohyb kola u auta. Černá čára znázorňuje rovnoměrný přímočarý pohyb středu kola, zatímco modrá čára trajektorii bodu na obvodu kola (pokud nedochází k prokluzu). Parametrické vyjádření: (x(t), y(t)) = (vt, 0) + (r cos(ωt), r sin(ωt)) 2 Moment síly Moment síly značka: M jednotka: N. m Moment síly je vektorová fyzikální veličina vyjadřující otáčivý účinek síly. Její velikost je definována vztahem M = F r, kde F je velikost působící síly a r je tzv. rameno síly vzdálenost osy otáčení od přímky určené směrem působící síly. Moment síly směr a orientace 2

3 Působiště vektoru momentu síly je v průsečíku roviny působení síly a osy otáčení. Směr a orientace momentu síly je určena podle pravidla pravé ruky zahnuté prsty ukazují smysl otáčení, vztyčený palec určuje směr a orientaci vektoru momentu síly. Moment síly skládání Výsledný moment sil o momentech M 1, M2,..., Mn je určen jejich vektorovým součetm M = M 1 + M M n 3 Skládání sil Přenos působiště síly podél jejího směru Síla má na tuhé těleso stejný posuvný i otáčivý účinek vůči libovolné ose, pokud ji přesuneme do jiného působiště, které leží ve směru jejího působení. Na tomto principu je založeno skládání i rozklad sil v tuhém tělese. 3.1 Skládání dvou různoběžných sil Uvažujme tuhé těleso, na které působí v různých místech dvě různoběžné síly. Naším úkolem je najít sílu F a její působiště tak, že bude mít na tuhé těleso stejný posuvný i otáčivý účinek. Skládání dvou různoběžných sil Obě síly posuneme ve směru jejich působení do nového společného působiště Vektorově je sečteme Výslednou sílu můžeme libovolně posunout ve směru jejího působení 3.2 Skládání dvou rovnoběžných, různě velkých sil Uvažujme tuhé těleso, na které působí v různých místech dvě různě velké rovnoběžné síly F 1 a F 2. Naším úkolem je najít sílu F a její působiště tak, že bude mít na tuhé těleso stejný posuvný i otáčivý účinek. Určení velikosti a směru výsledné síly 3

4 pokud jsou síly F 1, F 2 stejně orientovány, pak výsledná síla má velikost F = F 1 + F 2 a je orientována stejně jako síly F 1 a F 2 pokud jsou síly F 1, F 2 orientovány opačně, pak výsledná síla má velikost F = F 1 F 2 a je orientována stejně jako větší ze sil F 1 a F 2 Uvažujme tuhé těleso, na které působí v různých místech dvě různě velké rovnoběžné síly F 1 a F 2. Naším úkolem je najít sílu F a její působiště tak, že bude mít na tuhé těleso stejný posuvný i otáčivý účinek. Určení působiště výsledné síly působiště určujeme tak, aby výsledná síla měla stejný moment ke všem osám otáčení jako je výsledný moment sil F 1 a F 2. k tomu stačí ověřit, že výsledná síla má stejný moment k jedné libovolně zvolené ose otáčení, kolmé na rovinu určenou silami F 1 a F Dvojice sil Uvažujme tuhé těleso, na které působí v různých místech dvě stejně velké a opačně orientované rovnoběžné síly F 1 a F 2. Takové síly mají na tuhé těleso pouze otáčivý účinek a nelze je nahradit jedinou silou. Říkáme jim dvojice sil. Moment dvojice sil Velikost výsledného momentu dvojice sil nezáleží na poloze osy otáčení, ale pouze na jejich vzájemné vzdálenosti d. M = F d Pokud tuhé těleso koná pouze otáčivý pohyb, je to vždy důsledek nějaké dvojice sil. 4 Rozklad sil Rozklad sil 4

5 Sílu lze v rovině vždy rozložit do dvou daných různoběžných přímek, v prostoru do tří daných různoběžných přímek (pokud žádné dvě neleží ve stejné rovině. Úloha Lustr o hmotnosti m visí na dvou závěsech, tvořících hrany pravidelného trojúhelníku. Jaká síla působí na jednotlivé závěsy? Úloha Lustr o hmotnosti m visí na třech závěsech, tvořících hrany pravidelného čtyřstěnu. Jaká síla působí na jednotlivé závěsy? 5 Těžiště tuhého tělesa Těleso je složené z mnoha atomů hmotných bodů Na každý z nich působí tíhová síla Jejich složením dostaneme výslednou tíhovou sílu působící na těleso a přímku, ve které leží její působiště Jestliže tento postup provedeme pro dvě různá natočení tělesa, dostaneme dvě různoběžné přímky. Těžiště leží v jejich průsečíku Těžiště tuhého tělesa Jako těžiště označujeme bod, ve kterém výsledná tíhová síla působí na těleso (at je toto těleso v jakékoliv poloze). 6 Rovnováha Podmínky rovnováhy Tuhé těleso zůstává v klidu, pokud výslednice působicích sil a jejích momentů (vůči libovolné ose) je nulový vektor, tedy pokud jsou splněny podmínky F 1 + F F n = o M 1 + M M n = o 5

6 Pokud není splněna první podmínka, těleso začne konat posuvný pohyb ve směru výslednice sil. Pokud není splněna druhá podmínka, těleso začne konat rotační pohyb. Rovnovážná poloha Poloha, ve které tuhé těleso zůstává v klidu. Rozlišujeme rovnovážnou polohu stabilní (stálou) při malém vychýlení se těleso vrací do rovnovážné polohy labilní (vratkou) při malém vychýlení se těleso dále samo vzdaluje od rovnovážné polohy indiferentní (volnou) při malém vychýlení těleso zůstává v nové rovnovážné poloze 7 Kinetická energie tuhého tělesa Posuvný pohyb Tuhé těleso o hmotnosti m pohybující se posuvným pohybem rychlostí v má kinetickou energii E k = 1 2 mv2 Rotační pohyb Představme si tuhé těleso, rotující kolem nehybné osy úhlovou rychostí ω. Jednotlivé hmotné body m i tvořící těleso mají kinetickou energii E ki = 1 2 m iv 2 i = 1 2 m ir 2 i ω 2 Kinetická energie tuhého tělesa je sečtením kinetických energií jednotlivých hmotných bodů E k = 1 2 m 1r 2 1ω m 2r 2 2ω m nr 2 nω 2 E k = 1 2 ( m1 r m 2 r m n r 2 n) ω 2 6

7 Veličině v závorce říkáme moment setrvačnosti tělesa, značíme J a píšeme E k = 1 2 Jω2 Celková kinetická energie je součtem energie posuvného a rotačního pohybu: E k = 1 2 mv Jω2 Moment setrvačnosti zn: M jed: kg. m 2 Moment setrvačnosti vůči ose o definujeme postupně. Pro hmotný bod m, jehož kolmá vzdálenost od osy o je r, definujeme J = mr 2 Pro soustavu hmotných bodů m 1,..., m n, jejichž kolmá vzdálenost od osy o je r 1,..., r n, definujeme J = m 1 r m n r 2 n Pomocí integračního počtu lze definici zobecnit na všecha tuhá tělesa (jde vlastně o chytré posčítání přes všechny hmotné body tvořící těleso) J = r 2 dm těleso Momenty setrvačnosti různých těles Válec poloměru r vůči středové ose a rovnoběžné ose procházející krajem válce J 0 = 1 2 mr2 a J k = 3 2 mr2 Koule poloměru r vůči středové ose a rovnoběžné ose procházející krajem J 0 = 2 5 mr2 a J k = 7 5 mr2 Tyčka délky l vůči středové ose a rovnoběžné ose procházející krajem J 0 = 1 12 ml2 a J k = 1 3 ml2 7

8 Obecně platí, že moment setrvačnosti vůči ose procházející těžištěm je vždy menší, než vůči jiné ose. Platí Steinerova věta, podle které moment setrvačnosti J vůči pevné ose je J = J 0 + md 2 kde J 0 je moment vzhledem k rovnobežné ose jdoucí těžištěm a d je vzdálenost os. 8 Jednoduché stroje Příklady jednoduchých mechanických strojů páka pevná kladka kladkostroj kolo na hřídeli 9 Valení na nakloněné rovině Úloha Koule (Válec) se valí po nakloněné rovině. Určete, jak se vyvíjí její rychlost v čase v případě, že a) tření je velmi malé b) tření je velmi velké 8