Gymnázium Jana Nerudy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gymnázium Jana Nerudy"

Transkript

1 Gymnázium Jana Nerudy Závěrečná práce studentského projektu Metoda Monte Carlo 2014 Marek Šedivý a Noémie Gauthier

2 Prohlášení o vypracování Prohlašujeme, že jsme závěrečnou práci na téma Metoda Monte Carlo vypracovali samostatně s použitím uvedené odborné literatury a pramenů. Datum: Podpis.

3 Anotace Tématem naší práce je popis metody Monte Carlo a její aplikace v ekonomii. Nejdříve se zaměříme na základní pojmy nutné pro pochopení a následnou aplikaci metody Monte Carlo. Následně popíšeme jednu ze základních aplikací této metody a představíme naše experimentální provedení této aplikace. Poté se budeme zabývat historií vzniku této metody a na to navážeme stanovením podmínek pro aplikaci metody Monte Carlo na burzovní obchodování. Závěrem je sestavení algoritmu fungujícím na principu této metody.

4 Obsah Anotace Úvod Pojmy a Algoritmus b Náhodná a pseudonáhodná čísla c Pravděpodobnost Buffonova jehla a Teorie b Experiment Historie Vlastní projekt a Určení kritérii b Algoritmus c Výsledky d Ověření výsledků Závěr Použitá literatura... 16

5 1. Úvod Motivací k výběru metody Monte Carlo byl fakt, že jsme jako téma, hledali nějaký matematický postup, který bychom mohli dále aplikovat v ekonomii. Následovalo stanovení problému, který by byl vhodný pro využití této metody. Právě při tomto jsme narazili na metodu Monte Carlo. Ta se od svého vynalezení ve 40. letech vědci pracujícími na projektu Manhattan stala jednou z nejpoužívanějších metod k určení rizikovosti na akciových trzích. Mimoto má obrovské možnosti uplatnění i v jiných vědních disciplínách (např. fyzice, nebo biologii). Naše rozhodnutí bylo aplikovat tuto metodu při nákupu akcií. Cílem práce je tedy výpočet množství akcií, které splňují námi daná kritéria. Kritéria jsme si určili na základě různých údajů o akciích, snažili jsme vybrat taková, aby akcie nebyla ani příliš riziková, ale aby měla i dostatečný zisk. Metoda je založena na pravděpodobnosti a pseudonáhodných číslech. Budeme tedy generovat náhodná čísla a pomocí algoritmu je rozřadíme, abychom zjistili, kolik akcií by mělo teoreticky naše kritéria splňovat.

6 2. Pojmy V této kapitole definujeme a názorně vysvětlíme základní pojmy, nezbytné pro pochopení a možnost následné aplikace metody Monte Carlo. 2. a Algoritmus Algoritmus je postup, který se má dodržovat při řešení daného problému za daných podmínek. Rozlišujeme dva základní druhy algoritmů a to deterministický a stochastický. Při užití deterministického algoritmu víme, že daný jev nastane za předpokladu, že splníme soubor předem známých podmínek. Naopak splnění všech podmínek u algoritmu stochastického nám dává pouze možnost, že daný jev nastane. Díky tomu můžeme následně počítat pravděpodobnost daného jevu. Stochastické algoritmy jsou využity v metodě Monte Carlo. 2. b Náhodná a pseudonáhodná čísla Náhodná čísla jsou čísla, v jejichž výskytu nemůžeme, na základě předchozích čísel určit číslo následující. Zjednodušeně řečeno, nedá se určit posloupnost, která by vygenerovala danou řadu náhodných čísel. Můžeme je generovat například za využití fyzikálních jevů - radioaktivního rozpadu, šumu elektronky, nebo abecedním seřazením měst s počtem obyvatel nad libovolnou mez. Tyto postupy jsou ovšem časově a v některých případech i finančně náročné. Proto byla vymyšlena čísla pseudonáhodná. Ta jsou sice generována na základě nějaké dané posloupnosti, ale jejich výskyt můžeme považovat za dostatečně náhodný. Také jsou rovnoměrně rozdělena na intervalu, do kterého je generujeme. To je důležité právě při jejich užití v metodě Monte Carlo. Víme-li, že daný jev můžeme modelovat v intervalu [a; b] a v jeho podintervalu [c; d] nastane jev příznivý, tak je důležité, aby čísla, která daný jev modelují, byla rovnoměrně rozdělena na intervalu *a; b+ a ne, aby byla například koncentrována zejména v *c; d+, to by totiž mělo za následek posunutí výsledku nesprávným směrem (příznivý jev by v daném modelu nastal víckrát, než by tomu bylo ve skutečnosti) 2. c Pravděpodobnost Pravděpodobnost jsme definovali dvěma základními způsoby a to - 1) Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti Může-li určitý jev (proces) vykázat n různých disjunktních (vzájemně se vylučujících) výsledků, které jsou stejně možné a jestliže m z těchto pokusů má za následek nevyhnutelně realizaci určitého sledovaného jevu A, a zbylých n-m výsledků, ji vylučuje, potom pravděpodobnost jevu A položíme rovnu číslu m/n a píšeme, což se dá zjednodušeně reformulovat takto pravděpodobnost je poměr počtu případů sledovanému jevu příznivých, k počtu všech případů možných.

7 Její aplikaci můžeme ukázat na jednoduchém příkladu Házíme-li dvěma kostkami (červenou a modrou), přičemž červená udává počet desítek a modrá udává počet jednotek výsledného čísla, jaká je pravděpodobnost, že nám padne prvočíslo (jev A)? Nejdříve si vyjádříme n, tedy počet všech možných výsledků. Protože víme, že na každé kostce nám může padnout 6 různých čísel, můžeme obdržet n různých čísel. Přičemž - Následně vyhodnotíme, kolik z daných jevů odpovídá jevu A, tedy že výsledné číslo je prvočíslo. Tyto jevy si označíme jako m. Všechna prvočísla, která nám mohou padnout, jsou 11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61. (mohou nám vyjít jen prvočísla, která jsou větší 10 a menší 66, přičemž číslo na místě jejich jednotek musí být menší 6). Z výše uvedeného víme, že n = 36 a m = 8. Tudíž pravděpodobnost, že nastane jev A je 2) Geometrická definice pravděpodobnosti - máme množinu Ω (např. objem, obsah, délka) a její podmnožinu ω, pak pravděpodobnost volby bodu z množiny ω (označíme jako jev A),. Její aplikaci můžeme opět ilustrovat na následujícím příkladu Máme-li přímku D: y = x a generujeme-li náhodná čísla x na intervalu *0;3+ a y na intervalu od *0;3+, která nám udávají souřadnice bodu. Jaká je pravděpodobnost, že se takto generovaný bod bude nacházet pod přímkou D (jev B)? Zadání si můžeme znázornit na následujícím obrázku (Ob. 1) Otázka by se tedy dala položit také takto Jaká je pravděpodobnost, že se bude generovaný bod (výše popsaným způsobem) nacházet v trojúhelníku ABC?

8 Tudíž Nejdříve si vyjádříme hodnotu Ω. Ta je rovna obsahu čtverce ABCD. To je čtverec o straně 3. Následně vyjádříme hodnotu ω. Ta je rovna obsahu plochy pod přímkou D. K zjištění tohoto obsahu můžeme využít integrál. Výše uvedeným postupem jsme zjistili, že Ω = 9 a ω =. Tudíž 3. Buffonova jehla Tato kapitola se bude věnovat několik set let starému pokusu sloužícímu k aproximaci čísla π. Nejprve začneme vysvětlením teorie tohoto pokusu. Následně tento experiment sami vyzkoušíme. 3. a Teorie Pravděpodobnost se dá využít kupříkladu v matematice, ekonomii, či při předvídání jevů v sociologii. Jedno z využití je i aproximace hodnoty čísla π. To se podařilo francouzskému matematikovi Jeanu Louisu Leclerc de Buffon. Ten vymyslel úlohu, díky které je možné aproximovat hodnotu čísla π, díky jeho vlastnostem. George Louis Leclerc de Buffon (1707 Montbard Paris) Francouzský naturalista spisovatel. Zabýval se fyzikou, biologii a matematikou. Podílel se na tvorbě encyklopedií. Je také autorem pokusu s názvem Buffonova jehla. Buffon řešil následující úlohu: Nechť jsou jehly o stejné délce d zcela náhodně házeny na rovnou podložku. Podložka musí být nalinkována rovnoběžnými čarami, vzdálené od sebe stejnou vzdálenosti l pro kterou platí, že d <l. Tímto získáme zcela náhodně ležící jehly, jejichž vzdálenost středu k nejbližší čáře je zcela nahodilá, stejně tak jako jejich orientace, tyto dvě proměnné jsou na sobě nezávislé. Vzdálenost středu, s, jehly k nejbližší čáře nazvěme x a její orientace je dána úhlem α (viz. Ob. 2). Počítáme s tím, že každá jehla může protnout jen jednu čáru (d < l).

9 Je tedy možné pozorovat, že jehla protne čáru jen v případě, že (vyšrafovaná část). Musíme tedy najít pravděpodobnost jevu P ). Pro usnadnění použijeme úhel β jako obecný úhel a znázorníme si všechny možnosti 2 proměnných x (na ose x) a α (na ose α) (Ob. 3). Využijeme tedy souřadnice x a α a vymezíme si část vnitřku obdélníku OPQR, který toto splňuje, tato část je na obrázku vyšrafovaná. Vlastně jsme přiřadili ke každé hodnotě α hodnotu x pro kterou platí, že jehla protne čáru. Musí pro ně tedy platit nerovnost a. Jelikož celý obdélník nám ukazuje všechny možnosti dopadu jehly, a tyto možnosti jsou všechny stejně pravděpodobné, musíme zjistit jaká je pravděpodobnost, že jehla bude splňovat výše uvedené nerovnosti. Tato pravděpodobnost je rovna poměru vyšrafované plochy obdélníku OP a celé jeho plochy. Z obrázku odvodíme že To znamená, že pokud budeme házet jehly o délce d, na linkovaný povrch, kde vzdálenosti mezi čárami jsou rovny d, pravděpodobnost úspěšných hodů bude. Lze tedy jednoduše provést pokus a odvodit číslo π neúspěšných jehel (jehla, která neprotly jednu z rovnoběžných čar)., tedy poměr úspěšných jehel (jehly, která protly čáru) a 3. b Experiment K našemu experimentu jsme použili papír o velikosti A4 a 285 špendlíků. Určili jsme si vzdálenost mezi čáry jako kde je délka jehly. Díky tomuto kroku si můžeme upravit výsledný poměr. (Záznam experimentu je přiložen na poslední stránce této práce). Po náhodném rozhození jehel po papíře jsme měli 216 jehel, které neproťaly žádnou čáru a 69 jehel které proťaly.. Tento výsledek je menší než číslo π, které se rovná 3,1416, ovšem změna jedné jehly (přechod z úspěšných do neúspěšných) by nám dal výsledek 3,1911, který je naopak větší než π.

10 4. Historie Za metodou Monte Carlo tak, jak jí známe dnes, stojí dva muži - Stanislaw Marcin Ulam a Jon von Neumann. Právě jejich spolupráce na amerických vědeckých projektech je přivedla na tento nápad. Jon von Neumann (občas jako John von Neumann) je původem maďarský matematik, narozený v roce 1903 na území Rakouska Uherska. Věnoval se kvantové teorii a byl průkopníkem teorie her. V roce 1929 dostal nabídku učit kvantovou teorii na Princetonu. Tam se stal prvním profesorem v Ústavu pro pokročilé studium (Institute for Advanced Study). Roku 1943 byl přizván Robertem Oppenheimrem k projektu Manhatann. (Ob. 4) (Ob. 5) Stanislaw Marcin Ulam je původem Polák, narozený 1909 na území tehdejšího Rakouska Uherska. Po získání doktorátu, v roce 1933, ve Lvově (nynější Lviv) byl pozván Jonem von Neumannem do spojených států, aby pracoval ve vědeckém ústavu na Princetonu. Po té učil na různých univerzitách, až nakonec získal americké občanství a mohl být zapojen do institutu Los Alamos, kde pracoval na jaderné bombě v rámci projektu Manhattan. Největší spolupráce těchto dvou začala právě díky výzkumu v institutu Los Alamos. Vědci potřebovali spočítat vzdálenost, kterou neutrony mohou urazit, skrze různé materiály. I přes všechna data a výzkumy to nemohli fyzici z Los Alamos spočítat. Problém totiž nastal ve chvíli, kdy se neutron pohltí při srážce s jiným nukleonem. Ulama napadla možnost vypočítat pravděpodobnost odehratelnosti solitairu, tedy pravděpodobnost, že při rozložení karet je možné hru odehrát. To mělo být uskutečněno díky ENIACu (Electronic Numerical Integrator And Computer), na kterém právě pracovali, Ulam s Von Neumannem. Později se rozhodli aplikovat i na neutrony a jejich trasu. Sestavili experiment, ve kterém použili na simulaci cesty atomu rulety. Věděli, že k pohlcení dojde v jednom případu ze 100 a tudíž 1 ze sta políček na ruletě označili jako pohlcení. Následně roztočili ruletu, pokud padlo políčko pohlcení, byl to konec života neutron. V opačném případě se z dalších otočení ruletou určil směr a rychlost neutronu (vše bylo tedy náhodné). Ten samý postup se opakoval stále, dokud nenastalo pohlcení neutronu.

11 Při hledání jména pro svou metodu se inspirovali Ulamovým strýčkem, velkým gamblerem v Monte Carlu. Následně Neumann vymyslel výpočet pseudonáhodných čísel, která je možné využít při aplikování této metody. Od té doby metoda Monte Carlo našla uplatnění v mnoha různých disciplínách, namátkou můžeme zmínit biologii (simulace vývoje hmyzu), fyziku (simulace života neutronu), ekonomie (hodnocení rizikovosti akcií na burze). Tyto problémy musí jednak splnit některé podmínky spojité rozložení pravděpodobnosti a jednak musíme znát pravidla, kterými se daná problematika řídí. Jako jsou například u života neutronu podmínky jeho pohlcení a odražení od určitých prvků. 5. Vlastní projekt Jak je řečeno již v anotaci, naším cílem bylo aplikovat metodu Monte Carlo na nějaký ekonomický problém, a to ideálně z burzovního prostředí. Jako samotný problém k řešení jsme si stanovili odhad počtu akcií, které odpovídají námi zadaným kritériím pro nákup. 5. a Určení kritérii Prvně bylo nutné najít kritéria, podle kterých chceme hodnotit akcie. Vybrali jsme si 4 základní charakteristiky, které jsou veřejně dostupné pro veškeré akcie. Pro stanovení intervalů, ve kterých se daná kritéria pohybují, jsme využili server Patria Direct: 1. Cena akcie je reálná suma, kterou člověk zaplatí za jednu akcii. Jejich rozmezí je velmi různé ovšem určili jsme si rozmezí Kč a podinterval Kč. 2., podle tabulek se následně dá určit jak riziková akcie je, zpravidla čím vyšší P/E poměr tím vyšší rizikovost. Kvalita akcie se dá určit z následující tabulky. My jsme si stanovili podinterval z celkového intervalu 0-50, tudíž chceme potencionálně obchodovat s akciemi, které se považují za stabilní. P/E poměr Závěr vyplívající pro akcii dané firmy Buďto je akcie dané firmy podhodnocena, nebo jsou zisky dané firmy v úpadku. Pro většinu akcií se P/E poměr pohybující v tomto intervalu považuje za dobrou hodnotu.

12 Akcie dané společnosti je buď nadhodnocená, nebo zisk dané společnosti vzrostl oproti posledním publikovaným výsledkům. Společnost, od níž se očekává v budoucnosti velký růst, nebo její letošní zisk byl velmi nízký. Případně mohou její akcie být obětí spekulace. zdroj 3. Dividenda suma, která se vyplácí akcionářům dané firmy ve stanovený termín (tzv. rozhodný den). Její výše není přímo závislá na tom, zda akcie rostla nebo klesala, ale na rozhodnutí valné hromady dané firmy. Zde jsme si stanovili celkový interval a podinterval Tržní kapitalizace tržní hodnota akciové společnosti. Spočítáme ji tak, že objem všech akcií dané firmy na trhu vynásobíme aktuální cenou jedné akcie. Celkový interval byl My jsme si stanovili podinterval b Algoritmus Na základě výše zmíněných kritérií a seřazení jich dle pořadí našeho rozhodování získáme algoritmus. Ten je znázorněn na dolním schématu.

13 Zde vidíme samotný program (psaný v jazyce Java) vycházející z našeho algoritmu function vypocet(){ var pokusy = ; (1) var vyhrajenakupakcie = 0; var prohrajenakupakcie = 0; for(var i = 0;i<pokusy;i++){ (2) var num1 = Math.random() * (1000); var num2 = Math.random() * (50); var num3 = Math.random() * (1000); var num4 = Math.random() * (190)+10; if (nakupakcie(num1, num2, num3, num4) == true) { vyhrajenakupakcie += 1; (3) }else { prohrajenakupakcie += 1; (4)

14 } } Logger.log("Nakup:"+vyhrajeNakupAkcie); Logger.log("Prodej:"+prohrajeNakupAkcie) } function nakupakcie(num1, num2, num3, num4) { (5) if (num1 > 25 && num1 < 500) { (6) if (num2 > 12 && num2 < 30) { (7) if (num3 > 100 && num3 < 500) { (8) if (num4 > 20 && num4 < 100) { (9) return true; (10) }}}} return false; (11) }; Komentář (1) Počet pokusů zde zadáme, kolikrát chceme pokus opakovat, respektive s kolika akciemi chceme pokus provést (jeden pokus = jedna akcie) (2) Generátor pseudonáhodných čísel pro jednotlivé parametry dané akcie, var num1 reprezentuje cenu, var num2 P/E poměr, var num3 Dividendu, var num4 tržní kapitalizaci. Za každou proměnou je stanoven interval, do kterého mají být čísla generována. (3) Přírůst výher pokud je výsledek srovnání parametrů dané akcie označen jako pozitivní, tak program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu pozitivních výsledků. (4) Přírůst proher - pokud není některá z podmínek splněna, program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu negativních výsledků. (5) Následuje soubor podmínek, které akcie musí splnit, abychom dostali pozitivní výsledek. (6) Zadání rozpětí ceny zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (7) P/E poměr - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (8) Dividenda - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno.

15 (9) Tržní kapitalizace - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k dalšímu příkazu. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (10) Pokud akcie splnila všechna srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. (11) Pokud akcie nesplnila některé ze srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. 5. c Výsledky Počet pokusů (akcií) Počet pozitivních výsledků = 0,1674 % Počet negativních výsledků = 99,8326 % 5. d Ověření výsledků Pro ověření výsledků nejdříve spočítáme pravděpodobnost pro získání pozitivního výsledku za námi daných podmínek (6. a) a tou následně vynásobíme počet akcií, se kterým jsme provedli náš experiment. Pravděpodobnost získání pozitivního výsledku u jednotlivých kritérií výběru Cena Počet všech možných výsledků n = 1000 Počet všech příznivých výsledků m = = 175 P/E poměr Počet všech možných výsledků n = 50 Počet všech pozitivních výsledků m = = 11 Dividenda Počet všech možných výsledků n = 1000 Počet všech pozitivních výsledků m = = 200 Tržní kapitalizace Počet všech možných výsledků n = Počet všech příznivých výsledků m = = Tudíž pravděpodobnost, že za námi daných podmínek dostaneme pozitivní výsledek (akcie bude odpovídat všem podmínkám) je

16 Tuto pravděpodobnost vynásobíme počtem pokusů (akcií), se kterými jsme počítali a tím získáme počet akcií, který by měl odpovídat námi zadaným podmínkám. 6. Závěr Námi experimentálně získaný počet se liší o 53 akcií od předpokládaného výsledku (odchylka 5,3 * %). Vzhledem k takto malé odchylce můžeme konstatovat, že náš algoritmus negeneruje chybné výsledky a tudíž se nám podařilo nasimulovat počet akcií, které odpovídají námi zadaným podmínkám. Ovšem je potřeba si uvědomit, že bychom mohli ještě zpřísnit kritéria pro výběr akcie. Také by se mohla použít jinak definovaná pravděpodobnost. 7. Použitá literatura FABIÁN, F, KLUIBER, Z. Metoda Monte Carlo a možnosti jejího uplatnění. Praha: Prospektum s.r.o., s. ISBN Bakalářská práce- Statistická metoda Monte Carlo Bc.Jakub Kupčík, UTB Zlín publikováno 2009 Bakalářská práce- Monte Carlo simulace v ekonometrii Autor: Klára Vopatová VŠE publikováno 2013 HAVLÍČEK, Jiří. Iracionální čísla: Ludolfovo číslo π. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: PIVETEAU, Jean. Britannica: Georges-Louis Leclerc, count de Buffon. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Buffon SCHUKLA, Gurav a Chelsey PARROTT-SHEFFER. Britannica: Stanislaw Marcin Ulam. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Ulam O CONNOR, J J a E F ROBERTSON. History at School of Mathematisc and Statistics: John von Neumann. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Wikipedia: John von Neumann. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: JohnvonNeumann-LosAlamos.gif Wikipedia: Stanislaw Ulam. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: Stanislaw_Ulam.tif.jpg

Téma 3: Metoda Monte Carlo

Téma 3: Metoda Monte Carlo y Náhodná proměnná D Téma 3: Metoda Monte Carlo Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování konstrukcí 4. ročník bakalářského studia 1,0 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 0,0 0,40 0,60 0,80 1,00

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU

Více

Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo

Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo Spolehlivost a bezpečnost staveb, 4.ročník bakalářského studia Téma 2 Simulační metody typu Monte Carlo Princip simulačních metod typu Monte Carlo Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA)

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

metodou Monte Carlo J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha

metodou Monte Carlo J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha Výpočet obsahu plošných obrazců metodou Monte Carlo J. Löwit, Gymnázium Českolipská, Praha jakub.lowit@gmail.com J. Matěna, Gymnázium Českolipská, Praha matenajakub@gmail.com J. Novotná, Gymnázium, Chomutov

Více

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Výpočet nejistot metodou Monte carlo

Výpočet nejistot metodou Monte carlo Výpočet nejistot metodou Monte carlo Mgr. Martin Šíra, Ph.D. (ČMI, Brno) červen 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. p. 1 Výpočty nejistot

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),

Více

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY

SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace

Více

Simulační modely. Kdy použít simulaci?

Simulační modely. Kdy použít simulaci? Simulační modely Simulace z lat. Simulare (napodobení). Princip simulace spočívá v sestavení modelu reálného systému a provádění opakovaných experimentů s tímto modelem. Simulaci je nutno považovat za

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.

pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. 3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.

Více

Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak

Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak StatSoft Diagnostika regrese pomocí grafu 7krát jinak V tomto článečku si uděláme exkurzi do teorie regresní analýzy a detailně se podíváme na jeden jediný diagnostický graf. Jedná se o graf Předpovědi

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Informační a znalostní systémy

Informační a znalostní systémy Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

Identifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_344

Identifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_344 Identifikátor materiálu: VY_32_INOVACE_344 Anotace Autor Jazyk Očekávaný výstup Výuková prezentace. Na jednotlivých snímcích jsou postupně odkrývány informace, které žák zapisuje či zakresluje do sešitu.

Více

www.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín

www.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín VY_32_INOVACE_31_01 Škola Název projektu, reg. č. Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Tematická oblast Název Autor Vytvořeno, pro obor, ročník Anotace Přínos/cílové kompetence Střední

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Statistická teorie učení

Statistická teorie učení Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

Pravděpodobnost a její vlastnosti

Pravděpodobnost a její vlastnosti Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale

Více

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií VY_32_INOVACE_31_02 Škola Střední průmyslová škola Zlín Název projektu, reg. č. Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Tematická oblast Název Autor Vytvořeno, pro obor, ročník Inovace výuky

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Úloha II.E... listopadová

Úloha II.E... listopadová Úloha II.E... listopadová 8 bodů; průměr 5,30; řešilo 37 studentů Určete průměrnou plochu listu vámi vybraného stromu (či keře). Nezapomeňte na statistické zpracování vašich dat. Odhadněte, kolik energie

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

METODA MONTE CARLO A PROGRAMOVACÍ JAZYK MATLAB PŘI PŘÍPRAVĚ UČITELŮ NA PEDAGOGICKÝCH FAKULTÁCH

METODA MONTE CARLO A PROGRAMOVACÍ JAZYK MATLAB PŘI PŘÍPRAVĚ UČITELŮ NA PEDAGOGICKÝCH FAKULTÁCH METODA MOTE CARLO A PROGRAMOVACÍ JAZYK MATLAB PŘI PŘÍPRAVĚ UČITELŮ A PEDAGOGICKÝCH FAKULTÁCH Jiří Tesař, Petr Bartoš Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Č. Budějovicích Katedra fyziky Abstrakt V

Více

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika 017 ZADÁNÍ NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 0 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času. n V průběhu

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Výpočet pravděpodobností

Výpočet pravděpodobností Výpočet pravděpodobností Pravděpodobnostní kalkulátor v programu STATISTICA Cvičení 5 Statistické metody a zpracování dat 1 (podzim 2016) Brno, říjen 2016 Ambrožová Klára Trocha teorie Náhodné jevy mají

Více

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)*

1 Analytické metody durace a konvexita aktiva (dluhopisu) $)* Modely analýzy a syntézy plánů MAF/KIV) Přednáška 10 itlivostní analýza 1 Analytické metody durace a konvexita aktiva dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice =, 1) kde jsou současná

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/4.018 Šablona III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY INOVACE_Hor015 Vypracoval(a), dne Mgr.

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Stochastické signály (opáčko)

Stochastické signály (opáčko) Stochastické signály (opáčko) Stochastický signál nemůžeme popsat rovnicí, ale pomocí sady parametrů. Hodit se bude statistika a pravděpodobnost (umíte). Tohle je jen miniminiminiopáčko, později probereme

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: Číslo DUM: VY_32_INOVACE_07_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: Číslo DUM: VY_32_INOVACE_07_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 5. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_07_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Copyright 2013 Martin Kaňka;

Copyright 2013 Martin Kaňka; Copyright 2013 Martin Kaňka; http://dalest.kenynet.cz Popis aplikace Hlavním cílem aplikace Cubix je výpočet a procvičení výpočtu objemu a povrchu těles složených z kostek. Existují tři obtížnosti úkolů

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Monte Carlo. Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel.

Monte Carlo. Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel. Monte Carlo Simulační metoda založená na užití stochastických procesů a generace náhodných čísel. Typy MC simulací a) MC integrace b) Geometrické MC c) Termodynamické MC d) Modelování vývoje na strukturální

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Pravděpodobnostní rozdělení

Pravděpodobnostní rozdělení Náhodná proměnná Pravděpodobnostní rozdělení Základy logiky a matematiky, ISS FSV UK Martin Štrobl Tento pomocný materiál neobsahuje všechnu látku k danému tématu, pouze se zaměřuje na pochopení důležitých

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Rozdíl rizik zbytečného signálu v regulačním diagramu (I,MR) a (xbar,r)

Rozdíl rizik zbytečného signálu v regulačním diagramu (I,MR) a (xbar,r) Rozdíl rizik zbytečného signálu v regulačním diagramu (I,MR) a (xbar,r) Bohumil Maroš 1. Úvod Regulační diagram je nejefektivnější nástroj pro identifikaci stability, resp. nestability procesu. Vhodně

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky Finanční management Dividendová politika, opce, hranice pro cenu opce, opční techniky Nejefektivnější portfolio (leží na hranici dle Markowitze: existuje jiné s vyšším výnosem a nižší směrodatnou odchylkou

Více

Testování ovládání hry FIFA 15

Testování ovládání hry FIFA 15 Testování ovládání hry FIFA 15 TUR semestrální práce B Matěj Klíma 3. ledna 2016 Obsah 1 Úvod 2 1.1 Popis testované aplikace........................ 2 1.2 Nastavení aplikace...........................

Více

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

Autor Použitá literatura a zdroje Metodika

Autor Použitá literatura a zdroje Metodika Poř. číslo III-2-F-II-1-7r. III-2-F-II-2-7.r. Název materiálu Vlastnosti kapalin Hydraulická zařízení Autor Použitá literatura a zdroje Metodika http://www.quido.cz/osobnosti/pascal.htm. http://black-hole.cz/cental/wp-content/uploads/2011/04/spojene_nadoby.pdf

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více