Gymnázium Jana Nerudy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gymnázium Jana Nerudy"

Transkript

1 Gymnázium Jana Nerudy Závěrečná práce studentského projektu Metoda Monte Carlo 2014 Marek Šedivý a Noémie Gauthier

2 Prohlášení o vypracování Prohlašujeme, že jsme závěrečnou práci na téma Metoda Monte Carlo vypracovali samostatně s použitím uvedené odborné literatury a pramenů. Datum: Podpis.

3 Anotace Tématem naší práce je popis metody Monte Carlo a její aplikace v ekonomii. Nejdříve se zaměříme na základní pojmy nutné pro pochopení a následnou aplikaci metody Monte Carlo. Následně popíšeme jednu ze základních aplikací této metody a představíme naše experimentální provedení této aplikace. Poté se budeme zabývat historií vzniku této metody a na to navážeme stanovením podmínek pro aplikaci metody Monte Carlo na burzovní obchodování. Závěrem je sestavení algoritmu fungujícím na principu této metody.

4 Obsah Anotace Úvod Pojmy a Algoritmus b Náhodná a pseudonáhodná čísla c Pravděpodobnost Buffonova jehla a Teorie b Experiment Historie Vlastní projekt a Určení kritérii b Algoritmus c Výsledky d Ověření výsledků Závěr Použitá literatura... 16

5 1. Úvod Motivací k výběru metody Monte Carlo byl fakt, že jsme jako téma, hledali nějaký matematický postup, který bychom mohli dále aplikovat v ekonomii. Následovalo stanovení problému, který by byl vhodný pro využití této metody. Právě při tomto jsme narazili na metodu Monte Carlo. Ta se od svého vynalezení ve 40. letech vědci pracujícími na projektu Manhattan stala jednou z nejpoužívanějších metod k určení rizikovosti na akciových trzích. Mimoto má obrovské možnosti uplatnění i v jiných vědních disciplínách (např. fyzice, nebo biologii). Naše rozhodnutí bylo aplikovat tuto metodu při nákupu akcií. Cílem práce je tedy výpočet množství akcií, které splňují námi daná kritéria. Kritéria jsme si určili na základě různých údajů o akciích, snažili jsme vybrat taková, aby akcie nebyla ani příliš riziková, ale aby měla i dostatečný zisk. Metoda je založena na pravděpodobnosti a pseudonáhodných číslech. Budeme tedy generovat náhodná čísla a pomocí algoritmu je rozřadíme, abychom zjistili, kolik akcií by mělo teoreticky naše kritéria splňovat.

6 2. Pojmy V této kapitole definujeme a názorně vysvětlíme základní pojmy, nezbytné pro pochopení a možnost následné aplikace metody Monte Carlo. 2. a Algoritmus Algoritmus je postup, který se má dodržovat při řešení daného problému za daných podmínek. Rozlišujeme dva základní druhy algoritmů a to deterministický a stochastický. Při užití deterministického algoritmu víme, že daný jev nastane za předpokladu, že splníme soubor předem známých podmínek. Naopak splnění všech podmínek u algoritmu stochastického nám dává pouze možnost, že daný jev nastane. Díky tomu můžeme následně počítat pravděpodobnost daného jevu. Stochastické algoritmy jsou využity v metodě Monte Carlo. 2. b Náhodná a pseudonáhodná čísla Náhodná čísla jsou čísla, v jejichž výskytu nemůžeme, na základě předchozích čísel určit číslo následující. Zjednodušeně řečeno, nedá se určit posloupnost, která by vygenerovala danou řadu náhodných čísel. Můžeme je generovat například za využití fyzikálních jevů - radioaktivního rozpadu, šumu elektronky, nebo abecedním seřazením měst s počtem obyvatel nad libovolnou mez. Tyto postupy jsou ovšem časově a v některých případech i finančně náročné. Proto byla vymyšlena čísla pseudonáhodná. Ta jsou sice generována na základě nějaké dané posloupnosti, ale jejich výskyt můžeme považovat za dostatečně náhodný. Také jsou rovnoměrně rozdělena na intervalu, do kterého je generujeme. To je důležité právě při jejich užití v metodě Monte Carlo. Víme-li, že daný jev můžeme modelovat v intervalu [a; b] a v jeho podintervalu [c; d] nastane jev příznivý, tak je důležité, aby čísla, která daný jev modelují, byla rovnoměrně rozdělena na intervalu *a; b+ a ne, aby byla například koncentrována zejména v *c; d+, to by totiž mělo za následek posunutí výsledku nesprávným směrem (příznivý jev by v daném modelu nastal víckrát, než by tomu bylo ve skutečnosti) 2. c Pravděpodobnost Pravděpodobnost jsme definovali dvěma základními způsoby a to - 1) Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti Může-li určitý jev (proces) vykázat n různých disjunktních (vzájemně se vylučujících) výsledků, které jsou stejně možné a jestliže m z těchto pokusů má za následek nevyhnutelně realizaci určitého sledovaného jevu A, a zbylých n-m výsledků, ji vylučuje, potom pravděpodobnost jevu A položíme rovnu číslu m/n a píšeme, což se dá zjednodušeně reformulovat takto pravděpodobnost je poměr počtu případů sledovanému jevu příznivých, k počtu všech případů možných.

7 Její aplikaci můžeme ukázat na jednoduchém příkladu Házíme-li dvěma kostkami (červenou a modrou), přičemž červená udává počet desítek a modrá udává počet jednotek výsledného čísla, jaká je pravděpodobnost, že nám padne prvočíslo (jev A)? Nejdříve si vyjádříme n, tedy počet všech možných výsledků. Protože víme, že na každé kostce nám může padnout 6 různých čísel, můžeme obdržet n různých čísel. Přičemž - Následně vyhodnotíme, kolik z daných jevů odpovídá jevu A, tedy že výsledné číslo je prvočíslo. Tyto jevy si označíme jako m. Všechna prvočísla, která nám mohou padnout, jsou 11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61. (mohou nám vyjít jen prvočísla, která jsou větší 10 a menší 66, přičemž číslo na místě jejich jednotek musí být menší 6). Z výše uvedeného víme, že n = 36 a m = 8. Tudíž pravděpodobnost, že nastane jev A je 2) Geometrická definice pravděpodobnosti - máme množinu Ω (např. objem, obsah, délka) a její podmnožinu ω, pak pravděpodobnost volby bodu z množiny ω (označíme jako jev A),. Její aplikaci můžeme opět ilustrovat na následujícím příkladu Máme-li přímku D: y = x a generujeme-li náhodná čísla x na intervalu *0;3+ a y na intervalu od *0;3+, která nám udávají souřadnice bodu. Jaká je pravděpodobnost, že se takto generovaný bod bude nacházet pod přímkou D (jev B)? Zadání si můžeme znázornit na následujícím obrázku (Ob. 1) Otázka by se tedy dala položit také takto Jaká je pravděpodobnost, že se bude generovaný bod (výše popsaným způsobem) nacházet v trojúhelníku ABC?

8 Tudíž Nejdříve si vyjádříme hodnotu Ω. Ta je rovna obsahu čtverce ABCD. To je čtverec o straně 3. Následně vyjádříme hodnotu ω. Ta je rovna obsahu plochy pod přímkou D. K zjištění tohoto obsahu můžeme využít integrál. Výše uvedeným postupem jsme zjistili, že Ω = 9 a ω =. Tudíž 3. Buffonova jehla Tato kapitola se bude věnovat několik set let starému pokusu sloužícímu k aproximaci čísla π. Nejprve začneme vysvětlením teorie tohoto pokusu. Následně tento experiment sami vyzkoušíme. 3. a Teorie Pravděpodobnost se dá využít kupříkladu v matematice, ekonomii, či při předvídání jevů v sociologii. Jedno z využití je i aproximace hodnoty čísla π. To se podařilo francouzskému matematikovi Jeanu Louisu Leclerc de Buffon. Ten vymyslel úlohu, díky které je možné aproximovat hodnotu čísla π, díky jeho vlastnostem. George Louis Leclerc de Buffon (1707 Montbard Paris) Francouzský naturalista spisovatel. Zabýval se fyzikou, biologii a matematikou. Podílel se na tvorbě encyklopedií. Je také autorem pokusu s názvem Buffonova jehla. Buffon řešil následující úlohu: Nechť jsou jehly o stejné délce d zcela náhodně házeny na rovnou podložku. Podložka musí být nalinkována rovnoběžnými čarami, vzdálené od sebe stejnou vzdálenosti l pro kterou platí, že d <l. Tímto získáme zcela náhodně ležící jehly, jejichž vzdálenost středu k nejbližší čáře je zcela nahodilá, stejně tak jako jejich orientace, tyto dvě proměnné jsou na sobě nezávislé. Vzdálenost středu, s, jehly k nejbližší čáře nazvěme x a její orientace je dána úhlem α (viz. Ob. 2). Počítáme s tím, že každá jehla může protnout jen jednu čáru (d < l).

9 Je tedy možné pozorovat, že jehla protne čáru jen v případě, že (vyšrafovaná část). Musíme tedy najít pravděpodobnost jevu P ). Pro usnadnění použijeme úhel β jako obecný úhel a znázorníme si všechny možnosti 2 proměnných x (na ose x) a α (na ose α) (Ob. 3). Využijeme tedy souřadnice x a α a vymezíme si část vnitřku obdélníku OPQR, který toto splňuje, tato část je na obrázku vyšrafovaná. Vlastně jsme přiřadili ke každé hodnotě α hodnotu x pro kterou platí, že jehla protne čáru. Musí pro ně tedy platit nerovnost a. Jelikož celý obdélník nám ukazuje všechny možnosti dopadu jehly, a tyto možnosti jsou všechny stejně pravděpodobné, musíme zjistit jaká je pravděpodobnost, že jehla bude splňovat výše uvedené nerovnosti. Tato pravděpodobnost je rovna poměru vyšrafované plochy obdélníku OP a celé jeho plochy. Z obrázku odvodíme že To znamená, že pokud budeme házet jehly o délce d, na linkovaný povrch, kde vzdálenosti mezi čárami jsou rovny d, pravděpodobnost úspěšných hodů bude. Lze tedy jednoduše provést pokus a odvodit číslo π neúspěšných jehel (jehla, která neprotly jednu z rovnoběžných čar)., tedy poměr úspěšných jehel (jehly, která protly čáru) a 3. b Experiment K našemu experimentu jsme použili papír o velikosti A4 a 285 špendlíků. Určili jsme si vzdálenost mezi čáry jako kde je délka jehly. Díky tomuto kroku si můžeme upravit výsledný poměr. (Záznam experimentu je přiložen na poslední stránce této práce). Po náhodném rozhození jehel po papíře jsme měli 216 jehel, které neproťaly žádnou čáru a 69 jehel které proťaly.. Tento výsledek je menší než číslo π, které se rovná 3,1416, ovšem změna jedné jehly (přechod z úspěšných do neúspěšných) by nám dal výsledek 3,1911, který je naopak větší než π.

10 4. Historie Za metodou Monte Carlo tak, jak jí známe dnes, stojí dva muži - Stanislaw Marcin Ulam a Jon von Neumann. Právě jejich spolupráce na amerických vědeckých projektech je přivedla na tento nápad. Jon von Neumann (občas jako John von Neumann) je původem maďarský matematik, narozený v roce 1903 na území Rakouska Uherska. Věnoval se kvantové teorii a byl průkopníkem teorie her. V roce 1929 dostal nabídku učit kvantovou teorii na Princetonu. Tam se stal prvním profesorem v Ústavu pro pokročilé studium (Institute for Advanced Study). Roku 1943 byl přizván Robertem Oppenheimrem k projektu Manhatann. (Ob. 4) (Ob. 5) Stanislaw Marcin Ulam je původem Polák, narozený 1909 na území tehdejšího Rakouska Uherska. Po získání doktorátu, v roce 1933, ve Lvově (nynější Lviv) byl pozván Jonem von Neumannem do spojených států, aby pracoval ve vědeckém ústavu na Princetonu. Po té učil na různých univerzitách, až nakonec získal americké občanství a mohl být zapojen do institutu Los Alamos, kde pracoval na jaderné bombě v rámci projektu Manhattan. Největší spolupráce těchto dvou začala právě díky výzkumu v institutu Los Alamos. Vědci potřebovali spočítat vzdálenost, kterou neutrony mohou urazit, skrze různé materiály. I přes všechna data a výzkumy to nemohli fyzici z Los Alamos spočítat. Problém totiž nastal ve chvíli, kdy se neutron pohltí při srážce s jiným nukleonem. Ulama napadla možnost vypočítat pravděpodobnost odehratelnosti solitairu, tedy pravděpodobnost, že při rozložení karet je možné hru odehrát. To mělo být uskutečněno díky ENIACu (Electronic Numerical Integrator And Computer), na kterém právě pracovali, Ulam s Von Neumannem. Později se rozhodli aplikovat i na neutrony a jejich trasu. Sestavili experiment, ve kterém použili na simulaci cesty atomu rulety. Věděli, že k pohlcení dojde v jednom případu ze 100 a tudíž 1 ze sta políček na ruletě označili jako pohlcení. Následně roztočili ruletu, pokud padlo políčko pohlcení, byl to konec života neutron. V opačném případě se z dalších otočení ruletou určil směr a rychlost neutronu (vše bylo tedy náhodné). Ten samý postup se opakoval stále, dokud nenastalo pohlcení neutronu.

11 Při hledání jména pro svou metodu se inspirovali Ulamovým strýčkem, velkým gamblerem v Monte Carlu. Následně Neumann vymyslel výpočet pseudonáhodných čísel, která je možné využít při aplikování této metody. Od té doby metoda Monte Carlo našla uplatnění v mnoha různých disciplínách, namátkou můžeme zmínit biologii (simulace vývoje hmyzu), fyziku (simulace života neutronu), ekonomie (hodnocení rizikovosti akcií na burze). Tyto problémy musí jednak splnit některé podmínky spojité rozložení pravděpodobnosti a jednak musíme znát pravidla, kterými se daná problematika řídí. Jako jsou například u života neutronu podmínky jeho pohlcení a odražení od určitých prvků. 5. Vlastní projekt Jak je řečeno již v anotaci, naším cílem bylo aplikovat metodu Monte Carlo na nějaký ekonomický problém, a to ideálně z burzovního prostředí. Jako samotný problém k řešení jsme si stanovili odhad počtu akcií, které odpovídají námi zadaným kritériím pro nákup. 5. a Určení kritérii Prvně bylo nutné najít kritéria, podle kterých chceme hodnotit akcie. Vybrali jsme si 4 základní charakteristiky, které jsou veřejně dostupné pro veškeré akcie. Pro stanovení intervalů, ve kterých se daná kritéria pohybují, jsme využili server Patria Direct: 1. Cena akcie je reálná suma, kterou člověk zaplatí za jednu akcii. Jejich rozmezí je velmi různé ovšem určili jsme si rozmezí Kč a podinterval Kč. 2., podle tabulek se následně dá určit jak riziková akcie je, zpravidla čím vyšší P/E poměr tím vyšší rizikovost. Kvalita akcie se dá určit z následující tabulky. My jsme si stanovili podinterval z celkového intervalu 0-50, tudíž chceme potencionálně obchodovat s akciemi, které se považují za stabilní. P/E poměr Závěr vyplívající pro akcii dané firmy Buďto je akcie dané firmy podhodnocena, nebo jsou zisky dané firmy v úpadku. Pro většinu akcií se P/E poměr pohybující v tomto intervalu považuje za dobrou hodnotu.

12 Akcie dané společnosti je buď nadhodnocená, nebo zisk dané společnosti vzrostl oproti posledním publikovaným výsledkům. Společnost, od níž se očekává v budoucnosti velký růst, nebo její letošní zisk byl velmi nízký. Případně mohou její akcie být obětí spekulace. zdroj 3. Dividenda suma, která se vyplácí akcionářům dané firmy ve stanovený termín (tzv. rozhodný den). Její výše není přímo závislá na tom, zda akcie rostla nebo klesala, ale na rozhodnutí valné hromady dané firmy. Zde jsme si stanovili celkový interval a podinterval Tržní kapitalizace tržní hodnota akciové společnosti. Spočítáme ji tak, že objem všech akcií dané firmy na trhu vynásobíme aktuální cenou jedné akcie. Celkový interval byl My jsme si stanovili podinterval b Algoritmus Na základě výše zmíněných kritérií a seřazení jich dle pořadí našeho rozhodování získáme algoritmus. Ten je znázorněn na dolním schématu.

13 Zde vidíme samotný program (psaný v jazyce Java) vycházející z našeho algoritmu function vypocet(){ var pokusy = ; (1) var vyhrajenakupakcie = 0; var prohrajenakupakcie = 0; for(var i = 0;i<pokusy;i++){ (2) var num1 = Math.random() * (1000); var num2 = Math.random() * (50); var num3 = Math.random() * (1000); var num4 = Math.random() * (190)+10; if (nakupakcie(num1, num2, num3, num4) == true) { vyhrajenakupakcie += 1; (3) }else { prohrajenakupakcie += 1; (4)

14 } } Logger.log("Nakup:"+vyhrajeNakupAkcie); Logger.log("Prodej:"+prohrajeNakupAkcie) } function nakupakcie(num1, num2, num3, num4) { (5) if (num1 > 25 && num1 < 500) { (6) if (num2 > 12 && num2 < 30) { (7) if (num3 > 100 && num3 < 500) { (8) if (num4 > 20 && num4 < 100) { (9) return true; (10) }}}} return false; (11) }; Komentář (1) Počet pokusů zde zadáme, kolikrát chceme pokus opakovat, respektive s kolika akciemi chceme pokus provést (jeden pokus = jedna akcie) (2) Generátor pseudonáhodných čísel pro jednotlivé parametry dané akcie, var num1 reprezentuje cenu, var num2 P/E poměr, var num3 Dividendu, var num4 tržní kapitalizaci. Za každou proměnou je stanoven interval, do kterého mají být čísla generována. (3) Přírůst výher pokud je výsledek srovnání parametrů dané akcie označen jako pozitivní, tak program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu pozitivních výsledků. (4) Přírůst proher - pokud není některá z podmínek splněna, program na základě tohoto příkazu připíše 1 k počtu negativních výsledků. (5) Následuje soubor podmínek, které akcie musí splnit, abychom dostali pozitivní výsledek. (6) Zadání rozpětí ceny zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (7) P/E poměr - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (8) Dividenda - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k další podmínce. Pokud ne tak je srovnání ukončeno.

15 (9) Tržní kapitalizace - zadáváme nejdříve dolní a následně horní hranici intervalu, který jsme si stanovili. Pokud se číslo nachází v daném intervalu, tak program postoupí k dalšímu příkazu. Pokud ne tak je srovnání ukončeno. (10) Pokud akcie splnila všechna srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. (11) Pokud akcie nesplnila některé ze srovnání, tak tento příkaz označí výsledek jako pozitivní. 5. c Výsledky Počet pokusů (akcií) Počet pozitivních výsledků = 0,1674 % Počet negativních výsledků = 99,8326 % 5. d Ověření výsledků Pro ověření výsledků nejdříve spočítáme pravděpodobnost pro získání pozitivního výsledku za námi daných podmínek (6. a) a tou následně vynásobíme počet akcií, se kterým jsme provedli náš experiment. Pravděpodobnost získání pozitivního výsledku u jednotlivých kritérií výběru Cena Počet všech možných výsledků n = 1000 Počet všech příznivých výsledků m = = 175 P/E poměr Počet všech možných výsledků n = 50 Počet všech pozitivních výsledků m = = 11 Dividenda Počet všech možných výsledků n = 1000 Počet všech pozitivních výsledků m = = 200 Tržní kapitalizace Počet všech možných výsledků n = Počet všech příznivých výsledků m = = Tudíž pravděpodobnost, že za námi daných podmínek dostaneme pozitivní výsledek (akcie bude odpovídat všem podmínkám) je

16 Tuto pravděpodobnost vynásobíme počtem pokusů (akcií), se kterými jsme počítali a tím získáme počet akcií, který by měl odpovídat námi zadaným podmínkám. 6. Závěr Námi experimentálně získaný počet se liší o 53 akcií od předpokládaného výsledku (odchylka 5,3 * %). Vzhledem k takto malé odchylce můžeme konstatovat, že náš algoritmus negeneruje chybné výsledky a tudíž se nám podařilo nasimulovat počet akcií, které odpovídají námi zadaným podmínkám. Ovšem je potřeba si uvědomit, že bychom mohli ještě zpřísnit kritéria pro výběr akcie. Také by se mohla použít jinak definovaná pravděpodobnost. 7. Použitá literatura FABIÁN, F, KLUIBER, Z. Metoda Monte Carlo a možnosti jejího uplatnění. Praha: Prospektum s.r.o., s. ISBN Bakalářská práce- Statistická metoda Monte Carlo Bc.Jakub Kupčík, UTB Zlín publikováno 2009 Bakalářská práce- Monte Carlo simulace v ekonometrii Autor: Klára Vopatová VŠE publikováno 2013 HAVLÍČEK, Jiří. Iracionální čísla: Ludolfovo číslo π. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: PIVETEAU, Jean. Britannica: Georges-Louis Leclerc, count de Buffon. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Buffon SCHUKLA, Gurav a Chelsey PARROTT-SHEFFER. Britannica: Stanislaw Marcin Ulam. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Ulam O CONNOR, J J a E F ROBERTSON. History at School of Mathematisc and Statistics: John von Neumann. In: [online]. [cit ]. Dostupné z: Wikipedia: John von Neumann. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: JohnvonNeumann-LosAlamos.gif Wikipedia: Stanislaw Ulam. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, [cit ]. Dostupné z: Stanislaw_Ulam.tif.jpg

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

www.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín

www.zlinskedumy.cz Střední průmyslová škola Zlín VY_32_INOVACE_31_01 Škola Název projektu, reg. č. Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Tematická oblast Název Autor Vytvořeno, pro obor, ročník Anotace Přínos/cílové kompetence Střední

Více

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií

Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/34.0333 Vzdělávání v informačních a komunikačních technologií VY_32_INOVACE_31_02 Škola Střední průmyslová škola Zlín Název projektu, reg. č. Vzdělávací oblast Vzdělávací obor Tematický okruh Téma Tematická oblast Název Autor Vytvořeno, pro obor, ročník Inovace výuky

Více

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.0/1.5.00/4.018 Šablona III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY INOVACE_Hor015 Vypracoval(a), dne Mgr.

Více

METODA MONTE CARLO A PROGRAMOVACÍ JAZYK MATLAB PŘI PŘÍPRAVĚ UČITELŮ NA PEDAGOGICKÝCH FAKULTÁCH

METODA MONTE CARLO A PROGRAMOVACÍ JAZYK MATLAB PŘI PŘÍPRAVĚ UČITELŮ NA PEDAGOGICKÝCH FAKULTÁCH METODA MOTE CARLO A PROGRAMOVACÍ JAZYK MATLAB PŘI PŘÍPRAVĚ UČITELŮ A PEDAGOGICKÝCH FAKULTÁCH Jiří Tesař, Petr Bartoš Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Č. Budějovicích Katedra fyziky Abstrakt V

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Úloha II.E... listopadová

Úloha II.E... listopadová Úloha II.E... listopadová 8 bodů; průměr 5,30; řešilo 37 studentů Určete průměrnou plochu listu vámi vybraného stromu (či keře). Nezapomeňte na statistické zpracování vašich dat. Odhadněte, kolik energie

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

VY_32_INOVACE_14_ELEKTRICKÝ PROUD V KOVECH_28

VY_32_INOVACE_14_ELEKTRICKÝ PROUD V KOVECH_28 VY_32_INOVACE_14_ELEKTRICKÝ PROUD V KOVECH_28 Autor: Mgr. Pavel Šavara Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo projektu:

Více

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti

Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami který je samozřejmě

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST

Více

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ

PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev

PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Reranking založený na metadatech

Reranking založený na metadatech České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra softwarového inženýrství Reranking založený na metadatech MI-VMW Projekt IV - 1 Pavel Homolka Ladislav Kubeš 6. 12. 2011 1

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Autor Použitá literatura a zdroje Metodika

Autor Použitá literatura a zdroje Metodika Poř. číslo III-2-F-II-1-7r. III-2-F-II-2-7.r. Název materiálu Vlastnosti kapalin Hydraulická zařízení Autor Použitá literatura a zdroje Metodika http://www.quido.cz/osobnosti/pascal.htm. http://black-hole.cz/cental/wp-content/uploads/2011/04/spojene_nadoby.pdf

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu)

3.1.1. Výpočet vnitřní hodnoty obligace (dluhopisu) Využití poměrových ukazatelů pro fundamentální analýzu cenných papírů Principem této analýzy je stanovení, zda je cenný papír na kapitálovém trhu podhodnocen, správně oceněn, nebo nadhodnocen. Analýza

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky

Finanční management. Nejefektivnější portfolio (leží na hranici) dle Markowitze: Polemika o významu dividendové politiky Finanční management Dividendová politika, opce, hranice pro cenu opce, opční techniky Nejefektivnější portfolio (leží na hranici dle Markowitze: existuje jiné s vyšším výnosem a nižší směrodatnou odchylkou

Více

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY

4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY 4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Gaussovo dělo GYMNÁZIUM CHEB. Soutěž projektů žáků a studentů, PŘÍTECH. kategorie: druhá. tematické zaměření projektu: fyzika

Gaussovo dělo GYMNÁZIUM CHEB. Soutěž projektů žáků a studentů, PŘÍTECH. kategorie: druhá. tematické zaměření projektu: fyzika GYMNÁZIUM CHEB Soutěž projektů žáků a studentů, PŘÍTECH kategorie: druhá tematické zaměření projektu: fyzika Gaussovo dělo Petr Kuska, Le Thach Thao Cheb 2015 Obsah 1. Základní informace o řešitelích projektu...

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Podmíněná pravděpodobnost

Podmíněná pravděpodobnost odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Návrh frekvenčního filtru

Návrh frekvenčního filtru Návrh frekvenčního filtru Vypracoval: Martin Dlouhý, Petr Salajka 25. 9 2010 1 1 Zadání 1. Navrhněte co nejjednodušší přenosovou funkci frekvenčního pásmového filtru Dolní propusti typu Bessel, která bude

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Tvar dat a nástroj přeskupování

Tvar dat a nástroj přeskupování StatSoft Tvar dat a nástroj přeskupování Chtěli jste někdy použít data v jistém tvaru a STATISTICA Vám to nedovolila? Jistě se najde někdo, kdo se v této situaci již ocitl. Není ale potřeba propadat panice,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.

Jednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného kyvadla v rámci modelu kyvadla matematického.

3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného kyvadla v rámci modelu kyvadla matematického. Pracovní úkoly. Změřte místní tíhové zrychlení g metodou reverzního kyvadla. 2. Změřte místní tíhové zrychlení g metodou matematického kyvadla. 3. Vypočítejte chybu, které se dopouštíte idealizací reálného

Více

Vliv Mosteckého jezera na teplotu a vlhkost vzduchu a rychlost větru. Lukáš Pop Ústav fyziky atmosféry v. v. i. AV ČR

Vliv Mosteckého jezera na teplotu a vlhkost vzduchu a rychlost větru. Lukáš Pop Ústav fyziky atmosféry v. v. i. AV ČR Vliv Mosteckého jezera na teplotu a vlhkost vzduchu a rychlost větru Lukáš Pop Ústav fyziky atmosféry v. v. i. AV ČR Motivace a cíle výzkumu Vznik nové vodní plochy mění charakter povrchu (teplotní charakteristiky,

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3075 Šablona: III/2 Sada: VY_32_INOVACE_5IS Ověření ve výuce Třída 9. B Datum: 7. 1. 2013 Pořadové číslo 10 1 Astronomie Předmět: Ročník: Jméno autora: Fyzika

Více

DOE (Design of Experiments)

DOE (Design of Experiments) DOE - DOE () DOE je experimentální strategie, při které najednou studujeme účinky několika faktorů, prostřednictvím jejich testování na různých úrovních. Charakteristika jakosti,y je veličina, pomocí které

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAIPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

3. Optoelektronický generátor náhodných čísel

3. Optoelektronický generátor náhodných čísel 3 Optoelektronický generátor náhodných čísel Fyzikální generátor náhodných čísel může být založen na nejrůznějších fyzikálních procesech Jde přitom o to, aby proces samotný byl náhodný ve smyslu nepředpověditelnosti

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Název: Konstrukce vektoru rychlosti

Název: Konstrukce vektoru rychlosti Název: Konstrukce vektoru rychlosti Autor: Mgr. Petr Majer Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek: Mechanika kinematika

Více

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole

2.1. 50 bodů 2.1 Pokyny otevřeným úlohám. je uveden na záznamovém archu. Je-li požadován celý postup řešení, uveďte. výrazů. mimo vyznačená bílá pole MATEMATIKA MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST DIDAKTICKÝ TEST MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 MAMZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám Maximální Hranice úspěšnosti:

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II

2.1.17 Parametrické systémy lineárních funkcí II .1.17 Parametrické sstém lineárních funkcí II Předpoklad: 11 Pedagogická poznámka: Celá hodina vznikla na základě jednoho příkladu ze sbírk úloh od Jindr Petákové. S příkladem mělo několik generací studentů

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika. Ak. rok 2011/2012 vbp 1

SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika. Ak. rok 2011/2012 vbp 1 SYSTÉMOVÁ METODOLOGIE (VII) Kybernetika Ak. rok 2011/2012 vbp 1 ZÁKLADNÍ SMĚRY A DISCIPLÍNY Teoretická kybernetika (vědecký aparát a metody ke zkoumání kybernetických systémů; používá abstraktní modely

Více