MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL:

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1 Gmnázium Budějoická MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL: Introducción, Por qué usar ectores? Eisten 2 tipos de magnitudes físicas: ESCALARES (skalární eličin - skalár. Se describen con un numero la unidad física correspondiente (masa, temperatura, olumen, longitud, densidad, resistencia eléctrica, trabajo mecánico, energía, etc. VECTORIALES (ektoroé eličin-ektor, no basta con dar un número que indica el alor de éstas, también es necesario decir que dirección que sentido tienen esas magnitudes. (elocidad, aceleración, momento lineal, campo eléctrico, intensidad del campo graitatorio, son ejemplos de magnitudes ectoriales. 2 Que es un ector? Un ector es una herramienta matemática que se define como un segmento orientado en el espacio (una flecha. Un ector tiene tres características fundamentales: Módulo (elikost, hodnota: La longitud del segmento mide la "intensidad" de la magnitud, por lo que siempre es un número positio. Dirección (směr: la recta que contiene al segmento. Modulo Sentido (orientace: Es la orientación que indica la flecha situada en el etremo del segmento. Los ectores, por lo tanto, se representan Dirección gráficamente mediante una flecha. Al escribir Los ectores suelen representarse con una letra acompañada de una flecha en su parte superior (aunque a eces por rapidez de escritura se escriben en negrita, nebo V. Dos ectores son iguales o equialentes, cuando tengan el mismo módulo, dirección sentido. 3 Formas de epresar un ector ( Eisten dos formas de representar matemáticamente un ector 2 : Sentido Mediante las componentes (coordenadas del ector (, : Consiste en dar las coordenadas del punto etremo del ector en un sistema de referencia cuo origen coincida con el etremo del ector. Mediante el modulo el ángulo que forma el ector con el ejex (, α. Skalární eličin (skalár se určují pouze elikostí (např. čas, el. náboj. Vektoroé eličin (ektor se určují elikostí, směrem a orientací (např. síla, rchlost. 2 Para representar gráficamente un ector epresarlo matemáticamente, es necesario establecer un Sistema de referencia con un ejes X e Y (los matemáticos suelen llamar a este sistema diagrama cartesiano

2 Gmnázium Budějoická Ambas descripciones son equialentes una se puede obtener a partir de la otra 3 : Obtención de (, a partir de ( α: cos ( sen Obtención de ( α a partir de (, : Eje Y (2 α tg arctg (3 Eje X Ojo!!! Las componentes de un ector son números escalares pueden ser positios negatios. El modulo de un ector, en cambio, solo puede ser positio (ó 0. 4 Operaciones con ectores: 4. Producto de un escalar (número por un ector: Al multiplicar un número por un ector obtenemos otro ector, con las siguientes características: Ejemplos: De módulo el producto del número por el módulo del ector. 3 Dirección, la del ector. Sentido, el mismo del ector si el número es positio contrario si es negatio. Analíticamente el producto del ector el escalar se realiza de la siguiente manera: (, (, 0,5-2 (4 por 4.2 Suma ( resta de Vectores: El resultado de sumar o restar arios ectores es también un ector se le denomina, por cuestiones físicas, ector resultante, a que en realidad ocurre como si sólo actuase dicho ector. 3 Recordad las relaciones trigonométricas básicas el teorema de Pitágoras. 2

3 Gmnázium Budějoická Suma gráfica de ectores Para obtener el ector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como regla del paralelogramo. Esto es, se construe un paralelogramo que tenga los ectores como lados se traza la diagonal del mismo para obtener el ector suma. A B.Trazar por el etremo de A una paralela a B 2. Trazar por el etremo de B una paralela a A 3. Trazar la diagonal del paralelogramo para obtener el ector suma o resultante. Resta de ectores Para obtener el ector resta o diferencia se puede usar la regla del paralelogramo, teniendo en cuenta que la diferencia puede ser considerada como la suma de un ector su opuesto:. Obtener el ector - A A B - A B (-A A B 2. Sumar B (-A aunque eiste un procedimiento abreiado: A Unir los etremos de ambos ectores (dirección trazar la flecha (sentido del sustraendo ( A al minuendo (B. Para efectuar sumas, o restas, de tres o más ectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociatia e ir sumándolos de dos en dos. Analíticamente la suma (o resta de 2 ectores A B, se realiza de la siguiente manera: A (A, A B (B, B S A B (A, A B (B, B ( A B,A B (5 A (A, A B (B, B R B A (B, B ( A, A ( B A,B A (6 La suma resta de ectores es conmutatia (da igual el orden con que se haga 3

4 Gmnázium Budějoická 4.3 Componentes de un ector ectores unitarios Vectores componentes: Las operaciones anteriores (suma de ectores producto por un escalar nos permiten descomponer 4 un ector en sus ectores componentes (o simplemente componentes epresarlo como una suma de ectores más simples.. Trazar una paralela al eje X Componente 2. Trazar una paralela al eje Y Componente Componentes de un ector Siempre podemos descomponer un ector en sus dos componentes. Es decir, obtener otros dos ectores que actuando a la ez produzcan el mismo efecto que el ector considerado actuando solo. De esta forma podemos decir que el ector (de componentes o coordenadas V e V es la suma de los ectores componentes (,0 (0, Vectores unitarios (Jednotkoý ektor: Eiste una notación 5 mu útil para representar los ectores que simplifica mucho el trabajo con sus componentes. Para ello se definen en primer lugar los llamados ectores unitarios. Esto es, unos ectores que tienen módulo uno (, cua dirección es la de los ejes coordenados (ejes X e Y su sentido, el sentido positio de Y éstos. Es decir: i (,0 j (0, (7 Como puedes comprobar estos ectores tienen modulo : 2 2 i 0 (8 2 2 j 0 Vector unitario según el eje Y j i X Vector unitario según el eje X 4 Separar, diidir 5 forma de escribir o representar ectores 4

5 Gmnázium Budějoická Epresión de un ector en función de los ectores unitarios: Usando estos ectores el producto de un ector por un escalar es mu fácil escribir ectores cua dirección sea la de los ejes coordenados, por ejemplo: 3 i Vector de módulo 3 que apunta en la dirección positia del eje X. - 3 j Vector de módulo 3 que apunta en la dirección negatia del eje Y. Por lo tanto, podemos epresar las componentes de cualquier ector......, por supuesto, podemos epresar cualquier ector como una suma de ectores unitarios Así, cualquier ector (, se puede Y escribir como una suma de ectores en la siguiente forma: 3j (, i j 4i 3j Pueden escribirse ectores unitarios que X tengan cualquier otra dirección. Para hallar un ector unitario u (modulo a partir de un ector no unitario ( modulo diferente de ha que multiplicar dicho ector por la cantidad Vector unitario en la dirección del ector : (9 u j i 4i u 3 ( 3 3 ; 3 ANEXO I Skalární a ektoroé fzikální eličin Veličin, se kterými se e fzice setkáme, rozdělujeme na: Skalární fzikální eličin - skalár (z latinského scala = stupnice, škála, žebřík jsou zcela určen jen číselnou hodnotou a měřící jednotkou (patří sem např. čas, dráha apod. Vektoroé fzikální eličin - ektor (z latinského ector = jezdec, nosič jsou zcela určen číselnou hodnotou, směrem a orientací (a měřící jednotkou, patří sem např. síla, rchlost apod.. V tetu jsou ektoroé eličin značen tučným písmem. Grafick zobrazujeme ektoroou eličinu orientoanou úsečkou, jejíž délka znázorňuje elikost ektoru, její orientace směr ektoru. Počáteční bod ektoru určuje umístění ektoru. 5

6 Gmnázium Budějoická Pro skalární fzikální eličin platí při počítání běžná praidla známá z algebr reálných čísel (pozor, s tou ýjimkou, že sčítat lze jen stejné eličin jádřené naíc shodnou fzikální jednotkou!!! - např. jsme dostali sto korun a potom ještě dě stě, dostali jsme celkem tři sta korun apod. Při počítání s ektor je třeba respektoat praidla algebr ektoroé - např. z Olomouce do Prah je to 254 km, z Prah do Plzně 88 km, neznamená to, že z Olomouce do Plzně je to km (iz obrázek. I u ektoroých fzikálních eličin jednoznačně platí praidlo, že sčítat lze žd jen eličin stejného druhu měřené stejnou jednotkou (např. dě nebo íce sil, dě nebo íce rchlostí, nelze ale žádném případě sčítat sílu a rchlost!. S ektor můžeme proádět některé početní operace: násobení ektoru skalárem dělení ektoru skalárem sčítání ektorů (stejného směru, různého směru, ronoběžník sil odčítání ektorů rozkládání ektoru do dou daných směrů Y muchas más... GLOSARIO Počtet = numero, alor Velikost, Hodnotá = cantidad, alor Veličina = magnitud Fzikální eličin = Magnitudes Físicas Skalár = Escalar, magnitud escalar (má hodnotu Vektor = Vector, Magnitud Vectorial (má hodnotu, směr a orientaci Jednotkoý ektor = Vector unitario ektoroého pole =Campo Vectorial ektoroého počtu = 6

7 Gmnázium Budějoická Boletín de ejercicios. Determinar las componentes de un ector de módulo 5 unidades, que forma 60º con el eje positio OX. Y si el ángulo es de 20º? 2. Qué dirección (ángulo con eje OX tendrá el ector de coordenadas (-4, 7? Y el ector (3,-4? Y el ector (0,-6? Cuáles serán las coordenadas de los ectores opuestos (de sentido contrario a estos? 3. Un ector tiene su punto de aplicación (origen en el punto (2,4 su etremo en el punto (7,7. Determina el módulo de ese ector, así como su dirección (ángulo con OX 4. Calcula el módulo del ector cuas coordenadas son (4,-3 5. La suma de ectores, será conmutatia?. Demostrarlo gráficamente mediante algún ejemplo. 6. Las direcciones de dos ectores, cuos módulos son de 3 4 unidades, forman entre sí un ángulo recto. Cuánto aldrá el módulo de su resultante? 7. En el caso anterior, cómo podríamos determinar la dirección del ector resultante? 8. Cómo se procederá para determinar la resultante de un conjunto de ectores libres? 9. Cómo se determinaría la resultante (gráfica de un conjunto de ectores que poseen la misma dirección: a con igual sentido b con sentidos diferentes. Qué conclusiones pueden deducirse de estas situaciones? 0. Obtener todos los elementos (componentes, módulo, dirección con el eje de la resultante de los ectores A (2,5, B (0,-3 C un ector de módulo=4 unidades α=35º.. Puede el módulo de un ector ser negatio? Y las componentes de un ector, pueden ser negatias? 2. Dibujar los ectores: A (-3,-4, B (0,-3 C (-3,4 3. Dados los ectores a (,0 b (3,0. Obtener el ector c a b 4. Dados los ectores e (2,0 f (0,3. Obtener el ector h 3 e 2 f 5. Obtener las componentes de un ector, si sabemos que su módulo es de 2 unidades forma un ángulo de 30 con la parte positia del eje OX. 6. Obtener las componentes de un ector, si sabemos que su módulo es de 8 unidades forma un ángulo de 300 con la parte positia del eje OX. 7. Dado el ector A A (-3,7, comprueba que el ector u es un ector de A modulo unidad en la misma dirección sentido que A. (Auda: Calcula el ector u después usa la fórmula (3 para comprobar que la tangente de los ángulos que forman con el eje X, tanto A como u son iguales. 7

8 Gmnázium Budějoická 8. Determina TODAS las características (módulo, ángulo con ejex del ector A del ejemplo anterior. 9. Dado los ectores A=-5i + 4j; B=-i - 7j. Obtener todas las características del ector P= 5A - 3B. 20. Dado el ector H = 2i + 5j. Obtener un ector unitario en su MISMA dirección sentido. 2. Epresar en notación de ectores unitarios (como suma de ectores unitarios i j los ectores de los ejercicio 4 al Dado el ector a con origen en el origen de coordenadas de componentes: a = 3 unidades, a =4 unidades. Eprésalo en forma ectorial, calcula su módulo el ángulo que forma con el eje OX 23. Es posible que la suma de dos ectores, de módulos 3 4 sea un ector de módulo? 24. Calcula las componentes cartesianas del ector a que tiene por origen el origen de coordenadas, de módulo cinco unidades que forma un ángulo de 52º con el eje de las abcisas. 8