1.1 Steinerovy věty. lineární momenty a momenty kvadratické. Zajímat nás budou nyní osové kvadratické. v ohybu. Jejich definice je
|
|
|
- Kryštof Čermák
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ PRUŽNOST A PEVNOST I Řešené příklad Výpočet osových kvadratických momentů Pátek, 9. května 8 Jan Tihlařík
2
3 1 Osové kvadratické moment průřeů Geometrické charakteristik příčného průřeu jsou veličin, které svým působem charakteriují příčný průře a jsou používán hlavně při výpočtech napětí a deformace pro jednotlivé působ namáhání. Mei geometrické charakteristik patří například plocha příčného průřeu, lineární moment a moment kvadratické. Zajímat nás budou nní osové kvadratické moment. T se pouˇívají například při řešení napětí a deformace v ohbu. Jejich definice je J = ds, roměr je [ m 4], (1) J = ds, roměr je [ m 4]. () Spolu s uvedenými osovými kvadratickými moment je dobré uvést i polární kvadratický moment, který se pouˇívá často při řešení napětí a deformace v krutu J P = r ds, roměr je [ m 4], () 1.1 Steinerov vět Osové kvadratické moment ve vtaích (1) a () jsou vtaˇen k centrálním osám a, tn. k osám, které procháejí těˇištěm průřeu. Pro praktické vuˇití je často potřeba tto moment transformovat k posunutým osám a (často jsou to hlavní centrální os). K tomu se vuˇívá tv. Steinerových vět J = J + S, (4) J = J + S, (5) kde je velikost posunutí -ové os a je velikost posunutí -ové os.
4 1. Řešené příklad Příklad 1 Vpočtěte osové kvadratické moment průřeu obdélníku o roměrech stran h a b k osám a podle obráku 1. d h b d Obráek 1: Obdélníkový příčný průře. S pouˇitím vtahů (1) a () vpočteme osové kvadratické moment pro obdélníkový průře následovně. J = ds, kde ds = bd. Integrováním v meích od h/ do h/ dostáváme J = bd = h/ h/ [ bd = b ] h/ h/ [ ] h = b 8 + h = bh 8 1. Analogick pro J dostáváme J = ds, kde ds = hd, J = hd = b/ b/ [ hd = h ] b/ b/ Osové kvadratické moment obdélníkového průřeu jsou [ ] b = h 8 + b = hb 8 1. J = bh 1 a J = hb 1. (6) 4
5 Příklad Vpočtěte osové kvadratické moment trojúhelníkového průřeu o délkách odvěsen h a b k osám a podle obráku. () h d b Obráek : Trojúhelníkový příčný průře. Abchom bli schopni vjádřit plošný element ds, podle něhož budeme integrovat, vjádříme vdálenost jako funkci, ted () ve tvaru () = b b ( h, plošný element ted bude ds = b b ) h d. Nní integrujeme opět podle vtahu (1) v meích od do h J = ds = h ( b b )d h h = bd h b h d = Analogick [ = b ] h b h [ 4 4 ] h = b h bh 4 = bh 1. J = ds = b ( h h )d b b = hd b h b d = [ = h ] b h b [ 4 4 ] b = h b hb 4 = hb 1. Osové kvadratické moment trojúhelníkového průřeu jsou ted J = bh 1 a J = hb 1. (7) 5
6 Příklad Vpočtěte osové kvadratické moment obdélníkového průřeu o délkách stran h a b k posunutým osám a podle obráku. b T h T T h b Obráek : Obdélníkový příčný průře a dva souřadné sstém. Pro výpočet osových kvadratických momentů k posunutým osám a použijeme již vpočtené moment příkladu 1 a použijeme Steinerov vět (4) a (5). V příkladu 1 jsme vpočetli centrální osové kvadratické moment J T = bh 1, J T = hb 1. Posunutím os o vdálenosti h/ proti směru os a b/ proti směru os (vi. obráek ) dojde k transformaci osových kvadratických momentů podle Steinerových vět ( J = J T + S = bh 1 + h ) S = bh J = J T + S = hb 1 + ( b 1 + bh 4 = bh, ) S = hb 1 + hb 4 = hb. Porovnáním výsledků před a po posunutí je řejmé, že osové kvadratické moment k centrálním osám mají menší hodnotu než stejné moment k osám posunutým. To je ostatně řejmé pohledu na samé Steinerov vět. Jelikoˇ jsou člen S a S v (4) a (5) vˇd kladné, musí být kvadratický moment ke kterékoliv posunuté ose větší neˇ moment k ose centrální. 6
7 Příklad 4 Vpočtěte polární a osové kvadratické moment kruhového průřeu o poloměru R k centrálním osám a podle obráku 4. R r dr T Obráek 4: Kruhový příčný průře. Pro výpočet polárního kvadratického momentu použijeme definici (), ted J P = r ds, plošný element bude ds = πrdr, ted J P = r πrdr = π R [ r r dr = π ] R = πr4. (8) Z Pthagorov vět však plne r = +, tudíˇ ( J P = r ds = + ) ds = ds + ds = J + J. (9) Jelikoˇ je kruhový průře smetrický vůči osám a, budou osové kvadratické moment stejné. Můˇeme ted napsat J = J a podle (9) bude J + J = J P J = 1 J P. S použitím výsledku (8) dostáváme hodnot osových kvadratickým momentů kruhového průřeu J = J = πr4 4. 7
8 Příklad 5 Vpočtěte osové kvadratické moment průřeu L-profilu k osám a podle obráku 5. b h T h 1 b 1 Obráek 5: Příčný průře L-profilu. Řešení příkladu ačneme rodělením příčného průřeu L-profilu na dva obdélníkové průře, které onačíme čísl 1 a podle obráku 6. Následně vpočteme centrální osové kvadratické moment pro kaˇdou část vlášt. b h T 1 1 T 1 1 h 1 b 1 Obráek 6: Příčný průře L-profilu rodělený na dvě části. Vužijeme-li výsledků (6) ískaných příkladu 1 pro obdélníkový průře, budou ted centrální osové kvadratické moment J 1 a J 1 pro část 1 J 1 = b 1h 1 1 a J 1 = h 1b 1 1. (1) 8
9 Pro část onačenou číslem budou centrální osové kvadratické moment J a J analogick J = 1 1 b (h h 1 ) a J = 1 1 b (h h 1 ). (11) Máme ted vjádřen osové kvadratické moment pro části 1 a. Abchom vpočetli celkové osové kvadratické moment pro celý příčný průře L-profilu, ted pro os a, musíme jednotlivé moment (1) a (11) transformovat posunutím a poté je sečíst. Polohu těˇiště T určíme T = S S 1 + S a T = S S 1 + S. Podle Steinerových vět (4) budeme transformovat vpočtené moment posunutím vhledem k osám a, ted posunutí pro část 1 bude J 1 = J 1 + TS 1 = 1 ( ) 1 b 1h S 1 + S 1, S 1 + S J 1 = J 1 + TS 1 = 1 ( ) 1 h 1b S 1 + S 1. S 1 + S Transformace posunutím pro část bude J = J + ( T ) S = 1 1 b (h h 1 ) + J = J + ( T ) S = 1 1 b (h h 1 ) + ( ) S S, S 1 + S ( ) S S. S 1 + S Nní stačí sečíst osové kvadratické moment obou částí a ískáme centrální osové kvadratické moment pro celý L-profil, ted J = J 1 + J, J = J 1 + J. 9
10 Příklad 6 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment kruhového průřeu trubk o vnitřním průměru b = 6 mm a vnějším průměru a = 5 mm k osám a podle obráku 7. b a T Obráek 7: Příčný průře kruhové trubk. Řešení problému spočívá v opětovném rodělení celého průřeu na dvě kruhové části, jedné o poloměru a (onačíme číslem 1) a druhé o průměru b (onačíme číslem ) tak, jak je nanačeno na obráku 8. b a T 1 Obráek 8: Příčný průře kruhové trubk rodělený na dvě části. S pomocí výsledků ískaných v příkladu 4 spočítáme nejprve polární kvadratické moment obou částí, které poté od sebe odečteme, ted J P = J 1 P J P = πa πb = π ( a b ). 1
11 Z osové smetrie platí, že J = J = 1J P, ted J = J = π ( a b ) = π ( 5 ) = 15,96 mm
12 Příklad 7 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu smetrického T- profilu o roměrech dle obráku 9. b = 4 mm h 1 = mm h 1 = 4 mm b 1 = mm Obráek 9: Příčný průře T-profilu. T-profil je sloˇen e dvou stejných částí, onačíme si je opět čísl 1 a. Najdeme nejprve polohu teˇiště, ke kterému budeme transformovat moment jednotlivých částí. Vdálenost těˇišt obou částí onačíme podle obráku 1. 1 T T T Obráek 1: Příčný průře T-profilu rodělený na dvě stejné části. Poloha těžiště ted určíme T = S S 1 + S = = 4 16 = 15 mm. 1
13 Nní spočteme jednotlivé centrální osové kvadratické moment pro obě dvě části T-profilu. Centrální osové kvadratické moment pro první část jsou pro část druhou potom J 1 = 1 1 b 1h 1, J 1 = 1 1 h 1b 1, J = 1 1 b h, J = 1 1 h b. Nní provedeme transformaci vpočtených momentů posunutím vhledem k celkovému těˇišti T-profilu J 1 = J 1 + TS 1 = 1 1 b 1h 1 + Th 1 b 1, J 1 = J 1 + TS 1 = 1 1 h 1b 1 + Th 1 b 1, J = J + TS = 1 1 b h + ( T ) h b, J = J + TS = 1 1 h b + ( T ) h b. Sečtením vpočtených kvadratických momentů obou částí dostaneme celkové centrální osové kvadratické moment pro celý průře T-profilu, ted J = J 1 + J = 1 1 J = J 1 + J = 1 1 ( ) b1 h 1 + b h + T (h 1 b 1 + h b ), ( ) h1 b 1 + h b + T (h 1 b 1 + h b ). Po dosaení číselných hodnot dostáváme výsledné centrální osové kvadratické moment J = 49 mm 4, J = 49 mm 4. Jiˇ dříve jsme si mohli všimnout, ˇe e smetrie plne J = J. 1
14 Příklad 8 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu dle obráku 11. h h 1 b 1 Obráek 11: Příčný průře. Profil o výšce h = 45 mm je rodělíme na dva ákladní geometrické útvar čtverec o roměrech stran b 1 = h 1 = mm a pravoúhlý trojúhelník o délkách odvěsen b 1 = mm a h h 1 = 15 mm podle obráku 1. Pomocí námých poloh těˇišt T 1 a T určíme polohu teˇiště T celého průřeu. T h T 1 h b 1 Obráek 1: Příčný průře rodělený na dvě části. Onačme 1 vdálenost těˇiště T 1 od os a 1 od os, analogick onačíme vdálenosti těˇiště T od os souřadného sstému jako a. Polohu těˇiště T vpočteme podle vtahů i S i i S i T =, T =, (1) S S kde S je celková plocha průřeu profilu. Podle (1) bude T = 1S 1 + S S 1 + S = T = 1S 1 + S S 1 + S = b 1 b 1 h 1 + b 1 b 1 (h h 1 ) b 1 h 1 + b 1(h h 1 ) h 1 b 1 h 1 + ( h 1 (h h 1 ) b 1 h 1 + b 1(h h 1 ), ) b1 (h h 1 ). 14
15 Po dosaení hodnot dostáváme polohu těžiště T průřeu profilu T = T = = = = 14 mm, = 19 mm. T T T 1 1 T 1 1 T Obráek 1: Příčný průře rodělený na dvě části. Dostali jsme ted nový souřadný sstém (obráek 1). Nní vpočteme osové kvadratické moment pro část 1 a, které následně transformujeme posunutím k novým osám, procháejícím těˇištěm průřeu profilu. J 1 = J 1 = 1 1 h 1b 1 = 675 mm 4, J = 1 1 b 1 (h h 1 ) b 1 (h h 1 ) = 97,5 mm 4, J = 1 1 b 1 (h h 1 ) b 1 (h h 1 ) = 975 mm 4. Nní provedeme transformaci posunutím k novým osám pomocí Steinerových vět J 1 = J S 1 = = 819 mm 4, J 1 = J S 1 = = 684 mm 4, J = J + S = 97, = 8857,5 mm 4, J = J + S = = 4975 mm 4. Centrální osové kvadratické moment pro průře profilu ted budou J = J 1 + J = ,5 = 1747,5 mm4, J = J 1 + J = = mm4. 15
16 Příklad 9 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu smetrického trojúhelníkového profilu s drážkou dle obráku 14. h 1 h 1 = 45mm b 1 = 4mm h = 8mm b = 1mm h b b 1 Obráek 14: Příčný průře trojúhelníkovým profilem s drážkou. Opět ačneme určením poloh težiště celého profilu. Profil rodělíme na tři části dva pravoúhlé trojúhelník a obdélník. Onačíme 1 = svislou polohu těˇiště T 1 a T trojúhelníků vhledem k souřadnému sstému podle obráku 16 a svislou polohu těˇiště T obdélníku. 1 T 1 T T 1 Obráek 15: Příčný průře roděleným trojúhelníkovým profilem. Těˇiště T 1 a T leˇí v jedné třetině výšk trojúhelníků, ted 1 = 15 mm. Těˇiště obdélníku je ve výšce = 4 mm. Podle vtahů (1) můˇeme psát T = 1S 1 S S 1 S = = 16 mm. Ze smetrie plne, že -ová poloha těžiště T je rovna nule, ted T = mm. Nní spočteme osové kvadratické moment všech částí profilu. Kvůli smetrii 16
17 budou u trojúhelníků moment J 1 a J stejně velké. Dostáváme J 1 = J = 1 b 1 1 h 1 = = mm 4, J 1 = J = 1 ( ) b1 h 1 = = mm 4. Nní spočítáme osové kvadratické moment pro oblast obdélníku, ted J = 1 1 b h = = 46,7 mm 4, J = 1 1 h b = = 666,7 mm 4. Nní máme vpočten osové kvadratické moment pro celou trojúhelníkovou a obdélníkovou část. Abchom vpočetli celkové centrální osové kvadratické moment celého průřeu profilu, provedeme transformaci posunutím pomocí Steinerových vět a moment jednotlivých částí sečteme, ted J 1 = J = J 1 + 1S 1 = = 6775 mm 4, J 1 = J = J 1 + 1S 1 = + 45 = mm 4, J = J + S = 46, = 11946,7 mm 4, J = J + S = 666, = 666,7 mm 4. Výsledné centrální osové kvadratické moment pro trojúhelníkový profil s obdélníkovou dráˇkou jsou J = J 1 + J J = ,7 = 5, mm4, J = J 1 + J J = + 666,7 = 59, mm4. 17
18 Příklad 1 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu dle obráku 16. d e b a = 5 mm b = 7 mm c = 17 mm d = 8 mm e = 8 mm c a Obráek 16: Příčný průře profilem. Průře profilu si rodělíme na dva obdélník a jeden trojúhelník. Onačíme si polohu jejich teˇišt i a i, kde index i načí jednotlivé oblasti 1, a. Pomocí těchto poloh si vpočteme polohu hlavního těˇiště T, ted T a T podle obráku 17. T 1 1 T 1 T 1 Obráek 17: Příčný průře rodělený na tři ákladní části. Ze adaných roměrů profilu snadno určíme poloh těˇišt jednotlivých částí vůči počátku souřadného sstému, ted 1 = 8 mm ; 1 = 1,5 mm, = 4 mm ; = mm, = 19 mm ; = 9 mm. Nní můˇeme přistoupit k výpočtu těˇiště celého průˇeu. Opět vuˇijeme 18
19 vtahu (1), ted T = 1 S 1 S + S S 1 S + S = T = 1 S 1 S + S S 1 S + S = , 5 = 11,5 mm, ,5 1, ,5 = 1,9 mm , 5 Získali jsme těžiště T celého průřeu, umístíme do něj ted nový souřadný sstém (červeně na obráku 18). Nní přistoupíme k výpočtu osových kvadratickým momentů jednotlivých částí profilu. Pro obdélníkové části budeme počítat moment k centrálním osám, pro trojúhelník potom moment podle definice (7), ted 1 T 1 T 1 1 T Obráek 18: Vdálenosti mei těžišti. J 1 = 1 1 (d + e)b = = 644 mm 4, J 1 = 1 1 (d + e) b = = 916 mm 4, J = 1 1 (b c) d = = 666,7 mm 4, J = 1 1 (b c)d = = 46,7 mm 4, J = 1 1 (a d e)b = = 1476,5 mm 4, J = 1 1 (a d e) b = = 164,5 mm 4. 19
20 Nní provedeme transformaci posunutím vhledem k centrálnímu souřadnému sstému celého průřeu. Použijeme při tom Steinerov vět, ted J 1 = J 1 + 1S 1 = (,6) 4 = 9164, mm 4, J 1 = J 1 + 1S 1 = (,5) 4 = 1458 mm 4, J = J + S = 666, 7 + (11,1) 8 = 15,5 mm 4, J = J + S = 46,7 + (7,5) 8 = 496,7 mm 4, J = J + S = 1476,5 + (1,9) 11,5 = 9197,7 mm 4, J = J + S = 164,5 + ( 4,5) 11, 5 = 41,6 mm 4. Pro ískání celkových centrálních osových kvadratických momentů profilu stačí nní posčítat vpočtené transformované moment, ted J = J 1 J + J = 9164, 15, ,7 = 4788,5 mm4, J = J 1 J + J = ,7 + 41,6 = 1681,9 mm4.
6.3 Momenty setrvačnosti a deviační momenty rovinných obrazců. yda. 1) I y, I z > 0. 2) I y, I z závisí na vzdálenosti plochy od osy II I I I I
6.3 Moment setrvačnosti a deviační moment rovinných obraců Statické moment rovinného obrace -k ose xiální moment setrvačnosti rovinného obrace -k ose -k ose Pon.: 1), > 0 S d d d. S d -k ose [m 3 ] [m
Těžiště. Fyzikální význam těžiště:
ěžště Fykální výnam těžště: a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru b) bod, ve kterém le hmotný útvar vystavený tíe podepřít prot posunutí anž by docháelo k rotac ěžště je chápáno jako statcký střed
Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb
Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Normálová napětí v prutech namáhaných na ohb Základní vtah a předpoklad řešení Výpočet normálového napětí Dimenování nosníků namáhaných na ohb Složené
LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POSUNUTYM OSAM
LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POSUNUTYM OSAM - predpokladejme, e name linearni a kvadraticke moment k osam, a chceme urcit moment k osam a. - souradnice elementu ds k posunutm osam jsou potom: = - d
Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016
Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné
Statika 2. Excentrický tlak za. Miroslav Vokáč 6. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M.
6. přednáška Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.c ČVUT v Prae, akulta architektury 6. prosince 2018 Průběh σ x od tlakové síly v průřeu ávisí na její excentricitě k těžišti: e = 0 e < j e = j e > j x x
R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra
Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os
1. Úvod do pružnosti a pevnosti
1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků
x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
1 Veličiny charakterizující geometrii ploch
1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně
SLOUP NAMÁHANÝ TLAKEM A OHYBEM
SOUP NAMÁHANÝ TAKEM A OHYBEM Posuďte únosnost centrick tlačeného sloupu délk 50 m profil HEA 4 ocel S 55 00 00. Schéma podepření a atížení je vidět na následujícím obráku: M 0 M N N N 5m 5m schéma pro
Rovinná napjatost a Mohrova kružnice
Rovinná napjatost a ohrova kružnice Dvojosý stav napjatosti - ukák anačení orientace napětí v rovině x Na obr. vlevo dole jsou vnačen složk napětí. Kladná orientace napětí x a je v případě, že vektor směřují
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ PRUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADECH Kvadratický moment II doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. Richard Klučka
6.1 Shrnutí základních poznatků
6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice
Desky. Petr Kabele. Pružnost a pevnost 132PRPE Přednášky. Deska/stěna/skořepina, desky základní předpoklady, proměnné a rovnice
Pružnost a pevnost 13PRPE Přednášk Desk Deska/stěna/skořepina, desk ákladní předpoklad, proměnné a rovnice Petr Kabele České vsoké učení technické v Prae Fakulta stavební Úvod Přemístění, deformaci a napjatost
Hledané složky vektoru tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku:
7 Vektor III Předpoklad: 006 Pedagogická ponámka: Příklad, 4, 5 je možné vnechat, důležité je, ab alespoň 5 minut blo na příklad 7 Pedagogická ponámka: Úvodní příklad vužívám k prokoušení látk minulé hodin
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Pružnost, pevnost, plasticita
Pružnost, pevnost, plasticita Pracovní vere výukového skripta 22. února 2018 c Milan Jirásek, Vít Šmilauer, Jan Zeman České vsoké učení technické v Prae Fakulta stavební Katedra mechanik hákurova 7 166
Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů
Jedenácté cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů
1.6 Singulární kvadriky
22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá
Steinerova věta a průřezové moduly. Znění a použití Steinerovy věty. Určeno pro druhý ročník strojírenství M/01. Vytvořeno červen 2013
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Steinerova
F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
ZÁKLADNÍ POJMY A VZTAHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI
ZÁKLDNÍ POJY VZTHY V TECHNICKÉ PRUŽNOSTI Napětí velikost vnitřní síl na jednotku ploch konečné podíl elementů vnitřních sil a ploch Podle směru vnitřních sil avádíme: ds napětí celkové σ r = v obecném
5 SLOUPY. Obr. 5.1 Průřezy ocelových sloupů. PŘÍKLAD V.1 Ocelový sloup
SLOUPY. Obecné ponámk Sloup jsou hlavními svislými nosnými element a přenášejí atížení vodorovných konstrukčních prvků do ákladové konstrukce. Modulové uspořádání načně ávisí na unkci objektu a jeho dispoičním
OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )
3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =
III/2-1 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Název projektu Registrační číslo projektu Autor Střední průmyslová škola strojírenská a azyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Modernizace výuky CZ.1.07/1.5.00/34.1003
Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.
Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech
PŘÍKLAD VÝPOČTU RÁMU PODLE ČSN EN
PŘÍKLAD VÝPOČTU RÁU PODLE ČS E 99-- Jaub Dolejš*), Zdeně Sool**).Zadání avrhněte sloup plnostěnného dvouloubového rámu, jehož roměr jsou patrné obráu. Horní pásnice příčle je po celé délce ajištěna proti
ÚSTAV MECHANIKY A MATERIÁLŮ FD ČVUT. DOC. ING. MICHAL MICKA, CSc. PŘEDNÁŠKA 4
ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY. Látka, která vtváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mei napětím a přetvořením je lineární ávislost.. Látka hmotného tělesa
Téma 7 Smyková napětí v ohýbaných nosnících
Pružnost a plasticita,.ročník bakalářského studia Téma 7 Smková napětí v ohýbaných nosnících Základní vtah a předpoklad řešení Výpočet smkového napětí vbraných průřeů Dimenování nosníků namáhaných na smk
7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II
7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II
7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě
Obsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody
Moment setrvčnosti průřezů - použití určitýc integrálů v ecnické mecnice Dn Říová, Pvl Kotásková Mendelu Brno Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8 Os Moment
Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.
OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která
Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECNICKÁ UNIVEZITA OSTAVA FAKULTA STOJNÍ PUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADEC Kvadratický moment I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. ichard Klučka Ing.
Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.
Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme
NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.
K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y
VKM/IM - 204/205 Určete, da funkce f(x, y) ln( x 2 +y 2 ) v bodě A, ve směru vektorů u, 0, u 2 0,, u 3, a u 4, 2 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce f(x, y) je definovány pro všechny
Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.
5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?
Vlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Rovnoměrně ohýbaný prut
Přednáška 02 Prostý ohb Hpotéa o achování rovinnosti průřeu Křivost prutu, vtah mei momentem a křivostí Roložení napětí při ohbu Pružný průřeový modul Vliv teplot na křivost Copright (c) 2011 Vít Šmilauer
Vnitřní síly v prutových konstrukcích
Vnitřní síly v prutových konstrukcích Síla je vektorová fyikální veličina, která vyjadřuje míru působení těles nebo polí. Zavedení síly v klasické Newtonově mechanice (popis pohybu těles) dp dv F = = m
K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y
VKM/IM 017/018 Určete da funkce fx y) ln1 x +y ) v bodě A 1 1 ve směru vektorů u 1 1 0 u 0 1 u 3 1 1 a u 4 1 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce fx y) je definovány pro všechny body R
písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.
POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)
Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil
Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),
Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty
Obsah Dimenzování křivého tenkého prutu zde Deformace v daném místě prutu zde Castiglianova věta zde Dimenzování křivého tenkého prutu Mějme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek:
3.1 Shrnutí základních poznatků
3.1 Shrnutí ákladních ponatků Uvažujme nosník, tj. prut, jejichž délka převládá nad charakteristickými roměr průřeu. Při tvorbě výpočtového modelu nosník totožňujeme s jeho podélnou osou a uvažujeme skutečný
Téma Přetvoření nosníků namáhaných ohybem
Pružnost plsticit,.ročník bklářského studi Tém Přetvoření nosníků nmáhných ohbem Zákldní vth předpokld řešení Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení etod přímé integrce diferenciální rovnice ohbové
(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
Veličiny charakterizující geometrii ploch
Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně
Řešení testu 2b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY ledna 2016
Řešení testu b Fika I (Mecanika a molekulová fika NOFY. ledna 6 Příklad Zadání: Po kouli o poloměu se be pokluovaní valí malá koule o poloměu. Jaká bude úlová clost otáčení malé koule v okamžiku kd se
PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY
. cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,
Integrální definice vnitřních sil na prutu
Přednáška 04 Integrální definice vnitřních sil Ohb prutu v rovinách x, x Šikmý ohb Kombinace normálové síl s ohbem Poloha neutrální os Jádro průřeu Příklad Copright (c) 011 Vít Šmilauer Cech Technical
Statika 2. Kombinace namáhání N + M y + M z. Miroslav Vokáč 19. října ČVUT v Praze, Fakulta architektury.
2. přednáška N + M + M Jádro průřeu Šikmý ohb M + N M + N M + M + N Jádro průřeu Ecenrický lak a vloučeného ahu Konrolní oák Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvu.c ČVUT v Prae, Fakula archiekur 19. října
Průřezové charakteristiky základních profilů.
Stření průmyslová škola a Vyšší oborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřenictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Průřezové
5. Ohýbané nosníky Únosnost ve smyku, momentová únosnost, klopení, MSP, hospodárný nosník.
5. Ohýbané nosník Únosnost ve smku, momentová únosnost, klopení, P, hospodárný nosník. Únosnost ve smku stojina pásnice poue pro válcované V d h t w Posouení na smk: V pružně: τ = ( τ pl, Rd) I V V t w
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová
Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....
CVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní
Rovinná a prostorová napjatost
Rovinná a prostorová napjatost Vdělme v bodě tělesa elementární hranolek o hranách d, d, d Vnitřní síl ve stěnách hranolku se projeví jako napětí na příslušné ploše a le je roložit do směrů souřadnicových
1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište
Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni
Fyzika I mechanika. Rozdělení fyziky podle jednotlivých oborů, tj. podle jevů, které zkoumá:
Fika I mechanika Úvod Základní fikální pojm Fika (fsis je řeck příroda) bla původně vědou o přírodě, ted souhrnem všech přírodních věd, které se s postupem dějin osamostatnil. Fika si však achovává ústřední
Namáhání v tahu a ohybu Příklad č. 2
Číslo projektu CZ.1.07/ 1.1.36/ 02.0066 Autor Pavel Florík Předmět Mechanika Téma Složená namáhání normálová : Tah (tlak) a ohyb 2 Metodický pokyn výkladový text s ukázkami Namáhání v tahu a ohybu Příklad
1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.
1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.
4.2. Graf funkce více proměnných
V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
Z hlediska pružnosti a pevnosti si lze stav napjatosti
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A část 7, díl 4, kapitola 1, str. 1 7/4.1 T Y P Y N A P J A T O S T I A T R A N S F O R M A C E N A P J A T O S T I Pojmem napjatost roumíme stav určitého bodu tělesa, který
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit:
.3.5 Součtové vzorce Předpoklad: 30 Závorku ve výrazu sin ( ) + není možné jen tak roznásobit ani rozdělit: 0 = sin ( ) = sin + sin + sin = + =. Způsob, jakým goniometrické funkce vrábějí ze zadaných čísel
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy
36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem
VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Deformační analýza stojanu na kuželky
VŠB- Technická univerzita Ostrava akulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti Úvod do KP Autor: ichal Šofer Verze Ostrava Úvod do KP Zadání: Určete horizontální a vertikální posun volného konce stojanu
1 Nulové body holomorfní funkce
Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =
Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Přednáška 09. Smyk za ohybu
Přednáška 09 Smk a ohbu Vnitřní síl na nosníku ve vtahu k napětí Smkové napětí pro obdélníkový průře Smkové napětí pro obecný průře Smkové ochabnutí Svar, šroub, spřahovací trn Příklad Copright (c) 2011
1 Integrál komplexní funkce pokračování
Integrál komplexní funkce pokračování Definice. Nechť D a F ) je taková funkce, že F ) = f) pro všechna D. Pak F ) naýváme primitivní funkcí k funkci f) v oblasti D. Protože při integraci funkce f po křivce,
Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.
Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose
příklad 16 - Draft verze pajcu VUT FAST KDK Pešek 2016
příklad - Drat vere pajcu VUT FAST KDK Pešek 0 VZPĚR SOŽEÉHO PRUTU A KŘÍŽOVÉHO PRUTU ZE DVOU ÚHEÍKŮ Vpočítejte návrhovou vpěrnou únosnost prutu délk 84 milimetrů kloubově uloženého na obou koncí pro všen
Smyková napětí v ohýbaných nosnících
Pružnost a plasticita, 2.ročník kominovaného studia Smková napětí v ohýaných nosnících Základní vtah a předpoklad řešení ýpočet smkového napětí odélníkového průřeu Dimenování nosníků namáhaných na smk
Normálová napětí při ohybu - opakování
Normálová napětí při ohbu - opakování x ohýbaný nosník: σ x τ x Průřeová charakteristika pro normálová napětí a ohbu je moment setrvačnosti nebo něj odvoený modul průřeu x - / /= Ed W m + σ x napětí normálové
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
, 4. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
..06, 4. skupina (6: - 7:4) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papír, které odevzdáváte. Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí. Co je škrtnuto, nebude bráno
Pythagorova věta výpočet odvěsny - přirozená čísla
Pythagorova věta výpočet odvěsny - přirozená čísla Sada materiálů je určena pro procvičování výpočtu odvěsen pravoúhlého trojúhelníku. Obsahuje 3 pracovní listy a jejich výsledky pro jednoduchou kontrolu
Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných
4.3.7 Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: 4306
.3.7 Součtové vzorce Předpoklad: 306 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje látku na přibližně jeden a půl vučovací hodin, první část kombinuji s písemkou. Pedagogická poznámka: Úspěch této hodin (a hodin
2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3.
obsah 1 Obsah Zde je uveden přehled jednotlivých kapitol a podkapitol interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. Na tomto CD jsou kapitoly uloženy v samostatných souborech, jejichž název je v rámečku
Pruty nam ahan e na vzpˇ er Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Pruty nam ahan e na vzpˇ er
Obsah Úvod Eulerova teorie namáhání prutů na vzpěr První případ vzpěru zde Druhý případ vzpěru zde Třetí případ vzpěru zde Čtvrtý případ vzpěru zde Shrnutí vzorců potřebných pro výpočet Eulerovy teorie
Soustavy rovnic obsahující kvadratickou rovnici II
.7. Soustavy rovnic obsahující kvadratickou rovnici II Předpoklady: 70 Soustavy s kvadratickou rovnicí se často vyskytují v analytické geometrii (náplň druhého pololetí třetího ročníku). Typický příklad
Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)
Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel
Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
Momenty setrvačnosti a deviační momenty
Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují
POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I
POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)
Ohyb. Kapitola Rovnoměrný ohyb
Kapitola 3 Ohyb Při ohybu docháí k akřivení původně přímé střednice prutu. 1 ůže to být působeno např. příčným atížením nebo nerovnoměrnou měnou teploty. Typickým příkladem je vodorovný nosník atížený