Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků"

Transkript

1 Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.:

2 Určování výměr určování výměry na plánu nebo mapě je vždy výpočet plochy obecného mnohoúhelníka vodorovným průmětem tohoto obrazce daného hranicemi pozemku je vymezena plocha parcely Pozemek přirozená část zemského povrchu oddělená hranicí od sousedních částí, jedná se o hranici: územně správní katastrálního území vlastnickou držby druhů pozemků rozhraním způsobu využití pozemků

3 Parcela obraz pozemku, který je geometricky a polohově určen, zobrazen svislým průmětem hranic v katastrální mapě a označen parcelním číslem Výměra parcely vyjádření plošného obsahu průmětu hranic pozemku do zobrazovací roviny v plošných metrických jednotkách velikost výměry vyplývá z geometrického určení pozemku výměra parcely se určuje na čtvereční metry (m ) povoleným násobkem je hektar (1 ha m )

4 Kvalita výměry číselný znak, kterým se v souboru popisných informací v katastru nemovitostí označuje způsob výpočtu výměry parcely Způsob výpočtu výměry Výměra vypočtená ze souřadnic v systému S-JTSK Výměra vypočtena jiným číselným způsobem (z přímo měřených měr nebo ze souřadnic v místním systému) Výměra vypočtena graficky nebo v digitalizované mapě Kvalita 1 0

5 Výměru lze určovat: z přímo měřených měr v terénu ze souřadnic polárních pravoúhlých ze stran a obvodových úhlů z map a plánů graficko - počtářský způsob (pomocí naměřených hodnot z plánu nebo mapy) rozkladem na jednodušší obrazce převedením na jednodušší obrazce planimetrický způsob (pomocí mechanických pomůcek - planimetrů) kombinací obou způsobů

6 Určování výměr z polárních souřadnic α sin s s sinα s s sinα s s P + + i 1 i n 1 i i α sin s s P +

7 Určování výměr z pravoúhlých souřadnic počítáme na základě L Huilierových vzorců tento způsob možno použít i u výpočtu plochy zaměřené ortogonálně hodnoty délek (staničení) a délky kolmic nám představují pravoúhlé souřadnice v místní soustavě polygon číslujeme ve směru pohybu hodinových ručiček plochu budeme počítat z lichoběžníků: P P 1,,,1 + P,3,3, + P 3,4,4,3 - P 1,4,4,1 vzorec pro výpočet plochy lichoběžníka: P 1 (a + b) v P (a + b) v

8 y 4 x 3 x 4 y 3 x x 1 y y 1 P + (x 3 (x x y x ) (y ) (y 3 + y y ) + (x ) + (x 4 x 1 - x 3 ) (y ) (y 4 y 1 + y 1 + ) y 3 ) +

9 roznásobením, vykrácením a vytknutím x (popř. y) dostaneme: obecně potom platí: plochu počítáme dvakrát, tzn. podle obou vzorců ) x (x y P 1 i i-1 n 1 i i + ) y (y x P 1 i 1 i n 1 i i + x ) (x y ) x (x y ) x (x y ) x (x y P ) y (y x ) y (y x y ) (y x ) y (y x P

10 Určování výměr ze stran a obvodových úhlů výpočet se provádí pomocí Mascheroniho vzorce: P n- i 1,j+ i 1 ( 1) i+ j+ 1 s i s j sin j k+ i 1 ω k dvojnásobná plocha mnohoúhelníka se rovná algebraickému součtu součinů vždy dvou stran a sinu součtu úhlů mezi nimi ležících součiny se tvoří ve všech kombinacích s vynecháním jedné strany siny lichého součtu úhlů jsou kladné a siny sudého součtu úhlů jsou záporné

11 P s 1 s sinω s1 s3 sin (ω + ω3 ) + s s3 sinω3

12 Určování výměr rozkladem na jednodušší obrazce pro určení výměry mnohoúhelníka se tento obrazec rozloží na jednodušší obrazce (trojúhelníky, lichoběžníky a čtyřúhelníky) jejich výměru vypočteme podle geometrických vzorců pro výpočet těchto obrazců výsledná výměra je pak součtem výměr těchto jednodušších obrazců jako kontrola je prováděno rozdělení na jiné obrazce P P + 1+ P P3

13 Výměra trojúhelníka P 1 c v známe základnu c a výšku v: P c v známe dvě strany b, c a jimi sevřený úhel α: (tento vzorec je vhodný při zaměření parcely polární metodou) P bc sinα

14 známe stranu c a přilehlé úhly α a β: P c v c asinβ P c c sin α sin(α + β) sinβ c sinαsin β sin(α + β) známe všechny strany a, b, c (Héronův vzorec): P s(s a) (s b) (s c) s a + b + c

15 Výměra lichoběžníka a + b a) P zv v a + b b) P zv v k k c) P 1 v

16 Výměra čtyřúhelníka v + v P z 1 1

17 Určování výměr převodem na jednodušší obrazce využití poznatku, že plocha trojúhelníka se nezmění, nezmění-li se jeho základna a výška postupně změníme šestiúhelník na trojúhelník plochu trojúhelníka vypočteme z měr oměřených v plánu

18 Měření ploch pomocí planimetrů nejpoužívanější mechanické pomůcky podle konstrukce je dělíme na: proužkové - jednoduché, velmi přesné, časově náročné nitkové (harfové) transparentní - osnova rovnoběžek na průsvitné folii objížděcí - pohodlné, rychlé, málo přesné polární přímkové tyčové - konstrukčně nejjedodušší, nejméně přesné

19 Nitkový planimetr je tvořen žíněmi napnutými v kovovém rámu po přiložení na určovanou plochu vymezují úzké lichoběžníky o konstantní výšce d odpovídající zvolenému rozestupu vláken vlákna jsou barevně odlišená (d, d a 4d) pomocí součtového kružítka se načítají střední příčky lichoběžníků s i rozvor kružítka nastavujeme na jednom z příčných plochových měřítek na jednoduše násobitelnou hodnotu výsledná plocha se určí z počtu celých rozvorů součtového kružítka, které odpovídají plošné jednotce a doměrku, určeného pomocí příčného měřítka

20 P d(s1 + s + s s ) i plocha obrazce se vypočte: P d s i střední příčky d vzdálenost mezi vlákny P nl + z i s i n součet celých rozvorů l plocha jednoho rozvoru z doměrek (zbytek rozvoru)

21 Alderův nitkový planimetr Příčná plochová měřítka

22 Polární planimetr roku jej zkonstruoval Švýcar Amsler skládá se z ramene pevné délky R, které je vymezené pevným pólem P a kloubem O v kloubu O je napojeno rameno proměnné délky r y 3 zakončené snímací značkou H O

23 snímací značku H při měření ručně vedeme po obrysové čáře určované plochy pojízdné rameno nese odečítací zařízení, tvořené měřícím kolečkem K o poloměru ρ na kolečku se při pohybu snímací značky H odvíjí ujetá dráha U a zaznamenávaná na připojené stupnici jako čtení n můžeme odečítat až 1/1 000 otočky kolečka základní podmínkou pro správné měření je podmínka rovnoběžnosti osy kolečka s pojízdným ramenem pro vyloučení přístrojových chyb se provádí měření plochy ve dvou symetrických polohách (následující strana)

24 je-li pól mimo obrazec, určí se výsledná plocha podle P r U π ρr 1000 n pokud pól leží uvnitř, připočítává se k ploše získané měřením konstanta c

25 Postup při planimetrování: nastavení délky objízdného ramene podle tabulky umístíme pól přístroje mimo obrazec > větší přesnost zvolíme výchozí bod na obrazci > přiložíme hrot > přečteme údaj na měřícím kolečku č 1 objedeme hrotem obrazec až do výchozího bodu a přečteme údaj č z rozdílů obou čtení obdržíme hodnotu č č - č 1 plochu vypočteme podle výrazu: P k. č k konstanta pro určité měřítko změníme pól a měření opakujeme výsledná plocha bude průměr z obou měření

26 chceme-li přesnější hodnoty, opravíme výsledky o srážku papíru pro větší obrazce umístíme pól uvnitř > menší přesnost vhodnější je větší obrazec rozdělit a planimetrovat s pólem vně každou plochu samostatně metoda vhodná pro méně přesné práce (projektování, meliorace)

27 Digitální planimetr pohodlné, rychlé a přesné měření měřenou plochu udává číselně vybaven množstvím funkcí (nastavení měřítka mapy, jednotek měření a souřadnicového systému) mimo výměr lze určovat i vzdálenosti (oměrky) a v některých případech můžeme snímat i souřadnice lomových bodů parcely je možné jej propojit s počítačem

28 Vztah mezi plochou na plánu a ve skutečnosti můžeme odvodit z plochy obdélníka: P ab v měřítku 1 : M bude plocha: P P M M a b P M M M P M plocha ve skutečnosti se rovná plocha zjištěná z plánu (mapy) násobená čtvercem měřítka P plocha ve skutečnosti P M plocha v měřítku plánu nebo mapy M měřítkové číslo

29 Převody mezi měřítky a odchylky P plocha, kterou potřebuji (měřítko M) P plocha, kterou jsme určili v měřítku M dovolené odchylky slouží ke kontrole aritmetického průměru vypočteného z několika měření plochy a koeficient vlivu systematických chyb b koeficient vlivu nahodilých chyb P P plocha v m M měřítkové číslo P P P ap + b 0,001P + M M M 5000 P P

30 Srážka papíru pro přesné určení (výpočet) výměry parcely je nutné provést určení srážky papíru jedná se o změnu rozměrů mapových listů a plánů je dána vlastnostmi (strukturou) použitého papíru velikost srážky se mění s časem, proto je třeba ji určit před každým měřením papír plánu a mapy mění své rozměry: stářím vlivem vlhkosti změnami teploty tiskem mapy (místní deformace) srážka není rovnoměrná po celé ploše plánu nebo mapy ale pro praktické účely ji určujeme jako průměrnou hodnotu v %

31 srážce se bráníme: nalepováním plánů a map na hliníkové desky vhodným skladováním použitím kvalitního papíru při tisku mapy velikost srážky se určuje: z rozměrů sekčního rámu mapy ze čtvercové (kilometrové) sítě pouze pro lokální určení (jednotlivé menší parcely) za základní (přesné) rozměry pro výpočet považujeme ty, které byly v době vyhotovení mapy nebo plánu rozeznáváme srážku: délkovou plošnou

32 Délková srážka srážku určíme porovnáním správných a sražených rozměrů rámu mapy ve směru sekčních čar d 1 3 d + d + d 4 v v v + v 4 d- d p 100 ( ) d v - v v 100 ( ) v potom odvodíme procentní srážku pro oba rozměry sekčního rámu (délku p, šířku v)

33 Plošná srážka průměrnou srážku vypočteme v procentech z podélné a příčné procentické srážky podle vztahu: S (%) p (%) + v (%) procentická srážka nám udává opravu v m na 100 m planimetrované plochy Výpočet přesné plochy parcely: sm Sp P P m P P + S m dv d v S p P přesná plocha parcely (opravená o plošnou srážku) P plocha parcely určená z mapy nebo plánu (zatížená chybou ze srážky papíru) S p plošná srážka parcely S m plošná srážka listu mapy P m přesná plocha listu mapy

34 Určení srážky pomocí čtvercové sítě d 1 d + d v 1 v + v další postup je shodný jako v předcházejícím případě (určení srážky ze sekčního rámu)

35 Výpočet objemů při zemních pracích se používá název kubatura pro určení množství násypové nebo výkopové zeminy tělesa pravidelného tvaru (krychle, hranol, kvádr, jehlan, kužel) provedeme jednoduchá délková měření výpočet podle známých geometrických vzorců tělesa složitější, ohraničené nepravidelným povrchem pomocí příčných profilů pomocí kótované čtvercové sítě (pomocí výšek) pomocí vrstevnicového plánu

36 Určení objemu pomocí příčných profilů 1. Pro tělesa s malými rozdíly ploch profilů terén probíhá mezi profily pravidelně plochy profilů se určují planimetrem V 1, ½(P 1 + P ). d 1, P 1, P plochy sousedních profilů d 1, vzdálenost sousedních profilů. Pro dlouhá tělesa se stejnými odstupy profilů V ½ d. (P z + n. P s + P k ) P z, P k plocha začátečního a koncového profilu P s průměr z n mezilehlých profilových ploch 3. Pro tělesa s velkými rozdíly ploch profilů V 1, ⅓ d 1, (P 1 + P + P 1. P ) přesnost výpočtu kubatur závisí na hustotě příčných profilů a na tvaru terénu metoda není vhodná pro členitý terén > hodně profilů > časově náročné > nehospodárné

37 Určení objemu pomocí kótované čtvercové sítě pro stavby s velkou plochou vytvoříme čtvercovou síť se stranami podle členitosti terénu ke každému vrcholu napíšeme: výšku terénu v t (určenou plošnou nivelací) - dolu navrhovanou výšku v u (červeně) - nahoru pracovní výšku h (i se znaménkem) - vlevo h v u v t interpolací mezi sousedními pracovními výškami zjistíme body nulové čáry - odděluje násypové a výkopové plochy kubaturu počítáme v každém čtverci zvlášť pro výkop i násep V P (h 1 + h + +h n ) / n v členitém terénu je třeba zaměřit i lomové čáry přesnost výpočtu závisí na rozměrech sítě a tvaru plochy

38 Náčrt čtvercové sítě

39 Určení objemu z vrstevnicového plánu sestrojení nulové čáry spojením průsečíků vrstevnic terénu a projektu o stejných výškách 1. Pomocí ploch uzavřených terénními a návrhovými vrstevnicemi plochy P 1 až P n se určí planimetrem V v i {⅓P 1 + ½ (P 1 + P ) + ½(P + P 3 ) + + ½(P n-1 + P n ) + ⅓P n } v i vrstevnicový interval v metrech pro méně náročné práce platí: V v i (P 1 + P P n-1 + P n ). Rozdílem objemů určených podle návrhových a terénních vrstevnic 3. Pomocí násypových a výkopových vrstev 4. Zakreslením profilů nebo čtvercové sítě do vrstevnicového plánu další výpočty viz. předchozí strany

40 Dělení pozemků dělení pozemků se provádí, potřebuje-li: rozdělit pozemek na několik stejných částí oddělit z pozemku část o určité dané výměře v zemědělské a lesnické praxi se tyto úlohy vyskytují: při vytyčování osevních ploch a ploch pro sadbu při oddělování pokusných polí a jiných ploch při rozdělení lesní školky, zahrady, sadu atd. než začneme s dělením pozemku, musíme vhodným způsobem určit a ověřit jeho výměru: zaměřit v terénu a potom vypočítat výměru odměřit výměru z plánu

41 způsob dělení závisí na: tvaru pozemku (trojúhelník, lichoběžník, rovnoběžník, mnohoúhelník) na směru vedení dělící přímky Postup při oddělování zaměření pozemku pravoúhlou metodou (ortogonální) vyhotovení měřického náčrtu vykreslení situace v měřítku z měr měřického náčrtu ze situačního plánu určíme plochu rozdělením na trojúhelníky a změřením jejich základen a výšek planimetricky

42 Pozemek tvaru trojúhelníku 1. oddělit část o ploše p, přímou hranici vést z bodu P změříme všechny strany (a, b, c), výšky v a v 1 vypočteme plochu: P s.(s-a).(s-b).(s-c) s (a+b+c) / kontrolně: P (z.v) / vypočteme základnu x AQ z rovnice: p (x. v 1 ) / x p / v 1 tuto vzdálenost naneseme na stranu AB a dostaneme druhý bod dělící přímky Q

43 . oddělit plochu p přímkou QP rovnoběžnou se stranou BC změříme všechny strany v trojúhelníku a výšku v vypočteme plochu: P s.(s-a).(s-b).(s-c) s (a+b+c) / kontrolně: P (z.v) / z podobnosti trojúhelníků ABC a AQP vypočteme strany a 1, b 1, c 1 trojúhelníka AQP

44 platí, že plochy podobných trojúhelníků jsou úměrné čtvercům stejnolehlých stran P : p a : a 1 > P : p b : b 1 > P : p c : c 1 > plocha trojúhelníka ABC P plocha trojúhelníka AQP p a 1 a. p/p b 1 b. p/p c 1 c. p/p délku b 1 naneseme na stranu AC a c 1 na stranu AB spojnice koncových bodů b 1, c 1 je hledaná přímka QP pro kontrolu přeměříme > délka musí být shodná s a 1

45 3. oddělit plochu p přímkou vedoucí z bodu C trojúhelníky ABC a ACP mají společnou výšku v plochy obou trojúhelníků jsou úměrné základnám c, c 1 P : p c : c 1 > c 1 c. p/p délku c 1 naneseme na stranu AB a dostaneme bod P

46 Pozemek tvaru rovnoběžníku rovnoběžníkový pozemek: čtverec - obdélník - kosočtverec - kosodélník oddělit plochu p od rovnoběžníku musíme určit výšku v 1 rovnoběžníka ABFE stranu AB změříme vzorec pro výpočet plochy rovnoběžníka: p z. v 1 AB. v 1 v 1 p/z p/ab na straně AB vztyčíme na obou koncích kolmice o délce v 1 prodloužená přímka obou konců kolmic protne strany AD a BC v bodech E a F spojnice těchto bodů je hledanou dělící příčkou

47 Pozemek tvaru lichoběžníku oddělit plochu p tak, aby dělící příčka byla rovnoběžná se stranou AB oddělovanou část plochy p považujeme za rovnoběžník o základně a AB a výšce v 1 vypočteme: v 1 p/a výšky naneseme na konce základny a, spojíme a určíme body M 1 a N 1 změříme M 1 N 1 a 1 a vypočteme plochu p 1 p 1 ½(a+a 1 ). v 1 vypočteme rozdíl mezi plochou p, kterou máme oddělit a již oddělenou plochou p 1 p p p 1 o tento rozdíl musíme předběžně oddělenou část hranicí M 1 N 1 zvětšit nebo zmenšit vycházíme z lichoběžníku M 1 N 1 NM, který považujeme za rovnoběžník o známé ploše p a základně a 1

48

49 vypočteme výšku v a naneseme od základny a 1 prodloužená přímka konců výšek protne strany AD a BC v bodech MN tyto body nám určují definitivní dělící přímku (základnu a ) změříme tuto základnu a pro kontrolu vypočteme plochu odděleného lichoběžníka ABNM pokud by se vyskytl znovu rozdíl mezi plochami, vypočetli bychom z něho novou výšku o tuto výšku bychom znovu posunuli dělící přímku MN

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005)

VÝPOČET VÝMĚR. Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) VÝPOČET VÝMĚR Zpracováno v rámci projektu CTU 0513011 (2005) Výměry se určují: Početně: - z měr odsunutých z mapy (plánu), - z měr, přímo měřených v terénu, - z pravoúhlých souřadnic, - z polárních souřadnic.

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři

Více

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Více

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce

Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Geodézie přednáška 3 Geodetické polohové a výškové vytyčovací práce Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Geodetické vytyčovací práce řeší úlohu

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

Otázky z kapitoly Stereometrie

Otázky z kapitoly Stereometrie Otázky z kapitoly Stereometrie 10. února 015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 Metrické vlastnosti (30 otázek) 1.1 Obtížnost 1 (16 otázek)....................................... 1. Obtížnost (14

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm.

Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky krychle o hraně délky a cm. 8 cm u s = 11,3137085 cm pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ABC u t = 13,85640646 cm opět pomocí Pythagorovy věty z pravoúhlého ACA'

Více

OVMT Měření základních technických veličin

OVMT Měření základních technických veličin Měření základních technických veličin Měření síly Měření kroutícího momentu Měření práce Měření výkonu Měření ploch Měření síly Hlavní jednotkou síly je 1 Newton (N). Newton je síla, která uděluje volnému

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Matematika I: Aplikované úlohy

Matematika I: Aplikované úlohy Matematika I: Aplikované úlohy Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava 260. Řy 283 - Pálkař Zadání Pálkař odpálí míč pod úhlem α = 30 a rychlostí

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu Geodézie v podzemních prostorách 10 úloha/zadání U1-U2/190-4 název úlohy Připojovací

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Očekávané výstupy z RVP ZV Ročníkové výstupy Učivo Průřezová témata a přesahy Číslo a početní operace využívá při

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

8. Stereometrie 1 bod

8. Stereometrie 1 bod 8. Stereometrie 1 bod 8.1. Poměr objemů pravidelného čtyřbokého hranolu a jemu vepsaného válce je 4 : π b) : π c) : π d) : π e) 4 : π. 8.. Zmenšíme-li poloměr podstavy kužele o polovinu a jeho výšku zvětšíme

Více

SYLABUS 6. PŘEDNÁŠKY Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE

SYLABUS 6. PŘEDNÁŠKY Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE SYLABUS 6. PŘEDNÁŠKY Z INŽENÝRSKÉ GEODÉZIE (Polohové vytyčovací sítě, Polohové vytyčování) 3. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. listopad 2015

Více

Stereometrie pro učební obory

Stereometrie pro učební obory Variace 1 Stereometrie pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz 1. Vzájemná poloha prostorových

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.

1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. . Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. Vyjádřete zlomkem, jakou část druhého obdélníku tvoří zatmavená plocha..

Více

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, kladná a záporná, dělitelnost, osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Správa na úseku katastru nemovitosti

Správa na úseku katastru nemovitosti Správa na úseku katastru nemovitosti Vysvětlení pojmů nejčastěji používaných v katastru nemovitostí POJEM BONITOVANÁ PŮDNĚ EKOLOGICKÁ JEDNOTKA (BPEJ) BUDOVA BUDOVA ROZESTAVĚNÁ BYT BYT ROZESTAVĚNÝ základní

Více

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr

Fyzikální praktikum 2. 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 9. Závislost indexu lomu skla na vlnové délce. Refraktometr Úkoly k měření Povinná část Měření

Více

Zápis čísla v desítkové soustavě. Číselná osa Písemné algoritmy početních operací. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly

Zápis čísla v desítkové soustavě. Číselná osa Písemné algoritmy početních operací. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Obor vzdělávací oblasti: Matematika Ročník: 1. Výstupy kompetence Učivo Průřezová témata,přesahy Číslo a početní operace VDO Občanská společnost a škola Obor

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Obsahové vymezení Vyučovací předmět Matematika zpracovává vzdělávací obsah oboru Matematika a její aplikace z RVP

Obsahové vymezení Vyučovací předmět Matematika zpracovává vzdělávací obsah oboru Matematika a její aplikace z RVP 4 MATEMATIKA 4.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vyučovací předmět Matematika zpracovává vzdělávací obsah oboru Matematika a její aplikace z RVP ZV. Na 1. stupni ZŠ předmět zprostředkovává

Více

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce) MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

ŠVP ZV LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika na II. stupni

ŠVP ZV LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika na II. stupni ŠVP ZV LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika na II. stupni Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vyučovací předmět Matematika je tvořen z obsahu vzdělávacího

Více

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy)

Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Výtok kapaliny otvorem ve dně nádrže (výtok kapaliny z danaidy) Úvod: Problematika výtoku kapaliny z nádrže se uplatňuje při vyprazdňování nádrží a při nejjednodušším nastavování konstantních průtoků.

Více

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata číslo a početní operace 1. používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ PRAVIDLA PRO KÓTOVÁNÍ SOUČÁSTÍ

Více

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady

ELEKTRICKÉ SVĚTLO 1 Řešené příklady ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V PRAE FAKULTA ELEKTROTECHNCKÁ magisterský studijní program nteligentní budovy ELEKTRCKÉ SVĚTLO Řešené příklady Prof. ng. Jiří Habel DrSc. a kolektiv Praha Předmluva Předkládaná

Více

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A 04-ŠVP-Matematika-P,S,T,K strana 1 (celkem 11) 1. 9. 2014 P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A Charakteristika předmětu: Matematika vytváří postupným osvojováním matematických pojmů, útvarů, algoritmů a

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM.

Zadání. stereometrie. 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK =3 AK ; M EH; HM =3 EM. STEREOMETRIE Zadání 1) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KS GHM; K AB; BK = AK ; M EH; HM = EM ) Sestrojte řez pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou KLM; K AB; BK = AK ; L CD; DL = CL ; M

Více

5.1.2.1. Matematika. 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace

5.1.2.1. Matematika. 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5.1.2.1. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu na 1. stupni: Vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, která je v základním

Více

5.3. Matematika a její aplikace

5.3. Matematika a její aplikace 5.3. Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast je realizována v předmětu Matematika. 5.3.1. Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

STEREOMETRIE, TĚLESA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky STEREOMETRIE, TĚLESA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny

Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY Laboratorní práce č. 1: Určení výtokové rychlosti kapaliny Přírodní vědy moderně a interaktivně SEMINÁŘ FYZIKY FYZIKÁLNA 2. ročník šestiletého studia

Více

VYHLÁŠKA o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Vymezení pojmů

VYHLÁŠKA o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Vymezení pojmů Strana 164 Sbírka zákonů č.22 / 2011 22 VYHLÁŠKA ze dne 27. ledna 2011 o způsobu stanovení pokrytí signálem zemského rozhlasového vysílání šířeného ve vybraných kmitočtových pásmech Český telekomunikační

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Technická mechanika - Statika

Technická mechanika - Statika Technická mechanika - Statika Elektronická učebnice Ing. Jaromír Petr Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Statika tuhých těles...

Více

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r. 7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA Mgr. Dana Rauchová Obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace je rozdělen na čtyři tématické

Více

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =

f(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) = Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

5.3.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

5.3.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu 5.3.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Předmět: Matematika Ročník: 1. Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo Přesahy a vazby (mezipředmětové vztahy, průřezová témata) používá přirozená čísla

Více

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K

Akustika. Rychlost zvukové vlny v v prostředí s hustotou ρ a modulem objemové pružnosti K zvuk každé mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem akustika zabývá se fyzikálními ději spojenými se vznikem zvukového vlnění, jeho šířením a vnímáním

Více

5. UČEBNÍ OSNOVY. 5.2 Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE. Blok předmětů: MATEMATIKA.

5. UČEBNÍ OSNOVY. 5.2 Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE. Blok předmětů: MATEMATIKA. 5. UČEBNÍ OSNOVY 5.2 Matematika a její aplikace 5.2.1 Matematika Blok předmětů: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Název předmětu: MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Vzdělávací oblast Matematika a

Více

SBÍRKA ZÁKONŮ. Ročník 2008 ČESKÁ REPUBLIKA. Částka 51 Rozeslána dne 15. května 2008 Cena Kč 80, O B S A H :

SBÍRKA ZÁKONŮ. Ročník 2008 ČESKÁ REPUBLIKA. Částka 51 Rozeslána dne 15. května 2008 Cena Kč 80, O B S A H : Ročník 2008 SBÍRKA ZÁKONŮ ČESKÁ REPUBLIKA Částka 51 Rozeslána dne 15. května 2008 Cena Kč 80, O B S A H : 161. Nařízení vlády o technickém plánu přechodu zemského analogového televizního vysílání na zemské

Více

Nauka o důlních škodách II. díl

Nauka o důlních škodách II. díl VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Hornicko geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví Ing. Václav Mikulenka, PhD. Nauka o důlních škodách II. díl Ostrava 2008 ISBN 978 80

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin

Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úloha č. 2 Měření kinematické a dynamické viskozity kapalin Úkoly měření: 1. Určete dynamickou viskozitu z měření doby pádu kuličky v kapalině (glycerinu, roztoku polysacharidu ve vodě) při laboratorní

Více

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin

Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní a objemové snímače průtoku tekutin Rychlostní snímače průtoku Rychlostní snímače průtoku vyhodnocují průtok nepřímo měřením střední rychlosti proudu tekutiny v STŘ. Ta závisí vzhledem k rychlostnímu

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

5.4.1 Mnohostěny. Předpoklady:

5.4.1 Mnohostěny. Předpoklady: 5.4.1 Mnohostěny Předpoklady: Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar, jehož hranicí je uzavřená plocha. Hranoly Je dán n-úhelník A... 1A2 A n (řídící n-úhelník) ležící v rovině ρ a

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět se vyučuje jako samostatný předmět v 1. - 5. ročníku 5 hodin týdně. Vzdělávání v matematice zaměřeno

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_15 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 0520 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Geometrická optika - Ohniskové vzdálenosti

Více

Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem 5. 8. 5. 2012

Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem 5. 8. 5. 2012 Projekt OPVK - CZ.1.07/2.3.00/09.0017 MATES - Podpora systematické práce s žáky SŠ v oblasti rozvoje matematiky Výjezdní soustředění matematických talentů Karlov pod Pradědem 5. 8. 5. 2012 ŘEŠITELNOST

Více

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby

Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Předmět: MATEMATIKA Ročník: 3. Časová dotace: 5 hodin týdně Očekávané výstupy podle RVP ZV Učivo Přesahy a vazby Používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru,

Více

2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie pro ZAKA

2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie pro ZAKA 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie pro ZAKA Přednáška č.8 Mapy, rozdělení map, státní mapové dílo Mapa výsledkem většiny mapovacích prací je mapa, plán případně mapové dílo zmenšený generalizovaný

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 (Měření délek) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. říjen 2015 1 Geodézie 1 přednáška č.5 MĚŘENÍ DÉLEK Podle

Více

6.17. Mapování - MAP. 1) Pojetí vyučovacího předmětu

6.17. Mapování - MAP. 1) Pojetí vyučovacího předmětu 6.17. Mapování - MAP Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 6 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího předmětu a)

Více

Matematika a geometrie

Matematika a geometrie Počítání 5001.ID053 - Barevná pravítka Z nerozbitného plastového materiálu, s různými barvami. Rozměry pravítek jsou všechny násobky jednotek a umožňují ověřování a porovnávání matematických konceptů.

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Osvětlování a stínování

Osvětlování a stínování Osvětlování a stínování Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 21. dubna 2010 Obsah 1 Vlastnosti osvětlovacích modelů 2 Světelné zdroje a stíny 3 Phongův osvětlovací model 4 Stínování 5 Mlha Obsah 1 Vlastnosti

Více

Zrcadlení v lineární perspektivě

Zrcadlení v lineární perspektivě Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Zrcadlení v lineární perspektivě Vypracoval: Lukáš Rehberger Třída: 8. M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji,

Více

6.1 Základní pojmy. 6.1.1 Zákonné měřicí jednotky.

6.1 Základní pojmy. 6.1.1 Zákonné měřicí jednotky. 6. Měření úhlů. 6.1 Základní pojmy 6.1.1 Zákonné měřicí jednotky. 6.1.2 Vodorovný úhel, směr. 6.1.3 Svislý úhel, zenitový úhel. 6.2 Teodolity 6.2.1 Součásti. 6.2.2 Čtecí pomůcky optickomechanických teodolitů.

Více

ÚPLNÉ ZNĚNÍ. Úvodní ustanovení

ÚPLNÉ ZNĚNÍ. Úvodní ustanovení ÚPLNÉ ZNĚNÍ VYHLÁŠKA č. 26/2007 Sb. ze dne 5. února 2007, kterou se provádí zákon č. 265/1992 Sb., o zápisech vlastnických a jiných věcných práv k nemovitostem, ve znění pozdějších předpisů, a zákon č.

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Astronomická pozorování

Astronomická pozorování KLASICKÁ ASTRONOMIE Astronomická pozorování Základní úloha při pozorování nějakého děje, zejména pohybu těles je stanovení jeho polohy (rychlosti) v daném okamžiku Astronomie a poziční astronomie Souřadnicové

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie Vypracoval: Barbora Mrázová Třída: 8.M Školní rok: 2014/2015 Seminář: Deskriptivní geometrie Zadavatel:

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Projekty do předmětu MF

Projekty do předmětu MF Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Katedra optiky ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Projekty do předmětu MF Vypracoval: Miroslav Mlynář E-mail: mlynarm@centrum.cz Studijní program: B1701 Fyzika Studijní

Více

Matematika a její aplikace Matematika - 2.období

Matematika a její aplikace Matematika - 2.období Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Matematika a její aplikace Matematika - 2.období Charakteristika předmětu V předmětu Matematika je realizován obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace,

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, trojúhelníky a čtyřúhelníky, výrazy 1, hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

4.1 Shrnutí základních poznatků

4.1 Shrnutí základních poznatků 4.1 Shrnutí základních poznatků V celé řadě konstrukcí se setkáváme s případy, kdy o nosnosti nerozhoduje pevnost materiálu, ale stabilitní stav rovnováhy. Tuto problematiku souhrnně nazýváme stabilita

Více