R e á l n á č í s l a - R

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "R e á l n á č í s l a - R"

Transkript

1 Č Í S E L N É M N O Ž I N Y R e á l n á č í s l - R R c i o n á l n í č í s l - Q Ircionální čísl π ;,99 C e l á č í s l - Z Seznm některých mtemtických smbolů znček kulté ; hrnté ; úhlové ;{ složené závork } Záporná čísl Nul Přirozená čísl - N.... -, -, -, - 0,,,,,.... Z je prvkem množin Z; leží v Z Z doplněk množin Z N není prvkem množin N; neleží v N Ø prázdná množin A = B množin A je rovn množině B p q pltí p zároveň q A B A je podmnožinou B q p pltí p nebo q A B průnik množin A B bsolutní hodnot čísl A B sjednocení množin A B < KLM velikost úhlu KLM A \ B rozdíl množin A B AB délk úsečk AB, vzdálenost dvou bodů AB Zápis množin výčtem prvků C = {; ; ; ; 7} množin obshuje pět přirozených čísel C { N; 8} jiný zápis stejné množin C { N; 7} Podmnožin reálných čísel se zpisují pomocí intervlů. Zápis množin Zápis intervlem Zápis množin Zápis intervlem P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; Příkld zápisu některých specifických množin: R + = (0; ) R 0 + = 0; ) N 0 = {0; ; ; ;. } Z 0 = { ; ; ; 0} str.

2 Výsledk některých cvičení jsou uveden z příkld v závorkách. [ ] { } ( ). Početní operce s celými rcionálními čísl, bsolutní hodnot. Poměr. Trojčlenk. Procent.. Mocnin odmocnin Mocnin s celočíselným eponentem 7 Odmocnin 8 Mocnin s rcionálním eponentem 9. Výrz 0 Lomené výrz Mnohočlen. Rovnice, nerovnice jejich soustv Lineární rovnice, řešení soustv rovnic Slovní úloh řešené pomocí rovnic Soustv nerovnic Nerovnice v podílovém součinovém tvru, kvdrtické rovnice, 7 Kvdrtické nerovnice 8. Plnimetrie 9 Trojúhelník, Pthgorov vět 9 Trigonometrie prvoúhlého trojúhelníku 0 Euklidov vět Řešení obecného trojúhelníku sinová kosinová vět Obvod, obsh rovinných útvrů Mnohoúhelník. Stereometrie Hrnol Válec, jehln, kužel, koule Komolý jehln, komolý kužel 7. Funkce 7 Funkce, definiční obor, obor hodnot, grf funkce 7 Lineární funkce 9 Kvdrtické mocninné funkce Eponenciální funkce Logritmická funkce Goniometrické funkce Vzth mezi goniometrickými funkcemi Goniometrické rovnice 8. Posloupnosti Aritmetická posloupnost, Geometrická posloupnost 7 Užití GP, složené úrokování 8 9. Kombintorik, sttistik, prvděpodobnost 9 Permutce, vrice, 9 Kombince 0 Sttistik Prvděpodobnost 0. Anltická geometrie Souřdnice bodu v rovině, délk úsečk Vektor Rovnice přímk prmetrické, obecná 7 Vzájemná poloh přímek 8 Vzdálenost bodu od přímk 9. Tbulk, vzorce str.

3 . Množin. Početní operce s celými rcionálními čísl, bsolutní hodnot.. Zpište množinu A výčtem prvků. ) A { N;,,} {,,} b) A { Z;, } {,,0,, } c) A { Z ; } {,} d) A { Z; } {,0,,, }. Zpište jedním intervlem 7; ; ) b) ; 0; 8 c) ; ; 7 d) ; 0; 8 e) ; ; f) 7 ; ; g) ; ; h) ;0 0; {) ( 7; b) 0; ) c) ; ) d) ( ; 8 e) ; f) ( 7; ) g) h) R}. Zpište jko intervl: ) { R; } b) { R; < 7} c) { R; < } d) { R; 0} {) ; ) b) ( ; 7 c) ; ) d) ( ; 0 }. Zkreslete dné množin n číselné os ) R; < 7 b) R; 0 < < 7 c) R;, < 0 d) R; e) R; < 0 f) R; 8. Zpište dné intervl jko množin. Npř.: ; R; ) ;0 b) ; c) e) 0 ; f) 0 ; g) ;0 0; d) ; h) ; [ ) { R; < 0} b) { R; < < } c) { R; 0 } d) { R; } ] e) { R; 0} f) { R + ; < } g) { R } h) { R; }. Njděte průnik sjednocení dvou dných množin (intervlů): ; ; ; ; 0; ) 0 b) ; 0,) c) d) ( ; 0) ; e) ; ) ; f) ( ; 0 0,0; ) g) { R + ; } ; h) { R; } ; 0,) i) ( ; 0 ; ) 7 {) = 0; ) = ( ; ) b) = ( ; 0,) = ; ) c) = 0; = ( ; )} {d) = ; 0) = ( ; e) = ; ) = ; f) = = R\(0; 0,0)} {g) = (0; = ( ; h) = ; 0,) = ; i) = ; 0 = R} 7 7. Vpočítejte hodnot výrzů bez použití klkulátoru: ) 0,7. 0,.(0 ) = [-] b) ( 8 ):0, [.( )] = [-7] c).( ) +,:0,0 = [] d) (0, 0,8.0,). = [-] e) 8,:( 0,09).[ (.):( 0)] = [8] f) 0, 0.[( 0,9)., + ( ).( 0,)]= [] g) ( 0,0):( 0,) 0,.[( 8).( 0,) + ( ):0,0] = [0] str.

4 h) 0 0,0.[( 0 0).0, + ( 0 + ):( 0,)] = [0,] i) + [8.(:0,8.0,)] = [] 8. Vpočítejte hodnot výrzů bez použití klkulátoru: ) 0,. [.0,0 (:0,.0,9)] = [-0,] b) (, : 0,7. 0,0).( 0) = [7] c) ( 0 + ). ( ) +.( 8 7).0, = [] d) 0.( ).[.( ) +. ] = [78] e) [.( ) ]:( 0) = [-] f) (, : 0,8. 0,0). 00 = [80] g).( 8) + ( ). + ( 8.0,0) = [0,] h) 0.( ).[.( 8) +.( )] = [08] i) j) Vpočítejte výsledek uveď v zákldním tvru, přípdně převeďte n smíšené číslo: ) : b) : 0, c) : d) : e). 0, 7 f) 8. 9 g). h) ,7. [) b) c) d) e) f) g) 0 h)] 0. Vpočítejte výsledek uveďte v zákldním tvru, přípdně převeďte n smíšené číslo: 7 ) 0,8 : b) : c) : d) : e) : f) : g). h) 7 : i) : 8 8 [)8 b) c) 9 d) 9 e) f) g) 7 h) i) ]. Vpočítejte výsledek uveďte v zákldním tvru, přípdně převeďte n smíšené číslo: 0, 0,. ) [ ] b) [ ] c) [ ].,: 0 7 : 0,9 : 0, d) [ ] e) 9 [] f) [ ] 9.. V kntýně se n oběd pltí záloh. Kždý strávník zpltil jinou částku. Oběd jsou kždý den z jednotnou cenu. N konci měsíce probíhá vúčtování. Vedoucí si částk zpisuje do tbulk, kterou n konci měsíce polil kávou některé údje bl nečitelné. Je n vás, bste je doplnili. Jméno strávník Počet odebrných obědů Záloh Dopltek Zbývá vrátit Krel Práskl 00,- 8,- 0,- Helen Modráčková 8,- Hedvik Borovská 0 0,- Jiří Smetn 00,- 0,- 0,- Jroslv Mlíko 0 000,- str.

5 . Hodnotitelé testů jsou schopni oprvit jeden test z minut. Jeden hodnotitel může oprvovt test m. hodin denně, dostne z jeden den hrubou mzdu 0 Kč. V rámci celokrjského testování žáků 9. tříd blo nutno oprvit testů z dn. I. Kolik blo zpotřebí hodnotitelů, b bl test oprven včs? [] II. Jká bl čistá mzd hodnotitelů pokud jim bl odečten % dň? [0] III. Jké bl finnční nákld n oprvování testů? [ 000] Poměr. Zvětšete číslo 0 v poměru 8: {0}. Zmenšete číslo 9 v poměru : {80}. Dv stroje mjí výkonnost v poměru :7. Dohromd vrobí z hodinu součástek. Kolik vrobí první stroj z hodinu, kolik vrobí druhý? {0 7}. Jn Petr společně nsbírli 7 kg jhod. Petr bl dvkrát výkonnější než Jn. Kolik kždý nsbírl? {8kg,9kg}. Otec sn mjí výšku v poměru 7:. Otec měří 89 cm. Kolik měří sn? { cm}. V omáčce je smetn žloutk v poměru :. Smetn je v omáčce g, kolik g žloutků je v omáčce? {g} 7. V těstě je mouk tuk v poměru :. Pokud máme, kg mouk, kolik potřebujeme tuku? { kg} 8. Dvě vesnice vzdálené 7, km, jsou n mpě vzdálen cm. Jké je měřítko mp? {:0 000} 9. Jk jsou n mpě s měřítkem : vzdálen dvě míst, ve skutečnosti vzdálená 0 km? { cm} 0. Plán s měřítkem :00 znázorňuje dv dom 7 cm od sebe. Kolik metrů to je ve skutečnosti? { m} Trojčlenk. N porcí guláše potřebujeme, kg ms. Kolik kg ms musíme mít n 00 porcí? {,7 kg}. Čtři kuchři uvřili slvnostní oběd z hodin. Jk dlouho b jim to trvlo, kdb bli pouze tři prcovli stejným tempem? { hod 0 min}. V pěti pecích stihneme upéct koláče z hodin. Jk dlouho bude trvt upečení stejného množství, pokud máme k dispozici jen pece? { hod 0 min}. Osm zedníků stihne omítnout dům z 0 hodin. Kolik zedníků potřebujeme bchom dům omítli z hodin? {0}. N 0 porcí špnělského ptáčk potřebujeme kg ms. Kolik kg ms musíme koupit n 7 porcí? {kg} 7. Čtři kmrádi stihli očest strom jblek z minut. Jk dlouho b jim to trvlo, kdb bli pouze tři? {h} 8. strojů z den nplní 00 lhví. Kolik strojů budeme potřebovt, chceme li z den nplnit 8000 lhví? {0} 9. strojů n výrobu tčinek zvládne upéct 00 kg tčinek z hodin. Z jkou dobu stejné množství tčinek upeče strojů? {, hod} 0. Stroje n blení čokolád zvládnou z jednu směnu 8 hodin zblit 800 čokolád. Kolik čokolád zvládnout zblit z 0 hodin? {7 000}. Odvoz brmbor třemi nákldními voz trvl hodin. Jk dlouho b trvlo odvezení stejného množství brmbor se dvěm voz? {9} Procent. Pvel n brigádě odprcovl sedm desetin plánovné dob. Kolik procent dob mu ještě zbývá? {0%}. Jn čte knihu přečetl již dvě pětin knih. Kolik % jí zbývá přečíst? {0%}. Ev npsl již tři osmin plánovného rozshu seminární práce. Kolik procent práce jí zbývá npst? {,%}. Petr měl rok n svém kontě uloženo 000 Kč. Roční úrok bl,%. Kolik měl po připsání úroků n knížce z rok? { 80 Kč}. Termínovný vkld je úročen,%. Jký bude úrok z rok, jestliže uložíme Kč? { 000 Kč}. Koupili jsme 7 kg ms. Připrvili jsme porcí po 0 grmech. Kolik % hmotnosti ms se ztrtilo vřením? {%} 7. Máme 8, kg srového ms, vřením ztrácí mso % své hmotnosti. Kolik 0 grmových porcí připrvíme z tohoto množství po uvření? {} str.

6 8. Bot stál původně 800 Kč, pk bl zlevněn o %. Kolik stál po zlevnění. { 0 Kč} 9. Do škol chodí 0 žáků, z toho je % dívek. Kolik chodí do škol dívek kolik chlpců? {d=8, ch=} 0. Máme kg srového ms, vřením ztrácí mso % své hmotnosti. Kolik 00 grmových porcí připrvíme z tohoto množství po uvření? {}. Plnová troub bl zdržen ze 9 8 Kč n 0 99 Kč. O kolik % bl zdržen? {7%}. Hrubá mzd činil 0 Kč. Sociální zdrvotní pojištění činí, %. Kolik odvedl prcovník n sociálním zdrvotním pojištění? { 89 Kč}. Koupili jsme kg kuřecího ms, uvřili jsme z něj porcí po 0 grmech. Kolik % ms se ztrtilo vřením? {%}. N půl kil rbí pomzánk jsme spotřebovli 00 g srdinek, 0 g tveného sýru, 70 g cibule zbtek tvoří okurk. Vpočítejte kolik % srdinek, sýru, cibule okurek tvoří pomzánku. {0%, 0%, %, %}. Ve škole mělo žáků vznmenání, což je 8% celkového počtu žáků. Kolik celkem žáků studuje ve škole? {00}. Ve škole studuje 9 číšníků, což je % všech žáků škol. Kolik má škol celkem žáků? {900} 7. V New Yorku žije obvtel, což je % obvtel USA. Kolik obvtel mjí USA? { } 8. Ev vhrál Kč. Dň z výhr je %. Kolik Evě zůstlo po zplcení dně? { Kč} 9. Tržb v obchodě bl Kč. Norm nezviněného mnk je stnoven 0, % z tržeb. Kolik činí nezviněné mnko? {,0 Kč} 0. Ve třídě mělo žáků vznmenání, což je 8,7 % celkového počtu žáků. Vpočítejte kolik žáků nemělo vznmenání. {}. Mocnin odmocnin. Vpočítejte bez použití klkulátoru: ) 0, = b) 0, = c) 0,9 = d) 0, = e), = f) 0, = g) 0, =. Součin zpište jko mocninu: ). = b) 8.8 = c). = d).. = e). = f) = g) 9.9 =. Vpočítejte bez použití klkulátoru: ) , 0,0 b),,9 0,000 0, c) 7 0, 00 0, , 07 0, d) Vpočítejte bez použití klkulátoru: ). 0,000 [ 7,]. 0,00 [,] 0, [ ] b), [ ] 9. 0, [ 0,] 8. 0,9 9 c) 0,. 0 0, [0,7],. 0 0, [0,] [8].... d) [] 7... [] [8]... e). f). 0 0 [ ]. [ ] 8 7. [ 9] [] 0. 0, g) , [,] [ ]. 9 [0] 8 [70]. 0, [,] [ 8,008] str.

7 . Jsou výsledk přirozená čísl? 8 ; 8 ; {ne; ne; no} Mocnin s celočíselným eponentem. Dná čísl npište ve tvru N.0 n ( N 0 n Z) 0, = [.0 - ] = [,.0 ] 0, = [.0-0 ] = [,.0 8 ] 0, = [,.0-0 ] = [,.0 8 ]. Vpočítejte bez klkulátoru: (převeďte n tvr N.0 n ) 0, : = [.0-0 ] , = [0] : 0, = [.0 7 ] : 0, = [.0 7 ]. Vpočítejte bez klkulátoru:, = [.0 ], = [.0 0 ].0 +, = [0 ] ,.0 = [.0 ] ,.0-7 = [.0-7 ] ,9.0-0 = [0-9 ] 8... ) b). b. d c) d).. [ ] c. d b. Uprvte výrz výsledk uveďte jko mocnin s kldnými eponent 7.. ) 9 [] b) ( 0,) (0,) [ 0007]. 0 c) ( 0,9) e).. g) [ 0 ] d) [ ] f) 0,.0, 0,.0, [ ] 7 0. ).... b) : c),.. 0, [ 8 ] {9,} 7 7. Dokžte, že pltí 8. ) =.. 7 [] b).. = [ 9 ] [ 8 7 ] str. 7

8 ). 0.0 c) 0 8, e) g) = {} {} b) : 0, 0 d) f).0,.0, {} {} Odmocnin. Vpočítejte (částečně odmocněte): ) 8 7 [0] b) 8 0 [8 ] c) 8 8 [ ] d) 7 7 [ ] f).. [ ] g) 8. [] 9 e) ( b ) [ b ] h).. i). 0 k) k j) k k 8 m). b 8 b l) Usměrněte zlomk ) [ ] 8 e) [ ] 8 i) 8 8 b) [ ] f) [ ] c) [ ] g) [ ] j). 8 h) 0 d) k).. Uprvte výrz, neodmocňujte:. ( 0 8) = [] ( + + ) = [9] [7. ]. 7 [. ].. [, ] str. 8

9 Mocnin s rcionálním eponentem. Převeďte n mocnin vpočítejte: ) d) 7. g). i). e). Převeďte n odmocnin vpočítejte 8 ) z 0 b) z z. c) 7. h).... j) b 9 9 c). 0 0, d).0,0 7.0,00 0. c. c. Zjednodušte.. c b.. f) 0, 0, b)..0,008 0, 0 7 c. Uprvte 9 8 ) 8 9. :. b). 9 c). d).. 8 b. f). b : b. b : b b b e) :. 0 str. 9

10 . Výrz U všech příkldů, kde se vsktuje proměnná ve jmenovteli, uvádějte podmínk řešitelnosti (jmenovtel musí být různý od nul). (0 ). Vpočítejte hodnotu výrzu pro: ) = b) = c) = d) = [) 7 b) c) d) podm. : 0]. Uprvte výrz: ) = b) = c) = d).0 +. =. Vdělte výrz: m 7 7 9m. Vdělte uprvte výrz: ) { } b) { } c) { } b b 00b 8b d) { b } 9 b b 0b 9b. Uprvte výrz: ).( 7) +.( 7) = {. ( 7)} b) b.( + 9) b.( + 8 8) = {b } c).( + ) +.( ) +.( ).(,) = { } d) ( 7)..( + ).( ) = {0. ( )} e) 8.(8 7 ) ( 8 ) = {} f) (b + b).( b) + (b 7b). + b.(b 8b) 7b.(b ) = { b. (b + 9)}. Uprvte výrz: ) ( ).( + ) = { } b) ( ).( + ) ( ) = { } c) ( + ).( ) + ( + ).( ) = {} d) ( + 0).( + ) ( ).( ) = {7. ( + )} 7. Uprvte výrz podle vzorců: ) (, + ).(, ) = (0 0,).(0 + 0,) = (, + 0).(, 0)= b) (0,9 + 0).(0,9 0) = (0 0,).(0 + 0,) = (,b + ).(,b ) = c) (z ) = ( ) = (9 ) = d) (0 ) = (8b + ) = ( + 0,) = e) (b + ) = ( + ) = ( + ) = f) ( 7 + ).( 7 ) = (0,9 8 + ).(0,9 8 ) = ( + ).( ) = 8. Uprvte výrz: ) ( ) + ( + ) = b) (7z ) + (z + 0) = c) (0 ) + ( + ) = d) (b 8) + (b + 7) = e) ( ) ( + ) = f) (z ) (z ) = 9. Rozložte výrz n součin vtýkáním před závorku: ) + = = + 8 = b) c + 0c + c = = 7 8 = 0. Vtkněte číslo před závorku = c + = 9 = = = = str. 0

11 . Zjednodušte výrz výsledek uprvte vtýkáním před závorku: ).( + ) +.(0 ) = {. ( + )} b) 7.( + ).( + ) + = { ( + )} c).( + 8) ( 0 0) = {0( + )} d) z.(z +).(z + z) = {z(z + )} e) ( + ).( + ) + ( ).( + ) = {( + )} f) ( + ).( ) + ( ).( ) = {9 ( + )} g) (7 + ).( ) + ( + ).( + 7) = {( )} h) ( + ).( ) ( ).( + ) = {( )}. Rozložte výrz n součin podle vzorce: 00 = = 0, 900 = = = 9 8b = = 0, 00 = 0, 00 = 8 =. Rozložte výrz n součin podle vzorců: w w + 0, = c 00c + 00 = 9 + = 8 + = m + 9mn + n = + = 00 0b + b = =. Rozložte výrz n součin dvou závorek: ) = + b b = = b) + b b = + = + = c) rs r + s = b + b = + 7 = d) b + b = b b + = + 0 = e) 7 + = + = + = ) ( + )( + ); ( )( + b); ( + )( + ) b) ( + b)( ); ( )( + ); ( + )( ) { c) (r )(s ); ( + )(b ); ( )(7 ) d) ( )( + b); ( + )( b); ( + )( ) } e) (7 )( ); ( )( ); ( + )( ) Lomené výrz Vkrťte zlomek - uprvte lomené výrz stnovte podmínk:. ) 8 9 0c 8c b z.. z b) b 8 0 z z. Uprvte výrz krácením ve zlomku (nejprve uprvte vtýkáním před závorku): 8 ) 0 b) 8 {) ; ; m ; m m m ; b) ; ; ( ); + ( ) ( )} 8 8. Uprvte výrz krácením ve zlomku (nejprve uprvte vtýkáním před závorku): 0 ) 0 b b 0 8m m m 8 8 b 0 b b) c) {) ; ; 8m ; ; b) ; ; ; c) ; ; 7 ; } str.

12 . Uprvte lomené výrz: k k { k+ } 9 7b b { } { 7} k k 0 { } { } m 8 m { } z z 8c c { } { 8} 7 7 { 7 } {}. Uprvte lomené výrz (uprvte vtýkáním před závorku rozkldem n součin pomocí vzorců): 9 ) } b) 7 { +7 9 } c) 9 { + } d) 8 { {( )} 0, e) { +0, 0, } f) 7 } g) + { { } h) 8 8 } (+) {. Uprvte lomené výrz (uprvte vtýkáním před závorku rozkldem n součin pomocí vzorců): 9 ) b 0 d) b 0b 00 9 g) 9 0 { + } b) 0 } e) b 0 { } h) 8 + { 7. Uprvte výrz: ) 0 d) 0 g) j) { + 0 b) { } e) 0 0 {} h) {} α α α k) 8 } c) { } f) 0 { + { } i) { } c) z z 0 {} f) 0 0 d d { + } i) 8 U následujících příkldů: uprvte výrz uveďte podmínk řešitelnosti (jmenovtel musí být různý od nul): 9 8. ) : ; ±} b) : { { α+ } { ; 0; ±} { 9} { } { + } { } { } { } 9 c). 9 z 0z z 9 { ; 9; } d). z z {(z + ); ; } w w e) : w 00 w 0 g) : 9. ) { w w 0 b 8 b 9 ; w 0; ±0} f) : b {; ±} h) : { z z 0 ; 0} b) z z c) { ; 0} d) {; b ; ±9} {; 0; } { ; z 0} { ; 0} str.

13 str. e) { + ; } f) 9 {0; ±} g) 8 8 { ; } h) 0 0 { + ; } i) 9 7 {; } j) {; } 0. }, { k k k k k k. 0,. b b b b b b b b b b b b. 0,,.., 9 :. :.,, k k k k k k k k k Mnohočlen. Dělte uveďte podmínk pro dělitele, správnost výsledků ověřte vnásobením doszením ) (0 + 9) : ( ) = {,,} b) ) ) : ( 7 ( {, } c) ( + ) : ( ) = { 8 7, } d) ) ) : ( ( {, } e) ) ) : ( ( {, 0, } f) ) 0 ) : ( (0 {, 0, } g) ) ) : ( ( { }

14 str.. Rovnice, nerovnice jejich soustv Lineární rovnice U všech příkldů, kde se vsktuje neznámá ve jmenovteli, uvádějte podmínk řešitelnosti (jmenovtel musí být různý od nul).. Řešte rovnice proveďte zkoušku ) c c b) c) d) n n e) f) 0,7 g) z z h) i) j) 0, k) 8 8 l) ) ( m) b b b n) 8 o) ) ( 0 p) q) r) 0, s). Pro které reálné hodnot neznámé není rovnice definován? Určete množinu všech řešení rovnice. ) [=,,] b) 7 [ =,8 7, ] c) [ =,] d) 0. 7 [=, 0, ] e) z z z z z z ) ( [z = R, ] f) p p p p p p ) ( [p =, p, p ] g) [=,, ] h) [ =,, ] i) [ =,, ] Řešení soustv rovnic Ř e š t e s o u s t v r o v n i c, p r o v e ď t e z k o u š k u. ) ) + = b) + = 8 c) + = d) = = 8 = = 8 + = e) + = f) = g) + = 7 h) = + = + = = = ) [ =, = ]

15 ) ( + ) = ( ) + 7 [ = 7, = ] ( + ) + = ( ) ) ) : b b b. b b [ =, = ] [=, b= ] 0, b 0 ) ( + ) + ( + ) + 0 = ( + ) + ( + ) [ =, = ] ( + ) ( ) + 8 = ( ) ( ) 7) b b b [ =, b = ] 8) b b 8 b b [ =, b = ] Slovní úloh řešené pomocí rovnic. V prku rostou líp, jvor, smrk borovice. Lip je dvkrát více než jvorů, smrků je o ptnáct více než lip borovic je dvkrát více než smrků. Dohromd je tm stromů. Kolik kterých druhů roste v prku?. V prodejně měli žlutá, červená, modrá zelená tričk. Žlutých bl 0 celkového počtu, modrých bl celkového počtu, zelených bl celkového počtu červených blo 9 ks. Vpočítejte kolik triček blo celkem v prodejně kolik kterých brev.. Petr spotřebovl při vření ¾ celkového množství brmbor, zůstlo mu ¾ kg brmbor. Kolik kg spotřebovl kolik blo celkem kg brmbor?. Jn si koupil tričko čepici. Pltil 700 Kč. Tričko blo o držší než čepice. Kolik stálo tričko čepice?. Obvod trojúhelníku je, cm. Strn je o cm delší než strn b. Strn c je dvkrát menší než strn. Kolik měří která strn?. Žáci při úprvě okolí škol vsázeli první den celkového počtu stromků, druhý den zbtku třetí den stromků. Kolik jich celkem vsázeli? (0 stromů) 7. Součástk měl před oprcováním hmotnost 8 g. Jkou hmotnost měl součástk oprcovná, je-li hmotnost odpdu dvcetkrát menší než hmotnost oprcovné součástk? (0 g) 8. Otci je let. Jeho třem dcerám je, let. Z kolik let se bude věk otce rovnt součtu let jeho dcer? () 9. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu pětkrát menší než velikost vnitřního úhlu. Úhel α je třikrát větší než. Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (0, 00, 0 ) 0. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu o větší než velikost vnitřního úhlu. Úhel α je dvkrát menší než. Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (, 0, 0 ). Při úprvě terénu pro stvbu věžového domu prcují stvební čet. První čet b práci vkonl z dní, druhá z 0 dní, třetí z dní. Z jk dlouho splní celý úkol společně? ( dní). Autobus městské doprv přeprvil z první dvě hodin od počátku směn 80 cestujících. Kolik cestujících musí průměrně přeprvit z kždou dlší hodinu své devítihodinové směn, b přeprvil celkem 90 cestujících? (0). Košile stojí 0 Kč, tričko dvpůlkrát méně. Kolik triček je možno koupit z 0 Kč? () str.

16 . Hotový chléb má hmotnost o % větší než mouk, ze které je vroben. Kolik mouk se spotřebuje n výrobu 0 dvoukilogrmových bochníků? (si 8,8 kg). Vpočtěte strnu čtverce, jestliže zvětšíme jednu strnu čtverce o 0 cm druhou zmenšíme o 8 cm dostneme tk obdélník, který má týž plošný obsh jko původní čtverec. (0 cm). Dv obchod měl stejnou tržbu. První zvýšil tržbu o %, druhý o %. Ob obchod měl dohromd tržbu 0 Kč. Jká bl původní tržb obchodu? ( 000 Kč) 7. N večírek přišlo třikrát více chlpců než děvčt. Po odchodu 8 chlpců 8 děvčt zblo n večírku pětkrát více chlpců než děvčt. Kolik chlpců kolik děvčt přišlo n večírek? ( dívek, 8 chlpců) 8. Firm si účtuje z vbvení knceláře žluziemi celkem 0 Kč. Z dodcího listu je ptrné, že žluzie bl o 9 Kč držší než jejich instlce. Kolik procent z účtovné částk tvoří instlce žluzií? ( %) 9. N rodinnou oslvu přichstli dvkrát více lhví piv než vín. Po hodině, kd se vpilo 0 lhví piv 0 lhví vín, zůstlo čtřikrát více lhví piv než vín. Kolik lhví piv blo připrveno n oslvu? (0 lhví) Slovní úloh řešené pomocí soustv dvou rovnic 0. Do lhví, z nichž některé jsou půllitrové některé mjí objem 0,7 l, máme uskldnit l mlinového sirupu. Kolik musíme mít lhví půllitrových kolik o objemu 0,7 l? (0 ks 7 dl, ks dl). Účetní měl v pokldně v hotovosti 70 Kč ve bnkovkách, zčásti pdesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik blo kterých bnkovek? ( ks 00, ks 0). Kč jsme zpltili ve dvoukorunách pětikorunách. Dohromd máme mincí. Kolik jsme měli pětikorun kolik dvoukorun? (8 ks Kč, 7ks Kč). N školním výletě spli chlpci v chtkách pltili 00 Kč z noc, dívk spl v hotelu pltil 0 Kč z noc. Dohromd blo chlpců dívek, celkem všichni zpltili 900 Kč. Kolik blo chlpců kolik dívek? (0 dívek, chlpců). Káv v kelímku stojí 7 Kč. Káv je o Kč držší než kelímek. Kolik stojí kelímek? (0,0 Kč) Soustv nerovnic ) ( + ).( ) ( ) Ř e š t e s o u s t v n e r o v n i c v R { ; )} ) ( + ) ( 8) ) ( ) ( ) 9.. 0, { { 0,}} { ( 8 ; 0)} 7 ) ( ). + ( ). { 9; )} ).( + ) ( ). ( ). { ; )} ( ). 7 { (9; )} ) ( ) + 7).( ) + ( ) ( ) + ( + ) ( + ). { ( ; )} 8) 9) + + < < { (; } { (; )} str.

17 Nerovnice v podílovém součinovém tvru. ). ) } b) 0 > 0 { ; { ; } c) 0 0 > { ( ; ) (; )} b) 0. ) 0 { ( ; ) ; )} b) { (;)} řešte v R { ;, } { ; )}. ) ( ).( + ) 0 { ( ; ; )} b) ( + ).( ) 0 { ; } 7. ) ( ).(7 ) 0 { ; } b) ( ).( + ) 0 { ( ; ) (; )} Kvdrtické rovnice. Řešte kvdrtické rovnice pomocí diskriminntu, správnost řešení ověřte zkouškou: ) b) c) 0 d) e) 7 = = f), + = = 0. Řešte kvdrtické rovnice pomocí Viètových vzorců, správnost řešení ověřte zkouškou: Řešení (kořen) kvdrtické rovnice: + b + c = 0 b = + c =. ) b) Uveďte tp rovnice řešte je bez použití diskriminntu: = 0 [rze kvdrtická, = +9 = 9] + 8 = 0 [bez bsolutního členu = 0, = 8 ] + 8 = 0 [normovná = = ] + = 0 [rze kvdr. = = ] + 8 = 0 [bez bs.členu. = 0 = 8 ] 9 = [rze kvdrtická,, = ± ] 9 = [bez bs. členu, = = 0]. Sestvte normovnou kvdrtickou rovnici o kořenech, přesvědčte se o správnosti: = = [ + 0 = 0] = = [ = 0] = 0 = [ +0 = 0]. Kvdrtická rovnice má jeden kořen =, druhý kořen má hodnotu čísl převráceného. Sestvte rovnici, která má tkovéto kořen. [ + = 0]. Hodnot diskriminntu následující rovnice je. Určete hodnot prmetru m. ( )( + m) = 0 [m = 0 ; m = ] Sestvte pk tkovou rovnici. [ = 0 ; = 0] str. 7

18 7. Krťte zlomek uveďte podmínk ) [, ] b) 0 [+, 0,] 8 c) [,, ] d) [,, ] 00 0 e) , [ 0, 0, 0,] 8. Určete b, c tk, b čísl =, = 0, bl kořen kvdrtické rovnice + b + c = 0 [b =, c = ] 9. Určete v kvdrtické rovnici + b + = 0 koeficient, b tk, b kořen této rovnice bl čísl = = 0, [ =, b = ] 0. Určete v kvdrtické rovnici + + c = 0 čísl, c tk, b jejím jediným kořenem blo číslo. [ = 0,7, c = ]. V rovnici b 0 s neznámou je jeden kořen =. Určete koeficient b druhý kořen..( 7). Řešte dnou rovnici v R :. Řešte soustvu lineární kvdrtické rovnice ) = b) + + = c) + = 0 = + = + = 0 [= =-; = =] [=- =; = =-] [=- =; = =] d) + = e) 9 = f) + 9 = 9 + = 0 + = 0 + = 0 [=- =0; =0 =] [=-, =7,; = =0] [= =0; =0 =] Kvdrtické nerovnice Kvdrtický trojčlen + b + c nejprve rozložte n součin dvou závorek ( ).( ), kde, jsou kořen kv. rovnice. Pk řešíme jko nerovnici v součinovém tvru ; ;. 0,. + + ; ;. 0, str. 8

19 . Plnimetrie Trojúhelník, Pthgorov vět. V trojúhelníku jsou dán velikosti dvou úhlů γ = = 9. Vpočítejte velikost úhlu.. V rovnormenném trojúhelníku je dán velikosti úhlu, který svírá zákldn rmeno =. Vpočítejte velikost úhlu, γ.. V rovnormenném trojúhelníku je dán velikosti úhlu, který svírjí rmen γ = 0. Vpočítejte velikost úhlu,.. Obvod rovnormenného trojúhelníku je 7 m, zákldn je o 8 m delší než rmeno. Vpočítejte délk strn trojúhelníku.. Vpočítejte obsh trojúhelníku, v němž je dán délk jedné strn k ní příslušná výšk: ) = 8 cm, v = 0, cm b) b = 9, dm, v b = 8 cm. Střech nd trnsformátorem je tvořen čtřmi shodnými trojúhelník. Délk strn kždého z nich je, m, příslušná výšk je m. Vpočítejte obsh střech. 7. Obvod rovnormenného trojúhelníku je m. Zákldn má délku cm. Vpočítejte délku rmen tohoto trojúhelníku. 8. Rozhodněte, zd trojúhelník s následujícími délkmi strn je prvoúhlý: ) m, 0 m, m b) dm, 0 dm, dm c) 7 m, 9 m, m 9. Vpočítejte délku odvěsn v prvoúhlém trojúhelníku ABC. Přepon c =, cm, odvěsn b = 9, cm. 0. Vpočítejte délku odvěsn b v prvoúhlém trojúhelníku ABC. Přepon c = dm, odvěsn = 9, dm.. Rovnormenný trojúhelník KLM má rmen délk k, l (k = l) zákldnu délk m. Výšk k zákldně má délku v. Vpočítejte zbývjící údj, je-li dáno: ) m = dm, k = 0 dm b) k = cm, v = cm c) v = 8, cm, m = mm. Zákldn rovnormenného trojúhelníku má délku m, příslušná výšk m. Vpočítejte obvod tohoto trojúhelníku.. Rovnormenný trojúhelník má zákldnu dlouhou cm, jeho rmeno je o cm delší než zákldn. Vpočítejte obsh tohoto trojúhelníku.. Vpočítejte obvod obsh prvoúhlého trojúhelníku XYZ s prvým úhlem u vrcholu X. XY =, cm, YZ = 0, dm. Vpočítejte obvod obsh prvoúhlého trojúhelníku XYZ s prvým úhlem u vrcholu X. XZ = 8 mm, YZ = cm. Stožár ntén vsoké 0 m, je upevněn čtřmi ln u vrcholu lno je ukotveno v zemi 0 metrů od pt stožáru. Vpočítejte kolik metrů ln se spotřebovlo n všechn ln? 7. Žebřík je dlouhý 8 metrů je opřen o zeď ve vzdálenosti metr. Do jké výšk shá? 8. Rovnostrnný trojúhelník má strnu = 8, cm. Vpočítejte výšku trojúhelníku jeho obvod i obsh. 9. Rovnostrnný trojúhelník má výšku v = dm. Vpočítejte délku strn trojúhelníku jeho obvod i obsh. 0. Vpočítejte délku knlizčního potrubí, které ve směru úhlopříčk spojuje dv roh obdélníkového nádvoří s rozměr m m.. Při průzkumném vrtu upevnili vrtnou věž vsokou, m ln tk, že jejich konce bl přivázán k zemi ve vzdálenosti 7, m od pt věže. Jk dlouhá bl ln?. Vpočítejte výšku štítu domu. Štít má tvr rovnormenného trojúhelníku se zákldnou 8, m s rmen délek, m.. Z kmene stromu bl vtesán trám obdélníkového průřezu o rozměrech 0 mm 0 mm. Jký nejmenší průměr musel mít kmen?. Ocelový komín vsoký 7 m je ve dvou třetinách své výšk upoután stejně dlouhými ocelovými ln, jejichž konce jsou upevněn ve vzdálenosti m od pt komín. Kolik metrů ln je třeb n upoutání komín, jestliže zkotvení si vžádlo nvíc % jeho délk?. Kosočtverec ABCD má strnu = 0 cm, úhlopříčku f = BD = cm. Vpočtěte délku úhlopříčk e =AC. str. 9

20 [ ) 0 ) β = γ = 8 0 )α = β = 8 0 ),, 90m ) 9,cm ; dm ),m 7) 7,cm 8) )no b)no c)ne 9),9cm 0),8dm ) ) v = 8cm b) m = 0cm c) k = 9cm ) cm ) 0cm ),8cm ; 9,cm ) 8,cm ;,cm ) 0m 7) 7,7m 8),cm ;,cm 9) 0dm ; dm 0) m ),m ) m ) cm ) 9,m ) cm Trigonometrie prvoúhlého trojúhelníku. Vpočítejte délku přepon v trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrcholu C je dáno: ) α =, = 9 dm b) α=, b = mm [,7 dm; mm]. V prvoúhlém trojúhelníku ABC známe velikost ostrého úhlu délku přepon c. Vpočítejte délk jeho odvěsen. ) =, c = 8 cm b) α = 70, c = m [) =, cm; b =,cm b) =, m; b =,m]. Rovnormenný trojúhelník má výšku 0 cm úhel u zákldn je. Vpočítejte obvod trojúhelníku. [, cm]. Rovnormenný trojúhelník má rmeno dlouhé 8 cm úhel u zákldn je 0. Vpočítejte obvod obsh trojúhelníku. [S 7,7 cm ]. Rovnormenný trojúhelník má zákldnu dlouhou cm úhel, který svírjí rmen je 0. Vpočítejte obvod trojúhelníku. [0, cm 77, cm ]. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsn mjí délk: ) m, m b) cm, 0,8 dm c) 8 mm,, cm [8 7 ] [ 8 ] [9 0 7 ] 7. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku, je-li dán délk přepon jedné odvěsn ) cm, cm b) dm,, m c) 8, dm, 7 cm [7 8 ] [7 ] [ 8 ] 8. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku, mjí-li jeho strn délk: ) cm, cm, 0 cm [ 8 ] b) dm, m, 0 cm [ 7 7 ] 9. Jk velký úhel svírá v obdélníku strn = cm s úhlopříčkou u =, cm? [ ] 0. Určete velikost úhlu při zákldně rovnormenného trojúhelníku, má-li trojúhelník strn = cm, b = c = 8 cm. [8 ]. Jk vsoký je komín, vidíme-li jeho vrchol ze vzdálenosti 0 m pod úhlem 0? [0 m]. Dvojitý žebřík má kždé rmeno m dlouhé. Určete velikost úhlu rozevření žebříku, jestliže jeho spodní konce jsou od sebe, m. Do jké výšk žebřík doshuje? [,,8 m]. Lnová dráh rovnoměrně stoupá. Úhel stoupání je. Výškový rozdíl mezi oběm koncovými stnicemi je 00 metrů. Vpočítejte délku lnové dráh. [70 m]. Určete obsh obdélníku, je li délk úhlopříčk u = cm úhel úhlopříček je 0. [ = si cm, b = si 8, cm, S = si 90, cm ]. Vpočítejte obvod obsh prvoúhlého Δ, je li součet odvěsen + b = cm úhel =. [c = cm, o = 0 cm, S = 0 cm ]. Určete obsh prvoúhlého lichoběžníku ABCD, je li = cm, c = 8 cm jestliže je jeho kosé rmeno o cm delší než rmeno kolmé n zákldn, c. [v = cm, S = 88 cm ] 7. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv délek cm 0 cm v dné kružnici k(s, r = cm). [v =,88 cm, v = 8, cm] 8. Řešte prvoúhlý Δ ABC, jestliže úhel ABC = 90, c = 0 cm, = 8 cm. [b =,8 cm, 0, 8 9 ] 9. Výšk schodiště z jednoho ptr do druhého je,7 m, sklon schodiště je, šířk schodu je 0,7 m, určete počet schodů tohoto schodiště. [si 8 schodů] 0. Schodiště s 0 schod má výšku 9 m sklon. Vpočtěte výšku šířku jednoho schodu. [v =8 cm, š = 0 cm]. Důlní chodb má délku m, výškový rozdíl mezi oběm jejími konci, m. Vpočtěte její sklon. [ ]. Silnice stoupá rovnoměrně o m n 000 m. Vpočtěte úhel jejího stoupání. [0 ]. Vpočtěte výškový rozdíl dvou stnic lnovk, jestliže její stoupání je 7 0 /00 délk jednoduchého ln je 90 m. [, m] ] str. 0

21 Euklidov vět Příkld : Vpočítejte délk všech strn, výšku v c, úsek n přeponě, pokud nejsou zdán.. Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu C má odvěsnu = cm, vc = 0 mm. {b = 7 cm, c =,9 cm, c = 0, cm, c b =, cm}. Prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem u vrcholu C, má úhel α = úsek přepon c = cm. { = 0, cm, b = cm, c = 8, cm v c = 8, cm, c b =, cm}. Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu C má odvěsnu b = 0 cm, vc = 70 mm. { = 9,8 cm, c = cm, c =,9 cm, c b = 7, cm}. Prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem u vrcholu C, má úhel β = úsek přepon cb = cm. { = cm, c =, cm, c = 0, cm, b =, cm}. Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu C má odvěsnu = cm, vc = 7 cm. {b = 7, cm, c = cm, c = cm, c b = cm}. Prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem u vrcholu C, má úhel α = úsek přepon c = cm. { =, cm, b = 7 cm, c = 78, cm, c = cm, c b =, cm} 7. Vpočtěte délku tětiv v kružnici k(s;, cm), je-li vzdálenost středu S od tětiv rovn v =, cm. {t = 0 cm} 8. Jk velké úsek vtíná výšk v n přeponě v prvoúhlém troj. ABC, je-li přepon = 0 cm, v = 8 cm. { cm, cm} 9. V prvoúhlém Δ ABC je dán odvěsn = cm poloměr vepsné kružnice = cm. Vpočtěte strn b, c. {b =, cm, c =, cm } 0. Zákldn rovnormenného lichoběžníku ABCD jsou = dm, c = dm, rmeno b = dm. Vpočtěte jeho vnitřní úhl. {7 7 }. V obdélníku ABCD je dáno: = AB = 8 cm, b = BC = cm vpočti vzdálenost vrcholu B od úhlopříčk u = AC. {,8 cm}. Obdélník ABCD: = AB = 8 cm, u = BD = 0 cm, vpočti vzdálenost vrcholu A od úhlopříčk u = BD. {,8 cm} Řešení obecného trojúhelníku sinová vět sin b c sin sin kosinová vět = b + c bc.cosα b = + c c.cosβ c = + b b.cosγ U všech příkldů : náčrt, obecné řešení, výpočet.. V Δ ABC známe velikost strn = cm vnitřní úhl o velikosti =, = 7 Určete velikost zbývjících strn b, c velikost úhlu. {b = si cm, c = si cm, = 9 }. V Δ ABC je dáno: = cm, b = cm, c = cm. Vpočtěte vnitřní úhl Δ jeho obsh. {= 08, =9 9, = 7, S=8 cm }. Cíl C je pozorován ze dvou pozorovtelen A, B, které jsou od sebe vzdálen 97 m, přitom úhel BAC =, úhel ABC = 8. Vpočtěte vzdálenost AC. {77 m }. Dvě důlní štol vcházejí ze stejného míst P v šchtě svírjí úhel o velikosti. Délk štol jsou : PQ = 79 m, PR = 79 m. Vpočtěte délku spojovcí štol QR. { m }. Tři kružnice o průměrech cm, 0 cm, cm se nvzájem dotýkjí vně. Určete všechn úhl, které svírjí středné. (Spojnice středů kružnic.) {8,, }. Řešte Δ ABC, je li dáno : =, b = = {c=90,9; =8 7 ; =08 8 } c = 0, =, = 8 { =8 ; =00,; b=70,} =, b =, c = {= 0 ; = ; = } str.

22 Obvod, obsh rovinných útvrů. Vpočítejte obvod obsh obdélníku se strnou = 7 cm, b = cm. Vpočítejte délku úhlopříčk.. Vpočítejte obvod obsh čtverce se strnou = m. Vpočítejte délku úhlopříčk.. Vpočítejte obvod obdélníku se strnou = dm, kdž je dáno S =, m.. Vpočítejte obsh obdélníku se strnou =, cm, kdž je dáno O = cm.. Pokoj má rozměr m, m. Kolik bude stát koberec do pokoje, jestliže m stojí 0 Kč.. Pole má tvr obdélníku s rozměr 70 m 90 m. N m je třeb 8 g osiv. Kolik tun osiv je třeb k osetí tohoto pole? 7. Pozemek k výstvbě nových domů má tvr obdélníku o délce 80 m šířce 0 m. Obec se rozhodl zvětšit tento pozemek přidáním cest široké m, která vede podél krtší strn pozemku. Jkou výměru bude mít zvětšený pozemek? 8. Plechová střech nd gráží má tvr obdélníku s rozměr 7, m m. Kolik kilogrmů brv se spotřebuje n její nátěr, jestliže kg brv vstčí n ntření čtverečných metrů plechu? 9. Kolik čtvercových dlždic se strnou délk cm je třeb n vdláždění místnosti tvru čtverce, která má strnu dlouhou,7 m? 0. Vpočítejte obvod obsh obdélníku KLMN se strnmi k = 0, dm, l = mm. Vpočítejte délku úhlopříčk obdélníku.. Vpočtěte délku strn kosočtverce, jestliže úhlopříčk mjí délk mm mm.. Dřevěnou desku tvru rovnoběžníku se strnou 70 cm příslušnou výškou 0 cm mjí žáci v dílně rozdělit n dvě části tvru trojúhelníku podle úhlopříčk. Jký obsh má kždá z těchto částí?. *V rovnoběžníku ABCD se středem S má strn AB velikost = cm, úhel ABS je prvý úhlopříčk BD má velikost f = cm. Proveďte náčrtek. Vpočtěte obvod. Vpočítejte velikost vnitřního úhlu rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zokrouhlete n stupně. ) cm ; 98 cm; u =, cm; ) O = m; u = 8, m; ) m; ) 8,9 cm ; ) 80 Kč; ) si,8 t; 7) 9 00 m ; [ 8) kg; 9) 79; 0) S = mm ; O = 0 mm; u =, mm; ) mm; ) 00 cm ; ) O = cm; α = 7 ]. Určete průměr kruhu, který má obsh: ) cm b) 8 dm c) mm d) 8 m. Vpočtěte obsh kruhu, který má obvod: ) 0 cm b) mm c), dm d), m. Vpočtěte obvod kruhu, který má obsh: ) 8, dm b) 0, m 7. Vpočítejte průměr obsh příčného kruhového řezu kmenem buku, jehož obvod je cm. 8. Trojnásobek obvodu kruhu se rovná km. Vpočítejte poloměr kruhu. 9. Předstvte si, že n pilovém kotouči s průměrem cm je jeden zub obrven bílou brvou. Jk dlouhou dráhu opíše hrot tohoto zubu z minutu, jestliže se kotouč z tuto dobu otočí 8krát? 0. Průměr kruhu je 0 cm. Vpočti šířku mezikruží, jehož obsh je, cm. [ ), cm; dm;, mm;,8 m; ) 8cm ; mm ;, dm ; 78, m ; ) 8,8 dm;, m; ] [ 7) d = m; S = 78, dm ; 8) 0 m; 9) si km; 0) cm ]. Rovnormenný lichoběžník má strnu = dm, b = cm, c = 00 mm. Vpočítejte obvod obsh.. Rovnormenný lichoběžník má strnu b = cm, c = cm. Úhel, který svírá zákldn s rmenem je 0. Vpočítejte obvod obsh lichoběžníku.. Zákldn prvoúhlého lichoběžníku ABCD s prvým úhlem při vrcholu A mjí délk 9 cm 7 cm, jeho výšk se rovná cm. Vpočítejte délku rmene b.. Prvoúhlý lichoběžník má zákldn o délkách cm, cm, krtší rmeno, cm. Vpočtěte délku druhého rmene.. Rovnormenný lichoběžník má strnu = dm, c = 0 cm. Úhel, který svírá zákldn s rmenem je 0. Vpočítejte obvod obsh lichoběžníku.. Rovnormenný lichoběžník má strnu v = 8 cm, c = dm. Úhel, který svírá zákldn s rmenem je. Vpočítejte obvod obsh lichoběžníku. 7. Zhrd má dv protější plot rovnoběžné o délkách, m 8 m. Vzdálenost plotů je 8 m. Vpočtěte výměru zhrd vjádřete ji v hektrech. Výsledek zokrouhlete n desetinná míst. str.

23 8. Lichoběžník ABCD má zákldn, c, výšku v obsh S. Vpočítejte výšku v, je-li dáno: ) S = 9, dm, = 9,9 dm, c =, dm b) S =,8 m, =, m, c =, m 9. Obvod rovnormenného lichoběžníku, jehož jedn zákldn má stejnou délku jko rmeno, se rovná,9 m. Druhá zákldn má délku 9 cm. Vpočítejte délk zbývjících strn lichoběžníku. 0. Určete obsh prvoúhlého lichoběžníku ABCD, jestliže jeho kosé rmeno je o cm delší než rmeno n zákldn, c. Délk záklden jsou : = cm c = 8 cm. [ 09 cm ]. Oplocený pozemek má tvr lichoběžníku, kde velikosti rovnoběžných strn jsou 0 m 7 m, vzdálenost těchto strn je m velikost úhlu mezi zákldnou jedním rmenem je 7. Vpočti obsh pozemku v hektrech délku plotu. [0,09 h, 79 m]. Do čtverce je vepsán kruh, jehož obsh je, cm. Vpočítejte obvod obsh tohoto čtverce.. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsh čtverce je cm. Vpočítejte obvod obsh kruhu.. Do kruhu je vepsán obdélník se strnou = cm. Obsh kruhu je cm. Vpočítejte obvod obsh obdélníku.. Do čtverce je vepsán kruh, obvod čtverce je dm. Vpočítejte obvod obsh kruhu.. Do kruhu je vepsán čtverec. Obvod kruhu je,8 cm. Vpočítejte obvod obsh čtverce. 7. Do kruhu je vepsán obdélník se strnou b = 0 cm. Obvod obdélníku je 0 cm. Vpočítejte obvod obsh kruhu. 8. Do čtverce je vepsán kruh, obvod kruhu je, cm. Vpočítejte obvod obsh čtverce. 9. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsh kruhu je, cm. Vpočítejte obvod obsh čtverce. 0. Do kruhu je vepsán obdélník se strnou = cm. Obsh obdélníku je cm. Vpočítejte obvod obsh kruhu.. Vpočítejte obsh kruhu, jehož obvod se rovná obvodu čtverce se strnou délk =, dm.. Kruh má stejný obsh jko čtverec, jehož obvod je 8, m. Vpočítejte průměr kruhu. Mnohoúhelník Postup: vpočteme obsh obvod trojúhelníku násobíme počtem trojúhelníků (. ž. př.) (vužití Pthgorov vět, goniometrických funkcí ostrého úhlu, obvod, obsh rovinných obrzců). Proveďte náčrt.. Strn prvidelného n-úhelníku je 0 cm. Vpočítejte obvod obsh. ) prvidelného osmiúhelníku b) prvidelného šestiúhelníku c) prvidelného pětiúhelníku d) prvidelného dvnáctiúhelníku.. Poloměr kružnice opsné r = cm. Vpočítejte obvod obsh. ) prvidelného osmiúhelníku b) prvidelného šestiúhelníku c) prvidelného pětiúhelníku. Poloměr kružnice vepsné = 0 cm. Vpočítejte obvod obsh. ) prvidelného osmiúhelníku b) prvidelného šestiúhelníku c) prvidelného pětiúhelníku str.

24 . Stereometrie Hrnol, kvádr, krchle. Kvádr, jehož hrn mjí délk 8 m, 9 m, má stejný objem jko krchle, jejíž hrn má délku m. Vpočítejte třetí rozměr kvádru.. Jký je povrch krchle v m, je-li její objem: ) cm b) 0, m. Jký je objem krchle v m, je-li její povrch: ) 8 dm b),0 m. Jkou hmotnost má závží tvru krchle, je-li vrobeno z oceli o hustotě 7800 kg. m délk jeho hrn je cm?. Trám ze smrkového dřev má tvr kvádru s rozměr m, dm dm. dm smrkového dřev má hmotnost 0, kg. Vpočítejte hmotnost trámu.. Plvecký bzén je dlouhý m, široký m hluboký m. V nplněném bzénu je hloubk vod,8 m. Vpočítejte kolik hektolitrů vod je v plném bzénu, kolik čtverečných metrů dlždic je potřeb n obložení dn stěn bzénu. 7. Vodojem má tvr kvádru, jehož spodní stěn je čtverec. Délk strn čtverce je, m. Ve vodojemu je m vod. Do jké výšk shá vod? 8. Knál n položení potrubí má délku 90 m, šířku 8 dm hloubku 0 cm. Bgrist vbgrovl z jednu hodinu m. Jk dlouho mu trvlo vhloubení knálu? 9. Tbule okenního skl má rozměr m, m mm. dm skl má hmotnost, kg. Vpočítejte hmotnost jedné skleněné tbule. 0. V bzénu tvru kvádru je 00 hl vod. Určete rozměr dn, je-li hloubk vod 0 cm jeden rozměr dn je o m větší než druhý. ( = m, b = 0 m). Kolik hl vod se vejde do nádrže tvru prvidelného čtřbokého hrnolu s podstvnou hrnou 0 m výškou,8 m. Kolik m plechu se spotřebuje n tuto nádrž, počítáme li 8% n spoje. (800 hl,, m ). Pokoj má rozměr m,, m výšku, m. Kolik bude stát brv jestliže stěn strop ntíráme dvkrát kg brv stojí 8 Kč vstčí n 0 m nátěru?. Jímk n pln má tvr hrnolu se čtvercovou podstvou. Výšk jímk je 8 m, dno má strnu, m. Vpočítejte kolik m plnu se vejde do jímk. Vpočítejte kolik Kč bude stát brv, jestliže se n ntření vnějších i vnitřních stěn jímk spotřebuje n, m ploch kg brv. kg brv stojí 0 Kč.. Kolik litrů vod je v kváriu tvru prvidelného čtřbokého hrnolu o vnitřních rozměrech = 0, m, v = 0 cm, je-li nplněno do 9 0 svého celkového objemu? (90 l). Vpočítejte povrch objem hrnolu o výšce v = dm s podstvou ve tvru kosočtverce se strnou = 8, cm výškou kosočtverce v = cm.. Vpočítejte povrch objem hrnolu o výšce m s podstvou ve tvru rovnostrnného trojúhelníku se strnou = 0, m. 7. Vpočítejte povrch hrnolu o výšce v = dm s podstvou ve tvru rovnormenného trojúhelníku se strnmi = b = mm, c = 7 mm. 8. Vpočítejte povrch objem prvidelného trojbokého hrnolu, jehož podstvná hrn tělesová výšk mjí délku cm. 9. Trojboký hrnol, jehož podstvou je prvoúhlý trojúhelník s přeponou o délce, m odvěsnou dlouhou 0 cm, má objem 0 dm. Vpočítejte výšku tohoto hrnolu jeho povrch. 0. Vpočtěte obsh pláště objem trojbokého hrnolu o výšce 0, m, je-li jeho podstv prvoúhlý trojúhelník s odvěsnou délk, dm přeponou délk 0 cm.. Skleněný prvidelný trojboký hrnol má hmotnost 9,9 g. Jk vsoký je hrnol, je li délk hrn podstv cm hustot skl je, g/cm? (9,9 cm). Přivděč vod do nádrže má průřez tvru rovnormenného lichoběžníku o délkách záklden 0, m 0,9 m hloubk přivděče je 0, m. Kolik vod se jím při plné průtočnosti přivede z minutu, teče-li vod rchlostí, m/s? str.

25 Válec. Vpočítejte výšku válce, jehož objem V = 9, l, r = 0 cm.. Do nplněného sudu se vejde 00 litrů vod má průměr cm. Jkou má výšku?. Sud má tvr válce výšku, m, průměr sudu je 0 cm. Plníme ho půllitrovou lhví ž po okrj. Kolikrát budeme muset tkovou láhev vlít do sudu než bude plný po okrj?. Nádob tvru válce s průměrem dn,8 m obshuje hektolitrů vod. Do jké výšk shá vod?. Bzén má kruhovité dno s průměrem m. Jk je hluboký jestliže se plnil po okrj hodin vod přitékl rchlostí 0 litrů z hodinu?. Ze sudu tvru válce vtéká dírkou vod rchlostí cl z sekundu. Z kolik hodin se plný sud vprázdní, jestliže má výšku, m průměr m. 7. Vrný kotel tvru válce má průměr podstv 80 cm hloubku 70 cm. Vpočítejte kolik litrů polévk se v něm dá uvřit pokud je nplněn cm pod okrj. 8. Vejde se do hrnečku tvru válce s průměrem dn 8, cm výškou 9 cm půl litru mlék? 9. Vpočtěte přibližnou hmotnost zlté olmpijské medile, má-li průměr cm průměrnou tloušťku mm. Hustot zlt je 9 90 kg/m. 0. Jkou hmotnost má 000 m měděného drátu o průměru mm, je-li hustot mědi 8,8 g/cm?. Kolik hl vod se vejde do válce, jehož plášť rozvinutý do rovin má tvr čtverce. Obsh pláště je 8dm. (0, hl). Vpočtěte rozměr válcové nádob o objemu l, je li její výšk rovn čtřnásobku poloměru podstv.. Kolik litrů vod je v nádobě tvru válce, jejíž průměr je 8 cm výšk 0 cm, shá li vod do výšk? (0,8 l) Jehln, kužel. Prvidelný čtřboký jehln má objem cm podstvnou hrnu = 7, cm. Vpočtěte jeho povrch. (v =, cm, S =, cm ). Vpočtěte objem povrch prvidelného šestibokého jehlnu o podstvné hrně =,8 m tělesové výšce v =, m. (V =,79 m, S =,9 m ). Vpočtěte objem povrch prvidelného čtřbokého jehlnu, je-li stěnová výšk vs = cm svírá s rovinou podstv úhel 0. ( = cm, v t = 0, cm, V = 99, cm, S= cm ). Kolik m plechu je třeb n pokrtí věže tvru prvidelného čtřbokého jehlnu, je-li podstvná hrn 0 m, odchlk boční stěn od rovin podstv je 8 počítá-li se s odpdem 0%. (v s=, m, S = 9, m ). Věž tvru kužele má obvod podstv 9, m výšku m. Kolik m plechu je třeb n pokrtí věže. (,8 m ). Strn kužele svírá s rovinou podstv úhel 0. Vpočti objem kužele, je-li jeho povrch 0 cm. (r =, cm, v = cm, V =, cm ) 7. Vpočti objem povrch kužele, je li úhel při vrcholu 0 průměr podstv d = cm. (v = 9,08 cm, s =, cm, V = 878,8 cm, S = 00, cm ) 8. Objem kužele je 000 cm, obsh osového řezu je 00 cm. Vpočti povrch kužele. (r = 9, cm, s =, cm, S=7, cm ) Koule. Vpočítejte objem povrch koule o poloměru cm.. Vpočítejte povrch objem polokoule o průměru 0 cm.. Koule má objem litrů. Vpočítejte její průměr.. Jký objem má koule o povrchu 0 m.. V lehké tletice při vrhu koulí používjí muži kouli o hmotnosti 7, kg žen kg. Hustot oceli je 7800 kg/m. O kolik mm je průměr koule pro muže větší než průměr koule pro žen? (si, mm). Objem duté koule je cm. Jký je její vnitřní průměr, kdž tloušťk stěn je cm? (8 cm) str.

26 Komolý jehln, komolý kužel vzorce v příloze náčrt, obecné řešení, výpočet. V prvidelném čtřbokém komolém jehlnu jsou dán podstvné hrn : = 0 cm, = 8 cm tělesová výšk v = 7 cm. Vpočti objem povrch. (V = cm, S = 7,8 cm ). Vpočtěte objem povrch prvidelného čtřbokého komolého jehlnu, jsou li délk podstvných hrn 0 cm cm. Plášť má obsh 0 cm. (V=08, cm, S= cm ). Povrch komolého kužele je S = 797 m, průměr podstv jsou m m. Určete jeho výšku objem. (v = m, V =,7 m ). Kolik plechu bude zpotřebí n otevřenou nádobu tvru komolého kužele, jsou li průměr podstv 0 cm 8 cm, výšk je cm počítá se % n odpd. (S = si 9 cm ). Nádob z plechu ve tvru prvidelného komolého jehlnu má horní hrnu cm, dolní hrnu 0 cm výšku 8 cm. Vpočítejte hmotnost nádob, kdž m má hmotnost kg. (9, g). Jkou výšku má těleso tvru rotčního komolého kužele, jsou-li poloměr podstv m m, objem m? ( m) 7. Povrch rotčního komolého kužele je S = 7 97 m, průměr podstv jsou m m. Určete výšku kužele. ( m) 8. Budov má tvr komolého jehlnu s podstvou čtverce. Je vsoká 80 m. U země má šířku 00 m. Sklon zdí se zemí je 70. N střeše bude podlh z mrmorových desek o rozměrech 0 0 cm. Kolik mrmorových desek bude zpotřebí? (7 0) 9. Mrkodrp má tvr kom. kužele. Dolní průměr je 0 m, horní 0 m. Obsh pláště je 8 m. Vpočítejte kolik podlží má budov, kdž jedno podlží má výšku,7 m. (7 podl.) 0. Jk dlouho se vpouští bzén ve tvru komolého kužele hluboký m? Průměr bzénu n hldině je 0 m, průměr dn je 8 m. Vod vtéká rchlostí litrů z sekundu. Kolik bude stát nátěr dn stěn bzénu, kdž nátěr m stojí kč? ( h min, kč) str.

27 7. Funkce Prvoúhlý sstém souřdnic O. Nrýsujte souřdnicový sstém O pk bod A[ ; ] B[; ] C[0; ] D[,; 0]. Rozhodněte, ve kterém kvdrntu se nchází bod A[0,; ] B[ ; ] C[; ] D[ ; ] {kvdrnt: A:., B:., C:., D:. } Funkce, definiční obor, obor hodnot, grf funkce. Určete, které z bodů A, B, C, D jsou bod funkce: ) b) c) A[ ; ] B[7; ] C[ ; ] D[; ] 0 A[0; ] B[;, ] C[; ] D[; ] A[ ;,] B[; ] C[; ] D[; ] d) A[0; ] B[ ; 0] C[; 0] D[ ; ] e) A[0; ] B[ ; 9] C[; ] D[; 0] f) A[0; ] B[ ; 0] C[; 0] D[; ]. Určete obor hodnot H(f) funkce ), je-li D ( f ) ; b), je-li D ( f ) ; c), je-li D ( f ) ;. U všech funkcí zjistěte funkční hodnotu v bodě f ( ) f () ) f ( ) 0,/ f (), b).( ) 8 c) f ( ) / f () f ( ) / f () d) ( ) f ( ) 0/ f () 7 e) ( ) f ( ) / f () 9 f) ( ) f ( ) / f () 8 g) ( ) 9 f ( ) / f () 9 h) f ( ) 0/ f () 0 i) ( ) j) f ( ) / f () 9 f ( ) / f () str. 7

28 . Zjisti, zd u všech zdných funkcí ptří číslo 0 do oboru hodnot. 0 H( f ) nebo 0 H( f ) Definiční obor u všech funkcí : D(f) ) b) ; 0 H( f ) 0 H( f ) 0 H( f ) c).( ) 8 d) 0 H( f ) 0 H( f ) e) ( ) 8 f) 8 ( ) 0 H( f ) 0 H( f ) g) ( ) 0 H( f ) h) ( ) 9 i) 0 H( f ) j) 9 ( ) 0 H( f ) k) 0 H( f ). Zjisti souřdnice průsečíků grfu funkce s osmi. ) X ;0, Y0;, b) X ;0, c).( ) 8 Y 0; X ;0, X 7;0, 0; d) Y X ;0, Y0; X ;0, X ;0, 0; e) ( ) f) ( ) Y X ;0, Y0; X ;0, Y0; 7 g) ( ) X ;0, X ;0, Y0; 8 h) ( ) 9 i) ( ) X ;0, X 0;0, 0;0 j) ( ) X není k) Y,Y 0; X 0;0, Y0;0 str. 8

29 str. 9

30 . Určete D(f) definiční obor funkce: Nutno znát řešení lineárních nerovnic v podílovém součinovém tvru, řešení kvdrtických nerovnic!!! ) [D(f) = R\] b) [D(f) = R\, 8] c) 8 [D(f) = R\(,)] d) 8 9 [D(f)= R\ 9, ] e) 0 [D(f)=R\ (,)] f) g) [D(f)= (,) ] [D(f)=R\(, ] Lineární funkce. Funkce f je dán rovnici + 0 = 0 ) převeďte rovnici funkce f n tvr: = + b b) vpočítejte hodnot funkce f v bodech ; 0 c) doplňte následující tbulku : 0, 7 d) Vpočítejte souřdnice průsečíku grfu funkce f se souřdnicovými osmi (pokud eistují) e) Sestrojte grf funkce f f) Určete pro která R má funkce f nezáporné hodnot.. Přiřďte kždému bodu správnou vrintu odpovědi. A[ ; ]. leží v I. kvdrntu A B[ ;0]. leží v II. kvdrntu B C[;]. leží v III. kvdrntu C D[0; ]. leží v IV. kvdrntu D E[; ]. leží n ose E F[ ;]. leží n ose F. Funkce je určen rovnicí = +. Vpočtěte funkční hodnot f(0); f(); f(); f(0); f( ); f( ); f( ); f( ); f(,); f(0,).. Určete koeficient, b zpište názv funkcí určených rovnicemi, uveďte, zd je funkce určená dnou rovnicí rostoucí, klesjící nebo konstntní: ) = + b) = 0, c) = d) = e) = f) = + g) = 0, h) = i) = +. Rovnice funkcí převeďte n tvr = + b, zpište koeficient, b: ) + = 0 b) = 0 c) + = 0 d) = 0 e) + = f) + = g) = 0 h) + =0 i) + =. Sestrojte grf funkcí určených rovnicemi: ) = b) = c) = + d) = e) = + f) = str. 0

31 7. Sestrojte grf funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obor. K dnému definičnímu oboru určete měřením v grfu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zd je funkce rostoucí, klesjící nebo konstntní. Funkce jsou určen rovnicí: ) = ; D(f) = ( ; 0 b) = + ; D(f) = R c) = ; D(f) = (0; d) = ; D(f) = ; ) 8. Sestrojte grf funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obor. K dnému definičnímu oboru určete měřením v grfu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zd je funkce rostoucí, klesjící nebo konstntní. Funkce jsou určen rovnicemi: ) = D ( f ) ; b) = + D ( f ) ; c) 0 D ( f ) ; d) D ( f ) ; e) D( f ) R f), D( f ) R 9. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): A; 0 B ; C; 0, 0. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): A0; B; C0,;,. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): = A[0; ] B[; ] C[ ; ] D[ ; 7]. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): = 0, + A[; ] B[ ; 7] C[0; ]. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): = + A[ ; 7] B[ ; 7] C[; ]. V rovnici funkce určete: ) číslo tk, b bod M, ležel n grfu funkce určené rovnicí = + b) číslo b tk, b grf funkce určené rovnicí = + b procházel bodem P,.. Funkce je určen rovnicí = +. Vpočtěte číslo tk, b grf funkce procházel dným bodem: ) G ; b) H ; 9 c) J 0,; d) M ; 0. Bod A [; ] je bodem funkce = +. Vpočítejte koeficient. 7. Bod Z [; ] je bodem funkce = + b. Vpočítejte koeficient b. 8. Bod X [; 7] je bodem funkce =. Vpočítejte koeficient. 9. Bod M [8; ] je bodem funkce = +. Vpočítejte koeficient. 0. Bod A [ ; ] je bodem funkce = + b. Vpočítejte koeficient b.. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zdán dvěm bod A[; ], B[ ; ]. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zdán dvěm bod X[0; 8], Y[ ; 0]. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zdán dvěm bod M[; ], N[; ]. Vjádřete následující závislosti jko funkce zpište je rovnicí funkce: ) Závislost obvodu čtverce n délce jeho strn. b) Závislost délk drátu n teplotě, jestliže se drát o délce 0 m při ohřátí o C prodlouží o 0,0 m. c) Závislost stvu krmiv n čse, jestliže se ze zásob 0 tun denně zkrmí 80 kg. d) Závislost ujeté dráh vlku n čse, jestliže při výjezdu ze stnice měl již z sebou ujetých 0 km dále jel průměrnou rchlostí 0 km/h. 7. V zemědělském závodě je zásob 000 litrů nft. Denně se z ní pro provoz vozidel spotřebuje 0 litrů. Zpište rovnicí závislost stvu zásob nft n počtu dní. Sestrojte grf této závislosti. Z grfu určete: N kolik dnů nft vstčí? Jká bude zásob po osmi dnech? Kolikátý den musí být objednán nová nft, objednává-li se při poklesu zásob n čtvrtinu původního množství? 8. Průměrná spotřeb Škod Felície je 7 litrů benzinu n 00 kilometrů. Před cestou má řidič v nádrži 8 litrů. ) Sestvte rovnici závislosti množství benzinu v nádrži (v litrech) n počtu ujetých kilometrů. b) Po kolik ujetých kilometrech zbývá řidiči v nádrži ještě litrů? str.

32 Kvdrtické mocninné funkce. Stnovte průsečík grfu funkce s osmi, ) 9 b) 9 0 c) 0 7 d) 9 e) f) 0. Zjistěte průsečík grfu funkce s osmi,, pk uprvte rovnici kvdrtické funkce tk, bste určili souřdnice vrcholu. Poté grf funkce nčrtněte. ) = b) = c) = + + d) = + + e) = + f) = Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f() průsečík s osou ( ) ( ). Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f() průsečík s osou ( ) ( ) ( ). Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f( ) průsečík s osou ( ) ( ) ( ). Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f( ) průsečík s osou ( ) ( ) ( ) 7. Vpočítejte souřdnice průsečíků kvdrtické lineární funkce: ) f : = + f : = {A[; ] B[; ] } b) f : = + f : = + {A[; 0] B[ ; ] } c) f : = 8 f : = {A[; 0] B[0,;,] } d) f : = f : = {A[ ; ] B[; 0] } e) f : = f : = + {A[ ; ] B[; 0] } f) f : = + f : = {A[; ] B[ ; ] } Eponenciální funkce. N zákldě náčrtku grfu eponenciální funkce rozhodni o prvdivosti tvrzení ) 0, > {no} b) 0, < {ne} c) 0, 0, < {no} d), 0, > {ne},, 7 e) > {ne} f) > {ne} 7. Vužijte vlstností ep. fce porovnejte eponent p r nčrtněte grf ), p, r [pr] b). Pro která je ep. funkce rostoucí? { ; }. Pro která je ep. funkce klesjící? { ; } p r [pr] c) 0, p 0, r [pr] str.

33 . Řešte eponenciální rovnice, proveďte zkoušku ( ) ( ).0, 8 ( ).0, ( ).0,. Řeš eponenciální rovnice, proveďte zkoušku (použijte substituci npř.: = ) ) + = [ = ] b). = 0 [ = ] c) = + 9. [ = ] d) + = [ = ] e) +. + = 9 [ =, = ] f) + 7. = 0, [ = ] g) = 0,. [ = ] Logritmická funkce rovnice = log, R +, D(f) = (0,+), H(f)= R. Určete logritmus ) log b) log c) log 7 d) log e) log f) log 9 7 [ ) b) c) 0 d) e) f) 0, ]. Určete logritmus ) log 00 log [] b) log 9 8 log [] c) log 0000 log [] d) log log 7 [ ] e) log 0,0 log 8 [ ] f) log log [] g) log 7 log [ ] 7. Určete číslo,, (definice logritmu) ) log = b) log c) log d) log e) log 000 f) log 8 g) log = h) log = i) log j) log 00 k) log 8 l) log m) [ ) b) =0, c) =0, d) e) 0 f) g) h) Určete definiční obor logritmické funkce: ) = log [ D ( f ) ;0 ] b) = log c) = log D ( f ) ; ] d) = log [ 0 log n) log i) j) k) 8 l) m) n) ] [ ( f ) 0; D ] ( ) [ R D( f ) ] e) = log [ D ( f ) (, ) ] f) = log [ D ( f ), ;] g) = log [ D ( f ) ;0 ; ] h) log [ D( f ) R ]. Nčrtni grf log. funkce, zjisti zd bod A, B, C leží n grfu funkce ) A[; ] B[9; 0] C[7; ] {,, } log log ( log ( ) b) ) A[; ] B[; ] C[0; ] {,, } c) A[-0; ] B[; ] C[; ] {,, } d) log( 0) A[; ] B[0; ] C[,; ] {,, } str.

34 . Zjisti průsečík logritmické funkce s osmi, ) log { X[; 0] Y[nee.] } b) log ( 8) { X[ 7; 0] Y[0; ] } c) log ( ) { X[ ; 0] Y[0; ] } 7. N zákldě grfu log. funkce rozhodni o prvdivosti tvrzení ) log 7 log {no} b) log0, log0, {ne} c) log0, 0,7 0 {ne} d) log 8 log {no} e) log, 0 {no} 8. N zákldě grfu log. funkce zpiš vzth pro proměnné, ) log log { } b) log0, log0, { } c) log log { } 9. Určete logritmus výrzu (zlogritmujte) ) [ log log log ] b) b [ log log log b ] c) [ log log b] d) [ log log ] b. c. e) [ log log c log log log ]. 0. Odlogritmujte:. ) log log log 7 [ log 7 7 b) log 7 log log log log z [ log z c) log 8 9 log 8 log 8 log 8 log 8 z [ log. Vpočítejte (nejprve odlogritmujte, použijte vět o logritmech) ) log log 9 [] b) log 0log [] c) log 0 log [] d) log log log [] e) log log [ ] f) log log 00 [ ] f) log log 00 log 8 [] 9 g) log log log 9 [ ]. Vřešte rovnice: ) log log = [ = 0] b) log 7 = log [ = 9] c) log + log = [ =,] d) log 0 log = [ = 0] e) log 8 = log 8 [ = ] f) log = log 0 [ = 00] 8.. ] ] ] z str.

35 Goniometrické funkce. Zjistěte z tbulek bez použití klkulátorů: sin = cos = tg = cotg = sin ( 080 ) = cos 8 = tg ( ) = cotg ( 7 ) = 9 sin = cos = tg = cotg = sin ( 7π ) = cos ( π ) = tg ( 9π ) = cotg ( 7π ) =. Vpočtěte bez použití klkulátorů sin.cos( ).sin sin 0.cos + [0] cos.sin + cos0.sin0 cos0. sin0 = [0] ] sin0.cos0 sin + tg( 0 ) cos0 = [ 7).(cos ). (sin0 + tg0 ).cos + sinπ = [ 7 ]. Vpočtěte bez použití klkulátorů tg + cotg 00 + tg 0 + cotg + tg = [].tg 0 + cotg tg + cos 00 = [. ] tg 0. cotg 0 sin 0. tg 0 = [,] 7 tg cot g tg cot g tg [] Vzth mezi goniometrickými funkcemi v z o r c e v t b u l k á c h. Zjednodušte výrz: ) cos. tg = [cos ] b) tg cos [ ] c) (sin cos ) + sin.cos tg. cotg = [0] d) c) tg. cos + cos = [sin ] sin sin sin e) [ (+cos) f). tg cos cos cos [ ] cos g) tg cos sin [] sin. Zjednodušte výrz: tg ) tg cot g c) tg tg e) tg cos sin g) cos sin sin cos i) cos sin cos sin k) cos sïn cos cot g. tg tg [sin] b) = tg sin [cotg ] d) tg. cos cos [sin ] sin cos [cos] f) [ ] cos sin sin cos cos [tg] h) [tg ] tg cot g cos (cos. tg) [ tg] j) [ ] cos cot g [ sin] l) [cotg ] tg str.

36 cos sin m).cot g sin cos [] Goniometrické rovnice. sin + = sin [0 + k.0, 80 + k0 ]. tg = tg + [ k nebo 0 + k.80 ]. cos = cos [80 + k.80 nebo + k. ]. cos( ) = cos + [ + k.0, + k.0 ]. cos = sin [0 + k.0, 00 + k.0 ]. sin = sin cos [90 + k.0, 7 + k.0, + k.0 ] 7. sin = (sin cos) [ + k.0, 7 + k.0 ] cos 8. tg + sin [0 + k.0, 00 + k.0 ] 9. sin + 7cos = 0 [0 + k.0, 00 + k.0 ] 0. cos = + cos [ k, k ]. cos cos = 0 [0, 90, 70 + k.0 ]. cos sin + = 0 [90 + k.0 ]. sin + cos = 0 [0, 00, 09, + k.0 ]..sin sin.cos 0 [0 + k.80, + k.0, + k.0 ]. cos. tg cos 0 [90 + k.80, + k.80 ]. cos 7 cos 8 [80 + k.0 ] 7. sin sin [90 + k.0 ] str.

37 8. Posloupnosti. Určete člen posloupnosti ; ; 0: n = ( n n n n= [ ; 9; 00]. Určete první člen posloupnosti: ( n + n ) [,;,; 8,7]. Určete kolikátý člen posloupnosti má hodnotu 0. ) (n ) b) ( n ) c) (n n + ) [)8; b); c) ; ]. Vpočtěte hodnot dných členů posloupnosti dné rekurentně: n n ; ; =? [ ; 0,;,7] n n 7 ; =? [,; ] n n n ; ; =? [0; ] Aritmetická posloupnost (AP) je dán. členem diferencí diference (d) rozdíl dvou po sobě jdoucích členů kždý následující ( předcházející) člen je o d větší (menší). V ritmetické posloupnosti určete prvních členů je-li dáno: ) = ; d = [; 8; ; ; 7] b) = ; d = 8 [ ; ; 0; 8; ] c) =, ; d = 0, [,;,; 0,9; 0,; 0,] d) = ; 9 =, [7,;,;,7; ;,] e) 7 =, ; =, [ 0,8; 0,; 0,; 0,7;,]. Určete 0. člen v AP je-li dáno: = 0, 0 = 7, [,]. V AP je dáno : ) = 0, d = určete první člen [, 0, 8, ] b) 8 =, d= určete 8, [= 8 = ] c) =, = určete S. [S = ]. V ritmetické posloupnosti je : =, S0 = 9. Určete 0, d, [0 =, d =, = 9]. V ritmetické posloupnosti je : =, S0 = 9. Určete 0, d, [0 =, d =, = 9]. Vpočítejte součet členů ritmetické posloupnosti, kdž je dáno: ) =,9 0 = 7, S =? [8,] b) = 9 = 9 S =? [] c) = = S0 =? [ 9] d) = 0 = 0 S0 =? [ 70] 7. Vpočítejte S8, kdž je dáno: ) 8 =, =, (,) b) 7 = 00 9 = 0 ( 00) str. 7

38 8. Vpočítejte ) S0, kdž je dáno: + = + 7 = 0 [S0 = 0] b) S, kdž je dáno: + = + 8 = [S =,] c) S, kdž je dáno: + =0 + = [S = 7] 9. Kolik členů posloupnosti nám dá součet Sn, kdž známe: ) Sn = 8 = = [n = ] b) Sn = 9, =, 8 = 0 [n = 7] c) Sn = 0 8 = 0 0 = [n = ] 0. V AP pltí: d =, n = Určete, kolik prvních členů má součet. [n=8]. Vpočtěte součet všech členů konečné AP :,,,...,. [n = 9, S9 = 7 ]. Kolik prvních členů AP dává součet ) 0, je-li =, d =? [n = 0] b) 87, je-li =, = 7 [n = ] c) 0, je-li =, d= [n = 0]. Mezi čísl 7 vložte tolik čísel, b vznikl AP. Součet dných vložených čísel je 8. Určete vložená čísl. [ = 7, d =, vložená čísl:,, 9,, 7,,, 9,, 7]. V devítičlenné ritmetické posloupnosti je prostřední člen součet dvou posledních je 8. Určete součet všech členů posloupnosti. []. Vpočtěte součet všech sudých dvouciferných čísel. [0]. Vpočtěte součet všech lichých trojciferných čísel. [7 00] Geometrická posloupnost GP : je určen prvním členem kvocientem q kvocient podíl dvou po sobě jdoucích členů, kždý následující (předcházející) člen je q krát větší (q krát menší). V GP je dáno: =, q =, n =. Určete n, Sn. 7 [n = 8, S8 = ] 8 8. = 0, = 0,08 Vpočítejte S [S =,8]. =, = 0,009 Vpočítejte S [S = 7,]. = 0 = 80 Vpočítejte S [S = 0]. Zjisti q pokud pltí: = 0 = 0 [ = 0 q = ]. = = 0, Kolik členů dává součet Sn =,7 [n = ] 7. =, =, Kolik členů dává součet Sn = 0 [n = ] 8. = 0 = 0 Kolik členů dává součet Sn = 0 [n = ] 9. V GP pltí : ) + + = + + = 80 Urči, q. [ =, q = ] b) = 0 = Určete prvních členů. [q =, =,,, ] c) + = 0 +8 =0 Vpočti S. [ =, q =, S = ] postup řešení: kždý člen vjádříme pomoci. členu kvocientu q, řešíme pk soustvu rovnic o dvou neznámých 0. Mezi čísl vložte čísl tk, b s dnými tvořil po sobě jdoucí člen GP. [,, 8, ] str. 8

39 . První člen šestičlenné GP je, poslední 0. Vpočtěte součet členů GP. []. V GP je dáno: ) = 0,7, q=, určete 8. [8 = 0,0] b) =, =, určete prvních členů [,, 8,, ] c) =, q = 0,, určete S. [S= d) = 9, q = 0,, určete 8, S. [8 = 9.0 7, S = 9,9999] e) =, = 9, určete q, 8, S. [q =, 8 = 78, S = 78]. GP tvoří čísel předposlední člen je prostřední 0. Vpočtěte součet prvních tří členů. [70] ] Užití GP, složené úrokování. Počet obvtel měst vzrostl z let ze n O kolik % se průměrně zvšovl z jeden rok?. Původní cen stroje bl Kč. Jkou cenu má stroj po 0 letech při 0% mortizci? [97 Kč]. N účtu s % úrokem máme uloženo Kč. N účet již nebudeme nic ukládt ni vbírt. ) Kolik Kč bude n účtu z let? [ 8Kč] b) Z kolik let se částk 0000 Kč zdvojnásobí? [si let] c) N kolik % b se musel vkld uložit, b se zdvojnásobil z let? [p=,87%]. Délk hrn kvádru tvoří po sobě jdoucí člen geom. posloupnosti. Nejkrtší hrn měří cm. Objem kvádru je jeden litr. Zjisti délku osttních hrn. [, 0, 0]. N VŠ se hlásí 90 uchzečů. Přijímcí řízení se koná v několik kolech tk, že do dlšího kol postupuje vžd polovin uchzečů. Kolik musí škol uskutečnit kol, b přijl pouze 0 uchzečů? []. Z kolik hodin se bkterie množící se dělením rozmnožil z 000 n Počet bkterií se zdvojnásobí z hodinu. [8] 7. Ve vesnici se z dv rok zvýšil počet obvtel ze 00 n. Jký bl průměrný procentuální roční přírůstek? [0 %] 8. Roční úrok je %. Úrokovcí období jsou měsíce. Z kolik let se nám vkld zdvojnásobí? [0, let] 9. Plt se zvýšil z Kč n 00 z let. Jký bl roční % nárůst? 0. Z kolik let se Jnovi zvýšil vkld z Kč n Kč, kdž roční úrok bl, % zúročovní období blo rok?. Z kolik let vzrostl cen tun obilí z 000 Kč n Kč, kdž bereme roční nárůst, %? [0 let]. Jký bl roční úrok v bnce, kdž z rok jsme uspořili ze Kč n 0 Kč? [ %] str. 9

40 9. Kombintorik, sttistik, prvděpodobnost Permutce P(n) permutce z n prvků, tvoříme uspořádné n tice z n prvků. P(n)= n! P()=!=.... Zjednodušte: ) n! n! n! n! n! n! n! ( n )!.( n )! c) ( n )! n! ( n )! n! ( n )! ( n )! ( n )! n! ( n )! b) ( k )! d) ( k 8)!( k 9) ( )! ( )!.( )! ( p )! ( p )! ( p )! e) f) ( )!! ( )! ( p )! ( p )! ( p 7)!. Vřešte rovnice: ( n )! ( n )! ( )! ) b) c) 8 [ = ] n! ( n )! ( )! ( n )! n! d) n n [n = ] e) 90 [n = 0] n! ( n )!. Kolik způsob můžeme v knihovně seřdit knih vedle sebe?. Kolik je pěticiferných čísel vtvořených z čísel 0,,,,?. Kolik různých přirozených trojciferných čísel větších než 0 lze sestvit z číslic,, tk, b se žádná číslice neopkovl? []. Kolik čtřciferných přirozených čísel větších než 00 lze zpst číslicemi 0,,,, jestliže se v čísle žádná číslice neopkuje? [] 7. Kolik různých šesticiferných čísel lze zpst číslicemi 0,,,, 7, 9, nemá li se žádná číslice opkovt. [00] 8. Vpočtěte ) V(,8) P()= [] b) V(,0) P() = [] c) P() V(,) P() = [ ] 9. Zvětší li se počet prvků o, zvětší se počet permutcí 0krát. Určete počet prvků. Proveď zkoušku. [9] 0. Zvětší li se počet prvků n o dv, zvětší se počet permutcí 7krát. Určete n. [n=7] Vrice V ( k, n ) vrice k té tříd z n prvků tvoříme uspořádné k tice z n prvků. V(k; n) = (n k)!. Kolik způsob seřdíme do pětic písmen A, B, C, D, E, F, H?. Kolik čtřciferných lichých čísel vtvoříme z číslic,, 7, 8, 9?. Kolik je trojciferných čísel vtvořených z číslic 0,,,?. Kolik způsob seřdíme ve trojicích tto smbol?. Kolik sudých trojciferných čísel vtvoříme z číslic,,,,, 7, 8, 9?. Kolik je dvojciferných čísel vtvořených z čísel 0,,,,? 7. Kolik jednociferných ž čtřciferných přirozených čísel lze zpst číslicemi 0,,,, jestliže se v čísle žádná číslice neopkuje? 8. 7 kmrádů si slíbilo, že si pošlou vzájemně pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic blo posláno? () 9. Kolikerým způsobem může rnžérk vstvit vodorovně vedle sebe různých šmpónů? (0) 0. Bezpečnostní kód se tvoří z písmen K L M N O P Q všech číslic. Kód obshuje nejprve písmen pk číslice, žádný znk se neopkuje. Npř.: KQM87. Kolik je vricí bezpečnostního kódu?. Kolik různých přirozených dvojciferných čísel lze sestvit z číslic,,7,9 tk, že v dvojciferném čísle nejsou žádné číslice stejné? [] n! str. 0

41 . Kolik jednociferných ž pěticiferných čísel lze sestvit z číslic 0,,,,8,9, jestliže se v čísle žádná číslice neopkuje. [0]. Kolik prvků dá 0 vricí druhé tříd?. Z kolik prvků lze vtvořit ) 7 b) vricí druhé tříd? [9, 7]. Vricí druhé tříd z n prvků je šestkrát méně než vricí třetí tříd stejného počtu prvků. Z kolik prvků jsou tto vrice? Kombince K ( k, n ) Kombince k té tříd z n prvků tvoříme k prvkové podmnožin z n prvků. n n! K(k, n) = n kombinční číslo k k!( n k)! k. Vpočtěte: ) K(,8) + K(,) = [] b) K(,) K(,) + = [8] c).k(,) + P() = [ 0] d) e) [0] 7 9. Při setkání bsolventů škol jedné tříd se bsolventi přivítli stiskem rukou. Kolik blo celkem stisknutí rukou, jestliže se sešlo bsolventů? []. Kolik různých -členných sportovních družstev lze sestvit z 8 nejlepších sportovců tříd? []. Kolik šchistů se zúčstnilo turnje, jestliže víme, že kždý účstník sehrál s kždým z osttních po jedné prtii odehrálo se prtií. []. Kolik možností thů je ve hře šťstných deset, kde se losuje 0 čísel z 80? [ 9 0 0]. V cukrárně mjí druhů zákusků, Jn chce koupit 7 různých kusů. Kolik má možností? [0] 7. V divdelním souboru je 0 mužů 8 žen. V divdelní hře účinkují muži žen, kolik je možností obszení hr? [ 0] 8. N letní tábor přijelo chlpců dívek. V soutěži mjí vtvořit družstv, kde jsou chlpci jedn dívk. Kolik je možností? [] 9. Ve třídě je 8 chlpců 9 dívek, do soutěže mjí vtvořit družstvo složené ze chlpců dívek. Kolik je možností? [9 7] 0. Kolikerým způsobem je možno sestvit člennou delegci ze tříd o 0 chlpcích 8 dívkách, mjí li být v delegci ) chlpci dívk [88] b) chlpec dívk [80] c) chlpci dívk [0]. V kódu je n prvním místě jedno z písmen A,B,C nebo D. N dlších dvou pozicích je libovolné dvojciferné číslo od do 99. (Eistují npř. kód A, D pod.). Určete počet všech tkto vtvořených kódů. []. Z kolik prvků lze vtvořit ) b) kombincí druhé tříd? [9, ]. Zmenší li se počet prvků o, zmenší se počet kombincí druhé tříd z těchto prvků třikrát. Kolik je prvků? [0]. Zvětší li se počet prvků o, zvětší se počet kombincí druhé tříd z těchto prvků o 0. Kolik je prvků? []. Zmenší li se počet prvků o, zmenší se počet kombincí druhé tříd z těchto prvků o. Kolik je prvků? [8] [] str.

42 Sttistik. V jedné firmě bl zprcován sttistický soubor změstnnců. Sttistickým znkem bl výše měsíčního pltu. Hodnot sttistického znku bl rozdělen do intervlů, u kždého je dán četnost hodnot znku. Nejprve spočítej rozsh souboru. Vpočítejte kolik se celkem vdá měsíčně ve firmě z výplt. Spočítej reltivní četnosti jednotlivých hodnot, ritmetický průměr, modus medián těchto hodnot. výše pltu četnost Grf znázorňuje četnost známek z mtemtik. Zjistěte z grfu četnost sttistického souboru, četnost jednotlivých známek, reltivní četnost, ritmetický průměr, medián modus.. Klsifikci žáků NS z mtemtik vjdřuje následující tbulk: ) Jká je průměrná známk z mtemtik ve třídě (zokrouhlete n setin)? b) Kolik chlpců má lepší známku z mtemtik, než je průměrná známk dívek? Klsifikce Počet dívek 0 Počet chlpců 7 7. Ve škole bl zkoumán dv sttistické soubor žáků. Sttistickým znkem bl hmotnost. Hodnot sttistického znku bl rozdělen do intervlů, u kždého je dán četnost hodnot znku. Spočítej nejprve rozsh souborů. Vpočítejte průměrnou hmotnost chlpců i dívek. Spočítej reltivní četnosti jednotlivých hodnot, modus medián hodnot. tělesná hmotnost žáků kg chlpci dívk str.

43 . V tbulce je uveden počet prodných ut v jednotlivých měsících. Vpočítejte reltivní četnosti v jednotlivých měsících, průměrný měsíční prodej, modus medián. Počet prodných ut leden únor 0 březen duben 70 květen 8 červen 7 červenec 0 srpen září říjen 8 listopd 0 prosinec 9 celkem reltivní četnost %. Kždý student třetího ročníku si vbrl právě dv ze čtř nbízených seminářů A-D. Rozdělení studentů je uvedeno v tbulce. Čísl udávjí počt žáků v jednotlivých dvojicích seminářů. (Npříkld semináře A součsně C nvštěvuje studentů). V poslední sloupci jsou uveden celkové počt studentů v jednotlivých seminářích. Počet studentů v seminářích A B C D Celkem A - 0 B 0-7 C - D - 9 ) Doplňte všechn prázdná políčk tbulk. b) Přístup do počítčové sítě mjí všichni studenti, kteří nvštěvují seminář A nebo seminář B. Kolik studentů má přístup do počítčové sítě? c) Kolik studentů nvštěvuje třetí ročník? 7. Ve sttistickém šetření blo zjišťováno, kolikrát ročně chodí studenti jedné tříd do knihovn. Výsledk bl zpisován do tbulk četností návštěv. Z tbulk se ztrtil poslední údj o počtu studentů, kteří nvštěvují knihovnu ž 8 krát z rok. Vpočítejte tento údj, pokud víte, že ritmetický průměr všel přesně návštěv n jednoho student z rok. Počet návštěv Počet studentů 0 8 Průměrná hodnot = str.

44 8. Sttistickým souborem bli žáci dvou tříd. Sttistickým znkem bl počet cigret, které denně vkouří. Zjistěte průměrnou spotřebu cigret n žák, rel. četnost jednotlivých ktegorií, pk zjistěte modus medián. Vpočtěte kolik Kč prokouří průměrně student- kuřák z měsíc rok, kolik kg dehtu projde jeho plícemi z rok. cig = 0 mg dehtu. 9. Uvedený grf udává počt neprospívjících žáků počt nedosttečných, které dostli n vsvědčení. I. Zjisti kolik žáků z celkového počtu ve škole neprospělo. () II. Zjisti průměrný počet pětek u těchto neprospívjících žáků. ( nedosttečné) III. Zjisti medián. ( nedosttečné) IV. Zjisti modus. ( nedosttečná) V. Kolik žáků mělo více nedosttečných? () Počt nedosttečných ve škole 0 Počet žáků Počet nedosttečných str.

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

01-8 Z 1500 vyrobených žárovek bylo 21 vadných. Kolik procent vyrobených žárovek bylo bez vady?

01-8 Z 1500 vyrobených žárovek bylo 21 vadných. Kolik procent vyrobených žárovek bylo bez vady? Příklady na 1. týden 01-1 Vypočtěte: a) 23 - [2,6 + (6-3 2 ) - 4,52] b) 3,5 2 + 2 [2,7 - (-0,5 + 0,3. 0,6)] 01-2 Vyjádřete v jednotkách uvedených v závorce: a) 4 g (kg) 325 km (m) b) 12 kg (g) 37,5 mm

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Základní poznatky z matematiky

Základní poznatky z matematiky Zákldní pozntky z mtemtiky Obsh. Zákldní pozntky z mtemtiky.... Číselné obory..... Celá čísl..... Reálná čísl.... Odmocniny.... Mocniny... 5.. Mocniny se zákldem 0... 5.. Mocniny s přirozeným mocnitelem...

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. MATEMATIKA MPZD1C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 1 Maximální bodové hodnocení: 0 bodů Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby Časový limit pro řešení didaktického testu je 0 minut.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

MATEMATIKA 9. TŘÍDA. 0,5 b. Umocnění výrazu (x 2) 2 : 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5

MATEMATIKA 9. TŘÍDA. 0,5 b. Umocnění výrazu (x 2) 2 : 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5 MATEMATIKA 9. TŘÍDA 1. Nechť M je součet druhých mocnin prvních tří přirozených čísel a N součet těchto tří přirozených čísel. Které z následujících tvrzení je pravdivé? (A) M + N = 17 (B) M = 4N (C) M

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel . Dělitelnost v oboru přirozených čísel Zopakujte si co to je násobek a dělitel čísla co je to prvočíslo jak se hledá rozklad složeného čísla na prvočinitele největší společný dělitel, nejmenší společný

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m

(A) o 4,25 km (B) o 42,5 dm (C) o 42,5 m (D) o 425 m . Když od neznámého čísla odečtete 54, výsledek vydělíte 3 a následně přičtete 6, získáte číslo 9. Jaká je hodnota tohoto neznámého čísla? (A) 0 (B) 03 (C) 93 (D) 89 2. Na úsečce SV, jejíž délka je 3 cm,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole MATEMATIKA MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Maximální Hranice úspěšnosti:

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Spočítá prvky daného konkrétního souboru do 6., Zvládne zápis číselné řady 0 6 Užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti Numerace v oboru 0 6 Manipulace s předměty, třídění předmětů do skupin. Počítání

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

MATEMATIKA. společná část maturitní zkoušky. Pokyny pro vyplňování záznamového archu. Testový sešit obsahuje 10 úloh. Na řešení úloh máte 60 minut.

MATEMATIKA. společná část maturitní zkoušky. Pokyny pro vyplňování záznamového archu. Testový sešit obsahuje 10 úloh. Na řešení úloh máte 60 minut. Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA MATEMATIKA společná část maturitní zkoušk Testový sešit obsahuje 0 úloh. Na řešení úloh máte 60 minut. Odpovědi pište do záznamového archu. Poznámk

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Variace. Poměr, trojčlenka

Variace. Poměr, trojčlenka Variace 1 Poměr, trojčlenka Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Poměr Poměr je matematický zápis

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD15C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

MATEMATIKA 9 M9PID15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky

MATEMATIKA 9 M9PID15C0T01. 1 Základní informace k zadání zkoušky MATEMATIKA 9 M9PID15C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Jméno a příjmení Počet úloh: 17 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Povolené pomůcky: pouze psací a rýsovací potřeby 1 Základní informace k zadání zkoušky Časový

Více