R e á l n á č í s l a - R

Transkript

1 Č Í S E L N É M N O Ž I N Y R e á l n á č í s l - R R c i o n á l n í č í s l - Q Ircionální čísl π ;,99 C e l á č í s l - Z Seznm některých mtemtických smbolů znček kulté ; hrnté ; úhlové ;{ složené závork } Záporná čísl Nul Přirozená čísl - N.... -, -, -, - 0,,,,,.... Z je prvkem množin Z; leží v Z Z doplněk množin Z N není prvkem množin N; neleží v N Ø prázdná množin A = B množin A je rovn množině B p q pltí p zároveň q A B A je podmnožinou B q p pltí p nebo q A B průnik množin A B bsolutní hodnot čísl A B sjednocení množin A B < KLM velikost úhlu KLM A \ B rozdíl množin A B AB délk úsečk AB, vzdálenost dvou bodů AB Zápis množin výčtem prvků C = {; ; ; ; 7} množin obshuje pět přirozených čísel C { N; 8} jiný zápis stejné množin C { N; 7} Podmnožin reálných čísel se zpisují pomocí intervlů. Zápis množin Zápis intervlem Zápis množin Zápis intervlem P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; P { R; } ; Příkld zápisu některých specifických množin: R + = (0; ) R 0 + = 0; ) N 0 = {0; ; ; ;. } Z 0 = { ; ; ; 0} str.

2 Výsledk některých cvičení jsou uveden z příkld v závorkách. [ ] { } ( ). Početní operce s celými rcionálními čísl, bsolutní hodnot. Poměr. Trojčlenk. Procent.. Mocnin odmocnin Mocnin s celočíselným eponentem 7 Odmocnin 8 Mocnin s rcionálním eponentem 9. Výrz 0 Lomené výrz Mnohočlen. Rovnice, nerovnice jejich soustv Lineární rovnice, řešení soustv rovnic Slovní úloh řešené pomocí rovnic Soustv nerovnic Nerovnice v podílovém součinovém tvru, kvdrtické rovnice, 7 Kvdrtické nerovnice 8. Plnimetrie 9 Trojúhelník, Pthgorov vět 9 Trigonometrie prvoúhlého trojúhelníku 0 Euklidov vět Řešení obecného trojúhelníku sinová kosinová vět Obvod, obsh rovinných útvrů Mnohoúhelník. Stereometrie Hrnol Válec, jehln, kužel, koule Komolý jehln, komolý kužel 7. Funkce 7 Funkce, definiční obor, obor hodnot, grf funkce 7 Lineární funkce 9 Kvdrtické mocninné funkce Eponenciální funkce Logritmická funkce Goniometrické funkce Vzth mezi goniometrickými funkcemi Goniometrické rovnice 8. Posloupnosti Aritmetická posloupnost, Geometrická posloupnost 7 Užití GP, složené úrokování 8 9. Kombintorik, sttistik, prvděpodobnost 9 Permutce, vrice, 9 Kombince 0 Sttistik Prvděpodobnost 0. Anltická geometrie Souřdnice bodu v rovině, délk úsečk Vektor Rovnice přímk prmetrické, obecná 7 Vzájemná poloh přímek 8 Vzdálenost bodu od přímk 9. Tbulk, vzorce str.

3 . Množin. Početní operce s celými rcionálními čísl, bsolutní hodnot.. Zpište množinu A výčtem prvků. ) A { N;,,} {,,} b) A { Z;, } {,,0,, } c) A { Z ; } {,} d) A { Z; } {,0,,, }. Zpište jedním intervlem 7; ; ) b) ; 0; 8 c) ; ; 7 d) ; 0; 8 e) ; ; f) 7 ; ; g) ; ; h) ;0 0; {) ( 7; b) 0; ) c) ; ) d) ( ; 8 e) ; f) ( 7; ) g) h) R}. Zpište jko intervl: ) { R; } b) { R; < 7} c) { R; < } d) { R; 0} {) ; ) b) ( ; 7 c) ; ) d) ( ; 0 }. Zkreslete dné množin n číselné os ) R; < 7 b) R; 0 < < 7 c) R;, < 0 d) R; e) R; < 0 f) R; 8. Zpište dné intervl jko množin. Npř.: ; R; ) ;0 b) ; c) e) 0 ; f) 0 ; g) ;0 0; d) ; h) ; [ ) { R; < 0} b) { R; < < } c) { R; 0 } d) { R; } ] e) { R; 0} f) { R + ; < } g) { R } h) { R; }. Njděte průnik sjednocení dvou dných množin (intervlů): ; ; ; ; 0; ) 0 b) ; 0,) c) d) ( ; 0) ; e) ; ) ; f) ( ; 0 0,0; ) g) { R + ; } ; h) { R; } ; 0,) i) ( ; 0 ; ) 7 {) = 0; ) = ( ; ) b) = ( ; 0,) = ; ) c) = 0; = ( ; )} {d) = ; 0) = ( ; e) = ; ) = ; f) = = R\(0; 0,0)} {g) = (0; = ( ; h) = ; 0,) = ; i) = ; 0 = R} 7 7. Vpočítejte hodnot výrzů bez použití klkulátoru: ) 0,7. 0,.(0 ) = [-] b) ( 8 ):0, [.( )] = [-7] c).( ) +,:0,0 = [] d) (0, 0,8.0,). = [-] e) 8,:( 0,09).[ (.):( 0)] = [8] f) 0, 0.[( 0,9)., + ( ).( 0,)]= [] g) ( 0,0):( 0,) 0,.[( 8).( 0,) + ( ):0,0] = [0] str.

4 h) 0 0,0.[( 0 0).0, + ( 0 + ):( 0,)] = [0,] i) + [8.(:0,8.0,)] = [] 8. Vpočítejte hodnot výrzů bez použití klkulátoru: ) 0,. [.0,0 (:0,.0,9)] = [-0,] b) (, : 0,7. 0,0).( 0) = [7] c) ( 0 + ). ( ) +.( 8 7).0, = [] d) 0.( ).[.( ) +. ] = [78] e) [.( ) ]:( 0) = [-] f) (, : 0,8. 0,0). 00 = [80] g).( 8) + ( ). + ( 8.0,0) = [0,] h) 0.( ).[.( 8) +.( )] = [08] i) j) Vpočítejte výsledek uveď v zákldním tvru, přípdně převeďte n smíšené číslo: ) : b) : 0, c) : d) : e). 0, 7 f) 8. 9 g). h) ,7. [) b) c) d) e) f) g) 0 h)] 0. Vpočítejte výsledek uveďte v zákldním tvru, přípdně převeďte n smíšené číslo: 7 ) 0,8 : b) : c) : d) : e) : f) : g). h) 7 : i) : 8 8 [)8 b) c) 9 d) 9 e) f) g) 7 h) i) ]. Vpočítejte výsledek uveďte v zákldním tvru, přípdně převeďte n smíšené číslo: 0, 0,. ) [ ] b) [ ] c) [ ].,: 0 7 : 0,9 : 0, d) [ ] e) 9 [] f) [ ] 9.. V kntýně se n oběd pltí záloh. Kždý strávník zpltil jinou částku. Oběd jsou kždý den z jednotnou cenu. N konci měsíce probíhá vúčtování. Vedoucí si částk zpisuje do tbulk, kterou n konci měsíce polil kávou některé údje bl nečitelné. Je n vás, bste je doplnili. Jméno strávník Počet odebrných obědů Záloh Dopltek Zbývá vrátit Krel Práskl 00,- 8,- 0,- Helen Modráčková 8,- Hedvik Borovská 0 0,- Jiří Smetn 00,- 0,- 0,- Jroslv Mlíko 0 000,- str.

5 . Hodnotitelé testů jsou schopni oprvit jeden test z minut. Jeden hodnotitel může oprvovt test m. hodin denně, dostne z jeden den hrubou mzdu 0 Kč. V rámci celokrjského testování žáků 9. tříd blo nutno oprvit testů z dn. I. Kolik blo zpotřebí hodnotitelů, b bl test oprven včs? [] II. Jká bl čistá mzd hodnotitelů pokud jim bl odečten % dň? [0] III. Jké bl finnční nákld n oprvování testů? [ 000] Poměr. Zvětšete číslo 0 v poměru 8: {0}. Zmenšete číslo 9 v poměru : {80}. Dv stroje mjí výkonnost v poměru :7. Dohromd vrobí z hodinu součástek. Kolik vrobí první stroj z hodinu, kolik vrobí druhý? {0 7}. Jn Petr společně nsbírli 7 kg jhod. Petr bl dvkrát výkonnější než Jn. Kolik kždý nsbírl? {8kg,9kg}. Otec sn mjí výšku v poměru 7:. Otec měří 89 cm. Kolik měří sn? { cm}. V omáčce je smetn žloutk v poměru :. Smetn je v omáčce g, kolik g žloutků je v omáčce? {g} 7. V těstě je mouk tuk v poměru :. Pokud máme, kg mouk, kolik potřebujeme tuku? { kg} 8. Dvě vesnice vzdálené 7, km, jsou n mpě vzdálen cm. Jké je měřítko mp? {:0 000} 9. Jk jsou n mpě s měřítkem : vzdálen dvě míst, ve skutečnosti vzdálená 0 km? { cm} 0. Plán s měřítkem :00 znázorňuje dv dom 7 cm od sebe. Kolik metrů to je ve skutečnosti? { m} Trojčlenk. N porcí guláše potřebujeme, kg ms. Kolik kg ms musíme mít n 00 porcí? {,7 kg}. Čtři kuchři uvřili slvnostní oběd z hodin. Jk dlouho b jim to trvlo, kdb bli pouze tři prcovli stejným tempem? { hod 0 min}. V pěti pecích stihneme upéct koláče z hodin. Jk dlouho bude trvt upečení stejného množství, pokud máme k dispozici jen pece? { hod 0 min}. Osm zedníků stihne omítnout dům z 0 hodin. Kolik zedníků potřebujeme bchom dům omítli z hodin? {0}. N 0 porcí špnělského ptáčk potřebujeme kg ms. Kolik kg ms musíme koupit n 7 porcí? {kg} 7. Čtři kmrádi stihli očest strom jblek z minut. Jk dlouho b jim to trvlo, kdb bli pouze tři? {h} 8. strojů z den nplní 00 lhví. Kolik strojů budeme potřebovt, chceme li z den nplnit 8000 lhví? {0} 9. strojů n výrobu tčinek zvládne upéct 00 kg tčinek z hodin. Z jkou dobu stejné množství tčinek upeče strojů? {, hod} 0. Stroje n blení čokolád zvládnou z jednu směnu 8 hodin zblit 800 čokolád. Kolik čokolád zvládnout zblit z 0 hodin? {7 000}. Odvoz brmbor třemi nákldními voz trvl hodin. Jk dlouho b trvlo odvezení stejného množství brmbor se dvěm voz? {9} Procent. Pvel n brigádě odprcovl sedm desetin plánovné dob. Kolik procent dob mu ještě zbývá? {0%}. Jn čte knihu přečetl již dvě pětin knih. Kolik % jí zbývá přečíst? {0%}. Ev npsl již tři osmin plánovného rozshu seminární práce. Kolik procent práce jí zbývá npst? {,%}. Petr měl rok n svém kontě uloženo 000 Kč. Roční úrok bl,%. Kolik měl po připsání úroků n knížce z rok? { 80 Kč}. Termínovný vkld je úročen,%. Jký bude úrok z rok, jestliže uložíme Kč? { 000 Kč}. Koupili jsme 7 kg ms. Připrvili jsme porcí po 0 grmech. Kolik % hmotnosti ms se ztrtilo vřením? {%} 7. Máme 8, kg srového ms, vřením ztrácí mso % své hmotnosti. Kolik 0 grmových porcí připrvíme z tohoto množství po uvření? {} str.

6 8. Bot stál původně 800 Kč, pk bl zlevněn o %. Kolik stál po zlevnění. { 0 Kč} 9. Do škol chodí 0 žáků, z toho je % dívek. Kolik chodí do škol dívek kolik chlpců? {d=8, ch=} 0. Máme kg srového ms, vřením ztrácí mso % své hmotnosti. Kolik 00 grmových porcí připrvíme z tohoto množství po uvření? {}. Plnová troub bl zdržen ze 9 8 Kč n 0 99 Kč. O kolik % bl zdržen? {7%}. Hrubá mzd činil 0 Kč. Sociální zdrvotní pojištění činí, %. Kolik odvedl prcovník n sociálním zdrvotním pojištění? { 89 Kč}. Koupili jsme kg kuřecího ms, uvřili jsme z něj porcí po 0 grmech. Kolik % ms se ztrtilo vřením? {%}. N půl kil rbí pomzánk jsme spotřebovli 00 g srdinek, 0 g tveného sýru, 70 g cibule zbtek tvoří okurk. Vpočítejte kolik % srdinek, sýru, cibule okurek tvoří pomzánku. {0%, 0%, %, %}. Ve škole mělo žáků vznmenání, což je 8% celkového počtu žáků. Kolik celkem žáků studuje ve škole? {00}. Ve škole studuje 9 číšníků, což je % všech žáků škol. Kolik má škol celkem žáků? {900} 7. V New Yorku žije obvtel, což je % obvtel USA. Kolik obvtel mjí USA? { } 8. Ev vhrál Kč. Dň z výhr je %. Kolik Evě zůstlo po zplcení dně? { Kč} 9. Tržb v obchodě bl Kč. Norm nezviněného mnk je stnoven 0, % z tržeb. Kolik činí nezviněné mnko? {,0 Kč} 0. Ve třídě mělo žáků vznmenání, což je 8,7 % celkového počtu žáků. Vpočítejte kolik žáků nemělo vznmenání. {}. Mocnin odmocnin. Vpočítejte bez použití klkulátoru: ) 0, = b) 0, = c) 0,9 = d) 0, = e), = f) 0, = g) 0, =. Součin zpište jko mocninu: ). = b) 8.8 = c). = d).. = e). = f) = g) 9.9 =. Vpočítejte bez použití klkulátoru: ) , 0,0 b),,9 0,000 0, c) 7 0, 00 0, , 07 0, d) Vpočítejte bez použití klkulátoru: ). 0,000 [ 7,]. 0,00 [,] 0, [ ] b), [ ] 9. 0, [ 0,] 8. 0,9 9 c) 0,. 0 0, [0,7],. 0 0, [0,] [8].... d) [] 7... [] [8]... e). f). 0 0 [ ]. [ ] 8 7. [ 9] [] 0. 0, g) , [,] [ ]. 9 [0] 8 [70]. 0, [,] [ 8,008] str.

7 . Jsou výsledk přirozená čísl? 8 ; 8 ; {ne; ne; no} Mocnin s celočíselným eponentem. Dná čísl npište ve tvru N.0 n ( N 0 n Z) 0, = [.0 - ] = [,.0 ] 0, = [.0-0 ] = [,.0 8 ] 0, = [,.0-0 ] = [,.0 8 ]. Vpočítejte bez klkulátoru: (převeďte n tvr N.0 n ) 0, : = [.0-0 ] , = [0] : 0, = [.0 7 ] : 0, = [.0 7 ]. Vpočítejte bez klkulátoru:, = [.0 ], = [.0 0 ].0 +, = [0 ] ,.0 = [.0 ] ,.0-7 = [.0-7 ] ,9.0-0 = [0-9 ] 8... ) b). b. d c) d).. [ ] c. d b. Uprvte výrz výsledk uveďte jko mocnin s kldnými eponent 7.. ) 9 [] b) ( 0,) (0,) [ 0007]. 0 c) ( 0,9) e).. g) [ 0 ] d) [ ] f) 0,.0, 0,.0, [ ] 7 0. ).... b) : c),.. 0, [ 8 ] {9,} 7 7. Dokžte, že pltí 8. ) =.. 7 [] b).. = [ 9 ] [ 8 7 ] str. 7

8 ). 0.0 c) 0 8, e) g) = {} {} b) : 0, 0 d) f).0,.0, {} {} Odmocnin. Vpočítejte (částečně odmocněte): ) 8 7 [0] b) 8 0 [8 ] c) 8 8 [ ] d) 7 7 [ ] f).. [ ] g) 8. [] 9 e) ( b ) [ b ] h).. i). 0 k) k j) k k 8 m). b 8 b l) Usměrněte zlomk ) [ ] 8 e) [ ] 8 i) 8 8 b) [ ] f) [ ] c) [ ] g) [ ] j). 8 h) 0 d) k).. Uprvte výrz, neodmocňujte:. ( 0 8) = [] ( + + ) = [9] [7. ]. 7 [. ].. [, ] str. 8

9 Mocnin s rcionálním eponentem. Převeďte n mocnin vpočítejte: ) d) 7. g). i). e). Převeďte n odmocnin vpočítejte 8 ) z 0 b) z z. c) 7. h).... j) b 9 9 c). 0 0, d).0,0 7.0,00 0. c. c. Zjednodušte.. c b.. f) 0, 0, b)..0,008 0, 0 7 c. Uprvte 9 8 ) 8 9. :. b). 9 c). d).. 8 b. f). b : b. b : b b b e) :. 0 str. 9

10 . Výrz U všech příkldů, kde se vsktuje proměnná ve jmenovteli, uvádějte podmínk řešitelnosti (jmenovtel musí být různý od nul). (0 ). Vpočítejte hodnotu výrzu pro: ) = b) = c) = d) = [) 7 b) c) d) podm. : 0]. Uprvte výrz: ) = b) = c) = d).0 +. =. Vdělte výrz: m 7 7 9m. Vdělte uprvte výrz: ) { } b) { } c) { } b b 00b 8b d) { b } 9 b b 0b 9b. Uprvte výrz: ).( 7) +.( 7) = {. ( 7)} b) b.( + 9) b.( + 8 8) = {b } c).( + ) +.( ) +.( ).(,) = { } d) ( 7)..( + ).( ) = {0. ( )} e) 8.(8 7 ) ( 8 ) = {} f) (b + b).( b) + (b 7b). + b.(b 8b) 7b.(b ) = { b. (b + 9)}. Uprvte výrz: ) ( ).( + ) = { } b) ( ).( + ) ( ) = { } c) ( + ).( ) + ( + ).( ) = {} d) ( + 0).( + ) ( ).( ) = {7. ( + )} 7. Uprvte výrz podle vzorců: ) (, + ).(, ) = (0 0,).(0 + 0,) = (, + 0).(, 0)= b) (0,9 + 0).(0,9 0) = (0 0,).(0 + 0,) = (,b + ).(,b ) = c) (z ) = ( ) = (9 ) = d) (0 ) = (8b + ) = ( + 0,) = e) (b + ) = ( + ) = ( + ) = f) ( 7 + ).( 7 ) = (0,9 8 + ).(0,9 8 ) = ( + ).( ) = 8. Uprvte výrz: ) ( ) + ( + ) = b) (7z ) + (z + 0) = c) (0 ) + ( + ) = d) (b 8) + (b + 7) = e) ( ) ( + ) = f) (z ) (z ) = 9. Rozložte výrz n součin vtýkáním před závorku: ) + = = + 8 = b) c + 0c + c = = 7 8 = 0. Vtkněte číslo před závorku = c + = 9 = = = = str. 0

11 . Zjednodušte výrz výsledek uprvte vtýkáním před závorku: ).( + ) +.(0 ) = {. ( + )} b) 7.( + ).( + ) + = { ( + )} c).( + 8) ( 0 0) = {0( + )} d) z.(z +).(z + z) = {z(z + )} e) ( + ).( + ) + ( ).( + ) = {( + )} f) ( + ).( ) + ( ).( ) = {9 ( + )} g) (7 + ).( ) + ( + ).( + 7) = {( )} h) ( + ).( ) ( ).( + ) = {( )}. Rozložte výrz n součin podle vzorce: 00 = = 0, 900 = = = 9 8b = = 0, 00 = 0, 00 = 8 =. Rozložte výrz n součin podle vzorců: w w + 0, = c 00c + 00 = 9 + = 8 + = m + 9mn + n = + = 00 0b + b = =. Rozložte výrz n součin dvou závorek: ) = + b b = = b) + b b = + = + = c) rs r + s = b + b = + 7 = d) b + b = b b + = + 0 = e) 7 + = + = + = ) ( + )( + ); ( )( + b); ( + )( + ) b) ( + b)( ); ( )( + ); ( + )( ) { c) (r )(s ); ( + )(b ); ( )(7 ) d) ( )( + b); ( + )( b); ( + )( ) } e) (7 )( ); ( )( ); ( + )( ) Lomené výrz Vkrťte zlomek - uprvte lomené výrz stnovte podmínk:. ) 8 9 0c 8c b z.. z b) b 8 0 z z. Uprvte výrz krácením ve zlomku (nejprve uprvte vtýkáním před závorku): 8 ) 0 b) 8 {) ; ; m ; m m m ; b) ; ; ( ); + ( ) ( )} 8 8. Uprvte výrz krácením ve zlomku (nejprve uprvte vtýkáním před závorku): 0 ) 0 b b 0 8m m m 8 8 b 0 b b) c) {) ; ; 8m ; ; b) ; ; ; c) ; ; 7 ; } str.

12 . Uprvte lomené výrz: k k { k+ } 9 7b b { } { 7} k k 0 { } { } m 8 m { } z z 8c c { } { 8} 7 7 { 7 } {}. Uprvte lomené výrz (uprvte vtýkáním před závorku rozkldem n součin pomocí vzorců): 9 ) } b) 7 { +7 9 } c) 9 { + } d) 8 { {( )} 0, e) { +0, 0, } f) 7 } g) + { { } h) 8 8 } (+) {. Uprvte lomené výrz (uprvte vtýkáním před závorku rozkldem n součin pomocí vzorců): 9 ) b 0 d) b 0b 00 9 g) 9 0 { + } b) 0 } e) b 0 { } h) 8 + { 7. Uprvte výrz: ) 0 d) 0 g) j) { + 0 b) { } e) 0 0 {} h) {} α α α k) 8 } c) { } f) 0 { + { } i) { } c) z z 0 {} f) 0 0 d d { + } i) 8 U následujících příkldů: uprvte výrz uveďte podmínk řešitelnosti (jmenovtel musí být různý od nul): 9 8. ) : ; ±} b) : { { α+ } { ; 0; ±} { 9} { } { + } { } { } { } 9 c). 9 z 0z z 9 { ; 9; } d). z z {(z + ); ; } w w e) : w 00 w 0 g) : 9. ) { w w 0 b 8 b 9 ; w 0; ±0} f) : b {; ±} h) : { z z 0 ; 0} b) z z c) { ; 0} d) {; b ; ±9} {; 0; } { ; z 0} { ; 0} str.

13 str. e) { + ; } f) 9 {0; ±} g) 8 8 { ; } h) 0 0 { + ; } i) 9 7 {; } j) {; } 0. }, { k k k k k k. 0,. b b b b b b b b b b b b. 0,,.., 9 :. :.,, k k k k k k k k k Mnohočlen. Dělte uveďte podmínk pro dělitele, správnost výsledků ověřte vnásobením doszením ) (0 + 9) : ( ) = {,,} b) ) ) : ( 7 ( {, } c) ( + ) : ( ) = { 8 7, } d) ) ) : ( ( {, } e) ) ) : ( ( {, 0, } f) ) 0 ) : ( (0 {, 0, } g) ) ) : ( ( { }

14 str.. Rovnice, nerovnice jejich soustv Lineární rovnice U všech příkldů, kde se vsktuje neznámá ve jmenovteli, uvádějte podmínk řešitelnosti (jmenovtel musí být různý od nul).. Řešte rovnice proveďte zkoušku ) c c b) c) d) n n e) f) 0,7 g) z z h) i) j) 0, k) 8 8 l) ) ( m) b b b n) 8 o) ) ( 0 p) q) r) 0, s). Pro které reálné hodnot neznámé není rovnice definován? Určete množinu všech řešení rovnice. ) [=,,] b) 7 [ =,8 7, ] c) [ =,] d) 0. 7 [=, 0, ] e) z z z z z z ) ( [z = R, ] f) p p p p p p ) ( [p =, p, p ] g) [=,, ] h) [ =,, ] i) [ =,, ] Řešení soustv rovnic Ř e š t e s o u s t v r o v n i c, p r o v e ď t e z k o u š k u. ) ) + = b) + = 8 c) + = d) = = 8 = = 8 + = e) + = f) = g) + = 7 h) = + = + = = = ) [ =, = ]

15 ) ( + ) = ( ) + 7 [ = 7, = ] ( + ) + = ( ) ) ) : b b b. b b [ =, = ] [=, b= ] 0, b 0 ) ( + ) + ( + ) + 0 = ( + ) + ( + ) [ =, = ] ( + ) ( ) + 8 = ( ) ( ) 7) b b b [ =, b = ] 8) b b 8 b b [ =, b = ] Slovní úloh řešené pomocí rovnic. V prku rostou líp, jvor, smrk borovice. Lip je dvkrát více než jvorů, smrků je o ptnáct více než lip borovic je dvkrát více než smrků. Dohromd je tm stromů. Kolik kterých druhů roste v prku?. V prodejně měli žlutá, červená, modrá zelená tričk. Žlutých bl 0 celkového počtu, modrých bl celkového počtu, zelených bl celkového počtu červených blo 9 ks. Vpočítejte kolik triček blo celkem v prodejně kolik kterých brev.. Petr spotřebovl při vření ¾ celkového množství brmbor, zůstlo mu ¾ kg brmbor. Kolik kg spotřebovl kolik blo celkem kg brmbor?. Jn si koupil tričko čepici. Pltil 700 Kč. Tričko blo o držší než čepice. Kolik stálo tričko čepice?. Obvod trojúhelníku je, cm. Strn je o cm delší než strn b. Strn c je dvkrát menší než strn. Kolik měří která strn?. Žáci při úprvě okolí škol vsázeli první den celkového počtu stromků, druhý den zbtku třetí den stromků. Kolik jich celkem vsázeli? (0 stromů) 7. Součástk měl před oprcováním hmotnost 8 g. Jkou hmotnost měl součástk oprcovná, je-li hmotnost odpdu dvcetkrát menší než hmotnost oprcovné součástk? (0 g) 8. Otci je let. Jeho třem dcerám je, let. Z kolik let se bude věk otce rovnt součtu let jeho dcer? () 9. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu pětkrát menší než velikost vnitřního úhlu. Úhel α je třikrát větší než. Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (0, 00, 0 ) 0. V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu o větší než velikost vnitřního úhlu. Úhel α je dvkrát menší než. Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC. (, 0, 0 ). Při úprvě terénu pro stvbu věžového domu prcují stvební čet. První čet b práci vkonl z dní, druhá z 0 dní, třetí z dní. Z jk dlouho splní celý úkol společně? ( dní). Autobus městské doprv přeprvil z první dvě hodin od počátku směn 80 cestujících. Kolik cestujících musí průměrně přeprvit z kždou dlší hodinu své devítihodinové směn, b přeprvil celkem 90 cestujících? (0). Košile stojí 0 Kč, tričko dvpůlkrát méně. Kolik triček je možno koupit z 0 Kč? () str.

16 . Hotový chléb má hmotnost o % větší než mouk, ze které je vroben. Kolik mouk se spotřebuje n výrobu 0 dvoukilogrmových bochníků? (si 8,8 kg). Vpočtěte strnu čtverce, jestliže zvětšíme jednu strnu čtverce o 0 cm druhou zmenšíme o 8 cm dostneme tk obdélník, který má týž plošný obsh jko původní čtverec. (0 cm). Dv obchod měl stejnou tržbu. První zvýšil tržbu o %, druhý o %. Ob obchod měl dohromd tržbu 0 Kč. Jká bl původní tržb obchodu? ( 000 Kč) 7. N večírek přišlo třikrát více chlpců než děvčt. Po odchodu 8 chlpců 8 děvčt zblo n večírku pětkrát více chlpců než děvčt. Kolik chlpců kolik děvčt přišlo n večírek? ( dívek, 8 chlpců) 8. Firm si účtuje z vbvení knceláře žluziemi celkem 0 Kč. Z dodcího listu je ptrné, že žluzie bl o 9 Kč držší než jejich instlce. Kolik procent z účtovné částk tvoří instlce žluzií? ( %) 9. N rodinnou oslvu přichstli dvkrát více lhví piv než vín. Po hodině, kd se vpilo 0 lhví piv 0 lhví vín, zůstlo čtřikrát více lhví piv než vín. Kolik lhví piv blo připrveno n oslvu? (0 lhví) Slovní úloh řešené pomocí soustv dvou rovnic 0. Do lhví, z nichž některé jsou půllitrové některé mjí objem 0,7 l, máme uskldnit l mlinového sirupu. Kolik musíme mít lhví půllitrových kolik o objemu 0,7 l? (0 ks 7 dl, ks dl). Účetní měl v pokldně v hotovosti 70 Kč ve bnkovkách, zčásti pdesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik blo kterých bnkovek? ( ks 00, ks 0). Kč jsme zpltili ve dvoukorunách pětikorunách. Dohromd máme mincí. Kolik jsme měli pětikorun kolik dvoukorun? (8 ks Kč, 7ks Kč). N školním výletě spli chlpci v chtkách pltili 00 Kč z noc, dívk spl v hotelu pltil 0 Kč z noc. Dohromd blo chlpců dívek, celkem všichni zpltili 900 Kč. Kolik blo chlpců kolik dívek? (0 dívek, chlpců). Káv v kelímku stojí 7 Kč. Káv je o Kč držší než kelímek. Kolik stojí kelímek? (0,0 Kč) Soustv nerovnic ) ( + ).( ) ( ) Ř e š t e s o u s t v n e r o v n i c v R { ; )} ) ( + ) ( 8) ) ( ) ( ) 9.. 0, { { 0,}} { ( 8 ; 0)} 7 ) ( ). + ( ). { 9; )} ).( + ) ( ). ( ). { ; )} ( ). 7 { (9; )} ) ( ) + 7).( ) + ( ) ( ) + ( + ) ( + ). { ( ; )} 8) 9) + + < < { (; } { (; )} str.

17 Nerovnice v podílovém součinovém tvru. ). ) } b) 0 > 0 { ; { ; } c) 0 0 > { ( ; ) (; )} b) 0. ) 0 { ( ; ) ; )} b) { (;)} řešte v R { ;, } { ; )}. ) ( ).( + ) 0 { ( ; ; )} b) ( + ).( ) 0 { ; } 7. ) ( ).(7 ) 0 { ; } b) ( ).( + ) 0 { ( ; ) (; )} Kvdrtické rovnice. Řešte kvdrtické rovnice pomocí diskriminntu, správnost řešení ověřte zkouškou: ) b) c) 0 d) e) 7 = = f), + = = 0. Řešte kvdrtické rovnice pomocí Viètových vzorců, správnost řešení ověřte zkouškou: Řešení (kořen) kvdrtické rovnice: + b + c = 0 b = + c =. ) b) Uveďte tp rovnice řešte je bez použití diskriminntu: = 0 [rze kvdrtická, = +9 = 9] + 8 = 0 [bez bsolutního členu = 0, = 8 ] + 8 = 0 [normovná = = ] + = 0 [rze kvdr. = = ] + 8 = 0 [bez bs.členu. = 0 = 8 ] 9 = [rze kvdrtická,, = ± ] 9 = [bez bs. členu, = = 0]. Sestvte normovnou kvdrtickou rovnici o kořenech, přesvědčte se o správnosti: = = [ + 0 = 0] = = [ = 0] = 0 = [ +0 = 0]. Kvdrtická rovnice má jeden kořen =, druhý kořen má hodnotu čísl převráceného. Sestvte rovnici, která má tkovéto kořen. [ + = 0]. Hodnot diskriminntu následující rovnice je. Určete hodnot prmetru m. ( )( + m) = 0 [m = 0 ; m = ] Sestvte pk tkovou rovnici. [ = 0 ; = 0] str. 7

18 7. Krťte zlomek uveďte podmínk ) [, ] b) 0 [+, 0,] 8 c) [,, ] d) [,, ] 00 0 e) , [ 0, 0, 0,] 8. Určete b, c tk, b čísl =, = 0, bl kořen kvdrtické rovnice + b + c = 0 [b =, c = ] 9. Určete v kvdrtické rovnici + b + = 0 koeficient, b tk, b kořen této rovnice bl čísl = = 0, [ =, b = ] 0. Určete v kvdrtické rovnici + + c = 0 čísl, c tk, b jejím jediným kořenem blo číslo. [ = 0,7, c = ]. V rovnici b 0 s neznámou je jeden kořen =. Určete koeficient b druhý kořen..( 7). Řešte dnou rovnici v R :. Řešte soustvu lineární kvdrtické rovnice ) = b) + + = c) + = 0 = + = + = 0 [= =-; = =] [=- =; = =-] [=- =; = =] d) + = e) 9 = f) + 9 = 9 + = 0 + = 0 + = 0 [=- =0; =0 =] [=-, =7,; = =0] [= =0; =0 =] Kvdrtické nerovnice Kvdrtický trojčlen + b + c nejprve rozložte n součin dvou závorek ( ).( ), kde, jsou kořen kv. rovnice. Pk řešíme jko nerovnici v součinovém tvru ; ;. 0,. + + ; ;. 0, str. 8

19 . Plnimetrie Trojúhelník, Pthgorov vět. V trojúhelníku jsou dán velikosti dvou úhlů γ = = 9. Vpočítejte velikost úhlu.. V rovnormenném trojúhelníku je dán velikosti úhlu, který svírá zákldn rmeno =. Vpočítejte velikost úhlu, γ.. V rovnormenném trojúhelníku je dán velikosti úhlu, který svírjí rmen γ = 0. Vpočítejte velikost úhlu,.. Obvod rovnormenného trojúhelníku je 7 m, zákldn je o 8 m delší než rmeno. Vpočítejte délk strn trojúhelníku.. Vpočítejte obsh trojúhelníku, v němž je dán délk jedné strn k ní příslušná výšk: ) = 8 cm, v = 0, cm b) b = 9, dm, v b = 8 cm. Střech nd trnsformátorem je tvořen čtřmi shodnými trojúhelník. Délk strn kždého z nich je, m, příslušná výšk je m. Vpočítejte obsh střech. 7. Obvod rovnormenného trojúhelníku je m. Zákldn má délku cm. Vpočítejte délku rmen tohoto trojúhelníku. 8. Rozhodněte, zd trojúhelník s následujícími délkmi strn je prvoúhlý: ) m, 0 m, m b) dm, 0 dm, dm c) 7 m, 9 m, m 9. Vpočítejte délku odvěsn v prvoúhlém trojúhelníku ABC. Přepon c =, cm, odvěsn b = 9, cm. 0. Vpočítejte délku odvěsn b v prvoúhlém trojúhelníku ABC. Přepon c = dm, odvěsn = 9, dm.. Rovnormenný trojúhelník KLM má rmen délk k, l (k = l) zákldnu délk m. Výšk k zákldně má délku v. Vpočítejte zbývjící údj, je-li dáno: ) m = dm, k = 0 dm b) k = cm, v = cm c) v = 8, cm, m = mm. Zákldn rovnormenného trojúhelníku má délku m, příslušná výšk m. Vpočítejte obvod tohoto trojúhelníku.. Rovnormenný trojúhelník má zákldnu dlouhou cm, jeho rmeno je o cm delší než zákldn. Vpočítejte obsh tohoto trojúhelníku.. Vpočítejte obvod obsh prvoúhlého trojúhelníku XYZ s prvým úhlem u vrcholu X. XY =, cm, YZ = 0, dm. Vpočítejte obvod obsh prvoúhlého trojúhelníku XYZ s prvým úhlem u vrcholu X. XZ = 8 mm, YZ = cm. Stožár ntén vsoké 0 m, je upevněn čtřmi ln u vrcholu lno je ukotveno v zemi 0 metrů od pt stožáru. Vpočítejte kolik metrů ln se spotřebovlo n všechn ln? 7. Žebřík je dlouhý 8 metrů je opřen o zeď ve vzdálenosti metr. Do jké výšk shá? 8. Rovnostrnný trojúhelník má strnu = 8, cm. Vpočítejte výšku trojúhelníku jeho obvod i obsh. 9. Rovnostrnný trojúhelník má výšku v = dm. Vpočítejte délku strn trojúhelníku jeho obvod i obsh. 0. Vpočítejte délku knlizčního potrubí, které ve směru úhlopříčk spojuje dv roh obdélníkového nádvoří s rozměr m m.. Při průzkumném vrtu upevnili vrtnou věž vsokou, m ln tk, že jejich konce bl přivázán k zemi ve vzdálenosti 7, m od pt věže. Jk dlouhá bl ln?. Vpočítejte výšku štítu domu. Štít má tvr rovnormenného trojúhelníku se zákldnou 8, m s rmen délek, m.. Z kmene stromu bl vtesán trám obdélníkového průřezu o rozměrech 0 mm 0 mm. Jký nejmenší průměr musel mít kmen?. Ocelový komín vsoký 7 m je ve dvou třetinách své výšk upoután stejně dlouhými ocelovými ln, jejichž konce jsou upevněn ve vzdálenosti m od pt komín. Kolik metrů ln je třeb n upoutání komín, jestliže zkotvení si vžádlo nvíc % jeho délk?. Kosočtverec ABCD má strnu = 0 cm, úhlopříčku f = BD = cm. Vpočtěte délku úhlopříčk e =AC. str. 9

20 [ ) 0 ) β = γ = 8 0 )α = β = 8 0 ),, 90m ) 9,cm ; dm ),m 7) 7,cm 8) )no b)no c)ne 9),9cm 0),8dm ) ) v = 8cm b) m = 0cm c) k = 9cm ) cm ) 0cm ),8cm ; 9,cm ) 8,cm ;,cm ) 0m 7) 7,7m 8),cm ;,cm 9) 0dm ; dm 0) m ),m ) m ) cm ) 9,m ) cm Trigonometrie prvoúhlého trojúhelníku. Vpočítejte délku přepon v trojúhelníku ABC s prvým úhlem při vrcholu C je dáno: ) α =, = 9 dm b) α=, b = mm [,7 dm; mm]. V prvoúhlém trojúhelníku ABC známe velikost ostrého úhlu délku přepon c. Vpočítejte délk jeho odvěsen. ) =, c = 8 cm b) α = 70, c = m [) =, cm; b =,cm b) =, m; b =,m]. Rovnormenný trojúhelník má výšku 0 cm úhel u zákldn je. Vpočítejte obvod trojúhelníku. [, cm]. Rovnormenný trojúhelník má rmeno dlouhé 8 cm úhel u zákldn je 0. Vpočítejte obvod obsh trojúhelníku. [S 7,7 cm ]. Rovnormenný trojúhelník má zákldnu dlouhou cm úhel, který svírjí rmen je 0. Vpočítejte obvod trojúhelníku. [0, cm 77, cm ]. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsn mjí délk: ) m, m b) cm, 0,8 dm c) 8 mm,, cm [8 7 ] [ 8 ] [9 0 7 ] 7. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku, je-li dán délk přepon jedné odvěsn ) cm, cm b) dm,, m c) 8, dm, 7 cm [7 8 ] [7 ] [ 8 ] 8. Vpočtěte velikosti vnitřních úhlů prvoúhlého trojúhelníku, mjí-li jeho strn délk: ) cm, cm, 0 cm [ 8 ] b) dm, m, 0 cm [ 7 7 ] 9. Jk velký úhel svírá v obdélníku strn = cm s úhlopříčkou u =, cm? [ ] 0. Určete velikost úhlu při zákldně rovnormenného trojúhelníku, má-li trojúhelník strn = cm, b = c = 8 cm. [8 ]. Jk vsoký je komín, vidíme-li jeho vrchol ze vzdálenosti 0 m pod úhlem 0? [0 m]. Dvojitý žebřík má kždé rmeno m dlouhé. Určete velikost úhlu rozevření žebříku, jestliže jeho spodní konce jsou od sebe, m. Do jké výšk žebřík doshuje? [,,8 m]. Lnová dráh rovnoměrně stoupá. Úhel stoupání je. Výškový rozdíl mezi oběm koncovými stnicemi je 00 metrů. Vpočítejte délku lnové dráh. [70 m]. Určete obsh obdélníku, je li délk úhlopříčk u = cm úhel úhlopříček je 0. [ = si cm, b = si 8, cm, S = si 90, cm ]. Vpočítejte obvod obsh prvoúhlého Δ, je li součet odvěsen + b = cm úhel =. [c = cm, o = 0 cm, S = 0 cm ]. Určete obsh prvoúhlého lichoběžníku ABCD, je li = cm, c = 8 cm jestliže je jeho kosé rmeno o cm delší než rmeno kolmé n zákldn, c. [v = cm, S = 88 cm ] 7. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných tětiv délek cm 0 cm v dné kružnici k(s, r = cm). [v =,88 cm, v = 8, cm] 8. Řešte prvoúhlý Δ ABC, jestliže úhel ABC = 90, c = 0 cm, = 8 cm. [b =,8 cm, 0, 8 9 ] 9. Výšk schodiště z jednoho ptr do druhého je,7 m, sklon schodiště je, šířk schodu je 0,7 m, určete počet schodů tohoto schodiště. [si 8 schodů] 0. Schodiště s 0 schod má výšku 9 m sklon. Vpočtěte výšku šířku jednoho schodu. [v =8 cm, š = 0 cm]. Důlní chodb má délku m, výškový rozdíl mezi oběm jejími konci, m. Vpočtěte její sklon. [ ]. Silnice stoupá rovnoměrně o m n 000 m. Vpočtěte úhel jejího stoupání. [0 ]. Vpočtěte výškový rozdíl dvou stnic lnovk, jestliže její stoupání je 7 0 /00 délk jednoduchého ln je 90 m. [, m] ] str. 0

21 Euklidov vět Příkld : Vpočítejte délk všech strn, výšku v c, úsek n přeponě, pokud nejsou zdán.. Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu C má odvěsnu = cm, vc = 0 mm. {b = 7 cm, c =,9 cm, c = 0, cm, c b =, cm}. Prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem u vrcholu C, má úhel α = úsek přepon c = cm. { = 0, cm, b = cm, c = 8, cm v c = 8, cm, c b =, cm}. Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu C má odvěsnu b = 0 cm, vc = 70 mm. { = 9,8 cm, c = cm, c =,9 cm, c b = 7, cm}. Prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem u vrcholu C, má úhel β = úsek přepon cb = cm. { = cm, c =, cm, c = 0, cm, b =, cm}. Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem u vrcholu C má odvěsnu = cm, vc = 7 cm. {b = 7, cm, c = cm, c = cm, c b = cm}. Prvoúhlý trojúhelník ABC s prvým úhlem u vrcholu C, má úhel α = úsek přepon c = cm. { =, cm, b = 7 cm, c = 78, cm, c = cm, c b =, cm} 7. Vpočtěte délku tětiv v kružnici k(s;, cm), je-li vzdálenost středu S od tětiv rovn v =, cm. {t = 0 cm} 8. Jk velké úsek vtíná výšk v n přeponě v prvoúhlém troj. ABC, je-li přepon = 0 cm, v = 8 cm. { cm, cm} 9. V prvoúhlém Δ ABC je dán odvěsn = cm poloměr vepsné kružnice = cm. Vpočtěte strn b, c. {b =, cm, c =, cm } 0. Zákldn rovnormenného lichoběžníku ABCD jsou = dm, c = dm, rmeno b = dm. Vpočtěte jeho vnitřní úhl. {7 7 }. V obdélníku ABCD je dáno: = AB = 8 cm, b = BC = cm vpočti vzdálenost vrcholu B od úhlopříčk u = AC. {,8 cm}. Obdélník ABCD: = AB = 8 cm, u = BD = 0 cm, vpočti vzdálenost vrcholu A od úhlopříčk u = BD. {,8 cm} Řešení obecného trojúhelníku sinová vět sin b c sin sin kosinová vět = b + c bc.cosα b = + c c.cosβ c = + b b.cosγ U všech příkldů : náčrt, obecné řešení, výpočet.. V Δ ABC známe velikost strn = cm vnitřní úhl o velikosti =, = 7 Určete velikost zbývjících strn b, c velikost úhlu. {b = si cm, c = si cm, = 9 }. V Δ ABC je dáno: = cm, b = cm, c = cm. Vpočtěte vnitřní úhl Δ jeho obsh. {= 08, =9 9, = 7, S=8 cm }. Cíl C je pozorován ze dvou pozorovtelen A, B, které jsou od sebe vzdálen 97 m, přitom úhel BAC =, úhel ABC = 8. Vpočtěte vzdálenost AC. {77 m }. Dvě důlní štol vcházejí ze stejného míst P v šchtě svírjí úhel o velikosti. Délk štol jsou : PQ = 79 m, PR = 79 m. Vpočtěte délku spojovcí štol QR. { m }. Tři kružnice o průměrech cm, 0 cm, cm se nvzájem dotýkjí vně. Určete všechn úhl, které svírjí středné. (Spojnice středů kružnic.) {8,, }. Řešte Δ ABC, je li dáno : =, b = = {c=90,9; =8 7 ; =08 8 } c = 0, =, = 8 { =8 ; =00,; b=70,} =, b =, c = {= 0 ; = ; = } str.

22 Obvod, obsh rovinných útvrů. Vpočítejte obvod obsh obdélníku se strnou = 7 cm, b = cm. Vpočítejte délku úhlopříčk.. Vpočítejte obvod obsh čtverce se strnou = m. Vpočítejte délku úhlopříčk.. Vpočítejte obvod obdélníku se strnou = dm, kdž je dáno S =, m.. Vpočítejte obsh obdélníku se strnou =, cm, kdž je dáno O = cm.. Pokoj má rozměr m, m. Kolik bude stát koberec do pokoje, jestliže m stojí 0 Kč.. Pole má tvr obdélníku s rozměr 70 m 90 m. N m je třeb 8 g osiv. Kolik tun osiv je třeb k osetí tohoto pole? 7. Pozemek k výstvbě nových domů má tvr obdélníku o délce 80 m šířce 0 m. Obec se rozhodl zvětšit tento pozemek přidáním cest široké m, která vede podél krtší strn pozemku. Jkou výměru bude mít zvětšený pozemek? 8. Plechová střech nd gráží má tvr obdélníku s rozměr 7, m m. Kolik kilogrmů brv se spotřebuje n její nátěr, jestliže kg brv vstčí n ntření čtverečných metrů plechu? 9. Kolik čtvercových dlždic se strnou délk cm je třeb n vdláždění místnosti tvru čtverce, která má strnu dlouhou,7 m? 0. Vpočítejte obvod obsh obdélníku KLMN se strnmi k = 0, dm, l = mm. Vpočítejte délku úhlopříčk obdélníku.. Vpočtěte délku strn kosočtverce, jestliže úhlopříčk mjí délk mm mm.. Dřevěnou desku tvru rovnoběžníku se strnou 70 cm příslušnou výškou 0 cm mjí žáci v dílně rozdělit n dvě části tvru trojúhelníku podle úhlopříčk. Jký obsh má kždá z těchto částí?. *V rovnoběžníku ABCD se středem S má strn AB velikost = cm, úhel ABS je prvý úhlopříčk BD má velikost f = cm. Proveďte náčrtek. Vpočtěte obvod. Vpočítejte velikost vnitřního úhlu rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zokrouhlete n stupně. ) cm ; 98 cm; u =, cm; ) O = m; u = 8, m; ) m; ) 8,9 cm ; ) 80 Kč; ) si,8 t; 7) 9 00 m ; [ 8) kg; 9) 79; 0) S = mm ; O = 0 mm; u =, mm; ) mm; ) 00 cm ; ) O = cm; α = 7 ]. Určete průměr kruhu, který má obsh: ) cm b) 8 dm c) mm d) 8 m. Vpočtěte obsh kruhu, který má obvod: ) 0 cm b) mm c), dm d), m. Vpočtěte obvod kruhu, který má obsh: ) 8, dm b) 0, m 7. Vpočítejte průměr obsh příčného kruhového řezu kmenem buku, jehož obvod je cm. 8. Trojnásobek obvodu kruhu se rovná km. Vpočítejte poloměr kruhu. 9. Předstvte si, že n pilovém kotouči s průměrem cm je jeden zub obrven bílou brvou. Jk dlouhou dráhu opíše hrot tohoto zubu z minutu, jestliže se kotouč z tuto dobu otočí 8krát? 0. Průměr kruhu je 0 cm. Vpočti šířku mezikruží, jehož obsh je, cm. [ ), cm; dm;, mm;,8 m; ) 8cm ; mm ;, dm ; 78, m ; ) 8,8 dm;, m; ] [ 7) d = m; S = 78, dm ; 8) 0 m; 9) si km; 0) cm ]. Rovnormenný lichoběžník má strnu = dm, b = cm, c = 00 mm. Vpočítejte obvod obsh.. Rovnormenný lichoběžník má strnu b = cm, c = cm. Úhel, který svírá zákldn s rmenem je 0. Vpočítejte obvod obsh lichoběžníku.. Zákldn prvoúhlého lichoběžníku ABCD s prvým úhlem při vrcholu A mjí délk 9 cm 7 cm, jeho výšk se rovná cm. Vpočítejte délku rmene b.. Prvoúhlý lichoběžník má zákldn o délkách cm, cm, krtší rmeno, cm. Vpočtěte délku druhého rmene.. Rovnormenný lichoběžník má strnu = dm, c = 0 cm. Úhel, který svírá zákldn s rmenem je 0. Vpočítejte obvod obsh lichoběžníku.. Rovnormenný lichoběžník má strnu v = 8 cm, c = dm. Úhel, který svírá zákldn s rmenem je. Vpočítejte obvod obsh lichoběžníku. 7. Zhrd má dv protější plot rovnoběžné o délkách, m 8 m. Vzdálenost plotů je 8 m. Vpočtěte výměru zhrd vjádřete ji v hektrech. Výsledek zokrouhlete n desetinná míst. str.

23 8. Lichoběžník ABCD má zákldn, c, výšku v obsh S. Vpočítejte výšku v, je-li dáno: ) S = 9, dm, = 9,9 dm, c =, dm b) S =,8 m, =, m, c =, m 9. Obvod rovnormenného lichoběžníku, jehož jedn zákldn má stejnou délku jko rmeno, se rovná,9 m. Druhá zákldn má délku 9 cm. Vpočítejte délk zbývjících strn lichoběžníku. 0. Určete obsh prvoúhlého lichoběžníku ABCD, jestliže jeho kosé rmeno je o cm delší než rmeno n zákldn, c. Délk záklden jsou : = cm c = 8 cm. [ 09 cm ]. Oplocený pozemek má tvr lichoběžníku, kde velikosti rovnoběžných strn jsou 0 m 7 m, vzdálenost těchto strn je m velikost úhlu mezi zákldnou jedním rmenem je 7. Vpočti obsh pozemku v hektrech délku plotu. [0,09 h, 79 m]. Do čtverce je vepsán kruh, jehož obsh je, cm. Vpočítejte obvod obsh tohoto čtverce.. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsh čtverce je cm. Vpočítejte obvod obsh kruhu.. Do kruhu je vepsán obdélník se strnou = cm. Obsh kruhu je cm. Vpočítejte obvod obsh obdélníku.. Do čtverce je vepsán kruh, obvod čtverce je dm. Vpočítejte obvod obsh kruhu.. Do kruhu je vepsán čtverec. Obvod kruhu je,8 cm. Vpočítejte obvod obsh čtverce. 7. Do kruhu je vepsán obdélník se strnou b = 0 cm. Obvod obdélníku je 0 cm. Vpočítejte obvod obsh kruhu. 8. Do čtverce je vepsán kruh, obvod kruhu je, cm. Vpočítejte obvod obsh čtverce. 9. Do kruhu je vepsán čtverec. Obsh kruhu je, cm. Vpočítejte obvod obsh čtverce. 0. Do kruhu je vepsán obdélník se strnou = cm. Obsh obdélníku je cm. Vpočítejte obvod obsh kruhu.. Vpočítejte obsh kruhu, jehož obvod se rovná obvodu čtverce se strnou délk =, dm.. Kruh má stejný obsh jko čtverec, jehož obvod je 8, m. Vpočítejte průměr kruhu. Mnohoúhelník Postup: vpočteme obsh obvod trojúhelníku násobíme počtem trojúhelníků (. ž. př.) (vužití Pthgorov vět, goniometrických funkcí ostrého úhlu, obvod, obsh rovinných obrzců). Proveďte náčrt.. Strn prvidelného n-úhelníku je 0 cm. Vpočítejte obvod obsh. ) prvidelného osmiúhelníku b) prvidelného šestiúhelníku c) prvidelného pětiúhelníku d) prvidelného dvnáctiúhelníku.. Poloměr kružnice opsné r = cm. Vpočítejte obvod obsh. ) prvidelného osmiúhelníku b) prvidelného šestiúhelníku c) prvidelného pětiúhelníku. Poloměr kružnice vepsné = 0 cm. Vpočítejte obvod obsh. ) prvidelného osmiúhelníku b) prvidelného šestiúhelníku c) prvidelného pětiúhelníku str.

24 . Stereometrie Hrnol, kvádr, krchle. Kvádr, jehož hrn mjí délk 8 m, 9 m, má stejný objem jko krchle, jejíž hrn má délku m. Vpočítejte třetí rozměr kvádru.. Jký je povrch krchle v m, je-li její objem: ) cm b) 0, m. Jký je objem krchle v m, je-li její povrch: ) 8 dm b),0 m. Jkou hmotnost má závží tvru krchle, je-li vrobeno z oceli o hustotě 7800 kg. m délk jeho hrn je cm?. Trám ze smrkového dřev má tvr kvádru s rozměr m, dm dm. dm smrkového dřev má hmotnost 0, kg. Vpočítejte hmotnost trámu.. Plvecký bzén je dlouhý m, široký m hluboký m. V nplněném bzénu je hloubk vod,8 m. Vpočítejte kolik hektolitrů vod je v plném bzénu, kolik čtverečných metrů dlždic je potřeb n obložení dn stěn bzénu. 7. Vodojem má tvr kvádru, jehož spodní stěn je čtverec. Délk strn čtverce je, m. Ve vodojemu je m vod. Do jké výšk shá vod? 8. Knál n položení potrubí má délku 90 m, šířku 8 dm hloubku 0 cm. Bgrist vbgrovl z jednu hodinu m. Jk dlouho mu trvlo vhloubení knálu? 9. Tbule okenního skl má rozměr m, m mm. dm skl má hmotnost, kg. Vpočítejte hmotnost jedné skleněné tbule. 0. V bzénu tvru kvádru je 00 hl vod. Určete rozměr dn, je-li hloubk vod 0 cm jeden rozměr dn je o m větší než druhý. ( = m, b = 0 m). Kolik hl vod se vejde do nádrže tvru prvidelného čtřbokého hrnolu s podstvnou hrnou 0 m výškou,8 m. Kolik m plechu se spotřebuje n tuto nádrž, počítáme li 8% n spoje. (800 hl,, m ). Pokoj má rozměr m,, m výšku, m. Kolik bude stát brv jestliže stěn strop ntíráme dvkrát kg brv stojí 8 Kč vstčí n 0 m nátěru?. Jímk n pln má tvr hrnolu se čtvercovou podstvou. Výšk jímk je 8 m, dno má strnu, m. Vpočítejte kolik m plnu se vejde do jímk. Vpočítejte kolik Kč bude stát brv, jestliže se n ntření vnějších i vnitřních stěn jímk spotřebuje n, m ploch kg brv. kg brv stojí 0 Kč.. Kolik litrů vod je v kváriu tvru prvidelného čtřbokého hrnolu o vnitřních rozměrech = 0, m, v = 0 cm, je-li nplněno do 9 0 svého celkového objemu? (90 l). Vpočítejte povrch objem hrnolu o výšce v = dm s podstvou ve tvru kosočtverce se strnou = 8, cm výškou kosočtverce v = cm.. Vpočítejte povrch objem hrnolu o výšce m s podstvou ve tvru rovnostrnného trojúhelníku se strnou = 0, m. 7. Vpočítejte povrch hrnolu o výšce v = dm s podstvou ve tvru rovnormenného trojúhelníku se strnmi = b = mm, c = 7 mm. 8. Vpočítejte povrch objem prvidelného trojbokého hrnolu, jehož podstvná hrn tělesová výšk mjí délku cm. 9. Trojboký hrnol, jehož podstvou je prvoúhlý trojúhelník s přeponou o délce, m odvěsnou dlouhou 0 cm, má objem 0 dm. Vpočítejte výšku tohoto hrnolu jeho povrch. 0. Vpočtěte obsh pláště objem trojbokého hrnolu o výšce 0, m, je-li jeho podstv prvoúhlý trojúhelník s odvěsnou délk, dm přeponou délk 0 cm.. Skleněný prvidelný trojboký hrnol má hmotnost 9,9 g. Jk vsoký je hrnol, je li délk hrn podstv cm hustot skl je, g/cm? (9,9 cm). Přivděč vod do nádrže má průřez tvru rovnormenného lichoběžníku o délkách záklden 0, m 0,9 m hloubk přivděče je 0, m. Kolik vod se jím při plné průtočnosti přivede z minutu, teče-li vod rchlostí, m/s? str.

25 Válec. Vpočítejte výšku válce, jehož objem V = 9, l, r = 0 cm.. Do nplněného sudu se vejde 00 litrů vod má průměr cm. Jkou má výšku?. Sud má tvr válce výšku, m, průměr sudu je 0 cm. Plníme ho půllitrovou lhví ž po okrj. Kolikrát budeme muset tkovou láhev vlít do sudu než bude plný po okrj?. Nádob tvru válce s průměrem dn,8 m obshuje hektolitrů vod. Do jké výšk shá vod?. Bzén má kruhovité dno s průměrem m. Jk je hluboký jestliže se plnil po okrj hodin vod přitékl rchlostí 0 litrů z hodinu?. Ze sudu tvru válce vtéká dírkou vod rchlostí cl z sekundu. Z kolik hodin se plný sud vprázdní, jestliže má výšku, m průměr m. 7. Vrný kotel tvru válce má průměr podstv 80 cm hloubku 70 cm. Vpočítejte kolik litrů polévk se v něm dá uvřit pokud je nplněn cm pod okrj. 8. Vejde se do hrnečku tvru válce s průměrem dn 8, cm výškou 9 cm půl litru mlék? 9. Vpočtěte přibližnou hmotnost zlté olmpijské medile, má-li průměr cm průměrnou tloušťku mm. Hustot zlt je 9 90 kg/m. 0. Jkou hmotnost má 000 m měděného drátu o průměru mm, je-li hustot mědi 8,8 g/cm?. Kolik hl vod se vejde do válce, jehož plášť rozvinutý do rovin má tvr čtverce. Obsh pláště je 8dm. (0, hl). Vpočtěte rozměr válcové nádob o objemu l, je li její výšk rovn čtřnásobku poloměru podstv.. Kolik litrů vod je v nádobě tvru válce, jejíž průměr je 8 cm výšk 0 cm, shá li vod do výšk? (0,8 l) Jehln, kužel. Prvidelný čtřboký jehln má objem cm podstvnou hrnu = 7, cm. Vpočtěte jeho povrch. (v =, cm, S =, cm ). Vpočtěte objem povrch prvidelného šestibokého jehlnu o podstvné hrně =,8 m tělesové výšce v =, m. (V =,79 m, S =,9 m ). Vpočtěte objem povrch prvidelného čtřbokého jehlnu, je-li stěnová výšk vs = cm svírá s rovinou podstv úhel 0. ( = cm, v t = 0, cm, V = 99, cm, S= cm ). Kolik m plechu je třeb n pokrtí věže tvru prvidelného čtřbokého jehlnu, je-li podstvná hrn 0 m, odchlk boční stěn od rovin podstv je 8 počítá-li se s odpdem 0%. (v s=, m, S = 9, m ). Věž tvru kužele má obvod podstv 9, m výšku m. Kolik m plechu je třeb n pokrtí věže. (,8 m ). Strn kužele svírá s rovinou podstv úhel 0. Vpočti objem kužele, je-li jeho povrch 0 cm. (r =, cm, v = cm, V =, cm ) 7. Vpočti objem povrch kužele, je li úhel při vrcholu 0 průměr podstv d = cm. (v = 9,08 cm, s =, cm, V = 878,8 cm, S = 00, cm ) 8. Objem kužele je 000 cm, obsh osového řezu je 00 cm. Vpočti povrch kužele. (r = 9, cm, s =, cm, S=7, cm ) Koule. Vpočítejte objem povrch koule o poloměru cm.. Vpočítejte povrch objem polokoule o průměru 0 cm.. Koule má objem litrů. Vpočítejte její průměr.. Jký objem má koule o povrchu 0 m.. V lehké tletice při vrhu koulí používjí muži kouli o hmotnosti 7, kg žen kg. Hustot oceli je 7800 kg/m. O kolik mm je průměr koule pro muže větší než průměr koule pro žen? (si, mm). Objem duté koule je cm. Jký je její vnitřní průměr, kdž tloušťk stěn je cm? (8 cm) str.

26 Komolý jehln, komolý kužel vzorce v příloze náčrt, obecné řešení, výpočet. V prvidelném čtřbokém komolém jehlnu jsou dán podstvné hrn : = 0 cm, = 8 cm tělesová výšk v = 7 cm. Vpočti objem povrch. (V = cm, S = 7,8 cm ). Vpočtěte objem povrch prvidelného čtřbokého komolého jehlnu, jsou li délk podstvných hrn 0 cm cm. Plášť má obsh 0 cm. (V=08, cm, S= cm ). Povrch komolého kužele je S = 797 m, průměr podstv jsou m m. Určete jeho výšku objem. (v = m, V =,7 m ). Kolik plechu bude zpotřebí n otevřenou nádobu tvru komolého kužele, jsou li průměr podstv 0 cm 8 cm, výšk je cm počítá se % n odpd. (S = si 9 cm ). Nádob z plechu ve tvru prvidelného komolého jehlnu má horní hrnu cm, dolní hrnu 0 cm výšku 8 cm. Vpočítejte hmotnost nádob, kdž m má hmotnost kg. (9, g). Jkou výšku má těleso tvru rotčního komolého kužele, jsou-li poloměr podstv m m, objem m? ( m) 7. Povrch rotčního komolého kužele je S = 7 97 m, průměr podstv jsou m m. Určete výšku kužele. ( m) 8. Budov má tvr komolého jehlnu s podstvou čtverce. Je vsoká 80 m. U země má šířku 00 m. Sklon zdí se zemí je 70. N střeše bude podlh z mrmorových desek o rozměrech 0 0 cm. Kolik mrmorových desek bude zpotřebí? (7 0) 9. Mrkodrp má tvr kom. kužele. Dolní průměr je 0 m, horní 0 m. Obsh pláště je 8 m. Vpočítejte kolik podlží má budov, kdž jedno podlží má výšku,7 m. (7 podl.) 0. Jk dlouho se vpouští bzén ve tvru komolého kužele hluboký m? Průměr bzénu n hldině je 0 m, průměr dn je 8 m. Vod vtéká rchlostí litrů z sekundu. Kolik bude stát nátěr dn stěn bzénu, kdž nátěr m stojí kč? ( h min, kč) str.

27 7. Funkce Prvoúhlý sstém souřdnic O. Nrýsujte souřdnicový sstém O pk bod A[ ; ] B[; ] C[0; ] D[,; 0]. Rozhodněte, ve kterém kvdrntu se nchází bod A[0,; ] B[ ; ] C[; ] D[ ; ] {kvdrnt: A:., B:., C:., D:. } Funkce, definiční obor, obor hodnot, grf funkce. Určete, které z bodů A, B, C, D jsou bod funkce: ) b) c) A[ ; ] B[7; ] C[ ; ] D[; ] 0 A[0; ] B[;, ] C[; ] D[; ] A[ ;,] B[; ] C[; ] D[; ] d) A[0; ] B[ ; 0] C[; 0] D[ ; ] e) A[0; ] B[ ; 9] C[; ] D[; 0] f) A[0; ] B[ ; 0] C[; 0] D[; ]. Určete obor hodnot H(f) funkce ), je-li D ( f ) ; b), je-li D ( f ) ; c), je-li D ( f ) ;. U všech funkcí zjistěte funkční hodnotu v bodě f ( ) f () ) f ( ) 0,/ f (), b).( ) 8 c) f ( ) / f () f ( ) / f () d) ( ) f ( ) 0/ f () 7 e) ( ) f ( ) / f () 9 f) ( ) f ( ) / f () 8 g) ( ) 9 f ( ) / f () 9 h) f ( ) 0/ f () 0 i) ( ) j) f ( ) / f () 9 f ( ) / f () str. 7

28 . Zjisti, zd u všech zdných funkcí ptří číslo 0 do oboru hodnot. 0 H( f ) nebo 0 H( f ) Definiční obor u všech funkcí : D(f) ) b) ; 0 H( f ) 0 H( f ) 0 H( f ) c).( ) 8 d) 0 H( f ) 0 H( f ) e) ( ) 8 f) 8 ( ) 0 H( f ) 0 H( f ) g) ( ) 0 H( f ) h) ( ) 9 i) 0 H( f ) j) 9 ( ) 0 H( f ) k) 0 H( f ). Zjisti souřdnice průsečíků grfu funkce s osmi. ) X ;0, Y0;, b) X ;0, c).( ) 8 Y 0; X ;0, X 7;0, 0; d) Y X ;0, Y0; X ;0, X ;0, 0; e) ( ) f) ( ) Y X ;0, Y0; X ;0, Y0; 7 g) ( ) X ;0, X ;0, Y0; 8 h) ( ) 9 i) ( ) X ;0, X 0;0, 0;0 j) ( ) X není k) Y,Y 0; X 0;0, Y0;0 str. 8

29 str. 9

30 . Určete D(f) definiční obor funkce: Nutno znát řešení lineárních nerovnic v podílovém součinovém tvru, řešení kvdrtických nerovnic!!! ) [D(f) = R\] b) [D(f) = R\, 8] c) 8 [D(f) = R\(,)] d) 8 9 [D(f)= R\ 9, ] e) 0 [D(f)=R\ (,)] f) g) [D(f)= (,) ] [D(f)=R\(, ] Lineární funkce. Funkce f je dán rovnici + 0 = 0 ) převeďte rovnici funkce f n tvr: = + b b) vpočítejte hodnot funkce f v bodech ; 0 c) doplňte následující tbulku : 0, 7 d) Vpočítejte souřdnice průsečíku grfu funkce f se souřdnicovými osmi (pokud eistují) e) Sestrojte grf funkce f f) Určete pro která R má funkce f nezáporné hodnot.. Přiřďte kždému bodu správnou vrintu odpovědi. A[ ; ]. leží v I. kvdrntu A B[ ;0]. leží v II. kvdrntu B C[;]. leží v III. kvdrntu C D[0; ]. leží v IV. kvdrntu D E[; ]. leží n ose E F[ ;]. leží n ose F. Funkce je určen rovnicí = +. Vpočtěte funkční hodnot f(0); f(); f(); f(0); f( ); f( ); f( ); f( ); f(,); f(0,).. Určete koeficient, b zpište názv funkcí určených rovnicemi, uveďte, zd je funkce určená dnou rovnicí rostoucí, klesjící nebo konstntní: ) = + b) = 0, c) = d) = e) = f) = + g) = 0, h) = i) = +. Rovnice funkcí převeďte n tvr = + b, zpište koeficient, b: ) + = 0 b) = 0 c) + = 0 d) = 0 e) + = f) + = g) = 0 h) + =0 i) + =. Sestrojte grf funkcí určených rovnicemi: ) = b) = c) = + d) = e) = + f) = str. 0

31 7. Sestrojte grf funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obor. K dnému definičnímu oboru určete měřením v grfu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zd je funkce rostoucí, klesjící nebo konstntní. Funkce jsou určen rovnicí: ) = ; D(f) = ( ; 0 b) = + ; D(f) = R c) = ; D(f) = (0; d) = ; D(f) = ; ) 8. Sestrojte grf funkcí nebo jejich částí pro uvedené definiční obor. K dnému definičnímu oboru určete měřením v grfu obor hodnot funkce H(f). Uveďte, zd je funkce rostoucí, klesjící nebo konstntní. Funkce jsou určen rovnicemi: ) = D ( f ) ; b) = + D ( f ) ; c) 0 D ( f ) ; d) D ( f ) ; e) D( f ) R f), D( f ) R 9. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): A; 0 B ; C; 0, 0. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): A0; B; C0,;,. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): = A[0; ] B[; ] C[ ; ] D[ ; 7]. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): = 0, + A[; ] B[ ; 7] C[0; ]. Zjistěte výpočtem, jká je vzájemná poloh bodů grfů funkcí určených rovnicemi, (zd bod je bodem funkce): = + A[ ; 7] B[ ; 7] C[; ]. V rovnici funkce určete: ) číslo tk, b bod M, ležel n grfu funkce určené rovnicí = + b) číslo b tk, b grf funkce určené rovnicí = + b procházel bodem P,.. Funkce je určen rovnicí = +. Vpočtěte číslo tk, b grf funkce procházel dným bodem: ) G ; b) H ; 9 c) J 0,; d) M ; 0. Bod A [; ] je bodem funkce = +. Vpočítejte koeficient. 7. Bod Z [; ] je bodem funkce = + b. Vpočítejte koeficient b. 8. Bod X [; 7] je bodem funkce =. Vpočítejte koeficient. 9. Bod M [8; ] je bodem funkce = +. Vpočítejte koeficient. 0. Bod A [ ; ] je bodem funkce = + b. Vpočítejte koeficient b.. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zdán dvěm bod A[; ], B[ ; ]. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zdán dvěm bod X[0; 8], Y[ ; 0]. Zjisti rovnici lineární funkce, která je zdán dvěm bod M[; ], N[; ]. Vjádřete následující závislosti jko funkce zpište je rovnicí funkce: ) Závislost obvodu čtverce n délce jeho strn. b) Závislost délk drátu n teplotě, jestliže se drát o délce 0 m při ohřátí o C prodlouží o 0,0 m. c) Závislost stvu krmiv n čse, jestliže se ze zásob 0 tun denně zkrmí 80 kg. d) Závislost ujeté dráh vlku n čse, jestliže při výjezdu ze stnice měl již z sebou ujetých 0 km dále jel průměrnou rchlostí 0 km/h. 7. V zemědělském závodě je zásob 000 litrů nft. Denně se z ní pro provoz vozidel spotřebuje 0 litrů. Zpište rovnicí závislost stvu zásob nft n počtu dní. Sestrojte grf této závislosti. Z grfu určete: N kolik dnů nft vstčí? Jká bude zásob po osmi dnech? Kolikátý den musí být objednán nová nft, objednává-li se při poklesu zásob n čtvrtinu původního množství? 8. Průměrná spotřeb Škod Felície je 7 litrů benzinu n 00 kilometrů. Před cestou má řidič v nádrži 8 litrů. ) Sestvte rovnici závislosti množství benzinu v nádrži (v litrech) n počtu ujetých kilometrů. b) Po kolik ujetých kilometrech zbývá řidiči v nádrži ještě litrů? str.

32 Kvdrtické mocninné funkce. Stnovte průsečík grfu funkce s osmi, ) 9 b) 9 0 c) 0 7 d) 9 e) f) 0. Zjistěte průsečík grfu funkce s osmi,, pk uprvte rovnici kvdrtické funkce tk, bste určili souřdnice vrcholu. Poté grf funkce nčrtněte. ) = b) = c) = + + d) = + + e) = + f) = Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f() průsečík s osou ( ) ( ). Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f() průsečík s osou ( ) ( ) ( ). Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f( ) průsečík s osou ( ) ( ) ( ). Nčrtni grf funkce u všech funkcí zjisti funkční hodnotu f( ) průsečík s osou ( ) ( ) ( ) 7. Vpočítejte souřdnice průsečíků kvdrtické lineární funkce: ) f : = + f : = {A[; ] B[; ] } b) f : = + f : = + {A[; 0] B[ ; ] } c) f : = 8 f : = {A[; 0] B[0,;,] } d) f : = f : = {A[ ; ] B[; 0] } e) f : = f : = + {A[ ; ] B[; 0] } f) f : = + f : = {A[; ] B[ ; ] } Eponenciální funkce. N zákldě náčrtku grfu eponenciální funkce rozhodni o prvdivosti tvrzení ) 0, > {no} b) 0, < {ne} c) 0, 0, < {no} d), 0, > {ne},, 7 e) > {ne} f) > {ne} 7. Vužijte vlstností ep. fce porovnejte eponent p r nčrtněte grf ), p, r [pr] b). Pro která je ep. funkce rostoucí? { ; }. Pro která je ep. funkce klesjící? { ; } p r [pr] c) 0, p 0, r [pr] str.

33 . Řešte eponenciální rovnice, proveďte zkoušku ( ) ( ).0, 8 ( ).0, ( ).0,. Řeš eponenciální rovnice, proveďte zkoušku (použijte substituci npř.: = ) ) + = [ = ] b). = 0 [ = ] c) = + 9. [ = ] d) + = [ = ] e) +. + = 9 [ =, = ] f) + 7. = 0, [ = ] g) = 0,. [ = ] Logritmická funkce rovnice = log, R +, D(f) = (0,+), H(f)= R. Určete logritmus ) log b) log c) log 7 d) log e) log f) log 9 7 [ ) b) c) 0 d) e) f) 0, ]. Určete logritmus ) log 00 log [] b) log 9 8 log [] c) log 0000 log [] d) log log 7 [ ] e) log 0,0 log 8 [ ] f) log log [] g) log 7 log [ ] 7. Určete číslo,, (definice logritmu) ) log = b) log c) log d) log e) log 000 f) log 8 g) log = h) log = i) log j) log 00 k) log 8 l) log m) [ ) b) =0, c) =0, d) e) 0 f) g) h) Určete definiční obor logritmické funkce: ) = log [ D ( f ) ;0 ] b) = log c) = log D ( f ) ; ] d) = log [ 0 log n) log i) j) k) 8 l) m) n) ] [ ( f ) 0; D ] ( ) [ R D( f ) ] e) = log [ D ( f ) (, ) ] f) = log [ D ( f ), ;] g) = log [ D ( f ) ;0 ; ] h) log [ D( f ) R ]. Nčrtni grf log. funkce, zjisti zd bod A, B, C leží n grfu funkce ) A[; ] B[9; 0] C[7; ] {,, } log log ( log ( ) b) ) A[; ] B[; ] C[0; ] {,, } c) A[-0; ] B[; ] C[; ] {,, } d) log( 0) A[; ] B[0; ] C[,; ] {,, } str.

34 . Zjisti průsečík logritmické funkce s osmi, ) log { X[; 0] Y[nee.] } b) log ( 8) { X[ 7; 0] Y[0; ] } c) log ( ) { X[ ; 0] Y[0; ] } 7. N zákldě grfu log. funkce rozhodni o prvdivosti tvrzení ) log 7 log {no} b) log0, log0, {ne} c) log0, 0,7 0 {ne} d) log 8 log {no} e) log, 0 {no} 8. N zákldě grfu log. funkce zpiš vzth pro proměnné, ) log log { } b) log0, log0, { } c) log log { } 9. Určete logritmus výrzu (zlogritmujte) ) [ log log log ] b) b [ log log log b ] c) [ log log b] d) [ log log ] b. c. e) [ log log c log log log ]. 0. Odlogritmujte:. ) log log log 7 [ log 7 7 b) log 7 log log log log z [ log z c) log 8 9 log 8 log 8 log 8 log 8 z [ log. Vpočítejte (nejprve odlogritmujte, použijte vět o logritmech) ) log log 9 [] b) log 0log [] c) log 0 log [] d) log log log [] e) log log [ ] f) log log 00 [ ] f) log log 00 log 8 [] 9 g) log log log 9 [ ]. Vřešte rovnice: ) log log = [ = 0] b) log 7 = log [ = 9] c) log + log = [ =,] d) log 0 log = [ = 0] e) log 8 = log 8 [ = ] f) log = log 0 [ = 00] 8.. ] ] ] z str.

35 Goniometrické funkce. Zjistěte z tbulek bez použití klkulátorů: sin = cos = tg = cotg = sin ( 080 ) = cos 8 = tg ( ) = cotg ( 7 ) = 9 sin = cos = tg = cotg = sin ( 7π ) = cos ( π ) = tg ( 9π ) = cotg ( 7π ) =. Vpočtěte bez použití klkulátorů sin.cos( ).sin sin 0.cos + [0] cos.sin + cos0.sin0 cos0. sin0 = [0] ] sin0.cos0 sin + tg( 0 ) cos0 = [ 7).(cos ). (sin0 + tg0 ).cos + sinπ = [ 7 ]. Vpočtěte bez použití klkulátorů tg + cotg 00 + tg 0 + cotg + tg = [].tg 0 + cotg tg + cos 00 = [. ] tg 0. cotg 0 sin 0. tg 0 = [,] 7 tg cot g tg cot g tg [] Vzth mezi goniometrickými funkcemi v z o r c e v t b u l k á c h. Zjednodušte výrz: ) cos. tg = [cos ] b) tg cos [ ] c) (sin cos ) + sin.cos tg. cotg = [0] d) c) tg. cos + cos = [sin ] sin sin sin e) [ (+cos) f). tg cos cos cos [ ] cos g) tg cos sin [] sin. Zjednodušte výrz: tg ) tg cot g c) tg tg e) tg cos sin g) cos sin sin cos i) cos sin cos sin k) cos sïn cos cot g. tg tg [sin] b) = tg sin [cotg ] d) tg. cos cos [sin ] sin cos [cos] f) [ ] cos sin sin cos cos [tg] h) [tg ] tg cot g cos (cos. tg) [ tg] j) [ ] cos cot g [ sin] l) [cotg ] tg str.

36 cos sin m).cot g sin cos [] Goniometrické rovnice. sin + = sin [0 + k.0, 80 + k0 ]. tg = tg + [ k nebo 0 + k.80 ]. cos = cos [80 + k.80 nebo + k. ]. cos( ) = cos + [ + k.0, + k.0 ]. cos = sin [0 + k.0, 00 + k.0 ]. sin = sin cos [90 + k.0, 7 + k.0, + k.0 ] 7. sin = (sin cos) [ + k.0, 7 + k.0 ] cos 8. tg + sin [0 + k.0, 00 + k.0 ] 9. sin + 7cos = 0 [0 + k.0, 00 + k.0 ] 0. cos = + cos [ k, k ]. cos cos = 0 [0, 90, 70 + k.0 ]. cos sin + = 0 [90 + k.0 ]. sin + cos = 0 [0, 00, 09, + k.0 ]..sin sin.cos 0 [0 + k.80, + k.0, + k.0 ]. cos. tg cos 0 [90 + k.80, + k.80 ]. cos 7 cos 8 [80 + k.0 ] 7. sin sin [90 + k.0 ] str.

37 8. Posloupnosti. Určete člen posloupnosti ; ; 0: n = ( n n n n= [ ; 9; 00]. Určete první člen posloupnosti: ( n + n ) [,;,; 8,7]. Určete kolikátý člen posloupnosti má hodnotu 0. ) (n ) b) ( n ) c) (n n + ) [)8; b); c) ; ]. Vpočtěte hodnot dných členů posloupnosti dné rekurentně: n n ; ; =? [ ; 0,;,7] n n 7 ; =? [,; ] n n n ; ; =? [0; ] Aritmetická posloupnost (AP) je dán. členem diferencí diference (d) rozdíl dvou po sobě jdoucích členů kždý následující ( předcházející) člen je o d větší (menší). V ritmetické posloupnosti určete prvních členů je-li dáno: ) = ; d = [; 8; ; ; 7] b) = ; d = 8 [ ; ; 0; 8; ] c) =, ; d = 0, [,;,; 0,9; 0,; 0,] d) = ; 9 =, [7,;,;,7; ;,] e) 7 =, ; =, [ 0,8; 0,; 0,; 0,7;,]. Určete 0. člen v AP je-li dáno: = 0, 0 = 7, [,]. V AP je dáno : ) = 0, d = určete první člen [, 0, 8, ] b) 8 =, d= určete 8, [= 8 = ] c) =, = určete S. [S = ]. V ritmetické posloupnosti je : =, S0 = 9. Určete 0, d, [0 =, d =, = 9]. V ritmetické posloupnosti je : =, S0 = 9. Určete 0, d, [0 =, d =, = 9]. Vpočítejte součet členů ritmetické posloupnosti, kdž je dáno: ) =,9 0 = 7, S =? [8,] b) = 9 = 9 S =? [] c) = = S0 =? [ 9] d) = 0 = 0 S0 =? [ 70] 7. Vpočítejte S8, kdž je dáno: ) 8 =, =, (,) b) 7 = 00 9 = 0 ( 00) str. 7

38 8. Vpočítejte ) S0, kdž je dáno: + = + 7 = 0 [S0 = 0] b) S, kdž je dáno: + = + 8 = [S =,] c) S, kdž je dáno: + =0 + = [S = 7] 9. Kolik členů posloupnosti nám dá součet Sn, kdž známe: ) Sn = 8 = = [n = ] b) Sn = 9, =, 8 = 0 [n = 7] c) Sn = 0 8 = 0 0 = [n = ] 0. V AP pltí: d =, n = Určete, kolik prvních členů má součet. [n=8]. Vpočtěte součet všech členů konečné AP :,,,...,. [n = 9, S9 = 7 ]. Kolik prvních členů AP dává součet ) 0, je-li =, d =? [n = 0] b) 87, je-li =, = 7 [n = ] c) 0, je-li =, d= [n = 0]. Mezi čísl 7 vložte tolik čísel, b vznikl AP. Součet dných vložených čísel je 8. Určete vložená čísl. [ = 7, d =, vložená čísl:,, 9,, 7,,, 9,, 7]. V devítičlenné ritmetické posloupnosti je prostřední člen součet dvou posledních je 8. Určete součet všech členů posloupnosti. []. Vpočtěte součet všech sudých dvouciferných čísel. [0]. Vpočtěte součet všech lichých trojciferných čísel. [7 00] Geometrická posloupnost GP : je určen prvním členem kvocientem q kvocient podíl dvou po sobě jdoucích členů, kždý následující (předcházející) člen je q krát větší (q krát menší). V GP je dáno: =, q =, n =. Určete n, Sn. 7 [n = 8, S8 = ] 8 8. = 0, = 0,08 Vpočítejte S [S =,8]. =, = 0,009 Vpočítejte S [S = 7,]. = 0 = 80 Vpočítejte S [S = 0]. Zjisti q pokud pltí: = 0 = 0 [ = 0 q = ]. = = 0, Kolik členů dává součet Sn =,7 [n = ] 7. =, =, Kolik členů dává součet Sn = 0 [n = ] 8. = 0 = 0 Kolik členů dává součet Sn = 0 [n = ] 9. V GP pltí : ) + + = + + = 80 Urči, q. [ =, q = ] b) = 0 = Určete prvních členů. [q =, =,,, ] c) + = 0 +8 =0 Vpočti S. [ =, q =, S = ] postup řešení: kždý člen vjádříme pomoci. členu kvocientu q, řešíme pk soustvu rovnic o dvou neznámých 0. Mezi čísl vložte čísl tk, b s dnými tvořil po sobě jdoucí člen GP. [,, 8, ] str. 8

39 . První člen šestičlenné GP je, poslední 0. Vpočtěte součet členů GP. []. V GP je dáno: ) = 0,7, q=, určete 8. [8 = 0,0] b) =, =, určete prvních členů [,, 8,, ] c) =, q = 0,, určete S. [S= d) = 9, q = 0,, určete 8, S. [8 = 9.0 7, S = 9,9999] e) =, = 9, určete q, 8, S. [q =, 8 = 78, S = 78]. GP tvoří čísel předposlední člen je prostřední 0. Vpočtěte součet prvních tří členů. [70] ] Užití GP, složené úrokování. Počet obvtel měst vzrostl z let ze n O kolik % se průměrně zvšovl z jeden rok?. Původní cen stroje bl Kč. Jkou cenu má stroj po 0 letech při 0% mortizci? [97 Kč]. N účtu s % úrokem máme uloženo Kč. N účet již nebudeme nic ukládt ni vbírt. ) Kolik Kč bude n účtu z let? [ 8Kč] b) Z kolik let se částk 0000 Kč zdvojnásobí? [si let] c) N kolik % b se musel vkld uložit, b se zdvojnásobil z let? [p=,87%]. Délk hrn kvádru tvoří po sobě jdoucí člen geom. posloupnosti. Nejkrtší hrn měří cm. Objem kvádru je jeden litr. Zjisti délku osttních hrn. [, 0, 0]. N VŠ se hlásí 90 uchzečů. Přijímcí řízení se koná v několik kolech tk, že do dlšího kol postupuje vžd polovin uchzečů. Kolik musí škol uskutečnit kol, b přijl pouze 0 uchzečů? []. Z kolik hodin se bkterie množící se dělením rozmnožil z 000 n Počet bkterií se zdvojnásobí z hodinu. [8] 7. Ve vesnici se z dv rok zvýšil počet obvtel ze 00 n. Jký bl průměrný procentuální roční přírůstek? [0 %] 8. Roční úrok je %. Úrokovcí období jsou měsíce. Z kolik let se nám vkld zdvojnásobí? [0, let] 9. Plt se zvýšil z Kč n 00 z let. Jký bl roční % nárůst? 0. Z kolik let se Jnovi zvýšil vkld z Kč n Kč, kdž roční úrok bl, % zúročovní období blo rok?. Z kolik let vzrostl cen tun obilí z 000 Kč n Kč, kdž bereme roční nárůst, %? [0 let]. Jký bl roční úrok v bnce, kdž z rok jsme uspořili ze Kč n 0 Kč? [ %] str. 9

40 9. Kombintorik, sttistik, prvděpodobnost Permutce P(n) permutce z n prvků, tvoříme uspořádné n tice z n prvků. P(n)= n! P()=!=.... Zjednodušte: ) n! n! n! n! n! n! n! ( n )!.( n )! c) ( n )! n! ( n )! n! ( n )! ( n )! ( n )! n! ( n )! b) ( k )! d) ( k 8)!( k 9) ( )! ( )!.( )! ( p )! ( p )! ( p )! e) f) ( )!! ( )! ( p )! ( p )! ( p 7)!. Vřešte rovnice: ( n )! ( n )! ( )! ) b) c) 8 [ = ] n! ( n )! ( )! ( n )! n! d) n n [n = ] e) 90 [n = 0] n! ( n )!. Kolik způsob můžeme v knihovně seřdit knih vedle sebe?. Kolik je pěticiferných čísel vtvořených z čísel 0,,,,?. Kolik různých přirozených trojciferných čísel větších než 0 lze sestvit z číslic,, tk, b se žádná číslice neopkovl? []. Kolik čtřciferných přirozených čísel větších než 00 lze zpst číslicemi 0,,,, jestliže se v čísle žádná číslice neopkuje? [] 7. Kolik různých šesticiferných čísel lze zpst číslicemi 0,,,, 7, 9, nemá li se žádná číslice opkovt. [00] 8. Vpočtěte ) V(,8) P()= [] b) V(,0) P() = [] c) P() V(,) P() = [ ] 9. Zvětší li se počet prvků o, zvětší se počet permutcí 0krát. Určete počet prvků. Proveď zkoušku. [9] 0. Zvětší li se počet prvků n o dv, zvětší se počet permutcí 7krát. Určete n. [n=7] Vrice V ( k, n ) vrice k té tříd z n prvků tvoříme uspořádné k tice z n prvků. V(k; n) = (n k)!. Kolik způsob seřdíme do pětic písmen A, B, C, D, E, F, H?. Kolik čtřciferných lichých čísel vtvoříme z číslic,, 7, 8, 9?. Kolik je trojciferných čísel vtvořených z číslic 0,,,?. Kolik způsob seřdíme ve trojicích tto smbol?. Kolik sudých trojciferných čísel vtvoříme z číslic,,,,, 7, 8, 9?. Kolik je dvojciferných čísel vtvořených z čísel 0,,,,? 7. Kolik jednociferných ž čtřciferných přirozených čísel lze zpst číslicemi 0,,,, jestliže se v čísle žádná číslice neopkuje? 8. 7 kmrádů si slíbilo, že si pošlou vzájemně pohlednice z prázdnin. Kolik pohlednic blo posláno? () 9. Kolikerým způsobem může rnžérk vstvit vodorovně vedle sebe různých šmpónů? (0) 0. Bezpečnostní kód se tvoří z písmen K L M N O P Q všech číslic. Kód obshuje nejprve písmen pk číslice, žádný znk se neopkuje. Npř.: KQM87. Kolik je vricí bezpečnostního kódu?. Kolik různých přirozených dvojciferných čísel lze sestvit z číslic,,7,9 tk, že v dvojciferném čísle nejsou žádné číslice stejné? [] n! str. 0

41 . Kolik jednociferných ž pěticiferných čísel lze sestvit z číslic 0,,,,8,9, jestliže se v čísle žádná číslice neopkuje. [0]. Kolik prvků dá 0 vricí druhé tříd?. Z kolik prvků lze vtvořit ) 7 b) vricí druhé tříd? [9, 7]. Vricí druhé tříd z n prvků je šestkrát méně než vricí třetí tříd stejného počtu prvků. Z kolik prvků jsou tto vrice? Kombince K ( k, n ) Kombince k té tříd z n prvků tvoříme k prvkové podmnožin z n prvků. n n! K(k, n) = n kombinční číslo k k!( n k)! k. Vpočtěte: ) K(,8) + K(,) = [] b) K(,) K(,) + = [8] c).k(,) + P() = [ 0] d) e) [0] 7 9. Při setkání bsolventů škol jedné tříd se bsolventi přivítli stiskem rukou. Kolik blo celkem stisknutí rukou, jestliže se sešlo bsolventů? []. Kolik různých -členných sportovních družstev lze sestvit z 8 nejlepších sportovců tříd? []. Kolik šchistů se zúčstnilo turnje, jestliže víme, že kždý účstník sehrál s kždým z osttních po jedné prtii odehrálo se prtií. []. Kolik možností thů je ve hře šťstných deset, kde se losuje 0 čísel z 80? [ 9 0 0]. V cukrárně mjí druhů zákusků, Jn chce koupit 7 různých kusů. Kolik má možností? [0] 7. V divdelním souboru je 0 mužů 8 žen. V divdelní hře účinkují muži žen, kolik je možností obszení hr? [ 0] 8. N letní tábor přijelo chlpců dívek. V soutěži mjí vtvořit družstv, kde jsou chlpci jedn dívk. Kolik je možností? [] 9. Ve třídě je 8 chlpců 9 dívek, do soutěže mjí vtvořit družstvo složené ze chlpců dívek. Kolik je možností? [9 7] 0. Kolikerým způsobem je možno sestvit člennou delegci ze tříd o 0 chlpcích 8 dívkách, mjí li být v delegci ) chlpci dívk [88] b) chlpec dívk [80] c) chlpci dívk [0]. V kódu je n prvním místě jedno z písmen A,B,C nebo D. N dlších dvou pozicích je libovolné dvojciferné číslo od do 99. (Eistují npř. kód A, D pod.). Určete počet všech tkto vtvořených kódů. []. Z kolik prvků lze vtvořit ) b) kombincí druhé tříd? [9, ]. Zmenší li se počet prvků o, zmenší se počet kombincí druhé tříd z těchto prvků třikrát. Kolik je prvků? [0]. Zvětší li se počet prvků o, zvětší se počet kombincí druhé tříd z těchto prvků o 0. Kolik je prvků? []. Zmenší li se počet prvků o, zmenší se počet kombincí druhé tříd z těchto prvků o. Kolik je prvků? [8] [] str.

42 Sttistik. V jedné firmě bl zprcován sttistický soubor změstnnců. Sttistickým znkem bl výše měsíčního pltu. Hodnot sttistického znku bl rozdělen do intervlů, u kždého je dán četnost hodnot znku. Nejprve spočítej rozsh souboru. Vpočítejte kolik se celkem vdá měsíčně ve firmě z výplt. Spočítej reltivní četnosti jednotlivých hodnot, ritmetický průměr, modus medián těchto hodnot. výše pltu četnost Grf znázorňuje četnost známek z mtemtik. Zjistěte z grfu četnost sttistického souboru, četnost jednotlivých známek, reltivní četnost, ritmetický průměr, medián modus.. Klsifikci žáků NS z mtemtik vjdřuje následující tbulk: ) Jká je průměrná známk z mtemtik ve třídě (zokrouhlete n setin)? b) Kolik chlpců má lepší známku z mtemtik, než je průměrná známk dívek? Klsifikce Počet dívek 0 Počet chlpců 7 7. Ve škole bl zkoumán dv sttistické soubor žáků. Sttistickým znkem bl hmotnost. Hodnot sttistického znku bl rozdělen do intervlů, u kždého je dán četnost hodnot znku. Spočítej nejprve rozsh souborů. Vpočítejte průměrnou hmotnost chlpců i dívek. Spočítej reltivní četnosti jednotlivých hodnot, modus medián hodnot. tělesná hmotnost žáků kg chlpci dívk str.

43 . V tbulce je uveden počet prodných ut v jednotlivých měsících. Vpočítejte reltivní četnosti v jednotlivých měsících, průměrný měsíční prodej, modus medián. Počet prodných ut leden únor 0 březen duben 70 květen 8 červen 7 červenec 0 srpen září říjen 8 listopd 0 prosinec 9 celkem reltivní četnost %. Kždý student třetího ročníku si vbrl právě dv ze čtř nbízených seminářů A-D. Rozdělení studentů je uvedeno v tbulce. Čísl udávjí počt žáků v jednotlivých dvojicích seminářů. (Npříkld semináře A součsně C nvštěvuje studentů). V poslední sloupci jsou uveden celkové počt studentů v jednotlivých seminářích. Počet studentů v seminářích A B C D Celkem A - 0 B 0-7 C - D - 9 ) Doplňte všechn prázdná políčk tbulk. b) Přístup do počítčové sítě mjí všichni studenti, kteří nvštěvují seminář A nebo seminář B. Kolik studentů má přístup do počítčové sítě? c) Kolik studentů nvštěvuje třetí ročník? 7. Ve sttistickém šetření blo zjišťováno, kolikrát ročně chodí studenti jedné tříd do knihovn. Výsledk bl zpisován do tbulk četností návštěv. Z tbulk se ztrtil poslední údj o počtu studentů, kteří nvštěvují knihovnu ž 8 krát z rok. Vpočítejte tento údj, pokud víte, že ritmetický průměr všel přesně návštěv n jednoho student z rok. Počet návštěv Počet studentů 0 8 Průměrná hodnot = str.

44 8. Sttistickým souborem bli žáci dvou tříd. Sttistickým znkem bl počet cigret, které denně vkouří. Zjistěte průměrnou spotřebu cigret n žák, rel. četnost jednotlivých ktegorií, pk zjistěte modus medián. Vpočtěte kolik Kč prokouří průměrně student- kuřák z měsíc rok, kolik kg dehtu projde jeho plícemi z rok. cig = 0 mg dehtu. 9. Uvedený grf udává počt neprospívjících žáků počt nedosttečných, které dostli n vsvědčení. I. Zjisti kolik žáků z celkového počtu ve škole neprospělo. () II. Zjisti průměrný počet pětek u těchto neprospívjících žáků. ( nedosttečné) III. Zjisti medián. ( nedosttečné) IV. Zjisti modus. ( nedosttečná) V. Kolik žáků mělo více nedosttečných? () Počt nedosttečných ve škole 0 Počet žáků Počet nedosttečných str.