1. ČÍSELNÉ OBORY, MNOŢINY INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA POMĚR PROCENTA ALGEBRAICKÉ VÝRAZY, MNOHOČLENY...

Transkript

1 . ČÍSELNÉ OBORY, MNOŢINY.... INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA.... POMĚR PROCENTA ALGEBRAICKÉ VÝRAZY, MNOHOČLENY MOCNINY, ODMOCNINY Částečné odmocňování, usměrňování PLANIMETRIE Rovinné obrzce, prvoúhlý trojúhelník Shodná podobná zobrzení v rovině FUNKCE Lineární f-ce Kvdrtická funkce Nepřímá úměrnost Eponenciální funkce Logritmická funkce goniometrická fce ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Lineární rovnice Soustvy lineárních rovnic Lineární nerovnice jejich soustvy Slovní úlohy Kvdrtické rovnice Kvdrtické nerovnice Kvdrtický trojčlen vzthy mezi kořeny koeficienty kvdr. rovnice Slovní úlohy vedoucí n kvdrtickou rovnici Ircionální rovnice... 9

2 0. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE Eponenciální rovnice Logritmus Logritmické rovnice.... GONIOMETRIE..... Goniometrické rovnice..... Úprvy goniometrických výrzů Sinová kosinová věty Slovní úlohy n sinovou i kosinovou větu STEREOMETRIE POSLOUPNOSTI..... Aritmetická posloupnost..... Geometrická posloupnost..... Posloupnosti užití.... KOMBINATORIKA..... Vrice, permutce..... Kombince Kombintorické rovnice, binomická vět STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST KOMPLEXNÍ ČÍSLA Algebrický tvr Goniometrický tvr Moivreov vět Kvdrtické rovnice s imginárními kořeny ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vzdálenost bodů, střed úsečky... 6

3 8.. Vektor Přímk v rovině, vzdálenost bodu od přímky Kvdrtické útvry v rovině Kružnice Elips Hyperbol Prbol... 6

4 . Číselné obory, množiny. Zpište průnik, sjednocení, rozdíl dných mnoţin:. {;;;;}; {0;;;6} ( {;}; {0;;;;;;6}; -{;;}; -{0;6} b. {-;-;0;7}; {-;-} ( {-;-;0;7}; {-;-}; - {0;7} c. { N; }; {0;;;} ( {0;;;}; {;;}; - {0} d. { Z; - < }; {-; 0;} ( {-;-;0;}; {-;0}; - {-}; - {0;}. Rozhodněte, do které z mnoţin N,Z, Q, I, R ptří dná čísl: -;π; ; ; 0; - ;,8; ;. Vypočtěte určete, do jkých číselných oborů ptří výsledky:. (07 b = (69 c. (+.+(.+6.7= (9 d. (+(+(+6.7= (67 e. (67 f. ( g. (9 7 : = (0 h. 9 ( : = (6 i. 00..( 0 (0 j. (0-+ -(+ = ( k. 7.(9- + (-7.(- (-: (- = (-6 l. ( : ( 6 ( 8 m. 0 ( + (+ = (0 n. [(-0. (- + ] : (- (-0.(- = (- o. ( -. 9 ( 0 p (- + (+ (- = (-6 q. 0 ( r ( 8 s. : : : : 6 ( t. u. v :. 9 6 ( ( 9 ( 7

5 . Intervly, bsolutní hodnot. Zobrzte n reálné ose dné intervly, určete jejich průnik sjednocení zpište je.. <-; >; (0; ( (0;>; <-; b. <;>; <; > ( {}; <; c. (-; 6>; <-; > ( (-;>; <-;6> d. (- ; >; <; + ( <;>; R e. <-;>; (0; + ( (0;>; <-; + f. <-;0; (-; 0> ( (-;0; <-;0>. Zobrzte dné mnoţiny n reálné ose zpište, je-li moţné jko intervl:. { R; } ( (- ; > b. { R ; -6 } ( <-6; c. { N; } ( není intervl konečná mnoţin {;;} d. { Z ; -6 } ( není intervl konečná mnoţin{-6;-;-;-; -;-;0;;;;}. Vypočtěte: = (- b. 0 6 ( c. - + (-0,.(- - 0,8. (- = (0,8 d (-. (-. (- = (. Znázorněte n reálné ose, zpište jko intervl: A = R; - ( (-;7 A = R; - ( -; A = R; ( R (-; A = R; - ( R - -; A = R; ( ( -; - ;. Doplňte tbulku: - < < ( - ;

6 . Poměr. Odměn Kč 00,- se má rozdělit v poměru :. Vypočtěte příslušné částky. (Kč00; Kč 000. Dv studenti se mjí rozdělit o prémii Kč 760,-v poměru odprcovných brigádnických hodin. První odprcovl hodin, druhý 6 hodin. Kolik dostl kţdý? (Kč 80;Kč 90. Poliš (řidší těsto n výrobu vánočního pečiv obshuje vodu, droţdí, sld mouku v hmotnostním poměru 0:::. Jkou hmotnost mjí jednotlivé suroviny v kg poliše? (00g; 00g; g; 7g. Výkony tří čerpdel jsou v poměru :, :,8. Kolik litrů vody dodlo kţdé z nich, jestliţe nčerpl celkem 8litrů. (0, 60, 8. Délky strn trojúhelníku ABC jsou v poměru : 7 :. Obvod trojúhelníku je cm. Určete délky strn. (8,,0 6. Sklenk pivního servisu má výšku cn dţbán téhoţ souboru 7cm. Pro reklmní účely je třeb zhotovit zvětšeniny v poměru :. Jké budou výšky zvětšenin obou předmětů? (0cm; 6cm 7. Částk Kč 800,- se má rozdělit mezi sourozence v poměru :. Vypočtěte, kolik dostne kţdý? (Kč 600; Kč Sedm dělníků má podle normy oprcovt z směnu 60 výrobků. Kolik výrobků má oprcovt z tutéţ dobu 0 dělníků? ( Státní sttek provede podzimní orbu se šesti trktory z 8 dní. Z kolik dní ji provede se sedmi trktory při stejném průměrném výkonu trktorů? ( 0. N sko je potřeb 70cm vrchového mteriálu o šířce 0cm. jká je spotřeb při šíři vrchového mteriálu 0cm? (9cm. 0m příze má hmotnost 9grmů. Jk je dlouhá táţ příze o hmotnosti 60grmů? (667mm. Šest slévčů odlilo ve stnovené době 800odlitků. Kolik odlitků odleje z stejných podmínek devět slévčů? ( 00. Dvěm stejnými otvory se nplní bzén z hodin. Z kolik hodin se nplní pěti stejnými otvory? (0hod. Přidáním 8cm syřidl se srzilo mléko z 6hodin. Kolik syřidl je třeb přidt, by se tentýţ objem mlék srzil z 0minut? (Objem syřidl je nepřímo úměrný čsu (cm. Poměr mrtvé hmotnosti k ţivé hmotnosti hovězího dobytk je :. Vypočtěte mrtvou (msnou hmotnost krávy o ţivé váze 80kg. (8kg 6. Hncí kolo má zubů otočí se z minutu 900krát. Kolikrát z minutu se otočí hnné kolo, které má 7zubů? (700krát 7. Jký proud protéká rezistorem o odporu,8, jestliţe při stejném npětí rezistorem o odporu protéká proud 0,7A. Proud je nepřímo úměrný odporu rezistoru. (8A 8. Primární cívk trnsformátoru má 8závitů je n ní npětí V. Kolik závitů musí mít sekundární cívk, by n ní bylo npětí 00V? Npětí je přímo úměrné počtu závitů. (000 6

7 . Procent. Ze 6, kg pleteniny odvedl střihčk,7 kg čisté hmotnosti. Vypočtěte procento odpdu. (9,%. Zedník měl omítnout z směnu,m zdiv. N kolik procent splnil plán, jestliţe z směn omítl 06m zdiv. (zokrouhlit n des.místo (0,%. Uţíváním klesl cen přístroje o 7% n hodnotu Kč 0. Jká byl jeho původní cen? (Kč Ze 6kg mouky se vyrobilo 96kg těst. Kolik procent hmotnosti to bylo? (9,%. Hmotnost získného telecího ms činí 6% celkové hmotnosti ţivých telt. Jká byl hmotnost ţivých telt, ze kterých se získlo 6 80kg telecího ms? (6 97kg 6. Knihárn zprcovl 90 kniţních vzeb překročil tím plán o,%. Kolik jich měl zprcovt podle plánu? ( Sttek odevzdl celkem 60 tun znečištěné cukrovky. Při výkupu bylo srţeno,7% celkové hmotnosti n nečistoty. Čistá cukrovk obshovl 9,% cukru, z něhoţ se skutečně zuţitkovlo 90%. Kolik cukru se vyrobilo z odevzdné cukrovky? (770 t 8. Podniktel má n skldě v prodejně v Prze zboţí z Kč , z toho připdá 8,6% n zboţí, které musí dodt do prodejny v Kldně. Z kolik Kč to je? (770t 9. Z neodebrné zboţí v ceně Kč 00 účtovl dodvtel odběrteli pokutu 6,% z ceny zboţí. kolik Kč pokuty zpltí odběrtel? (Kč 007,0 0. Sttek v Bruzovicích měl výnos brmbor 6,8 tun z jednoho hektru. Sttek v Kujvách měl výnos o 7% vyšší. Jký byl průměrný hektrový výnos sttku v Kujvách? (8t. V obchodním domě bylo z měsíc březen prodáno o 7% více zboţí neţ v měsíci lednu. Zvýšení předstvovlo částku Kč Z kolik Kč bylo prodáno zboţí v lednu? (Kč99 9. Cukrovr plánuje letos výrobu tun cukru, coţ je o 6% více neţ v loňském roce. Kolik tun cukru vyrobil cukrovr v loňském roce? ( 068,96t. Místo plánovných 0 dní trvl stvb objektu pouze dny. O kolik procent se zkrátil dob výstvby? (o7,%. Místo nplánovných 600 kldiv vyrobili dělníci 700 kldiv. O kolik procent překročili svůj plán? (0,9%. Tkdlen splnil svou normu n % zprcovl při tom 00kg mteriálu. Kolik mteriálu měl zprcovt podle normy? (7kg 6. Válcováním se sníţil výšk válcovného kusu o %. Původní výšk byl 0 mm. Jká byl konečná výšk? (98mm 7. Ze 6kg pleteniny odvedl střihčk po nstříhání 7kg čisté hmotnosti. Vypočítejte odpd v %. (0,9% 8. Pět učňů vyzdilo z směny m příček. Učňovská norm byl 0m příček z směnu n jednoho učně. N kolik % splnili učňovskou normu? (06% 9. Z celkové hodnoty přístroje se po letech odepslo 8%, coţ činilo Kč 06. Jká byl původní cen přístroje? (Kč Denní plán těţby uhlí byl 6 tun. Do kolik vozů s průměrným nákldem 60kg uhlí bylo vytěţené uhlí nloţeno při splnění plánu 0%. ( 600vozíků. Kolik 0 % jtinu potřebujeme n příprvu, litru roztoku? (7 ml. Kolik 0 % jtinu je třeb n příprvu, litru roztoku? (0 ml 7

8 . Kolik % roztok vznikne smícháním litrů % roztoku litrů 0 % roztoku? (%. Kolik 0 % persterilu potřebujeme n příprvu 0, litru roztoku? ( ml. Do 00 ml 0% jtinu jsme nlili,8 litrů vody. Jk koncentrovný roztok vznikl? 6. Po nlití litrů vody do 0 % jtinu vznikl roztok. Kolik bylo jtinu? 7. Kolik vody musíme nlít do 00 ml 0 % jtinu, by vznikl roztok? 8. Kolik % roztok vznikne smícháním litrů 0 % roztoku 6 litrů % roztoku? (7 % 9. Dělník vyrobil o 0 součástek více neţ předepisovl norm. Normu tím překročil o 0 %. Kolik součástek měl vyrobit podle normy? (0 0. Po sráţce 0 % z hrubé mzdy činil čistá mzd 080,- Kč. Vypočtěte hrubou mzdu. (00,-. V lhvi je 600 ml % roztoku. Kolik vody bychom museli přilít, by vznikl roztok? (800ml. Po 0 % zdrţení stojí výrobek 6,- Kč. Kolik stál před zdrţením? (0,-. 00 ml 8% oct bylo doplněno do litrů vodou. Kolik roztok vznikl? ( 8

9 . Algebrické výrzy, mnohočleny. Vypočtěte:. kontrolu proveďte doszením z proměnnou = ; y= ; 8 - -(y + y = (6(+y; 8 ; b ( + + = ( c. 9r - - -(s + r + s - r = (8r d. u (u +. u = (-9u- e. (w w. (. w= (-w+w f. (- [(--]= ( g. (-[-(-]= (-6 +- h. -[-(-]= (6 - i. -[(--]= ( j. k. l.. Vypočtěte, pomocí vzorců umocněte:. (- ( -+ b. (- ( -+9 c. (+ (9 ++ d. (+z ( +0z+z e. (+(- + (+ - (- ( +8- f. (+y(-y- (+y + (-y (9 -y y g. h.. Rozloţte n součin:. y y ( y(y - b. 7 b + b b ( b ( b + b c. q q q d. y 0 y e. 8 f. b 6 b. Vypočtěte uveďte, kdy má dný výrz smysl: b b. ( : ( b b b b b. ( : ( (.( ( c. ( +.( d. 9 (; b; 0 ( ; ( ; ( ;

10 e. f. y y y y = y y = g. b b b b b : = b h. i. j.. Dělte, udejte podmínky proveďte zkoušku: (6 8 : ( b (6t t 0 : (t c ( 6 : ( 6. Je dán výrz: - Určete, pro která reálná je tento výrz definován. - Určete, pro která z těchto má hodnotu 0. - Vypočtěte jeho hodnotu pro = 6. 0

11 6. Mocniny, odmocniny..8. ( ( 0. (. - : ( -. (.. ( 9 : ( (. (.(.( ( 0.0. ( (výsledek mocninou čísl 0 (0 - ( (počítej pomocí.0 n (.0 (počítej pomocí.0 n ( (počítej pomocí.0 n (.0 0. b.b ( 9... ( 7 b m. m. m ( m. m..(. ( (. 6. b. b ( b 7. 8 : 6 = ( 8. (- 0 : (- 7 = (- 9. (0 = ( ( : ( 0. 0 = (0. (.8 :(.7 = (7. ( -. : - = (.. y (.. y. ( :.. y. y 6 6 (.. y

12 = = , y. (. y. ( , , 9 = b b b b = = : (.0 : 0,00 9 = 8. = 9. =. y. y 0, : ( ( ( =.

13 . b. (. b 6 : (. b. b. : = ( 8.. (.. ( = (. ( ( = 7.. b 6. b.. b b 8.. =.. b 9. :. 6 y y 6 y Částečné odmocňování, usměrňování Částečně odmocněte: 7 ; 80 ; ; 60 ; 7 ; 0 ; 0 ; 8 ; 6 ; 8 =. 7. ; ; 0 ; 6 ; 0 ; ; 8 ; 08 ; ; 97 ;

14 Částečně odmocněte vypočtěte: = ( b ( -. 7 = ( - c = ( d (. 7-8 = ( e f. 7. (. 7 Usměrněte, popř.částečně odmocněte: = = ( = ( 0 (. (-. 6 (. (6-. ( (.. (. ( 7 ( 9 ( ( (

15 7. Plnimetrie 7.. Rovinné obrzce, prvoúhlý trojúhelník. Vypočtěte obsh trojúhelníku, vnitřní úhly výšky troj.abc, jeli dáno: =0; b=6; c=7. (S=600; ; 08 ; 7 ;.. Jkou vodní plochu má hldin kruhového rybníku o průměru 68m? (6,68. Podlh má tvr obdélníku o délce,8m šířce,6m. Do místnosti vedou dvoje dveře, kţdé o šířce 90cm. Podél stěn s vyjímkou dveří se poloţí obvodová podlţní lišt. Vypočtěte délku lišty obsh podlhy. (,96m; 7,6 m. Vypočtěte obsh trojúhelníku ABC, je-li =8; b= ; = 9 0. (8,. Pozemek tvru obdélníku o rozměrech,m 9m chceme oplotit. Kolik metrů pletiv budeme potřebovt, počítáme-li 6,m n bránu(vjezd? (Připočtěte 7% n ztráty. 6. N osetí h se spotřebuje 80kg osiv. Kolik se spotřebuje n osetí pole tvru lichoběţníku o zákldnách m 96m výšce 6m. (h= 0 m. (76kg 7. Výšk rovnoběţné strny lichoběţníku mjí velikosti v poměru ::, obsh lichoběţníku je cm. Určete velikost výšky velikost rovnoběţných strn (záklden, (6,, 0 8. Vypočítejte obsh mezikruţí, je-li r =8cm; r = cm. (, cm 9. Vypočtěte obsh, (obvod poloměr kruţnice opsné i vepsné prvidelného desetiúhelníku o strně,6 cm. (S = 0, cm,o = 6 cm,r = 8,77 cm, ρ = 7,8 cm 0. Vypočtete obsh obvod obrzců: (o= 06; S=7 (o=6; S=60 8 o =,, S = 0, o = 9,, S = 7 o = 6, S = 89 o =, S = 8,88

16 . jeden čtverečný metr střechy je potřeb 6 rţených tšek. Kolik tšek bude potřeb n střechu tvořenou dvěm stejnými obdélníky o rozměrech 8m m? b Kolik tšek bude potřeb n střechu tvořenou čtyřmi shodnými rovnormennými trojúhelníky o zákldně délky m výšce,7m? (odpd znedbejte c Kolik tšek se musí koupit v přípdě b, počítá-li se s % odpdu? (8 tšek; 6 tšek; 66 tšek. Vypočítejte obsh obdélníku, je-li jeho obvod jedn jeho strn má velikost 7,. (,6. Zhrd má tvr obdélníku má obvod 0m obsh 800,m. Vypočítejte rozměry zhrdy. (8,m; 6,m. Pozemek ve tvru obdélníku má obsh 600m jedn jeho strn je dlouhá 0m. Kolik sloupků potřebujeme k ohrzení pozemku, má-li být vzdálenost mezi sloupky,m? (0 sloupků. Vypočítejte výšku v lichoběţníku ABCD, mjí-li zákldny velikost =8cm, c=cm je-li obsh S= 76cm. (7cm 6. Jkou dráhu urzí z hodin konec sekundové ručičky, která je cm dlouhá? (,89m 7. Vypočtěte obvod obsh rovnormenného lichoběţníku o strnách = 0 cm, b = cm, c = cm. (o = cm, S = 8 cm 8. Délk strny prvidelného pětiúhelníku je 6 cm. Vypočtěte jeho obvod, obsh, poloměr kruţnice vepsné, poloměr kruţnice opsné. (o = 0 cm, S = 6 cm, r =, cm, ρ =, cm 9. Ve čtverci o strně cm je vepsán kruţnice. Vypočítejte obvod obsh této kruţnice. (o =,7 cm, S = 9,6 cm 0. V kosočtverci jsou dány délky úhlopříček: u = 8 cm, v = 6 cm. Vypočtěte jeho obvod obsh. (o = 0 cm, S = cm. Délk strny prvidelného osmiúhelníku je cm. Vypočtěte jeho obvod, obsh, poloměr kruţnice vepsné, poloměr kruţnice opsné. (o = cm, S = 76,8 cm, r =, cm, ρ =,8 cm. Vypočítejte obvod kruţnice, je-li obsh kruhu 78, cm. (, cm. Prvoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c = 0 cm výšku v c = 8 cm. Jk velké úseky vytíná výšk v c n přeponě c? (6cm cm. Oplocený pozemek má tvr lichoběţníku, kde velikosti rovnoběţných strn jsou 06 7 m, vzdálenost těchto strn je 6 m velikost úhlu mezi zákldnou jedním rmenem je 7 o. Vypočítejte obsh pozemku délku plotu. (S = 09 m, o = 80 m. Kolem kruhového rybníčku o průměru m je m široký záhon. Jká je ploch jký je obvod tohoto záhonu? (S = 7,7 m, o = m 6. Jký je sklon ţebříku délky 8,9m, který je svým horním okrjem opřen o okrj zdi vysoké 8,m? ( Ţebřík 8,m dlouhý je umístěný ve studni svým dolním koncem vzdálen 0,9m od stěny studně. Horní část ţebříku je opřen o stěnu studně. Jk velký úhel svírá ţebřík se dnem studně? ( Štít střechy tvru rovnormenného trojúhelníku má šířku,8m. Sklon střechy je 8 0. Vypočtěte výšku v štítu. (m 9. Vypočtěte počet schodů z jednoho ptr do druhého, je-li třeb překont výšku,7m se sklonem 0 jednotlivé schody jsou široké 0,7m. (6 schodů 6

17 0. Průměrný úhel stoupání letdl je 0 0 jeho průměrná rychlost je 0 km/hod. Jk vysoko letdlo vystoupí z, min? (8,06 km. Pty dvou sousedních telegrfních tyčí mjí výškový rozdíl 0,m. Jk dlouhé vodiče spojují ob sloupy, je-li sklon svhu 9 0 0? (6,m. Vodorovná vzdálenost mezi stromky, které se vyszují ve stráni se sklonem 9 0, je m. V jké vzdálenosti vykopete jámy, kdyţ vzdálenosti měříte n tomto svhu? (,m. Jk vysoká je budov, která n vodorovnou dlţbu stín dlouhý 0,m pod úhlem 0? (70,m. Jk dlouhé úhlopříčky má obdélník ABCD, jehoţ strny mjí délky AB =,dm; BC = cm. (8,6cm. Určete výšku rovnormenného trojúhelníku ABC, je-li délk jeho zákldny,6cm délk jeho rmene 9,7cm. Vypočtěte i jeho obsh velikost úhlu leţícího při zákldně. (v=9,; S=,6; 7 6. Důlní chodb má délku m, výškový rozdíl mezi oběm jejími konci je, m. Vypočtěte její sklon. ( 7. Měřící přístroj teodolit umístěný n břehu řeky ve výšce 0 metrů nd hldinou změřil dlekohled n okrj protějšího břehu řeky byl změřen odchylk od svislého směru 6 6. Jk široká je řek v měřeném místě? (0,m 8. Dlekohled měřícího přístroje je,7m nd vodorovnou rovinou je vzdálen 8m od pty komín. Vypočtěte výšku komín, je-li změřen výškový úhel 9. (0,8m 9. Z pozorovcí věţe ve výšce 0m nd hldinou moře je změřen loď v hloubkovém úhlu 9. Jk dleko je loď od věţe? ( 0,m 0. Z pozorovcí míst vidíme ptu věţe v hloubkovém úhlu 0 vrchol věţe ve výškovém úhlu 0. Horizontální rovin prochází ptou věţe pozorovteln je ve výšce 0m nd touto rovinou. jek vysoká je věţ? (9,7m. Dvě pozorovcí míst pt komín leţí v jedné horizontální rovině nvíc spojnice pozorovcích míst prochází ptou komín. Vrchol komín je 0m nd vodorovnou rovinou je pozorován z obou míst ve výškových úhlech 6 6. Určete vzdálenost obou pozorovtelen. (0,07m. Dlekohled teodolitu je,6m nd horizontální rovinou, kde jsou pty stoţárů. Pozorovcí místo leţí mezi stejně vysokými stoţáry ve vzdálenosti m od prvního. Vrchol prvního stoţáru vidíme ve výškovém úhlu 8 vrchol druhého ve výškovém úhlu 8 8. Jká je vzdálenost obou stoţárů? (90m. N hmotný bod působí dvě k sobě kolmé síly o velikostech F = 7,N, F =,6N. Vypočtěte velikost výslednice F úhly, které svírjí síly F F, F F.. (86,N; 0 0 ; 9 0. Sílu o velikosti F=00N rozloţte n dvě kolmé sloţky F, F tk, by úhel mezi silmi F F byl. (69,N, 7,09N 6. Ve svhu se sklonem 0 se mjí usdit sloupy ve vodorovné vzdálenosti 0 m od sebe. V jké vzdálenosti se musí vykopt díry? (, m 7. Kolik metrů pletiv potřebujete k oplocení pozemku ve tvru čtverce, který má stejný obsh jko sousední pozemek ve tvru obdélníku se strnmi 6 m 9 m dlouhými? (8 m 7

18 8. Délk strny prvidelného šestiúhelníku je 6 cm. Vypočtěte jeho obvod, obsh, poloměr Kruţnice vepsné, poloměr kruţnice opsné. (o = 6 cm, S = 9,6 cm, r = 6 cm, ρ =, cm 9. Prvoúhlému trojúhelníku o strnách = cm, b = cm, c = cm je opsán kruţnice. Jký je její obvod obsh? (o =,7 cm, S = 9,6 cm 0. Lnovk má přímou trť o délce 0 m s úhlem stoupání. Jký je výškový rozdíl mezi horní dolní stnicí? (8 m. Střech má sklon. Kolik brvy je potřeb n ntření štítu střechy se zákldnou 0 m, jestliţe se kg brvy ntřou m plochy? (6, kg 7.. Shodná podobná zobrzení v rovině / Sestrojte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC b Nlezněte jeho těţiště T c Sestrojte trojúhelník A B C jko obrz trojúhelník ABC v posunutí o vektor / Sestrojte libovolný lichoběţník ABCD se zákldnmi AB CD b Sestrojte k němu lichoběţník A B C D osově souměrný podle osy BC / Sestrojte libovolný obdélník ABCD b Nlezněte průsečík jeho úhlopříček P c Sestrojte obdélník A B C D jko obrz obdélník ABCD v otočení R(P ; / Sestrojte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC b Z jeho středních příček vytvořte trojúhelník KLM c Sestrojte středově souměrný trojúhelník K L M jko obrz trojúhelník KLM se středem souměrnosti ve vrcholu C. / Sestrojte libovolný lichoběţník ABCD se zákldnmi AB CD b Nlezněte průsečík jeho úhlopříček P c Sestrojte k němu lichoběţník A B C D v posunutí o vektor 6/ Sestrojte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC b Sestrojte výšku n strnu c c Sestrojte trojúhelník A B C jko obrz trojúhelník ABC osově souměrný podle výšky v c. 8

19 8. Funkce 8.. Lineární f-ce / Sestrojte grf fce: f : y = + D(f = R ; f : y = - + D(f = -; f : y = + D(f = (- ; f : y = - - D (f = f : y = - D (f = R ; f 6 : y = - D(f 6 = f 7 : y = - D(f 7 = R ; f 8 : y = D(f 8 = (- - / Sestrojte grf funkce y 6, nlezněte souřdnice průsečíků s osmi y, vyznčte v grfu bod M jko funkční hodnotu pro. / Sestrojte grf funkce y 6, nlezněte souřdnice průsečíků s osmi y, vyznčte v grfu bod M jko funkční hodnotu pro. / Průměrná spotřeb Škody Felicie je 7 litrů benzinu n 00 kilometrů. Před cestou má řidič v nádrţi 8 litrů. - Sestvte rovnici závislosti mnoţství m benzinu v nádrţi (v litrech n počtu ujetých kilometrů k. - Po kolik ujetých kilometrech zbývá řidiči v nádrţi ještě litrů? (, po 7 km 8.. Kvdrtická funkce / Sestrojte grf funkce určete průběh souřdnice vrcholu prboly g : y = g : y = - g : y = O, + g : y = - g : y = - + g 6 : y = -0, g 7 : y = + g 8 : y = g 9 : y = - + g 0 : y = - + / Sestrojte grf funkce y, nlezněte souřdnice vrcholu průsečíků s osmi y (V = [-;-], P = [-;0], P = [;0], P y = [0;-] / Sestrojte grf funkce y, nlezněte souřdnice vrcholu průsečíků s osmi y (V = [;-], P = [;0], P = [-;0], P y = [0;-] / Sestrojte grf funkce y, nlezněte souřdnice vrcholu průsečíků s osmi y (V = [-;-], P = [-;0], P = [-;0], P y = [0;] 9

20 8.. Nepřímá úměrnost Sestrojte grf funkce: k : y = k : y = k : y = k : y =, k : y =, k 6 : y = 8.. Eponenciální funkce Sestrojte grf funkce : u : y = u : y = u : y = O, u : y = ( u : y = ( u 6 : y = ( u 7 : y =, u 8 : y =, 8.. Logritmická funkce Sestrojte grf funkce: v : y = log v : y = log v : y = log 0, v : y = log / 8.6. goniometrická fce Sestrojte grf funkce : y cos y sin y y sin sin 0

21 9. Rovnice, nerovnice jejich soustvy 9.. Lineární rovnice Řešte rovnice, proveďte zkoušku, popř. podmínky řešitelnosti. + + = + (-6. + (-(- = 0 (,7. (u-(-u = (u-(-u u u (-. ++ (- = + (. +, (+ = +,9 ( 6. ( + = ( ( (6 ( 8. ( ( 9. ( ( 7 6 ( 0. ( b (b 8b (. ( c (c 7c (. ( d (d 6d (. ( K K 8. 0 X X 8V 9. V V O ( ( ( ( (- ( O ( =- 7 (7 ( (. + = -7 8 (9 0. =+ 7 7 (NŘ 7. + = 7 (6

22 6. - =0 6 ( = =0 9 ( = + ( =, (NŘ. (;7 9.. Soustvy lineárních rovnic - o dvou neznámých: Metodou substituční vypočtěte: +y= +y=7 +y=6 +y= -y=0 -y=-6 +y= y+y=7 ( - ( ( - ( 8 Metodou sčítcí vypočtěte: +y=7 7+y=00 y-y= =-y+0 +y= +y= +6y=00 6-0y= =y+ +y=9 ( 9 7 ;y R ;y R ( 7; ( ;- Libovolnou metodou vypočtěte: +7y-8 =(+y (+(y-= (-(y+ (+(y+=(+(y+8 -y-=(-y (+6(y-=(-(y+ (-(y+7=(-6(y+ ( ;6 ( 8; ( ; y ( y y y ( 6 7 y 9 y y 9 y ( ;-

23 y y y y 9 ( ; - o třech neznámých: +y-z= -y-z= +y+z= 7+6y+7z=00 -y+z= +y+z= -y-z= -y+z=0 -y+z= -z=7 -y-z= -y-z=0 ( ;; ( ;;- ( ;-; ( ;;7 y z z y z y ( ;; 9.. Lineární nerovnice jejich soustvy Řešte v R, řešení znázorněte zpište jko intervl: 0. - <,. (. (. (. ( (; (; (-6; (-; 6. - > -6 (-/; (- ;- > ( <- ; 9. < + (- ; > + ( ; 6

24 Řešte v N:. - < (0, + ;. <- +, (-. (- + (+ < ;;; > - ;;;;;6 7. < - ;;;;;6;7;8;9; , 0. -,. (;, Řešte soustvu nerovnic:. < - -6 (/7;>. (- < (+ +6 (+ < +8 (-7/; > 7 +. (+ +7> (- (+ (- +7 ( ; 7 6 >

25 9.. Slovní úlohy. Po dvoře pobíhá slepic králíků. Mjí hlv 96 nohou. Kolik je n dvoře slepic kolik je tm králíků? ( slepic, 7 králíků. Tři krtáčníci zhotovili z týden 60 štětců. Druhý jich uděll o třetí o více neţ první. Kolik krtáčů zhotovil kţdý z krtáčníků z týden? (88 ks, 0 ks, ks. Jedn bličk zblí určité mnoţství zboţí z hodin, druhá bličk totéţ zboţí z 7,hodiny. Z jk dlouho by zblily totéţ zboţí obě bličky společně? (si z hod 7 min. litrů moštu se stočilo do 0 lhví. Některé byly o objemu litru, jiné o objemu,litru. Kolik bylo kterých? (0 ks litrových 0ks. Z míst A vyjel do do B cyklist prům.rychlostí 0km/hod. Z minut vyjel z A do B motocyklist prům.rychlostí km/hod. Ob do míst B dojeli součsně. Určete vzdálenost AB. (7,km 6. N dráze délky 7km vyjedou z krjních bodů v 8hodin proti sobě dvě motorky. První jede rychlostí 60km/hod, druhá 0km/hod. V kolik hodin kde se setkjí? (v 0:0 hodin, první ujede 0km 7. Jirk vyjel n chtu o minut později neţ jeho otec. Jirk jede prům.rychlostí km/hod, jeho otec rychlostí 8km/hod. Jk je vzdálen cht, dojedou.li ob součsně? (si 9,86km 8. Otec vyjel n chtu ráno v 7 hodin. V 7.0 hodin z ním vyjel Miln prům. rychlostí 60km/hod. Otec jel průměrnou rychlostí 8km/hod. V kolik hodin dostihne Miln otce? (v 9:0hod 9. Ve dvou zásilkách došlo dohromdy 6kg hřebíků. První zásilk měl o 8kg větší hmotnost neţ druhá zásilk. Hmotnost oblů obou zásilek byl stejná. Určete hmotnost hřebíků z kţdé zásilky. (7kg, 9kg 0. Trojice brigádníků dostl zvláštní odměnu Kč 000,-. Peníze si rozdělily tkto: první dostl dvkrát více neţ druhý, druhý dostl třikrát více neţ třetí. Kolik dostl kţdý? (Kč 00, Kč 600, Kč 00. Sud o objemu hl byl stočen do 7 lhví. Některé z nich měly objem 0,7l některé měly objem l. Kolik bylo lhví kţdého druhu? (0lhví 0,7l; lhví l. Ocelová tyč dlouhá m se má rozdělit n dvě nestejné části tk, by jedn část byl o dm větší neţ druhá. Určete délku obou částí. (,m,7 m. Ve dvou sudech bylo 90 kg suroviny. V jednom bylo o 8 kg více neţ ve druhém. Kolik suroviny bylo v kţdém sudu? ( 9. Ve dvou nádrţích bylo 09 hl oleje. V jedné bylo,krát více neţ ve druhé. Kolik hl bylo v kţdé nádrţi? (8 07. Dělník odvezl z dny 6 vozíků, to tk, ţe kţdého následujícího dne odvezl o vozíky více neţ v předchozím dnu. kolik vozíků odvezl první den? (6 6. Tři brigádníci prcovli n stvbě. Protoţe dv z nich během práce onemocněli, vykonl brigádník A,krát tolik, co brigádník B brigádník B,krát tolik co brigádník C. Jk se rozdělili o částku Kč, kterou dostli z práci? ( Ve dvou zásilkách přišlo dohromdy 80 knih. První ze zásilek obshovl o 0 knih více neţ druhá zásilk. Kolik knih bylo v kţdé zásilce? ( Tričko stojí Kč 0,-, šátek dvpůlkrát méně. Kolik šátků je moţno koupit z Kč 0.-? (

26 9. Z 0 lístků do divdl do kin škol zpltil Kč 600,-. Lístek do kin stál Kč,-, do divdl Kč,-. Kolik lístků do kin do divdl škol koupil? ( 0. kg bonbónů stojí Kč 0,-, kg lízátek stojí Kč 80,-. Má se nmícht směs 0 kg bonbónů lízátek po Kč 60,-/kg. Vypočtěte hmotnost obou sloţek. (, +6,66. Do 00 lhví o objemu 0,7 l l bylo stočeno 0 litrů vín. Kolik kterých lhví bylo? ( Pokldník vydl Kč 00,- v bnkovkách po Kč 0,- po Kč 00,-. Kolik bylo kterých bnkovek, bylo-li jich celkem? (00. Škol zpltil částku Kč ,- z tituly knih, celkem z 7kusů. Knih do ANJ stál Kč,-, do RUJ Kč 9,-. Kolik bylo kterých? (. Cyklist vyjel z Hvířov směrem n Brno ve hodin průměrnou rychlostí km/h. V hodin z Hvířov týmţ směrem motork rychlostí km/h. Kdy kde dohoní motork cyklistu? (v 8, hod. 68,7 km dleko. Z míst A vyjel do míst B cyklist průměrnou rychlostí 0 km/ hod. Z minut vyjel z A do B motocyklist průměrnou rychlostí km/ hod. Do míst B dojeli součsně. Určete vzdálenost AB. (7, km 6. Z jednoho konce trti 60 km dlouhé vyjede trktor průměrnou rychlostí 0 km/ hod, z druhého konce součsně motocyklist průměrnou rychlostí 60 km/ hod. Kdy kde se setkjí? (z hod. 0 km od trktorového konce 7. Z míst A vyjede směrem k B cyklist v 6 hodin jede průměrnou rychlostí 8 km/ hod. V 7 hodin týmţ směrem z A do B moped průměrnou rychlostí 0 km/ hod. Kde z jk dlouho dostihne moped cyklistu? (z, hod. km dleko 8. V jedné skupině bylo o 8 ţáků více neţ ve druhé. Po přijetí dvou nových ţáků do kţdé skupiny jich bylo v první skupině dvkrát více neţ ve druhé. Kolik ţáků bylo ve skupinách? ( 6 9. Dvojrmenná pák je m dlouhá. Ztíţíme-li ji n jednom konci 6 kg n druhém 9 kg bude v rovnováze. V jké vzdálenosti od konce je podepřen? (, m 0. Sud o objemu hl byl stočen do 7 lhví. Některé z nich měly objem 0,7 litrů některé litr. Kolik bylo kterých lhví? (0. Dědeček je dnes krát strší neţ jeho vnuk. Před lety byl dědeček o 6 let mldší, neţ byl pětinásobek věku vnuk. Kolik jim je let? ( 6. Oplocený pozemek ve tvru obdélník má mít jednu strnu o metrů delší, neţ druhou. N oplocení máme k dispozici 0 m pletiv. Jké bude mít pozemek rozměry? ( 0. Aničk s Pepíčkem byli n pouti. Aničk se svezl n lbutích, Pepíček n lochnesce. Protoţe jízd n lochnesce je o Kč drţší, koupil ještě Aničce z 0 Kč cukrovou vtu. Dohromdy utrtili 00 Kč. Kolik stál jedn jízd n lbutích kolik n lochnesce. (0 Kč. Obvod obdélník je 8 cm. Zmenšíme-li strnu dvkrát strnu b třikrát, zmenší se obvod o 6 cm. Určete délky strn. (8 6. Zhrd má tvr prvoúhlého trojúhelníku o obshu 00 m. Délk jedné z krtších strn je 0 m. Kolik metrů pletiv je potřeb k jejímu oplocení? (, m 6. Strny obdélníku jsou v poměru :, jeho obvod je 0 cm. Jk jsou strny dlouhé? (9 6 6

27 9.. Kvdrtické rovnice. 0 (0; 0. + = + (0. 0 (0;-. 0 (0;. 6 0 (; 6. 0 ( 7. s 0 (NŘ 8. r (;- (;-/ (9; (7;/7 (9;- (-+ 0 ; -- 0 (8;- (;/ (9/;-/ 9.6. Kvdrtické nerovnice Řešte pomocí nulových bodů (- ; > <; (- ;- (7; <-; > < 0 (-7; < 0 (7; (- ; (0; < 0 (/; <-/; > (- ;-/ (; (- ;/ > </; 7

28 9.7. Kvdrtický trojčlen vzthy mezi kořeny koeficienty kvdr. rovnice Rozloţte n součin, zkrťte uveďte podmínky řešitelnosti: ( ( ( ; R- ; R 8 ; R Rozloţte n součin:. +-6 ((-6( ((-(-. -- ((+(- Určete dné koeficienty kvdrtické rovnice, by kořeny těchto rovnic byl čísl:. +b+c=0, = 8;- (b = -6, c = -6. +b+=0, = ;/ ( = /, b = -8. +b+0=0, = ;-6 ( = -, b = -. +b+c=0, = 8;9 (b = -7, c = 7. +b+c=0, = ;-/ (b = -8/, c = -8/ Nezpomeňte n zkoušku!! 9.8. Slovní úlohy vedoucí n kvdrtickou rovnici. Součet dvou čísel je 79, součet jejich druhých mocnin je. Určete tto čísl. (6;6. Součet dvou čísel je, součet jejich druhých mocnin je 07. Určete tto čísl. (;09. Určete tři čísl o poměru ::, jejichţ součet druhých mocnin je 0. (±; ±0; ±. Prvoúhlý trojúhelník, jehoţ odvěsny jsou v poměru :, má přeponu dlouhou 6m. Jk veliké jsou odvěsny. Vypočtěte obsh tohoto trojúhelníku. (0m; m; 0m. Rozdíl odvěsen v prvoúhlém trojúhelníku je, přepon je 6. Určete délku odvěsen určete jeho obsh. (0, S = 0 6. Rozdíl dvou různých čísel je ; dvojnásobek součtu jejich druhých mocnin je 8. Určete tto čísl. ( 7. Součet dvou různých čísel je 9; dvojnásobek rozdílu jejich druhých mocnin je 08. Určete tto čísl. ( 8. Součet odvěsen v prvoúhlém trojúhelníku je 7, přepon je. Určete délku odvěsen určete jeho obsh. (,; Určete rozměry obdélníku, jehoţ obsh je 608 jehoţ délk je o 6 větší neţ šířk.(;7 0. Určete poloměr obvod kruhu, jehoţ obsh je 00 cm. (r=7,98 cm; 0, cm. Obvod obdélníku je 8m, délk úhlopříčky je,m. Určete délky strn obdélníku. (0m;,m. V prvoúhlém trojúhelníku je jedn odvěsn o m krtší neţ přepon, druhá odvěsn je o m krtší neţ přepon. Určete délky všech strn trojúhelníku. (m;m;m. Poměr délek strn obdélníku je :. Délk úhlopříčky je 6cm. Určete délky strn obdélníku. (60cm; cm 8

29 . Rotční válec má povrch 96cm, výšku 8cm. Určete průměr jeho podstvy. (, cm. Kruhový záhon byl zvětšen tk, ţe se jeho poloměr zvětšil o m. Spotřeb substrátu n zvětšený záhon byl (při stejné výšce vrstvy jko před zvětšením devětkrát větší neţ dříve. Určete původní poloměr záhonu. (,m 6. Součet čittele jmenovtele neznámého zlomku je 9. poměr zlomku zlomku k němu 7 obráceného je 9 : 6. Určete zlomek. (- ; Součet dvou čísel je, součet čísel k nim převrácených je 8. Určete obě čísl. (9 6; Dvě síly, které působí v prvoúhlém trojúhelníku jsou v poměru 8 :. Jejich výslednice je síl F=N. Určete velikosti obou sloţek. (6N; 0N 9. Délk obdélníku je o cm větší neţ jeho šířk. Zmenšíme-li kţdý jeho rozměr o třetinu, zmenší se obsh o 60cm. Určete rozměry obdélníku. (6;8 0. V prvoúhlém trojúhelníku ABC je délk jedné odvěsny o cm krtší neţ délk přepony délk druhé odvěsny je o cm krtší, neţ délk přepony. Vypočtěte jeho obvod. ( cm. Obvod obdélník je 8 cm, délk jeho úhlopříčky je 0 cm. Vypočtěte jeho obsh. (8 cm 9.9. Ircionální rovnice je NUTNÁ zkoušk. (. 7 (. - ( (8. - (0 6. ( 7. 6 ( ( (/9;9/ (9. (. (. 6 (-;. (. ( (0 7. ( ( (7;- 9. (7

30 (7/7. 8 ( (± (;8. 7 (-;. ( 0

31 0. Eponenciální logritmické rovnice 0.. Eponenciální rovnice Řešte v R proveďte zkoušku:. - = 8 (. 8 (9/ u. 0, = 6 (-. ( = + ( (6 (- (-8 (-8; ,. (. 8 ( = 7 (/ = 8-7 (7/. 9 (-; (/ 7. m-8 = 9 m- (/ 8. - = ( ( (9+ = - ( (NŘ. -6-, = 6 (7;-.. = (;..7 - = 8 - ( 7/.. 6 ( 6. ( - 9 ( (-/ 9

32 00. 0,00 7. (/ ( = 0,0 (/ 0. (+(- = (-/. + + = 08 (. + = 96 ( = 8 (. + - = ( = ( = - ( = ( =0 ( = 0 ( =7 ( =0 (; 0.. Logritmus. Určete logritmus: log ; log 7; log ; log ; log 7 - ; log ; log 8 ; log 0, 6; log ; [;;-;;-;-;-;-;-/]. Určete neznámou: log =; log =; log =-; log =-; log = ; log = - ; log =; log =0; [8;;/;/6; ; ;;] log =; log 000 =; log 6 =; log =-; log =; log 0,0=-; log =-; 7 8 log =; log = [;0;;;/;0;/; ;/7;]

33 . Vypočti pomocí vět o logritmování:. log 0+log 0 (. log 0, 0 log 0, 0, (-. log 7 + log ( 7 8 (. log 0 log (. log + log ( 6. log 0, + log 0, - log 0, 0, (- 7.. log + log. log ( 8. log 0, 6 + log 0, - log 0, 6 (- 9.. log 6 +. log 6 - log 6 ( 0.. log +. log - log 8 (.. log 6 +. log 6 - log 6 8 (. log 7 log log log 7 (- 0.. Logritmické rovnice Vypočtěte proveďte zkoušku: Pozor n podmínky řešitelnosti!!. (-. (. log (+ log(- = log (/. log 0 ( + + log 0 ( -7 =. log 0 ( - (0. log (+ = log (- (, 6. (NŘ 7. (NŘ 8. log (+ = log ( 7 ( 9. log (-. = log ( 0. log (y+ + log (y+ = log 6 (.. log 7 (- = 0,. (log 7 log 7 ( po zkoušce nemá řešení. log 00 log = log y (0. log (- log (+ = -. log (. log (- log = log 0 (8.. log (- = log ( ( 6. log (+ log (- = log 0 log (7 7. log (+ log (- = log 00 log ( log (7+6 = log0 + log (- ( 9. (log +. log = 0 (0,00 ; 0 0. (log. log 0 =0 ( - ;. ( log. log + = 0 (. ( log +. log +6 = 0 ( - ; -. ( log 7. log 7 - = 0 (7 - ; 7. ( log 8. log +6= 0 (. ( log = 0 ( ; -

34 6. ( log log -6 = 0 ( ; - 7. ( log 6 6. log 6-9 = 0 (6-7 ; 6 8. log(-9 +. log ( 9. log log log 0 (6 0. log( 9 log (;/. log (+ + log (+ = (0. (0 ;0 log log 0 log y. 0, 00 (0,. log (- = log (+6- (- log. lo (0 6. log 7 (- 9 -log7 = log 7 (- (9/ 7. log(-+log(+ =.log +log(- (; 8..log +log log ( 0 9. log (+ log (- = log 8 ( 0. (. (. (

35 . Goniometrie. určete zákldní velikost dných úhlů, určete kvdrnt, ve kterém se nchází určete jejich hodnotu pro funkce sin, cos, tg, cotg: 9 9,,,,, Goniometrické rovnice Vypočtěte goniometrické rovnice:. cos(0 0 + = -0,86 (9 0 + k.60 ; k. 60..cos 7cos +=0 ( k, k. +sin=(-sin ( k, 6 6 k. tg tg ( 6 k. sin(+0 =0, ( k, 6 k 6. tg= (9 +k cos(+ = 0,6 (0 6 +k.80, +k cos= 8 ( 0 +k.80, ; 0 + k cos ( k, k 0. cos sin sin 0 ( k, k, k 6 6. cos sin cos 0 ( ( k, k 7. sin cos 0 ( ( k, k, k 6 6..cotg +.cotg =0 ( k, k. cos +cos -=0 ( k, k. cotg = ( k 6. tg = ( k 7. cos cos = 0 (0+k,, k 8. tg - tg = 0 ( k

36 9..cot g.cot g 0 ( k, k 6 0. cos =cos + (0+k, k, k. cos sin +=0 (90; +k.60, 70; +k.60. sin = cos - ( 0 k, k. 6cos +sin =0 (0 +k.60, 0 +k. 60, k.60, 0 +k.60..cos sin =0 (0 +k.60, 0 +k.60. sin cos 0 ( ( k, k, k Úprvy goniometrických výrzů Zjednodušte výrzy, popř. uveďte podmínky řešení (definiční obor:. sin cos + cos (cos. (-sin(+ sin (cos. cos (tg. sin cos (cotg. cos sin (-sin 6. sin+costg (sin 7. sin cos(tg + cotg ( 8. (sin + cos -(sin cos ( sin 9. cotg + ( cos sin cos cos 0. ( sin sin cos 6

37 .. Sinová kosinová věty. Určete zbývjící strny úhly v trojúhelníku ABC, jeli dáno: =7 cm; = 0 ; = 6 (0 ; 9 cm, cm b b = cm ; = 00 0 ; = 7 (8 9 ; 6 cm, 7 cm c b = 8 cm; = ; = 7 (9 ; 9 cm, 7 cm d c = 8, cm; = 7 8 ; = 9 ( ; 8,9 cm,, cm e c = cm; = 0 ; = 0 (6 6 ;, cm, 0 cm f =,8 cm; b =, cm; = 7 0 (6 8 ; 0, 0, cm g b=, cm; c = 6,8 cm; = ( 0 ; 6, 0,8 cm h = 6 cm; b = 6 cm; = (8 7 ; 08 8, 90,9 cm i b=, cm; c =,8 cm; = 8 (nemá řešení j b =, cm; c = 6, cm; = 70 (9 08 ; 0 0,,9 cm k =, dm; c = 8,8 dm; = 08 (7 8 ; 00 0, cm l = 0m; = 6 8 ; = 89 0 (6 ; 89, cm, 80 cm m b = mm; = 07 ; = 0 0 ( ; 0, cm, 9,7 cm n b = 79,cm; = 6 0 ; = 0 (60 ; 7,8 cm, 7, cm o c = 0 mm; = 6 ; = 8 6 (68 ; 00, cm, 70, cm p = 6; = 0 0 ; = 69 0 (69 0 ;,9 cm, 6, cm q b = 7; = 08 0 ; = 9 ( ; 69 cm, 8 cm r c =,; = 0 ; = (9 ;,6 cm,, cm. Určete velikost úhlů v trojúhelníku ABC velikost strn, je li dáno: = 7; b = ; = 8 (,6; 09 ; 7 b b = ; c= 0; = 00 (,; ; 07 ; c = 0,9; c =,; = 67 (,8; ;70 9 d b =,; c =,76; = 89 7 (6,96; ; 08 e = 6; b = ; c = 6; ( 0 ;6 ; f =,; b =,8; c =,; (9 0 ; 7 ;86 g = ; b = 6; c = 7; ( ;7 07 ; Slovní úlohy n sinovou i kosinovou větu. V jkém zorném úhlu se jeví předmět 70m dlouhý pozorovteli, který je od jednoho jeho konce vzdálen 0m od druhého konce 80m? (60. Určete velikost zorného úhlu, pod nímţ vidí pozorovtel předmět m dlouhý, je-li od jednoho konce vzdálen m od druhého m? ( 9. Dvě obce A,B odděleny lesem; obě viditelné z obce C, která je s oběm spojen přímými cestmi. Jk dlouhá je projektovná cest z A do B, je-li AC = 00m; BC = 9m ABC = 6? (,m. Cíl C je pozorován ze dvou dělostřeleckých pozorovtelen A,B, které jsou od sebe vzdáleny 97m, přitom BAC = 6 ; ABC = 8. Vypočítejte AC. (776m. Dvě důlní štoly vychází ze stejného míst P v šchtě svírjí úhel o velikosti. Délky štol jsou: PQ = 79m; PR = 796m. Vypočítejte délku spojovcí štoly QR. (6m 7

38 6. Dvě přímé ţelezniční trti se sbíhjí ve stnici pod úhlem o velikosti 6 0. Z této stnice vyjely součsně dv vlky, kţdý po jiné trti. Jeden jel rychlostí m.s - druhý rychlostí m.s -. Jk dleko byly od sebe z jednu hodinu 6 minut? (6,98 km 7. Jsou dány velikosti sil P=8,N Q= 7,8N. Síly P Q svírjí úhel o velikosti 6 0. Jk veliká je jejich výslednice R jké úhly svírá síl R se silmi P Q? (7,7N; 6 0 ; Sílu o velikosti F = 7,6 N je třeb rozloţit n dvě sloţky, které s ní svírjí úhly o velikostech = 6 =. Vypočítejte velikosti sloţek F F. (80,6N; 68,N 9. Síly o velikostech F = N F = N působí ve společném bodě svírjí úhel o velikosti 77. Jk veliká je výsledná síl F? (?60,N? 0. Sílu o velikosti F = 00N rozloţte n sloţky F, F. První sloţk svírá se silou F úhel o velikosti 7 druhá úhel o velikosti 8. Určete velikosti sil F, F. (06,N; 0,9N. Po přímé cestě jede vojenská kolon. Rdiolokátorem leţícím v místě A mimo cestu bylo zjištěno, ţe vzdálenost míst A od čel kolony C je 0m, vzdálenost míst A od konce kolony Z je 80m velikost úhlu CAZ je. Vypočítejte délku kolony. (60m. Dvě rovné silnice spolu svírjí úhel 0. Z průsečíku silnic vyjedou ve stejný okmţik uto cyklist. Auto jede po jedné silnici rychlostí 0 m/s, cyklist po druhé rychlostí m/s. Jká je jejich přímá vzdálenost po 0 s jízdy? (9 m. N poušti Turbn jsou tři oázy. Z oázy Džufr vycházejí dvě cesty k oázám Kufr Slm, které svírjí úhel 60. Z Dţufry do Kufry dorzí velbloud z 8 hodin, z Dţufry do Slmy z hodin. Z jk dlouho dorzí z Kufry do Slmy? (cc 0, hod 8

39 . Stereometrie. Délky hrn kvádru jsou v poměru :b:c = ::, tělesová úhlopříčk má délku u t = 0. Vypočtěte objem povrch kvádru. ( 96; 79. Vypočtěte hmotnost krychle o hrně délky cm vyrobené z dubového dřev ( 800kg.m -. (,7kg. Povrch kvádru je 7 cm, hrny podstvy mjí délku cm, cm. Vypočtěte obsh pláště. (0cm. Délky hrn kvádru jsou v poměru ::6. Vypočtěte jejich délky, víte-li, ţe povrch kvádru je 6m. ( 6m;m;8m. V bzénu tvru kvádru je 0m vody. Určete rozměry dn, je-li hloubk vody 0cm jeden rozměr dn je o m větší neţ druhý. (6m;0m 6. Vypočtěte objem kolmého hrnolu, je-li délk výšky cm, podstv je trojúhelník se strnmi o délkách 9cm, 0cm, cm. (09cm 7. Je dán rotční válec:. r=cm; v=0cm; vypočítejte S pl, S, V. (cm, 7cm, 78cm b. S pl = 00cm,v = 8cm; vypočítejte r,v. (7,96cm, 9cm c. S pl = m ;r = 0cm; vypočítejte v, V. (0,m, 0,m d. V= 0,m ; r = 0,6m; vypočítejte v, S. (0,m,,9m 8. Válcová cistern má délku 8m obshuje 0m benzínu. Jký je její vnitřní průměr? (,m 9. Obvod podstvy rotčního válce je tk velký, jko jeho výšk. Jký je průměr výšk válce o objemu litr? (0,7dm;,dm 0. Je dán kolmý prvidelný trojboký jehln:. =cm; v = 8cm; vypočtěte V, S. (8,87cm ; 7,8cm b. V = 7,cm ; v = cm; vypočtěte,v s. (0cm,,cm. Je dán kolmý prvidelný jehln:. Čtyřboký: = 6,cm; v s = 7,cm; vypočtěte V, S pl. (8,cm ; 87,9cm b. Čtyřboký: V = m ; = 7,m; vypočtěte v, v s. (,7n,,8m. Vypočtěte objem povrch prvidelného šestibokého hrnolu (pomocí tbulek, je-li dáno:. Délk podstvné hrny =,cm; výšk hrnolu je 8cm(,6cm ;7,cm b. Poloměr opsný podstvě =8cm; výšk hrnolu je 8cm(6,8cm ; =r=8cm; 676cm c. Poloměr vepsný podstvě =9cm; výšk hrnolu je 8cm(,7cm ;=0,;060cm. Vypočtěte objem povrch prvidelného čtyřbokého jehlnu o podstvné hrně =8cm boční hrně b=0cm. ( 7 979cm ; 7 7,78cm. Vypočtěte objem povrch prvidelného čtyřbokého jehlnu o boční hrně b=7,cm výšce v=,9cm. (78,7cm ;,cm. Vypočtěte povrch objem prvidelného komolého čtyřbokého jehlnu o podstvných hrnách = 6cm, = 7cm, jehoţ výšk je v=cm. (08cm ; 0,8cm 6. Prvidelný šestiboký jehln ABCDEFV má podstvnou hrnu 8 cm tělesovou výšku 0 cm. vypočtěte úhel, který svírá boční hrn s rovinou podstvy ( 0 b určete průsečík (jestli eistuje roviny podstvy roviny DEV. (přím.de 7. Prvidelný čtyřboký jehln ABCDV má podstvnou hrnu 8 cm tělesovou výšku cm. vypočtěte délku stěnové výšky ( cm b určete vzájemnou polohu rovin ABC DAC. (totoţné 9

40 8. Obvod podstvy rotčního válce je tk velký, jko jeho výšk. Jký je průměr výšk válce o objemu litr? (d = 7, cm; v =, cm 9. Hrnec má průměr 0 cm. Jký průměr má stejně vysoký hrnec, má-li dvojnásobný objem? (, cm 0. Vypočtěte objem nádoby tvru prvidelného komolého čtyřbokého jehlnu, jehoţ dolní podstvná hrn má délku cm, horní podstvná hrn má délku 6 cm boční strn má 6 cm. ( cm. Vypočtěte povrch objem rotčního kuţele o poloměru podstvy r=6cm výšce v= cm. ( 89cm ; 6,99cm. Do kvádru se čtvercovou podstvou o hrně m výšce m je vepsán válec. O kolik je objem tohoto válce menší, neţ objem kvádru? (o 0, m. Vypočtěte povrch objem rotčního kuţele, který má poloměr podstvy r=9,6cm strnu s=cm. (98,cm ; 7,79cm. Vypočtěte povrch objem rotčního kuţele, jehoţ strn s=,8cm svírá s rovinou podstvy úhel 8. (7,869cm ; 79,7cm. Vypočtěte povrch objem rotčního komolého kuţele, jehoţ poloměry podstv jsou 6m m jehoţ výšk je m. (97,9cm ;,cm 6. Povrch rotčního komolého kuţele je S= 7 97m. Průměry podstv jsou 6m m. Určete výšku kuţele. (,68m 7. Povrch krychle je 0 cm. Jký je povrch válce, který je do ní ntěsno vloţen? (7,7 cm 8. Kvádr ABCDA B C D má délky hrn AB = cm, BC = cm, AA = cm. Určete: vzdálenost hrn BC D A ( cm b vzájemnou polohu přímek AB A C (mimoběţky 9. Vypočtěte objem povrch koule o poloměru r=0,6cm. ( 6,cm ; 6, cm 0. Objem koule je 00cm. Určete její povrch. (0,88cm. Povrch koule je 00cm. Určete její objem. (9,0cm. Vypočítejte povrch objem Země, předpokládáme-li, ţe má tvr koule s délkou rovníku 0 000km. (, km ; km. Poloměr koule je dm hmotnost kg. Určete její hustotu. (8,7 kg.m -. Jkou hmotnost má těleso tvru činky sloţené ze dvou koulí o průměru 0cm příčky tvru válce o poloměru,cm délce cm. Hustot těles je 780kg.m -. (0,90kg 0

41 . Posloupnosti Npište prvních 6 členů posloupnosti:. n = (n+:n (;/;7/;9/;/;/6; n. n = n (-/;-/;-;-7/6;-9/7;-/8;. n = (- n n. n (-/;/;-/0;/7;-/6;6/7;. n = (- n+ n. n (0;-/;8/0;-/7;/6;-/7;. n = 6-n (;;;;;0 6. n = n(n- (;6;;8;;. 7. n = 0,. -(- n (0,8;0;0,8;0;0,8;0 8. n = n. -n (,,,,, 8 9. n = n.(n- (0,,6,,0,0 Npište prvních 6 členů posloupnosti dné rekurentně:. n+ = n+ - n ; je-li =; = (;;;-;-;-;. n+ = n+ + n ; je-li =0; = (0;;;;;;. n+ = n+ - n ; je-li =; = (;;-8;-;-0;6; n. n+ = ; je-li =; = (/;/;/;;;; n. n+ = n - n- ; je-li =; (;;;-;-;-; 6. n+ = n ; je-li =; (;;8;9;768; ; 7. n+ = n, ; je-li =,; (,;;0,;-;-,; ; 8. = -, = -, n+ = ( n + n+.0, (-; -; -; -,; -, 9. =, =, n+ = n - n+ (,,-,,-,9 0. =, n+ = n + (,9,,7,,. =, n+ = n (,,,8,6,,6. =, n+ = n + (,,7,9,,,. =, n+ = n +n+ (,,9,6,,6.. Aritmetická posloupnost ( n n= (dále jen AP A Npište prvních členů AP určete, kdy je rostoucí kdy klesjící:. =; d= (;;;;6. =; d= - ( ;;0;-;-. =; d= 0, (;7/;;9/;. =-/ ; d= ¼ (-/;-;-/;-/;-7/. =-; d= (-;;;; rostoucí 6. =; d= - (;;;-;- klesjící 7. =/; d= ½ (/;;/;;/ rostoucí

42 8. =-/; d= ¾ (-/;/;;7/;/ rostoucí 9. =7; d= - (7;;;-;- klesjící 0. =/; d= -/ (/;/;-/;-/;- klesjící B V AP určete dný člen, popř. součet prvních n-členů:. =;d= ; 0 (9. =-;d=- ; (-. =/ ;d=/ ; 9 (9/6. =;d= ; ;s (7; 6. =-;d=- ; 7; ;s 0 (-; =9; d=7 ; ; ( =0;d=- ; ;s (-; =;d=0,;s (-6, =-; = -8; d; 0 (-/9; -7/ =; 0 = ; s ( =; = -; s 6 (-. =7; 8 = -; s 8 (- 880 C Určete, d proveďte zkoušku:. + 6 = = 8 (-;. + 6 = + = 6 (;. + 7 = - - = 6 (0; = + =7 (;- D. Určete číslo tk, by čísl - tvořil tři následující členy AP: 6 [ = ; = -8]. V AP je 0;, kolikátý člen je roven 00? [] d. Tři čísl, která tvoří následující členy AP mjí součet 60 součin 700. Určete je. [,0, nebo,0,]. V AP je,.kolik členů musíme sečíst, by byl součet větší neţ 0? [] d. Šestý člen ritmetické posloupnosti s diferencí rovnou je 0, kolikátý člen je roven číslu 00? [ ] 6. Třetí člen ritmetické posloupnosti je, devátý je -. Kolik členů je potřeb sečíst, by jejich součet byl 0? [] 7. Pátý člen ritmetické posloupnosti s diferencí rovnou - je 0, kolikátý člen je roven číslu -8? [.]

43 .. Geometrická posloupnost ( n n (dále je GP A Npište prvních členů GP určete, zd je rostoucí, klesjící:. =; q = ; ( ;;6;8;0 rostoucí. =; q = -; ( ;;-;-;- klesjící. =- q = ½ (-;-;-;-/;-/; klesjící. =/ ; q = -/; (/;-/8;/6;-/;/6. = ; q = /; (///8/6 klesjící 6. =6 ; = (6;;8 rostoucí. 7. = ; 6 = 80; ( ;/; ; ; 8. ; = 8; 7 = 8; (;;8;6;; ;-;8;-6; rostoucí; B V GP určete dný člen, popř. součet prvních n- členů:. =; q= ; 8 ( 7. = 9; 7 =; (/79. 9 =6; q= -/; ( = -8/; 6 = -/; ; s 6 (-/; -; /;-7. =8; 6 = 86; q; ; 7 (;; 8 6. = ; 7 = 8; 0 ( =; 6 = 86; s 6 (78 8. =6; 8 =8; 7 ; s 7 (6; 7 9. =/6; = 6; q; s 0 ( ; 9/6; -097/6 C Určete ; q proveďte zkoušku:. = = (q= ½; -/; = 8; 8/;. + = - = / ( q = 6/; -/; = -0/; -. Vypočítejte n s n geometrické posloupnosti, je-li dáno: =,, q =, n = 6 [ 6 = 8, s 6 = 9,]. Vypočítejte n s n geometrické posloupnosti, je-li dáno: = 6, q = 0,, n = [ =, s = ].. Posloupnosti užití. Strny prvoúhlého trojúhelníku tvoří ritmetickou posloupnost. Delší odvěsn je cm. Vypočtěte strny, obvod obsh. (9;;;6;. Strny prvoúhlého trojúhelníku tvoří ritmetickou posloupnost. Přepon je 0 cm. Určete odvěsny. (8;. Trubky jsou srovnány v osmi řdách nd sebou tk, ţe vrchní řd má trubek kţdá dlší řd o trubku více. Kolik je všech trubek? Kolik je trubek ve třetí řdě odshor? (;. Tři čísl, která tvoří tři následující členy ritmetické posloupnosti, mjí součet 60 součin Která čísl to jsou? (;0;;;;0;

44 . Pětistupňový kotouč má nejmenší průměr d= 00 mm, největší D= 0 mm. Určete osttní, tvoří-li tyto průměry ritmetickou posloupnost. (60;0;80 6. Njděte ritmetickou posloupnost, v níţ součet prvních tří členů je 7 součet dvojmocí týchţ členů je 7. (;9;;;;9; 7. Dělník vyrobí z směnu 6 součástek. Kolik součástek vyrobí celkem z 8 dní, bude-li kţdý den zvyšovt počet výrobků o jeden? (6 8. Konzervy jsou sestveny do řd nd sebou tk, ţe počet konzerv klesá od nejniţší po nejvyšší řdu o stejný počet. Ve spodní řdě je 8 konzerv, v horní řdě je 7 konzerv. Ve všech řdách je celkem 0 konzerv. Určete počet řd počet konzerv ve třetí řdě shor. (8 řd; 9. Tři čísl po sobě jdoucí tvoří ritmetickou posloupnost, dvojnásobek jejich součtu je 8 jejich součin je 00. určete tto čísl. (;8; 0. Trubky jsou srovnány do 6 řd, v horní řdě je trubek, v kţdé dlší je o trubku více. Kolik je všech trubek? Kolik trubek je v 0.řdě shor? ( 79; 6. Strny prvoúhlého trojúhelníku tvoří ritmetickou posloupnost, přepon je 6 m. Určete odvěsny obsh trojúhelníku. (,6;,8; 7,6. Strny prvoúhlého trojúhelníku tvoří ritmetickou posloupnost. Delší odvěsn je 8 cm. určete strny prvoúhlého trojúhelníku, obvod obsh. (6; 8; 60;,86. Strny prvoúhlého trojúhelníku tvoří ritmetickou posloupnost. Krtší odvěsn je 6 dm. Určete strny prvoúhlého trojúhelníku, obvod, obsh. (6; 8; 60;,86. Součet prvních členů GP je 68. Vypočtěte první poslední člen, je-li q=. ( 0;. Součet prvních n členů GP je 6, první člen je, poslední člen je 07. Vypočtěte počet členů kvocient této posloupnosti. (q=; n= 6. Mezi čísl 8 7 vloţte pět čísel tk, by vznikl geometrická posloupnost. [q = ] 7. Přičteme-li k číslům,7,7 totéţ číslo vzniknou po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete je. [, 0, 0] 8. Mezi čísl 8 8 vloţte tři čísl tk, by vznikl geometrická posloupnost. [ q = ] 9. Dělník vyrobí z směnu součástek. Kolik součástek by vyrobil z 6 dní, kdyby zvyšovl svůj výkon o součástky denně? ( Cen nového zřízení je Kč. Opotřebením se ročně znehodnotí o 0%. Jká bude jeho hodnot po 0-ti letech? (977. Počet obyvtel měst vzrostl z 0 let z n Jký byl roční přírůstek obyvtel v procentech? (,9. V cirkusu jsou míst k sezení pro diváky v jednom sektoru uspořádán tk, ţe v kţdé vyšší řdě je o jedno místo víc neţ v předchozí. Kolik míst je v sektoru o řdách, jestliţe je v první řdě 8 míst? [07]. Ţelezné roury jsou srovnány v 0 řdách nd sebou tk, ţe vrchní řd má trubek kţdá dlší řd o více. Kolik je všech trubek? [9]

45 . Kombintorik.. Vrice, permutce. Kolik trikolór je moţno sestvit ze čtyř brev? V kţdé trikolóře se můţe brv vyskytovt jen jednou. (. V prvním ročníku se vyučuje předmětům. Kţdý předmět se učí nejvýše jednu hodinu denně. Kolik způsoby se dá sestvit rozvrh hodin n jeden den, je-li v témţe dni 6 různých předmětů? (66 80 Kolik způsoby se dá sestvit rozvrh hodin n jeden den, je-li v témţe dni 6 různých předmětů mtemtik se učí.hodinu? ( 0 Kolik způsoby se dá sestvit rozvrh hodin n jeden den, je-li v témţe dni 6 různých předmětů učí se mtemtik? ( 60. Kolik trojciferných přirozených čísel lze npst pomocí číslic,,,, tk, by se ni jedn číslice neopkovl? (60. Kolik všech přirozených čísel lze npst pomocí číslic,,,, tk, by se ni jedn číslice neopkovl? (. Kolik trojciferných přirozených čísel lze npst pomocí číslic,,,, menších neţ 00 tk, by se ni jedn číslice neopkovl? (6 6. Kolik přirozených čísel lze npst pomocí číslic,,,, menších neţ 00 tk, by se ni jedn číslice neopkovl? 7. Kolik způsoby lze umístit n polici 7 různých knih? (00 8. Kolik způsoby můţe vyběhnout 6 závodníků n trť? (70 9. Kolik způsoby si můţe osob rozdělit funkci předsedy, místopředsedy, pokldník, nástěnkáře mluvčího? (0 0. Kolik čtyřciferných přirozených čísel lze sestvit z číslic,,6,8 tk, by se ţádná číslice neopkovl? (. Kolik způsoby lze sestvit rozvrh n jeden den pro třídu, v které se vyučuje předmětům, má-li n tento den připdnout 6 různých jednohodinových předmětů? (6680. Znčky Morseovy becedy jsou jedno ţ pětičetné skupiny skládjící se z teček čárek, ve kterých záleţí n pořdí. Určete počet všech trojčetných znček. (8. Kolik přirozených čísel menších neţ 000 lze vytvořit z číslic 0,,,, jestliţe se ţádná číslice neopkuje? (9. Kolik různých ti korálkových nármků se dá vytvořit z 8 ţlutých 0 modrých korálků? (. Pro účstníků soutěţe je připrven zltá, stříbrná bronzová medile. Kolik způsoby mohou být tyto medile rozděleny? (76 6. Kolik přirozených čísel větších neţ 00 lze vytvořit z číslic 0,,,, jestliţe se ţádná číslice neopkuje? (0 7. Mezi osmi knihmi jsou tři historické romány, které chceme uloţit v knihovně vedle sebe. Kolik je způsobů uloţení knih z této podmínky? (0 8. Kolik přesmyček lze vytvořit ze slov STAROSTA? (00 9. Kolik způsoby je moţno posdit do řdy 6 dětí, jestliţe Romn s Ivetou chtějí sedět vedle sebe? (0