Seriál XXVII.III Aplikační

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Seriál XXVII.III Aplikační"

Transkript

1 Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy. Povíme si něco o vriční úloze pro klsickou strunu, pro reltivistickou částici n závěr zvedeme slvnou Nmbu-Gotovu kci pro reltivistickou strunu. Znlost této kce nám otevře brány ke všem tjům teorie strun. Zčněme le od počátku. Klsická strun Kždý z nás už v minulosti viděl nějký strunný hudební nástroj. Položili jste si někdy otázku, jk se strun při brnknutí hýbe? Odpověď je sndná. Jk jsme si v minulém díle řekli, pohybuje se tk, že je hodnot kce příslušející tomuto pohybu extremální. Jk le kce pro nši strunu vypdá? Připomeňme, že jsme kci pro částici definovli jko integrál S[x(t] t L(x(t, v(t, t dt, kde rozdíl L T V kinetické energie T potenciální energie V jsme nzvli Lgrngiánem. Uvžujme nyní strunu délky l celkové hmotnosti m, která se pohybuje v rovině [x; y]. Strun je ntžen mezi body A[; ] B[b; ], kde b + l. Tvr struny v dném čse můžeme popst funkcí y(x pro x z intervlu, b tk, jk jsme to dělli v předchozím díle seriálu pro řetízek v grvitčním poli. Jelikož se všk tvr struny může v čse měnit, je ve skutečnosti výchylk závislá jk n souřdnici x, tk n čse t píšeme y y(x, t. Zde poznmenejme, že máme-li funkci více proměnných (v nšem přípdě tedy y(x, t, pk se zvádí prciální derivce jkožto veličin chrkterizující změnu funkce při mlé změně jedné z proměnných. Npříkld prciální derivce y(x, t podle x, kterou zpisujeme jko y xy y x, by nám chrkterizovl změnu y(x, t při mlé změně x. Prkticky to znmená, že při prciálním derivování y(x, t podle x derivujeme funkci stejně jko v přípdě obyčejné derivce druhou proměnnou t povžujeme z konstntu. Podobně postupujeme i pro derivci podle t. Spočtěme nejprve kinetickou energii nší struny. Strunu můžeme rozdělit n mlinké kousíčky délky dx o hmotnosti dm (m/l dx, kde m je celková hmotnost struny. Jde-li o dosttečně mlinké kousky, můžeme kždý kousíček v dném čse t povžovt z hmotný bod s polohou (x, y(x, t, jehož kinetickou energii známe dt (x, t 1 v(x, t dm 1 ( y dm. t Přesčítáme-li přes všechny mlé elementy, získáme celkovou kinetickou energii struny. V přípdě infinitezimálně mlých elementů přejde tto sum v integrál B T dt 1 B ( y dm m t l A A ( y dx. t 1

2 Seriál XXVII.III Aplikční Dále musíme určit potenciální energii odpovídjící dné konfigurci. Jsou-li deformce mlé, lze uvžovt s dobrou přesností, že je v celé struně konstntní npětí T. Při ntžení má strun tendenci vrátit se do původního stvu s délkou l příslušná energie odpovídjící prodloužení l bude úměrná tomuto prodloužení, tkže V T l. Nám zbývá určit toto prodloužení. Opět rozdělme strunu n mlé kousíčky kždý proximujme mlou úsečkou. Délk tkovéto úsečky bude z Pythgorovy věty dl (dx + (dy 1 + ( y dx, kde dx odpovídá délce kousíčku podél osy x dy příslušné délce podél osy y. Vidíme, že v důsledku nivního dělení diferenciálů se nám pod odmocninou objevil prciální derivce y(x, t podle x jkožto sklon struny v dném čse. Jelikož uvžujeme jen mlé výchylky, je tento sklon velmi mlý můžeme tedy psát přibližný vzth ( y, o jehož pltnosti pro mlé y se lze sndno přesvědčit. Celkovou změnu délky struny pk získáme opět integrcí přes celou strunu dostáváme potenciální energii ( B ( ( y V T l T dl l T 1 + dx l ( T dx + 1 A kde jsme využili znlosti délky struny dx l dx l. T ( y dx, Celkově tedy máme kci pro strunu vyvíjející se z čsu do čsu t ve tvru t t ( ( m y ( S[y(x, t] L dt T y dxdt. l t Všimněme si, že kce struny n rozdíl od kce pro částici obshuje dv integrály. Funkce v závorce je funkcí nejen čsu, le tké polohy n struně integrcí přes celou strunu pk získáváme Lgrngián. Je přirozené veličinu v závorce nzvt hustotou Lgrngiánu oznčit. L( x y, t y m l t T Anlogicky, jko jsme minule odvodili z kce pro volnou částici její pohybové rovnice, můžeme odvodit pohybovou rovnici pro klsickou strunu. Uvžujme strunu, která se vyvíjí z počátečního čsu, kde má tvr popsný funkcí y(x, y 1 (x, do čsu t, kde má tvr popsný funkcí y(x, t y (x, pokusme se njít trjektorii, po které se strun vyvíjí, jkožto extremálu nší kce. Připomeňme, že v přípdě bodové částice, jejíž trjektorii prmetrizujeme

3 Seriál XXVII.III Aplikční prmetrem p, jsme prováděli změnu y(p pro kždé p o mlou hodnotu δy(p dostli jsme tk trjektorii y(p + δy(p neptrně odlišnou od trjektorie y(p. V přípdě struny máme všk funkci dvou proměnných musíme provést mlou změnu v kždém čse t v kždém bodě x struny. Musíme tedy provést vrici y(x, t y(x, t + δy(x, t. N tuto změnu všk musíme nložit dvě podmínky. Předně musí být δy(x, δy(x, t, protože počáteční i koncový tvr struny máme pevně zdný. Dále jsme fixovli krjní body struny, tkže v kždém čse musí být tké δy(, t δy(b, t. Nyní už nám nic nebrání v odvození pohybových rovnic pro klsickou strunu. Njděme tedy vrici kce položme ji rovnu nule. Máme δs[y(x, t] t t t ( m l ( m l ( m l t + δy T ( y t + δy dxdt t T y δy t t y T δy dxdt, dxdt kde jsme roznásobili obě závorky, jeden z tkto získných členů se odečetl s druhým členem členy obshující druhou mocninu vrice δy jsme pro jejich mlost znedbli. Stejně jko v minulém díle provedeme nyní pro kždý z členů integrci per prtes dostáváme δs[y(x, t] m ( b y l t δy(t, x y t δy(, x dx tt,x t,x ( t y T δy(b, t y δy(, t dt xb,t x,t t ( m y l t δy y T δy dxdt, kde svislicí znčíme vyhodnocení prciálních derivcí v dných bodech. Dostli jsme tk tři členy. První dv jsou le nulové z okrjové, počáteční koncové podmínky, které vyždují δy(x, δy(x, t δy(, t δy(b, t. Dostáváme tedy podmínku t ( m y δs[y(x, t] l t T y δy dx dt, což musí pltit pro všechn δy. Toho docílíme jen tehdy, pokud je výrz v závorce nulový dostáváme tk rovnici y(x, t Tl y(x, t, t m která je pohybovou rovnicí pro klsickou strunu nzývá se vlnovou rovnicí. Poznmenejme zde ještě, že odmocnin z konstnty stojící před druhým členem odpovídá rychlosti šíření vlny n struně. 3

4 Reltivistická částice Seriál XXVII.III Aplikční Druhým příkldem tohoto dílu seriálu je volná reltivistická částice, tedy částice, n kterou nepůsobí žádná síl. V prvním díle jsme si povídli o teorii reltivity řekli jsme si, že fyzikální zákony musí být nezávislé n inerciálním systému, ve kterém studovný jev popisujeme. Mtemticky řečeno musí být konzistentní fyzikální teorie invrintní vůči Lorentzovým trnsformcím. Nyní bychom rádi vyšetřili pohyb volné reltivistické částice. Tento pohyb bude opět dán jkožto extremál nějkého funkcionálu. Abychom dostli správnou reltivistickou teorii, je přirozené uvžovt tké reltivisticky invrintní kci. Položme si tedy otázku: známe nějký invrint vůči Lorentzově trnsformci? Známe! Příkldem je čtyřintervl, jk jsme diskutovli v úloze k prvnímu dílu nšeho seriálu. Podívejme se n konstrukci kce trochu detilněji. Rádi bychom nšli kci pro částici pohybující se z bodu čsoprostoru A se souřdnicemi ( x 1, x 1 1, x 1, x 3 1 do bodu B se souřdnicemi ( x, x 1, x, x 3. Částice se pohybuje v čsoprostoru po světočáře x(λ ( x (λ, x 1 (λ, x (λ, x 3 (λ, kde λ je libovolný prmetr určující polohu n světočáře (v předešlém znčený p, jk jsme diskutovli již v prvním díle seriálu, nbývá hodnoty v bodě A λ v bodě B. Rozdělíme-li tuto trjektorii n mlé kousíčky, pk můžeme pro kždý element spočíst příslušný čtyřintervl (ds , (1 který je, jk víme, invrintní vůči Lorentzově trnsformci. Akci nyní získáme integrcí přes celou trjektorii. K tomu potřebujeme odmocnit vzth (1. Již z úlohy k prvnímu dílu seriálu víme, že výrz n prvé strně je záporný pro částici pohybující se rychlostí menší, než je rychlost světl. Proto si musíme při odmocňování dát pozor n znménko psát S[x(s] mc s s 1 (ds, kde m je klidová hmotnost částice c je rychlost světl s jsme zvolili jko prmetr světočáry nbývjící hodnot s 1 v bodě A s v bodě B. Prefktor mc jsme museli do definice kce přidt, by měl správný rozměr. Vyvstává otázk, jký má nlezená kce fyzikální význm. Víme, že nezávisí n tom, v jkém systému počítáme (ds. Předstvme si tedy, že sedíme přímo n pohybující se částici. V tom přípdě se vůči nám poloh částice nemění tedy 1 3. V tomto přípdě je nenulová jen jedn složk (ds c, kde τ je vlstní čs pozorovtele pohybujícího se s částicí. Potom dostáváme τ S[x(τ] mc kce je tedy rovn (ž n prefktor vlstnímu čsu, který je potřeb, by se částice po dné trjektorii dostl z bodu A do bodu B. Už jsme zběhlí v počítání vricí odvozování pohybových rovnic. Proveďme to i pro tento přípd. Uvžujme vrici trjektorie x µ (λ x µ (λ + δx µ (λ mezi body A, B s hodnotmi prmetru λ. 1 Jko obvykle, fixujeme počáteční koncovou polohu částice, tkže δx µ ( 1 Připomeňme, že z index µ můžeme dosdit, 1, nebo 3. 4

5 Seriál XXVII.III Aplikční δx µ (λ. Vzpomeneme-li si n první díl seriálu, kde jsme zvedli metriku η µν, můžeme psát ( s δs[x(λ] δ mc (ds s 1 λ δ dx mc η µ dx ν µν mc mc λ λ µ η µν + dδxµ µ η µν dx ν + dxµ ν + dδxν S[x(λ] dδx ν S[x(λ], kde jsme v posledním řádku využili symetrie η µν η νµ. Nyní vtáhneme diferenciál zpět pod odmocninu, dosdíme z S[x(λ], vzpomeneme si, že (ds c, dostneme s s δs[x(λ] mc (ds η µν dx µ d(δx ν + mc (ds s 1 m m s 1 τ τ dx 1 η µ µν η µν dx µ dδx ν d(δx ν m λ + m τ η µν dx µ dδx ν, kde jsme opět využili přibližného vzthu jko výše znedbli příspěvky vyšších řádů v δx µ. Je přirozené definovt reltivistickou (čtyřhybnost v nlogii s klsickou hybností jko p µ m dxµ. Tuto hybnost můžeme dosdit to vzthu výše provést integrci per prtes. Dostáváme tk δs[x(λ] λ η µν p µ dδx ν η µν [p µ (λ δx ν (λ p µ ( δx ν ( ] λ η µν dp µ δxν, kde první člen je opět nulový díky pevné počáteční koncové poloze δx ν ( δx ν (λ. Jelikož musí tto rovnost pltit jink pro všechny vrice δx ν, dostáváme pohybové rovnice ve tvru dp µ. 5

6 Seriál XXVII.III Aplikční Podobně jko v klsické mechnice se zde tedy zchovává čtyřhybnost volné částice. Pohybujeli se částice mlou rychlostí, je vlstní čs částice přibližně roven čsu pozorovtele t τ můžeme psát pro i 1,, 3 dpi dpi dt m d x i dt. V limitě mlých rychlostí tedy oprvdu dostáváme pohybovou rovnici pro klsickou volnou částici z minulého dílu seriálu. Jk by vypdl kce pro volnou částici v obecné teorii reltivity? Akce by měl nprosto stejný tvr, jen by nyní nemělo ds tvr (1, le mělo by obecný tvr z prvního dílu seriálu, který odpovídá obecně zkřivenému čsoprostoru. Teď tedy konečně vidíme, co se myslí tím, že se částice pohybuje v zkřiveném čsoprostoru po nejrovnějších možných drhách. Myslíme tím to, že délk měřená čtyřintervlem ds je extremální. Reltivistická strun Nše diskuze kce nyní vyvrcholí studiem kce pro reltivistickou strunu, tedy jednorozměrný provázek pohybující se v čsoprostoru. Nše kce bude přímým zobecněním úvh o reltivistické částici. Pohyb částice v čsoprostoru, kterému odpovídá světočár, je určen čtveřicí funkcí x(τ ( x (τ, x 1 (τ, x (τ, x 3 (τ vlstního čsu τ. Podobně bude pohybující se struně odpovídt světoploch v čsoprostoru bude prmetrizován dvěm prmetry X(τ, σ ( X (τ, σ, X 1 (τ, σ, X (τ, σ, X 3 (τ, σ. Prmetr τ odpovídá čsupodobnému směru n světoploše (odpovídá tedy čsu nějkého pozorovtele, ztímco prmetr σ odpovídá prostorupodobnému směru. Přesuneme-li se do soustvy spojené s pozorovtelem, jehož vlstní čs je τ, pk pro nějké τ τ konstntní určuje funkce ( X 1 (τ, σ, X (τ, σ, X 3 (τ, σ, podobně jko v přípdě klsické struny, její tvr v tomto čse. Prmetr σ pk odpovídá prmetru x v klsickém přípdě prmetrizuje strunu v dném čse. N funkci X(τ, σ tedy můžeme nhlížet jko n funkci, která kždému bodu z prostoru prmetrů [τ, σ], τ, l přiřdí jeden bod n světoploše struny jko n obrázku 1. Zobecnění kce je nyní nsndě. V přípdě reltivistické částice byl kce (ž n konstntní prefktory rovn Lorentzovsky invrintní délce světočáry. V přípdě reltivistické struny máme v čsoprostoru dvourozměrnou světoplochu kce bude úměrná plošnému obshu této světoplochy. Akce reltivistické částice vznikl vysčítáním přes čtyřintervly mlých elementů podél trjektorie částice. V přípdě struny budeme sčítt plošné obshy mlých elementů světoplochy. Rozdělme si prostor prmetrů, τ, l n mlinké obdélníčky o délce strn dσ. Změn prmetru τ o element odpovídá zřejmě změně polohy dx µ 1 Xµ τ n světoploše. Podobně bude posunutí σ o element dσ v prostoru prmetrů odpovídt změně polohy dx µ Xµ σ dσ 6

7 Seriál XXVII.III Aplikční τ x τ X(τ, σ l σ x, x 3 x 1 Obr. 1: Prostor prmetrů funkce X(τ, σ přiřzující kždému bodu z prostoru prmetru jeden bod světoplochy. N světoploše jsou tké vyobrzeny souřdnice odpovídjí konstntnímu τ resp. σ. Integrce v kci odpovídá sčítání obshů všech zobrzených elementárních rovnoběžníků. n světoploše. Kždému mlému obdélníčku dσ bude odpovídt n světoploše v čsoprostoru mlinký rovnoběžník určený čtyřvektory dx 1 dx. My bychom si přáli spočíst plochu tohoto rovnoběžníku sečíst plochy všech tkovýchto mlých rovnoběžníků. Vypočtěme tedy plošný element n světoploše v prostoru prmetrů odpovídjící obdélníčku τ, τ + σ, σ+dσ. Velikost sklární součin příslušných čtyřvektorů v čsoprostoru dx 1 dx počítáme pomocí metriky, kterou jsme si zvedli v prvním díle seriálu. Zde využijeme následujícího znčení dx 1 η µνdx µ 1 dxν 1, dx η µνdx µ dxν, dx 1 dx η µνdx µ 1 dxν. Jk le vypočíst obsh rovnoběžníku zdného dvěm vektory u v? Ze školy víme, že obsh rovnoběžníku spočteme jko velikost zákldny krát výšk. Pohledem n obrázek vidíme, že pro obsh S musí pltit S u h u v sin α u v 1 cos α u v u v cos α u v (u v. v h α u Obr. : Obrázek k výpočtu obshu rovnoběžníku zdného dvěm vektory. 7

8 Seriál XXVII.III Aplikční Použijeme-li tento vzorec v nšem přípdě, dostneme plochu nšeho mlého elementu ve tvru ds (dx 1 dx dx 1 dx ( X τ X X X dσ. σ τ σ Nyní už stčí integrovt přes celou plochu přenásobit prefktorem se správným rozměrem dostáváme slvnou Nmbu-Gotovu kci S[X(τ, σ] T τ l ( X c τ X X X dσ. σ τ σ Poznmenejme nyní, že funkce X(τ, σ není určen jednoznčně. Relevntní je výsledný tvr světoplochy, le nezávisí n tom, jk budou n světoploše vypdt křivky konstntního τ σ. Pokud je zvolíme tk, by byly n sebe vždy kolmé, bude první člen pod odmocninou výše nulový my máme kci S[X(τ, σ] T c τ l X X dσ. τ σ Vrici této kce odvození příslušných pohybových rovnic si necháme ž n jindy. Výpočet bude velmi podobný jko v přípdě reltivistické částice, le diskuze pohybových rovnic pro strunu jejich řešení si žádá vlstní díl. V tomto díle jsme se tedy seznámili se třemi význmnými kcemi ukázli si, jk postupovt v odvození příslušných pohybových rovnic. V dlším díle odhlédneme od kce povíme si něco o kvntové mechnice. K Nmbu-Gotově kci se pk vrátíme v pátém díle, kde nás čeká odvození pohybových rovnic, jejich řešení kvntování celé struny. Fyzikální korespondenční seminář je orgnizován studenty MFF UK. Je zstřešen Oddělením pro vnější vzthy propgci MFF UK podporován Ústvem teoretické fyziky MFF UK, jeho změstnnci Jednotou českých mtemtiků fyziků. Toto dílo je šířeno pod licencí Cretive Commons Attribution-Shre Alike 3. Unported. Pro zobrzení kopie této licence, nvštivte Všimněme si, že jsme museli pod odmocninou, stejně jko v přípdě reltivistické částice, prohodit znménko, bychom odmocňovli kldnou veličinu. 8

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců

Téma 9 Těžiště Těžiště rovinných čar Těžiště jednoduchých rovinných obrazců Těžiště složených rovinných obrazců Stvení sttik, 1.ročník klářského studi Tém 9 Těžiště Těžiště rovinných čr Těžiště jednoduchých rovinných orců Těžiště složených rovinných orců Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, VŠB - Technická univerit

Více

Studium termoelektronové emise:

Studium termoelektronové emise: Truhlář Michl 2. 9. 26 Lbortorní práce č.11 Úloh č. II Studium termoelektronové emise: Úkol: 1) Změřte výstupní práci w wolfrmu pomocí Richrdsonovy-Dushmnovy přímky. 2) Vypočítejte pro použitou diodu intenzitu

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu

Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úloha č. 4 Měření momentu setrvačnosti z doby kmitu Úkoly měření:. Určete moment setrvačnosti vybraných těles, kruhové a obdélníkové desky.. Stanovení momentu setrvačnosti proveďte s využitím dvou rozdílných

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

Kótování na strojnických výkresech 1.část

Kótování na strojnických výkresech 1.část Kótování na strojnických výkresech 1.část Pro čtení výkresů, tj. určení rozměrů nebo polohy předmětu, jsou rozhodující kóty. Z tohoto důvodu je kótování jedna z nejzodpovědnějších prací na technických

Více

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu: Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace

Více

1.2.7 Druhá odmocnina

1.2.7 Druhá odmocnina ..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž

Více

5. Geometrické transformace

5. Geometrické transformace 5. Geometrické trnormce V této čáti předmětu 3D počítčová grik e budeme bývt geometrickými trnormcemi 3D objektů. Jedná e o operce pouvů otáčení měn měřítk koení těle vtvořených opercemi modelování. Stejnou

Více

1.3 Druhy a metody měření

1.3 Druhy a metody měření Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 1.3 Druhy a metody měření Měření je soubor činností, jejichž cílem je stanovit hodnotu měřené fyzikální veličiny.

Více

CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 8 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Z injekční stříkačky je skrze jehlu vytlačovaná voda. Průměr stříkačky je D, průměr jehly d. Určete výtokovou rychlost,

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů

4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů 4. cvičení: Pole kruhové, rovinné, Tělesa editace těles (sjednocení, rozdíl, ), tvorba složených objektů Příklad 1: Pracujte v pohledu Shora. Sestrojte kružnici se středem [0,0,0], poloměrem 10 a kružnici

Více

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ HYDRODYNAMIKA

DOPLŇKOVÉ TEXTY BB01 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ HYDRODYNAMIKA DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL CHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAT VUT V BRNĚ HYDRODYNAMIKA Obsah Úod... Průtok kapaliny... Ronice kontinuity... 3 Energie proudící kapaliny... 3 Objemoá hustota energie... 3 Bernoulliho

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 16. ČERVNA 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY NOSNÍKY Nosníky jsou zpravidla přímá tělesa (pruty) uloţená na podporách nebo

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 7.5.2012 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: - Hodnocení: Mikrovlny Abstrakt V úloze je studováno šíření vln volným

Více

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy

7. Odraz a lom. 7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy Trivium z optiky 45 7 draz a lom V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat. KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).

Více

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty

( ) Úloha č. 9. Měření rychlosti zvuku a Poissonovy konstanty Fyzikální praktikum IV. Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty - verze Úloha č. 9 Měření ryhlosti zvuku a Poissonovy konstanty 1) Pomůky: Kundtova trubie, mikrofon se sondou, milivoltmetr, měřítko,

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméno TUREČEK Daniel Datum měření 3..6 Stud. rok 6/7 Ročník. Datum odevzdání 3..7 Stud. skupina 3 Lab.

Více

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201

2.2.2 Zlomky I. Předpoklady: 020201 .. Zlomky I Předpoklady: 0001 Pedagogická poznámka: V hodině je třeba postupovat tak, aby se ještě před jejím koncem začala vyplňovat tabulka u posledního příkladu 9. V loňském roce jsme si zopakovali

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2

SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy

Více

Příklad 1.3: Mocnina matice

Příklad 1.3: Mocnina matice Řešení stavových modelů, módy, stabilita. Toto cvičení bude věnováno hledání analytického řešení lineárního stavového modelu. V matematickém jazyce je takový model ničím jiným, než sadou lineárních diferenciálních

Více

Analýza oběžného kola

Analýza oběžného kola Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...

Více

TO - VŠB FE Datum měření E L E K T R C K É S T R O J E Měření transformátoru naprázdno a nakrátko áhradní schéma Příjmení Jméno Skupina (hodnocení). Zadání úlohy :. Proveďte měření naprázdno třífázového

Více

Zákon o významné tržní síle

Zákon o významné tržní síle Mteriál pro jednání 114. Plenární schůze RHSD ČR konné dne 1. prosince 2014 Zákon o význmné tržní síle Zprcovl: Svz obchodu cestovního ruchu ČR Bude projednáno n PT RHSD pro vnitřní trh dne 18. 11. 201

Více

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce

Žáci mají k dispozici pracovní list. Formou kolektivní diskuze a výkladu si osvojí grafickou minimalizaci zápisu logické funkce Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Název Téma hodiny Předmět Ročník /y/ CZ.1.07/1.5.00/34.0394 VY_32_INOVACE_9_ČT_1.09_ grafická minimalizace Střední odborná škola a Střední odborné učiliště,

Více

7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí?

7.8 Kosmická loď o délce 100 m letí kolem Země a jeví se pozorovateli na Zemi zkrácena na 50 m. Jak velkou rychlostí loď letí? 7. Speciální teorie relativity 7.1 Kosmonaut v kosmické lodi, přibližující se stálou rychlostí 0,5c k Zemi, vyšle směrem k Zemi světelný signál. Jak velká je rychlost signálu a) vzhledem k Zemi, b) vzhledem

Více

ZAŘÍZENÍ K DOPRAVĚ VZDUCHU A SPALIN KOTLEM

ZAŘÍZENÍ K DOPRAVĚ VZDUCHU A SPALIN KOTLEM ZAŘÍZENÍ K DOPRAVĚ VZDUCHU A SPALIN KOTLEM spaliny z kotle nesmějí pronikat do prostoru kotelny => ohniště velkých kotlů jsou převážně řešena jako podtlaková podtlak v kotli je vytvářen účinkem spalinového

Více

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině):

Mechanismy. Vazby členů v mechanismech (v rovině): Mechanismy Mechanismus klikový, čtyřkloubový, kulisový, západkový a vačkový jsou nejčastějšími mechanismy ve strojích (kromě převodů). Mechanismy obsahují členy (kliky, ojnice, těhlice, křižáky a další).

Více

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst

Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst Obsah Metodika kontroly naplněnosti pracovních míst... 1 1 Účel a cíl metodického listu... 2 2 Definice indikátoru Počet nově vytvořených pracovních míst...

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

Difrakce na mřížce. Úkoly měření: Použité přístroje a pomůcky: Základní pojmy, teoretický úvod: Úloha č. 7

Difrakce na mřížce. Úkoly měření: Použité přístroje a pomůcky: Základní pojmy, teoretický úvod: Úloha č. 7 Úloha č. 7 Difrakce na mřížce Úkoly měření: 1. Prostudujte difrakci na mřížce, štěrbině a dvojštěrbině. 2. Na základě měření určete: a) Vzdálenost štěrbin u zvolených mřížek. b) Změřte a vypočítejte úhlovou

Více

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný

Soustava kapalina + tuhá látka Izobarický fázový diagram pro soustavu obsahující vodu a chlorid sodný Soustv kpl + tuhá látk Izobrcký fázový dgrm pro soustvu obshující vodu chlord sodý t / o C H 2 O (s) + esyceý roztok 30 20 10 0-10 -20 t I t II esyceý roztok 2 1 p o NCl (s) + syceý roztok eutektcký bod

Více

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m.

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m. 3. Dynamika Zabývá se říčinou ohybu (jak vzniká a jak se udržuje). Vše se odehrávalo na základě řesných okusů, vše shrnul Isac Newton v díle Matematické základy fyziky. Z díla vylývají 3 ohybové zákony.

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl

Více

Měření změny objemu vody při tuhnutí

Měření změny objemu vody při tuhnutí Měření změny objemu vody při tuhnutí VÁCLAVA KOPECKÁ Katedra didaktiky fyziky, Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Anotace Od prosince 2012 jsou na webovém portálu Alik.cz publikovány

Více

Dynamika tuhých těles

Dynamika tuhých těles Dynamika tuhých těles V reálných technických aplikacích lze model bodového tělesa použít jen v omezené míře. Mnohem častější je použití modelu tuhého tělesa. Tuhé těleso je definováno jako těleso, u něhož

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Rovnice a jejich soustavy Petra Směšná žák měří dané veličiny, analyzuje a zpracovává naměřená data, rozumí pojmu řešení soustavy dvou lineárních rovnic,

Více

TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI. Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót

TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI. Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót TVAROVÉ A ROZMĚROVÉ PARAMETRY V OBRAZOVÉ DOKUMENTACI Druhy kót Části kót Hlavní zásady kótování Odkazová čára Soustavy kót KÓTOVÁNÍ Kótování jednoznačné určení rozměrů a umístění všech tvarových podrobností

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF http://fykos.mff.cuni.cz 23. V. S

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF http://fykos.mff.cuni.cz 23. V. S 23. ročník, úloha V. S... světlo v látce!!! chybí statistiky!!! a) Index lomu v nelineárním materiálu závisí na intenzitě světla I jako n = n + n 2I, kde n a n 2 jsou konstanty větší než nula. Zamyslete

Více

Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava

Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava Základní prvky a všeobecná lyžařská průprava na běžeckých lyžích Základními prvky nazýváme prvky elementární přípravy a pohybových dovedností, jejichž zvládnutí

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 4. Komplexní čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyiky CZ.1.07/..00/07.0018 4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro avedení komplexních čísel ( latinského complexus složený), byla potřeba rošířit množinu (obor)

Více

Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny

Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny cvičení Dřevěné konstrukce Spoje se styčníkovými deskami s prolisovanými trny Úvodní poznámky Styčníkové desky s prolisovanými trny se používají pro spojování dřevěných prvků stejné tloušťky v jedné rovině,

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ

1. POLOVODIČOVÁ DIODA 1N4148 JAKO USMĚRŇOVAČ 1. POLOVODIČOVÁ DIODA JAKO SMĚRŇOVAČ Zadání laboratorní úlohy a) Zaznamenejte datum a čas měření, atmosférické podmínky, při nichž dané měření probíhá (teplota, tlak, vlhkost). b) Proednictvím digitálního

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE NA PC

TECHNICKÁ DOKUMENTACE NA PC TECHNICKÁ DOKUMENTACE NA PC Vypracovala: Jitka Chocholoušková 1 Obsah: 1. Uživatelské prostředí... 4 2. Tvorba objektů... 7 3. Tvorba úsečky... 10 4. Tvorba kružnice a oblouku... 15 4.1. Tvorba kružnice...

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy).

ROZCVIČKY. (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). ROZCVIČKY Z MATEMATIKY 8. ROČ Prezentace jsou vytvořeny v MS PowerPoint 2010 (v nižší verzi může být posunuta grafika a špatně funkční některé odkazy). Anotace: Materiál slouží k procvičení základních

Více

Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí (např. dva křížky u jedné úlohy) bude považován za nesprávnou odpověď.

Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí (např. dva křížky u jedné úlohy) bude považován za nesprávnou odpověď. MATEMATIKA 5 M5PZD16C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 16 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 60

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem

MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem MMEE cv.4-2011 Stanovení množství obchodovatelného zboží mezi zákazníkem a dodavatelem Cíl: Stanovit množství obchodovatelného zboží (předmět směny) na energetickém trhu? Diagram odběru, zatížení spotřebitele

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 7.5.2012 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 2 Hodina: Po 7:30 Spolupracovníci: - Hodnocení: Mikrovlny Abstrakt V úloze je studováno šíření vln volným

Více

SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží ČSOB v orientačním běhu

SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží ČSOB v orientačním běhu SOUTĚŽNÍ ŘÁD soutěží ČSOB v orientačním běhu I. ZÁKLADNÍ USTANOVENÍ 1.1 Soutěžní řád soutěží ČSOB v orientačním běhu (SŘ) stanovuje podmínky mistrovských a dlouhodobých soutěží v orientačním běhu na území

Více

Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace:

Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: 1. na str. 3 požadujete: Volání a SMS mezi zaměstnanci zadavatele zdarma bez paušálního poplatku za tuto službu. Tento požadavek

Více

Pokyny k hodnocení úlohy 1 ZADÁNÍ. nebo NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBĚJÍCÍ ŘEŠENÍ 0

Pokyny k hodnocení úlohy 1 ZADÁNÍ. nebo NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBNÉ ŘEŠENÍ. nebo CHYBĚJÍCÍ ŘEŠENÍ 0 PZK 9 M9-Z-D-PR_OT_ST M9PZD6CT Pokyny k hodnocení Pokyny k hodnocení úlohy BODY ZADÁNÍ Vypočtěte, kolikrát je rozdíl čísel,4 a,7 (v tomto pořadí) menší než jejich součet. (V záznamovém archu je očekáván

Více

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD

TECHNICKÉ KRESLENÍ A CAD Přednáška č. 7 V ELEKTROTECHNICE Kótování Zjednodušené kótování základních geometrických prvků Někdy stačí k zobrazení pouze jeden pohled Tenké součásti kvádr Kótování Kvádr (základna čtverec) jehlan Kvalitativní

Více

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík

9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce. Únava a lomová mechanika Pavel Hutař, Luboš Náhlík 9. Lineárně elastická lomová mechanika K-koncepce Únava a lomová mechanika Faktor intenzity napětí Předpokládáme ostrou trhlinu namáhanou třemi základními módy zatížení Zredukujeme-li obecnou trojrozměrnou

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

1 Zadání konstrukce. Výška stěny nad terénem (horní líc) h= 3,5 m Sedlová střecha, sklon 45, hřeben ve směru delší stěny

1 Zadání konstrukce. Výška stěny nad terénem (horní líc) h= 3,5 m Sedlová střecha, sklon 45, hřeben ve směru delší stěny 1 1 Zadání konstrukce Základní půdorysné uspořádání i výškové uspořádání je patrné z obrázků. Dřevostavba má obytné zateplené podkroví. Detailní uspořádání a skladby konstrukcí stěny, stropu i střechy

Více

Mezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů.

Mezní kalibry. Druhy kalibrů podle přesnosti: - dílenské kalibry - používají ve výrobě, - porovnávací kalibry - pro kontrolu dílenských kalibrů. Mezní kalibry Mezními kalibry zjistíme, zda je rozměr součástky v povolených mezích, tj. v toleranci. Mají dobrou a zmetkovou stranu. Zmetková strana je označená červenou barvou. Délka zmetkové části je

Více

ZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY

ZÁPISKY Z ANALYTICKÉ GEOMETRIE 1 SOUŘADNICE, BODY 1 Souřadnice, body 1.1 Prostor prostor můžeme chápat jako nějaké prostředí, ve kterém můžeme mít různé věci na různých místech místo, poloha - tohle potřebujeme nějak popsat abychom mohli změřit nebo říci,

Více

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY

SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY SBORNÍK PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY 1. Výrazy a počítání s nimi... 4 1.1. Mocniny s celým exponentem a s racionálním exponentem... 4 1.2 Počítání s odmocninami... 7 1.3 Úpravy algebraických výrazů... 10 2. Rovnice,

Více

(1) (3) Dále platí [1]:

(1) (3) Dále platí [1]: Pracovní úkol 1. Z přiložených ů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. 2. Změřte zvětšení a zorná pole mikroskopu pro všechny možné kombinace ů a ů. Naměřené

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.2 Poruchy krystalické mřížky Opakování z minula Materiál Degradační procesy Vnitřní stavba atomy, vazby Krystalické, amorfní, semikrystalické Vlastnosti materiálů

Více

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha: 4 Název úlohy: Balmerova série Kroužek: po-do Datum měření: 10. března 014 Skupina: Vypracoval: Ondřej Grover Klasifikace: 1 Pracovní úkoly 1. (Nepovinné) V

Více

5 - Stanovení teoretické a experimentální hodnoty koeficientu prostupu tepla

5 - Stanovení teoretické a experimentální hodnoty koeficientu prostupu tepla 5 - Stanovení teoretické a experimentální hodnoty koeficientu prostupu tepla I Základní vztahy a definice Sdílením tepla rozumíme převod energie z místa s vyšší teplotou na místo s nižší teplotou vlivem

Více

Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin

Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Jaub Vágner, Aleš Hába Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Klíčová slova: vypružení, flexi-coil, příčná tuhost, MKP, šroubovitá pružina. Úvod Vinuté pružiny typu flexi-coil jsou dnes jedním

Více

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE

MECHANICKÁ PRÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE A ENERGIE MECHANICKÁ RÁCE Konání práce je podmíněno silovým působením a pohybem Na čem závisí velikost vykonané práce Snadno určíme práci pro případ F s ráci nekonáme, pokud se těleso nepřemísťuje

Více

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3)

(3) Zvolíme pevné z a sledujme dráhu, kterou opisuje s postupujícím časem koncový bod vektoru E v rovině z = konst. Upravíme vztahy (2) a (3) Učební tet k přednášce UFY1 Předpokládejme šíření rovinné harmonické vln v kladném směru os z. = i + j kde i, j jsou jednotkové vektor ve směru os respektive a cos ( ) ω ϕ t kz = + () = cos( ωt kz+ ϕ )

Více

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 - ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015

Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015 Studentská tvůrčí a odborná činnost STOČ 2015 ULTRAZUKOVÉ VIDĚNÍ PRO ROBOTICKÉ APLIKACE Bc. Libor SMÝKAL Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Fakulta aplikované informatiky Nad Stráněmi 4511 760 05 Zlín 23.

Více

Matematické metody rozhodování

Matematické metody rozhodování Matematické metody rozhodování Roman Hájek, Klára Hrůzová, Tomáš Konečný, Markéta Krmelová, Martin Trnečka 30. dubna 200 Rozhodovacíproblém: Výběrideálníhonotebooku. ID Notebook Váha Design Baterie Procesor

Více

Zadání. Založení projektu

Zadání. Založení projektu Zadání Cílem tohoto příkladu je navrhnout symetrický dřevěný střešní vazník délky 13 m, sklon střechy 25. Materiálem je dřevo třídy C24, fošny tloušťky 40 mm. Zatížení krytinou a podhledem 0,2 kn/m, druhá

Více

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky

Výstupy Učivo Téma. Čas. Základní škola a mateřská škola Hať. Školní vzdělávací program. Průřezová témata, kontexty a přesahy,další poznámky provádí pamětné a písemné početní Čísla přirozená Opakování září, říjen operace v oboru přirozených čísel porovnává a uspořádává čísla celá a Čísla celá, racionální racionální, provádí početní operace

Více

Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru

Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru 1 Návrh induktoru a vysokofrekven ního transformátoru Induktory energii ukládají, zatímco transformátory energii p em ují. To je základní rozdíl. Magnetická jádra induktor a vysokofrekven ních transformátor

Více

Změny délky s teplotou

Změny délky s teplotou Termika Teplota t Dokážeme vnímat horko a zimu. Veličinu, kterou zavádíme pro popis, nazýváme teplota teplotu (horko-chlad) však nerozlišíme zcela přesně (líh, mentol, chilli, kapalný dusík) měříme empiricky

Více

4.5.4 Magnetická indukce

4.5.4 Magnetická indukce 4.5.4 Magnetická indukce Předpoklady: 4501, 4502, 4503 Př. 1: Do homogenního magnetického pole se svislými indukčními čarami položíme svislý vodič s proudem. Urči směr síly, kterou bude na vodič působit

Více

PRAKTIKUM... Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Odevzdal dne: Seznam použité literatury 0 1. Celkem max.

PRAKTIKUM... Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Odevzdal dne: Seznam použité literatury 0 1. Celkem max. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM... Úloha č. Název: Pracoval: stud. skup. dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická

Více

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE

NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE NÁVRHOVÝ PROGRAM VÝMĚNÍKŮ TEPLA FIRMY SECESPOL CAIRO 3.5.5 PŘÍRUČKA UŽIVATELE 1. Přehled možností programu 1.1. Hlavní okno Hlavní okno programu se skládá ze čtyř karet : Projekt, Zadání, Výsledky a Návrhový

Více