Metody operačního výzkumu přednášky
|
|
- Vratislav Štěpánek
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PEF - KOSA - Předměty - MOV4 MOV5syl - všehno předmětu pef.zu.z/osa see Předměty u zoušy - zajímá jí postup, numeré hyby nevadí 2 evdenčníh testů - na záladní vě 2 bodů za dobrovolné domáí úoly (poud bude málo bodů z testů) Modely operačního výzumu Optmalzační modely Dstrbuční a dopravní modely Plánování a řízení projetů eore rozvrhování Modely struturální analýzy Smulační a stohasté modely eore rozhodování a teore her Optmalzační modely Cílem je najít řešení splňujíí omezujíí podmíny a optmalzujíí hodnotu rtéra. Dstrbuční a dopravní modely Řešení problémů spojenýh s dopravou, dstrbuí nebo přřazováním. Plánování a řízení projetů Umožňují časovou, náladovou a zdrojovou analýzu projetů - proesů, ve terýh probíhá víe operaí, teré jsou na sobě závslé eore rozvrhování Časové a prostorové uspořádání průmyslovýh operaí z mnoha různýh hledse. Modely struturální analýzy Blanují vztahy mez produí jednotlvýh hospodářsýh odvětví a vyhledávají rovnovážný stav systému. Smulační modely Napodobují jednotlvé roy hování zoumaného systému. Stohasté modely Popsují výsledy systémů se stohastým hováním, nolv jejh jednotlvé roy. eore rozhodování a teore her Modelování onfltníh stuaí. Vznly z potřeby modelovat hování hráčů hazardníh her. OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh pef-nfo.wz.z - - Chrsty
2 Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru př. půjdu s oupt rohlíy h mn 2, jeden stojí,5 2 ena mn,5 mnmum v - - to není možné, proto omezení defnčního oboru - úloha na vázaný etrém y,5 2 Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (, 2,..., n ) R n }, f() a q () jsou reálné fune víe proměnnýh a je prve vetorového prostoru R n. Optmalzační úloha Záladní prvy optmalzačního modelu proměnné - proesy omezujíí podmíny rterální - účelová fune Záladní pojmy přípustné a nepřípustné řešení optmální řešení Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody pef-nfo.wz.z Chrsty
3 Nalezení přípustného řešení Problém - neonvenost množny přípustnýh řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, ja najít to optmální. Nalezení etrému účelové fune Problém - neonvenost účelové fune - loální a globální etrémy. Kterým směrem postupovat optmálnímu řešení? hledáme-l mnmum - neonvenost hledáme-l mamum - neonávnost Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Numeré metody Gradentní metody + + λ.s s...směr, λ...doba,...bod ze terého vyjdeme, +...bod de sončíme Penalzační a barérové metody mn {f() + p () R n } Heursté metody metoda OP WENY pef-nfo.wz.z Chrsty
4 LINEÁRNÍ OPIMALIZAČNÍ MODEL Obsah Cíl modelu Defne modelu Grafé zobrazení modelu Záladní pojmy Záladní věty Cíl lneárního optmalzačního modelu Optmální rozsahy proesů Splnění omezení Mamalzae č mnmalzae hodnoty rtéra Přílad Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? Defne modelu Všehny prvy modelu jsou vyjádřeny pomoí lneárníh funí z( ) MIN A b -> rtérum -> optmalzační podmíny... ena proměnné, rterální oefent proměnné - proesy (jednoty) omezujíí podmíny - zformulujeme pomoí lneárníh rovn a nerovn rtérum - taé podle lneární fune lneární fune a lneární rovne a nerovne Přílad - počet rozřezanýh dese podle plánu A 2 - to samé podle plánu B 3 - to samé podle plánu C MIN ,2, > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty
5 Grafé zobrazení modelu Prostor řešení - prostor proměnnýh Zobrazují se jednotlvé omezujíí podmíny Krterální fune - směr růstu Metody operačního výzumu Konvení polyedr Polyedrý užel Konvení polyedr Δf() Polyedrý užel Δf() Přílad 3 Prostor řešení neuvažujeme řezný plán A X opt obdélníy čtvere rtérum pef-nfo.wz.z Chrsty
6 Grafé zobrazení modelu Prostor požadavů - prostor vetorů oefentů jednotlvýh proměnnýh transformovanýh na jednotovou enu Složením vetorů musí být vetor pravýh stran n j a j j b Optmální řezný plán Prostor požadavů b 5 5 Dvě možnost Záladní pojmy Přípustné řešení - množna přípustnýh řešení - všehna řešení, terá splňují omezujíí podmíny včetně podmíny nezápornost Bázé řešení (vrhol) - řešení, ve terém požadavové vetory nenulové proměnné jsou lneárně nezávslé - odpovídají vrholům přípustnýh řešení Optmální řešení - nejlepší přípustné řešení Alternatvní řešení - další optmální řešení Suboptmální řešení - pod optmálním - blíží se optmálnímu, ale hodnota rtéra je horší Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení pef-nfo.wz.z Chrsty
7 Záladní věty Metody operačního výzumu Má-l úloha LP přípustné řešení, má přípustné bázé řešení. Má-l úloha LP optmální řešení, má optmální bázé řešení. Řešení úlohy LP leží vždy na hran množny přípustnýh řešení. Má-l úloha LP víe než jedno optmální řešení řešení, je optmálním řešením jejh onvení ombnae. SIMPLEXOVÝ ALGORIMUS Obsah Defne lneárního optmalzačního modelu Soustava omezujííh podmíne Smpleový algortmus Řešení modelu Lneární optmalzační model Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení Soustava omezujííh podmíne Numery umíme řešt pouze soustavy lneárníh rovn, nolv nerovn Jordanova elmnační metoda bázé řešení A b převedeme na A ~~ b Kapatní podmíny A b A + Ed b, d doplňové proměnné A Ed b Požadavové podmíny A b A - Ed + Ep b, d doplňové proměnné A -Ed Ep b pef-nfo.wz.z Chrsty
8 Podmíny v rovnovém tvaru b, p pomoné proměnné ostup řešení modelu IMPLEXOVÝ ALGORIMUS íh podmíne - Jordanova elmnační metoda ordanova elmnační metoda ráenou hodnotou řídíího prvu.. ázé řešení soustavy rovn - mate soustavy obsahuje jednotovou submat určení, blanční a pod. A b A + Ep P S - Nalezení řešení soustavy omezují - Nalezení optmálního řešení J Povolené elmnační úpravy Násobení řídíí rovne přev Přčtení vhodného násobu řídíí rovne upravované rovn B Kanoný tvar Proměnné s jednotovým vetory - bázé Jestlže A (A N, E), ( N, B ) (, b), pa B A. A N. N + E. B b B est optmalty? ární ombnae j... ena testované proměnné z j - j né v mat Celov o neladné) odvození Estuje lepší řešení Cena evvalentní lne z j - j Σ α j. - j sutečná ena nžší než bázá α j... sloupe testované proměn z j - j sutečná ena vyšší než bázá á změna eny - j.(z j - j ) Nutně musí být j nezáporné (neb - N B A N E b A Ep b p N ), ( ), β β + + p p p p p p ) ( p p p ),,, ( ), ( α β ) ( ) ( ),, ( ) ( p p p p α β α β B B B B N p p z z z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + α α β α β B B B B p p ( B z B B B B N B B N B N B N z N N pef-nfo.wz.z Chrsty
9 est přípustnost Splnění omezujííh h podmíne Nezápornost řešení pro vybrané j b - α j. j - odvození α j >... j b j / α j α j... platí vždy β α β α, B. Metody operačního výzumu poud α pa β α S mpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty est přípustnost Nové bázé řeše ní - JEM S mpleová tabula A B b Optmální řezný plán 2 3 d d2 p p2 b p p , p 5 4-2,42857, ,2857,2857 5, , , ,2857-9,9743 5,74 2,8 -,2,2 2 25,2,2857 -,2857 -,2857,2857 2, ,2857 -,743 -,2857-9, , ,8574 pef-nfo.wz.z Chrsty
10 Optmální řezný plán 2 3 d d2 b 2,8 -,2 2,2,2857 -,2857 2, ,743 -, , ,3429,4286 8, , ,4286 4,2857 Optmální řešení: 2,857 dese podle prvního řezného plánu - alternatva dese 2 dese podle druhého řezného plánu - alternatva 8,57 dese dese podle třetího řezného plánu - alternatva 4,28 dese Optmalzae portfola dománost Dománost he uložt své volné fnanční prostředy do něterého z následujííh atv: - ae - termínovaný vlad - podílový lst podílového fondu nebo je nehat doma v hotovost K dspoz má Kč. Portfolo nesmí přeročt stanovenou míru rza, musí být dostatečně lvdní a dománost musí mít požadovanou úroveň zušeností s jednotlvým typy produtů. Cílem je dosáhnout mamálního výnosu elého portfola. Podladové údaje jsou v tabule: Na Kč Ae ermínovaný vlad Podílový lst Slamní Omezení Jednota Rzo,5, ma. body Lvdta 8 2 ma. 5 dny Zušenost, 8, mn. 3 body Zs,2,7, 5, MAX t s. Kč pef-nfo.wz.z - - Chrsty
11 .. Ae 2.. V 3.. PF 4 slamní Kč Kč Kč Kč,2,, d d2 d3 d4 p4 b d d2,5, d p4, 8, zj - j -2,2-8 -2, d,99,2,99, -, d2,42, -, 7 666,667 d , ,,8, -,, zj - j -,9-7,2 -,4 -,, d,98,99 -, -, , d2 9,98,99 -, -, 688, ,256-7,7,7 2,6,, 27, , ,3 - -,, 2977, , zj - j 999,9 43, -,4, -,, 35,75 d -8,93 -,99,9 -,9 9963,6 625,5 3, -, -, 692, ,7 2 -,6 -,, - 2, , ,, 2977,9 --- zj - j,47,7,44 - -,9,9 3724,4 d -98,8-8,96 -,2 99, d ,4 -, ,33-295,7 2,6,, 27, ,7 9,94 -,3 986, -355 zj - j 99,82,7 8,96 -,2 9889,83 d d ,9-7 d zj - j, , , ,9-7 B B-, pef-nfo.wz.z - - Chrsty
12 ANALÝZA VÝSLEDKŮ LINEÁRNÍHO OPIMALIZAČNÍHO MODELU Obsah Formulae modelu Výpočet modelu Optmální řešení Alternatvní řešení Suboptmální řešení Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám pravýh stran Změny formulae modelu - rozsahu modelu Formulae (defne) modelu Proměnné - proesy (jednoty) Omezujíí podmíny - soustava lneárníh rovn a nerovn Krtérum - účelová fune (lneární) Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > Smpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty - proměnná zařazovaná do báze - vybere proměnou, jejíž ena je výhodnější než ena bázýh proměnnýh est přípustnost - proměnná vyřazovaná z báze - terý proes bude novým výhodným proesem nahrazen JEM (Jordanova elmnační metoda) - nové bázé řešení Jordanova elmnační metoda - máme pouze dva způsoby ja to provést - řídíí řáde vydělíme řídíím prvem - jedná povolené operae s řídíím řádem - e aždému jnému řádu přčteme řídíí řáde - počítáme špatně - dyž vyjde záporná hodnota na pravé straně - dyž zmzí anoný tvar anoná jednotová báze změna báze nahrazení jednoho bázého vetoru druhým Stentzova věta o výměně mate bázýh vetorů B mate přehodu od báze báz B - pef-nfo.wz.z Chrsty
13 Smpleový algortmus - najít optmální řešení za danýh omezujííh podmíne Metody operačního výzumu Algortmus ončí nalezením optmálního řešení, poud není v báz pomoná proměnná, je to optmální přípustné řešení modelu, poud pomoná proměnná v báz zůstala a je nenulová, neestuje přípustné řešení problému, nebo zjštěním, že účelová fune je neomezená poud nelze najít proměnnou pro vyřazení z báze. Analýza výsledů řešení Do modelu můžeme přdat další podmínu, rovn účelové fune z a po úpravě z z > 35 5 > 2 - -, 2, 3 > Analýza smpleové tabuly Vlv proměnné 3 na optmální řešení Inverzní mate báze B d d2 p p2 b 2,,,8 -,2,,2, 2,,,,2,3 -,3 -,3,3 2,86 z,,, -,7 -,3-9,83-9,97 22,86 Mate Hodnoty z j - j Hodnoty bázýh proměnnýh Hodnota rtéra B A B ~ ( A, E) ( B ~ A, B E) ( B ~ A, B Řešení modelu Optmální řešení - bázé řešení s optmální hodnotou rtéra ve výsledné smpleové tabule Alternatvní řešení - aždé další bázé nebázé optmální řešení, lze odvodt z výsledné smpleové tabuly Suboptmální řešení - bázé nebázé řešení problému s dostatečně dobrou hodnotou rtéra, odvozuje se z výsledné smpleové tabuly Další řešení modelu Interval přípustnýh hodnot nebázé proměnné j, mn α αj j > β est přípustnost Nové řešení bázé nebo nebázé ) pef-nfo.wz.z Chrsty
14 Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 první řezný plán druhý řezný plán třetí řezný plán Optmální řešení 2,86 dese 2 dese dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 2, -4,,, -,3, 8,57 3, 5,,,,4 -,4 4,29,,, -,7 -,3 22,86 Optmální řešení Alternatva první řezný plán 2,86 dese dese druhý řezný plán třetí řezný plán 2 dese dese 8,57 dese 4,29 dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Suboptmální řešení první řezný plán 2,86 -,3 d druhý řezný plán 2 +,2 d přeročení obdélníů z n tervalu, 95.3 Analýza tlvost vzhledem změnám vstupníh dat Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Analýza tlvost vzhledem změnám en Změnu sledované eny j vyjádříme jao + λ j Přepočítáme rt erální řáde a zísáme hodnoty s parametrem λ est optmalty - soustava lneárníh nerovn s parametrem λ Interval stablty - nemění se báze řešení an hodnoty proměnnýh, mění se hodnota rtéra Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Změnu sledované pravé strany b vyjádříme jao b + μ Přepočítáme vetor pravýh stran a zísáme hodnoty s parametrem μ est přípustnost - soustava lneárníh nerovn s parametrem μ Interval stablty - nemění se báze řešení, mění se hodnoty proměnnýh a hodnota rtéra pef-nfo.wz.z Chrsty
15 Přepočet pravýh stran Řešení soustavy lneárníh rovn pomoí JEM - A b - báze B - B - A B - b Parame trzovaný vetor pravýh stran - b + µ bude přepočítán B - (b + µ) Optmální řezný plán Metody operačního výzumu 2 3 d d2 b,,,,, p, 5, 4, -,,, p2 35, 5,,, -, 2, 349, 99, 49, -, -, 3, p, 5, 4, -,,,,,4,3, -,3 5,7, 49,4 39,3 -, -,3 5,7 2,,,8 -,2, 2,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Změna oefentu bázé proměnné - tvoří nový vetor s ostatním bázým vetory opět báz? - Nejlépe přdat nový vetor, novou proměnnou Změna oefentu nebázé proměnné - - Přepočítat vetor pomoí B, test optmalty a případně další výpočet Změny formulae modelu - rozsahu modelu Přdání podmíny Vynehání podmíny Přdání proměnné Vynehání proměnné ( bázá, nebázá) EORIE DUALIY Obsah Dualta Dualta lneárníh modelů vorba duálního modelu Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Duální smpleová metoda Dualta Vztah mez dvěma objety Umožňuje na záladě vlastností jednoho odvodt vlastnost druhého Mamalzační optmalzační model a mnmalzační optmalzační model pef-nfo.wz.z Chrsty
16 Dualta lneárníh modelů A b A b Dualta lneárníh modelů Mate oefentů A v prmárním modelu a mate A v duálním Vetor pravýh stran b v prmárním modelu a vetor en b v duálním Vetor en v prmárním modelu a vetor pravýh stran v duálním yp omezení a typ proměnnýh!!!!!!!!!!!!!! vorba duálního modelu - pravdla pro tvorbu MAX A b A b A b A b lbovolné Ma MIN A b y y y lbovolné y A y A y A y b y Mn Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? MODEL 2 3 y 5 4 > y > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty
17 Optmální řezný plán Prmární model Duální model MIN.y + 2.y2 MAX y + 35.y y + 5.y2,2,3 4.y +.y2 y,2 Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Nehť prmární úloha je mnmalzační a p je její přípustné řešení, nehť současně y p je přípustné řešení příslušné duální úlohy, pa platí p b y p. Mnmum rterální fun e je omezeno zdola mamem sdružené rterální fune a naopa. aže estuje onečné optmální řešení. - Hodnota účelové fune mn. úlohy je vyšší nebo rovna než hodnota fune ma. úlohy Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární úloha má optmální řešení o právě tehdy, dyž má duální úloha optmální řešení y o. Naví platí o b y o. Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y, pro terá platí b y, pa jsou tato řešení optmálním řešením obou úloh. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Věta o dualtě Pro dvoj duálně sdruženýh úloh platí buď: obě úlohy mají přípustná řešení, pa mají optmální řešení nebo jedna z úloh přípustné řešení nemá, pa druhá nemá optmální řešení (buď taé nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účeovou fun) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Krtérum optmalty Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí y (A - b) (A y - ) Je-l pr oměnná bázá, odpovídajíí podmína musí být splněna jao rovne, je-l nebázá, podmína musí platt. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární a duální přípustnost řešení lneární optmalzační úlohy Prmárně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny nezápornost (test přípustnost). Duálně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny optmalty (test optmalty). pef-nfo.wz.z Chrsty
18 Optmální řezný plán Prmární model MIN ,2,3 duálně přípustné bázé řešení (,, ), d (-, -2) test optmalty z- (-, -, -,, ) Duální model.y + 2.y 2 MAX.y + 35.y 2 5.y + 5. y 2 4.y +.y 2 y,2 prmárně přípustné bázé řešení y (, ), d (,, ) test optmalty z- (-, -2,,, ) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Grafá nterpretae Dualta prostoru řešen í a prostoru požadavů lneární úlohy Prostor řešení prmární úlohy splývá s prostorem řešení duální úlohy a naopa. Grafá nterpretae Prostor požadavů prmární úlohy 2 3 b d d2 Dualta prostoru řešení a prostoru požadavů Prostor řešení duální úlohy,3,25 9 4,2,5,. omez 2. omez 3. omez Gradent 9,5 4,5,,5,2,25, pef-nfo.wz.z Chrsty
19 Estene řešení sdruženýh modelů Prmární úloha přípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení nepřípustné řešení Duální úloha přípustné řešení nepřípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení optmální řešení Duální smpleová metoda Prmární SA - prmárně přípustné řešení prmárně duálně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zlepšuje Duální SA - duálně přípustné řešení duálně prmárně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zhoršuje Duální smpleová metoda Podmíny - duálně přípustné a prmárně nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze r mn est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze Optmální řezný plán Prmární smpleová metoda Podmíny - prmárně přípustné a duáln ě nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze pro mamalza z mn z z < s s α α rj < rs z j mn α 2 3 d d2 b d d d ,4,3 -,3 5,7 -,86 -,69 -,3 5,7 2,8 -,2 2,2,3 -,3 2,86, -,7 -,3 22,86 s rj j s z < j j j j est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze b r b mn s > α α α rs s pef-nfo.wz.z Chrsty
20 OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (,,..., ) R n 2 n }, f() a q oměnnýh a je prve vetorového prostoru R n () jsou reálné fune víe pr. Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody - lneární modely - jsou tam jen lneární fune - nelneární modely - alespoň jedna nelneární fune - onvení model - model jehož množna řešení je onvení, onvení rterální fune u MIN, onávní MAX pef-nfo.wz.z Chrsty
21 Nalezení přípustného řešení Nalezení etrému účelové fune Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Kuhn-uerovy podmíny Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Konvení optmalzační úloha má řešení právě tehdy, dyž estuje vetor u opt a platí opt opt u opt L( opt, uopt ),,...,m u u L( opt, uopt ).,,...,m u opt L( opt j opt, u j opt L( opt, u. j ), j,...,n opt ), j,...,n Kvadratá úloha mn { C + p A b, j, j,..., n, R n } C je mate oefentů vadratýh členů účelové fune, p je vetor oefentů lneárníh členů v účelové fun, A je mate oefentů soustavy omezujííh podmíne a b je vetor pravýh stran těhto podmíne pef-nfo.wz.z Chrsty
22 Wolfeho podmíny Metody operačního výzumu Úprava Kuhn-uerovýh podmíne pro vadratou optmalzační úlohu lneární podmíny A + y b -C - A u + v p, u, v, y nelneární vadraté podmíny u opt y opt + opt v opt Pomoná optmalzační úloha lneární omezujíí podmíny A + y b, C + A u - v + w -p podmíny nezápornost, u, v, y, w účelová fune w + w w n mn. dodatečná nelneární podmína u opt y opt + opt v opt Řešení pomoné optmalzační úlohy Smpleový algortmus pro lneární část Rozšíření testu optmalty vstup proměnnýh do báze Výpočet se lší podle hodnot ve vetoreh p a b Wolfeho algortmus. ro Kuhn-uerovy podmíny 2. ro Wolfeho podmíny 3. ro Pomoná lneární optmalzační úloha 4. ro Optmální řešení původní vadraté úlohy Vetor opt zísaný jao řešení Wolfeho podmíne je optmálním řešením původní vadraté optmalzační úlohy. Hodnotu rterální fune vypočítáme dosazením, tedy z f( opt ) C + p opt. Numeré metody Gradentní metody + + λ.s Penalzační a barérové metody mn {f() + p ) R n ( } Heursté metody DISRIBUČNÍ A DOPRAVNÍ SYSÉMY Obsah Dopravní problémy Zobeněné dstrbuční problémy Přřazovaí problémy Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Metody nalezení výhozího řešení pef-nfo.wz.z Chrsty
23 Dopravní problémy Sutečná přeprava zboží, materálu, ldí o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja (čím) - ndey - Přes o - mezslady - stupně - Kam spotřebtelé -Co (ol) - podle apat a požadavů M S Jednostupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá - Odud - dodavatelé - Kam spotřebtelé - Co (ol) Dopravní (dvoundeová) tabula D S Přeprava e spotřebte lům Přeprava od dodavatelů Dvoustupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů přes mezslady místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se sčítá D - Odud - dodavatelé - Přes o - mezslady - Kam spotřebtelé M - Co (ol) Dvoustupňová (dvoundeová) dopravní tabula S pef-nfo.wz.z Chrsty
24 Přeprava mezsladům Přeprava od dodavatelů Přepravaa od mezsldů Přeprava e spotřebtelům Jednostupňová tříndeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby různým způsoby o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja nebo čím - Kam spotřebtelé - Co (ol) S Jednostupňová tříndeová dopravní tabula Přeprava e spotřebte lům Způsob přepravy Přeprava od dodavatelů Zobeněné dstrbuční problémy Rozdělení práe, materálu apod. Dohází e změně jednote sčítání rozdělovaného množství s různým oefenty pef-nfo.wz.z Chrsty
25 Složtější problémy - obený lneární model Rozdělení práe strojů na obdělání polí (oefenty sčítání výon strojů) Přřazovaí problémy Kapaty požadavy jsou jednotové přřazení buď je nebo není Většnou stejný počet zdrojů a spotřebtelů Rozdělení praovníů po jednom na jednotlvé práe, jejh výon, shopnost jsou různé Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j - hledáme - nde dodavatel, j - nde spotřebtele Mnmalzae eny přepravy - apaty - ol terý dodavatel může dodat služeb atd. Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností Z terého sladu mají být podny zásobovány? - tunolometry - dopravní náročnost je vyjádřená množstvím tun na lometr (tuny rát lometry) Jednostupňová dopravní úloha Nelze přeročt an apaty an požadavy Podmíny dodavatelů - nedodá ví než má Σ j j a,,,m Podmíny spotřebtelů - nepřjme ví než he Σ j b j, j,,n Nezápornost j Krtérum Σ Σ j j. j MIN D D D S S S S Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Matematý model Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN S pef-nfo.wz.z Chrsty
26 j MIN Matové shéma modelu m... mn a a 2... b b 2... Řeštelnost dopravního modelu Frobenova věta - požadave vyváženost Omezujíí podmíny jsou vždy řeštelné Bázé řešení - počet bázýh proměnnýh Lneární závslost tras Vyváženost systému elová apata dodavatelů se rovná elovému pozadavu spotřebtelů Σ j a Σ j b j ftvní dodavatel - a m+ Σ j b j - Σ j a (hybí dodávy) ftvní spotřebtel - b n+ Σ j a - Σ j b j (hybí spotřeba) Jednostupňová dopravní tabula Řády - dodavatelé Sloupe spotřebtelé Pole - trasa P P2 P3 S S Systém nutno vyvážt Výhozí řešení Záladní prnp - volba jednotlvýh tras a vyčerpání dodávy č uspoojení požadavu Obeně v aždém rou je vyčerpán dodavatel nebo naplněn požadave Volba trasy Mamální přepravované množství je dáno zbývajíí apatou dodavatele nebo zbývajíím požadavem spotřebtele Úprava apat nebo dodavatelů Výhozí řešení Metody, ja postupně vybírat trasy pef-nfo.wz.z Chrsty
27 Metoda severozápadního rohu Indeová metoda Vogelova apromační metoda Habrova frevenční metoda Nejjednodušší metody Metoda severozápadního rohu Vždy se volí volná trasa na severozápadě tabuly Indeová metoda (nejmenší eny) Vždy se volí volná trasa s nejnžší sazbou Vogelova apromační metoda Volba tras s největší dferení a nejlepší sazbou Mnmalzae ztráty z použtí nevhodného spoje - trasy Vogelovy dferene - rozdíl mez nejlepší a druhou nejlepší sazbou Čím vyšší dferene, tím větší ztráta hrozí Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM P P2 P3 PF Dferene S , 5, 7 S , Dferene DOPRAVNÍ ÚLOHA Postup řešení a analýza výsledů Obsah Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Duální model est optmalty est přípustnost Algortmus řešení Analýza výsledů Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j Mnmalzae eny přepravy pef-nfo.wz.z Chrsty
28 Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností Z terého sladu mají být podny zásobovány? Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN Matematý model j MIN Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM Metody operačního výzumu P P2 P3 PF Dferene S , 5, 7 S , Dferene Matové shéma modelu m... mn u u 2... a a 2... v v 2... b b m... mn Duální model u + v j j,,..., m, j,...,n Σ a.u + Σ j b j.v j MAX pef-nfo.wz.z Chrsty
29 Krtérum optmalty Metody operačního výzumu Využtí výsledů teore dualty v dopravníh modeleh Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a ní duální úloha přípustné řešení u,v. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) Krtérum optmalty Využtí v algortmu tato Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a nehť platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) oto řešení je optmální řešení dopravní úlohy právě tehdy, dyž u,v jsou přípustným řešením duální úlohy. est optmalty řešení Lze najít lepší řešení - vztah mez sazbam Metoda MODI a) u + v j j pro (,j) B B je množna bázýh tras, bázýh proměnnýh j b) z j - j u + v j - j pro všehny trasy (,j) Cena evvalentní ombnae přeprav z rs r + j ls trasa (r,s) je nepoužtá trasa, z rs vyhází z možné úpravy řešení Degenerae řešení Degenerované řešení Nedegenerované řešení Odstranění degenerae Metoda MODI a degenerae řešení - počet duálníh proměnnýh m+n - počet bázýh proměnnýh - řešení soustavy m+n rovn pro m+n proměnnýh u + v j j pro (,j) B Rozvoz hnojv est optmalty P P2 P3 PF S S2 první ro druhý ro Nové řešení - test přípustnost u + v v 6... atd. ověření, že platí u + v j j pro všehna, j Změna přepravního plánu - vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras - od aždého dodavatele v sumě stejně - aždému spotřebtel v sumě stejně - v aždém řádu a sloup dopravní tabuly musí být suma změn rovna nule Σ j Δ j,,,m Σ Δ j, j,,n pef-nfo.wz.z Chrsty
30 Nové řešení - test přípustnost Změna přepravního plánu vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras Metody operačního výzumu v dopravní tabule musí být v aždém řádu a aždém sloup dvě trasy pro vyrovnání změny nebo žádná Dodavatel Spotřebtel Rozvoz hnojv Nalezení nového řešení M P P2 P3 PF S M S Rozvoz hnojv est optmalty Optmální řešení -6 S 8 P P2 P3 PF S Algortmus řešení Podmíny algortmu - vyváženost Výhozí bázé řešení est optmalty - metoda MODI est přípustnost - Dantzgovy oruhy Přehod na nové bázé řešení Analýza výsledů Optmální řešení - odud, am, ol a zač? Alternatvní řešení Suboptmální řešení Perspetvta tras - suboptmální řešení - analýza hodnot z j - j Propustnost tras - substtue tras - možnost nebázýh přeprav - uzavřené oruhy Rozvoz hnojv Analýza optmálního řešení Zásobování S - P, P2, nevyužtý S2 - P3, nevyužtý Dopravní nálady P P2 P3 PF S 8 S pef-nfo.wz.z Chrsty
31 Rozvoz hnojv Analýza propustnost tras S - P3: propustnost, substtuuje trasu S-PF S2 - P propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF S2 - P2 propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF vysoá propustnost - 5 a víe nízá propustnost - méně než 5 S 8 P P2 P3 PF S Rozvoz hnojv Analýza perspetvty řešení hodnoty, 2, 6, 9 vysoe perspetvní trasa... perspetvní trasa... neperspetvní trasa... S S2 P P2 P3 PF Rozvoz hnojv Analýza perspetvty a propustnost tras P P2 P3 PF S-persp S2-persp S-prop S2-prop DÚ: Do příštího pátu, zadání s vymyslet VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení pef-nfo.wz.z Chrsty
32 Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z ( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Záladní pojmy Ideální a bazální varanta - bazální řešení - má nejhorší hodnoty o terýh jsme ohotn uvažovat Domnane řešení - jedno řešení domnuje druhé řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I pef-nfo.wz.z Chrsty
33 Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 - a a a2 jsou nedomnovaná a domnují a3 a a4 - a3 a a4 jsou vzájemně nedomnovaná - a a a2 jsou paretovsým řešením D a 3 a 4 - D - bazální řešení - H - deální řešení - ompromsní řešení - blízé deálnímu - vybráno bude řešení podle toho, teré rtérum je pro nás důležtější Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - preferene mez rtér - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma - vyjádření pořadím ardnální nformae - vanttatvní - víme o je důležtější a olrát Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j Dílčí optmalzae ( ) j MAX A b Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému pef-nfo.wz.z Chrsty
34 Dílčí řešení Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam v j j Z( ) v C MAX j A b Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty
35 Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a a a 2 z 2 z 2 () z 2 z pef-nfo.wz.z Chrsty
36 Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena y + d d + y Cílové programování ;d,d + d d, + Z(d) (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + d - a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + pef-nfo.wz.z Chrsty
37 Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cíl 3/ VÍCEKRIERIÁLNÍ ANALÝZA VARIAN Obsah ypy modelů víerterálního rozhodování Záladní pojmy ypy nformaí Cíl modelů Užte, fune užtu Grafé zobrazení Metody víerterální analýzy varant ypy modelů Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model y( ) MAX y ( ) MIN A b pef-nfo.wz.z Chrsty
38 Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí a a a 2 p f y y 2 yp f y y y p2 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení f y y 2 y p Ideální a bazální varanta Metody operačního výzumu Ideální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované ve všeh rtéríh současně nejlepším možným hodnotam. - varanta H s ohodnoením (h,..., h ) Bazální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované nejhorším ohodnoením podle všeh rtérí. - varanta D s ohodnoením (d,..., d ). Domnane řešení V této defn předpoládáme všehna rtéra mamalzační. Varanta a domnuje varantu a j, jestlže pro její ohodnoení platí (y, y 2,, y ) (y j, y j2,, y j ) a estuje alespoň jedno rtérum f l, že y l > y jl. Řešení je nedomnované (efetvní) řešení problému, poud neestuje žádné jné řešení, teré by jej domnovalo. Paretovsé řešení Varanta (řešení), terá není domnovaná žádnou jnou varantou, je nedomnovaná varanta, často se též nazývá efetvní nebo paretovsá. (Wlfredo Paretto) Kompromsní řešení Kompromsní varanta (řešení) má od deální varanty (řešení) nejmenší vzdálenost podle vhodné metry (měřenou vhodným způsobem). Kompromsem může být zanedbání něterýh rtérí. Cíl řešení modelů Nalezení jedné ompromsní varanty, ompromsního řešení (Nalezení určtého počtu ompromsníh varant) Rozdělení řešení na efetvní a neefetvní Uspořádání všeh řešení od nejlepšího nejhoršímu Problémy umožňujíí ompenza a problémy nepovolujíí ompenza Užte, fune užtu Každé ohodnoení varanty je možno vyjádřt ve formě užtu, terý tato varanta přnáší pef-nfo.wz.z Chrsty
39 Dílčí hodnoty užtu lze sloučt do elového užtu varanty a podle toho varanty vybírat Fune užtu Fune užtu převádí ohodnoení řešení do ntervalu, Podle jejího tvaru lze haraterzovat rozhodovatele Přístupný rzu Neutrální rzu Odmítajíí rzo Grafé zobrazení problému I f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Grafé zobrazení problému II f S a a 2 S a a 2 Modely víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí - rterální mate a a a 2 p f y y 2 yp f y y y p2 f y y 2 y p pef-nfo.wz.z Chrsty
40 Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn ypy nformaí Inter a ntra rterální preferene - Preferene jednotlvýh rtérí - Hodnoení varant podle aždého rtéra žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání ardnální nformae - vanttatvní Metody vantfae nformae Metoda pořadí - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum bude první v pořadí Bodovaí metoda - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum dostane nejvíe bodů Párové porovnávání - porovnává se důležtost rtérí č ohodnoení varant podle jednotlvýh rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor Součet Váhy Cena 3,3 Výon 3,3 Hmotnost 2,2 Názor 2,2 Metody řešení problému Informae o atrbuteh Metody řešení Žádná Nomnální Ordnální Kardnální Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní Metoda váženého součtu Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Informae o alternatváh Ordnální Kardnální Bodovaí metoda, metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní metoda ORESE Metoda váženého součtu, Saatyho metoda metoda OPSIS Jednotlvé varanty budou ohodnoeny pořadovým čísly mez a počtem varant Jednotlvé varanty budou ohodnoeny podle jednotlvýh rtérí vždy ve stejné bodové stupn, např. až pef-nfo.wz.z Chrsty
41 Pořadí nebo body se sečtou Oba postupy mohou být rozšířeny o váhy rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Metoda pořadí Součet 722 S D 2 2 2,5 2 8,5 735 S 3 2,5 7,5 Metoda aspračníh úrovní Konjuntvní metoda - přpustíme pouze varanty, teré splňují všehny asprační úrovně Dsjuntvní metoda - přpustíme všehny varanty, teré splňují alespoň jeden požadave Iterační postup - zpřísňování nebo uvolňování aspračníh úrovní Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Asprační úrovně,-,7 W/mn 6 nevím 722 S 726 D 735 S 722 S 726 D 735 S,-,7 W/mn 6 ne Metoda váženého součtu Převedeme mnmalzační rtéra na mamalzační podle vztahu y ma(y ) j,...,s j y j Určíme deální varantu H s ohodnoením (h,..., h ) a bazální varantu D s ohodnoením (d,..., d ). Vytvoříme standardzovanou rterální mat R, jejíž prvy zísáme pomoí vzore yj d j rj h j d Pro jednotlvé varanty vypočteme užte j u(a ) v r Varanty seřadíme sestupně podle hodnot u(a ). j j j pef-nfo.wz.z Chrsty
42 Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 726 D 735 S ,7,8, 5,8 6,2 6,2 2 3 mn ma mn ma Metody operačního výzumu 335,7,4 25,8 2, 3 D,7 H 335,,4 3 Součet 722 S 726 D 735 S,694,25,5,5,358582,5,3,3,2,2 VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty
43 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma ardnální nformae - vanttatvní Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru pef-nfo.wz.z Chrsty
44 - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Metody operačního výzumu Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j ( ) j MAX A b Dílčí optmalzae Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Dílčí řešení Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam pef-nfo.wz.z Chrsty
45 v j j Z( ) v C MAX j A b Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) - pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) pef-nfo.wz.z Chrsty
46 z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a 2 a a z 2 z 2 () z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena + d y d ;d,d + d d, + y + pef-nfo.wz.z Chrsty
47 Cílové programování Z(d) d - (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cíl 3/ EORIE ROZHODOVÁNÍ Obsah Formulae rozhodovaího modelu Rozhodování za jstoty, rza a nejstoty Možnost řešení rozhodovaího modelu Krtéra řešení rozhodovaího modelu Rozhodovaí a pravděpodobnostní stromy eore her Nalezení optmální stratege v hazardníh hráh Model onfltní stuae John von Neumann, Osar Morgenstern Eonomé hování - volba alternatvy rozhodnutí Rozhodovaí modely Volba nejlepšího rozhodnutí ovlvňovaného budouím stavem světa pef-nfo.wz.z Chrsty
48 Většnou neopaovatelné stuae Alternatvy rozhodnutí Stavy oolností Rozhodovaí tabula - výplaty pro ombnae alternatva/stav oolností Rozhodovaí rtérum Jstota, rzo a nejstota Rozhodovaí tabula Stavy oolností s s 2... s n a v v 2... v n Alternatvy a 2 v 2 v v 2n a m v m v m2... v mn Rzo p p 2... p n Volba stratege frmy Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena Pravděpodobnost,4,2,4 Jstota, rzo a nejstota rozhodování s jstotou pravděpodobnost realzae jstého stavu oolností je rovna a pravděpodobnost ostatníh stavů oolností jsou rovny nule rozhodování s rzem pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou odhadovány č známy rozhodování za nejstoty pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou neznámé Možnost řešení rozhodovaíh modelů Volba domnantní alternatvy Volba nejvýhodnější alternatvy Volba alternatvy podle nejvyššího užtu Volba domnantní alternatvy (ma) Domnane podle výplat: a I domnuje Dom nane podle stavů oolností : a I domnuje a K a K mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj vij vkj j, j,..., n Dom nane podle pravděpodobností : a I domnuje a K P( v ) P( v ) I K pef-nfo.wz.z Chrsty
49 Domnane podle výplat,2,8,6 mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj,4,2 mn ma ANO,7 NE,6, Domnane podle stavů oolností,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE vij vkj j, j,..., n velý střední malý Domnane podle pravděpodobností,2,8,6 P( v ) P( v ) I K,4,2 ANO NE,2,4,6,8,2 Volba nejvýhodnější alternatvy Rozhodování za jstoty Rozhodování za nejstoty - mamaové pravdlo - Waldovo - mamnové pravdlo - Savageovo pravdlo mnmální ztráty - Laplaeovo pravdlo nedostatečné evdene - Hurwtzovo pravdlo Rozhodování za rza - pravdlo EMV - očeávané hodnoty výplaty - pravdlo EOL - očeávané možné ztráty - pravděpodobnost dosažení asprační úrovně pef-nfo.wz.z Chrsty
50 Volba stratege za jstoty Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena a I : v IJ ma v,...,m J Pravděpodobnost,4,2,4 Volba stratege za nejstoty Zájem velý střední malý MAXIMIN MAXIMAX LAPLACE Kontrola valty ANO,95,7,7,883 Kontrola valty NE,,8,6,6,, SAVAGE Kontrola valty ANO,, Kontrola valty NE,5,,5 a a I I : : v v IJ IJ ma mn,...,m j,...,n ma ma,...,m j,...,n v v j j a I : v I n ma n v,...,m j j a I : z IJ mn ma ( ma,... m j,..., n,..., m v j v j ) Volba stratege za nejstoty ma mn HURWICZ Kontrola valty ANO,7,7,79,88 Kontrola valty NE,,6,6,75,9, t,3,6,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE a + I : vi ma (t.h ( t).d ),...,m d h mn v j,...,n j,...,n j ma v j,2,4,6,8,2 pef-nfo.wz.z Chrsty
Příloha č. 1 Část II. Ekonomika systému IDS JMK
Příloha č. 1 Část II. Eonomia systému IDS JMK Květen 2011 Eonomia systému IDS JMK I. EKONOMICKÉ JEDNOTKY Pro účely dělení výnosů je rozděleno území IDS JMK do eonomicých jednote tvořených supinami tarifních
VíceNumerické metody optimalizace
Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných
VíceLINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ
LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící
Více2 Rozhodovací problém
Rozhodovaí problém Rozhodovaí problém je problém s víe možným řešením. Jde tedy o problémy se kterým se setkáváme v běžném žvotě. Základním krokem každého rozhodování je proes volby, tedy poszování jednotlvýh
VíceANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha
ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
VíceMetody operačního výzkumu cvičení
Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou)
VíceZáklady sálavého vytápění Přednáška 8
Faulta strojní Ústav techniy prostředí Zálady sálavého vytápění Přednáša 8 Plynové sálavé vytápění 2.část Ing. Ondřej Hojer, Ph.D. Obsah 4. Plynové sálavé vytápění 4.1 Světlé zářiče cv. 4 4.2 Tmavé vysooteplotní
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceFunkční měniče. A. Na předloženém aproximačním funkčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funkci danou tabulkou:
Funční měniče. Zadání: A. Na předloženém aproximačním funčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funci danou tabulou: proveďte: U / V / V a) pomocí oscilosopu měnič nastavte b) změřte na něm jeho
Více1. ročník, 2011/ 2012 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks
1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks Řešení 5. série Úloha5. Vřaděje N žároveočíslovanýchpostupně 1až N.Kroem rozumímepřepnutí třížárove,jejichžčísla a, b, csplňují a + c = 2b.Určetevšechna
VíceNázev Lineární pohon vřetenem s trapézovým závitem 902) OSP-E..ST
Veličiny Veličiny Všeobecně Znača Jednota Poznáma Název ineární pohon vřetenem s trapézovým závitem 902) Typ OSP-E..ST Upevnění viz výresy Rozsah teplot ϑ min C -20 ϑ max C +70 Materiál Hmotnost g viz
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
Více6 Mezní stavy únosnosti
6 Mezní stavy únosnosti U dřevěných onstrucí musíme ověřit jejich mezní stavy, teré se vztahují e zřícení nebo jiným způsobům pošození onstruce, při nichž může být ohrožena bezpečnost lidí. 6. Navrhování
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Více10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI
Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou
VíceELEKTRICKÝ POHON S ASYNCHRONNÍM MOTOREM
4 EEKTCKÝ POHON AYNCHONNÍ OTOE Asynchronní otory (A), zvláště pa s otvou naráto, jsou jž řadu let nejrozšířenější eletrootory na naší planetě. talo se ta díy jejch onstruční jednoduchost, nízé ceně, vysoé
VíceDirect emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing
I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é
VíceFAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE
FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Vypracoval: Lenka Novotná Studijní obor: K-Informační management Emailová adresa: lenka.novotna.1@uhk.cz Datum vypracování:
VíceDiamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
Více2. Matice a determinanty
Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (
VíceJednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B.
Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza
VíceZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich
MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
Více3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?
3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.
Více5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.
5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.
VíceSkalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )
LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava
Vícezpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční
Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza
VícePřehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ
Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceDISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)
DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě
VícePavel Burda Jarmila Doležalová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory
Více4. Model M1 syntetická geometrie
4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).
Víceč. 475/2005 Sb. VYHLÁŠKA kterou se provádějí některá ustanovení zákona o podpoře využívání obnovitelných zdrojů Ve znění: Předpis č.
č. 475/2005 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 30. listopadu 2005, kterou se provádějí některá ustanovení zákona o podpoře využívání obnovitelných zdrojů Ve znění: Předpis č. K datu Poznámka 364/2007 Sb. (k 1.1.2008)
Více7. ZÁKLADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ
7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů
VíceTeorie elektrických ochran
Teore elektrckých ochran Elektrcká ochrana zařízení kontrolující chod část energetckého systému (G, T, V) = chráněného objektu, zajstt normální provoz Chráněný objekt fyzkální zařízení pro přenos el. energe,
VíceEKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické
VíceNázev: Chemická rovnováha
Název: Chemicá rovnováha Autor: Mgr. Štěpán Miča Název šoly: Gymnázium Jana Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: chemie, fyzia Roční: 6. Tématicý cele: Chemicá rovnováha (fyziální
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VíceKlasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ
1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.
Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa
Více2. Vícekriteriální a cílové programování
2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě
VíceLineární programování
Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.
Více0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04
0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceVícekriteriální rozhodování. Typy kritérií
Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování
Více= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz.
XIII Mechanicé itání Příad 1 Těeso itá haronicy s periodou 0,80 s, jeho apituda je 5,0 c a počátečnífáze nuová Napište rovnici itavého pohybu /y = 0,05 sin, 5πt) / Stručné řešení: Patí T = 0,8 s = ω =
Více( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211
10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme
VíceMATEMATIKA základní úroveň obtížnosti
MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro
Více- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.
MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je
VíceTyp RT/MRT..a Velikost: 30 180. převodový poměr: 5:1 100:1. Výkon: 0,06 15 kw. kroutící moment: 5 2 540 nm
Typ RT/MRT..a Velkost: 30 180 převodový poměr: 5:1 100:1 Výkon: 0,06 15 kw kroutíí moment: 5 2 540 nm ŠNEKOVÉ PŘEVODOVKY Obsah Šnekové převodovky 1 Všeobený pops 2 2 Konstruke 2 3 Typové označení 2 4
Více1. jarní série. Barevné úlohy
Téma: Datumodeslání: 1. jarní série Barevné úlohy ½ º ÒÓÖ ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Háňa má krychli, jejíž stěny jsou tvořeny barevnými skly. Když se Háňa na svou kostku podívá jako na obrázku, vidí v každé ze sedmi
VícePředmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.
MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a
Více3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506
3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,
Více7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech
7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy
VíceAbsorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE
Absorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE N. Bogatyreva, M. Bartlová, V. Aubrecht Faulta eletrotechniy a omuniačních technologií, Vysoé učení technicé v Brně, Technicá 10, 616 00 Brno Abstrat Článe
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VíceRacionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:
Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.
VíceUložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí
Uložení potrubí Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Obsah: 1. Definice... 2 2. Rozměrový návrh komponent... 2 3. Podpěra nebo vedení na souosém
Více1. Člun o hmotnosti m = 50 kg startuje kolmo ke břehu a pohybuje se dále v tomto směru konstantní rychlostí v 0 = 2 m.s -1 vůči vodě. Současně je unášen podél břehu proudem vody, který na něj působí silou
VíceTEPELNÉ ÚČINKY EL. PROUDU
Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Materiály pro elektrotechniku Laboratorní cvičení č 1 EPELNÉ ÚČINKY EL POUDU Jméno(a): Jiří Paar, Zdeněk Nepraš Stanoviště: 6 Datum: 21 5 28 Úvod
Více:6pt;font-style:normal;color:grey;font-family:Verdana,Geneva,Kalimati,sans-serif;text-decoration:none;text-align:center;font-variant:no = = < p s t y l e = " p a d d i n g : 0 ; b o r d e r : 0 ; t e
Více4. Lineární nerovnice a jejich soustavy
4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší
VíceSTŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ
STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ PŘEDEPISOVÁNÍ PŘESNOSTI ROZMĚRŮ,
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního
VíceV praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více
9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme
Vícena tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:
Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace
VíceKAPALINY Autor: Jiří Dostál 1) Který obrázek je správný?
KAPALINY Autor: Jiří Dostál 1) Který obráze je správný? a) b) 2) Vypočti hydrostaticý tla v nádobě s vodou na obrázu: a) v ístě A b) v bodě C c) Doplňové ateriály učebnici Fyzia 7 1 ) V bodě C na obrázu
VíceAplikovaná optika. Optika. Vlnová optika. Geometrická optika. Kvantová optika. - pracuje s čistě geometrickými představami
Aplikovaná optika Optika Geometrická optika Vlnová optika Kvantová optika - pracuje s čistě geometrickými představami - zanedbává vlnovou a kvantovou povahu světla - elektromagnetická teorie světla -světlo
VíceMOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:
MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,
VíceMěření základních vlastností OZ
Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 7. POLOHOVÉ VYTYČOVACÍ SÍTĚ Vytyčení je součástí realizace
VíceAstronomická pozorování
KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové
Více. Určete hodnotu neznámé x tak, aby
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla
VíceMožnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin
Jaub Vágner, Aleš Hába Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Klíčová slova: vypružení, flexi-coil, příčná tuhost, MKP, šroubovitá pružina. Úvod Vinuté pružiny typu flexi-coil jsou dnes jedním
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6b Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčování) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 1O POLOHOVÉ VYTYČOVÁNÍ Pod pojem polohového vytyčování se
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
VíceŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA
ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit
Více4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)
4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 0520 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Geometrická optika - Ohniskové vzdálenosti
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VíceMatematika I: Aplikované úlohy
Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí
VíceČísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.
Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný
VíceAPLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY
APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY APPLICATION OF METHODS MULTI-CRITERIA DECISION FOR EVALUATION THE QUALITY OF PUBLIC TRANSPORT Ivana Olvková 1 Anotace:
VíceRegulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.
Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice
VíceVÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVANÍ
VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVANÍ 1 Obsah Typy modelů vícekriteriálního rozhodování Základní pojmy Typy informací Cíl modelů Užitek, funkce užitku Grafické zobrazení Metody vícekriteriální analýzy variant 2
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceHYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.
HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace
Více2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC
22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se
VíceMECHANISMUS POJEZDU A ZDVIHU ZDVÍHACÍHO ZAŘÍZENÍ THE CRANE TRAVEL AND LIFT MECHANISM OF CRANE TROLLEY
Číslo 1, roční XI, duen 2016 MECHANISMUS POJEZDU A ZDVIHU ZDVÍHACÍHO ZAŘÍZENÍ THE CRANE TRAVEL AND LIFT MECHANISM OF CRANE TROLLEY Leopold Hraosý 1 Anotace:Příspěe popisuje onstruční nárh pojezdoého mechanismu
VíceVYHLÁŠKA o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Vymezení pojmů
Strana 164 Sbírka zákonů č.22 / 2011 22 VYHLÁŠKA ze dne 27. ledna 2011 o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Český telekomunikační
VíceVýpočet tepelné ztráty budov
Doc Ing Vladmír Jelínek CSc Výpočet tepelné ztráty budov Výpočty tepelných ztrát budov slouží nejčastěj pro stanovení výkonu vytápěcího zařízení, tj výkonu otopné plochy místnost, topného zdroje atd Výpočet
Více10.1 Úvod. 10.2 Návrhové hodnoty vlastností materiálu. 10 Dřevo a jeho chování při požáru. Petr Kuklík
10 10.1 Úvod Obecná představa o chování dřeva při požáru bývá často zkreslená. Dřevo lze zapálit, může vyživovat oheň a dále ho šířit pomocí prchavých plynů, vznikajících při vysoké teplotě. Proces zuhelnatění
Více