PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová

Transkript

1 RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová

2 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování náhodnosti a neurčitosti. (Náhodnost je spojena s nedostatečnou znalostí počátečních podmínek.)

3 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti okus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Deterministické pokusy Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. X Náhodné pokusy ro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane.

4 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou

5 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi

6 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). adne šestka.

7 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Hod kostkou Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). adne sudé číslo.

8 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Stanovení množství cholesterolu v krvi Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O pravdivosti tohoto tvrzení lze po ukončení pokusu rozhodnout. Značíme velkými písmeny (A, B, X, Y, ). Zjištěná hodnota cholesterolu bude odpovídat normě. ro laika v oboru nutno specifikovat!!!

9 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá. Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout. (značíme A, B, X, Y, ) Elementární jev ω jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω množina všech elementárních jevů

10 Typy jevů adne 7. adne 6. adne méně než 7. Jev nemožný Jev náhodný Jev jistý Ω A jev praktický nemožný A < 0,05 B jev praktický jistý B > 0,95

11 Vybrané vztahy mezi jevy A Ω A Ω A Ω Aҧ B B doplněk jevu A Aҧ průnik jevů A a B A B sjednocení jevů A a B A B A Ω B 3 B jevy disjunktní B 5 B 7 B 1 B 2 B 4 B 6 úplná množina vzájemně disjunktních jevů n Ω = ራ B i, kde i j: B i B j = i=1 Ω

12 Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. Jak pravděpodobnost definovat?

13 Klasická definice pravděpodobnosti (ierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. ravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: A = m n Mějme férovou hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne 6? Označme: A padne 6, pak A = 1 6.

14 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) A = lim n n(a) n očet realizací pokusu příznivých jevu A očet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí 6 na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka férová?

15 n A / n Statistická definice pravděpodobnosti 0,16 1/6 Relativní četnost jevu "padne 6" n A = lim n n(a) n

16 Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. ravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: A = lim n A Ω Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu?

17 Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. ravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. ravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna ravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností.

18 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C náhodně vybraný útvar je červený náhodně vybraný útvar je srdíčko

19 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete C.

20 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete C.

21 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete C. C = n C n = 5 20 = 0,25

22 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete C.

23 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete C. C = 2 20 = 0,10

24 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete C.

25 odmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. A B = A B B, B 0 (A B) čti pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B

26 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete C.

27 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete C.

28 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete C. C = n C n = n C n n n = C = 2 6

29 odmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. A B = A B B, B 0 (A B) čti pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B

30 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete C.

31 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete C.

32 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete C.

33 V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete C. C = n C + n n C n = C + C

34 Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. otom platí : 1. 0 A 1 2. Ω = 1; = 0 3. A ҧ = 1 A 4. A B = A + B A B A, B disjunktní jevy A B = A + B 5. A B = A B. B A, B nezávislé jevy A B = A. B

35 1 an Ondra Hypoch tak dlouho obtěžoval lékaře, až mu lékař napsal prášky. V příbalovém letáku se Ondra dočetl, že mají dva možné nežádoucí účinky: a) vypadání zubů (15%), b) upadnutí palců na rukou (20%). Zároveň je v letáku napsáno, že nebyla prokázána závislost mezi výskytem jednotlivých typů nežádoucích účinků. S jakou pravděpodobností se bude moci Ondra po ukončení léčby kousnout do palce? (dle: Luboš ick; přednáška Dirichletovy šuplíčky na semináři OSMA)

36 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že a) v prvním tahu vytáhneme bílou kuličku, Jev B1 C1 B2 C2 Definice jevu při první realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička při první realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena bílá kulička při druhé realizaci náh. pokusu byla vytažena černá kulička 10 ks 5 ks B1 33,3%

37 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že b) vytáhli-li jsme v prvním tahu bílou kuličku, ve druhém tahu vytáhneme taky bílou kuličku, 1. tah 10 ks 5 ks 2. tah (byla-li v 1. tahu vytažena bílá kulička) 10 ks 4 ks B2 B1 28,6%

38 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 2 bílé kuličky, B1 B2 B2 B1 B ,5%

39 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve dvou tazích vytáhneme 1 bílou a 1 černou kuličku, nebo B1 C2 C1 B2 2 B1 B1 B2 C1 C C ,6%

40 Neprůhledný pytlík obsahuje 10 černých a 5 bílých kuliček. Budeme provádět náhodný pokus vytažení jedné kuličky, přičemž kuličku do pytlíku nevracíme. Určete pravděpodobnost, že c) ve druhém tahu vytáhneme bílou kuličku, nebo B2 B1 B2 C1 B2 2 B1 B1 B2 C1 C B ,3% okus probíhající po etapách možnost záznamu pomocí rozhodovacího (stochastického) stromu

41 Věta o úplné pravděpodobnosti A B 3 B 5 B 7 B 1 B 2 B 4 B 6 A = ڂ n i=1 A B i = σ n i=1 A B i = σ n i=1 A B i B i

42 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30%

43 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 70% 30% 80% 20%

44 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? 10% 90% 70% 30% 80% 20%

45 ravoúhlý Vennův diagram 10% 90% 70% 30% 80% 20%

46 DV DV D DV CH DV D D DV CH CH DV 0, 8 0, 3 01, 0, 7 0, 31 DV CH 0, 1 KV CH 0, 9 CH 0, 7 0,07 0,63 D 0, 3 0,24 DV D 0, 8 KV D 0, 2 0,06

47 Rozhodovací strom ohlaví Délka vlasů Studenti CH 0, 7 DV CH 0, 1 CH KV CH 0, 9 DV KV CH DV 0, 7 01, 0, 07 CH KV 0, 7 0, 9 0, 63 D 0, 3 D DV D 0, 8 DV D DV 0, 3 0, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 3 0, 2 0, 06

48 DV DV D DV CH DV D D DV CH CH DV 0, 8 0, 3 01, 0, 7 0, 31 ohlaví Délka vlasů Studenti CH 0, 7 D 0, 3 DV CH 0, 1 CH D KV CH 0, 9 DV D 0, 8 DV KV DV CH DV 0, 7 01, 0, 07 CH KV 0, 7 0, 9 0, 63 D DV 0, 3 0, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 3 0, 2 0, 06

49 2 ředpokládejme, že v populaci je 25% dětí, 60% osob v reprodukčním věku a 15% osob v postreprodukčním věku. ravděpodobnost úrazu u dítěte je 20%, pravděpodobnost úrazu u osoby v reprodukčním věku je 10% a pravděpodobnost úrazu u osob v postreprodukčním věku je 40%. Jaká je pravděpodobnost úrazu v dané populaci?

50 Bayesův teorém Thomas Bayes ( ) zdroj: B k A A B A k i A Bk A B i

51 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70 % Apriorní pravděpodobnost

52 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? CH DV =? Aposteriorní pravděpodobnost

53 CH DV CH DV 0, 07 0, 226 DV 0, 31 Studenti CH 0, 7 D 0, 3 DV 0, 8 0, 3 01, 0, 7 0, 31 Daný stav DV CH 0, 1 CH D KV CH 0, 9 DV D 0, 8 Výsledek testu DV KV DV CH DV 0, 7 01, 0, 07 CH KV 0, 7 0, 9 0, 63 D DV 0, 3 0, 8 0, 24 KV D 0, 2 KV D KV 0, 3 0, 2 0, 06

54 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? CH DV = CH DV DV 0,226 Aposteriorní pravděpodobnost

55 Ve třídě je 70% procent chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. A) Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 70% B) Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student je chlapec? 22,6%

56 3 ředpokládejme, že v populaci je 25% dětí, 60% osob v reprodukčním věku a 15% osob v postreprodukčním věku. ravděpodobnost úrazu u dítěte je 20%, pravděpodobnost úrazu u osoby v reprodukčním věku je 10% a pravděpodobnost úrazu u osob v postreprodukčním věku je 40%. Jaká je pravděpodobnost, že osoba, která utrpěla úraz je dítě?

57 Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Etiologické studie (hledání a výklad příčin vzniku) Matematické modely diagnostického nebo prognostického rozhodování Screeningové testování Hodnocení kvality screeningového testu pro detekci sledované osoby Cíl: Vyvážit klady včasné detekce nemoci u osob, které nemoc skutečně mají a nepříznivé důsledky, které vzniknou tím, že test určí jako nemocné i ty osoby, které sledovanou nemoc nemají.

58 Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Označme: N + N T + T nemoc se u pacienta vyskytuje nemoc se u pacienta nevyskytuje test vyšel pozitivní test vyšel negativní ředpokládejme, že známe: (N + ) T = (T + N + ) TN = (T N ) p-st výskytu nemoci (prevalence apriorní p-st) p-st, že test je pozitivní u nemocné osoby (senzitivita testu) p-st, že test je negativní u osoby, která nemoc nemá (specificita testu) Senzitivita a specificita jsou charakteristiky testu. Odhadují se na základě zkušenosti, resp. dle pilotního projektu.

59 Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Výskyt nemoci Výsledek testu prevalence acienti senzitivita testu N + T + T N T + True ositive False Negative False ositive specificita testu T True Negative

60 Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice Zdroj:

61 Využití Bayesovy věty v lékařské diagnostice ředpokládejme, že známe: (N + ) T = (T + N + ) TN = (T N ) p-st výskytu nemoci (prevalence apriorní p-st) p-st, že test je pozitivní u nemocné osoby (senzitivita testu) p-st, že test je negativní u osoby, která nemoc nemá (specificita testu) Co nás zajímá? FN = (T N + ) F = (T + N ) NT = (N T ) T = (N + T + ) p-st, že test je negativní u nemocné osoby (falešná negativita testu) p-st, že test je pozitivní u osoby, která nemoc nemá (falešná pozivita testu) p-st, že osoba, u níž je test negativní, skutečně nemoc má (prediktivní hodnota negativního testu) p-st, že osoba, u níž je test pozitivní, skutečně nemoc má (prediktivní hodnota pozitivního testu) R = = (N + T + ) + (N T ) p-st, že test dává správné výsledky (přesnost testu)

62 4 ředstavme si, že provádíme test na okultní krvácení ve stolici (FOB) u osob ke zjištění chorobných změn v dolní části zažívacího traktu. ak můžeme popsat možné stavy pomocí níže uvedené tabulky. Určete senzitivitu a specificitu testu, prediktivní hodnoty a přesnost testu. má rakovinu tlustého střeva nemá rakovinu tlustého střeva celkem test pozitivní test negativní celkem

63 5 ředpokládejme, že prevalence choroby je 0,005. Máme k dispozici dva diagnostické testy T 1, T 2. rvní test (T 1 ) má sensitivitu 0,95 a specificitu 0,90, druhý test (T 2 ) má sensitivitu 0,92 a specificitu 0,99. a) Určete prediktivní hodnoty a přesnost testu T 1.

64 5 ředpokládejme, že prevalence choroby je 0,005. Máme k dispozici dva diagnostické testy T 1, T 2. rvní test (T 1 ) má sensitivitu 0,95 a specificitu 0,90, druhý test (T 2 ) má sensitivitu 0,92 a specificitu 0,99. b) U osob pozitivně testovaných testem T 1 byl proveden test T 2. Určete pravděpodobnost, že osoba, která má pozitivní i test T 2, skutečně nemoc má.

65 5 ředpokládejme, že prevalence choroby je 0,005. Máme k dispozici dva diagnostické testy T 1, T 2. rvní test (T 1 ) má sensitivitu 0,95 a specificitu 0,90, druhý test (T 2 ) má sensitivitu 0,92 a specificitu 0,99. c) Jak se změní výsledky testování, změníme-li pořadí testů? Určete prediktivní hodnoty a přesnost testu T 2 a poté určete pravděpodobnost, že osoba, která má pozitivní test T 2 a poté i test T 1, skutečně nemoc má. V čem je rozdíl mezi jednotlivými přístupy?

66 ROC křivka V praxi je senzitivita a specificita testu svázána, závisí na volbě prahové hodnoty, která rozhoduje o pozitivním a negativním výsledku testu. Jak určit prahovou hodnotu testu tak, abychom stanovili rovnováhu mezi FN a F závěry?

67 ROC křivka ROC křivka křivka, která vyjadřuje vztah mezi senzitivitou a specificitou testu pro různé prahové hodnoty. Nejlepší diagnostický test se vyznačuje ROC křivkou s největší plochou pod křivkou (Area Under Curve AUC). Je-li plocha rovná 1, je test ideální a má 100% senzitivitu i specificitu. Když ROC křivka odpovídá testu A, znamená to, že každé zlepšení senzitivity je zaplaceno stejně významným zhoršením specificity a test není dobře navržen. locha pod křivkou je 0,5 a test tak není lepší než házení mincí.

68 ROC křivka ROC křivka křivka, která vyjadřuje vztah mezi senzitivitou a specificitou testu pro různé prahové hodnoty. AUC Kvalita testu 0,50 0,75 oprávněný 0,75 0,92 dobrý 0,92 0,97 velmi dobrý 0,97 1,00 vynikající

69 Literatura Litschmannová, M. (2012), Vybrané kapitoly z pravděpodobnosti, elektronická skripta a doplňkové interaktivní materiály (kapitola Úvod do teorie pravděpodobnosti) Zvárová, J. (1999), Základy statistiky pro biomedicínské obory, dostupné on-line: (kapitola 3)

70 DĚKUJI ZA OZORNOST!