7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7 Kardinální informace o kritériích (část 1)"

Transkript

1 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru v = (v 1,..., v k ), = 1, v j 0. Existují tři základní výpočetní principy pro práci s kardinálními informacemi: 1. Princip maximalizace užitku 2. Princip minimální vzdálenosti od ideální varianty 3. Princip vyhodnocování variant na základě preferenční relace 7.1 Maximalizace užitku Princip maximalizace užitku spočívá ve skutečnosti, že ke každé variantě určíme užitek z intervalu < 0, 1 >, který varianta přináší. Čím vhodnější varianta bude, tím vyšší bude mít hodnotu užitku. Seznámíme se se třemi metodami založenými na principu maximalizace užitku: 1. Metoda funkce užitku (UFA) 2. Metoda váženého součtu (WSA) 3. Metoda pro analýzu rozhodovacích problémů pomocí hierarchického znázornění (AHP) UFA Označme: a i obecná i-tá varianta f j obecné j-té kritérium f j (a i ) hodnota varianty a i podle kritéria f j (v předchozích cvičeních jsme tuto hodnotu označovali y ij ) u j (f j (a i )) nebo zjednodušeně u j (a i ) z intervalu < 0, 1 > dílčí funkce užitku 1

2 To, že určitá varianta a i dosáhla podle kritéria f j určité hodnoty f j (a i ) přináší uživateli určitý užitek, který měříme pomocí právě zmíněné dílčí funkce užitku. Pochopitelně, že čím vyšší je vhodnost varianty, tím vyšší dává uživateli užitek, a proto také má tím vyšší hodnotu dílčí funkce užitku u j (a i ). Pomocí funkce užitku lze modelovat preference uživatele. Označme: P j preferenční relace mezi variantami podle kritéria f j I j indiferenční relace mezi variantami podle kritéria f j H j nejvíce preferovaná varianta podle kritéria f j D j nejméně preferovaná varianta podle kritéria f j Pak pro dílčí funkci užitku platí: u j (a) > u j (b) ap j b u j (a) = u j (b) ai j b u j (H j ) = 1 u j (D j ) = 0 Rozeznáváme tři základní typy: 1. Lineární funkce užitku konstantní přírůstky užitku 2. Konvexní funkce užitku u D j jsou přírůstky užitku menší než v blízkosti H j 3. Konkávní funkce užitku u D j jsou přírůstky užitku větší než v blízkosti H j Konstrukce funkce užitku se provádí metodou dělících bodů. Na horizontální osu budeme vynášet hodnoty y j, na vertikální osu hodnoty dílčí funkce užitku u j (y j ). Uživatel určí na vodorovné ose yj 0.5 mezi hodnotami D j a H j tak, aby u j (yj 0.5 ) u j (D j ) = u j (H j ) u j (yj 0.5 ). Je zřejmé, že pro yj 0.5 bude u j (yj 0.5 ) = 0.5, neboť u j (H j ) = 1 a u j (D j ) = 0. Zcela stejným způsobem určí uživatel na vodorovné ose yj 0.25 mezi hodnotami D j a yj 0.5 tak, aby u j (yj 0.25 ) u j (D j ) = u j (yj 0.5 ) u j (yj 0.25 ). Je zřejmé, že pro yj 0.25 bude u j (yj 0.25 ) =

3 Dále uživatel určí na vodorovné ose yj 0.75 mezi hodnotami yj 0.5 a H j tak, aby u j (yj 0.75 ) u j (yj 0.5 ) = u j (H j ) u j (yj 0.75 ). Je zřejmé, že pro yj 0.75 bude u j (yj 0.75 ) = Tímto způsobem vytvoříme několik bodů a těmi pak proložíme (po částech lineární) křivku. Dílčí funkce užitku lze poté agregovat do jediné funkce, kterou budeme nazývat vícekriteriální funkcí užitku: u(a i ) = u{u 1 (f 1 (a i )),..., u k (f k (a i ))} = u{u 1 (a i ),..., u k (a i )}. V praxi se nejčastěji používá aditivní tvar funkce užitku: u(a i ) = v 1 u 1 (a i ) v k u k (a i ) = k v j u j (a i ), kde u j (a i ) jsou dílčí funkce užitku a v j jsou váhy jednotlivých kritérií. Jelikož váhy jsou normalizované, platí u(a i ) < 0, 1 >. Důležitou podmínkou je vzájemná preferenční nezávislost kritérií. Pozn.: Kromě aditivního tvaru funkce užitku existuje i multiplikativní tvar, podrobnosti v učebnicích, např. Fiala, Jablonský, Maňas: Vícekriteriální rozhodování, VŠE, 1994 nebo Fiala: Teorie rozhodování, VŠE, Pro nalezení kompromisní varianty pak maximalizujeme vícekriteriální funkci užitku na množině variant: max u(a i ) pro a i A = {a 1,..., a p }. Podle klesajících hodnot vícekriteriální funkce užitku lze varianty uspořádat. Nicméně podotkněme na závěr, že tato metoda je pro ruční počítání dost složitá a tak při jejím použití pracujeme s počítači. Příklad Upír Předpokládejme příklad s úpírem, který podle prvních tří kritérií hodnotí své 4 oběti. Hodnotíme tedy 4 varianty podle 3 kritérií, ktireriální hodnoty jsou v matici: 3

4 Předpokládejme, že máme následující informace o dílčích funkcích užitku: užitky ČES VUP KPR Funkce užitku je mezi jednotlivými body v tabulce po částech lineární. Pokud užitek pro 120 metrovou vzdálenost od česnekového pole je 0.25 a pro 150 metrovou vzdálenost je užitek 0.75, lze snadno, např. trojčlenkou, spočítat, že užitek 121 metrové vzdálenosti je u = = Podobně užitek 30 pro vzdálenost 107 metrů je u = = V tabulce jsou spočítány hodnoty dílčí funkce užitku pro údaje z výše uvedené matice: užitky ČES VUP KPR a a a a Navíc máme pro jednotlivá kritéria zadané váhy v = (0.1, 0.6, 0.3). Agregované užitky spočítáme jako násobek váhy a hodnoty dílčí funkce užitku nasčítané přes všechna kritéria: u(a i ) = v 1 u 1 (a i ) v k u k (a i ) = k v j u j (a i ), v našem případě u(a i ) = v 1 u 1 (a i ) + v 2 u 2 (a i ) + v 3 u 3 (a i ). Konkrétně tedy pro varianty: užitky UFA a = a = a = a = Vzhledem k tomu, že se jedná o funkci užitku a my chceme užitek maximalizovat, vybíráme variantu s maximální hodnotou ve sloupci UFA. Optimální variantou při použití metody UFA tedy bude a 4. Povšimněme si, že varianta a 3 je jako jediná dominována, proto je hodnota jejího užitku nejnižší. 4

5 7.1.2 WSA Metodu jsme si představili již v kap. 2.6, kdy jsme si její pomocí ukazovali práci s kriteriální maticí. Tato metoda také vychází z principu maximalizace užitku, předpokládá však pouze lineární funkci užitku. Jde vlastně o speciální případ metody UFA. Tuto metodu lze s úspěchem použít při ručních výpočtech. Nejprve je třeva sestavit tzv. normalizovanou kriteriální matici. Označme symbolem D j bazální (dolní) hodnotu pro kritérium j a symbolem H j ideální (horní) hodnotu pro kritérium j. Normalizovaná kriteriální matice (r ij ) vzniká transformací původní kriteriální matice (y ij ) podle vztahu: r ij = y ij D j H j D j. Normalizovaná kriteriální matice je v tomto případě maticí hodnot užitku z i-té varianty podle j-tého kritéria. Pro prvky této normalizované kriteriální matice platí: r ij < 0, 1 > pro všechna i, j r ij = 0 pro D j r ij = 1 pro H j Při užití metody WSA pracujeme s váhami jednotlivých kritérií, které jsou buď dány, nebo které jsme již nějakým vhodným způsobem odhadli (metodou pořadí, bodovací metodou, metodou párového srovnávání, metodou kvantitativního párového srovnávání). Máme tedy dány váhy v = (v 1, v 2,..., v k ) pro k maximalizačních kritérií. WSA pak maximalizuje vážený součet, tedy k v j r ij. Tento vážený součet je pak aditivním tvarem vícekriteriální funkce užitku: u(a i ) = k v j r ij Spočítáme proto hodnotu tohoto váženého součtu pro každou variantu a za kompromisní variantu vybereme tu, která bude mít vážený součet nejvyšší. 5

6 Podle klesající hodnoty funkce užitku můžeme varianty uspořádat. Opět si metodu předvedeme na příkladu s Upírem. Příklad Upír Máme kriteriální matici pro maximalizační kritéria, přidáme si řádky s ideální a bazální variantou (narozdíl od kap. 2.6 budeme ale nyní uvažovat všechny ideální a bazální hodnoty jako relativní nejnižší a nejvyšší hodnota budou vybrány z kriteriální matice) a podle výše uvedeného vztahu sestavíme normalizovanou kriteriální matici. Podle vztahu uvedeném v posledním řádku snadno sestavíme žádanou matici: var./krit a a a a a a a a a a H j D j H j D j r ij y i y i2 3 3 y i y i4 1 2 y i5 2 2 y i6 1 y i y i8 2 7 y i9 20 6

7 R = Použijeme váhy, které jsme dostali metodou párového srovnávání. v = (0, 0.17, 0.19, 0.11, 0.03, 0.19, 0.06, 0.17, 0.08) Vážený součet pro variantu a 1 je: = Podobně spočítáme vážený součet i pro zbývajících 9 variant: var. u(a i ) = k v j r ij pořadí a a a a a a a a a a AHP Znázornění rozhodovacího problému jako hierarchické struktury (hierarchie). Hierarchická struktura = lineární struktura obsahující s úrovní. Úrovně jsou uspořádány od obecného ke konkrétnímu. 7

8 Prvky na libovolné úrovni jsou bezprostředně řízeny či ovlivňovány prvky na předchozí úrovni. Intenzity jednotlivých prvků v hierarchii mohou být kvantifikovány. Nejvyšší úroveň obsahuje vždy pouze jeden prvek s definicí cíle vyhodnocování, tomuto prvku je přiřazena hodnota 1, která je rozdělena mezi prvky na druhé úrovni. Ohodnocení prvků na libovolné úrovni je rozděleno mezi prvky o úroveň níž. V teorii grafů lze takovou strukturu modelovat stromem, v němž by uzly tvořily prvky struktury a hrany by byly tvořeny vazbami mezi jednotlivými prvky. Tato metoda je vhodná pro: běžné úlohy vícekriteriálního hodnocení variant (VHV) úlohy lineárního cílového programování (LCP) analýzy portfólia rozsáhlé makroekonomické modely Pro typickou úlohu VHV má hierarchie 5 úrovní: 1. úroveň cíl vyhodnocování (1 prvek) 2. úroveň experti (r prvků) 3. úroveň kritéria (k prvků) 4. úroveň subkritéria (záleží na struktuře) 5. úroveň varianty (p prvků) Na druhé úrovni hodnotíme fundovanost expertů něčím jako jsou váhy, na třetí a čtvrté úrovni hodnotíme důležitost kritérií formou vah, na páté úrovni hodnotíme důležitost variant pomocí preferencí. Pro běžné rozhodování nám však stačí tři úrovně (cíl, kritéria a varianty). Jak tedy bude vypadat použití metody AHP v praxi? 8

9 Připomeňme si nejprve metodu kvantitativního párového srovnávání pro odhad vah (Saatyho metodu). Saatyho metoda patří mezi nejčastěji používané metody pro volbu vah, používá se např. v postupu AHP. Srovnávají se opět vždy páry kritérií (stejně jako v předchozím případě) a hodnocení se ukládá do tzv. Saatyho matice S = (s ij ) podle následujícího systému: 1 i a j jsou rovnocenná 3 i je slabě preferováno před j (s ij ) = 5 i je silně preferováno před j 7 i je velmi silně preferováno před j 9 i je absolutně preferováno před j Hodnoty 2,4,6 a 8 jsou ponechány pro hodnocení mezistupňů. Je zřejmé, že s ii = 1, neboť kritérium je rovnocenné samo se sebou. Navíc musí platit, že s ji = 1/s ij pro všechna i. Hodnota s ij představuje přibližný poměr vah kritéria i a j, v matematickém zápisu s ij v i /v j. Předpokládejme, že skutečný poměr vah je v i /v j, my tento poměr odhadujeme hodnotou s ij a chceme, aby se toto s ij co nejméně lišilo od v i /v j. Samotná metoda je velmi jednoduchá a zahrnuje následujících 5 kroků. Nejprve vyplníme Saatyho matici: 1. Na diagonále budou jedničky (s ii = 1). 2. s ij < 0, 9 >, pokud i je preferováno před j. 3. s ji = 1/s ij Pro každé i spočítáme hodnotu s i = k s ij. Pro každé i spočítáme hodnotu R i = (s i ) 1/k = k s i. Dále spočítáme k R i. i=1 Nakonec určíme váhy kritérií podle vztahu v i = R i k 9. R i i=1

10 Přesně takto metodu kvantitativního párového srovnávání použijeme a to opakovaně dvakrát. Metodu kvantitativního párového srovnávání nejprve aplikujeme na kritéria a získáme tak odhad vah jednotlivých kritérií. Získáme váhový vektor v = (v 1, v 2,... v k ). Po té vezmeme první kritérium a jednotlivé varianty metodou kvantitativního párového srovnávání srovnáme podle tohoto prvního kritéria. Řekneme si tedy, jak důležitá je podle prvního kritéria každá varianta vůči ostatním a vyplníme Saatyho matici. Metodou kvantitativního párového srovnávání dostaneme odhadnuté váhy pro jednotlivé varianty. Tento váhový vektor pak bude tvořit první sloupec matice vah W. Pak provedeme totéž podle druhého kritéria a výsledné váhy budou tvořit druhý sloupec matice W, atd. až kvantitativním srovnáváním variant podle posledního kritéria získáme poslední (k-tý) sloupec matice W. Máme tedy váhový vektor v pro kritéria a matici vah W pro varianty v závislosti na kritériích. Spočítáme nyní agregovanou váhu pro každou variantu: w i = Jedná se v podstatě o vážený součet v jednotlivých řádcích. k v j w ij. Neboť i metoda AHP je v principu metoda maximalizující užitek, vybíráme opět variantu, která má nejvyšší vypočtenou hodnotu agregované váhy. Tato metoda v této základní podobě není určena pro příliš rozsáhlé úlohy, běžně se používá pro problémy, které mají na každé úrovni hierarchie nejvýše 7 prvků (variant, kritérií,... ), pro úlohy s větším počtem variant používáme jakási subkritéria, čímž sice zvýšíme počet úrovní, ale snížíme počet porovnávání při vyplňování Saatyho matice. Uvědomme si totiž, že při řešení takovéto úlohy provedeme N = ( ( ) k 2) + k p 2 porovnání, což je pro p = 10, k = 9 (jak je v příkladě s upírem) 441 porovnání. Příklad Upír Předpokládejme, že máme opět příklad s upírem a uvažujeme prvních 5 kritérií a první 4 varianty. 10

11 Metodou kvantitativního párového srovnávání určíme váhy kro kritéria: v = (0.0545, , , , ). Pak vezmeme první kritérium a metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah w i1 = (0.121, 0.341, 0.054, 0.483). Totéž provedeme pro druhé kritérium a metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah w i2 = (0.167, 0.394, 0.045, 0.394). Postup opakujeme pro třetí kritérium a metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah w i3 = (0.208, 0.061, 0.096, 0.635). Pro čtvrté kritérium metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah w i4 = (0.308, 0.308, 0.308, 0.077). A pro poslední kritérium metodou kvantitativního párového srovnávání variant získáme vektor odhadu vah w i5 = (0.571, 0.143, 0.143, 0.143). Vektory seřadíme do sloupců matice W : W = Spočítáme nyní agregovanou váhu pro každou variantu: w i = k v j w ij, v = (0.0545, , , , ). Jedná se v podstatě o vážený součet v jednotlivých řádcích. w 1 = = w 2 = w 3 = w 4 =

12 Neboť metoda maximalizuje užitek, vybíráme variantu, která má nejvyšší vypočtenou hodnotu agregované váhy. Optimální variantou tedy bude a 4. 12

Vícekriteriální hodnocení variant VHV

Vícekriteriální hodnocení variant VHV Vícekriteriální hodnocení variant VHV V lineárním programování jsme se naučili hledat optimální řešení pro úlohy s jedním (maximalizačním nebo minimalizačním) kritériem za předpokladu, že podmínky i účelová

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

Vícekriteriální rozhodování za jistoty

Vícekriteriální rozhodování za jistoty Kapitola 1 Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Vícekriteriální rozhodování za jistoty

Vícekriteriální rozhodování za jistoty 1 Část I Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

Výběr lokality pro bydlení v Brně

Výběr lokality pro bydlení v Brně Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Výběr lokality pro bydlení v Brně Projekt do předmětu Optimalizační metody Martin Horák Brno 5 Mendelova univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta

Více

Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů

Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů Klub regionalistů 11.11.2010 Projekt SGS SP/2010 Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů Jiří Adamovský Lucie Holešinská Katedra regionální a environmentální ekonomiky

Více

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7 Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í. Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní

Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í. Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní Z X 5 0 4 H o d n o c e n í v l i v ů n a ž i v o t n í p r o s t ř e d í Vybrané metody posuzování dopadu záměrů na životní prostředí. ř Posuzování dopadu (impaktu) posuzované činnosti na životní prostředí

Více

Simplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r

Simplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r Simplexová metoda Simplexová metoda, je jedním ze způsobů, jak řešit úlohy lineárního programování. Tato metoda vede k cíly, nelezení optimálního řešení, během konečného počtu kroků, pokud se při prvním

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Realizace metody AHP v prostředí tabulkového kalkulátoru. Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Realizace metody AHP v prostředí tabulkového kalkulátoru. Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav systémového inženýrství a informatiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Realizace metody AHP v prostředí tabulkového kalkulátoru Autor: Jaroslav Shejbal Vedoucí práce:

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech:

V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Příklad 1 V roce 1998 se v Liberci oženili muži a vdaly ženy v jednotlivých věkových skupinách v následujících počtech: Skupina Počet ženichů Počet nevěst 15-19 let 11 30 20-24 let 166 272 25-29 let 191

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Vícekriteriální hodnocení variant metody

Vícekriteriální hodnocení variant metody Katedra aplikované matematiky a informatiky Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích, Ekonomická fakulta 2010 Metody vícekriteriální hodnocení variant (VHV) Jak jsme již zmiňovali, VHV obecně neposkytuje

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. AHP - její silné a slabé stránky

DIPLOMOVÁ PRÁCE. AHP - její silné a slabé stránky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE AHP - její silné a slabé stránky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jana Talašová,

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt

František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009. Abstrakt Automatický výpočet chyby nepřímého měření František Batysta batysfra@fjfi.cvut.cz 19. listopadu 2009 Abstrakt Pro správné vyhodnocení naměřených dat je třeba také vypočítat chybu měření. Pokud je neznámá

Více

Matematické metody rozhodování

Matematické metody rozhodování Matematické metody rozhodování Roman Hájek, Klára Hrůzová, Tomáš Konečný, Markéta Krmelová, Martin Trnečka 20. března 2010 Rozhodovacíproblém: Výběrideálníhonotebooku. ID Notebook Váha Design Baterie Procesor

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

Přehled matematického aparátu

Přehled matematického aparátu Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu / Druh CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

VÝBĚR NEJVHODNĚJŠÍ HOSPODY

VÝBĚR NEJVHODNĚJŠÍ HOSPODY VÝBĚR NEJVHODNĚJŠÍ HOSPODY Matematická teorie rozhodování Vypracovali: Michal Hausner Lukáš Héža Daniel Koryčanský Petr Kovalčík Tomáš Talášek I. Přípravné práce V 18:00 chceme z kolejí Bedřicha Václavka

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

Metoda analýzy datových obalů (DEA)

Metoda analýzy datových obalů (DEA) Kapitola 1 Metoda analýzy datových obalů (DEA) Modely datových obalů slouží pro hodnocení technické efektivity produkčních jednotek na základě velikosti vstupů a výstupů. Hodnocenými jednotkami mohou být

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

VHODNOST A DOSTUPNOST TECHNOLOGIE PŘEPRAVY SILNIČNÍCH NÁVĚSŮ V TERMINÁLU KP

VHODNOST A DOSTUPNOST TECHNOLOGIE PŘEPRAVY SILNIČNÍCH NÁVĚSŮ V TERMINÁLU KP VHODNOST A DOSTUPNOST TECHNOLOGIE PŘEPRAVY SILNIČNÍCH NÁVĚSŮ V TERMINÁLU KP SUITABILITY AND AVAILABILITY OF ROAD TRAILERS TRANSPORT TECHNOLOGIES IN THE INTERMODAL TERMINAL Jaromír Široký 1, Martin Závojko

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

1.1 Posoudit varianty aplikace kompostu na snížení povrchového odtoku při intenzivních dešťových srážkách (metoda WSA metoda váženého součtu)

1.1 Posoudit varianty aplikace kompostu na snížení povrchového odtoku při intenzivních dešťových srážkách (metoda WSA metoda váženého součtu) Příklady využití aplikace OKS (Optimalizace krajinné struktury) Obsah 1. Použití multikriteriální analýzy 1.1 Posoudit varianty aplikace kompostu na snížení povrchového odtoku při intenzivních dešťových

Více

Konkurzní řízení ve společnosti SpenglerFox

Konkurzní řízení ve společnosti SpenglerFox Konkurzní řízení ve společnosti SpenglerFox Velká případová studie projektu ZIP ESF napomáhá rozvoji zaměstnanosti podporou zaměstnatelnosti, podnikatelského ducha, rovných příležitostí a investicemi do

Více

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,

Řešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů

Více

PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb

PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb 5.1. Rovnováha spotřebitele 5.2. Indiferenční analýza od kardinalismu k ordinalismu 5.3. Poptávka, poptávané množství a jejich změny 5.4. Pružnost tržní poptávky Poptávka

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Časové řady - Cvičení

Časové řady - Cvičení Časové řady - Cvičení Příklad 2: Zobrazte měsíční časovou řadu míry nezaměstnanosti v obci Rybitví za roky 2005-2010. Příslušná data naleznete v souboru cas_rada.xlsx. Řešení: 1. Pro transformaci dat do

Více

4.5 Stanovení hodnoticích kritérií a požadavky na jejich obsah

4.5 Stanovení hodnoticích kritérií a požadavky na jejich obsah nadhodnocením ukazatele výkonu). Současně se objektivností rozumí, že technické podmínky nebyly nastaveny diskriminačně, tedy tak, aby poskytovaly některému uchazeči konkurenční výhodu či mu bránily v

Více

Výsledný graf ukazuje následující obrázek.

Výsledný graf ukazuje následující obrázek. Úvod do problematiky GRAFY - SPOJNICOVÝ GRAF A XY A. Spojnicový graf Spojnicový graf používáme především v případě, kdy chceme graficky znázornit trend některé veličiny ve zvoleném časovém intervalu. V

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Aplikace metod vícekriteriálního rozhodování v lázeňském hotelu

Aplikace metod vícekriteriálního rozhodování v lázeňském hotelu Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze Tatyana Shevtsova Aplikace metod vícekriteriálního rozhodování v lázeňském hotelu Bakalářská

Více

Kartogramy. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita

Kartogramy. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Kartogramy Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Datum vytvoření dokumentu: 20. 9. 2004 Datum poslední aktualizace: 17. 10. 2011 Definice Kartogram je

Více

Jednotkový vektor vektor, která má na jednom místě jedničku a na ostatních nuly, například (0, 1, 0).

Jednotkový vektor vektor, která má na jednom místě jedničku a na ostatních nuly, například (0, 1, 0). 1. Základní pojmy www.cz-milka.net Systém neprázdná, účelově definovaná množina prvků a vazeb mezi nimi, která se zachycením vstupů a výstupů vykazuje kvantifikovatelné chování v čase. Model formalizovaný

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Hodnocení vybraných zemí EU za podpory metod multikriteriálního hodnocení variant

Hodnocení vybraných zemí EU za podpory metod multikriteriálního hodnocení variant JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA Katedra aplikované matematiky a informatiky Studijní program: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: Účetnictví a finanční řízení podniku

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.

4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet. 4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Bakalářská práce

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY. Bakalářská práce UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY Bakalářská práce Metody stanovení vah kritérií v modelech vícekriteriálního rozhodování Vedoucí

Více

Microsoft Office. Excel vyhledávací funkce

Microsoft Office. Excel vyhledávací funkce Microsoft Office Excel vyhledávací funkce Karel Dvořák 2011 Vyhledávání v tabulkách Vzhledem ke skutečnosti, že Excel je na mnoha pracovištích používán i jako nástroj pro správu jednoduchých databází,

Více

Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl

Optimalizace úvěrových nabídek. EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Optimalizace úvěrových nabídek EmbedIT 7.11.2013 Tomáš Hanžl Obsah Spotřebitelský úvěr Popis produktu Produktová definice v HC Kalkulace úvěru Úloha nalezení optimálního produktu Shrnutí Spotřebitelský

Více

Hodnocení kvality logistických procesů

Hodnocení kvality logistických procesů Téma 5. Hodnocení kvality logistických procesů Kvalitu logistických procesů nelze vyjádřit absolutně (nelze ji měřit přímo), nýbrž relativně porovnáním Hodnoty těchto znaků někdo buď předem stanovil (norma,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a

Více

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití

Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Stěžejní funkce MS Excel 2007/2010, jejich ovládání a možnosti využití Proč Excel? Práce s Excelem obnáší množství operací s tabulkami a jejich obsahem. Jejich jednotlivé buňky jsou uspořádány do sloupců

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce Petra Směšná žák chápe funkci jako vyjádření závislosti veličin, umí vyjádřit funkční vztah tabulkou, rovnicí i grafem, dovede vyjádřit reálné situace

Více

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, předmět Marketing a management, okruh Rozhodování

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, předmět Marketing a management, okruh Rozhodování Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, předmět Marketing a management, okruh Rozhodování Materiál vytvořil: Ing. Karel Průcha Období vytvoření VM: říjen 2013 Klíčová slova: GRID analýza

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

OFFICE MS EXCEL SEZNÁMENÍ S PROGRAMEM

OFFICE MS EXCEL SEZNÁMENÍ S PROGRAMEM Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Petr Koňařík MGV_VT_SS_1S2-D12_Z_OFF_EX_UVOD Informatika MS Office MS Excel - úvod OFFICE MS EXCEL SEZNÁMENÍ

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech

Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech Ondřej Konár, Marek Brabec, Ivan Kasanický, Marek Malý, Emil Pelikán Ústav informatiky AV ČR, v.v.i. ROBUST 2014 Jetřichovice 20. ledna 2014

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Radek Havlík [ÚLOHA 40 PODSESTAVY]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Radek Havlík [ÚLOHA 40 PODSESTAVY] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Radek Havlík [ÚLOHA 40 PODSESTAVY] 1 CÍL KAPITOLY Cílem této kapitoly je naučit se tvořit pracovat s podsestavami v CAD softwaru SolidEdge. Podsestavy se

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více