Metody operačního výzkumu přednášky

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Metody operačního výzkumu přednášky"

Transkript

1 PEF - KOSA - Předměty - MOV4 MOV5syl - všehno předmětu pef.zu.z/osa see Předměty u zoušy - zajímá jí postup, numeré hyby nevadí 2 evdenčníh testů - na záladní vě 2 bodů za dobrovolné domáí úoly (poud bude málo bodů z testů) Modely operačního výzumu Optmalzační modely Dstrbuční a dopravní modely Plánování a řízení projetů eore rozvrhování Modely struturální analýzy Smulační a stohasté modely eore rozhodování a teore her Optmalzační modely Cílem je najít řešení splňujíí omezujíí podmíny a optmalzujíí hodnotu rtéra. Dstrbuční a dopravní modely Řešení problémů spojenýh s dopravou, dstrbuí nebo přřazováním. Plánování a řízení projetů Umožňují časovou, náladovou a zdrojovou analýzu projetů - proesů, ve terýh probíhá víe operaí, teré jsou na sobě závslé eore rozvrhování Časové a prostorové uspořádání průmyslovýh operaí z mnoha různýh hledse. Modely struturální analýzy Blanují vztahy mez produí jednotlvýh hospodářsýh odvětví a vyhledávají rovnovážný stav systému. Smulační modely Napodobují jednotlvé roy hování zoumaného systému. Stohasté modely Popsují výsledy systémů se stohastým hováním, nolv jejh jednotlvé roy. eore rozhodování a teore her Modelování onfltníh stuaí. Vznly z potřeby modelovat hování hráčů hazardníh her. OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh pef-nfo.wz.z - - Chrsty

2 Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru př. půjdu s oupt rohlíy h mn 2, jeden stojí,5 2 ena mn,5 mnmum v - - to není možné, proto omezení defnčního oboru - úloha na vázaný etrém y,5 2 Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (, 2,..., n ) R n }, f() a q () jsou reálné fune víe proměnnýh a je prve vetorového prostoru R n. Optmalzační úloha Záladní prvy optmalzačního modelu proměnné - proesy omezujíí podmíny rterální - účelová fune Záladní pojmy přípustné a nepřípustné řešení optmální řešení Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody pef-nfo.wz.z Chrsty

3 Nalezení přípustného řešení Problém - neonvenost množny přípustnýh řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, ja najít to optmální. Nalezení etrému účelové fune Problém - neonvenost účelové fune - loální a globální etrémy. Kterým směrem postupovat optmálnímu řešení? hledáme-l mnmum - neonvenost hledáme-l mamum - neonávnost Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Numeré metody Gradentní metody + + λ.s s...směr, λ...doba,...bod ze terého vyjdeme, +...bod de sončíme Penalzační a barérové metody mn {f() + p () R n } Heursté metody metoda OP WENY pef-nfo.wz.z Chrsty

4 LINEÁRNÍ OPIMALIZAČNÍ MODEL Obsah Cíl modelu Defne modelu Grafé zobrazení modelu Záladní pojmy Záladní věty Cíl lneárního optmalzačního modelu Optmální rozsahy proesů Splnění omezení Mamalzae č mnmalzae hodnoty rtéra Přílad Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? Defne modelu Všehny prvy modelu jsou vyjádřeny pomoí lneárníh funí z( ) MIN A b -> rtérum -> optmalzační podmíny... ena proměnné, rterální oefent proměnné - proesy (jednoty) omezujíí podmíny - zformulujeme pomoí lneárníh rovn a nerovn rtérum - taé podle lneární fune lneární fune a lneární rovne a nerovne Přílad - počet rozřezanýh dese podle plánu A 2 - to samé podle plánu B 3 - to samé podle plánu C MIN ,2, > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

5 Grafé zobrazení modelu Prostor řešení - prostor proměnnýh Zobrazují se jednotlvé omezujíí podmíny Krterální fune - směr růstu Metody operačního výzumu Konvení polyedr Polyedrý užel Konvení polyedr Δf() Polyedrý užel Δf() Přílad 3 Prostor řešení neuvažujeme řezný plán A X opt obdélníy čtvere rtérum pef-nfo.wz.z Chrsty

6 Grafé zobrazení modelu Prostor požadavů - prostor vetorů oefentů jednotlvýh proměnnýh transformovanýh na jednotovou enu Složením vetorů musí být vetor pravýh stran n j a j j b Optmální řezný plán Prostor požadavů b 5 5 Dvě možnost Záladní pojmy Přípustné řešení - množna přípustnýh řešení - všehna řešení, terá splňují omezujíí podmíny včetně podmíny nezápornost Bázé řešení (vrhol) - řešení, ve terém požadavové vetory nenulové proměnné jsou lneárně nezávslé - odpovídají vrholům přípustnýh řešení Optmální řešení - nejlepší přípustné řešení Alternatvní řešení - další optmální řešení Suboptmální řešení - pod optmálním - blíží se optmálnímu, ale hodnota rtéra je horší Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení pef-nfo.wz.z Chrsty

7 Záladní věty Metody operačního výzumu Má-l úloha LP přípustné řešení, má přípustné bázé řešení. Má-l úloha LP optmální řešení, má optmální bázé řešení. Řešení úlohy LP leží vždy na hran množny přípustnýh řešení. Má-l úloha LP víe než jedno optmální řešení řešení, je optmálním řešením jejh onvení ombnae. SIMPLEXOVÝ ALGORIMUS Obsah Defne lneárního optmalzačního modelu Soustava omezujííh podmíne Smpleový algortmus Řešení modelu Lneární optmalzační model Řeštelnost modelu Řešení neestuje - neestuje řešení omezujííh podmíne - rterální fune je neomezená v požadovaném směru Estuje právě jedno řešení - jedné a bázé Estuje neonečně mnoho řešení - dvě a víe bázá optmální (alternatvní) řešení Soustava omezujííh podmíne Numery umíme řešt pouze soustavy lneárníh rovn, nolv nerovn Jordanova elmnační metoda bázé řešení A b převedeme na A ~~ b Kapatní podmíny A b A + Ed b, d doplňové proměnné A Ed b Požadavové podmíny A b A - Ed + Ep b, d doplňové proměnné A -Ed Ep b pef-nfo.wz.z Chrsty

8 Podmíny v rovnovém tvaru b, p pomoné proměnné ostup řešení modelu IMPLEXOVÝ ALGORIMUS íh podmíne - Jordanova elmnační metoda ordanova elmnační metoda ráenou hodnotou řídíího prvu.. ázé řešení soustavy rovn - mate soustavy obsahuje jednotovou submat určení, blanční a pod. A b A + Ep P S - Nalezení řešení soustavy omezují - Nalezení optmálního řešení J Povolené elmnační úpravy Násobení řídíí rovne přev Přčtení vhodného násobu řídíí rovne upravované rovn B Kanoný tvar Proměnné s jednotovým vetory - bázé Jestlže A (A N, E), ( N, B ) (, b), pa B A. A N. N + E. B b B est optmalty? ární ombnae j... ena testované proměnné z j - j né v mat Celov o neladné) odvození Estuje lepší řešení Cena evvalentní lne z j - j Σ α j. - j sutečná ena nžší než bázá α j... sloupe testované proměn z j - j sutečná ena vyšší než bázá á změna eny - j.(z j - j ) Nutně musí být j nezáporné (neb - N B A N E b A Ep b p N ), ( ), β β + + p p p p p p ) ( p p p ),,, ( ), ( α β ) ( ) ( ),, ( ) ( p p p p α β α β B B B B N p p z z z ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + α α β α β B B B B p p ( B z B B B B N B B N B N B N z N N pef-nfo.wz.z Chrsty

9 est přípustnost Splnění omezujííh h podmíne Nezápornost řešení pro vybrané j b - α j. j - odvození α j >... j b j / α j α j... platí vždy β α β α, B. Metody operačního výzumu poud α pa β α S mpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty est přípustnost Nové bázé řeše ní - JEM S mpleová tabula A B b Optmální řezný plán 2 3 d d2 p p2 b p p , p 5 4-2,42857, ,2857,2857 5, , , ,2857-9,9743 5,74 2,8 -,2,2 2 25,2,2857 -,2857 -,2857,2857 2, ,2857 -,743 -,2857-9, , ,8574 pef-nfo.wz.z Chrsty

10 Optmální řezný plán 2 3 d d2 b 2,8 -,2 2,2,2857 -,2857 2, ,743 -, , ,3429,4286 8, , ,4286 4,2857 Optmální řešení: 2,857 dese podle prvního řezného plánu - alternatva dese 2 dese podle druhého řezného plánu - alternatva 8,57 dese dese podle třetího řezného plánu - alternatva 4,28 dese Optmalzae portfola dománost Dománost he uložt své volné fnanční prostředy do něterého z následujííh atv: - ae - termínovaný vlad - podílový lst podílového fondu nebo je nehat doma v hotovost K dspoz má Kč. Portfolo nesmí přeročt stanovenou míru rza, musí být dostatečně lvdní a dománost musí mít požadovanou úroveň zušeností s jednotlvým typy produtů. Cílem je dosáhnout mamálního výnosu elého portfola. Podladové údaje jsou v tabule: Na Kč Ae ermínovaný vlad Podílový lst Slamní Omezení Jednota Rzo,5, ma. body Lvdta 8 2 ma. 5 dny Zušenost, 8, mn. 3 body Zs,2,7, 5, MAX t s. Kč pef-nfo.wz.z - - Chrsty

11 .. Ae 2.. V 3.. PF 4 slamní Kč Kč Kč Kč,2,, d d2 d3 d4 p4 b d d2,5, d p4, 8, zj - j -2,2-8 -2, d,99,2,99, -, d2,42, -, 7 666,667 d , ,,8, -,, zj - j -,9-7,2 -,4 -,, d,98,99 -, -, , d2 9,98,99 -, -, 688, ,256-7,7,7 2,6,, 27, , ,3 - -,, 2977, , zj - j 999,9 43, -,4, -,, 35,75 d -8,93 -,99,9 -,9 9963,6 625,5 3, -, -, 692, ,7 2 -,6 -,, - 2, , ,, 2977,9 --- zj - j,47,7,44 - -,9,9 3724,4 d -98,8-8,96 -,2 99, d ,4 -, ,33-295,7 2,6,, 27, ,7 9,94 -,3 986, -355 zj - j 99,82,7 8,96 -,2 9889,83 d d ,9-7 d zj - j, , , ,9-7 B B-, pef-nfo.wz.z - - Chrsty

12 ANALÝZA VÝSLEDKŮ LINEÁRNÍHO OPIMALIZAČNÍHO MODELU Obsah Formulae modelu Výpočet modelu Optmální řešení Alternatvní řešení Suboptmální řešení Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám pravýh stran Změny formulae modelu - rozsahu modelu Formulae (defne) modelu Proměnné - proesy (jednoty) Omezujíí podmíny - soustava lneárníh rovn a nerovn Krtérum - účelová fune (lneární) Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? > 35 5 > 2 MIN, 2, 3 > Smpleový algortmus Podmíny algortmu:, b, anoná báze Smpleová tabula est optmalty - proměnná zařazovaná do báze - vybere proměnou, jejíž ena je výhodnější než ena bázýh proměnnýh est přípustnost - proměnná vyřazovaná z báze - terý proes bude novým výhodným proesem nahrazen JEM (Jordanova elmnační metoda) - nové bázé řešení Jordanova elmnační metoda - máme pouze dva způsoby ja to provést - řídíí řáde vydělíme řídíím prvem - jedná povolené operae s řídíím řádem - e aždému jnému řádu přčteme řídíí řáde - počítáme špatně - dyž vyjde záporná hodnota na pravé straně - dyž zmzí anoný tvar anoná jednotová báze změna báze nahrazení jednoho bázého vetoru druhým Stentzova věta o výměně mate bázýh vetorů B mate přehodu od báze báz B - pef-nfo.wz.z Chrsty

13 Smpleový algortmus - najít optmální řešení za danýh omezujííh podmíne Metody operačního výzumu Algortmus ončí nalezením optmálního řešení, poud není v báz pomoná proměnná, je to optmální přípustné řešení modelu, poud pomoná proměnná v báz zůstala a je nenulová, neestuje přípustné řešení problému, nebo zjštěním, že účelová fune je neomezená poud nelze najít proměnnou pro vyřazení z báze. Analýza výsledů řešení Do modelu můžeme přdat další podmínu, rovn účelové fune z a po úpravě z z > 35 5 > 2 - -, 2, 3 > Analýza smpleové tabuly Vlv proměnné 3 na optmální řešení Inverzní mate báze B d d2 p p2 b 2,,,8 -,2,,2, 2,,,,2,3 -,3 -,3,3 2,86 z,,, -,7 -,3-9,83-9,97 22,86 Mate Hodnoty z j - j Hodnoty bázýh proměnnýh Hodnota rtéra B A B ~ ( A, E) ( B ~ A, B E) ( B ~ A, B Řešení modelu Optmální řešení - bázé řešení s optmální hodnotou rtéra ve výsledné smpleové tabule Alternatvní řešení - aždé další bázé nebázé optmální řešení, lze odvodt z výsledné smpleové tabuly Suboptmální řešení - bázé nebázé řešení problému s dostatečně dobrou hodnotou rtéra, odvozuje se z výsledné smpleové tabuly Další řešení modelu Interval přípustnýh hodnot nebázé proměnné j, mn α αj j > β est přípustnost Nové řešení bázé nebo nebázé ) pef-nfo.wz.z Chrsty

14 Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 první řezný plán druhý řezný plán třetí řezný plán Optmální řešení 2,86 dese 2 dese dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 2, -4,,, -,3, 8,57 3, 5,,,,4 -,4 4,29,,, -,7 -,3 22,86 Optmální řešení Alternatva první řezný plán 2,86 dese dese druhý řezný plán třetí řezný plán 2 dese dese 8,57 dese 4,29 dese Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Suboptmální řešení první řezný plán 2,86 -,3 d druhý řezný plán 2 +,2 d přeročení obdélníů z n tervalu, 95.3 Analýza tlvost vzhledem změnám vstupníh dat Analýza tlvost vzhledem změnám en Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Analýza tlvost vzhledem změnám en Změnu sledované eny j vyjádříme jao + λ j Přepočítáme rt erální řáde a zísáme hodnoty s parametrem λ est optmalty - soustava lneárníh nerovn s parametrem λ Interval stablty - nemění se báze řešení an hodnoty proměnnýh, mění se hodnota rtéra Optmální řezný plán 2 3 d d2 b,,,,, 2,,,,8 -,2, 2,,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám hodnot pravýh stran Změnu sledované pravé strany b vyjádříme jao b + μ Přepočítáme vetor pravýh stran a zísáme hodnoty s parametrem μ est přípustnost - soustava lneárníh nerovn s parametrem μ Interval stablty - nemění se báze řešení, mění se hodnoty proměnnýh a hodnota rtéra pef-nfo.wz.z Chrsty

15 Přepočet pravýh stran Řešení soustavy lneárníh rovn pomoí JEM - A b - báze B - B - A B - b Parame trzovaný vetor pravýh stran - b + µ bude přepočítán B - (b + µ) Optmální řezný plán Metody operačního výzumu 2 3 d d2 b,,,,, p, 5, 4, -,,, p2 35, 5,,, -, 2, 349, 99, 49, -, -, 3, p, 5, 4, -,,,,,4,3, -,3 5,7, 49,4 39,3 -, -,3 5,7 2,,,8 -,2, 2,,,,2,3 -,3 2,86,,, -,7 -,3 22,86 Analýza tlvost vzhledem změnám oefentů v omezujííh podmínáh Změna oefentu bázé proměnné - tvoří nový vetor s ostatním bázým vetory opět báz? - Nejlépe přdat nový vetor, novou proměnnou Změna oefentu nebázé proměnné - - Přepočítat vetor pomoí B, test optmalty a případně další výpočet Změny formulae modelu - rozsahu modelu Přdání podmíny Vynehání podmíny Přdání proměnné Vynehání proměnné ( bázá, nebázá) EORIE DUALIY Obsah Dualta Dualta lneárníh modelů vorba duálního modelu Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Duální smpleová metoda Dualta Vztah mez dvěma objety Umožňuje na záladě vlastností jednoho odvodt vlastnost druhého Mamalzační optmalzační model a mnmalzační optmalzační model pef-nfo.wz.z Chrsty

16 Dualta lneárníh modelů A b A b Dualta lneárníh modelů Mate oefentů A v prmárním modelu a mate A v duálním Vetor pravýh stran b v prmárním modelu a vetor en b v duálním Vetor en v prmárním modelu a vetor pravýh stran v duálním yp omezení a typ proměnnýh!!!!!!!!!!!!!! vorba duálního modelu - pravdla pro tvorbu MAX A b A b A b A b lbovolné Ma MIN A b y y y lbovolné y A y A y A y b y Mn Optmální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere Kol mnmálně rozřezat dese? MODEL 2 3 y 5 4 > y > 2 MIN, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

17 Optmální řezný plán Prmární model Duální model MIN.y + 2.y2 MAX y + 35.y y + 5.y2,2,3 4.y +.y2 y,2 Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Nehť prmární úloha je mnmalzační a p je její přípustné řešení, nehť současně y p je přípustné řešení příslušné duální úlohy, pa platí p b y p. Mnmum rterální fun e je omezeno zdola mamem sdružené rterální fune a naopa. aže estuje onečné optmální řešení. - Hodnota účelové fune mn. úlohy je vyšší nebo rovna než hodnota fune ma. úlohy Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární úloha má optmální řešení o právě tehdy, dyž má duální úloha optmální řešení y o. Naví platí o b y o. Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y, pro terá platí b y, pa jsou tato řešení optmálním řešením obou úloh. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Věta o dualtě Pro dvoj duálně sdruženýh úloh platí buď: obě úlohy mají přípustná řešení, pa mají optmální řešení nebo jedna z úloh přípustné řešení nemá, pa druhá nemá optmální řešení (buď taé nemá přípustné řešení nebo má neomezenou účeovou fun) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Krtérum optmalty Nehť má prmární úloha přípustné řešení a duální úloha přípustné řešení y. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí y (A - b) (A y - ) Je-l pr oměnná bázá, odpovídajíí podmína musí být splněna jao rovne, je-l nebázá, podmína musí platt. Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Prmární a duální přípustnost řešení lneární optmalzační úlohy Prmárně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny nezápornost (test přípustnost). Duálně přípustné řešení splňuje všehny omezujíí podmíny a podmíny optmalty (test optmalty). pef-nfo.wz.z Chrsty

18 Optmální řezný plán Prmární model MIN ,2,3 duálně přípustné bázé řešení (,, ), d (-, -2) test optmalty z- (-, -, -,, ) Duální model.y + 2.y 2 MAX.y + 35.y 2 5.y + 5. y 2 4.y +.y 2 y,2 prmárně přípustné bázé řešení y (, ), d (,, ) test optmalty z- (-, -2,,, ) Vztahy dvoje duálně sdruženýh modelů Grafá nterpretae Dualta prostoru řešen í a prostoru požadavů lneární úlohy Prostor řešení prmární úlohy splývá s prostorem řešení duální úlohy a naopa. Grafá nterpretae Prostor požadavů prmární úlohy 2 3 b d d2 Dualta prostoru řešení a prostoru požadavů Prostor řešení duální úlohy,3,25 9 4,2,5,. omez 2. omez 3. omez Gradent 9,5 4,5,,5,2,25, pef-nfo.wz.z Chrsty

19 Estene řešení sdruženýh modelů Prmární úloha přípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení nepřípustné řešení Duální úloha přípustné řešení nepřípustné řešení nepřípustné řešení přípustné řešení optmální řešení Duální smpleová metoda Prmární SA - prmárně přípustné řešení prmárně duálně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zlepšuje Duální SA - duálně přípustné řešení duálně prmárně přípustné řešení optmální řešení - hodnota rtéra se zhoršuje Duální smpleová metoda Podmíny - duálně přípustné a prmárně nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze r mn est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze Optmální řezný plán Prmární smpleová metoda Podmíny - prmárně přípustné a duáln ě nepřípustné řešení omezujííh podmíne v rovnovém tvaru est optmalty - volba proměnné vstupujíí do báze pro mamalza z mn z z < s s α α rj < rs z j mn α 2 3 d d2 b d d d ,4,3 -,3 5,7 -,86 -,69 -,3 5,7 2,8 -,2 2,2,3 -,3 2,86, -,7 -,3 22,86 s rj j s z < j j j j est přípustnost - volba proměnné vystupujíí z báze b r b mn s > α α α rs s pef-nfo.wz.z Chrsty

20 OBECNÉ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Hstorá poznáma Úloha na volný etrém Úloha na vázaný etrém Optmalzační úloha Klasfae optmalzačníh úloh Možnost řešení optmalzačníh úloh Hstorá poznáma Metody operačního výzumu Nalezení etrému fune pomoí metod matematé analýzy - dervae atd. Praté aplae - omezení defnčního oboru fune Úloha na volný etrém mn {f() D f } de D f je defnční obor fune f(). mnmální hodnota fune na elém defnčním oboru Úloha na vázaný etrém mn {f() M } úloha nalezení etrému fune podél řvy. Optmalzační úloha mn {f() q (),,..., m, (,,..., ) R n 2 n }, f() a q oměnnýh a je prve vetorového prostoru R n () jsou reálné fune víe pr. Klasfae optmalzačníh úloh Z hledsa počtu rtérí jednorterální optmalzační model, víerterální optmalzační model. Z hledsa typu rtéra mnmalzační model f() MIN mamalzační model f() MAX ílový model dosažení íle f() h Podle typu použtýh funí lneární optmalzační model nelneární optmalzační model onvení model - vadratý onvení model neonvení model. Možnost řešení optmalzačníh úloh Nalezení vetoru splňujíího omezujíí podmíny q (),,..., m Nalezení mnmální hodnoty účelové fune f(). Grafý přístup Analyté metody Numeré metody - lneární modely - jsou tam jen lneární fune - nelneární modely - alespoň jedna nelneární fune - onvení model - model jehož množna řešení je onvení, onvení rterální fune u MIN, onávní MAX pef-nfo.wz.z Chrsty

21 Nalezení přípustného řešení Nalezení etrému účelové fune Analyté metody Lagrangeova fune L(,u) f() + u.q() Sedlový bod L( opt, u) L( opt, u opt ) L(, u opt ) Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Wolfeho algortmus pro řešení vadratýh optmalzačníh úloh Kuhn-uerovy podmíny Kuhn-uerovy podmíny - vlastnost sedlového bodu Konvení optmalzační úloha má řešení právě tehdy, dyž estuje vetor u opt a platí opt opt u opt L( opt, uopt ),,...,m u u L( opt, uopt ).,,...,m u opt L( opt j opt, u j opt L( opt, u. j ), j,...,n opt ), j,...,n Kvadratá úloha mn { C + p A b, j, j,..., n, R n } C je mate oefentů vadratýh členů účelové fune, p je vetor oefentů lneárníh členů v účelové fun, A je mate oefentů soustavy omezujííh podmíne a b je vetor pravýh stran těhto podmíne pef-nfo.wz.z Chrsty

22 Wolfeho podmíny Metody operačního výzumu Úprava Kuhn-uerovýh podmíne pro vadratou optmalzační úlohu lneární podmíny A + y b -C - A u + v p, u, v, y nelneární vadraté podmíny u opt y opt + opt v opt Pomoná optmalzační úloha lneární omezujíí podmíny A + y b, C + A u - v + w -p podmíny nezápornost, u, v, y, w účelová fune w + w w n mn. dodatečná nelneární podmína u opt y opt + opt v opt Řešení pomoné optmalzační úlohy Smpleový algortmus pro lneární část Rozšíření testu optmalty vstup proměnnýh do báze Výpočet se lší podle hodnot ve vetoreh p a b Wolfeho algortmus. ro Kuhn-uerovy podmíny 2. ro Wolfeho podmíny 3. ro Pomoná lneární optmalzační úloha 4. ro Optmální řešení původní vadraté úlohy Vetor opt zísaný jao řešení Wolfeho podmíne je optmálním řešením původní vadraté optmalzační úlohy. Hodnotu rterální fune vypočítáme dosazením, tedy z f( opt ) C + p opt. Numeré metody Gradentní metody + + λ.s Penalzační a barérové metody mn {f() + p ) R n ( } Heursté metody DISRIBUČNÍ A DOPRAVNÍ SYSÉMY Obsah Dopravní problémy Zobeněné dstrbuční problémy Přřazovaí problémy Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Metody nalezení výhozího řešení pef-nfo.wz.z Chrsty

23 Dopravní problémy Sutečná přeprava zboží, materálu, ldí o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja (čím) - ndey - Přes o - mezslady - stupně - Kam spotřebtelé -Co (ol) - podle apat a požadavů M S Jednostupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá - Odud - dodavatelé - Kam spotřebtelé - Co (ol) Dopravní (dvoundeová) tabula D S Přeprava e spotřebte lům Přeprava od dodavatelů Dvoustupňová dvoundeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů přes mezslady místům spotřeby jedným způsobem o, o odvážíme nebo přvážíme se sčítá D - Odud - dodavatelé - Přes o - mezslady - Kam spotřebtelé M - Co (ol) Dvoustupňová (dvoundeová) dopravní tabula S pef-nfo.wz.z Chrsty

24 Přeprava mezsladům Přeprava od dodavatelů Přepravaa od mezsldů Přeprava e spotřebtelům Jednostupňová tříndeová úloha Přeprava zboží, materálu, ldí z míst zdrojů místům spotřeby různým způsoby o, o odvážíme nebo přvážíme se jednoduše sčítá D - Odud - dodavatelé - Ja nebo čím - Kam spotřebtelé - Co (ol) S Jednostupňová tříndeová dopravní tabula Přeprava e spotřebte lům Způsob přepravy Přeprava od dodavatelů Zobeněné dstrbuční problémy Rozdělení práe, materálu apod. Dohází e změně jednote sčítání rozdělovaného množství s různým oefenty pef-nfo.wz.z Chrsty

25 Složtější problémy - obený lneární model Rozdělení práe strojů na obdělání polí (oefenty sčítání výon strojů) Přřazovaí problémy Kapaty požadavy jsou jednotové přřazení buď je nebo není Většnou stejný počet zdrojů a spotřebtelů Rozdělení praovníů po jednom na jednotlvé práe, jejh výon, shopnost jsou různé Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j - hledáme - nde dodavatel, j - nde spotřebtele Mnmalzae eny přepravy - apaty - ol terý dodavatel může dodat služeb atd. Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností Z terého sladu mají být podny zásobovány? - tunolometry - dopravní náročnost je vyjádřená množstvím tun na lometr (tuny rát lometry) Jednostupňová dopravní úloha Nelze přeročt an apaty an požadavy Podmíny dodavatelů - nedodá ví než má Σ j j a,,,m Podmíny spotřebtelů - nepřjme ví než he Σ j b j, j,,n Nezápornost j Krtérum Σ Σ j j. j MIN D D D S S S S Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Matematý model Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN S pef-nfo.wz.z Chrsty

26 j MIN Matové shéma modelu m... mn a a 2... b b 2... Řeštelnost dopravního modelu Frobenova věta - požadave vyváženost Omezujíí podmíny jsou vždy řeštelné Bázé řešení - počet bázýh proměnnýh Lneární závslost tras Vyváženost systému elová apata dodavatelů se rovná elovému pozadavu spotřebtelů Σ j a Σ j b j ftvní dodavatel - a m+ Σ j b j - Σ j a (hybí dodávy) ftvní spotřebtel - b n+ Σ j a - Σ j b j (hybí spotřeba) Jednostupňová dopravní tabula Řády - dodavatelé Sloupe spotřebtelé Pole - trasa P P2 P3 S S Systém nutno vyvážt Výhozí řešení Záladní prnp - volba jednotlvýh tras a vyčerpání dodávy č uspoojení požadavu Obeně v aždém rou je vyčerpán dodavatel nebo naplněn požadave Volba trasy Mamální přepravované množství je dáno zbývajíí apatou dodavatele nebo zbývajíím požadavem spotřebtele Úprava apat nebo dodavatelů Výhozí řešení Metody, ja postupně vybírat trasy pef-nfo.wz.z Chrsty

27 Metoda severozápadního rohu Indeová metoda Vogelova apromační metoda Habrova frevenční metoda Nejjednodušší metody Metoda severozápadního rohu Vždy se volí volná trasa na severozápadě tabuly Indeová metoda (nejmenší eny) Vždy se volí volná trasa s nejnžší sazbou Vogelova apromační metoda Volba tras s největší dferení a nejlepší sazbou Mnmalzae ztráty z použtí nevhodného spoje - trasy Vogelovy dferene - rozdíl mez nejlepší a druhou nejlepší sazbou Čím vyšší dferene, tím větší ztráta hrozí Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM P P2 P3 PF Dferene S , 5, 7 S , Dferene DOPRAVNÍ ÚLOHA Postup řešení a analýza výsledů Obsah Jednostupňová dopravní úloha Model a jeho řeštelnost Duální model est optmalty est přípustnost Algortmus řešení Analýza výsledů Jednostupňová dopravní úloha Dodavatelé D,, D m - apaty a Spotřebtelé S,, S n - požadavy b j rasa (,j) jedné spojení D a S j Ohodnoení tras dopravní nálady - j Přepravované množství j Mnmalzae eny přepravy pef-nfo.wz.z Chrsty

28 Rozvoz hnojv Dva slady apaty 5, 2 Podny 8, 6, 5 Mate vzdáleností Z terého sladu mají být podny zásobovány? Jednostupňová dopravní úloha Předpolad - rovnost apat a požadavů - vyváženost dopravního systému Σ j j a,,,m Σ j b j, j,,n j Σ Σ j j. j MIN Matematý model j MIN Rozvoz hnojv Vyváženost systému Výhozí řešení - VAM Metody operačního výzumu P P2 P3 PF Dferene S , 5, 7 S , Dferene Matové shéma modelu m... mn u u 2... a a 2... v v 2... b b m... mn Duální model u + v j j,,..., m, j,...,n Σ a.u + Σ j b j.v j MAX pef-nfo.wz.z Chrsty

29 Krtérum optmalty Metody operačního výzumu Využtí výsledů teore dualty v dopravníh modeleh Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a ní duální úloha přípustné řešení u,v. ato řešení jsou optmálním řešením obou úloh právě tehdy, dyž pro ně platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) Krtérum optmalty Využtí v algortmu tato Nehť má dopravní úloha přípustné řešení a nehť platí u (Σ j j - a ) v j (Σ j - b j ) j (u + v j - j ) oto řešení je optmální řešení dopravní úlohy právě tehdy, dyž u,v jsou přípustným řešením duální úlohy. est optmalty řešení Lze najít lepší řešení - vztah mez sazbam Metoda MODI a) u + v j j pro (,j) B B je množna bázýh tras, bázýh proměnnýh j b) z j - j u + v j - j pro všehny trasy (,j) Cena evvalentní ombnae přeprav z rs r + j ls trasa (r,s) je nepoužtá trasa, z rs vyhází z možné úpravy řešení Degenerae řešení Degenerované řešení Nedegenerované řešení Odstranění degenerae Metoda MODI a degenerae řešení - počet duálníh proměnnýh m+n - počet bázýh proměnnýh - řešení soustavy m+n rovn pro m+n proměnnýh u + v j j pro (,j) B Rozvoz hnojv est optmalty P P2 P3 PF S S2 první ro druhý ro Nové řešení - test přípustnost u + v v 6... atd. ověření, že platí u + v j j pro všehna, j Změna přepravního plánu - vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras - od aždého dodavatele v sumě stejně - aždému spotřebtel v sumě stejně - v aždém řádu a sloup dopravní tabuly musí být suma změn rovna nule Σ j Δ j,,,m Σ Δ j, j,,n pef-nfo.wz.z Chrsty

30 Nové řešení - test přípustnost Změna přepravního plánu vybranou trasou se poveze víe - úprava ostatníh tras Metody operačního výzumu v dopravní tabule musí být v aždém řádu a aždém sloup dvě trasy pro vyrovnání změny nebo žádná Dodavatel Spotřebtel Rozvoz hnojv Nalezení nového řešení M P P2 P3 PF S M S Rozvoz hnojv est optmalty Optmální řešení -6 S 8 P P2 P3 PF S Algortmus řešení Podmíny algortmu - vyváženost Výhozí bázé řešení est optmalty - metoda MODI est přípustnost - Dantzgovy oruhy Přehod na nové bázé řešení Analýza výsledů Optmální řešení - odud, am, ol a zač? Alternatvní řešení Suboptmální řešení Perspetvta tras - suboptmální řešení - analýza hodnot z j - j Propustnost tras - substtue tras - možnost nebázýh přeprav - uzavřené oruhy Rozvoz hnojv Analýza optmálního řešení Zásobování S - P, P2, nevyužtý S2 - P3, nevyužtý Dopravní nálady P P2 P3 PF S 8 S pef-nfo.wz.z Chrsty

31 Rozvoz hnojv Analýza propustnost tras S - P3: propustnost, substtuuje trasu S-PF S2 - P propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF S2 - P2 propustnost 5, substtuuje trasu S2-PF vysoá propustnost - 5 a víe nízá propustnost - méně než 5 S 8 P P2 P3 PF S Rozvoz hnojv Analýza perspetvty řešení hodnoty, 2, 6, 9 vysoe perspetvní trasa... perspetvní trasa... neperspetvní trasa... S S2 P P2 P3 PF Rozvoz hnojv Analýza perspetvty a propustnost tras P P2 P3 PF S-persp S2-persp S-prop S2-prop DÚ: Do příštího pátu, zadání s vymyslet VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení pef-nfo.wz.z Chrsty

32 Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z ( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Metody operačního výzumu Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Záladní pojmy Ideální a bazální varanta - bazální řešení - má nejhorší hodnoty o terýh jsme ohotn uvažovat Domnane řešení - jedno řešení domnuje druhé řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I pef-nfo.wz.z Chrsty

33 Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 - a a a2 jsou nedomnovaná a domnují a3 a a4 - a3 a a4 jsou vzájemně nedomnovaná - a a a2 jsou paretovsým řešením D a 3 a 4 - D - bazální řešení - H - deální řešení - ompromsní řešení - blízé deálnímu - vybráno bude řešení podle toho, teré rtérum je pro nás důležtější Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - preferene mez rtér - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma - vyjádření pořadím ardnální nformae - vanttatvní - víme o je důležtější a olrát Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j Dílčí optmalzae ( ) j MAX A b Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému pef-nfo.wz.z Chrsty

34 Dílčí řešení Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam v j j Z( ) v C MAX j A b Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

35 Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a a a 2 z 2 z 2 () z 2 z pef-nfo.wz.z Chrsty

36 Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena y + d d + y Cílové programování ;d,d + d d, + Z(d) (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + d - a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + pef-nfo.wz.z Chrsty

37 Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cíl 3/ VÍCEKRIERIÁLNÍ ANALÝZA VARIAN Obsah ypy modelů víerterálního rozhodování Záladní pojmy ypy nformaí Cíl modelů Užte, fune užtu Grafé zobrazení Metody víerterální analýzy varant ypy modelů Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model y( ) MAX y ( ) MIN A b pef-nfo.wz.z Chrsty

38 Model víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí a a a 2 p f y y 2 yp f y y y p2 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení f y y 2 y p Ideální a bazální varanta Metody operačního výzumu Ideální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované ve všeh rtéríh současně nejlepším možným hodnotam. - varanta H s ohodnoením (h,..., h ) Bazální řešení (varanta) je hypoteté nebo reálné řešení, reprezentované nejhorším ohodnoením podle všeh rtérí. - varanta D s ohodnoením (d,..., d ). Domnane řešení V této defn předpoládáme všehna rtéra mamalzační. Varanta a domnuje varantu a j, jestlže pro její ohodnoení platí (y, y 2,, y ) (y j, y j2,, y j ) a estuje alespoň jedno rtérum f l, že y l > y jl. Řešení je nedomnované (efetvní) řešení problému, poud neestuje žádné jné řešení, teré by jej domnovalo. Paretovsé řešení Varanta (řešení), terá není domnovaná žádnou jnou varantou, je nedomnovaná varanta, často se též nazývá efetvní nebo paretovsá. (Wlfredo Paretto) Kompromsní řešení Kompromsní varanta (řešení) má od deální varanty (řešení) nejmenší vzdálenost podle vhodné metry (měřenou vhodným způsobem). Kompromsem může být zanedbání něterýh rtérí. Cíl řešení modelů Nalezení jedné ompromsní varanty, ompromsního řešení (Nalezení určtého počtu ompromsníh varant) Rozdělení řešení na efetvní a neefetvní Uspořádání všeh řešení od nejlepšího nejhoršímu Problémy umožňujíí ompenza a problémy nepovolujíí ompenza Užte, fune užtu Každé ohodnoení varanty je možno vyjádřt ve formě užtu, terý tato varanta přnáší pef-nfo.wz.z Chrsty

39 Dílčí hodnoty užtu lze sloučt do elového užtu varanty a podle toho varanty vybírat Fune užtu Fune užtu převádí ohodnoení řešení do ntervalu, Podle jejího tvaru lze haraterzovat rozhodovatele Přístupný rzu Neutrální rzu Odmítajíí rzo Grafé zobrazení problému I f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Grafé zobrazení problému II f S a a 2 S a a 2 Modely víerterální analýzy varant Množna přípustnýh řešení je onečná Každá varanta je hodnoena podle něola rtérí - rterální mate a a a 2 p f y y 2 yp f y y y p2 f y y 2 y p pef-nfo.wz.z Chrsty

40 Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn ypy nformaí Inter a ntra rterální preferene - Preferene jednotlvýh rtérí - Hodnoení varant podle aždého rtéra žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání ardnální nformae - vanttatvní Metody vantfae nformae Metoda pořadí - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum bude první v pořadí Bodovaí metoda - nejlepší varanta, nejdůležtější rtérum dostane nejvíe bodů Párové porovnávání - porovnává se důležtost rtérí č ohodnoení varant podle jednotlvýh rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor Součet Váhy Cena 3,3 Výon 3,3 Hmotnost 2,2 Názor 2,2 Metody řešení problému Informae o atrbuteh Metody řešení Žádná Nomnální Ordnální Kardnální Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní Metoda váženého součtu Bodovaí metoda nebo metoda pořadí Informae o alternatváh Ordnální Kardnální Bodovaí metoda, metoda pořadí Metoda aspračníh úrovní metoda ORESE Metoda váženého součtu, Saatyho metoda metoda OPSIS Jednotlvé varanty budou ohodnoeny pořadovým čísly mez a počtem varant Jednotlvé varanty budou ohodnoeny podle jednotlvýh rtérí vždy ve stejné bodové stupn, např. až pef-nfo.wz.z Chrsty

41 Pořadí nebo body se sečtou Oba postupy mohou být rozšířeny o váhy rtérí Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Metoda pořadí Součet 722 S D 2 2 2,5 2 8,5 735 S 3 2,5 7,5 Metoda aspračníh úrovní Konjuntvní metoda - přpustíme pouze varanty, teré splňují všehny asprační úrovně Dsjuntvní metoda - přpustíme všehny varanty, teré splňují alespoň jeden požadave Iterační postup - zpřísňování nebo uvolňování aspračníh úrovní Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 96,-,7 W/mn 5,8 ne 726 D 9,-,8 W/mn 6,2 nevím 735 S 295,-, W/mn 6,2 ano mn ma mn Asprační úrovně,-,7 W/mn 6 nevím 722 S 726 D 735 S 722 S 726 D 735 S,-,7 W/mn 6 ne Metoda váženého součtu Převedeme mnmalzační rtéra na mamalzační podle vztahu y ma(y ) j,...,s j y j Určíme deální varantu H s ohodnoením (h,..., h ) a bazální varantu D s ohodnoením (d,..., d ). Vytvoříme standardzovanou rterální mat R, jejíž prvy zísáme pomoí vzore yj d j rj h j d Pro jednotlvé varanty vypočteme užte j u(a ) v r Varanty seřadíme sestupně podle hodnot u(a ). j j j pef-nfo.wz.z Chrsty

42 Koupě motorové osy Cena Výon Hmotnost Názor 722 S 726 D 735 S ,7,8, 5,8 6,2 6,2 2 3 mn ma mn ma Metody operačního výzumu 335,7,4 25,8 2, 3 D,7 H 335,,4 3 Součet 722 S 726 D 735 S,694,25,5,5,358582,5,3,3,2,2 VÍCEKRIERIÁLNÍ OPIMALIZAČNÍ MODELY Obsah Víerterální optmalzační modely Záladní pojmy Grafé zobrazení Cíl řešení modelů Metody řešení Víerterální optmalzační model Množna přípustnýh řešení je neonečná Alespoň dvě účelové fune Víerterální lneární optmalzační model z( ) MAX z ( ) MIN A b Víerterální řezný plán Z dese 57 je potřeba nařezat obdélníy 23 a čtvere. Možné řezné plány: A B C Potřeba přířezů Obdélníy 5 4 Čtvere K dspoz je 7 dese. Kol mnmálně rozřezat dese, ta aby byl mamalzován počet obdélníů? A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > pef-nfo.wz.z Chrsty

43 Záladní pojmy Ideální a bazální varanta Domnane řešení Paretovsé řešení Kompromsní řešení Kompenzae rtérí Grafé zobrazení problému I Grafé zobrazení problému II f 2 a H a 2 a 3 D a 4 Cíl řešení modelů Nalezení ompromsního řešení Nalezení všeh nedomnovanýh řešení f Většna metod umožňuje ompenza hodnot rtérí ypy nformaí Intrarterální preferene - vždy ardnální - hodnoty rterálníh funí Interrterální preferene - váhy - důležtost jednotlvýh rtérí žádná nformae nomnální nformae - aspračníh úrovně ordnální nformae - valtatvní - uspořádání nutno převést na ardnální nforma ardnální nformae - vanttatvní Metody řešení problému Hledání ompromsního řešení - Dílčí (parální) optmalzae - Agregae rterálníh funí pomoí vhodně zvoleného operátoru pef-nfo.wz.z Chrsty

44 - Převod rtéra na vlastní omezení modelu - Cílové programování - Víerterální smpleový algortmus Dílčí optmalzae Metody operačního výzumu Řešíme tol úloh, ol je rtérí - Úloha U(j) má původní omezujíí podmíny a jednu rterální fun, j,..., U(j) : z j ( ) j MAX A b Dílčí optmalzae Zísáme vlastně rterální mat pro víerterální analýzu varant - Na dagonále deální řešení, lze určt bazální řešení Využtí spíše pro orenta v problému Krterální fune z () z 2 () z () z z 2 z 2 z 2 z 22 z 2 z z 2 z Dílčí řešení Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MIN Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae rterálníh funí Agregované rtérum nemá obvyle eonomou nterpreta ypy agregae Součnová č podílová Součtová č rozdílová Konvení lneární ombnae rtérí Mn rtéra nutno převést na ma rtéra mn f() ma (-f()) nebo mn f() ma /f() Agregae rterálníh funí Konvení lneární ombnae rtérí - řešíme následujíí jednorterální úlohu s původním omezujíím podmínam pef-nfo.wz.z Chrsty

45 v j j Z( ) v C MAX j A b Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese MAX 5 Ma obdélní ů 5 4 MAX Agregované rtérum -5 - MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Převod rtérí na omezení modelu Kterouol omezujíí podmínu lze formulovat jao rterální fun a naopa Zvolíme nejdůležtější rtérum Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí Řešíme jednorterální úlohu s původním podmínam a podmínam zaručujíím požadované hodnoty upravenýh rtérí Lze použít terační postup a rtéra upravovat postupně Grafé zobrazení rtérí a omezení a 2 a z 2 z Převod rtérí na omezení modelu Zvolíme rtérum z () Stanovíme požadované - asprační úrovně ostatníh rtérí zj (mez deálním a bazálním řešením) - pro ma z j () z j a pro mn z j () z j Řešíme jednorterální úlohu (pro ma rtéra) pef-nfo.wz.z Chrsty

46 z( ) MAX A b z z j ( ) j j 2,..., Grafé zobrazení nového modelu a 2 a a z 2 z 2 () z 2 z Víerterální řezný plán A B C Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese < 3 Ma obdélníů 5 4 MAX, 2, 3 > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cílové programování Dosažení požadovanýh hodnot rtérí Mnmalzae odhyle od ílovýh hodnot jednotlvýh rtérí Proměnné přeročení Proměnné nedosažení Mamalzační rtérum může ílovou hodnotu přeročt Mnmalzační rtérum může ílové hodnoty nedosáhnout Cílová podmína Dosažení požadované hodnoty rtéra poud nelze, pa je hodnota rtéra - buď přeročena - nebo nedosažena + d y d ;d,d + d d, + y + pef-nfo.wz.z Chrsty

47 Cílové programování Z(d) d - (v d + v ) mn za podmíne + + d d y,,2,...,, A b + ;d,d + d d, + a d + jsou proměnné nedosažení a přeročení v - a v + jsou jejh váhy d + Metody operačního výzumu Víerterální řezný plán Cílové programování A B C d+ d- d2+ d2- Celem dese < 7 Obdélníů 5 4 > Čtverů 35 5 > 2 Mn dese - 3 Ma obdélníů Mn odhyle MIN, 2, 3, d+, d- > Víerterální řezný plán A B C Mn dese Ma obdélníů Mn dese 2, ,8574 Ma obdélníů Ideální řešení 22, Bazální řešení 7 Agregae 5: Dese méně než 3, , , 6667 Cíl 3/ EORIE ROZHODOVÁNÍ Obsah Formulae rozhodovaího modelu Rozhodování za jstoty, rza a nejstoty Možnost řešení rozhodovaího modelu Krtéra řešení rozhodovaího modelu Rozhodovaí a pravděpodobnostní stromy eore her Nalezení optmální stratege v hazardníh hráh Model onfltní stuae John von Neumann, Osar Morgenstern Eonomé hování - volba alternatvy rozhodnutí Rozhodovaí modely Volba nejlepšího rozhodnutí ovlvňovaného budouím stavem světa pef-nfo.wz.z Chrsty

48 Většnou neopaovatelné stuae Alternatvy rozhodnutí Stavy oolností Rozhodovaí tabula - výplaty pro ombnae alternatva/stav oolností Rozhodovaí rtérum Jstota, rzo a nejstota Rozhodovaí tabula Stavy oolností s s 2... s n a v v 2... v n Alternatvy a 2 v 2 v v 2n a m v m v m2... v mn Rzo p p 2... p n Volba stratege frmy Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena Pravděpodobnost,4,2,4 Jstota, rzo a nejstota rozhodování s jstotou pravděpodobnost realzae jstého stavu oolností je rovna a pravděpodobnost ostatníh stavů oolností jsou rovny nule rozhodování s rzem pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou odhadovány č známy rozhodování za nejstoty pravděpodobnost realzae stavů oolností jsou neznámé Možnost řešení rozhodovaíh modelů Volba domnantní alternatvy Volba nejvýhodnější alternatvy Volba alternatvy podle nejvyššího užtu Volba domnantní alternatvy (ma) Domnane podle výplat: a I domnuje Dom nane podle stavů oolností : a I domnuje a K a K mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj vij vkj j, j,..., n Dom nane podle pravděpodobností : a I domnuje a K P( v ) P( v ) I K pef-nfo.wz.z Chrsty

49 Domnane podle výplat,2,8,6 mn v j,..., n Ij ma v j,..., n Kj,4,2 mn ma ANO,7 NE,6, Domnane podle stavů oolností,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE vij vkj j, j,..., n velý střední malý Domnane podle pravděpodobností,2,8,6 P( v ) P( v ) I K,4,2 ANO NE,2,4,6,8,2 Volba nejvýhodnější alternatvy Rozhodování za jstoty Rozhodování za nejstoty - mamaové pravdlo - Waldovo - mamnové pravdlo - Savageovo pravdlo mnmální ztráty - Laplaeovo pravdlo nedostatečné evdene - Hurwtzovo pravdlo Rozhodování za rza - pravdlo EMV - očeávané hodnoty výplaty - pravdlo EOL - očeávané možné ztráty - pravděpodobnost dosažení asprační úrovně pef-nfo.wz.z Chrsty

50 Volba stratege za jstoty Pověst frmy Zájem velý střední malý Kontrola valty ANO,95,7 vyšší ena Kontrola valty NE,,8,6 nžší ena a I : v IJ ma v,...,m J Pravděpodobnost,4,2,4 Volba stratege za nejstoty Zájem velý střední malý MAXIMIN MAXIMAX LAPLACE Kontrola valty ANO,95,7,7,883 Kontrola valty NE,,8,6,6,, SAVAGE Kontrola valty ANO,, Kontrola valty NE,5,,5 a a I I : : v v IJ IJ ma mn,...,m j,...,n ma ma,...,m j,...,n v v j j a I : v I n ma n v,...,m j j a I : z IJ mn ma ( ma,... m j,..., n,..., m v j v j ) Volba stratege za nejstoty ma mn HURWICZ Kontrola valty ANO,7,7,79,88 Kontrola valty NE,,6,6,75,9, t,3,6,2,8,6,4,2 Kontrola valty ANO Kontrola valty NE a + I : vi ma (t.h ( t).d ),...,m d h mn v j,...,n j,...,n j ma v j,2,4,6,8,2 pef-nfo.wz.z Chrsty

2 Rozhodovací problém

2 Rozhodovací problém Rozhodovaí problém Rozhodovaí problém je problém s víe možným řešením. Jde tedy o problémy se kterým se setkáváme v běžném žvotě. Základním krokem každého rozhodování je proes volby, tedy poszování jednotlvýh

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové.

Čísla a aritmetika. Řádová čárka = místo, které odděluje celou část čísla od zlomkové. Příprava na cvčení č.1 Čísla a artmetka Číselné soustavy Obraz čísla A v soustavě o základu z: m A ( Z ) a z (1) n kde: a je symbol (číslce) z je základ m je počet řádových míst, na kterých má základ kladný

Více

ý ď Í Ž ú Ž é š é Š Ž Ú ú ú ú š é Š Ž Í Ú ú Í ú ú š é Ž Ú ú ú ý ú ť é ž é Ž ú ó ý ý Ž š é š é Ú ú ý ú ť ú ť ý Ž Í ú ý ů é ý Ž É ú ý ú ů ž ž š ú Í š ý ú ÚÁ Ú é ž ý Ú Ě ú ó ý ý ů Ž ú Ž é Ý Ž Ž Ž Í Ú Ž é

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti

1. Úvod do základních pojmů teorie pravděpodobnosti 1. Úvod do záladních pojmů teore pravděpodobnost 1.1 Úvodní pojmy Většna exatních věd zobrazuje své výsledy rgorózně tj. výsledy jsou zísávány na záladě přesných formulí a jsou jejch nterpretací. em je

Více

ň ť Č Á ť ň ň Ú Ú Á Ň ď Ú Ů Ý É Ů Ď Č ň ď ň ň ň ň Č ň ň Ď Č ň Š ň Š Š Č ň Ú Š Š Š Ě Ú ť ď ď Á Ď ť É Č ť Ó ň ť Ď Ď Ď Ý Ď Ž Ď Ď Ý Ď Ú ň ň Ď Ď Ý Ď Ď Ď ň ť Ť Ů Ú ň ď ň Ř Ů ň Á Š ť Č ň Š Š ň ň ň ť ť ť ť ť ť

Více

ž ě ž ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ě ž š ě ě ž ň ň ž Í ň ě ě š ž ě ě ě š ž ě ě ň ě ň ž ě š ě š ž ě ě ě ě ě ě ž š ň ě ě ň ď ě ž ě š ě š š ě ž ž ě ě š ěž ě ě ž ž ě ť ě Ž ě ě ě ě š ě ř ě ěš ť Ž ž ď Ž ž ž ě ě ž Í ě

Více

ž ž ž ž ž Č ž Ž Ž Ů Ů ž Č Ú Č ž Č Č Č Č Č Ů ž Ž ž Ž ž Ž Ů Ž ž ž Ů ž ž Ž ž ž Ů Č ž Ž ž ž Ú ž Ú Ú Ó ž Ů Ú ď Č Ú Ú Ú Č Ú Č Č Č Č Č Č ž Č Ú Č Ó Ú Č Ú Č Č Č Ú Ó Č Ú Č Č Č Č Č Ó Ó Ó Č Č Ž Ú ž ž Ú ž ž Ó Ó Ž Ů

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ

THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ Jan CHOCHOLÁČ 1 THE POSSIBILITY OF RELOCATION WAREHOUSES IN CZECH-POLISH BORDER MOŽNOSTI RELOKACE SKLADŮ V ČESKO-POLSKÉM PŘÍHRANIČÍ BIO NOTE Jan CHOCHOLÁČ Asistent na Katedře dopravního managementu, maretingu

Více

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I.

EKONOMETRIE 2. přednáška Modely chování výrobce I. EKONOMETRIE. přednáška Modely hování výrobe I. analýza raionálního hování firmy při rozhodování o objemu výroby, vstupů a nákladů při maimalizai zisku základní prinip při rozhodování výrobů Produkční funke

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

ů ů ř É ř řřň ů ů ř ř Ú ó ó ó ť ň ó ó ř ř ř š ř ů ů ů ů š ů ů ř ů ů ř ř ř ř ř ů ř ř ó ň ó š ř É ó š řó š ó řó óž ř ř ž ř ž ř ř ř ř Í ř š ů Š ů ř š Š ř ň Š š Š Š ř ž ť ň ň Š š š ň ř Š ň ň ř š Š Š š Í š

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Obsah. K niha p ro ro d ič e d ě tí o d t ř í le t d o z le tilo s ti 5. C o u m í tříle tý človíček? 18

Obsah. K niha p ro ro d ič e d ě tí o d t ř í le t d o z le tilo s ti 5. C o u m í tříle tý človíček? 18 Obsah K niha p ro ro d ič e d ě tí o d t ř í le t d o z le tilo s ti 5 Jak to bylo s prvním vydáním této knihy? 8 Jak to bylo s druhým vydáním této knihy? 10 Jak to bylo s třetím vydáním této knihy? 11

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Při rozhodování o splátkové společnosti se budeme řídit výší RPSN. Pro nákup zboží si zvolíme. Dl = >k=0

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Při rozhodování o splátkové společnosti se budeme řídit výší RPSN. Pro nákup zboží si zvolíme. Dl = >k=0 Úloha 4 - Koupě DVD reoréru SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Mlaá roina si chce poříit DVD reorér v honotě 9 900,-Kč. Má možnost se rozhonout mezi třemi splátovými společnosti, teré mají násleující pomíny: a) První

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

O jednom mučedníkovi nebo mučednici

O jednom mučedníkovi nebo mučednici 1. nešpory spočné texty O dnom mučedníkov nebo mučednc Jkub Pvlík 1. nt. - VI.F (Žlm 118-I.II) já Ke kž dé mu, př znám před svým kdo cem v neb. ke mně j. př zná před ld m, 2. nt. - VI.F (Žlm 118-III) ž

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I P e d a g o g ic k á f a k u lt a Ú s t a v s p e c iá l n p e d a g o g ic k ýc h s t u d i í

U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I P e d a g o g ic k á f a k u lt a Ú s t a v s p e c iá l n p e d a g o g ic k ýc h s t u d i í U N I V E R Z I T A P A L A C K É H O V O L O M O U C I P e d a g o g ic k á f a k u lt a Ú s t a v s p e c iá l n p e d a g o g ic k ýc h s t u d i í D I T A D E R K O V Á 2. r o n ík n a v a z u j íc

Více

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY

MODELOVÁNÍ POPTÁVKY, NABÍDKY A TRŽNÍ ROVNOVÁHY MODELOVÁÍ POPTÁVKY, ABÍDKY A TRŽÍ ROVOVÁHY Schéma tržní rovnováhy Modely otávky na trhu výrobků a služeb Formulace otávkové funkce Komlexní model Konstrukce modelu otávky Tržní otávka Dynamcké modely otávky

Více

Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou

Řešení Navierových-Stokesových rovnic metodou Řšní Navrovýc-Stoksovýc rovnc mtodou končnýc prvků Lbor Črmák prosnc 2009 Označní: Abstrakt Txt obsauj klasckou a varační formulac 2D-úloy nstlačtlnéo nstaconárnío proudění, pops prostorové dskrtzac mtodou

Více

Pracovní list žáka (SŠ)

Pracovní list žáka (SŠ) Pracovní list žáka (SŠ) vzorová úloha (SŠ) Jméno Třída.. Datum.. 1 Teoretický úvod Rezistory lze zapojovat do série nebo paralelně. Pro výsledný odpor sériového zapojení rezistorů platí: R = R1 + R2 +

Více

Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl

Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Optimalizace úvěrových nabídek EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Obsah Spotřebitelský úvěr Popis produktu Produktová definice v HC Kalkulace úvěru Úloha nalezení optimálního produktu Shrnutí Spotřebitelský

Více

Vysokorychlostní železnice úspěchy a výzvy

Vysokorychlostní železnice úspěchy a výzvy Vysoorychlostní železnice úspěchy a výzvy Dr. Gunter Ellwanger, ředitel pro vysoorychlostní železnice, Mezinárodní železniční unie Vysoorychlostní vlay přiláaly na železnici nové cestující především na

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

3.4.12 Konstrukce na základě výpočtu II

3.4.12 Konstrukce na základě výpočtu II 3.4. Konstruk n záklě výpočtu II Přpokly: 34 Př. : J án úsčk o jnotkové él úsčky o élkáh,, >. Nrýsuj: ) úsčku o él = +, ) úsčku o él Při rýsování si élky úsčk, vhoně zvol. =. Prolém: O výrzy ni náhoou

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Ť ě ě ě á č á ž č ě ž ě ž č á ě š Ť ě č ž á ě č ě ž Ť č č ž Ť ž š á ě ž ě ž ž ě ě Ěá á á Ťš č á ě š č č š ěž ě č ě á ě č š ď ě ž á č ž ť á ť ě č ť ž Ž č ě č á á á á ě ž á ě á ě ž á á áž č ž ě ě á ž ě á

Více

Základy finanční matematiky

Základy finanční matematiky Hodna 38 Strana 1/10 Gymnázum Budějovcká Voltelný předmět Ekonome - jednoletý BLOK ČÍSLO 6 Základy fnanční matematky ředpokládaný počet : 5 hodn oužtá lteratura : Frantšek Freberg Fnanční teore a fnancování

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

Příručka aplikace INVIO import přeprav z CSV Str. 1/11

Příručka aplikace INVIO import přeprav z CSV Str. 1/11 Str. 1/11 Obsah 1. Import přeprav do aplikace Invio z CSV souboru... 3 Konfigurace importu... 3 Ruční import dat... 6 Automatický import dat... 8 Minimální CSV pro kompletní vytvoření zásilky v inviu...

Více

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN + = KALKULÁTORY 2014 201 C π EXP LOCAL SIN MU GT ŠKOLNÍ A VĚDECKÉ KALKULÁTORY 104 103 102 Hmotnost: 100 g 401 279 244 EXPONENT EXPONENT EXPONENT 142 mm 170 mm 1 mm 7 mm 0 mm 4 mm Výpočty zlomků Variace,

Více

STUDIE PROVEDITELNOSTI. Využití odpadního tepla z BPS Věžná pro vytápění v areálu ZD a části obce

STUDIE PROVEDITELNOSTI. Využití odpadního tepla z BPS Věžná pro vytápění v areálu ZD a části obce STUDIE PROVEDITELNOSTI Využití odpadního tepla z BPS Věžná pro vytápění v areálu ZD a části obce BŘEZEN 2013 1 Identifikační údaje 1.1 Zadavatel Název organizace Obec Věžná Adresa Věžná 1 Statutární zástupce

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

Václav Cempírek 1 1. ZÁKLADNÍ FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ LOGISTICKÁ ZAŘÍZENÍ

Václav Cempírek 1 1. ZÁKLADNÍ FAKTORY OVLIVŇUJÍCÍ LOGISTICKÁ ZAŘÍZENÍ NÁVRH PARAMETRŮ LOGISTICKÝCH CENTER, DIMENZOVÁNÍ TECHNICKÝCH PROSTŘEDKŮ A ZAŘÍZENÍ THE ARGUMENTS CONCEPT OF LOGISTIC CENTRE, DIMENSOINING OF TECHNICAL INSTRUMENT AND DEVICE Václav Cempíre 1 Anotace:Příspěve

Více

9 Skonto, porovnání různých forem financování

9 Skonto, porovnání různých forem financování 9 Sonto, porovnání různých forem financování Sonto je sráža (sleva) z ceny, terou posytuje prodávající upujícímu v případě, že upující zaplatí oamžitě (resp. během dohodnuté ráté lhůty). Výše sonta je

Více

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit.

, p = c + jω nejsou zde uvedeny všechny vlastnosti viz lit. Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení

Více

1 mm = 0,01 dm 1 m = 1 000 mm 1 mm = 0,001 m 1 km = 1 000 m 1 m = 0,001 km

1 mm = 0,01 dm 1 m = 1 000 mm 1 mm = 0,001 m 1 km = 1 000 m 1 m = 0,001 km Téma: Převody jednotek fyzikálních veličin A. Pravidla pro převody jednotek v desítkové soustavě převádíme-li z jednotky větší na menší číslo bude větší násobíme 10, 100, 1 000, 1 000 000 posuneme desetinou

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

4.2.13 Regulace napětí a proudu reostatem a potenciometrem

4.2.13 Regulace napětí a proudu reostatem a potenciometrem 4..3 Regulace napětí a proudu reostatem a potenciometrem Předpoklady: 405, 407, 40 Nejde o dva, ale pouze o jeden druh součástky (reostat) ve dvou různých zapojeních (jako reostat a jako potenciometr).

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH

VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH VOLBA HODNOTÍCÍCH KRITÉRIÍ VE VEŘEJNÝCH ZAKÁZKÁCH THE CHOICE OF EVALUATION CRITERIA IN PUBLIC PROCUREMENT Martn Schmdt Masarykova unverzta, Ekonomcko-správní fakulta m.schmdt@emal.cz Abstrakt: Článek zkoumá

Více

listopad 2005 2. èíslo, 1. roèník è a s o p i s è a s o p i s è a s o p i s è a s o p i s u d u d u d u d F a F a F a F a u l u l u l u l r o r o r o

listopad 2005 2. èíslo, 1. roèník è a s o p i s è a s o p i s è a s o p i s è a s o p i s u d u d u d u d F a F a F a F a u l u l u l u l r o r o r o -f 2., 1. 2005 2 S ú M áø áø, á á zb ý ý ý š EK. Z j á, b, ž z b é, jž ø z ú áz zé bé š š f. Ob ø žj ø ýø zý z fó, j jj áø bá z, -. Oø- š z zážý é fá é, á jáø š zý á, já z ózjš b. Né j zýš f š žý á j é

Více

É Á ÁŠ é Žď á ě ř ř ě ž á ň á á ů ě é á é á é á ě ě š ř ů ž Ť ě ě š ř ů ě á áš á áš Ú ě áš á é ďď á ě ř ř ě ž é ň á á ů á ě Ř ě ů á ě ý ř ý á á á ý é á ů é ý ř ý ý š Ž ů á á ý ů é ý á Ú é ř ě š ě ů é ě

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

3. SIMULTÁNNÍ REAKCE

3. SIMULTÁNNÍ REAKCE 3. IMULTÁNNÍ REKCE 3. Protsměrné (vratné) reae... 3.. Reae, obě ílčí reae prvého řáu... 3.. Reae D E, D, D E...4 3..3 Kneta & termoynama (vratné reae & hemá rovnováha)...4 Příla 3- Protsměrné reae...6

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA 5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA Střadatel se používá pro výpočet úroku na konc období, kdy jste pravdelně ukládal stejnou částku, ve stejný okamžk, po určté

Více

óš ř Ř Í É ŘÍ Í Á Í Á Á Ý Á Í Č Á Ž Í Ř Í ŠÍÚ Ý Í Í Č Í Ú ÁŠ Í Č Á Í ĚŘ ú é ú ěš é ř š ě č ř š ř š č ě š ě é é č ř č č é é ž ř ě ěš ž óě Í ř ě ř ě ě š ě ě ř ě é ž é šť ě ř ě ě č č č šé ě ř ě é é Č é š

Více

... 4. 2 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í

... 4. 2 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í 2 0 0 9 / 2 0 1 0 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í r o k 2 0 0 9 / 2 0 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d, o vm ág r. D a g m a r V l a d y k o v á D o k u m

Více

Metody volby financování investičních projektů

Metody volby financování investičních projektů 7. meznárodní konference Fnanční řízení podnků a fnančních nsttucí Ostrava VŠB-T Ostrava konomcká fakulta katedra Fnancí 8. 9. září 00 Metody volby fnancování nvestčních projektů Dana Dluhošová Dagmar

Více

Výukové programy - Mgr. Karla Pitáková, tel. 544 240 013

Výukové programy - Mgr. Karla Pitáková, tel. 544 240 013 Výukové programy - Mgr. Karla Pitáková, tel. 544 240 013 ČJ 1 KAP III 001 uvolňovací cviky 1 ČJ 1 KAP III 002 uvolňovací cviky 2 ČJ 1 KAP III 003 ČJ 1 KAP III 004 ČJ 1 KAP III 005 ČJ 1 KAP III 006 ČJ 1

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

OBSAH Ú V O D... 13 P R Á H... 14

OBSAH Ú V O D... 13 P R Á H... 14 OBSAH Ú V O D... 13 P R Á H... 14 I. A C O K D Y B Y C IIO M M Í S T O O L Á S C E M L U V IL I O P Ř Á T E L S T V Í?... 16 R ozdíl m ezi láskou a přátelstvím... 18 C hvála p řátelství při b u d o v án

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Základy divadelního svícení a světelného designu pro začínající uživatele

Základy divadelního svícení a světelného designu pro začínající uživatele JANÁČKOVA AKADEMIE MÚZICKÝCH UMĚNÍ V BRNĚ Divadelní fakulta Ateliér divadelního manažerství a jevištní technologie Studijní obor jevištní technologie Základy divadelního svícení a světelného designu pro

Více

Informace o společnosti

Informace o společnosti Informace o společnosti K DATU 30. ČERVNA 2012 Zveřejněno na internetových stránách KUPEG úvěrové pojišťovny, a.s. www.upeg.cz OBSAH strana 1. Informace o hospodaření společnosti a. Textová část 2 b. Tabulová

Více

Š í ú ň ě ší í žá í ř í ý Íí á í á žá í ě á í á žé ě ě í ř ů á á žá í ě í Í í ý á í á ž ý ý á ě í ý ě ší á ň ě í í Žá ř í í á á á í í ě ž í ů á á á éž á Ť ě Žá ř í í á ý řá á í éží á ě í í ížá í ř í í

Více

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06.

VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ PODMÍNKY společnosti CTS int. s.r.o., IČ: 272 10 651 se sídlem: Bradlec, Na Výsluní 370, PSČ 293 06. VŠEOBECNÉ OBCHODNÍ ODMÍNKY č CTS..r.., IČ: 272 10 651 : Brc, N Vý 370, SČ 293 06 (á VO ) 1. Vý jů M 1 1.1. y j bch č C S..r.., rc, ý37,s 293 06, IČ: 72 0 51, á ch rjř é ě ý r,, 1 4718. y j á ě ěč Č h čh

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

15. Nic nejde vzít zpět Sextet: Katarina, Carmen, Aunt Inez, Garcia, Mayor, Jose

15. Nic nejde vzít zpět Sextet: Katarina, Carmen, Aunt Inez, Garcia, Mayor, Jose h=72 Em(add2) 15. Nic nejde vzít zpět Sextet: Katarina, Carmen, Aunt Inez, Garcia, Mayor, Jose 5 Em(add2) JOSE 9 D7 1 Am(add2) CARMEN Tennáh- lý zvrat tennáh - lý pád když lás Už nik - ka své o - tě -

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

2. STAVBA PARTPROGRAMU

2. STAVBA PARTPROGRAMU Stavba partprogramu 2 2. STAVBA PARTPROGRAMU 2.1 Slovo partprogramu 2.1.1 Stavba slova Elementárním stavebním prvem partprogramu je tzv. slovo (instruce programu). Každé slovo sestává z písmene adresy

Více

Pravidla pro boj. Z b r o j e. Š t í t y. Třídy zbraní/zbrojí

Pravidla pro boj. Z b r o j e. Š t í t y. Třídy zbraní/zbrojí Ob p Z s z z f žs sé psy. Pbějš f žs ps jé zžs b řšy pě sě př ř. Něé f ps b sěy pz žý zjů. P p bj C s ýč sé bj, js žé zsé py. V px z, ž p zs y, sžě s ps, ps s ý y. Z pé js bzpčé z é, p ě z p ě, by s zzř

Více

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š...

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š... 2 0 1 2 / 2 01 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í k r2o0 1 2 / 2 01 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d o v á D o k u m e n t : I I V O S / I / S M 9 8 8 S c h v

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

FYZIKA, SI, NÁSOBKY A DÍLY, SKALÁR A VEKTOR, PŘEVODY TEORIE. Fyzika. Fyzikální veličiny a jednotky

FYZIKA, SI, NÁSOBKY A DÍLY, SKALÁR A VEKTOR, PŘEVODY TEORIE. Fyzika. Fyzikální veličiny a jednotky Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Vladislav Válek MGV_F_SS_1S1_D01_Z_MECH_Uvod_PL Člověk a příroda Fyzika Mechanika Úvod Fyzika, SI, násobky a

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

Srovnávací tabulka stávajících a nových benchmarků fondů ISČS. Fondy peněžního trhu

Srovnávací tabulka stávajících a nových benchmarků fondů ISČS. Fondy peněžního trhu Srovnávací tabula stávajících a nových benchmarů fondů ISČS Fondy peněžního trhu Investiční společnost Česé spořitelny, a. s., SPOROINVEST - otevřený podílový fond Je usilováno o dosažení výonnosti podílového

Více

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Soustava SI FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Mezinárodní soustava jednotek SI Systéme Internationald Unités (Mezinárodní soustava jednotek) zavedena dohodou v roce 1960 Rozdělení Základní jednotky Odvozené

Více

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu

Aplikace marginálních nákladů. Oceňování ztrát v distribučním rozvodu Apliace margiálích áladů Oceňováí ztrát v distribučím rozvodu Učebí text předmětu MES Doc. Ig. J. Vastl, CSc. Celové ročí álady a ztráty N P ( T ) z z sj z wj Kč de N z celové ročí álady a ztráty *Kč+

Více

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám Demonstrační cvičení 5 INP Princip kódování, pojmy Tady potřebujeme informaci zabezpečit, utajit apod. zpráva 000 111 000 0 1 0... kodér dekodér

Více

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)

1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a) 1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů

Více

Modul Kniha jízd. www.money.cz

Modul Kniha jízd. www.money.cz Modul Kniha jízd www.money.cz 2 Money S5 Kniha jízd Obsah a funkce modulu Kniha jízd Modul Kniha jízd tvoří v menu Money S5 samostatný uzel, ve kterém jsou umístěné funkčně provázané základní seznamy určené

Více

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha

Obyčejné diferenciální rovnice. Cauchyova úloha Dirichletova úloha Občejé erecálí rovce Caucova úloa Drcletova úloa Občejé erecálí rovce - Caucova úloa Úlo: I. = s omíou = jea rovce. řáu II. soustava rovc. řáu III. = - jea rovce -téo řáu = = = - = - Hleáme uc res. uce

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0649. Sada vyučovacích příkladů ze základů účetnictví pro OA

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0649. Sada vyučovacích příkladů ze základů účetnictví pro OA Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Název školy: Střední zdravotnická škola a Obchodní akademie, Rumburk, příspěvková organizace Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0649

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G. SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí

Více

koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku.

koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku. 2.2.2 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III Předpoklady: 22 Pedagogická poznámka: Příklady na míchání směsí jsou do dvou hodin rozděleny schválně. Snažím se tak zvýšit šanci, že si hlavní myšlenku

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Ó Á Ň Í Ž Č Í Ž ň Ž Ž ú Ž Ž Á Ž Í ú ú ú Í Í ť ť ď Í Í ú Í ď Ž Ř Í ň ď Č Í Č Č ď ď Ž Č ď Ž Ž ď Í Ž ú ď Ó ď ú Í Í ď ď ď ď ň Žď ú ú ť ď ď ď Ž Ž Á ď Ž Í Ž Ž Ž ď Ž Č Ž Ž ú Ž Í ú ň Ž ú ď ň ď Č Č ď ú Č ť Ó Í

Více

při jízdě stejným směrem v čase L/(v2 v1) = 1200/(12 10) s = 600 s = 10 min. jsou dvakrát, třikrát, n-krát delší.

při jízdě stejným směrem v čase L/(v2 v1) = 1200/(12 10) s = 600 s = 10 min. jsou dvakrát, třikrát, n-krát delší. EF1: Dva cyklisté Lenka jede rychlostí v1 = 10 m/s, Petr rychlostí v2 = 12 m/s, tedy v2 > v1, délka uzavřené trasy L = 1200 m. Když vyrazí cyklisté opačnými směry, potom pro čas setkání t platí v1 t +

Více

Obsah. Předm luva / п M o tto /13. G ra m a tic k é n á z v o s lo v í /15

Obsah. Předm luva / п M o tto /13. G ra m a tic k é n á z v o s lo v í /15 Předm luva / п M o tto /13 G ra m a tic k é n á z v o s lo v í /15 I. V ý z n a m la tin y /2 3 1.1 P ř e d c h ů d c i la tin y ja k o m e z in á r o d n íh o ja z y k a /2 3 1.2 L a tin a ja k o m e

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Plastform Brno KATALOG

Plastform Brno KATALOG pm Plastform Brno KATALOG 2015 kontakt: Plastform Brno, s.r.o. Cejl 76, 602 00 Brno tel: 545 243 153 fax: 545 126 591 e-mail: plasty@plastform.cz web: www.plastform.cz v areálu nás najdete zde: Obsah:

Více

Úřad pro harmonizaci ve vnitřním trhu (OHIM) francouzština angličtina španělština

Úřad pro harmonizaci ve vnitřním trhu (OHIM) francouzština angličtina španělština Úřad pro harmonizaci ve vnitřním trhu (OHIM) Vyhrazeno pro OHIM: Přijato dne Počet stran Žádost o mezinárodní zápis ochranné známky 0 (nutno ) podle Madridského protokolu Údaje pro řízení u OHIM 0.1 Jazyk,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více