Plasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Plasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky"

Jozef Němeček
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Plasticita - ur ení parametr zpevn ní z tahové zkou²ky Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz 1 Postup p i ur ování parametr získání tahového diagramu p epo et na závislost nap tí - deformace (nebo plastická deformace) ur ení závislosti hodnota funkce zpevn ní - deformace (nebo plastická deformace) vyjád ení funkce zpevn ní, ur ení jejích parametr Jako p íklad je uveden postup p i ur ování parametr zpevn ní pro houºevnatou ocel. 2 Tahová zkou²ka - závislost nap tí deformace Z tahové zkou²ky je získána závislost síla posuv. Je t eba ji p epo ítat na závislost nap tí - deformace. Tahové nap tí ve vzorku lze denovat jako smluvní, tj. σ = F A, (1) kde F je p sobící síla, A je po áte ní pr ez vzorku. Pro popis deformace lze zvolit inºenýrskou deformaci ε = l l, (2) kde l je posuv (prodlouºení vzorku) a l je po áte ní délka vzorku. V oblasti velkých deformací je vhodn j²í p epo et na závislost skute né nap tí - logaritmická deformace. Skute né nap tí je denováno jako pom r p sobící síly F a skute ného (okamºitého) pr ezu A, tj. σ sk = F A. (3) Pokud není moºnost m it b hem tahové zkou²ky zm nu pr ezu vzorku, lze pro p epo et smluvního nap tí na skute né vyuºít následující úvahu. P i rozvinutých plastických deformacích je objemová zm na nulová. Platí tedy A l = A l, (4) kde l je okamºitá délka vzorku. Pokud zanedbáme elastické deformace, m ºeme vyjád it inºenýrskou deformaci ε = l = l 1 = A l l A 1, (5) 1

deformace) vyjád ení funkce zpevn ní, ur ení jejích parametr Jako p íklad je uveden postup p i ur ování parametr zpevn ní pro houºevnatou ocel.

2 potom pro skute ný pr ez platí A = A 1 + ε. (6) Skute né nap tí pak lze p epo ítat ze smluvního pomocí vztahu Logaritmická deformace je denována vztahem a po integraci σ sk = F A = F A (1 + ε) = σ (1 + ε). (7) ε ln = ˆl l dl l dε ln = dl l (8) = ln l l = ln (1 + ε). (9) Je z ejmé, ºe v p ípad malých deformací platí A. = A, σ sk. = σ, εln. = ε. Pro data získaná z tahové zkou²ky houºevnaté oceli (tabulka 1) je na obrázku 1 zobrazeno srovnání smluvní a skute né závislosti nap tí - deformace. Dále uvedené výpo ty parametr zpevn ní budou provád ny pro malé deformace (in- ºenýrská deformace do hodnoty,4). Budeme pracovat pouze se závislostí smluvní nap tí - inºenýrská deformace. Jako po áte ní mez kluzu byla stanovena hodnota σ K = 428 MPa a odpovídající modul pruºnosti E = 2, MPa. Celkovou deformaci ε lze rozloºit na elastickou a plastickou ást ε = ε E + ε P = σ E + εp (1) a tedy ε P = ε σ E. (11) P i plastických výpo tech je vhodn j²í pouºívat plastickou k ivku (závislost nap tí - plastická deformace) - viz obrázek.. 3 Modely zpevn ní Pokud máme k dispozici pouze tahovou k ivku, je moºné z ní ur it pouze parametry isotropního zpevn ní nebo kinematického zpevn ní. Nelze z ní ur it parametry smí²eného zpevn ní. Izotropní zpevn ní. Uvaºujme podmínku plasticity dle von Misese pro isotropní zpevn ní f = 1 2 S ijs ij 1 3 (σ K + r) 2 =, (12) kde S ij je sloºka deviátorického nap tí, σ K je po áte ní mez kluzu a r je funkce zpevn ní. P i jednoosé napjatosti (tah ve sm ru x) platí S xx = 2 3 σ, S yy = S zz = 1 σ. Podmínku 3 plasticity lze upravit na tvar σ σ K = r. (13) Z grafu σ ε lze p ímo ur it závislost r ε. 2

(7) ε ln = ˆl l dl l dε ln = dl l (8) = ln l l = ln (1 + ε). (9) Je z ejmé, ºe v p ípad malých deformací platí A. = A, σ sk. = σ, εln. = ε.

3 Tabulka 1: Zm ená data houºevnaté oceli. smluvní nap tí [MPa] inºenýrská deformace [1],, 428,5,2 47,7,36 483,1,41 494,1,47 499,7,52 57,8,66 519,1,14 541,6, ,8, ,,44 65,3,51 617,8, ,9,72 634,2, ,1, ,, ,2, ,, ,6, ,6, ,7, ,9,1667 Podmínka plasticity dle von Misese s uvaºováním kinemat- Kinematické zpevn ní. ického zpevn ní zní f = 1 2 (S ij α ij ) (S ij α ij ) 1 3 (σ K) 2 =, (14) kde α ij je sloºka backstress (coº je deviátorické nap tí stejn jako S ij ). P i jednoosé napjatosti (tah ve sm ru x) platí S xx = 2 3 σ, S yy = S zz = 1σ = 1S 3 2 xx a podobn α yy = α zz = 1α 2 xx. Podmínku plasticity lze potom upravit na tvar Z grafu σ ε lze p ímo ur it závislost a xx ε. σ σ K = 3 2 α xx = a xx. (15) Z porovnání rovnic (13) a (15) je z ejmé, ºe z grafu σ ε lze ur it bu závislost r ε, nebo a xx ε - viz obrázek 3. 4 Zpev ovací funkce - ur ení parametr Funkce isotropního zpevn ní nebo backstress lze vyjád it matematicky. 3

644,2,1141 645,,1246 644,6,1352 642,6,1457 637,7,1562 628,9,1667 Podmínka plasticity dle von Misese s uvaºováním kinemat- Kinematické zpevn ní.

4 8 7 6 závislost smluvní nap tí - in enýrská deformace skute né nap tí - logaritmická deformace,,2,4,6,8,1,12,14,16,18 deformace [1] Obrázek 1: Závislosti smluvní nap tí - inºenýrská deformace a skute né nap tí - logaritmická deformace. Izotropní zpevn ní. lineární funkce: dr = h dε P e, (16) r = h ε P (17) nelineární funkce (exponenciální vztah): dr = b (Q r) dε P e, (18) r = Q ( 1 ) e b εp (19) Kinematické zpevn ní. lineární funkce: dα ij = C dε P ij, (2) nelineární funkce (exponenciální vztah): a xx = 3 2 C εp = K ε P (21) α ij = C dε P ij γ α ij dε P e, (22) a xx = 3 C ( ) 1 e γ ε P = D ( 1 ) e γ εp (23) 2 γ 4

lineární funkce: dr = h dε P e, (16) r = h ε P (17) nelineární funkce (exponenciální vztah): dr = b (Q r) dε P e, (18) r = Q ( 1 ) e b εp (19) Kinematické

5 8 7 6,,5,1,15,2,25,3,35,4 plastická deformace [1] Obrázek 2: Plastická k ivka. Ur ení parametr. Pro ur ení parametr funkcí vyjad ujících isotropní nebo kinematické zpevn ní ( h nebo K, Q nebo D a b nebo γ) z plastické k ivky je moºno pouºít metodu nejmen²ích tverc. Je zaloºena na minimalizaci sumy druhých mocnin rozdíl nam ených a vypo tených hodnot nap tí dle p íslu²ného modelu. M jme z experiment hodnoty nap tí σ i a odpovídající hodnoty ε P i (i = 1,..., N, kde N je po et e²ení). Potom lze vyjád it rozdíl (residuum) nam ené a vypo tené hodnoty pro i-té m ení R i = σ i σ ( ) ε P i. (24) Pro lineární izotropní zpevn ní je rozdíl R i = σ i ( σ K + h ε P i ), (25) pro nelineární isotropní zpevn ní R i = σ i ( σ K + Q ( )) 1 e b εp i. (26) Cílem je najít takové parametry h nebo Q a b, pro které je N i=1 (R i ) 2 minimální. Analogicky lze získat vztahy pro kinematické zpevn ní. Výsledkem této optimaliza ní úlohy jsou následující parametry: lineární zpevn ní: h = K = 5212, 33 MPa nelineární zpevn ní: Q = D = 135, 7 MPa; b = γ = 22, 81 Srovnání závislostí nap tí - deformace získaných z experimentu a vypo tených dle zvolené funkce zpevn ní je na obrázku 4. 5

Je zaloºena na minimalizaci sumy druhých mocnin rozdíl nam ených a vypo tených hodnot nap tí dle p íslu²ného modelu. M jme z experiment hodnoty nap tí σ i a odpovídající hodnoty ε P i (i = 1,.

6 7 6 r nebo a xx K,,5,1,15,2,25,3,35,4 deformace [1] Obrázek 3: Funkce isotropního zpevn ní r nebo velikost backstress a xx = 3 2 α xx v grafu σ ε. 7 6 závislost nap tí-deformace experiment zpevn ní lineární zpevn ní exponenciální,,5,1,15,2,25,3,35,4 deformace [1] Obrázek 4: Závislosti nap tí-deformace dle experimentu a model zpevn ní. 6

7 6 závislost nap tí-deformace experiment zpevn ní lineární zpevn ní

Podobné dokumenty

Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.

Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz. Obsah 1 Creep 2 1.1 Úvod do problematiky............................. 2 1.2 Pevnostní charakteristiky p i creepu...................... 4 1.3 Fyzikální mechanismy creepu.......................... 5 1.4