Václav Sýkora. Environmentální výchova v práci učitele matematiky

Transkript

1 Václav Sýkora Environmentální výchova v práci učitele matematiky Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta 2007

2 Zpracoval RNDr. Václav Sýkora, CSc. Václav Sýkora Technická spolupráce: Renata Skálová Text neprošel redakční ani jazykovou úpravou. Tato publikace je vydávána jako součást projektu Ekogramotnost, který je financován z ESF, státního rozpočtu ČR a rozpočtu HMP

3 Obsah 1 Úvod do problematiky Motivace matematických pojmů a poznatků objekty a jevy reálného světa Práce s daty Hypoikon Schéma klasifikace nebo třídění (přehled) Ukázky užití jednotlivých forem hypoikonu Modelování Tvorba úloh Nestandardní úlohy Matematika a umění

4 - 4 -

5 1 Úvod do problematiky Od 1. září 2007 budou školy (zatím jenom základní) pracovat podle samostatně vytvořených školních vzdělávacích programů. Učitelé budou sami nebo v týmu projektovat učivo na základě Rámcových vzdělávacích programů základního vzdělávání (dále jen RVP) s přihlédnutím k vlastním zkušenostem, předpokladům a potřebám školy nebo k požadavkům rodičů. Projektování učiva představuje profesní dovednost, která je pro českého učitele nová nebyl k tomu připravován ani v pregraduální přípravě ani v dalším vzdělávání. Je tedy nejvýše potřebné poskytovat učitelům návody a materiály, které jim podobný úkol usnadní. Obsahově přináší RVP v matematice na základní škole jenom minimum požadavků. Učitelé mají tedy poměrně značnou volnost k naplnění obsahové stránky výuky a volbě metod užívaných při vyučování. Jejich volnost není v žádném případě neomezená. Musí respektovat doposud existující přijímací zkoušky na střední školy, musí brát v úvahu horizontální prostupnost nezbytnou pro žáky měnící bydliště apod. Lze očekávat, že na školách nedojde k podstatným změnám v koncipování obsahové stránky školské matematiky. RVP však od učitele žádá, aby v rámci vlastního projektování učiva respektoval soudobé obecně pedagogické a didaktické kladené na moderní školu. Tyto požadavky vycházejí z nutnosti vyrovnat se s informační explozí, kterou svět prochází a z nezbytnosti efektivně připravit mladou generaci na praktický život v dynamicky se rozvíjející společnosti. RVP proto formuluje klíčové kompetence a průřezová témata, z nichž mají učitelé při projektování vlastní práce vycházet. Zdá se to být paradoxní, ale člověk bude ve 21. století patrně potřebovat k úspěšnému profesnímu i soukromému životu méně osvojených konkrétních matematických poznatků než v předcházející době. Rozvoj civilizace se sice bude ve stále větší míře opírat o výsledky matematiky a dalších vědeckých disciplín, pro praktickou potřebu lidí budou však tyto poznatky předpřipraveny v podobě softwarových výbav počítačů. Týká se to i vysokoškolsky vzdělaných lidí jako jsou techničtí, ekonomičtí a další inženýři nebo pracovníci těchto oborů. Víme všichni, že zatímco se naši otcové ještě učili algoritmus druhé odmocniny, v současné době uvažují didaktici matematiky už o nepotřebnosti algoritmu písemného dělení. Výzkumy ukazují, že běžný občan se ve svém praktickém životě spokojí s aritmetikou přirozených čísel a desetinných čísel zaokrouhlených na dvě desetinná místa (peníze jsou až na prvním místě). Méně již vstupuje do života běžného občana matematický poměr nebo výpočet hodnot přímé či nepřímé úměrnosti (trojčlenka). Geometrizace reálného světa by ve škole měla být prioritní, žijeme přece v euklidovském trojrozměrném prostoru. Jednoduché výzkumy ale opět ukazují, že je obtížně hledat občana, který při zatloukání hřebíku do podkrovního stropu pomyslí na definici nebo kriterium kolmosti přímky k rovině, stejně obtížně najdeme dokonce i mezi učiteli matematiky základní školy občany, kteří dokáží vyslovit přesnou definici podobnosti v rovině nebo v prostoru (i když se denně setkávají s jejími předmětnými modely). Zato však všichni pracujeme s daty a informacemi znázorněnými grafy, diagramy nebo tabulkami, všichni měříme a přepočítáváme jednotky (přinejmenším peněžní měny), všichni hledáme optimální strategie řešení nejrůznějších (i nematematizovaných) problémů, všichni se potřebujeme orientovat v našem (trojrozměrném) prostoru a všichni pracujeme s obrazy trojrozměrných těles na dvojrozměrném papíru nebo monitoru. Nikdo dnes nesčítá nudli čísel na účtu u pokladny v Tescu, všichni nakupující ji ale přelétnou a snaží se odhadnout, zda nebyli (příliš) ošizeni. To jsou jenom příklady obecných dovedností, které rozvíjí ve škole především matematika, a které potřebuje v praktickém životě každý člověk (i když není ve své profesi zaměřen na matematiku nebo její využití). V tomto smyslu bude patrně také třeba měnit školskou matematiku. Domníváme se, že pojem kompetence, který pedagogika ve světě zavádí, a který didaktika matematiky ve světě velmi intenzivně studuje, by mohl přispět k nalezení východiska ze současné situace. Klíčové kompetence jsou formulovány v RVP na obecné - 5 -

6 úrovni. V dalším se dostaneme ke konkretizaci kompetencí, o nichž soudíme, že by je měla matematika rozvíjet v souladu s naší problematikou. Existuje velmi rozšířený názor, že v rámci vyučování matematice nebudou tzv. průřezová témata hrát stejnou roli jako při výuce jiných předmětů. Nemůžeme je však opomenout úplně, protože i vyučování matematice vytváří příležitosti pro individuální uplatnění žáků i pro jejich vzájemnou spolupráci a pomáhá rozvíjet osobnost žáka především v oblasti postojů a hodnot. Práci s průřezovými tématy si můžeme ukázat např. na průřezovém tématu Osobnostní a sociální výchova. K naplňování jednoho z jeho tematických okruhů - Osobnostní rozvoj - připívají činnosti, na jejichž základě jsou utvářeny a rozvíjeny vybrané osobnostní rysy žáků. Řešení matematických úloh rozvíjí např. soustředěnost, cílevědomost, vytrvalost a tvořivost žáků. Obecná dovednost klasifikovat prvky dané množiny rozvíjená v matematice umožňuje žákům účelně uspořádat své záležitosti i v běžném životě a představuje nástroj využitelný a potřebný ve všech dalších disciplínách. Výuka matematiky výrazně přispívá k rozvoji dovednost řešit problémy nejen individuálně, ale i při vhodně volených strategiích výuky podporuje i dovednost řešit problémy v týmu. Úvahy o využitích průřezových témat či jejich tématických okruhů mohou ve svém důsledku vést i k zařazení v současné době nedostatečně akcentovaných matematických témat. Dokladem toho mohou být poznatky z historického vývoje matematiky, které ve škole opomíjíme nebo jen stručně připomínáme v rámci tzv. historických poznámek. Přitom didaktika matematiky má pro to již dlouhou dobu zdůvodnění opírající se o racionální hypotézu (genetická paralela, která říká, že vývoj matematického poznatku v hlavě jedince je podobný jeho vývoji fylogenetickému, tedy v historickém vývoji matematiky). Historický vývoj matematiky je ukázkovým příkladem multikulturních postojů tolik zdůrazňovaných v dnešní době. V historii evropské matematiky můžeme velmi názorně vysledovat vlivy a přínosy antické, čínské, indické nebo arabské. Matematická kultura Mayů předstihla o mnoho století naše poznání a pro žáky by z tohoto příkladu měla vyplývat reflexe úsilí směřujícího k zachování převzaté kultury a jejího dalšího rozvíjení. Co jiného je historický vývoj matematiky než brilantní ukázka rozvoje myšlení v evropských a globálních souvislostech. Ani současným snahám o hledání rozumných přístupů k tzv. environmentální výchově by se vyučování matematice nemělo vyhýbat. V hodinách matematiky můžeme nenásilně obracet pozornost žáků k jejich bezprostřednímu životnímu okolí tematický okruh Lidské aktivity a problémy životního prostředí (anglicky environment prostředí, okolí, vnější životní podmínky). Stačí například vyjít na ulici a pozorovat svět kolem sebe geometrickým filtrem. Stěny a nároží budov, střechy představující řezy hranolů rovinami, složité kompozice vikýřů vnořených do rovin střech, ale i velmi netriviální artefakty (střechy moderních budov nebo hal ve tvaru hyperbolických paraboloidů nebo tančící dům v Praze) můžeme vidět kolem sebe na každém kroku. Chápání environmentální výchovy jako modelování matematických poznatků na objektech našeho reálného okolí, to je přístup, který matematice jenom napomůže. Nezanedbatelné důvody vedoucí k tomuto pojetí jsou didaktické. Důležitou etapou pojmotvorného procesu je práce s předmětnými (separovanými) modely matematických pojmů a poznatků. Bez nich dochází k formálnímu učení, které považujeme za jednu z největších slabin matematického vzdělávání. Formálním učením rozumíme zjednodušeně mechanické osvojování si např. matematických vzorečků bez porozumění jejich logice. Podle tohoto modelu má proces osvojení (ontogeneze) matematického pojmu nebo poznatku následující etapy: - 6 -

7 1. synkretická etapa, 2. etapa separovaných (předmětných) modelů, 3. etapa univerzálního modelu, 4. zpřesňování pojmu, jeho krystalizace, strukturalizace a automatizace. Synkretická etapa byla popsána již Claparèdem a zahrnuje období v němž nejsou rozlišovány podstatné průvodní jevy osvojovaných matematických pojmů nebo poznatků. Práce se separovanými modely tvoří základní náplň konkrétních činností vedoucích k abstrakčnímu zdvihu. Tím se rozumí kvalitativní změna v uchopování matematického pojmu a v práci s ním. Od tohoto okamžiku užívá žák univerzálního modelu a poznatku o něm k činnostem souvisejícím s jeho jednotlivými reprezentanty i k mentálním činnostem, k úsudkům v abstraktní rovině. Poslední etapa charakterizuje další rozvoj pojmu i úroveň jeho osvojení jednotlivcem. Zatímco první tři etapy by měly být teoreticky stejné pro každého, kdo pracuje s daným matematickým pojmem nebo poznatkem, poslední etapa se vyznačuje hlubokou diferenciací vyvolanou především profesionální specializací. Například osvojení pojmu číslo u matematika bude z hlediska 4. etapy hlubší než osvojení tohoto pojmu u inženýra užívajícího matematiku k rutinním výpočtům ve stavebnictví. Stejně tak bude u inženýra hlubší než u řidiče autobusu, který omezuje užití pojmu číslo na základní operace s desetinnými čísly. Shrneme některé dosavadní skutečnosti porovnáním se základními dokumenty kurikulární reformy. Environmentální výchova vede podle RVP žáka k pochopení komplexnosti a složitosti vztahů člověka a životního prostředí. V maximální míře využívá přímých kontaktů žáka s okolním prostředím a propojuje rozvíjení myšlení s výrazným ovlivňováním emocionální stránky osobnosti jedince. Umění a kultura poskytuje environmentální výchově mnoho příležitostí pro zamyšlení se nad vztahy člověka a prostředí. Mezi jiným dále poskytuje znalosti, dovednosti a pěstuje návyky nebytné pro každodenní žádoucí jednání občana vůči prostředí. Z těchto předpokladů bychom měli odvodit i náš přístup k rozvíjení průřezového tématu environmentální výchova ve vyučování matematice na 2. stupni ZŠ. Připomeňme ještě, jaký je vůbec význam slova environmentální: environment životní prostředí, okolí člověka, vnější podmínky pro život (Slovník cizích slov, Encyklopedický dům, Praha 1993, ISBN ). Vezmeme-li dále v úvahu výše uvedený model ontogeneze matematických pojmů a poznatků, zdá se být rozumné spojovat cíle environmentální výchovy především s druhou fází ontogenetického procesu. Tím je práce s předmětnými (separovanými) modely matematických pojmů a poznatků. Je to fáze nesmírně důležitá, zmínili jsme se již, že její absence nebo i podcenění vede k formálnímu učení. V zásadě se domnívám, že je neúčelné a neproduktivní zaměřovat problematiku environmentální výchovy jen na užívání úloh obsahujících tzv. ekologickou tématiku. Z minulých období jsme byli zvyklí na to, že režimní požadavky na tuto složku výchovy byly plněny formálně tak, že staré a tradičně používané úlohy byly přeformulovány tak, aby se zabývaly především otázkami znečišťování prostředí nebo vztahu člověka a výroby. Samozřejmě, nebudeme nic namítat proti tomu, jestliže ve škole budou řešeny úlohy typu: Jana nasbírala 30 odpadků. Libor o 15 odpadků více než Jana a Martin o 10 odpadků více než Libor. Kolik odpadků nasbíral Libor a kolik Martin? Kdo by vyhrál soutěž o nejlepšího sběrače odpadků? (Holubová, D Environmentální výchova ve vyučování matematice. MU Brno, s. 45). Totéž se týká úloh o cigaretách, PET lahvích, automobilové dopravy a příslušných datových informacích. Domnívám se, že formativní působení školské matematiky by se však nemělo omezovat jenom na věcnou transformaci klasických úloh, které jsou po matematické - 7 -

8 stránce stejné desítky let. Věci prospěje daleko víc, když budou žáci vedeni k tomu, aby se učili vnímat realitu i z hlediska jejího formálního popisu, tedy v matematizované podobě a když budou současně vedeni ke komplexní diskusi o reálných situacích. Budeme-li tyto situace matematizovat, nevynecháme také příležitost diskutovat o potřebnosti či vhodnosti nebo nevhodnosti zkoumaných objektů či jevů a jejich vlivu na kvalitu našeho života. Jenom kritické myšlení je schopno porovnávat výhody nebo nevýhody změn v našem prostředí pro kvalitu našeho života. Formativní cíle jsou tak nenásilně spojovány s didaktickými požadavky na vyučování matematice. Pokusím se proto zformulovat základní oblasti, v nichž by školská matematika měla rozvíjet představy environmentální výchovy. K některým z nich existuje dostupná literatura, popřípadě texty odborníků, kteří se touto problematikou speciálně zabývají. Odkáži na ně, studium originálních textů bude mnohem přínosnější pro práci učitelů. Klíčové možnosti pro realizaci cílů environmentální výchovy vidím, v souladu s tím, co bylo výše řečeno, v následujících okruzích didaktiky matematiky: 1.1 Motivace matematických pojmů a poznatků objekty a jevy reálného světa Omezíme se jen na příklady. Jízdní kolo je vrcholně ekologický dopravní prostředek a zároveň objekt poskytující nepřeberné množství situací využitelných z hlediska vyučování matematice. V příloze je uvedena řada možností, jak využít jízdního kola ve vyučování matematice na základní i střední škole. Jde například o identifikace objektů (rám kola bývá tvořen čtyřúhelníkem, jehož určenost mohou žáci zkoumat a výsledný čtyřúhelník konstruovat). Využití Cabri geometrie je přitom také v příloze uvedeno na konkrétních souborech. Můžeme studovat polohové vlastnosti jednotlivých útvarů na obrázku kola (čtyřúhelníky a kružnice). Převody jednotek jsou na jízdním kole také velice zajímavé vzhledem k užití palců (které budeme v praktickém životě užívat patrně i ve vzdálené budoucnosti). Cabri geometrie umožňuje zkoumat dynamiku situací v podobě množin bodů (trajektorie bodů při pohybu kola,viz příloha). V učebnici (Matematika s Betkou 3, Scientia, Praha 1998, ISBN ) je na (viz příloha) uvedena jedna z možností didaktického využití jízdního kola (obvod kružnice). Samotné kolo je vhodným objektem pro formulaci projektů. Jednoduché projekty zabývající se například finančními aspekty nákupu a provozu kola a jeho využívání v místní dopravě, konstrukčními a početními úlohami vedoucími k zobrazení jednotlivých dílů kola a jejich technologickému zpracování (rám jako čtyřúhelník, řetěz a jeho délka, rozměry dalších součástí kola) mohou podstatně zpestřit vyučování matematice (zejména pro chlapce). Řada z nich patrně nezná především rozměrové normy (v palcích) a mohou si je samostatně opatřit ve specializovaných prodejnách nebo servisech. Motivace geometrických zobrazení využívající automobilu jako jednoho z nejvýznamnějších prvků naší každodennosti je didakticky zpracována v jiném dílu uvedené učebnicové řady (Matematika s Betkou 2). Obecně řečeno, nechceme, aby žáci všude viděli matematiku. Je však škoda, jestliže značky automobilů si mnohé děti osvojují již dlouho před příchodem do školy a nedokáží uvést jejich základní znakové charakteristiky do souladu s učivem probíraným ve škole. V příloze jsou uvedeny fotografie objektů, které představují separované modely základních geometrických pojmů nebo poznatků. Například motivace systému souřadnic v rovině je z hlediska jeho strukturální povahy patrná na řadě objektů z reálného světa. Patří k nim i mříže na oknech, dnes stále častější vzhledem ke kriminalitě. Střechy domů mohou mít i komplikovanější podobu. Jehlan a útvary složené z jehlanů mají náročné matematické charakteristiky (objem, úhel rovin apod.). Jejich motivace je proto didakticky velmi užitečná. Zobrazování v kolmém promítání může využívat budov, které nemají tradiční tvar kvádru. Podobné útvary poskytují mnoho námětů na úlohy nebo projekty s početní tématikou (objemy, povrchy) přiměření i 2. stupni ZŠ. Podobné situace poskytují i nejrůznější současné stavby, mnohdy bizarního tvaru avšak složené ze základních prostorových útvarů obsažených v matematice základní školy. Složité stavební útvary vybízejí nejen k úvahám, - 8 -

9 zda jsou nezbytné pro život ve městě, ale i například k úvahám o matematických metodách výpočtu objemu. 2 Práce s daty Práce s daty je velmi důležitou kompetencí rozvíjenou ve školské matematice. Stále jí věnujeme málo pozornosti, přestože je jednou z kompetencí nezbytných pro každého občana (na rozdíl například od algebraických algoritmů). Uvedeme nejprve několik poznatků teoretických, poté se pokusíme porovnat konkrétní znakové formy užívané v našich učebnicích matematiky. V sémiotice (nauce o znacích) vychází zobrazování dat z některých pojmů, které pro naše potřeby vymezíme popisem jejich praktického užití: 2.1 Hypoikon HYPOIKONEM budeme v didaktice matematiky nazývat znak, který ikonicky reprezentuje vztahy (relace) mezi prvky dané množiny nebo jejími částmi. Přitom tyto prvky ani části množin ikonicky reprezentovány nejsou. Příklady: TABULKA je v matematice i ve vyučování matematice užívána v řadě různých významů: tabulka adiční, multiplikační, grupová, kontingenční, pravdivostních hodnot, četností. Ve významu hypoikonu ji ve školské matematice užíváme především jako tabulku četností, tedy jako reprezentaci distribuce prvků nebo částí dané množiny podle zvoleného kritéria. Například: - Rozdělení podniků podle dodržování ekologických zásad. - Rozdělení pracovníků podniku podle jejich platů. - Rozdělení rychlostí tělesa vrženého svisle vzhůru podle času. Poměrně komplikovaná situace s užíváním pojmu tabulka v matematice i ve školské matematice vyplývá především z té skutečnosti, že v teorii písma figuruje tabulka v obecném pojmu jako jeden ze dvou základních typů užívaných písem (vedle skriptu jako lineárního písma). DIAGRAM obvykle graficky znázorňuje údaje uváděné v tabulce. Ve vyučování matematice ho užíváme především v podobách uvedených v Názvech a značkách školské matematiky: Diagram: diagram lineární, spojnicový, sloupkový, hůlkový, kruhový. Histogram.. Na jiném místě uvádí citovaná publikace: Sloupkový diagram, též histogram. Spojnicový diagram, též polygon četnosti. Kruhový diagram.. Setkáváme se také s užíváním termínů množinové diagramy, Vennovy diagramy. V programování je zaveden pojem vývojový diagram. Pokus o podrobnější definici pojmu diagramu ve vyučování matematice přináší Slovník školské matematiky: diagram schematické znázornění závislosti dvou nebo více veličin. Užívá se např. ve statistice, ekonomii i v technické praxi k získání rychlého a zjednodušeného přehledu o závislosti veličin. Užívá-li se k vyjádření závislosti obrázků určitých předmětů, mluvíme o diagramu obrázkovém (obrázek). Užívají-li se sloupky nebo úsečky, jde o diagram sloupkový nebo hůlkový. Poměr několika veličin se často znázorňuje digramem kruhovým. Jiné vymezení histogramu: tabulka četností Její grafické znázornění se nazývá histogram. Je to skupina n obdélníků, jejichž základny jsou intervaly na - 9 -

10 číselné ose a jejich výšky jsou voleny tak, že obsahy obdélníků jsou přímo úměrné absolutním, popř. relativním četnostem. S GRAFEM je situace složitější především proto, že jde o základní pojem teorie grafů, která ale není ucelenou součástí školské matematiky. Definice grafu v rámci této teorie nekoresponduje se sémantikou slova graf tak, jak jej ve školské matematice užíváme (graf funkce ve smyslu grafické znázornění funkce, graf relace, kartézský graf relace, uzlový graf relace, grafické znázornění, grafická metoda, grafické řešení. Množina bodů (a, f(a)), kde a A, se nazývá graf funkce f. Někdy se funkce ztotožňuje se svým grafem. V geometrii hovoříme také o grafickém sčítání úseček nebo úhlů jako o jedné z reprezentací nově zaváděných operací. Vycházíme přitom z didaktického tvrzení o tom, že grafické znázornění usnadňuje osvojení nového pojmu. Jedna ze základních publikací sjednocujících moderní českou terminologii didaktiky matematiky hovoří přitom o grafu jenom z hlediska jeho matematické definice: Je-li dána funkce y = f(x), pak množina všech bodů roviny, jejichž souřadnice x, y vyhovují vztahu y = f(x), se nazývá grafické znázornění čili graf funkce y = f(x) Schéma klasifikace nebo třídění (přehled) SCHÉMA KLASIFIKACE NEBO TŘÍDĚNÍ (PŘEHLED) představuje schéma znázorňující provedené třídění nebo klasifikaci. Bývá také vztahováno ke statistice: Třída ve statistice znamená množinu všech prvků statistického souboru, které mají tutéž hodnotu znaku nebo (je-li znak kvantitativní) jejichž hodnoty znaku jsou v daném intervalu hodnot. Určení tříd se nazývá třídění statistického souboru podle znaku.. Třídění přitom vychází z matematicky exaktně definovaného pojmu ekvivalence v množině. Jde o známou binární relaci v množině A, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní a vymezuje v této množině třídy ekvivalence. Množina těchto tříd tvoří rozklad množiny A, který nazýváme rozklad množiny příslušný k dané ekvivalenci. Třídění nebo klasifikaci považujeme přitom v didaktice matematiky za velmi důležitou kompetenci, která je specifická pro exaktní vědecké disciplíny (matematika, přírodní vědy, lingvistika), a která je velmi důležitá pro rozvoj abstraktního myšlení. Představuje nezbytnou základnu pro strukturalizaci představ. Důležitá je i z hlediska práce učitele matematiky. Korektní hodnocení např. písemných prací žáků se neobejde bez správné klasifikace chyb, bez níž nelze přesně lokalizovat místo a typ chyby, které se žák dopustil. Formální vzhled schématu, který reprezentuje klasifikaci bývá různý. Většinou se setkáváme s tabulkovými schématy nebo s užitím orientovaných grafů

11 2.3 Ukázky užití jednotlivých forem hypoikonu Uvedeme ukázky užití jednotlivých forem hypoikonu pro práci s daty v matematice na ZŠ: Vesměs jde o úlohy, zabývající se tvorbou diagramu nebo znázorňováním zkoumaných závislostí. Tento výběr úloh vedl také k členění úloh. Vybrány jsou tři základní kategorie úloh: a. Dovednost znázornit hypoikon b. Porozumění hypoikonu c. Transformace znakové reprezentace v užití hypoikonu Většina úloh se neomezuje pouze na verbální formulaci, ale text úloh je doplněn schématy, obrázky, tabulkami, číselnými informacemi. Příklad: Zdroj: Molnár, J, a kol. Matematika 8. Olomouc: Prodos, Příklad 3, s. 136 Instrukce je dána větou :,, Vytvořte na základě těchto údajů kruhový diagram. Tato instrukce obsahuje pokyn k transformaci znakové reprezentace, která navíc nemá čistě ikonický charakter. Lze říci, že pokud si žáci osvojí mechanismus podobné transformace, není pro ně asi řešení podobné úloh příliš náročné. Ze znakového hlediska však musíme konstatovat, že jde o poměrně náročný mentální proces, k němuž navíc nemá žák k dispozici žádné podpůrné prostředky. Formulace,,sestavte vhodný diagram klade další nároky na volbu žákovu strategii řešení úlohy, protože jejím prvním krokem musí být nalezení tvaru nebo druhu hypoikonu, který žák uzná za vhodný nebo přiměřený dané reálné situaci. Příklad: Kruhovým diagramem znázorněte situaci, kdy při cestě do zaměstnání užívá osobního automobilu a) 12,5%, b) 25%, c) 75% Instrukce obsahuje pouze číselné údaje, přičemž klade vysoké požadavky na úroveň abstrakce. Zatímco všechny ostatní ukázkové příklady vycházejí z popisu určitých reálných situací ať už fiktivních nebo konkrétních (počty žáků vaší třídy), tato úloha v podstatě vyžaduje transformaci znakových reprezentací tří úloh, to znamená pro množinu všech myslitelných úloh v nichž chci znázornit část zahrnující 75 % celku. Zdroj: Novotná, J. Matematika s Betkou 2. Pro 7. ročník ZŠ. Praha: Scientia, Úloha 1, s

12 Hypoikonická tabulka je v části b) transformována na textové tabulkové schéma, běžně využívané v didaktice matematiky pro zápis funkčních závislostí. Příklad:

13 Zdroj: Koman, M; Kuřina, F, Tichá, M. Matematika pro 4. ročník ZŠ. Pracovní sešit. Praha: Matematický ústav AV ČR, Příklad 1, s. 28. Celkově lze k ukázkovým příkladům říci, že ve všech případech se jedná o rozvoj dovednosti znázornit hypoikon, s tím, že jednotlivé příklady se liší jednak úrovní náročnosti, pokud jde o poskytované informace, jednak rozsahem podpůrných nástrojů, které mají žákům usnadnit úspěšné řešení úlohy. Podíváme-li se přehledně na ukázky příkladů z vybraných učebnic, vidíme na první pohled, že jejich zadání jsou tvořena kombinací verbálního textu s grafickým znázorněním hypoikonu, popřípadě zvláštním textovým schématem. Příklad: Zdroj: Molnár, J, a kol. Matematika 8. Olomouc: Prodos, Příklad 1, s

14 Příklad: Zdroj: Mikulenková, H., Molnár, J. Matematika pro 4. ročník. 2. díl. Olomouc: Prodos, Příklad 3, s. 54 Další soubor vybraných příkladů ze stávajících učebnic se zaměřuje na problematiku transformace znakové reprezentace v užití hypoikonu. Soubor tvoří osm příkladů z pěti různých učebnic, v nichž je užíváno didaktické zpracování hypoikonu především formou tabulky, sloupkového diagramu a kruhového diagramu. Zabýváme-li se problematikou transformace znakové reprezentace vyplývá z toho logicky šest hypotetických situací: transformace tabulky na sloupkový diagram (T S) nebo na kruhový diagram (T K), transformace sloupkového diagramu na tabulku (S T) nebo na kruhový diagram (S K) a konečně transformace kruhového diagramu na tabulku (K T) nebo sloupkový diagram (K S). Ukázalo se, že toto hypotetické schéma je poněkud zjednodušující, ve zkoumaných učebnicích se objevily i některé další typy transformace. Především se musíme zmínit o úlohách, které obsahují,,vícenásobné transformace. Dále potom jde o příklady, které zahrnují vyšší formy užití hypoikonu. V dalším příkladu je popsána situace, která vede k transformaci grafického znázornění funkční závislosti na tabulku. Poznamenávám, že množina ukázkových příkladů si nečiní nárok na úplnost z hlediska identifikovaných jevů. Podrobnější zkoumání konkrétních transformací znakových reprezentací přinese další výsledky

15 Příklad: Zdroj: Odvárko,O; Kadleček, J. Pracovní sešit z matematiky. Soubor úloh pro 8. ročník ZŠ. Praha: Prometheus, spol. s r. o, Příklad 7, s Příklad: Zdroj: Koman, M; Kuřina, F, Tichá, M. Matematika pro 4. ročník ZŠ. Pracovní sešit. Praha: Matematický ústav AV ČR, Příklad 1, s

16 Příklad: Zdroj: Mikulenková, H., Molnár, J. Matematika pro 4. ročník. 2. díl. Olomouc: Prodos, Příklad 2, s. 44 Transformace tabulky na sloupkový diagram v uvedených příkladech ukazuje především různou míru metodické pomoci žákovi při vlastní realizaci této transformace. První příklad uvádí v podstatě jen tabulku obsahující pět uspořádaných dvojic čísel (rok, počet uživatelů v tisících) a instrukci:,,zobraz uvedené údaje pomocí sloupkového diagramu. Jediná forma pomoci je obsažena ve verbálním pokynu, podle něhož má žák zobrazovat,, uživatelů jako 1 cm. Nebudu podrobněji diskutovat formální správnost této instrukce (zobraz jako úsečku délky 1 cm), skutečností zůstává, že vlastní provedení sloupkového diagramu z hlediska jeho umístění, měřítka, volby osy atd., zůstává plně na žákovi. Příklady druhý a třetí jsou určeny žákům mladšího věku (4. ročník ZŠ) a autoři hledají nástroje, které by žákovi při konstrukci sloupkového diagramu pomohly. V obou případech jde o tabulkové schéma bez těsnější analogie s grafickým znázorněním souřadnicového systému. Obě tabulková schémata mají tvar vnitřně členěného obdélníku doplněného číselnou škálou příslušející ke straně ve vertikální poloze a alfabetickou nebo verbální škálou ve zbývajících případech. Číselná škála vyjadřuje kvantitativní údaje z tabulky s odpovídající mírou zaokrouhlení, alfabetická škála vychází z prvních písmen názvu měst obsažených v tabulce, verbální škála uvádí názvy jednotlivých stromů rovněž zahrnutých v dané tabulce. Transformace znakových reprezentací hypoikonu v dalším příkladu je pozoruhodná tím, že před vlastním provedení transformace je třeba doplnit tabulku. To spočívá v zaokrouhlení daných přirozených čísel na tisíce. Můžeme tedy konstatovat, že příklad kombinuje práci s hypoikonem s procvičením operačních dovedností týkajících se numerického počítání (zaokrouhlování přirozených čísel)

17 Příklad: Zdroj: Hošpešová, A; Divíšek, J, Kuřina, F. Svět čísel a tvarů. Matematika pro 5. ročník. Praha: Prometheus Příklad 7, s. 60. Příklad požaduje od žáka 5. ročníku ZŠ transformaci sloupkového diagramu na tabulku (S T). Pozoruhodné je, že schéma sloupkového diagramu je v tomto příkladu již přizpůsobeno později užívanému schématu souřadnicové soustavy (dvě kolmé osy doplněné šipkami naznačující možnost zápisu dalších hodnot příslušných veličin). Ve srovnáni s předcházejícími příklady, kde sloupkový diagram měl tvar obdélníkového schématu, je třeba připomenout, že poznatky žáků o užití souřadnicových soustav patrně během tohoto roku nepokročily natolik, aby bylo možno radikálně změnit grafické schéma. Ve znázornění sloupkového diagramu je poněkud nepochopitelné, že barevné sloupce jsou nejen oddělené (vertikální strany nesplývají), ale navíc jsou v pozadí barevných sloupců vytvořeny intervaly do jejichž vnitřku jsou barevné sloupce zasazeny. Není docela jasné z jakého důvodu je toto druhé pozadí ve sloupkovém diagramu zahrnuto

18 Příklad: Zdroj: Molnár, J, a kol. Matematika 8. Pracovní sešit II. část. Olomouc: Prodos, Příklad 3, s. 105 Rozvoj dovednosti transformace sloupkového diagramu na kruhový (S K), je rozvíjena například v příkladu určeného pro 8. ročník ZŠ. V sloupkovém diagramu je přitom pozoruhodné to, že se jedná o poměrné údaje v jednotlivých letech a od žáka je vyžadována tvorba několika kruhových diagramů vztahujících se k těmto obdobím. Základní množina (počet uživatelů mobilních telefonů) je přitom proměnlivá. Zatímco v roce 1996 kruhový diagram znázorňoval plný kruh (vztahuje se ke 46 tisícům uživatelů) v následujícím roce už evidujeme dva údaje, reprezentované dvěma středovými úhly (celkem se vztahující k 200 tisícům uživatelů). Od žáka je tudíž vyžadována nejen transformace sloupkového diagramu na kruhový, ale i schopnost porozumět kruhovému diagramu v tom smyslu, že kruhy s týmž poloměrem mohou být vztaženy k různě početným základním množinám

19 3 Modelování Za významnou kompetenci rozvíjenou ve vyučování matematice považujeme obecnou dovednost matematizovat reálné situace. Využití formálního matematického aparátu k řešení reálných problémů je důležitou součástí vzdělanostní úrovně moderního člověka. Součástí této dovednosti je i uplatnění poznatkového aparátu geometrického učiva při řešení reálných problémů. Žijeme v trojrozměrném světě a potřebujeme k tomu nezbytnou prostorovou orientaci, zobrazujeme trojrozměrná tělesa na dvojrozměrném papíru (nebo monitoru) a potřebujeme k tomu základní poznatky z planimetrie a stereometrie. V práci učitele matematiky se to projevuje jako potřeba osvojit si profesní kompetencí, kterou je obecná dovednost rozvíjet geometrické pojmy v prostředí tzv. pojmotvorného procesu. Jeho nezbytnou součástí je etapa tzv. separovaných (předmětných) modelů, která je nutná nejen pro správné formování pojmu, protože garantuje neformálnost procesu učení, ale zároveň má největší význam pro praktickou využitelnost geometrických pojmů a poznatků. Žáci si musí uvědomovat a vnitřně přijímat skutečnost, že geometrický popis světa je nezbytný pro jejich profesní i osobní život nezávisle na jejich odborné orientaci. V současné době, kdy většinu algoritmických postupů řešení problémových situací přejímají počítače, musí matematika nacházet metody a prostředky, jak zdůvodnit svoji užitečnost pro každého člena společnosti. Geometrie má k tomu větší předpoklady než ostatní matematické disciplíny, přestože je její úloha ve škole (na celém světě) podceňována. Hlavním cílem kurzu je proto poskytnout učiteli konkrétní návody k posílení motivace žáků, zvýšení jejich zájmu o geometrické učivo a prohloubení jejich reflexe o užitečnosti geometrických poznatků pro praktický život. Obsahem kurzu bude především seznámení učitelů s novými formami modelování geometrických pojmů a poznatků. Na PedF UK v Praze je k dispozici dostatek podkladů například pro geometrii překládaného papíru, pop-up geometrii či využití reálných objektů k rozvoji geometrických představ (krabicová geometrie, origami apod.). Velmi důležité je využití speciálních počítačových software (Cabri geometrie). Kurz přispěje k jejich zavedení do práce škol. Školská matematika představuje stále poměrně stabilní součást učebního plánu ZŠ, lze však očekávat, že v blízkém časovém horizontu bude řešit kardinální problémy, které se stanou tvrdým oříškem pro další vzdělávání učitelů matematiky. Hlavní příčiny jsou dvě: Především je to vpád výpočetní techniky do praktického života veškeré populace. V důsledku toho nám mizí nebo budeme muset transformovat celá témata tradiční školské matematiky, především ta, která mají algoritmický základ. Na druhé straně už teď víme, že Cabri geometrie poskytuje nové, doposud nemyslitelné didaktické využití pro rozvoj geometrické představivosti žáků. Druhou příčinou je využitelnost matematických poznatků v praktickém životě. Matematika rozvíjí některé obecné dovednosti důležité pro každého člena společnosti, málo to ale dokazujeme a často ve vyučování matematice lpíme na faktografických poznatcích, která většina lidí po ukončení školy zapomene. Dnes se přitom hledají hodiny pro nové oblasti, které politiky zajímají víc než matematické vzdělání. Můžeme se proto obávat, že matematika bude ztrácet časovou dotaci, pokud nezměníme radikálně postoje učitelů

20 4 Tvorba úloh Česká školská matematika je tradičně zvyklá na pasivní postoj žáků očekávajících přesnou formulaci úlohy, kterou pak budou řešit pokud možno osvojenými a procvičenými algoritmy. Didaktika matematiky u nás zatím nedokázala ani v širší míře využívat úlohy se zbytečnými nebo nedostatečnými údaji, které vedly žáky k tomu, aby důkladně studovali vlastní formulaci úlohy. Současné didaktické trendy jdou ještě dál. Předkládají žákům popis situace a vybízejí je k samostatnému formulování úloh a problémů, které je možno v dalším řešit. Environmentální problematika k tomu poskytuje řadu příležitostí. U nás se na tyto otázku specializuje doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc. V příloze jsou uvedeny příklady tvorby úloh studenty pedagogické fakulty. Na příkladech je patrná vysoká invence mladých lidí nezatížených rutinou a schopných rozvíjet vlastní fantazii užitečným směrem. 5 Nestandardní úlohy Podobná situace je i v oblasti tzv. nestandardních úloh. Jsou to úlohy, jimiž můžeme například testovat úroveň formálnosti výuky. Dostatečnou zásobu těchto úloh naleznou účastníci kurzu v materiálech týkajících se mezinárodních srovnávacích studií (PISA, TIMSS). Materiály vydává ÚIV v Praze (Vědomosti a dovednosti pro život, Netradiční přírodovědné úlohy, Úlohy pro měření čtenářské, matematické a přírodovědné gramotnosti). Budou v rámci kurzu rovněž využívány. 6 Matematika a umění Matematika a umění, stejně tak jako využití historických poznatků z vývoje matematiky jako vědní disciplíny patří zatím rovněž k okrajovým tématům školské matematiky na ZŠ. Je to škoda. Text i obrázky v příloze ukazují na možnost porovnání různých znakových reprezentací (výtvarná a matematická) ve vztahu k prostředí (krajina), navíc s možností motivačního využití na ZŠ (pojme podobnosti). V příloze jsou naznačeny některé nové možnosti sbližování školské matematiky s prostředím (enviroment) žáka. Jsou to zároveň nástroje prohlubování pojmotvorného procesu tak, jak se o tom v předcházejícím textu hovoří. Všichni naši žáci mají nebo v krátké době budou mít mobilní telefony opatřené fotoaparátem nebo kamerou. Tyto přístroje jsou v současné době ve škole spíše zneužívány než využívány. Nabízí se tedy možnost využít je k tomu, aby žáci samostatně a tvořivě hledali a zobrazovali předmětné modely geometrických pojmů nebo poznatků a předkládali je k diskusi ve třídě. V příloze jsou uvedeny ukázky bez dalšího komentáře, soudím, že každý učitel matematiky dokáže sám hledat na podobná témata samostatné příklady. Je možné vytvářet sbírky předmětných modelů, je možné vyhlašovat soutěže o nejlepší předmětný model, je možné zakládat diskusní debaty zabývající se interpretací zobrazených situací z matematického hlediska. Na základě obrázků je možné vést žáky k samostatnému hledání dalších matematických poznatků. Zatímco v učebnicích máme vždy k dispozici jeden nebo dva motivační obrázky nových pojmů nebo poznatků, navrženým způsobem je možné prakticky neomezeně rozšiřovat jejich rozsah. Za vrcholný didaktický přístup potom považuji tvorbu úloh na základě zobrazených (vyfotografovaných) situací. To je dovednost, která v naší školské matematice zatím chybí, ve zprávách o mezinárodních srovnáváních (např. PISA) ale už tvoří běžnou vybavenost moderní školské matematiky. V příloze jsou uvedeny ukázky podobné tvorby úloh, zatím jenom na úrovni studentů učitelství matematiky na pedagogické fakultě