Metody operačního výzkumu přednášky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Metody operačního výzkumu přednášky"

Transkript

1 PEF - KOSA - Předměty - MOV4 MOV5syl - všehno předmětu pef.zu.z/osa see Předměty u zoušy - zajímá jí postup, numeré hyby nevadí 2 evdenčníh testů - na záladní vě 2 bodů za dobrovolné domáí úoly (poud bude málo bodů z testů) Modely operačního výzumu Optmalzační modely Dstrbuční a dopravní modely Plánování a řízení projetů eore rozvrhování Modely struturální analýzy Smulační a stohasté modely eore rozhodování a teore her Optmalzační modely Cílem je najít řešení splňujíí omezujíí podmíny a optmalzujíí hodnotu rtéra. Dstrbuční a dopravní modely Řešení problémů spojenýh s dopravou, dstrbuí nebo přřazováním. Plánování a řízení projetů Umožňují časovou, náladovou a zdrojovou analýzu projetů - proesů, ve terýh probíhá víe operaí, teré jsou na sobě závslé eore rozvrhování Časové a prostorové uspořádání průmyslovýh operaí z mnoha různýh hledse. Modely struturální analýzy Blanují vztahy mez produí jednotlvýh hospodářsýh odvětví a vyhledávají rovnovážný stav systému. Smulační modely Napodobují jednotlvé roy hování zoumaného systému. Stohasté modely Popsují výsledy systémů se stohastým hováním, nolv jejh jednotlvé roy. eore rozhodování a teore her Modelování onfltníh stuaí. Vznly z potřeby modelovat hování hráčů hazardníh her. OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh pef-nfo.wz.z - - Chrsty

2 Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru př. půjdu s oupt rohlíy h mn 2, jeden stojí,5 2 ena mn,5 mnmum v - - to není možné, proto omezení defnčního oboru - úloha na vázaný etrém y,5 2 Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (, 2,..., n ) R n }, f() a q () jsou reálné fune víe proměnnýh a je prve vetorového prostoru R n. Optmalzační úloha Záladní prvy optmalzačního modelu proměnné - proesy omezujíí podmíny rterální - účelová fune Záladní pojmy přípustné a nepřípustné řešení optmální řešení Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody pef-nfo.wz.z Chrsty

3 Nalezení přípustného řešení Problém - neonvenost množny přípustnýh řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, ja najít to optmální. Nalezení etrému účelové fune Problém - neonvenost účelové fune - loální a globální etrémy. Kterým směrem postupovat optmálnímu řešení? hledáme-l mnmum - neonvenost hledáme-l mamum - neonávnost Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Numeré metody Gradentní metody + + λ.s s...směr, λ...doba,...bod ze terého vyjdeme, +...bod de sončíme Penalzační a barérové metody mn {f() + p () R n } Heursté metody metoda OP WENY pef-nfo.wz.z Chrsty

4 LINEÁRNÍ OPIMALIZAČNÍ MODEL Obsah Cíl modelu Defne modelu Grafé zobrazení modelu Záladní pojmy Záladní věty Cíl lneárního optmalzačního modelu Optmální rozsahy proesů Splnění omezení Mamalzae č mnmalzae hodnoty rtéra Přílad Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? Defne modelu Všehny prvy modelu jsou vyjádřeny pomoí lneárníh funí z( ) MIN A b -> rtérum -> optmalzační podmíny... ena proměnné, rterální oefent proměnné - proesy (jednoty) omezujíí podmíny - zformulujeme pomoí lneárníh rovn a nerovn rtérum - taé podle lneární fune lneární fune a lneární rovne a nerovne Přílad - počet rozřezanýh dese podle plánu A 2 - to samé podle plánu B 3 - to samé podle plánu C MIN ,2, > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

5 Grafé zobrazení modelu Prostor řešení - prostor proměnnýh Zobrazují se jednotlvé omezujíí podmíny Krterální fune - směr růstu Metody operačního výzumu Konvení polyedr Polyedrý užel Konvení polyedr Δf() Polyedrý užel Δf() Přílad 3 Prostor řešení neuvažujeme řezný plán A X opt obdélníy čtvere rtérum pef-nfo.wz.z Chrsty

6 Grafé zobrazení modelu Prostor požadavů - prostor vetorů oefentů jednotlvýh proměnnýh transformovanýh na jednotovou enu Složením vetorů musí být vetor pravýh stran n j a j j b Optmální řezný plán Prostor požadavů b 5 5 Dvě možnost Záladní pojmy Přípustné řešení - množna přípustnýh řešení - všehna řešení, terá splňují omezujíí podmíny včetně podmíny nezápornost Bázé řešení (vrhol) - řešení, ve terém požadavové vetory nenulové proměnné jsou lneárně nezávslé - odpovídají vrholům přípustnýh řešení Optmální řešení - nejlepší přípustné řešení Alternatvní řešení - další optmální řešení Suboptmální řešení - pod optmálním - blíží se optmálnímu, ale hodnota rtéra je horší Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení pef-nfo.wz.z Chrsty

7 Záladní věty Metody operačního výzumu Má-l úloha LP přípustné řešení, má přípustné bázé řešení. Má-l úloha LP optmální řešení, má optmální bázé řešení. Řešení úlohy LP leží vždy na hran množny přípustnýh řešení. Má-l úloha LP víe než jedno optmální řešení řešení, je optmálním řešením jejh onvení ombnae. SIMPLEXOVÝ ALGORIMUS Obsah Defne lneárního optmalzačního modelu Soustava omezujííh podmíne Smpleový algortmus Řešení modelu Lneární optmalzační model Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení Soustava omezujííh podmíne Numery umíme řešt pouze soustavy lneárníh rovn, nolv nerovn Jordanova elmnační metoda bázé řešení A b převedeme na A ~~ b Kapatní podmíny A b A + Ed b, d doplňové proměnné A Ed b Požadavové podmíny A b A - Ed + Ep b, d doplňové proměnné A -Ed Ep b pef-nfo.wz.z Chrsty

8 Podmíny v rovnovém tvaru b, p pomoné proměnné ostup řešení modelu IMPLEXOVÝ ALGORIMUS íh podmíne - Jordanova elmnační metoda ordanova elmnační metoda ráenou hodnotou řídíího prvu.. ázé řešení soustavy rovn - mate soustavy obsahuje jednotovou submat určení, blanční a pod. A b A + Ep P S - Nalezení řešení soustavy omezují - Nalezení optmálního řešení J Povolené elmnační úpravy Násobení řídíí rovne přev Přčtení vhodného násobu řídíí rovne upravované rovn B Kanoný tvar Proměnné s jednotovým vetory - bázé Jestlže A (A N, E), ( N, B ) (, b), pa B A. A N. N + E. B b B est optmalty? ární ombnae j... ena testované proměnné z j - j né v mat Celov o neladné) odvození Estuje lepší řešení Cena evvalentní lne z j - j Σ α j. - j sutečná ena nžší než bázá α j... sloupe testované proměn z j - j sutečná ena vyšší než bázá á změna eny - j.(z j - j ) Nutně musí být j nezáporné (neb - N B A N E b A Ep b p N ), ( ), β β + + p p p p p p ) ( p p p ),,, ( ), ( α β ) ( ) ( ),, ( ) ( p p p p α β α β B B B B N p p z z z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + α α β α β B B B B p p ( B z B B B B N B B N B N B N z N N pef-nfo.wz.z Chrsty

9 est přípustnost Splnění omezujííh h podmíne Nezápornost řešení pro vybrané j b - α j. j - odvození α j >... j b j / α j α j... platí vždy β α β α, B. Metody operačního výzumu poud α pa β α S mpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty est přípustnost Nové bázé řeše ní - JEM S mpleová tabula A B b Optmální řezný plán 2 3 d d2 p p2 b p p , p 5 4-2,42857, ,2857,2857 5, , , ,2857-9,9743 5,74 2,8 -,2,2 2 25,2,2857 -,2857 -,2857,2857 2, ,2857 -,743 -,2857-9, , ,8574 pef-nfo.wz.z Chrsty

10 Optmální řezný plán 2 3 d d2 b 2,8 -,2 2,2,2857 -,2857 2, ,743 -, , ,3429,4286 8, , ,4286 4,2857 Optmální řešení: 2,857 dese podle prvního řezného plánu - alternatva dese 2 dese podle druhého řezného plánu - alternatva 8,57 dese dese podle třetího řezného plánu - alternatva 4,28 dese Optmalzae portfola dománost Dománost he uložt své volné fnanční prostředy do něterého z následujííh atv: - ae - termínovaný vlad - podílový lst podílového fondu nebo je nehat doma v hotovost K dspoz má Kč. Portfolo nesmí přeročt stanovenou míru rza, musí být dostatečně lvdní a dománost musí mít požadovanou úroveň zušeností s jednotlvým typy produtů. Cílem je dosáhnout mamálního výnosu elého portfola. Podladové údaje jsou v tabule: Na Kč Ae ermínovaný vlad Podílový lst Slamní Omezení Jednota Rzo,5, ma. body Lvdta 8 2 ma. 5 dny Zušenost, 8, mn. 3 body Zs,2,7, 5, MAX t s. Kč pef-nfo.wz.z - - Chrsty

11 .. Ae 2.. V 3.. PF 4 slamní Kč Kč Kč Kč,2,, d d2 d3 d4 p4 b d d2,5, d p4, 8, zj - j -2,2-8 -2, d,99,2,99, -, d2,42, -, 7 666,667 d , ,,8, -,, zj - j -,9-7,2 -,4 -,, d,98,99 -, -, , d2 9,98,99 -, -, 688, ,256-7,7,7 2,6,, 27, , ,3 - -,, 2977, , zj - j 999,9 43, -,4, -,, 35,75 d -8,93 -,99,9 -,9 9963,6 625,5 3, -, -, 692, ,7 2 -,6 -,, - 2, , ,, 2977,9 --- zj - j,47,7,44 - -,9,9 3724,4 d -98,8-8,96 -,2 99, d ,4 -, ,33-295,7 2,6,, 27, ,7 9,94 -,3 986, -355 zj - j 99,82,7 8,96 -,2 9889,83 d d ,9-7 d zj - j, , , ,9-7 B B-, pef-nfo.wz.z - - Chrsty

12 ANALÝZA VÝSLEDKŮ LINEÁRNÍHO OPIMALIZAČNÍHO MODELU Obsah Formulae modelu Výpočet modelu Optmální řešení Alternatvní řešení Suboptmální řešení Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám pravýh stran Změny formulae modelu - rozsahu modelu Formulae (defne) modelu Proměnné - proesy (jednoty) Omezujíí podmíny - soustava lneárníh rovn a nerovn Krtérum - účelová fune (lneární) Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > Smpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty - proměnná zařazovaná do báze - vybere proměnou, jejíž ena je výhodnější než ena bázýh proměnnýh est přípustnost - proměnná vyřazovaná z báze - terý proes bude novým výhodným proesem nahrazen JEM (Jordanova elmnační metoda) - nové bázé řešení Jordanova elmnační metoda - máme pouze dva způsoby ja to provést - řídíí řáde vydělíme řídíím prvem - jedná povolené operae s řídíím řádem - e aždému jnému řádu přčteme řídíí řáde - počítáme špatně - dyž vyjde záporná hodnota na pravé straně - dyž zmzí anoný tvar anoná jednotová báze změna báze nahrazení jednoho bázého vetoru druhým Stentzova věta o výměně mate bázýh vetorů B mate přehodu od báze báz B - pef-nfo.wz.z Chrsty

13 Smpleový algortmus - najít optmální řešení za danýh omezujííh podmíne Metody operačního výzumu Algortmus ončí nalezením optmálního řešení, poud není v báz pomoná proměnná, je to optmální přípustné řešení modelu, poud pomoná proměnná v báz zůstala a je nenulová, neestuje přípustné řešení problému, nebo zjštěním, že účelová fune je neomezená poud nelze najít proměnnou pro vyřazení z báze. Analýza výsledů řešení Do modelu můžeme přdat další podmínu, rovn účelové fune z a po úpravě z z > 35 5 > 2 - -, 2, 3 > Analýza smpleové tabuly Vlv proměnné 3 na optmální řešení Inverzní mate báze B d d2 p p2 b 2,,,8 -,2,,2, 2,,,,2,3 -,3 -,3,3 2,86 z,,, -,7 -,3-9,83-9,97 22,86 Mate Hodnoty z j - j Hodnoty bázýh proměnnýh Hodnota rtéra B A B ~ ( A, E) ( B ~ A, B E) ( B ~ A, B Řešení modelu Optmální řešení - bázé řešení s optmální hodnotou rtéra ve výsledné smpleové tabule Alternatvní řešení - aždé další bázé nebázé optmální řešení, lze odvodt z výsledné smpleové tabuly Suboptmální řešení - bázé nebázé řešení problému s dostatečně dobrou hodnotou rtéra, odvozuje se z výsledné smpleové tabuly Další řešení modelu Interval přípustnýh hodnot nebázé proměnné j, mn α αj j > β est přípustnost Nové řešení bázé nebo nebázé ) pef-nfo.wz.z Chrsty

14 Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 první řezný plán druhý řezný plán třetí řezný plán Optmální řešení 2,86 dese 2 dese dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 2, -4,,, -,3, 8,57 3, 5,,,,4 -,4 4,29,,, -,7 -,3 22,86 Optmální řešení Alternatva první řezný plán 2,86 dese dese druhý řezný plán třetí řezný plán 2 dese dese 8,57 dese 4,29 dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Suboptmální řešení první řezný plán 2,86 -,3 d druhý řezný plán 2 +,2 d přeročení obdélníů z n tervalu, 95.3 Analýza tlvost vzhledem změnám vstupníh dat Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Analýza tlvost vzhledem změnám en Změnu sledované eny j vyjádříme jao + λ j Přepočítáme rt erální řáde a zísáme hodnoty s parametrem λ est optmalty - soustava lneárníh nerovn s parametrem λ Interval stablty - nemění se báze řešení an hodnoty proměnnýh, mění se hodnota rtéra Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Změnu sledované pravé strany b vyjádříme jao b + μ Přepočítáme vetor pravýh stran a zísáme hodnoty s parametrem μ est přípustnost - soustava lneárníh nerovn s parametrem μ Interval stablty - nemění se báze řešení, mění se hodnoty proměnnýh a hodnota rtéra pef-nfo.wz.z Chrsty

15 Přepočet pravýh stran Řešení soustavy lneárníh rovn pomoí JEM - A b - báze B - B - A B - b Parame trzovaný vetor pravýh stran - b + µ bude přepočítán B - (b + µ) Optmální řezný plán Metody operačního výzumu 2 3 d d2 b,,,,, p, 5, 4, -,,, p2 35, 5,,, -, 2, 349, 99, 49, -, -, 3, p, 5, 4, -,,,,,4,3, -,3 5,7, 49,4 39,3 -, -,3 5,7 2,,,8 -,2, 2,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Změna oefentu bázé proměnné - tvoří nový vetor s ostatním bázým vetory opět báz? - Nejlépe přdat nový vetor, novou proměnnou Změna oefentu nebázé proměnné - - Přepočítat vetor pomoí B, test optmalty a případně další výpočet Změny formulae modelu - rozsahu modelu Přdání podmíny Vynehání podmíny Přdání proměnné Vynehání proměnné ( bázá, nebázá) EORIE DUALIY Obsah Dualta Dualta lneárníh modelů vorba duálního modelu Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Duální smpleová metoda Dualta Vztah mez dvěma objety Umožňuje na záladě vlastností jednoho odvodt vlastnost druhého Mamalzační optmalzační model a mnmalzační optmalzační model pef-nfo.wz.z Chrsty

16 Dualta lneárníh modelů A b A b Dualta lneárníh modelů Mate oefentů A v prmárním modelu a mate A v duálním Vetor pravýh stran b v prmárním modelu a vetor en b v duálním Vetor en v prmárním modelu a vetor pravýh stran v duálním yp omezení a typ proměnnýh!!!!!!!!!!!!!! vorba duálního modelu - pravdla pro tvorbu MAX A b A b A b A b lbovolné Ma MIN A b y y y lbovolné y A y A y A y b y Mn Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? MODEL 2 3 y 5 4 > y > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

17 Optmální řezný plán Prmární model Duální model MIN.y + 2.y2 MAX y + 35.y y + 5.y2,2,3 4.y +.y2 y,2 Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Nehť prmární úloha je mnmalzační a p je její přípustné řešení, nehť současně y p je přípustné řešení příslušné duální úlohy, pa platí p b y p. Mnmum rterální fun e je omezeno zdola mamem sdružené rterální fune a naopa. aže estuje onečné optmální řešení. - Hodnota účelové fune mn. úlohy je vyšší nebo rovna než hodnota fune ma. úlohy Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární úloha má optmální řešení o právě tehdy, dyž má duální úloha optmální řešení y o. Naví platí o b y o. Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y, pro terá platí b y, pa jsou tato řešení optmálním řešením obou úloh. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Věta o dualtě Pro dvoj duálně sdruženýh úloh platí buď: obě úlohy mají přípustná řešení, pa mají optmální řešení nebo jedna z úloh přípustné řešení nemá, pa druhá nemá optmální řešení (buď taé nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účeovou fun) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Krtérum optmalty Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí y (A - b) (A y - ) Je-l pr oměnná bázá, odpovídajíí podmína musí být splněna jao rovne, je-l nebázá, podmína musí platt. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární a duální přípustnost řešení lneární optmalzační úlohy Prmárně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny nezápornost (test přípustnost). Duálně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny optmalty (test optmalty). pef-nfo.wz.z Chrsty

18 Optmální řezný plán Prmární model MIN ,2,3 duálně přípustné bázé řešení (,, ), d (-, -2) test optmalty z- (-, -, -,, ) Duální model.y + 2.y 2 MAX.y + 35.y 2 5.y + 5. y 2 4.y +.y 2 y,2 prmárně přípustné bázé řešení y (, ), d (,, ) test optmalty z- (-, -2,,, ) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Grafá nterpretae Dualta prostoru řešen í a prostoru požadavů lneární úlohy Prostor řešení prmární úlohy splývá s prostorem řešení duální úlohy a naopa. Grafá nterpretae Prostor požadavů prmární úlohy 2 3 b d d2 Dualta prostoru řešení a prostoru požadavů Prostor řešení duální úlohy,3,25 9 4,2,5,. omez 2. omez 3. omez Gradent 9,5 4,5,,5,2,25, pef-nfo.wz.z Chrsty

19 Estene řešení sdruženýh modelů Prmární úloha přípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení nepřípustné řešení Duální úloha přípustné řešení nepřípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení optmální řešení Duální smpleová metoda Prmární SA - prmárně přípustné řešení prmárně duálně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zlepšuje Duální SA - duálně přípustné řešení duálně prmárně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zhoršuje Duální smpleová metoda Podmíny - duálně přípustné a prmárně nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze r mn est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze Optmální řezný plán Prmární smpleová metoda Podmíny - prmárně přípustné a duáln ě nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze pro mamalza z mn z z < s s α α rj < rs z j mn α 2 3 d d2 b d d d ,4,3 -,3 5,7 -,86 -,69 -,3 5,7 2,8 -,2 2,2,3 -,3 2,86, -,7 -,3 22,86 s rj j s z < j j j j est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze b r b mn s > α α α rs s pef-nfo.wz.z Chrsty

20 OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (,,..., ) R n 2 n }, f() a q oměnnýh a je prve vetorového prostoru R n () jsou reálné fune víe pr. Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody - lneární modely - jsou tam jen lneární fune - nelneární modely - alespoň jedna nelneární fune - onvení model - model jehož množna řešení je onvení, onvení rterální fune u MIN, onávní MAX pef-nfo.wz.z Chrsty

21 Nalezení přípustného řešení Nalezení etrému účelové fune Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Kuhn-uerovy podmíny Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Konvení optmalzační úloha má řešení právě tehdy, dyž estuje vetor u opt a platí opt opt u opt L( opt, uopt ),,...,m u u L( opt, uopt ).,,...,m u opt L( opt j opt, u j opt L( opt, u. j ), j,...,n opt ), j,...,n Kvadratá úloha mn { C + p A b, j, j,..., n, R n } C je mate oefentů vadratýh členů účelové fune, p je vetor oefentů lneárníh členů v účelové fun, A je mate oefentů soustavy omezujííh podmíne a b je vetor pravýh stran těhto podmíne pef-nfo.wz.z Chrsty

22 Wolfeho podmíny Metody operačního výzumu Úprava Kuhn-uerovýh podmíne pro vadratou optmalzační úlohu lneární podmíny A + y b -C - A u + v p, u, v, y nelneární vadraté podmíny u opt y opt + opt v opt Pomoná optmalzační úloha lneární omezujíí podmíny A + y b, C + A u - v + w -p podmíny nezápornost, u, v, y, w účelová fune w + w w n mn. dodatečná nelneární podmína u opt y opt + opt v opt Řešení pomoné optmalzační úlohy Smpleový algortmus pro lneární část Rozšíření testu optmalty vstup proměnnýh do báze Výpočet se lší podle hodnot ve vetoreh p a b Wolfeho algortmus. ro Kuhn-uerovy podmíny 2. ro Wolfeho podmíny 3. ro Pomoná lneární optmalzační úloha 4. ro Optmální řešení původní vadraté úlohy Vetor opt zísaný jao řešení Wolfeho podmíne je optmálním řešením původní vadraté optmalzační úlohy. Hodnotu rterální fune vypočítáme dosazením, tedy z f( opt ) C + p opt. Numeré metody Gradentní metody + + λ.s Penalzační a barérové metody mn {f() + p ) R n ( } Heursté metody DISRIBUČNÍ A DOPRAVNÍ SYSÉMY Obsah Dopravní problémy Zobeněné dstrbuční problémy Přřazovaí problémy Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Metody nalezení výhozího řešení pef-nfo.wz.z Chrsty

23 Dopravní problémy Sutečná přeprava zboží, materálu, ldí o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja (čím) - ndey - Přes o - mezslady - stupně - Kam spotřebtelé -Co (ol) - podle apat a požadavů M S Jednostupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá - Odud - dodavatelé - Kam spotřebtelé - Co (ol) Dopravní (dvoundeová) tabula D S Přeprava e spotřebte lům Přeprava od dodavatelů Dvoustupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů přes mezslady místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se sčítá D - Odud - dodavatelé - Přes o - mezslady - Kam spotřebtelé M - Co (ol) Dvoustupňová (dvoundeová) dopravní tabula S pef-nfo.wz.z Chrsty

24 Přeprava mezsladům Přeprava od dodavatelů Přepravaa od mezsldů Přeprava e spotřebtelům Jednostupňová tříndeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby různým způsoby o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja nebo čím - Kam spotřebtelé - Co (ol) S Jednostupňová tříndeová dopravní tabula Přeprava e spotřebte lům Způsob přepravy Přeprava od dodavatelů Zobeněné dstrbuční problémy Rozdělení práe, materálu apod. Dohází e změně jednote sčítání rozdělovaného množství s různým oefenty pef-nfo.wz.z Chrsty

25 Složtější problémy - obený lneární model Rozdělení práe strojů na obdělání polí (oefenty sčítání výon strojů) Přřazovaí problémy Kapaty požadavy jsou jednotové přřazení buď je nebo není Většnou stejný počet zdrojů a spotřebtelů Rozdělení praovníů po jednom na jednotlvé práe, jejh výon, shopnost jsou různé Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j - hledáme - nde dodavatel, j - nde spotřebtele Mnmalzae eny přepravy - apaty - ol terý dodavatel může dodat služeb atd. Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností Z terého sladu mají být podny zásobovány? - tunolometry - dopravní náročnost je vyjádřená množstvím tun na lometr (tuny rát lometry) Jednostupňová dopravní úloha Nelze přeročt an apaty an požadavy Podmíny dodavatelů - nedodá ví než má Σ j j a,,,m Podmíny spotřebtelů - nepřjme ví než he Σ j b j, j,,n Nezápornost j Krtérum Σ Σ j j. j MIN D D D S S S S Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Matematý model Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN S pef-nfo.wz.z Chrsty

26 j MIN Matové shéma modelu m... mn a a 2... b b 2... Řeštelnost dopravního modelu Frobenova věta - požadave vyváženost Omezujíí podmíny jsou vždy řeštelné Bázé řešení - počet bázýh proměnnýh Lneární závslost tras Vyváženost systému elová apata dodavatelů se rovná elovému pozadavu spotřebtelů Σ j a Σ j b j ftvní dodavatel - a m+ Σ j b j - Σ j a (hybí dodávy) ftvní spotřebtel - b n+ Σ j a - Σ j b j (hybí spotřeba) Jednostupňová dopravní tabula Řády - dodavatelé Sloupe spotřebtelé Pole - trasa P P2 P3 S S Systém nutno vyvážt Výhozí řešení Záladní prnp - volba jednotlvýh tras a vyčerpání dodávy č uspoojení požadavu Obeně v aždém rou je vyčerpán dodavatel nebo naplněn požadave Volba trasy Mamální přepravované množství je dáno zbývajíí apatou dodavatele nebo zbývajíím požadavem spotřebtele Úprava apat nebo dodavatelů Výhozí řešení Metody, ja postupně vybírat trasy pef-nfo.wz.z Chrsty

27 Metoda severozápadního rohu Indeová metoda Vogelova apromační metoda Habrova frevenční metoda Nejjednodušší metody Metoda severozápadního rohu Vždy se volí volná trasa na severozápadě tabuly Indeová metoda (nejmenší eny) Vždy se volí volná trasa s nejnžší sazbou Vogelova apromační metoda Volba tras s největší dferení a nejlepší sazbou Mnmalzae ztráty z použtí nevhodného spoje - trasy Vogelovy dferene - rozdíl mez nejlepší a druhou nejlepší sazbou Čím vyšší dferene, tím větší ztráta hrozí Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM P P2 P3 PF Dferene S , 5, 7 S , Dferene DOPRAVNÍ ÚLOHA Postup řešení a analýza výsledů Obsah Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Duální model est optmalty est přípustnost Algortmus řešení Analýza výsledů Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j Mnmalzae eny přepravy pef-nfo.wz.z Chrsty

28 Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností Z terého sladu mají být podny zásobovány? Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN Matematý model j MIN Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM Metody operačního výzumu P P2 P3 PF Dferene S , 5, 7 S , Dferene Matové shéma modelu m... mn u u 2... a a 2... v v 2... b b m... mn Duální model u + v j j,,..., m, j,...,n Σ a.u + Σ j b j.v j MAX pef-nfo.wz.z Chrsty

29 Krtérum optmalty Metody operačního výzumu Využtí výsledů teore dualty v dopravníh modeleh Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a ní duální úloha přípustné řešení u,v. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) Krtérum optmalty Využtí v algortmu tato Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a nehť platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) oto řešení je optmální řešení dopravní úlohy právě tehdy, dyž u,v jsou přípustným řešením duální úlohy. est optmalty řešení Lze najít lepší řešení - vztah mez sazbam Metoda MODI a) u + v j j pro (,j) B B je množna bázýh tras, bázýh proměnnýh j b) z j - j u + v j - j pro všehny trasy (,j) Cena evvalentní ombnae přeprav z rs r + j ls trasa (r,s) je nepoužtá trasa, z rs vyhází z možné úpravy řešení Degenerae řešení Degenerované řešení Nedegenerované řešení Odstranění degenerae Metoda MODI a degenerae řešení - počet duálníh proměnnýh m+n - počet bázýh proměnnýh - řešení soustavy m+n rovn pro m+n proměnnýh u + v j j pro (,j) B Rozvoz hnojv est optmalty P P2 P3 PF S S2 první ro druhý ro Nové řešení - test přípustnost u + v v 6... atd. ověření, že platí u + v j j pro všehna, j Změna přepravního plánu - vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras - od aždého dodavatele v sumě stejně - aždému spotřebtel v sumě stejně - v aždém řádu a sloup dopravní tabuly musí být suma změn rovna nule Σ j Δ j,,,m Σ Δ j, j,,n pef-nfo.wz.z Chrsty

30 Nové řešení - test přípustnost Změna přepravního plánu vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras Metody operačního výzumu v dopravní tabule musí být v aždém řádu a aždém sloup dvě trasy pro vyrovnání změny nebo žádná Dodavatel Spotřebtel Rozvoz hnojv Nalezení nového řešení M P P2 P3 PF S M S Rozvoz hnojv est optmalty Optmální řešení -6 S 8 P P2 P3 PF S Algortmus řešení Podmíny algortmu - vyváženost Výhozí bázé řešení est optmalty - metoda MODI est přípustnost - Dantzgovy oruhy Přehod na nové bázé řešení Analýza výsledů Optmální řešení - odud, am, ol a zač? Alternatvní řešení Suboptmální řešení Perspetvta tras - suboptmální řešení - analýza hodnot z j - j Propustnost tras - substtue tras - možnost nebázýh přeprav - uzavřené oruhy Rozvoz hnojv Analýza optmálního řešení Zásobování S - P, P2, nevyužtý S2 - P3, nevyužtý Dopravní nálady P P2 P3 PF S 8 S pef-nfo.wz.z Chrsty

31 Rozvoz hnojv Analýza propustnost tras S - P3: propustnost, substtuuje trasu S-PF S2 - P propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF S2 - P2 propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF vysoá propustnost - 5 a víe nízá propustnost - méně než 5 S 8 P P2 P3 PF S Rozvoz hnojv Analýza perspetvty řešení hodnoty, 2, 6, 9 vysoe perspetvní trasa... perspetvní trasa... neperspetvní trasa... S S2 P P2 P3 PF Rozvoz hnojv Analýza perspetvty a propustnost tras P P2 P3 PF S-persp S2-persp S-prop S2-prop DÚ: Do příštího pátu, zadání s vymyslet VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení pef-nfo.wz.z Chrsty

32 Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z ( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Záladní pojmy Ideální a bazální varanta - bazální řešení - má nejhorší hodnoty o terýh jsme ohotn uvažovat Domnane řešení - jedno řešení domnuje druhé řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I pef-nfo.wz.z Chrsty

33 Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 - a a a2 jsou nedomnovaná a domnují a3 a a4 - a3 a a4 jsou vzájemně nedomnovaná - a a a2 jsou paretovsým řešením D a 3 a 4 - D - bazální řešení - H - deální řešení - ompromsní řešení - blízé deálnímu - vybráno bude řešení podle toho, teré rtérum je pro nás důležtější Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - preferene mez rtér - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma - vyjádření pořadím ardnální nformae - vanttatvní - víme o je důležtější a olrát Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j Dílčí optmalzae ( ) j MAX A b Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému pef-nfo.wz.z Chrsty

34 Dílčí řešení Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam v j j Z( ) v C MAX j A b Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

35 Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a a a 2 z 2 z 2 () z 2 z pef-nfo.wz.z Chrsty

36 Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena y + d d + y Cílové programování ;d,d + d d, + Z(d) (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + d - a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + pef-nfo.wz.z Chrsty

37 Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cíl 3/ VÍCEKRIERIÁLNÍ ANALÝZA VARIAN Obsah ypy modelů víerterálního rozhodování Záladní pojmy ypy nformaí Cíl modelů Užte, fune užtu Grafé zobrazení Metody víerterální analýzy varant ypy modelů Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model y( ) MAX y ( ) MIN A b pef-nfo.wz.z Chrsty

38 Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí a a a 2 p f y y 2 yp f y y y p2 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení f y y 2 y p Ideální a bazální varanta Metody operačního výzumu Ideální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované ve všeh rtéríh současně nejlepším možným hodnotam. - varanta H s ohodnoením (h,..., h ) Bazální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované nejhorším ohodnoením podle všeh rtérí. - varanta D s ohodnoením (d,..., d ). Domnane řešení V této defn předpoládáme všehna rtéra mamalzační. Varanta a domnuje varantu a j, jestlže pro její ohodnoení platí (y, y 2,, y ) (y j, y j2,, y j ) a estuje alespoň jedno rtérum f l, že y l > y jl. Řešení je nedomnované (efetvní) řešení problému, poud neestuje žádné jné řešení, teré by jej domnovalo. Paretovsé řešení Varanta (řešení), terá není domnovaná žádnou jnou varantou, je nedomnovaná varanta, často se též nazývá efetvní nebo paretovsá. (Wlfredo Paretto) Kompromsní řešení Kompromsní varanta (řešení) má od deální varanty (řešení) nejmenší vzdálenost podle vhodné metry (měřenou vhodným způsobem). Kompromsem může být zanedbání něterýh rtérí. Cíl řešení modelů Nalezení jedné ompromsní varanty, ompromsního řešení (Nalezení určtého počtu ompromsníh varant) Rozdělení řešení na efetvní a neefetvní Uspořádání všeh řešení od nejlepšího nejhoršímu Problémy umožňujíí ompenza a problémy nepovolujíí ompenza Užte, fune užtu Každé ohodnoení varanty je možno vyjádřt ve formě užtu, terý tato varanta přnáší pef-nfo.wz.z Chrsty

39 Dílčí hodnoty užtu lze sloučt do elového užtu varanty a podle toho varanty vybírat Fune užtu Fune užtu převádí ohodnoení řešení do ntervalu, Podle jejího tvaru lze haraterzovat rozhodovatele Přístupný rzu Neutrální rzu Odmítajíí rzo Grafé zobrazení problému I f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Grafé zobrazení problému II f S a a 2 S a a 2 Modely víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí - rterální mate a a a 2 p f y y 2 yp f y y y p2 f y y 2 y p pef-nfo.wz.z Chrsty

40 Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn ypy nformaí Inter a ntra rterální preferene - Preferene jednotlvýh rtérí - Hodnoení varant podle aždého rtéra žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání ardnální nformae - vanttatvní Metody vantfae nformae Metoda pořadí - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum bude první v pořadí Bodovaí metoda - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum dostane nejvíe bodů Párové porovnávání - porovnává se důležtost rtérí č ohodnoení varant podle jednotlvýh rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor Součet Váhy Cena 3,3 Výon 3,3 Hmotnost 2,2 Názor 2,2 Metody řešení problému Informae o atrbuteh Metody řešení Žádná Nomnální Ordnální Kardnální Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní Metoda váženého součtu Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Informae o alternatváh Ordnální Kardnální Bodovaí metoda, metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní metoda ORESE Metoda váženého součtu, Saatyho metoda metoda OPSIS Jednotlvé varanty budou ohodnoeny pořadovým čísly mez a počtem varant Jednotlvé varanty budou ohodnoeny podle jednotlvýh rtérí vždy ve stejné bodové stupn, např. až pef-nfo.wz.z Chrsty

41 Pořadí nebo body se sečtou Oba postupy mohou být rozšířeny o váhy rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Metoda pořadí Součet 722 S D 2 2 2,5 2 8,5 735 S 3 2,5 7,5 Metoda aspračníh úrovní Konjuntvní metoda - přpustíme pouze varanty, teré splňují všehny asprační úrovně Dsjuntvní metoda - přpustíme všehny varanty, teré splňují alespoň jeden požadave Iterační postup - zpřísňování nebo uvolňování aspračníh úrovní Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Asprační úrovně,-,7 W/mn 6 nevím 722 S 726 D 735 S 722 S 726 D 735 S,-,7 W/mn 6 ne Metoda váženého součtu Převedeme mnmalzační rtéra na mamalzační podle vztahu y ma(y ) j,...,s j y j Určíme deální varantu H s ohodnoením (h,..., h ) a bazální varantu D s ohodnoením (d,..., d ). Vytvoříme standardzovanou rterální mat R, jejíž prvy zísáme pomoí vzore yj d j rj h j d Pro jednotlvé varanty vypočteme užte j u(a ) v r Varanty seřadíme sestupně podle hodnot u(a ). j j j pef-nfo.wz.z Chrsty

42 Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 726 D 735 S ,7,8, 5,8 6,2 6,2 2 3 mn ma mn ma Metody operačního výzumu 335,7,4 25,8 2, 3 D,7 H 335,,4 3 Součet 722 S 726 D 735 S,694,25,5,5,358582,5,3,3,2,2 VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

43 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma ardnální nformae - vanttatvní Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru pef-nfo.wz.z Chrsty

44 - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Metody operačního výzumu Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j ( ) j MAX A b Dílčí optmalzae Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Dílčí řešení Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam pef-nfo.wz.z Chrsty

45 v j j Z( ) v C MAX j A b Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) - pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) pef-nfo.wz.z Chrsty

46 z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a 2 a a z 2 z 2 () z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena + d y d ;d,d + d d, + y + pef-nfo.wz.z Chrsty

47 Cílové programování Z(d) d - (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cíl 3/ EORIE ROZHODOVÁNÍ Obsah Formulae rozhodovaího modelu Rozhodování za jstoty, rza a nejstoty Možnost řešení rozhodovaího modelu Krtéra řešení rozhodovaího modelu Rozhodovaí a pravděpodobnostní stromy eore her Nalezení optmální stratege v hazardníh hráh Model onfltní stuae John von Neumann, Osar Morgenstern Eonomé hování - volba alternatvy rozhodnutí Rozhodovaí modely Volba nejlepšího rozhodnutí ovlvňovaného budouím stavem světa pef-nfo.wz.z Chrsty

48 Většnou neopaovatelné stuae Alternatvy rozhodnutí Stavy oolností Rozhodovaí tabula - výplaty pro ombnae alternatva/stav oolností Rozhodovaí rtérum Jstota, rzo a nejstota Rozhodovaí tabula Stavy oolností s s 2... s n a v v 2... v n Alternatvy a 2 v 2 v v 2n a m v m v m2... v mn Rzo p p 2... p n Volba stratege frmy Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena Pravděpodobnost,4,2,4 Jstota, rzo a nejstota rozhodování s jstotou pravděpodobnost realzae jstého stavu oolností je rovna a pravděpodobnost ostatníh stavů oolností jsou rovny nule rozhodování s rzem pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou odhadovány č známy rozhodování za nejstoty pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou neznámé Možnost řešení rozhodovaíh modelů Volba domnantní alternatvy Volba nejvýhodnější alternatvy Volba alternatvy podle nejvyššího užtu Volba domnantní alternatvy (ma) Domnane podle výplat: a I domnuje Dom nane podle stavů oolností : a I domnuje a K a K mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj vij vkj j, j,..., n Dom nane podle pravděpodobností : a I domnuje a K P( v ) P( v ) I K pef-nfo.wz.z Chrsty

49 Domnane podle výplat,2,8,6 mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj,4,2 mn ma ANO,7 NE,6, Domnane podle stavů oolností,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE vij vkj j, j,..., n velý střední malý Domnane podle pravděpodobností,2,8,6 P( v ) P( v ) I K,4,2 ANO NE,2,4,6,8,2 Volba nejvýhodnější alternatvy Rozhodování za jstoty Rozhodování za nejstoty - mamaové pravdlo - Waldovo - mamnové pravdlo - Savageovo pravdlo mnmální ztráty - Laplaeovo pravdlo nedostatečné evdene - Hurwtzovo pravdlo Rozhodování za rza - pravdlo EMV - očeávané hodnoty výplaty - pravdlo EOL - očeávané možné ztráty - pravděpodobnost dosažení asprační úrovně pef-nfo.wz.z Chrsty

50 Volba stratege za jstoty Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena a I : v IJ ma v,...,m J Pravděpodobnost,4,2,4 Volba stratege za nejstoty Zájem velý střední malý MAXIMIN MAXIMAX LAPLACE Kontrola valty ANO,95,7,7,883 Kontrola valty NE,,8,6,6,, SAVAGE Kontrola valty ANO,, Kontrola valty NE,5,,5 a a I I : : v v IJ IJ ma mn,...,m j,...,n ma ma,...,m j,...,n v v j j a I : v I n ma n v,...,m j j a I : z IJ mn ma ( ma,... m j,..., n,..., m v j v j ) Volba stratege za nejstoty ma mn HURWICZ Kontrola valty ANO,7,7,79,88 Kontrola valty NE,,6,6,75,9, t,3,6,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE a + I : vi ma (t.h ( t).d ),...,m d h mn v j,...,n j,...,n j ma v j,2,4,6,8,2 pef-nfo.wz.z Chrsty

Příloha č. 1 Část II. Ekonomika systému IDS JMK

Příloha č. 1 Část II. Ekonomika systému IDS JMK Příloha č. 1 Část II. Eonomia systému IDS JMK Květen 2011 Eonomia systému IDS JMK I. EKONOMICKÉ JEDNOTKY Pro účely dělení výnosů je rozděleno území IDS JMK do eonomicých jednote tvořených supinami tarifních

Více

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Lneární programování e druh matematckého programování. Matematcký model se skládá z:. účelové funkce. omezuících podmínek (vlastní omezení a podmínk nezápornost) Účelová funkce omezuící

Více

Numerické metody optimalizace

Numerické metody optimalizace Numercké metody optmalzace Numercal optmzaton methods Bc. Mloš Jurek Dplomová práce 2007 Abstrakt Abstrakt česky Optmalzační metody představují vyhledávání etrémů reálných funkcí jedné nebo více reálných

Více

Základy sálavého vytápění Přednáška 8

Základy sálavého vytápění Přednáška 8 Faulta strojní Ústav techniy prostředí Zálady sálavého vytápění Přednáša 8 Plynové sálavé vytápění 2.část Ing. Ondřej Hojer, Ph.D. Obsah 4. Plynové sálavé vytápění 4.1 Světlé zářiče cv. 4 4.2 Tmavé vysooteplotní

Více

2 Rozhodovací problém

2 Rozhodovací problém Rozhodovaí problém Rozhodovaí problém je problém s víe možným řešením. Jde tedy o problémy se kterým se setkáváme v běžném žvotě. Základním krokem každého rozhodování je proes volby, tedy poszování jednotlvýh

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více

Metody operačního výzkumu cvičení

Metody operačního výzkumu cvičení Opakování vektorové algebry domácí úkol ) Pojem vektorového prostoru praktická aplikace - je tvořen všemi vektory dané dimenze - operace s vektory (součin, sčítání, násobení vektoru skalární hodnotou)

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Funkční měniče. A. Na předloženém aproximačním funkčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funkci danou tabulkou:

Funkční měniče. A. Na předloženém aproximačním funkčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funkci danou tabulkou: Funční měniče. Zadání: A. Na předloženém aproximačním funčním měniči s operačním zesilovačem realizujícím funci danou tabulou: proveďte: U / V / V a) pomocí oscilosopu měnič nastavte b) změřte na něm jeho

Více

1. ročník, 2011/ 2012 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks

1. ročník, 2011/ 2012 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks 1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks Řešení 5. série Úloha5. Vřaděje N žároveočíslovanýchpostupně 1až N.Kroem rozumímepřepnutí třížárove,jejichžčísla a, b, csplňují a + c = 2b.Určetevšechna

Více

Název Lineární pohon vřetenem s trapézovým závitem 902) OSP-E..ST

Název Lineární pohon vřetenem s trapézovým závitem 902) OSP-E..ST Veličiny Veličiny Všeobecně Znača Jednota Poznáma Název ineární pohon vřetenem s trapézovým závitem 902) Typ OSP-E..ST Upevnění viz výresy Rozsah teplot ϑ min C -20 ϑ max C +70 Materiál Hmotnost g viz

Více

6 Mezní stavy únosnosti

6 Mezní stavy únosnosti 6 Mezní stavy únosnosti U dřevěných onstrucí musíme ověřit jejich mezní stavy, teré se vztahují e zřícení nebo jiným způsobům pošození onstruce, při nichž může být ohrožena bezpečnost lidí. 6. Navrhování

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

ELEKTRICKÝ POHON S ASYNCHRONNÍM MOTOREM

ELEKTRICKÝ POHON S ASYNCHRONNÍM MOTOREM 4 EEKTCKÝ POHON AYNCHONNÍ OTOE Asynchronní otory (A), zvláště pa s otvou naráto, jsou jž řadu let nejrozšířenější eletrootory na naší planetě. talo se ta díy jejch onstruční jednoduchost, nízé ceně, vysoé

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B.

Jednotlivé mezivýsledky, získané v prbhu analýzy rozptylu, jsou prbžn a systematicky zaznamenávány v tabulce ANOVA. Prmrný tverec. volnosti SS B. Ing. Martna Ltschmannová Statsta I., cvení ANOVA Rozšíením dvouvýbrových test pro stední hodnoty je analýza rozptylu nebol ANOVA, terá umožuje srovnávat nol stedních hodnot nezávslých náhodných výbr. Analýza

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Vypracoval: Lenka Novotná Studijní obor: K-Informační management Emailová adresa: lenka.novotna.1@uhk.cz Datum vypracování:

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI. 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematickým modelem pro popis náhodných jevů a jejich MATEMATIKA PRO??? 2003/4, 1?? c MATFYZPRESS 2004 ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI JOSEF ŠTĚPÁN 1 1. Co je to pravděpodobnost Začneme matematicým modelem pro popis náhodných jevů a jejich pravděpodobností. Uvědomme

Více

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola

Diamantová suma - řešení příkladů 1.kola Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl

Více

3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat?

3.1.4 Trojúhelník. Předpoklady: 3103. Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelník. C. Co to je, víme. Jak ho definovat? 3..4 Trojúhelní Předpolady: 303 Každé tři různé body neležící v přímce určují trojúhelní. o to je, víme. Ja ho definovat? Př. : Definuj trojúhelní jao průni polorovin. Trojúhelní je průni polorovin, a.

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční

zpracování signálů - Fourierova transformace, FFT Frekvenční Digitální zpracování signálů - Fourierova transformace, FF Frevenční analýza 3. přednáša Jean Baptiste Joseph Fourier (768-830) Zálady experimentální mechaniy Frevenční analýza Proč se frevenční analýza

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)

DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II) DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě

Více

2. Matice a determinanty

2. Matice a determinanty Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (

Více

Teorie elektrických ochran

Teorie elektrických ochran Teore elektrckých ochran Elektrcká ochrana zařízení kontrolující chod část energetckého systému (G, T, V) = chráněného objektu, zajstt normální provoz Chráněný objekt fyzkální zařízení pro přenos el. energe,

Více

Název: Chemická rovnováha

Název: Chemická rovnováha Název: Chemicá rovnováha Autor: Mgr. Štěpán Miča Název šoly: Gymnázium Jana Nerudy, šola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: chemie, fyzia Roční: 6. Tématicý cele: Chemicá rovnováha (fyziální

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ

Klasifikace a predikce. Roman LUKÁŠ 1/28 Klasfkace a predkce Roman LUKÁŠ 2/28 Základní pomy Klasfkace = zařazení daného obektu do sté skupny na základě eho vlastností Dvě fáze klasfkace: I. Na základě trénovacích vzorů (u nchž víme, do aké

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

č. 475/2005 Sb. VYHLÁŠKA kterou se provádějí některá ustanovení zákona o podpoře využívání obnovitelných zdrojů Ve znění: Předpis č.

č. 475/2005 Sb. VYHLÁŠKA kterou se provádějí některá ustanovení zákona o podpoře využívání obnovitelných zdrojů Ve znění: Předpis č. č. 475/2005 Sb. VYHLÁŠKA ze dne 30. listopadu 2005, kterou se provádějí některá ustanovení zákona o podpoře využívání obnovitelných zdrojů Ve znění: Předpis č. K datu Poznámka 364/2007 Sb. (k 1.1.2008)

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Pavel Burda Jarmila Doležalová

Pavel Burda Jarmila Doležalová VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA III Pavel Burda Jarmila Doležalová Vytvořeno v rámci projetu Operačního programu Rozvoje lidsých zdrojů CZ.04.1.0/..15.1/0016 Studijní opory

Více

= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz.

= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz. XIII Mechanicé itání Příad 1 Těeso itá haronicy s periodou 0,80 s, jeho apituda je 5,0 c a počátečnífáze nuová Napište rovnici itavého pohybu /y = 0,05 sin, 5πt) / Stručné řešení: Patí T = 0,8 s = ω =

Více

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211

( x ) 2 ( ) 10.2.15 Úlohy na hledání extrémů. Předpoklady: 10211 10..15 Úlohy na hledání etrémů Předpoklady: 1011 Pedagogcká poznámka: Kromě příkladů a není pro studenty problém vypočítat dervace funkcí. Problémem je hlavně nalezení těchto funkčních závslostí, tam postupujeme

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY

EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY UNIVERZITA OBRANY KATEDRA EKONOMETRIE UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ STUDIUM EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY RNDr. Michal ŠMEREK doc. RNDr. Jiří MOUČKA, Ph.D. B r n o 2 0 0 8 Anotace: Skriptum Ekonomicko-matematické

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb:

MOMENT SETRVAČNOSTI. Obecná část Pomocí Newtonova pohybového zákona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: MOMENT SETRVAČNOST Obecná část Pomocí Newtonova pohybového záona síly můžeme odvodit pohybovou rovnici pro rotační pohyb: dω M = = ε, (1) d t de M je moment vnější síly působící na těleso, ω úhlová rychlost,

Více

1. jarní série. Barevné úlohy

1. jarní série. Barevné úlohy Téma: Datumodeslání: 1. jarní série Barevné úlohy ½ º ÒÓÖ ¾¼½¼ ½º ÐÓ Ó Ýµ Háňa má krychli, jejíž stěny jsou tvořeny barevnými skly. Když se Háňa na svou kostku podívá jako na obrázku, vidí v každé ze sedmi

Více

Absorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE

Absorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE Absorpční vlastnosti plazmatu směsí SF 6 a PTFE N. Bogatyreva, M. Bartlová, V. Aubrecht Faulta eletrotechniy a omuniačních technologií, Vysoé učení technicé v Brně, Technicá 10, 616 00 Brno Abstrat Článe

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G SYLABUS PŘEDNÁŠKY 6a Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě) 4. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G říjen 2014 1 7. POLOHOVÉ VYTYČOVACÍ SÍTĚ Vytyčení je součástí realizace

Více

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506

3.5.8 Otočení. Předpoklady: 3506 3.5.8 Otočení Předpoklady: 3506 efinice úhlu ze základní školy: Úhel je část roviny ohraničená dvojicí polopřímek se společným počátečním bodem (konvexní a nekonvexní úhel). Nevýhody této definice: Nevíme,

Více

VYHLÁŠKA o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Vymezení pojmů

VYHLÁŠKA o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Vymezení pojmů Strana 164 Sbírka zákonů č.22 / 2011 22 VYHLÁŠKA ze dne 27. ledna 2011 o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Český telekomunikační

Více

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií

Vícekriteriální rozhodování. Typy kritérií Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č. Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa

Více

KAPALINY Autor: Jiří Dostál 1) Který obrázek je správný?

KAPALINY Autor: Jiří Dostál 1) Který obrázek je správný? KAPALINY Autor: Jiří Dostál 1) Který obráze je správný? a) b) 2) Vypočti hydrostaticý tla v nádobě s vodou na obrázu: a) v ístě A b) v bodě C c) Doplňové ateriály učebnici Fyzia 7 1 ) V bodě C na obrázu

Více

10.1 Úvod. 10.2 Návrhové hodnoty vlastností materiálu. 10 Dřevo a jeho chování při požáru. Petr Kuklík

10.1 Úvod. 10.2 Návrhové hodnoty vlastností materiálu. 10 Dřevo a jeho chování při požáru. Petr Kuklík 10 10.1 Úvod Obecná představa o chování dřeva při požáru bývá často zkreslená. Dřevo lze zapálit, může vyživovat oheň a dále ho šířit pomocí prchavých plynů, vznikajících při vysoké teplotě. Proces zuhelnatění

Více

TEPELNÉ ÚČINKY EL. PROUDU

TEPELNÉ ÚČINKY EL. PROUDU Univerzita Pardubice Fakulta elektrotechniky a informatiky Materiály pro elektrotechniku Laboratorní cvičení č 1 EPELNÉ ÚČINKY EL POUDU Jméno(a): Jiří Paar, Zdeněk Nepraš Stanoviště: 6 Datum: 21 5 28 Úvod

Více

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ

DYNAMICKÉ MODULY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČENÍ DYNAMICKÉ MODUY PRUŽNOSTI NÁVOD DO CVIČNÍ D BI0 Zkušebnctví a technologe Ústav stavebního zkušebnctví, FAST, VUT v Brně 1. STANOVNÍ DYNAMICKÉHO MODUU PRUŽNOSTI UTRAZVUKOVOU IMPUZOVOU MTODOU [ČSN 73 1371]

Více

:6pt;font-style:normal;color:grey;font-family:Verdana,Geneva,Kalimati,sans-serif;text-decoration:none;text-align:center;font-variant:no = = < p s t y l e = " p a d d i n g : 0 ; b o r d e r : 0 ; t e

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Typ RT/MRT..a Velikost: 30 180. převodový poměr: 5:1 100:1. Výkon: 0,06 15 kw. kroutící moment: 5 2 540 nm

Typ RT/MRT..a Velikost: 30 180. převodový poměr: 5:1 100:1. Výkon: 0,06 15 kw. kroutící moment: 5 2 540 nm Typ RT/MRT..a Velkost: 30 180 převodový poměr: 5:1 100:1 Výkon: 0,06 15 kw kroutíí moment: 5 2 540 nm ŠNEKOVÉ PŘEVODOVKY Obsah Šnekové převodovky 1 Všeobený pops 2 2 Konstruke 2 3 Typové označení 2 4

Více

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu.

Předmluva. Publikace obsahuje množství řešených i neřešených příkladů s výsledky k samostatnému studiu. MATICE, DETERMINANTY A JEJICH VYUŽITÍ V PRAXI Mgr Eva Valentová autorka prof RNDr Jan Pelikán, CSc recenzenti Mgr Eva Pelikánová 04 Obsah Vektory 5 Aritmetické vektory 5 Maticová algebra I 8 Matice a

Více

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:

na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu: Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace

Více

Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin

Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Jaub Vágner, Aleš Hába Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Klíčová slova: vypružení, flexi-coil, příčná tuhost, MKP, šroubovitá pružina. Úvod Vinuté pružiny typu flexi-coil jsou dnes jedním

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA)

4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) 4.4 Exploratorní analýza struktury objektů (EDA) Průzkumová analýza vícerozměrných dat je stejně jako u jednorozměrných dat založena na vyšetření grafckých dagnostk. K tomuto účelu se využívá různých technk

Více

Fyzikální korespondenční seminář KTF MFF UK ročník VIII série V

Fyzikální korespondenční seminář KTF MFF UK ročník VIII série V Zadání Úloha V. 1... vesmírná atastrofa Tř planety o stejné hmotnost M = 10 6 g jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelnía o straně l = 100 Gm [ggametry]. Nemajíce počáteční rychlost nezbývá

Více

APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY

APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY APLIKACE METOD VÍCEKRITERIÁLNÍHO ROZHODOVÁNÍ PŘI HODNOCENÍ KVALITY VEŘEJNÉ DOPRAVY APPLICATION OF METHODS MULTI-CRITERIA DECISION FOR EVALUATION THE QUALITY OF PUBLIC TRANSPORT Ivana Olvková 1 Anotace:

Více

9 Spřažené desky s profilovaným plechem v pozemních stavbách

9 Spřažené desky s profilovaným plechem v pozemních stavbách 9 Spřažené desky s profilovaným plechem v pozemních stavbách 9.1 Všeobecně 9.1.1 Rozsah platnosti Tato kapitola normy se zabývá spřaženými stropními deskami vybetonovanými do profilovaných plechů, které

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly

Více

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem.

HYPOTEČNÍ ÚVĚR. , kde v = je diskontní faktor, Dl počáteční výše úvěru, a anuita, i roční úroková sazba v procentech vyjádřená desetinným číslem. HYPTEČNÍ ÚVĚR Spláceí úvěru stejým splátkam - kostatí auta ÚLHA 1: Mladý maželský pár s dostačujícím příjmy (tz. a získáí hypotéčího úvěru) se rozhodl postavt s meší rodý domek. Podle předběžé kalkulace

Více

Á ř é é ů é ř ř Č ú ů é ř ř é š š é ú ú é ď ř ú ů ň é é é ř š ú řš řš š é ú é ř ř Ž é ř é ř Č é é ř ř é ó ú ú ú ú ř é é ř é ř š é ř ú ů š ř ů š ů úř Ú Ž š š ú ů é ř ř ú é ř ř é é ó ř ú ř ř ú é ř ř é é

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra Matematky Řetězové zlomky Dplomová práce Brno 04 Autor práce: Bc. Petra Dvořáčková Vedoucí práce: doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Bblografcký záznam

Více

Uložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí

Uložení potrubí. Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu. Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Uložení potrubí Postupy pro navrhování, provoz, kontrolu a údržbu Volba a hodnocení rezervy posuvu podpěr potrubí Obsah: 1. Definice... 2 2. Rozměrový návrh komponent... 2 3. Podpěra nebo vedení na souosém

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

Novinky v programu MSklad 1.36

Novinky v programu MSklad 1.36 Novinky v programu MSklad 1.36 Směrnice pro sledování finanční bilance a tisk grafické FB (K13601/15S) V modulu Finanční bilance je umístěn tisk grafického znázornění finanční bilance, a současně je zde

Více

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz)

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz) Programování jako nástroj porozumění matematce (serál pro web modernvyuka.cz) Autor: Radek Vystavěl, vystavel(zavnáč)modernprogramovan.cz Díl 15: Analýza Určtý ntegrál MATEMATIKA Integrál je v běžné řeč

Více

koeficient délkové roztažnosti materiálu α Modul pružnosti E E.α (MPa)

koeficient délkové roztažnosti materiálu α Modul pružnosti E E.α (MPa) Upevňování trubek Všechny materiály včetně plastů podléhají změnám délky působením teploty. Změna délky Δ trubky délky působením změny teploty ΔT mezi instalační a aktuální teplotou trubky je rovna: Δ

Více

1. Člun o hmotnosti m = 50 kg startuje kolmo ke břehu a pohybuje se dále v tomto směru konstantní rychlostí v 0 = 2 m.s -1 vůči vodě. Současně je unášen podél břehu proudem vody, který na něj působí silou

Více

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi: Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Modely operačního výzkumu 1. Studijní obor:

FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Modely operačního výzkumu 1. Studijní obor: FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Modely operačního výzkumu 1 Vypracoval: Studijní obor: Emailová adresa: Datum vypracování: Jana Pospíšilová IM2-KF Jana.Pospisilova@uhk.cz

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Pastorek Kolo ii? 1.0. i Výpočet bez chyb.

Pastorek Kolo ii? 1.0. i Výpočet bez chyb. Čelní ozubení Čelní ozubení s přímými s přímými a šikmými a šikmými zuby [mm/iso] zuby [mm/iso] i Výpočet bez chyb. Pastorek Kolo ii? 1. Informace o projektu Kapitola vstupních parametrů Volba základních

Více

Aplikovaná optika. Optika. Vlnová optika. Geometrická optika. Kvantová optika. - pracuje s čistě geometrickými představami

Aplikovaná optika. Optika. Vlnová optika. Geometrická optika. Kvantová optika. - pracuje s čistě geometrickými představami Aplikovaná optika Optika Geometrická optika Vlnová optika Kvantová optika - pracuje s čistě geometrickými představami - zanedbává vlnovou a kvantovou povahu světla - elektromagnetická teorie světla -světlo

Více

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1

0. 4b) 4) Je dán úhel 3450. Urči jeho základní velikost a převeď ji na radiány. 2b) Jasný Q Q ZK T D ZNÁMKA. 1. pololetí 2 3 1 2 2 3 5 2 3 1 1 ) Urči záladí veliost úhlu v radiáech, víš-li, že platí: a) si cos 0. b) cos, Opravá zouša z matematiy 3SD (druhé pololetí) c) cotg 3 5b) ) Na možiě R řeš rovici cos cos 0. 4b) 3) Vzdáleost bodů AB elze

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ PŘEDEPISOVÁNÍ PŘESNOSTI ROZMĚRŮ,

Více

Měření základních vlastností OZ

Měření základních vlastností OZ Měření základních vlastností OZ. Zadání: A. Na operačním zesilovači typu MAA 74 a MAC 55 změřte: a) Vstupní zbytkové napětí U D0 b) Amplitudovou frekvenční charakteristiku napěťového přenosu OZ v invertujícím

Více

Lineární pohon s kuličkovým šroubem

Lineární pohon s kuličkovým šroubem Veličiny Veličiny Všeobecně Název Typ Znača Jednota Poznáma ineární pohon s uličovým šroubem OSP-E..SB Upevnění viz výresy Rozsah teplot ϑ min C -20 ϑ max C +80 ineární pohon s uličovým šroubem Série OSP-E..SB

Více

Řešení: 20. ročník, 2. série

Řešení: 20. ročník, 2. série Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme

Více

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny

Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci

Více