Teoretická otázka č. 11 K čemu slouží analýza citlivosti báze vhledem ke složkám vektoru pravých stran? Popište rámcově způsob jejího provedení.

Transkript

1 Bodování zkouškového testu: Teorie 40 bodů: 4x 0 Příklady 60 bodů: Bonifikace 20 bodů Celkem 20 bodů: Přehled některý možných zkouškových otázek z EMMI. Teoretická otázka č. Volně charakterizujte pojmy optimální řešení, alternativní řešení a suboptimální řešení v úlohách lineárního programování. Jak se existence těchto řešení pozná ve výsledné simplexové tabulce? Teoretická otázka č. 2 Jaký je reálný význam ohodnocení hran v metodě CPM? Teoretická otázka č. 3 Proč mají umělé proměnné prohibitivní sazbu? Jaké hodnoty tato sazba obvykle má? Teoretická otázka č. 4 Jak se pozná degenerace v simplexové tabulce a v grafickém řešení? Teoretická otázka č. 5 Popište princip (ne algoritmus) hledání nejkratší cesty mezi dvěma zadanými uzly grafu. Teoretická otázka č. 6 Uveďte a stručně popište komponenty modelů lineárního programování. Teoretická otázka č. 7 Uveďte dvě základní podmínky pro aplikovatelnost simplexového algoritmu. Jaký je jejich význam, proč je jejich splnění nutné? Teoretická otázka č. 8 Stručně popište princip metody severozápadního rohu v modelu jednostupňové dopravní úlohy. K čemu se tato metoda používá, jak dobré výsledky poskytuje? Teoretická otázka č. K čemu slouží analýza citlivosti báze vhledem ke složkám vektoru pravých stran? Popište rámcově způsob jejího provedení. Teoretická otázka č. 2 Uveďte princip řešení dvoustupňové dopravní úlohy jako úlohy jednostupňové. Co je to úloha o optimálním dimenzování meziskladů? Teoretická otázka č. 3 Popište modifikaci Vogelovy aproximační metody pro řešení okružních dopravních problémů. Teoretická otázka č. 4 Co je to systém? Jaký je význam v procesu systémového modelování? Teoretická otázka č. 5 Popište účel, princip a postup provedení testu optimality v simplexové tabulce. Teoretická otázka č. 6 Co je to Dantzigův uzavřený obvod? K čemu slouží při řešení modelu jednostupňové dopravní úlohy? Teoretická otázka č. 7 Kde a k čemu se používá Mayerova metoda? Stručně popište její princip. Příklad na lineární programování č. Zemědělský podnik má k dispozici 00 ha orné půdy, 600 hodin živé práce při jarní pracovní špičce a 500 hodin živé práce při sklizni. Určete strukturu plodin A, B, C, D, při které podnik dosahuje maximálního zisku. A B C D jaro (hod./ha) 0 5 sklizeň (hod./ha) 0 25 zisk Kč a) Sestavte model lineárního programování. b) Napište výchozí simplexovou tabulku. c) Proveďte krok výpočtu simplexovým algoritmem. d) Uveďte hodnoty všech proměnných po prvním kroku výpočtu a hodnotu účelové funkce. Teoretická otázka č. 9 Popište princip informovaného prohledávání grafů. Uveďte a stručně popište vybranou metodu informovaného prohledávání grafu. Teoretická otázka č. 0 Popište postup převodu modelu z nerovnicového do rovníkového tvaru. Proč tento krok při řešení modelu lineárního programování provádíme? - -

2 Příklad na lineární programování č. 2 Výrobce televizorů potřebuje sestavit výrobní program tak, aby jeho zisk byl maximální. Každý televizor potřebuje čas na kompletaci a testování (viz. tabulka). K dispozici je celkem 200 obrazovek, 2000 hodin na kompletaci a 500 hodin na testování. Sport Standard Turist Super Čas na kompletaci hod/kus Čas na testování hod/kus Zisk 5/kus a) Sestavte model lineárního programování. b) Napište výchozí simplexovou tabulku. Příklad na lineární programování č. 3 Je dáno výchozí řešení maximalizační úlohy LP. a) Najděte klíčový prvek. b) Vypočítejte optimální řešení simplexovým algoritmem. c) Napište hodnoty všech proměnných a účelové fce pro optimální řešení x x2 x3 x4 x5 x6 b Omega 0 x x x Příklad na lineární programování č. 4 Betonárka vyrábí dva druhy betonových směsí: kameninu zpevněnou cementem KSC a výplňový beton B5. Na výrobu každé směsi jsou potřeba tři základní suroviny: cement, kamenivo a voda. Zatímco voda je pro betonárku neomezený zdroj, cementu je možno pro denní produkci využít nejvýše 80 t a kameniva 50 t. Další suroviny a zdroje jsou k dispozici v neomezeném množství. Na jeden kubík směsi KSC se spotřebuje 0,2 t cementu a 0,5 t kameniva, na jeden kubík směsi B5 se spotřebuje 0,4 t cementu a 0,3 t kameniva. Betonu B5 je třeba denně vyrobit nejméně 20 m3. Určete výrobní program maximalizující zisk betonárky v případě, že zisk kubíku KSC je 300 Kč a z jednoho kubíku směsi B5 400 Kč. a) Sestavte model lineárního programování. (5 b.) b) Napište výchozí simplexovou tabulku. (5 b.) c) Proveďte krok výpočtu simplexovým algoritmem (0 b) d) Z tohoto řešení určete a interpretujte hodnoty všech proměnných a hodnotu účelové funkce. (5 b) Příklad na lineární programování č. 5 Sestavte duální model k následujícímu modelu lineárního programování (5 b.) 2x + 5x 2 3x 3 5 x 2 + 4x 3 = 0 x + 2x 2 2 4x + 2x 3 5 z = 2x + x 2 +3x 3 MIN x 0; x 2 0; x 3 bez omezení (s.l.) Příklad na lineární programování č. 6 Obchodník s krmivem pro domácí mazlíčky připravuje vlastní krmné směsi pro křečky. K dispozici je maximálně 60 kg pšenice, 30 kg kukuřice a 6 kg vitamínových doplňků. Směsi Džungar je třeba připravit alespoň 0 balení. Prodejní cena za jeden balíček směsi Džungar je 7,- Kč a za směs Opti- Fit 22,- Kč. Obchodník maximalizuje tržby za prodané balíčky krmných směsí. Spotřeba surovin v kg/balení Směs Džngar (balíček) Směs Opti-Fit (balíček) Pšenice 3 Kukuřice 2 4 Vitamínový doplňěk --- Je dána výchozí a výsledná simplexová tabulka modelu lineárního programování pro tento problém: x x2 d d2 d3 d4 p4 b 0 d d d p4 0-0 zj-cj d 0-5 -, d , d x 2 0 0, zj-cj , a) Uveďte definici všech proměnných (i doplňkových a pomocných) ve formátu: proměnná název proměnné jednotky (např. x 8 spotřeba paliva (l/00 km)). (5 b.) b) Který zdroj (pšenice, kukuřice, vitamíny) je plně vyčerpán? Jak by se změnilo řešení a hodnota ÚF, kdybychom dokázali sehnat další 2 kg tohoto zdroje za 4 Kč/kg? (0 b.) - 2 -

3 c) Zákazník nutně potřebuje pro svoje křečky 2 balíčky směsi Opti-Fit a nabízí nám cenu 32 Kč/bal. Lze mu v rámci stávající struktury řešení vyhovět? Pokud ano, vyplatí se nám to? Své odpovědi zdůvodněte příslušnými výpočty. (0 b.) Příklad na lineární programování č. 7 Rodinné zahradnictví pěstuje okrasné rostliny. K dispozici má maximálně 00 m2 záhonových ploch. Plánuje prodej okrasných rostlin a k dispozici má semena begónií, hlazenců, jiřinek, cínií a petunií. Plošná náročnost begónií je 25 rostlin/m2, hlazenců a jiřinek shodně 40 rostlin/m2, cinií je 90 rostlin/m2 a petunií 25 rostlin/m2. Rozhoduje se, na kolika m2 má kterou rostlinu pěstovat, aby maximalizovala své tržby, když za jednu rostlinu begonií utrží 40,- Kč, hlazenců 30,- Kč, cinií 40,- Kč a petunií 20,- Kč. Přičemž po zkušenosti z minulého roku, kdy šly na odbyt hlavně petunie, begónie a jiřinky, chce tyto tři rostliny pěstovat alespoň na 50 m2. Dopravní úloha č. 3 Jednostupňová dopravní úloha a) Najděte výchozí řešení jednostupňové dopravní úlohy indexovou metodou. b) Proveďte test optima. c) Rozhodněte, zda je řešení optimální. Důl D Důl D2 Elektrárny E E2 E3 E a i 3 4 a) Sestavte model lineárního programování. (0 b.) b) Vyřešte tento model graficky pomocí vhodného zobrazení. (0 b.) c) Z výsledku grafického řešení odvoďte, na jakých výměrách pěstovat jednotlivé druhy květin a jaké budou očekávané tržby. (5b.) Důl D3 Důl D Dopravní úloha č. Kapacity Požadavky Vzdálenosti: dodavatelů: spotřebitelů: S S2 S3 S4 D 50 S 30 D D2 20 S2 50 D D3 90 S3 50 D D4 50 S4 90 D Řešte tuto dopravní úlohu: Úkoly: a) Proveďte vyvážení úlohy, pokud je potřeba. b) Najděte výchozí řešení libovolnou metodou a napište, kterou. c) Odstraňte degeneraci, pokud je potřeba. d) Proveďte test optima tohoto výchozího řešení. e) Pokud řešení není optimální, sestrojte Dantzigův uzavřený obvod. f) Určete hodnotu, která se bude po obvodu přesouvat. g) Napište nové řešení. Dopravní úloha č. 2 Je třeba přesunout stroje z míst A, B, C, D na místa E, F, G, H. Navrhněte plán přesunu tak, aby celková ujetá vzdálenost bylo co nejmenší. b j Dopravní úloha č. 4 Okružní dopravní úloha a) Najděte řešení Vogelovou aproximační metodou. b) Napište celou trasu a spočítejte její celkovou délku. Kouty Blazov Miletice Kostelec Kouty x Blazov 24 x 35 2 Miletice 8 35 x 4 Kostelec x E F G H A B C D

4 Dopravní úloha č. 5 S S2 S3 S4 ai D D D D a) Najděte optimální plán přejezdů minimalizující celkovou ujetou vzdálenost. Kolik km se celkem najezdí? (2 b.) b) Existuje alternativní řešení problému? Pokud ano, najděte jej. (3 b.) Dopravní úloha č. 7 Je dána jednostupňová dopravní úloha a její řešení. S S2 S3 ai D D D bj a) Je tato úloha vyvážená? Je aktuální řešení degenerované? (2 b.) b) Nalezněte optimální řešení této úlohy. (0 b.) c) Vypočtěte hodnotu účelové funkce optimálního řešení (2 b.) d) V optimálním řešení si vyberte dvě obsazená pole a dvě neobsazená (6 b.) pole a určete jejich propustnost D FIKT Dopravní úloha č. 8 Chovatel se rozhodl rozšířit svůj chov a pořídil si 5 nových zvířat. Bohužel už mu zbývá jen 5 posledních chovných prostor a musí do nich zvířata rozdělit. Náklady na chov se podle jednotlivých zvířat liší, jsou v tabulce (tis. Kč/měs.). bj a) Je tato úloha vyvážená? Je aktuální řešení degenerované? (2 b.) b) Nalezněte optimální řešení této úlohy. (0 b.) c) Vypočtěte hodnotu účelové funkce optimálního řešení. (2 b.) d) Proveďte analýzu perspektivy všech neobsazených tras. (6 b.) Dopravní úloha č. 6 Nehodové jednotky energetické společnosti zajišťují na Pardubicku po větrné smršti obnovení dodávek elektrického proudu do domácností. Budou pracovat do pozdních hodin a na noc se musí vrátit na domovské základny, tak aby na každé základně byla právě jedna jednotka v pohotovosti na příští den. Navrhněte, kam by se která jednotka měla vrátit, aby přejezdy byly co nejkratší. Skleněné terárium Venkovní klec Uzavíratelná bouda Otevřená bouda Ohrádka do dvorku Tygr Ptakopysk Lemur Varan Sojka 3 2 0,5 0,5 a) Upravte zadání, abyste vyloučili, že se tygr bude tísnit ve skleněném teráriu a sojka uletí z otevřeného prostoru (terárium je uzavíratelné). (5 b.) b) Nalezněte nákladové optimální prostory pro jednotlivá zvířata. (5 b.) Jednotka: Základna Základna Základna Základna Pardubice Přelouč Chrudim Čáslav ve Zdechovicích ve Žlebech v Žehušicích V Moravanech

5 Projekt je zadán následujícím grafem. a) Správně očíslujte uzly. b) Řešte úlohu metodou CPM. c) Vyznačte kritickou cestu a její délku. d) Spočtěte Celkovou rezervu tučně vyznačené činnosti