Příklady k MA4. Vektorové prostory a normy

Transkript

1 Příklady k MA Vektorové prostory a normy Nejdříve uveďme několik základních definic. Na množině všech reálných funkcí definovaných na nějaké množině I definujeme součet funkcí f a g vztahem (f + g)(x) =f(x)+g(x), x I a α-násobek (αf)(x) =αf(x), x I, α R resp. α C. Na množině všech nekonečných posloupností nebo uspořádaných n-tic definujeme součet a =(a i )a b =(b i ) vztahem (a + b) i = a i + b i,kdei N, resp.i {,...,n} a α-násobek (αa) i = αa i, α R resp. α C. Na množině všech matic typu (m, n) pro libovolné matice A =(a ij )ab =(b ij ) definujeme jejich součet C = A + B, kdec =(c ij )ac ij = a ij + b ij pro i {,...,m} a j {,...,n}. Násobení skalárem α C, resp.α C definujeme obdobně: (αa) ij = αa ij pro i {,...,m} a j {,...,n}. Při sčítání a násobení podle výše uvedených definic jsou vektorovými prostory množina všech reálných funkcí, množina všech nekonečných posloupností, množina uspořádaných n-tic (tj. eukleidovský prostor R n ) i množina všech matic daného typu. Platí: Nechť X je vektorový prostor nad R (resp. nad C) av jeho neprázdná podmnožina. Pak V je vektorový prostor, právě když jsou splněny následující podmínky: (i) Pro každé u V akaždéα R (resp. α C) platíαu V (homogenita). (ii) Pro každé u V a v V platí u + v V (aditivita). Rozhodněte podle uvedeného kritéria, zda se jedná o vektorový prostor, a zdůvodněte splnění podmínek nebo najděte protipříklad. a) Vektory z R tvaru [r, 0,s], kde r R, s R. b) Vektory z R tvaru [r, 0, 0], kde r R. c) Množina R. d) Množina racionálních čísel Q, tj. čísel, jež mohou být psána ve tvaru podílu celých čísel. e) Vektory z R 2 tvaru [,t], kde t R. f) Vektory z R 2 tvaru [0,t], kde t Q. g) Množina {0}. h) Množina {[0, 0, 0, 0]}. i) Množina {[0, 7, 0, 0]}. j) Vektory z R tvaru [r 2s, r s, r + s], kde r R, s R. k) Množina všech řešení soustavy lin. rovnic x +2y z =0, x 2y 5z =0, 2x 6z =0. l) Množina všech řešení soustavy lin. rovnic Ax = o, kdea je libovolná čtvercová matice. m) Množina obrazů zobrazení L(x) =Ax, tj. přesněji {Ax; x R n },kdeaje matice typu (n, n). n) Množina všech řešení soustavy lin. rovnic x +2y z =, x 2y 5z =, 2x y +6z =0. o) Množina všech spojitých funkcí na intervalu I. (ZnačíseC(I).) p) {f C(R); f(2) = }. q) {f C(R); f() = 0}. r) {f C(R); lim x f(x) =0}. s) {f C(R); f(2) = 0 f() = 0}. t) Množina všech funkcí na I, jejichž derivace existuje a je spojitá. (Značí se C (I).) u) Množina všech funkcí na I, jejichžk-tá derivace existuje a je spojitá. (Značí se C k (I).) v) {f C (R); f (0) = 2}. w) {f C (R); f (2) = f()}. x) {y C 2 (R); y je řešením homog. dif. rovnice y y +5y =0}. y) {y C 2 (R); y je řešením dif. rovnice y y +5y = x}. z) {f C([0, ]); f(x)dx =0}. 0 b A) {f :(a, b) R; f(x) dx < (aexistuje)}. a značí se prostor L.) (Pozn.: Je-li použit Lebesgueův integrál,

2 b B) Fakt: {f :(a, b) R; a (f(x))2 dx< (aexistuje)} je vektorový prostor. Je-li použit Lebesgueův integrál, značí se L 2. Je to nekonečněrozměrná analogie Eukleidova prostoru. C) Množina všech posloupností s nulovou limitou. D) Množina všech posloupností s nenulovou limitou. E) Množina všech posloupností {a i },prokteré i= a i <. (Značísel.) F) Fakt: Množina všech posloupností {a i },prokteré i= a2 i <, je vektorový prostor. Značí se l 2. G) Množina všech omezených posloupností, aneb posloupností {a i }, pro které sup( a i ) <. i (Značí se l.) Normy: Norma je funkce na vektorovém prostoru V,kteráprou V, v V, α R splňuje: (i) u 0a u =0pouzeprou =0, (ii) αu = α u, (iii) u + v u + v (trojúhelníková nerovnost). Oktaedrická: [x,...,x n ] R n [x,...,x n ] = n x i. i= n Eukleidovská: [x,...,x n ] R n [x,...,x n ] 2 = x 2 i. Max-norma: [x,...,x n ] R n [x,...,x n ] =max{ x i ; i =, 2,..., n}. Oktaedrická l : {a i } l {a i } = a i. i= Eukleidovská l 2 : {a i } l 2 {a i } 2 = a 2 i. l : {a i } l {a i } =sup{ a i ; i =, 2,..., }. L : f L ((a, b)) f = b f(x) dx. a b L 2 : f L 2 ((a, b)) f 2 = a (f(x))2 dx. Sup-norma: f C(I) f sup =sup f(x) ; x I, kdei R je interval. Skalární součin: i= i= Na R n se definuje skalární součin vektorů (x,...,x n )a(y,...,y n ) vztahem (x,...,x n ) (y,...,y n )= n x i y i. Na l 2 se definuje skalární součin posloupností a = {a,a 2,...} a b = {b,b 2,...} vztahem (a, b) = a i b i. Na L 2 ([a, b]) se definuje skalární součin funkcí u a v vztahem (u, v) = b a i= i= u(x)v(x)dx. Protože každá spojitá funkce na uzavřeném intervalu [a, b] má integrál, můžeme používat tento skalární součin i pro funkce z C([a, b]). 2

3 Maticové normy: U maticových norem se pro matice A, B požaduje splnění (i) A 0a A = 0 pouze pro nulovou matici, (ii) αa = α A pro α R, (iii) A + B B + B (trojúhelníková nerovnost), (iv) AB A B (Schwarzova nerovnost). Spektrální poloměr matice A je ρ(a) =max{ λ i (A) ; λ i (A) je vlastní číslo matice A}. Oktaedrická maximum sloupcových součtů Krychlová maximum řádkových součtů Spektrální Frobeniova A = max A = max j n i= i n j= A 2 = ρ(aa T )= ρ(a T A), A F = n n a ij. i= j= n a ij, n a ij, Vektorová a maticová norma jsou konzistentní, pokud pro každý vektor V a každou matici A platí Av A v. Platí: Oktaedrická vektorová norma je konzistentní s oktaedrickou maticovou normou. Eukleidovská vektorová norma 2 je konzistentní se spektrální maticovou normou. Vektorová norma je konzistentní s krychlovou maticovou normou. Spočítejte u, u 2, u pro a) u =[, ], b) u =[ 2, 5], c) u =[λ, λ], kde λ R. Nakreslete množinu všech u R 2,prokteréplatí u =,resp. u 2 =,resp. u =. Jak vypadají takové množiny v R? Otočte souřadný systém v R 2 o libovolný úhel. Která norma se tím nemění? V jakém rozpětí se mění ostatní normy? (Můžete použít obrázek z předešlého příkladu.) Jaké platí nerovnosti mezi u, u 2, u? Ve které normě je vektor [,,,, ] největší? Zkuste bez počítání, použijte obrázek z předchozích úloh. Jaká je L norma a sup-norma funkce u v prostoru C((0, 2)) a) u(x) =, b) u(x) =x +, c) u(x) =x, d) u(x) =2/(x 2 +). Jaká je L norma a L 2 norma funkce u v prostoru C((0, 2)) a) u(x) = sin π 2 x, b) u(x) =cos π 2 x, Připomenutí lineární algebry Jsou následující skupiny vektorů lineárně závislé? a) (2,, ),( 6,, ), (,, 2) b) (2,, ),(7, 8, 0), (,, 2) c) (, 2,, ),(2,,, ), (,,, 2), (,, 2, ) d) Funkce u (x) = sin 2 (x), u 2 (x) = sin(2x), u (x) =vprostorul 2 (0,π)) e) Jakou lineární kombinací (2, 7, 9), (,, 5), (, 2, ) získáme vektor (,, 9)?

4 f) Jaká je hodnost matice g) Určete determinant pomocí Gaussovy eliminace (GEM) a pomocí rozvoje dle řádku či sloupce h) Jak spočítáme snadno a rychle determinant horní trojúhelníkové matice? Dokažte pomocí rozvoje determinantu dle sloupce. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i) Určete vlastní čísla a vlastní vektory matic:,,,,, ( ) ( ) ,, , j) / / /2 5/2 [hledejte pěkná čísla], 5/ / / / Přibližné určení vlastních čísel: Najděte např. pomocí Google Geršgorinovu větu (angl. Gershgorin), podle ní zkuste odhadnout vlastní čísla a číslo podmíněnosti matice Přímé metody řešení soustav lin. rovnic Nalezněte LU-rozklad. a) b) c) d) e) 6 2 /2 f) 5 /2 / / 0 g) V dalších úlohách řešte pomocí LU-rozkladu následující soustavy. Vyřešte i pomocí běžné GEM a postup porovnejte. Při klasické GEM prozkoumejte, jak byste vyměňovali řádky a sloupce při částečném a úplném výběru hlavních prvků x x 2 x x 2 = 56 h) 2 x x 2 9 = x x 9

5 i) 6 2 x 28 2 / 8/ / x 2 2 = /2 x 5 2 6/ 5/ 2/6 x 52 j) Jak vypadá matice řádkových úprav L, vyměníme-li v matici typu (,). a. řádek a k. řádku přičteme sedminásobek druhého? k) Ještě jeden LU-rozklad. Opět zkuste i GEM, tentokrát bez i s výběrem hlavního prvku Výsledky a) = b) = c) = d) = 0 0 / /2 2 /2 / / e) 6 2 = 0 0 / /2 9/2 5 2 / / /2 f) 5 /2 / = 0 0 / / 2 / 0 2/ g) = Ly = b má řešení y =, Ux = y má řešení x =. Pokud při Gaussově eliminaci 0 2 provádíte stejné řádkové úpravy jako v matici L, měl by na pravé straně vyjít vektor y h) = Ly = b má řešení y =, Ux = y má řešení x =

6 / 8/ / / / 5/ 5/ i) = / /2 2 6/ 5/ 2/ Ly = b má řešení y =, Ux = y má řešení x = j) k) Platí, že Gaussova eliminační metoda je proveditelná, jestliže je splněna alepspoň jedna z podmínek: a) A je ostře diagonálně dominantní, b) matice je pozitivně definitní. (Vzpomeňte si na Sylvestrovo kriterium testují se subdeterminanty.) Je-li některý subdeterminant z prvních k řádků a k sloupců nulový, GEM naopak havaruje. Matice L bude ve tvaru odpovídajícím výměně 2. a. řádku = 0 0 / /2. 7 7/ /2 Iterační metody Platí: Prostý iterační proces x k+ = Bx k + d konverguje, jestliže v některé maticové normě platí B <. Platí: Prostý iterační proces x k+ = Bx k + d konverguje, jestliže spektrální poloměr ρ(b) jemenší než. Rozhodněte, zda konverguje prostý iterační proces. a) x k+ = ( ) x k + ( ). 5 b) c) d) x k+ = ( ) x k + ( ) x k+ = x k x k+ = x k [Rozhodne a) oktaedrická, b) krychlová c) Frobeniova d) spektrální poloměr] e) Proveďte první tři iterace metodou největšího spádu pro soustavu x = 8. 6

7 Soustavu zkuste pro porovnání vyřešit i pomocí GEM a zkuste 2 iterace metody sdružených gradientů (pozorujte, zda se řešení blíží k skutečnému a zda se rezidua snižují). f) U předchozího příkladu odhadněte pomocí Geršgorinovy věty číslo podmíněnosti. Jak velká smí být norma 2 rezidua, aby relativní chyba přibližného řešení byla menší než %? Existence řešení okrajových úloh Jaké má řešení úloha: a) u +u =0,u(0) = u(π) =0 b) u + u =0,u(0) = u(π/2) = 0 c) u +2u =0,u(/7 π) =u(/7 π) =0 d) u u =0,u(2/7 π) =u(25/ π) =0 e) u + u =0,u(0) = u (π) =0 f) u + u =0,u (0) = u(7/6π) =0 g) u +πu =0,u(0) = u() = 0 h) u +/ u =0,u (0) = u(π) =0 Určete vlastní čísla a vlastní funkce úlohy: a) u + λu =0,u(0) = u(π) =0 b) u + λu =0,u(0) = u(5) = 0 c) u + λu =0,u( π/) = u(π) =0 d) u + λu =0,u( π/6) = u (π/) = 0 Převeďte úlohu na úlohu s homogenními okraj. podmínkami. a) u + u =0,u(0) = 0,u() = b) u + λu =sinx, u(0) = 7, u(5) = 0 c) u +5u =sinx, u( π) =2,u (5π) = Vyšetřete, jak závisí existence řešení úlohy na parametru λ R: a) u + λu =0,u( π) =u(5π) =0 b) u + λu =0,u (0) = u(7π) =0 c) u + λu =,u(0) = u(π) =0 d) u + λu =cosx, u(0) = u(π) =0 e) u + λu = x, u( π) =u(π) =0 f) u + λu =sinx, u( π) =u(π) = 0 [Hint: Vl. funkce různých vl. čísel jsou ortogonální.] g) u + λu =sin2x, u( π) =u (2π) =0 h) u + λu =sinx, u(0) = u(π/2) = 0 i) u + λu =sinx, u(0) = u(π/2) = 0 j) u + λu =sinx, u(0) = u(π/2) = 0 k) u + λu =sinx, u(0) = u (π/2) = 0 l) u + λu =cosx, u( π/2) = u (π) =0 m) u + λu =sinx +sin7x, u( π) =u(π) =0 n) u + λu =+sin2x, u( π) =u(2π) =0 o) u + λu =cos 2 x, u( π) =u(π) =0 p) u + λu =sin2x +cosx, u( π) =, u(π) = Operátory Převeďte následující úlohu do operátorového tvaru a) u + λu =sinx, u(0) = u(π/2) = 0 b) u + λu =sin2x, u( π) =u (2π) =0 Vyšetřete, zda je operátor příslušný následujícím úlohám symetrický, pozitivní, pozitivně definitní. a) u +5u =sin7x, u(0) = u(π/2) = 0 b) u +(7+x)u =sin2x, u( π) =u(π) =0 c) u +(+x)u =sinx, u( π) =u(2π) =0 d) u +(+x 2 )u =sinx, u( π) =u(2π) =0 7

8 e) u + u = x, u( π) =u(π) =0 f) u = x, u (0) = u (π) =0 g) u + xu =sinx, u(0) = u(2π) =0 [poz. def.; poz. def; sym. ale ne poz. např. vhodná C 2 -funkce nenul. jen pro x< ; poz. def; nevíme-asi ne; sym. ohraničená nulou; poz.] 8